ម៉ូដែលគណិតវិទ្យា និងអនុវត្តន៍ក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុត ក្នុងការបង្កើតគំរូ (Mathematical Modeling) ដើម្បីសិក្សាពីបាតុភូតធម្មជាតិ បម្រែបម្រួលរូបវិទ្យា ជីវសាស្ត្រ និងសេដ្ឋកិច្ច។
កំណើនប្រជាជន និងបម្រែបម្រួលបរិមាណ
បើអត្រាបម្រែបម្រួលនៃចំនួនប្រជាជន \(P(t)\) នៅខណៈពេល \(t\) សមាមាត្រទៅនឹងចំនួនប្រជាជនដែលមាននៅពេលនោះ នោះគេបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ៖
រយៈពេលដែលចំនួនប្រជាជនកើនឡើងទ្វេដង (Doubling Time \(T_d\)) ៖
គេឱ្យ \(P(T_d) = 2P_0 \iff P_0 e^{k T_d} = 2P_0 \iff e^{k T_d} = 2\)។
ទាញបាន ៖
ការបំបែកធាតុវិទ្យុសកម្ម និងកន្លះជីវិត
អត្រានៃការបំបែកធាតុវិទ្យុសកម្ម \(N(t)\) គឺសមាមាត្រទៅនឹងបរិមាណសារធាតុដែលនៅសល់ ៖
កន្លះជីវិតនៃសារធាតុវិទ្យុសកម្ម (Half-life \(T_{1/2}\)) ៖
កន្លះជីវិត គឺជារយៈពេលដែលសារធាតុវិទ្យុសកម្មថយចុះអស់ពាក់កណ្តាលនៃបរិមាណដើម ៖
ច្បាប់ត្រជាក់នៃញូតុន
ច្បាប់ត្រជាក់នៃញូតុនចែងថា ៖ អត្រាបម្រែបម្រួលសីតុណ្ហភាពនៃអង្គធាតុមួយ សមាមាត្រទៅនឹងផលដកនៃសីតុណ្ហភាពរបស់អង្គធាតុ និងសីតុណ្ហភាពនៃមជ្ឈដ្ឋានជុំវិញ ៖
តាមវិធីញែកអថេរ គេបាន ៖
ចលនារបស់វត្ថុក្នុងមជ្ឈដ្ឋានទប់
អង្គធាតុមួយមានម៉ាស \(m\) ធ្លាក់ចុះក្រោមក្រោមអំពើនៃកម្លាំងទំនាញ \(P = mg\) និងកម្លាំងទប់នៃខ្យល់ \(F_r = -kv\) (\(k > 0\) ជាមេគុណកកិត)។ តាមច្បាប់ទី២ ញូតុន ៖
សមីការ \(\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{k}{m}v = g\) ជាសមីការលីនេអ៊ែលំដាប់ទី១ មិនអូម៉ូសែន ៖
ចម្លើយនៃសមីការអូម៉ូសែន ៖ \(v_c = C e^{-\frac{k}{m}t}\)
ចម្លើយពិសេសថេរ ៖ \(v_p = \dfrac{mg}{k}\)
ចម្លើយទូទៅ ៖ \(v(t) = \dfrac{mg}{k} + C e^{-\frac{k}{m}t}\)
បើល្បឿនដើម \(v(0) = 0\) នោះ \(C = -\dfrac{mg}{k}\) នាំឱ្យ ៖
\[v(t) = \frac{mg}{k}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right)\]កាលណា \(t \to +\infty\), ល្បឿនខិតទៅរក ល្បឿនព្រំដែន (Terminal Velocity) ៖
\[v_{\text{lim}} = \lim_{t \to +\infty} v(t) = \frac{mg}{k}\]
លំយោលមេកានិចនៃប្រព័ន្ធរ៉ឺស័រ
ប្រព័ន្ធម៉ាស-រ៉ឺស័រមានម៉ាស \(m\), ថេរកម្រាញរ៉ឺស័រ \(k > 0\), និងកម្លាំងទប់កកិត \(c \ge 0\) ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី២ ៖
លំយោលសេរីគ្មានកកិត (\(c = 0\)) ៖ \(m y'' + k y = 0 \iff y'' + \omega_0^2 y = 0\) ដែល \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) ជាប្រេកង់កែង។
ចម្លើយទូទៅ ៖ \(y(t) = A\cos\omega_0 t + B\sin\omega_0 t\)។លំយោលខ្សោយ (\(c^2 - 4mk < 0\)) ៖ ចលនាថយចុះជាលំយោល ៖
\[y(t) = e^{-\alpha t}(A\cos\beta t + B\sin\beta t) \quad{} \text{ដែល } \alpha = \frac{c}{2m}\]
ឧទាហរណ៍គំរូ និងវិធីសាស្ត្រដោះស្រាយ
(កំណើនបាក់តេរី) នៅក្នុងមន្ទីរពិសោធន៍មួយ គេសង្កេតឃើញថាបាក់តេរីកើនឡើងតាមច្បាប់កំណើនអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល \(\dfrac{dP}{dt} = kP\)។ នៅពេលចាប់ផ្តើមពិសោធន៍ (\(t = 0\)) គេរាប់ឃើញមានបាក់តេរីចំនួន \(1000\) កោសិកា។ រយៈពេល \(3\) ម៉ោងក្រោយមក បរិមាណបាក់តេរីកើនឡើងដល់ \(4000\) កោសិកា។
កំណត់កន្សោម \(P(t)\) ជាអនុគមន៍នៃពេល \(t\) (គិតជាម៉ោង)។
រកចំនួនបាក់តេរីក្រោយពេលកន្លងផុតទៅ \(5\) ម៉ោង។
តើរយៈពេលប៉ុន្មានម៉ោង ទើបចំនួនបាក់តេរីកើនដល់ \(16000\) កោសិកា?
សមីការ \(\dfrac{dP}{dt} = kP\) មានចម្លើយទូទៅ \(P(t) = P_0 e^{kt}\)។
នៅពេល \(t = 0\), \(P(0) = 1000 \implies P_0 = 1000\)។ ដូចនេះ \(P(t) = 1000 e^{kt}\)។
នៅពេល \(t = 3\), \(P(3) = 4000\) នាំឱ្យ ៖\[1000 e^{3k} = 4000 \iff e^{3k} = 4 \iff 3k = \ln 4 \iff k = \frac{\ln 4}{3} = \frac{2\ln 2}{3}\]ដូចនេះ កន្សោមអនុគមន៍គឺ ៖\[P(t) = 1000 e^{\left(\frac{\ln 4}{3}\right)t} = 1000 \cdot 4^{t/3}\]ក្រោយពេល \(t = 5\) ម៉ោង ៖
\[P(5) = 1000 \cdot 4^{5/3} = 1000 \cdot \sqrt[3]{4^5} = 1000 \cdot 4\sqrt[3]{16} = 1000 \cdot 8\sqrt[3]{2} \approx 10080 \text{ កោសិកា}\]រក \(t\) ដើម្បីឱ្យ \(P(t) = 16000\) ៖
\[1000 \cdot 4^{t/3} = 16000 \iff 4^{t/3} = 16 = 4^2 \iff \frac{t}{3} = 2 \iff t = 6 \text{ ម៉ោង}\]ដូចនេះ រយៈពេល \(6\) ម៉ោង ទើបចំនួនបាក់តេរីកើនដល់ \(16000\) កោសិកា។
(ច្បាប់ត្រជាក់នៃញូតុន) កាហ្វេក្តៅមួយពែងទើបឆុងរួចមានសីតុណ្ហភាព \(95^\circ\text{C}\) ត្រូវបានគេយកមកដាក់លើតុក្នុងបន្ទប់ដែលមានសីតុណ្ហភាពថេរ \(20^\circ\text{C}\)។ រយៈពេល \(5\) នាទីក្រោយមក សីតុណ្ហភាពកាហ្វេថយចុះនៅត្រឹម \(70^\circ\text{C}\)។
រកសមីការសីតុណ្ហភាព \(T(t)\) ជាអនុគមន៍នៃពេល \(t\) (គិតជានាទី)។
គណនាសីតុណ្ហភាពកាហ្វេក្រោយពេលដាក់ចោល \(15\) នាទី។
តើត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មាននាទី ទើបសីតុណ្ហភាពកាហ្វេថយចុះមកដល់ \(40^\circ\text{C}\)?
តាមច្បាប់ត្រជាក់នៃញូតុន ៖ \(\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_m)\) ដែល \(T_m = 20^\circ\text{C}\)។
ចម្លើយទូទៅគឺ ៖ \(T(t) = 20 + (T_0 - 20)e^{-kt}\)។
ដោយ \(T(0) = 95^\circ\text{C}\) នាំឱ្យ \(T(t) = 20 + 75e^{-kt}\)។
នៅពេល \(t = 5\), \(T(5) = 70^\circ\text{C}\) នាំឱ្យ ៖\[20 + 75e^{-5k} = 70 \iff 75e^{-5k} = 50 \iff e^{-5k} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}\]នាំឱ្យ \(-5k = \ln\left(\dfrac{2}{3}\right) = -\ln\left(\dfrac{3}{2}\right) \implies k = \dfrac{1}{5}\ln\left(\dfrac{3}{2}\right) \approx 0.0811\)។
ដូចនេះ សមីការសីតុណ្ហភាពគឺ ៖\[T(t) = 20 + 75\left(\frac{2}{3}\right)^{t/5}\]ក្រោយពេល \(t = 15\) នាទី ៖
\[T(15) = 20 + 75\left(\frac{2}{3}\right)^{15/5} = 20 + 75\left(\frac{2}{3}\right)^3 = 20 + 75 \cdot \frac{8}{27} = 20 + \frac{200}{9} \approx 42.22^\circ\text{C}\]រកពេល \(t\) ដែល \(T(t) = 40^\circ\text{C}\) ៖
\[20 + 75e^{-kt} = 40 \iff 75e^{-kt} = 20 \iff e^{-kt} = \frac{20}{75} = \frac{4}{15}\]យកលោការីតនេពែ ៖\[-kt = \ln\left(\frac{4}{15}\right) \implies t = \frac{\ln(15/4)}{k} = \frac{\ln(3.75)}{0.0811} \approx 16.3 \text{ នាទី}\]ដូចនេះ ត្រូវចំណាយពេលប្រហែល \(16.3\) នាទី។
(ការបំបែកធាតុវិទ្យុសកម្ម និងកាបូន-១៤) ធាតុវិទ្យុសកម្មប៉ូឡូញ៉ូម \(^{210}\text{Po}\) មានកន្លះជីវិត \(140\) ថ្ងៃ។ សន្មតថាបរិមាណវិទ្យុសកម្មបំបែកទៅតាមសមីការ \(\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N\)។ គេមានសំណាកប៉ូឡូញ៉ូមដើម \(N_0 = 12\text{ mg}\)។
គណនាថេរបំបែក \(\lambda\) នៃប៉ូឡូញ៉ូម \(^{210}\text{Po}\)។
រកបរិមាណប៉ូឡូញ៉ូមដែលនៅសល់ក្រោយពេល \(70\) ថ្ងៃ។
តើរយៈពេលប៉ុន្មានថ្ងៃ ទើបសំណាកនោះបំបែកអស់ \(90\%\) នៃបរិមាណដើម?
តាមរូបមន្តទំនាក់ទំនងរវាងកន្លះជីវិត និងថេរបំបែក ៖
\[\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{140} \approx 0.00495 \text{ ថ្ងៃ}^{-1}\]ចម្លើយទូទៅគឺ \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t} = 12 e^{-\left(\frac{\ln 2}{140}\right)t} = 12 \cdot 2^{-t/140}\)។
ក្រោយពេល \(t = 70\) ថ្ងៃ ៖\[N(70) = 12 \cdot 2^{-70/140} = 12 \cdot 2^{-1/2} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \approx 8.49\text{ mg}\]ដូចនេះ នៅសល់ប៉ូឡូញ៉ូមប្រហែល \(8.49\text{ mg}\)។កាលណាសំណាកបំបែកអស់ \(90\%\) នោះបរិមាណដែលនៅសល់គឺ \(10\%\) នៃ \(N_0\) ពោលគឺ ៖
\[N(t) = 0.1 N_0 \iff N_0 e^{-\lambda t} = 0.1 N_0 \iff e^{-\lambda t} = 0.1 \iff -\lambda t = \ln(0.1) = -\ln 10\]នាំឱ្យ ៖\[t = \frac{\ln 10}{\lambda} = \frac{\ln 10}{\frac{\ln 2}{140}} = 140 \cdot \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 140 \cdot 3.3219 \approx 465 \text{ ថ្ងៃ}\]ដូចនេះ ត្រូវចំណាយពេលប្រហែល \(465\) ថ្ងៃ។
(ចលនាធ្លាក់ក្នុងមជ្ឈដ្ឋានមានកកិត និងល្បឿនព្រំដែន) វត្ថុមួយមានម៉ាស \(m = 5\text{ kg}\) ត្រូវបានទម្លាក់ពីលើកំពូលអគារខ្ពស់មួយដោយគ្មានល្បឿនដើម (\(v(0) = 0\))។ ក្នុងពេលធ្លាក់ វត្ថុរងកម្លាំងទប់នៃខ្យល់ \(F_r = -kv\) ដែល \(k = 10\text{ kg/s}\) (យក \(g = 9.8\text{ m/s}^2\))។
បង្កើតសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃចលនា និងកំណត់កន្សោមល្បឿន \(v(t)\)។
គណនាល្បឿនព្រំដែន (Terminal Velocity) \(v_{\text{lim}}\) នៃវត្ថុនោះ។
គណនាល្បឿនវត្ថុនៅខណៈ \(t = 2\text{ s}\)។
តាមច្បាប់ទីពីរញូតុន ៖ \(m\dfrac{dv}{dt} = mg - kv \iff \dfrac{dv}{dt} + \dfrac{k}{m}v = g\)។
ជំនួស \(m = 5\text{ kg}, k = 10\text{ kg/s}, g = 9.8\text{ m/s}^2\) ៖\[\frac{dv}{dt} + 2v = 9.8\]សមីការនេះមានចម្លើយទូទៅ ៖ \(v(t) = Ce^{-2t} + \dfrac{9.8}{2} = Ce^{-2t} + 4.9\)។
ដោយល្បឿនដើម \(v(0) = 0 \implies C + 4.9 = 0 \implies C = -4.9\)។
ដូចនេះ កន្សោមល្បឿនគឺ ៖\[v(t) = 4.9(1 - e^{-2t}) \text{ (m/s)}\]ល្បឿនព្រំដែននៅពេល \(t \to +\infty\) គឺ ៖
\[v_{\text{lim}} = \lim_{t \to +\infty} 4.9(1 - e^{-2t}) = 4.9\text{ m/s}\]នៅខណៈ \(t = 2\text{ s}\) ៖
\[v(2) = 4.9(1 - e^{-4}) \approx 4.9(1 - 0.0183) = 4.9 \times 0.9817 \approx 4.81\text{ m/s}\]
(សៀគ្វីអគ្គិសនី RL) សៀគ្វីអគ្គិសនីមួយរួមមានរេស៊ីស្តង់ \(R = 12\,\Omega\) និងប៊ូប៊ីនមានអាំងឌុចតង់ \(L = 3\text{ H}\) តភ្ជាប់ជាស៊េរីជាមួយប្រភពតង់ស្យុងថេរ \(E = 60\text{ V}\)។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាងអាំងតង់ស៊ីតេចរន្ត \(i(t)\) គឺ ៖
រកកន្សោមអាំងតង់ស៊ីតេចរន្ត \(i(t)\) ជាអនុគមន៍នៃពេល \(t\)។
គណនាអាំងតង់ស៊ីតេចរន្តនៅពេលរបបអចិន្ត្រៃយ៍ (\(t \to +\infty\))។
គណនាតម្លៃចរន្តនៅខណៈ \(t = 0.5\text{ s}\)។
ជំនួសតម្លៃ \(L = 3, R = 12, E = 60\) ចូលក្នុងសមីការ ៖
\[3\frac{di}{dt} + 12i = 60 \iff \frac{di}{dt} + 4i = 20\]ចម្លើយនៃសមីការអូម៉ូសែន \(\dfrac{di}{dt} + 4i = 0\) គឺ \(i_c = Ce^{-4t}\)។
ចម្លើយពិសេសថេរគឺ \(i_p = \dfrac{20}{4} = 5\)។
នាំឱ្យចម្លើយទូទៅគឺ ៖ \(i(t) = Ce^{-4t} + 5\)។
ដោយសារ \(i(0) = 0 \implies C + 5 = 0 \implies C = -5\)។
ដូចនេះ កន្សោមអាំងតង់ស៊ីតេចរន្តគឺ ៖\[i(t) = 5(1 - e^{-4t}) \text{ (A)}\]នៅរបបអចិន្ត្រៃយ៍ (\(t \to +\infty\)) ៖
\[I_{\text{max}} = \lim_{t \to +\infty} 5(1 - e^{-4t}) = 5\text{ A}\]នៅខណៈ \(t = 0.5\text{ s}\) ៖
\[i(0.5) = 5(1 - e^{-4 \times 0.5}) = 5(1 - e^{-2}) \approx 5(1 - 0.1353) = 5 \times 0.8647 \approx 4.32\text{ A}\]
លំហាត់អនុវត្តន៍
(វិទ្យុសកម្មកាបូន-១៤) ធាតុវិទ្យុសកម្មកាបូន \(^{14}\text{C}\) មានកន្លះជីវិត \(T_{1/2} = 5730 \) ឆ្នាំ ។ នៅក្នុងកំណាយបុរាណវិទ្យាមួយ គេរកឃើញបំណែកឈើបុរាណមួយ ដែលមានបរិមាណ \(^{14}\text{C}\) នៅសល់តែ \(35\%\) នៃបរិមាណដែលមានក្នុងរុក្ខជាតិរស់នៅបច្ចុប្បន្នប៉ុណ្ណោះ។ គណនាអាយុកាលនៃបំណែកឈើបុរាណនោះ។
(ល្បឿនធ្លាក់នៃឆត្រយោង) អ្នកលោតឆត្រយោងម្នាក់មានម៉ាសសរុបរួមទាំងឆត្រ \(m = 80\text{ kg}\) លោតចេញពីយន្តហោះ។ កម្លាំងទប់នៃខ្យល់គឺ \(F_r = -kv\) ដែល \(k = 16\text{ kg/s}\) (យក \(g = 9.8\text{ m/s}^2\))។
សរសេរសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃចលនា និងកំណត់ល្បឿន \(v(t)\) ជាអនុគមន៍នៃ \(t\) បើល្បឿនដើម \(v(0) = 0\)។
គណនាល្បឿនព្រំដែន (Terminal velocity) របស់អ្នកលោតឆត្រយោង។
គណនាល្បឿននៅខណៈ \(t = 5\text{ s}\)។
(សីតុណ្ហភាពដែកក្តៅ) ដុំដែកមួយត្រូវបានដុតកម្តៅរហូតដល់ \(800^\circ\text{C}\) រួចគេទម្លាក់វាទៅក្នុងធុងទឹកត្រជាក់ដែលមានសីតុណ្ហភាពថេរ \(25^\circ\text{C}\)។ រយៈពេល \(2\) នាទីក្រោយមក សីតុណ្ហភាពដុំដែកថយចុះមកនៅត្រឹម \(200^\circ\text{C}\)។
កំណត់សមីការសីតុណ្ហភាព \(T(t)\) នៃដុំដែក។
តើរយៈពេលប៉ុន្មាននាទី ទើបសីតុណ្ហភាពដុំដែកថយមកត្រឹម \(50^\circ\text{C}\)?
(លំយោលរ៉ឺស័រ) វត្ថុមួយមានម៉ាស \(m = 2\text{ kg}\) ភ្ជាប់នឹងរ៉ឺស័រដែលមានថេរកម្រាញ \(k = 50\text{ N/m}\) និងកម្លាំងទប់កកិត \(c = 12\text{ N}\cdot\text{s/m}\)។ នៅខណៈដើម \(t = 0\) គេទាញវត្ថុឱ្យឃ្លាតពីទីតាំងលំនឹងប្រវែង \(0.5\text{ m}\) ទៅខាងស្តាំ រួចលែងដោយគ្មានល្បឿនដើម។
បង្កើតសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាងចលនារបស់វត្ថុ។
ដោះស្រាយសមីការដើម្បីរកសមីការទីតាំង \(y(t)\) នៃវត្ថុ។
កំណត់ខណៈពេលដែលវត្ថុឆ្លងកាត់ទីតាំងលំនឹងជាលើកដំបូង។
(សៀគ្វីអគ្គិសនី RLC) សៀគ្វីតភ្ជាប់ជាស៊េរីមានរេស៊ីស្តង់ \(R = 10\,\Omega\), អាំងឌុចតង់ \(L = 0.5\text{ H}\), និងកាប៉ាស៊ីទ័រ \(C = 0.02\text{ F}\) ភ្ជាប់នឹងប្រភពតង់ស្យុងថេរ \(E = 12\text{ V}\)។ សមីការបន្ទុកអគ្គិសនី \(q(t)\) គឺ ៖
\[L q'' + R q' + \frac{1}{C} q = E\]ដោយដឹងថាបន្ទុកដើម \(q(0) = 0\) និងចរន្តដើម \(i(0) = q'(0) = 0\)។ ចូរកំណត់កន្សោមបន្ទុកអគ្គិសនី \(q(t)\) និងចរន្តអគ្គិសនី \(i(t) = q'(t)\)។
ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយ
បើកមើលចម្លើយ និងដំណោះស្រាយលម្អិត
| ល.រ | ចម្លើយ | ល.រ | ចម្លើយ | ល.រ | ចម្លើយ | ល.រ | ចម្លើយ | ល.រ | ចម្លើយ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ១ | គ | ២១ | គ | ៤១ | គ | ៦១ | គ | ៨១ | ក |
| ២ | ក | ២២ | ខ | ៤២ | ខ | ៦២ | ខ | ៨២ | ខ |
| ៣ | ក | ២៣ | ក | ៤៣ | ក | ៦៣ | ឃ | ៨៣ | ក |
| ៤ | ក | ២៤ | ក | ៤៤ | គ | ៦៤ | ក | ៨៤ | ក |
| ៥ | ខ | ២៥ | ខ | ៤៥ | ខ | ៦៥ | ខ | ៨៥ | គ |
| ៦ | ក | ២៦ | ក | ៤៦ | ក | ៦៦ | ក | ៨៦ | ខ |
| ៧ | ក | ២៧ | ក | ៤៧ | ក | ៦៧ | ក | ៨៧ | ក |
| ៨ | ខ | ២៨ | គ | ៤៨ | ឃ | ៦៨ | គ | ៨៨ | ខ |
| ៩ | ខ | ២៩ | ខ | ៤៩ | ខ | ៦៩ | ក | ៨៩ | គ |
| ១០ | ក | ៣០ | ក | ៥០ | ក | ៧០ | ខ | ៩០ | ក |
| ១១ | ក | ៣១ | ឃ | ៥១ | គ | ៧១ | ឃ | ៩១ | ឃ |
| ១២ | ក | ៣២ | ខ | ៥២ | ក | ៧២ | ក | ៩២ | ខ |
| ១៣ | ក | ៣៣ | ក | ៥៣ | ឃ | ៧៣ | គ | ៩៣ | ក |
| ១៤ | ក | ៣៤ | គ | ៥៤ | ខ | ៧៤ | ខ | ៩៤ | គ |
| ១៥ | ក | ៣៥ | ក | ៥៥ | ក | ៧៥ | ក | ៩៥ | ឃ |
| ១៦ | ខ | ៣៦ | ឃ | ៥៦ | ខ | ៧៦ | គ | ៩៦ | ក |
| ១៧ | ខ | ៣៧ | ខ | ៥៧ | គ | ៧៧ | ក | ៩៧ | ខ |
| ១៨ | ក | ៣៨ | ក | ៥៨ | ក | ៧៨ | ឃ | ៩៨ | គ |
| ១៩ | ខ | ៣៩ | គ | ៥៩ | ខ | ៧៩ | ខ | ៩៩ | ក |
| ២០ | ខ | ៤០ | គ | ៦០ | ក | ៨០ | ក | ១០០ | ខ |
.
ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍
(វិទ្យុសកម្មកាបូន-១៤) ធាតុវិទ្យុសកម្មកាបូន \(^{14}\text{C}\) មានកន្លះជីវិត \(T_{1/2} = 5730 \) ឆ្នាំ ។ នៅក្នុងកំណាយបុរាណវិទ្យាមួយ គេរកឃើញបំណែកឈើបុរាណមួយ ដែលមានបរិមាណ \(^{14}\text{C}\) នៅសល់តែ \(35\%\) នៃបរិមាណដើម។ គណនាអាយុកាលនៃបំណែកឈើបុរាណនោះ។
ដំណោះស្រាយ
ច្បាប់បំបែកវិទ្យុសកម្ម ៖ \(N(t) = N_0 e^{-kt}\)។
ថេររលាយ ៖ \(k = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} = \dfrac{\ln 2}{5730} \approx 1.2097 \times 10^{-4} \) ឆ្នាំ \(^{-1}\)។
នៅពេល \(N(t) = 0.35 N_0\) ៖
\(e^{-kt} = 0.35 \implies t = -\dfrac{\ln(0.35)}{k} \approx 8679 \) ឆ្នាំ ។
ដូចនេះ ៖
\(\boxed{t \approx 8679 \text{ ឆ្នាំ (ប្រហែល ៨៦៧៩ ឆ្នាំ)}}\)
(ល្បឿនធ្លាក់នៃឆត្រយោង) អ្នកលោតឆត្រយោងមានម៉ាសសរុប \(m = 80\text{ kg}\) លោតចេញពីយន្តហោះ។ កម្លាំងទប់ខ្យល់គឺ \(F_r = -kv\) ដែល \(k = 16\text{ kg/s}\) (\(g = 9.8\text{ m/s}^2\))។
សរសេរសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងកំណត់ល្បឿន \(v(t)\) បើ \(v(0) = 0\)។
គណនាល្បឿនព្រំដែន (Terminal velocity)។
គណនាល្បឿននៅខណៈ \(t = 5\text{ s}\)។
ដំណោះស្រាយ
ក តាមច្បាប់ញូតុន ៖ \(m\dfrac{dv}{dt} = mg - kv\)
\(\iff \dfrac{dv}{dt} + 0.2v = 9.8\)។
ចម្លើយទូទៅ ៖ \(v(t) = Ce^{-0.2t} + 49\)។
\(v(0) = 0 \implies C = -49\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{v(t) = 49(1 - e^{-0.2t}) \text{ (m/s)}}\)
ខ ល្បឿនព្រំដែន ៖
\(v_{\text{lim}} = \lim_{t \to +\infty} v(t) = \dfrac{mg}{k} = 49\text{ m/s}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{v_{\text{lim}} = 49\text{ m/s} = 176.4\text{ km/h}}\)
គ នៅខណៈ \(t = 5\text{ s}\) ៖
\(v(5) = 49(1 - e^{-1}) \approx 30.97\text{ m/s}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{v(5) \approx 30.97\text{ m/s}}\)
(សីតុណ្ហភាពដែកក្តៅ) ដុំដែកដុតកម្តៅដល់ \(800^\circ\text{C}\) ទម្លាក់ក្នុងទឹកថេរ \(25^\circ\text{C}\)។ ក្រោយមក \(2\) នាទី សីតុណ្ហភាពថយមក \(200^\circ\text{C}\)។
ក កំណត់សមីការ \(T(t)\)។ ខ រក \(t\) ពេលសីតុណ្ហភាពថយមក \(50^\circ\text{C}\)។
ដំណោះស្រាយ
ក ច្បាប់ត្រជាក់ញូតុន ៖
\(\dfrac{dT}{dt} = -k(T - 25) \implies T(t) = 25 + Ce^{-kt}\)។
\(T(0) = 800 \implies C = 775\)។
\(T(2) = 200 \implies 25 + 775e^{-2k} = 200 \implies e^{-2k} = \dfrac{7}{31}\)
\(\implies k \approx 0.744\)។ ដូចនេះ ៖ \(\boxed{T(t) = 25 + 775e^{-0.744t}}\)
ខ រក \(t\) ពេល \(T(t) = 50^\circ\text{C}\) ៖
\(25 + 775e^{-kt} = 50 \implies e^{-kt} = \dfrac{1}{31}\)
\(\implies t = \dfrac{\ln 31}{0.744} \approx 4.61 \) នាទី ។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{t \approx 4.61 \text{ នាទី (៤ នាទី ៣៧ វិនាទី)}}\)
(លំយោលរ៉ឺស័រ) វត្ថុមានម៉ាស \(m = 2\text{ kg}\) ភ្ជាប់នឹងរ៉ឺស័រ \(k = 50\text{ N/m}\) និងកកិត \(c = 12\text{ N}\cdot\text{s/m}\)។ នៅ \(t = 0\) គេទាញ \(0.5\text{ m}\) ទៅស្តាំ រួចលែងដោយគ្មានល្បឿនដើម។
ក សរសេរសមីការចលនា។ ខ រកទីតាំង \(y(t)\)។ គ រកខណៈឆ្លងកាត់លំនឹងលើកដំបូង។
ដំណោះស្រាយ
ក សមីការចលនា ៖ \(2y'' + 12y' + 50y = 0 \implies\) \(\boxed{y'' + 6y' + 25y = 0}\)
ខ សមីការសម្គាល់ ៖ \(r^2 + 6r + 25 = 0 \implies r = -3 \pm 4i\)។
\(y(t) = e^{-3t}(C_1\cos 4t + C_2\sin 4t)\)។
\(y(0) = 0.5 \implies C_1 = \dfrac{1}{2} \ , \ y'(0) = 0 \implies C_2 = \dfrac{3}{8}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y(t) = e^{-3t}\left(\dfrac{1}{2}\cos 4t + \dfrac{3}{8}\sin 4t\right)}\)
គ ឆ្លងកាត់លំនឹងលើកដំបូង ៖
\(y(t) = 0 \implies \tan 4t = -\dfrac{4}{3} \implies 4t \approx 2.2143\)
\(\implies t = \dfrac{2.2143}{4} \approx 0.554\text{ s}\)។ ដូចនេះ ៖ \(\boxed{t \approx 0.554\text{ s}}\)
(សៀគ្វីអគ្គិសនី RLC) សៀគ្វីស៊េរី \(R = 10\,\Omega, L = 0.5\text{ H}, C = 0.02\text{ F}, E = 12\text{ V}\)។ សមីការបន្ទុក ៖ \(L q'' + R q' + \dfrac{1}{C} q = E\) ដោយ \(q(0) = 0, q'(0) = 0\)។ កំណត់កន្សោមបន្ទុក \(q(t)\) និងចរន្ត \(i(t) = q'(t)\)។
ដំណោះស្រាយ
សមីការបន្ទុក ៖ \(0.5q'' + 10q' + 50q = 12\)
\(\iff q'' + 20q' + 100q = 24\)។
\(r = -10 \implies q_h = (C_1 t + C_2)e^{-10t} \ , \ q_p = 0.24\text{ C}\)។
\(q(0) = 0 \implies C_2 = -0.24 \ , \ q'(0) = 0 \implies C_1 = -2.4\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{q(t) = 0.24 - (2.4t + 0.24)e^{-10t}}\)
កន្សោមចរន្តអគ្គិសនី ៖
\(i(t) = q'(t) = 24t e^{-10t}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{i(t) = 24t e^{-10t} \text{ (A)}}\)
ដំណោះស្រាយកម្រងវិញ្ញាសាប្រឡងបាក់ឌុប (២០១៤-២០២៦)
គេឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល \((E) \ : \ y' - 3y = 0\) ៖
ដោះស្រាយសមីការ \((E)\)
រកអនុគមន៍ \(f(x)\) ដែល \(f(0) = 2\)
ដំណោះស្រាយ
ក ដោះស្រាយសមីការ \((E)\) ៖
សមីការមានរាង \(y' - ay = 0\) ជាមួយ \(a = 3\)។
ចម្លើយទូទៅគឺ ៖
ខ រកអនុគមន៍ចម្លើយ \(f(x)\) ៖
ដោយ \(f(0) = 2\) នោះគេបាន ៖
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{f(x) = 2e^{3x}}\)
គេឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល \((E) \ : \ y'' - 4y' + 3y = 0\) ៖
ដោះស្រាយសមីការ \((E)\)
រកចម្លើយដែល \(y(0) = 1\) និង \(y'(0) = 5\)
ដំណោះស្រាយ
ក ដោះស្រាយសមីការ \((E)\) ៖
សមីការសម្គាល់ ៖ \(r^2 - 4r + 3 = 0\)
\((r - 1)(r - 3) = 0 \implies r_1 = 1, \ r_2 = 3\)។
ចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) គឺ ៖
ខ រកចម្លើយពិសេស ៖
ដេរីវេ ៖ \(y'(x) = C_1 e^x + 3C_2 e^{3x}\)។
តាមលក្ខខណ្ឌដើម ៖
នាំឱ្យ \(C_1 = 1 - 2 = -1\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = -e^x + 2e^{3x}}\)
គេមានសមីការ \((E) \ : \ y'' + 2y' + y = 0\) ៖
រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ \((E)\)
រកចម្លើយ \(g(x)\) ដែលក្រាបកាត់តាម \(A(0, 3)\) និងមានមេគុណប្រាប់ទិសបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(A\) ស្មើ \(-1\)
ដំណោះស្រាយ
ក រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ \((E)\) ៖
សមីការសម្គាល់ ៖ \(r^2 + 2r + 1 = 0\)
\((r + 1)^2 = 0 \implies r_0 = -1\) (ឫសឌុប)។
ចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) គឺ ៖
ខ រកអនុគមន៍ចម្លើយ \(g(x)\) ៖
ក្រាបកាត់តាម \(A(0, 3) \implies g(0) = C_2 = 3\)។
ដេរីវេ ៖ \(g'(x) = [C_1 - (C_1 x + C_2)]e^{-x}\)។
មេគុណប្រាប់ទិសត្រង់ \(x=0\) គឺ \(g'(0) = -1\) ៖
គេឱ្យសមីការ \((E) \ : \ y'' + 9y = 0\) ៖
រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ \((E)\)
រកអនុគមន៍ \(f(x)\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 2\) និង \(f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0\)
ដំណោះស្រាយ
ក រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ \((E)\) ៖
សមីការសម្គាល់ ៖ \(r^2 + 9 = 0 \implies r = \pm 3i\)។
ចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) គឺ ៖
ខ រកអនុគមន៍ចម្លើយ \(f(x)\) ៖
\(f'(x) = -3C_1 \sin 3x + 3C_2 \cos 3x\)។
ត្រង់ \(x = \dfrac{\pi}{6} \implies 3x = \dfrac{\pi}{2}\) ៖
\(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = C_1(0) + C_2(1) = 2 \implies C_2 = 2\)
\(f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -3C_1(1) + 3C_2(0) = 0 \implies C_1 = 0\)
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{f(x) = 2\sin 3x}\)
គេមានសមីការ \((E) \ : \ y' + 2y = 4x\) ៖
រក \(a, b\) ដើម្បីឱ្យ \(y_p = ax + b\) ជាចម្លើយពិសេសនៃ \((E)\)
ដោះស្រាយសមីការ \((E_0) \ : \ y' + 2y = 0\)
ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) រួចកំណត់ចម្លើយដែល \(y(0) = 1\)
ដំណោះស្រាយ
ក រកតម្លៃ \(a\) និង \(b\) ៖
\(y_p' = a\)។ ជំនួសចូល \((E)\) ៖
\(a + 2(ax + b) = 4x \iff 2ax + (a + 2b) = 4x\)
\(\implies \begin{cases} 2a = 4 \implies a = 2 \\ a + 2b = 0 \implies b = -1 \end{cases}\)
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{a = 2, \ b = -1 \ \implies y_p = 2x - 1}\)
ខ ដោះស្រាយសមីការ \((E_0)\) ៖
\(y' + 2y = 0 \implies y_h = Ce^{-2x} \quad{} (C \in \mathbb{R})\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y_h = Ce^{-2x} \quad{} (C \in \mathbb{R})}\)
គ ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) ៖
\(y = y_h + y_p = Ce^{-2x} + 2x - 1\) (\(C \in \mathbb{R}\))។
តាម \(y(0) = 1\) ៖
\(Ce^0 + 2(0) - 1 = 1 \implies C - 1 = 1 \implies C = 2\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = 2e^{-2x} + 2x - 1}\)
គេមានសមីការ \((E) \ : \ y'' - 2y' + 5y = 0\) ៖
សរសេរសមីការសម្គាល់នៃ \((E)\) រួចរកឫស
ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\)
កំណត់ចម្លើយពិសេស \(f(x)\) ដែល \(f(0) = 1\) និង \(f'(0) = 3\)
ដំណោះស្រាយ
ក សមីការសម្គាល់ និងឫស ៖
សមីការសម្គាល់ ៖ \(r^2 - 2r + 5 = 0\)
\(\Delta' = (-1)^2 - 5 = -4 = (2i)^2\)
\(\implies r = 1 \pm 2i\) (\(\alpha = 1, \beta = 2\))។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{r = 1 \pm 2i}\)
ខ ចម្លើយទូទៅនៃសមីការ \((E)\) ៖
\(y = e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) \ (C_1, C_2 \in \mathbb{R})\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)}\)
គ កំណត់ចម្លើយពិសេស \(f(x)\) ៖
\(f(0) = e^0(C_1) = C_1 = 1\)។
\(f'(x) = e^x[(C_1 + 2C_2)\cos 2x + (C_2 - 2C_1)\sin 2x]\)។
\(f'(0) = C_1 + 2C_2 = 3 \implies 1 + 2C_2 = 3 \implies C_2 = 1\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{f(x) = e^x(\cos 2x + \sin 2x)}\)
គេមានសមីការ \((E) \ : \ y'' - 5y' + 6y = 6x - 5\) ៖
កំណត់ពហុធា \(P(x) = ax + b\) ជាចម្លើយពិសេសនៃ \((E)\)
រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ \((E_0) \ : \ y'' - 5y' + 6y = 0\)
ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\)
ដំណោះស្រាយ
ក កំណត់ពហុធា \(P(x)\) ៖
\(P' = a, \ P'' = 0\)។ ជំនួសចូល \((E)\) ៖
\(0 - 5a + 6(ax + b) = 6x - 5\)
\(6ax + (6b - 5a) = 6x - 5\)
\(\implies 6a = 6 \implies a = 1\)
\(6b - 5(1) = -5 \implies 6b = 0 \implies b = 0\)
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{P(x) = x}\)
ខ ដោះស្រាយសមីការ \((E_0)\) ៖
\(r^2 - 5r + 6 = 0 \implies r_1 = 2, \ r_2 = 3\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}}\)
គ ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) ៖
ចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) គឺ ៖
គេឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល \((E) \ : \ 2y' + y = 0\) ៖
ដោះស្រាយសមីការ \((E)\)
កំណត់ \(f(x)\) ដោយដឹងថាក្រាបប៉ះនឹងបន្ទាត់ \(y = -x + 2\) ត្រង់អាប់ស៊ីស \(x = 0\)
ដំណោះស្រាយ
ក ដោះស្រាយសមីការ \((E)\) ៖
\(2y' + y = 0 \iff y' + \dfrac{1}{2}y = 0\)
ចម្លើយទូទៅគឺ ៖
ខ កំណត់អនុគមន៍ចម្លើយ \(f(x)\) ៖
បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(x = 0\) គឺ \(y = -x + 2\)។
នាំឱ្យ \(f(0) = -0 + 2 = 2\)។
ជំនួសចូលក្នុង \(f(x) = Ce^{-\frac{1}{2}x}\) ៖
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{f(x) = 2e^{-\frac{1}{2}x}}\)
គេឱ្យសមីការ \((E) \ : \ y'' + 4y' + 4y = 8e^{2x}\) ៖
រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ \((E_0) \ : \ y'' + 4y' + 4y = 0\)
កំណត់ចំនួនពិត \(A\) ដើម្បីឱ្យ \(y_p = Ae^{2x}\) ជាចម្លើយពិសេសនៃ \((E)\)
ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) រួចកំណត់ចម្លើយដែល \(y(0) = 2\) និង \(y'(0) = 0\)
ដំណោះស្រាយ
ក រកចម្លើយទូទៅនៃ \((E_0)\) ៖
\(r^2 + 4r + 4 = 0 \iff (r+2)^2 = 0 \implies r_0 = -2\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y_h = (C_1 x + C_2)e^{-2x}}\)
ខ កំណត់តម្លៃ \(A\) ៖
\(y_p' = 2Ae^{2x}, \ y_p'' = 4Ae^{2x}\)។ ជំនួសចូល \((E)\) ៖
\((4A + 8A + 4A)e^{2x} = 8e^{2x} \iff 16A = 8 \implies A = \dfrac{1}{2}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{A = \dfrac{1}{2} \ \implies y_p = \dfrac{1}{2}e^{2x}}\)
គ ចម្លើយទូទៅ និងចម្លើយពិសេស ៖
\(y = (C_1 x + C_2)e^{-2x} + \dfrac{1}{2}e^{2x}\)។
\(y(0) = C_2 + \dfrac{1}{2} = 2 \implies C_2 = \dfrac{3}{2}\)។
\(y'(x) = [C_1 - 2(C_1 x + C_2)]e^{-2x} + e^{2x}\)។
\(y'(0) = C_1 - 2C_2 + 1 = 0 \implies C_1 - 3 + 1 = 0 \implies C_1 = 2\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = \left(2x + \dfrac{3}{2}\right)e^{-2x} + \dfrac{1}{2}e^{2x}}\)
គេឱ្យសមីការ \((E) \ : \ y' + 3y = e^{-3x}\) ៖
ដោះស្រាយសមីការអូម៉ូសែន \(y' + 3y = 0\)
តាមវិធីបម្រែបម្រួលចំនួនថេរ ចូររកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ \((E)\)
កំណត់ចម្លើយពិសេសនៃសមីការ \((E)\) ដែល \(y(0) = 5\)
ដំណោះស្រាយ
ក ដោះស្រាយសមីការ \(y' + 3y = 0\) ៖
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y_h = Ce^{-3x} \quad{} (C \in \mathbb{R})}\)
ខ វិធីបម្រែបម្រួលចំនួនថេរ ៖
តាង \(y = C(x)e^{-3x} \implies y' = C'e^{-3x} - 3Ce^{-3x}\)។
ជំនួសចូល \((E)\) ៖
\(C'e^{-3x} - 3Ce^{-3x} + 3Ce^{-3x} = e^{-3x}\)
\(\implies C'(x) = 1 \implies C(x) = x + K\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = (x + K)e^{-3x} \quad{} (K \in \mathbb{R})}\)
គ កំណត់ចម្លើយពិសេស ៖
តាមលក្ខខណ្ឌដើម \(y(0) = 5\) ៖
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = (x + 5)e^{-3x}}\)
គេមានសមីការ \((E) \ : \ y'' + 16y = 4\cos 2x\) ៖
ដោះស្រាយសមីការ \((E_0) \ : \ y'' + 16y = 0\)
កំណត់ចំនួនពិត \(k\) ដើម្បីឱ្យ \(y_p = k\cos 2x\) ជាចម្លើយពិសេសនៃ \((E)\)
សរសេរចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) រួចកំណត់ចម្លើយដែល \(y(0) = 1\) និង \(y'\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0\)
ដំណោះស្រាយ
ក ដោះស្រាយ \((E_0)\) ៖
\(r^2 + 16 = 0 \implies r = \pm 4i\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y_h = C_1\cos 4x + C_2\sin 4x}\)
ខ កំណត់តម្លៃ \(k\) ៖
\(y_p'' = -4k\cos 2x\)។ ជំនួសចូល \((E)\) ៖
\(-4k\cos 2x + 16k\cos 2x = 4\cos 2x \iff 12k = 4 \implies k = \dfrac{1}{3}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{k = \dfrac{1}{3} \ \implies y_p = \dfrac{1}{3}\cos 2x}\)
គ ចម្លើយទូទៅ និងចម្លើយពិសេស ៖
\(y = C_1\cos 4x + C_2\sin 4x + \dfrac{1}{3}\cos 2x\)។
\(y(0) = C_1 + \dfrac{1}{3} = 1 \implies C_1 = \dfrac{2}{3}\)។
\(y'(x) = -4C_1\sin 4x + 4C_2\cos 4x - \dfrac{2}{3}\sin 2x\)។
\(y'\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -4C_2 - \dfrac{2}{3} = 0 \implies C_2 = -\dfrac{1}{6}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = \dfrac{2}{3}\cos 4x - \dfrac{1}{6}\sin 4x + \dfrac{1}{3}\cos 2x}\)
គេឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល \((E) \ : \ y'' = 3y - 2y'\) ៖
ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល \((E)\)
រកចម្លើយពិសេសមួយនៃ \((E)\) ដែល \(y(0) = 1\) និង \(y'(1) = e\) (\(e\) ជាចំនួនពិតដែល \(\ln\,e = 1\))
ដំណោះស្រាយ
ក ដោះស្រាយសមីការ \((E)\) ៖
សមីការសមមូល ៖ \(y'' + 2y' - 3y = 0\)។
សមីការសម្គាល់ ៖ \(r^2 + 2r - 3 = 0\)
\((r - 1)(r + 3) = 0 \implies r_1 = 1, \ r_2 = -3\)។
ចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) គឺ ៖
ខ រកចម្លើយពិសេស ៖
ដេរីវេ ៖ \(y'(x) = C_1 e^x - 3C_2 e^{-3x}\)។
តាមលក្ខខណ្ឌដើម ៖
\(C_1 e - 3(1 - C_1)e^{-3} = e\)
\(\iff C_1(e + 3e^{-3}) = e + 3e^{-3} \implies C_1 = 1\)។
នាំឱ្យ \(C_2 = 1 - 1 = 0\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = e^x}\)
គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល \((E) \ : \ 2y' + y = 0\) ៖
កំណត់ចម្លើយ \(f(x)\) នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល \((E)\) លើ \(\mathbb{R}\)
កំណត់ចម្លើយនៃ \((E)\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ \(a.\; f(1) = 1\) ; \(b.\; f(2) = [f(1)]^2\) ; \(c.\; \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\)
ដំណោះស្រាយ
១ កំណត់ចម្លើយ \(f(x)\) នៃសមីការ \((E)\) ៖
សមីការ \(2y' + y = 0 \iff y' + \dfrac{1}{2}y = 0\)។
ចម្លើយទូទៅលើ \(\mathbb{R}\) គឺ ៖
២ កំណត់ចម្លើយតាមលក្ខខណ្ឌ ៖
\(a.\) បើ \(f(1) = 1 \implies Ce^{-\frac{1}{2}} = 1 \implies C = \sqrt{e}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{f(x) = \sqrt{e}\,e^{-\frac{1}{2}x} = e^{\frac{1-x}{2}}}\)
\(b.\) បើ \(f(2) = [f(1)]^2\) ៖
\(f(2) = Ce^{-1}\) និង \([f(1)]^2 = C^2 e^{-1}\)។
\(Ce^{-1} = C^2 e^{-1} \iff C(1 - C) = 0\)
\(\implies C = 0\) ឬ \(C = 1\)។
ដូចនេះ ៖ \(f(x) = 0\) ឬ \(f(x) = e^{-\frac{1}{2}x}\)
\(c.\) បើ \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\) ៖
ពេល \(x \to -\infty \implies e^{-\frac{1}{2}x} \to +\infty\)។
ដូច្នេះ \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \iff C > 0\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{f(x) = Ce^{-\frac{1}{2}x} \quad{} (\forall C > 0)}\)
គេឱ្យសមីការ \((E) \ : \ y' - 2y = -4x + 6\) ៖
កំណត់ \(m, n\) ដើម្បីឱ្យ \(g(x) = mx + n\) ជាចម្លើយពិសេសនៃ \((E)\)
ដោះស្រាយសមីការ \(y' - 2y = 0\)
ទាញរកចម្លើយទូទៅ រួចកំណត់ចម្លើយដែលក្រាបកាត់តាម \(O(0, 0)\)
ដំណោះស្រាយ
ក កំណត់តម្លៃ \(m\) និង \(n\) ៖
\(g' = m\)។ ជំនួសចូល \((E)\) ៖
\(m - 2(mx + n) = -4x + 6 \iff -2mx + (m - 2n) = -4x + 6\)
\(\implies -2m = -4 \implies m = 2\)
\(m - 2n = 6 \implies 2 - 2n = 6 \implies n = -2\)
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{m = 2, \ n = -2 \ \implies g(x) = 2x - 2}\)
ខ ដោះស្រាយសមីការ \(y' - 2y = 0\) ៖
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y_h = Ce^{2x} \quad{} (C \in \mathbb{R})}\)
គ ចម្លើយទូទៅ និងចម្លើយពិសេស ៖
\(y = Ce^{2x} + 2x - 2\) (\(C \in \mathbb{R}\))។
កាត់តាម \(O(0, 0) \implies Ce^0 - 2 = 0 \implies C = 2\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = 2e^{2x} + 2x - 2}\)
គេឱ្យសមីការ \((E) \ : \ y'' - 6y' + 9y = 0\) ៖
សរសេរសមីការសម្គាល់ និងទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\)
កំណត់អនុគមន៍ចម្លើយ \(f(x)\) ដែល \(f(0) = 2\) និង \(f'(0) = 7\)
សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ \(f(x)\) លើកម្រិត \(\mathbb{R}\)
ដំណោះស្រាយ
ក សមីការសម្គាល់ និងចម្លើយទូទៅ ៖
\(r^2 - 6r + 9 = 0 \iff (r - 3)^2 = 0 \implies r_0 = 3\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = (C_1 x + C_2)e^{3x}}\)
ខ កំណត់អនុគមន៍ \(f(x)\) ៖
\(f(0) = C_2 = 2\)។
\(f'(x) = [C_1 + 3(C_1 x + C_2)]e^{3x}\)។
\(f'(0) = C_1 + 3(2) = 7 \implies C_1 = 1\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{f(x) = (x + 2)e^{3x}}\)
គ សិក្សាអថេរភាពនៃ \(f(x)\) ៖
\(f'(x) = (1 + 3x + 6)e^{3x} = (3x + 7)e^{3x}\)។
ដោយ \(e^{3x} > 0 \implies f'(x) = 0 \iff x = -\dfrac{7}{3}\)។
- លើ \(\left(-\infty, -\dfrac{7}{3}\right)\) ៖ \(f'(x) < 0 \implies f\) ចុះ
- លើ \(\left(-\dfrac{7}{3}, +\infty\right)\) ៖ \(f'(x) > 0 \implies f\) កើន
អប្បបរមាធៀប ៖ \(f\left(-\dfrac{7}{3}\right) = -\dfrac{1}{3}e^{-7}\)។
ដូចនេះ ៖ \(f\) មានអប្បបរមា \(-\dfrac{1}{3}e^{-7}\) ត្រង់ \(x = -\dfrac{7}{3}\)
គេឱ្យសមីការ \((E) \ : \ y'' + 4y = 3\sin x\) ៖
រកចម្លើយទូទៅនៃ \((E_0) \ : \ y'' + 4y = 0\)
រកចំនួនពិត \(A\) ដើម្បីឱ្យ \(y_p = A\sin x\) ជាចម្លើយពិសេសនៃ \((E)\)
ទាញរកចម្លើយទូទៅ រួចកំណត់ចម្លើយដែល \(y(0) = 0\) និង \(y'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1\)
ដំណោះស្រាយ
ក ចម្លើយទូទៅនៃ \((E_0)\) ៖
\(r^2 + 4 = 0 \implies r = \pm 2i\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y_h = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x}\)
ខ កំណត់តម្លៃ \(A\) ៖
\(y_p'' = -A\sin x\)។ ជំនួសចូល \((E)\) ៖
\(-A\sin x + 4A\sin x = 3\sin x \iff 3A = 3 \implies A = 1\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{A = 1 \ \implies y_p = \sin x}\)
គ ចម្លើយទូទៅ និងចម្លើយពិសេស ៖
\(y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x + \sin x\)។
\(y(0) = C_1 = 0\)។
\(y'(x) = 2C_2\cos 2x + \cos x\)។
\(y'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2C_2\cos\pi + \cos\dfrac{\pi}{2} = -2C_2 = 1 \implies C_2 = -\dfrac{1}{2}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = -\dfrac{1}{2}\sin 2x + \sin x}\)
គេមានសមីការ \((E) \ : \ y' + y = \cos x - \sin x\) ៖
បង្ហាញថា \(y_p = \cos x\) ជាចម្លើយពិសេសមួយនៃ \((E)\)
រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ \((E)\)
កំណត់ចម្លើយ \(f(x)\) នៃ \((E)\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(f(\pi) = -2\)
ដំណោះស្រាយ
ក បង្ហាញថា \(y_p = \cos x\) ជាចម្លើយពិសេស ៖
\(y_p' = -\sin x\)។ ជំនួសចូលអង្គខាងឆ្វេងនៃ \((E)\) ៖
\(y_p' + y_p = -\sin x + \cos x = \cos x - \sin x\)
ស្មើអង្គខាងស្តាំនៃ \((E)\) (ពិត)។
ដូចនេះ ៖ \(y_p = \cos x\) ជាចម្លើយពិសេស
ខ រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ \((E)\) ៖
សមីការអូម៉ូសែន ៖ \(y' + y = 0 \implies y_h = Ce^{-x}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = Ce^{-x} + \cos x \quad{} (C \in \mathbb{R})}\)
គ កំណត់អនុគមន៍ \(f(x)\) ៖
តាម \(f(\pi) = -2\) ៖
\(Ce^{-\pi} + \cos\pi = -2 \iff Ce^{-\pi} - 1 = -2\)
\(Ce^{-\pi} = -1 \iff C = -e^{\pi}\)។
ជំនួស \(C\) ចូល ៖ \(f(x) = -e^{\pi}e^{-x} + \cos x\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{f(x) = -e^{\pi - x} + \cos x}\)
គេឱ្យសមីការ \((E) \ : \ y'' + 2y' + 2y = 0\) ៖
រកឫសនៃសមីការសម្គាល់ និងទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\)
រកចម្លើយ \(f(x)\) ដែលក្រាបកាត់តាម \(A(0, 1)\) និងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(A\) ស្របនឹងបន្ទាត់ \(y = x\)
ដំណោះស្រាយ
ក សមីការសម្គាល់ និងចម្លើយទូទៅ ៖
\(r^2 + 2r + 2 = 0 \implies \Delta' = 1 - 2 = -1 = i^2\)
\(\implies r = -1 \pm i\) (\(\alpha = -1, \beta = 1\))។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = e^{-x}(C_1\cos x + C_2\sin x)}\)
ខ កំណត់អនុគមន៍ចម្លើយ \(f(x)\) ៖
កាត់តាម \(A(0, 1) \implies f(0) = C_1 = 1\)។
បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(A\) ស្របនឹង \(y = x \implies f'(0) = 1\)។
\(f'(x) = e^{-x}[(-C_1 + C_2)\cos x - (C_1 + C_2)\sin x]\)។
\(f'(0) = -C_1 + C_2 = 1 \implies -1 + C_2 = 1 \implies C_2 = 2\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{f(x) = e^{-x}(\cos x + 2\sin x)}\)
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
✎ សំណួរទី ៥១–៦០
✎ សំណួរទី ៦១–៧០
✎ សំណួរទី ៧១–៨០
✎ សំណួរទី ៨១–៩០
✎ សំណួរទី ៩១–១០០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២១ អនុវត្តន៍នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី