សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែលំដាប់ទី២

.

ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍

ដំណោះស្រាយ

ក  \(y'' - 9y' = 0\)
សមីការសម្គាល់ ៖ \(r^2 - 9r = 0 \implies r_1 = 0, r_2 = 9\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = C_1 + C_2 e^{9x}}\)

ខ  \(y'' - 3y' + 3y = 0\)
\(r^2 - 3r + 3 = 0 \implies \Delta = -3 < 0 \implies r = \dfrac{3}{2} \pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = e^{\frac{3}{2}x}\left(C_1\cos\dfrac{\sqrt{3}}{2}x + C_2\sin\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)}\)

គ  \(2y'' + 3y' - 2y = 0\)
\(2r^2 + 3r - 2 = 0 \implies r_1 = \dfrac{1}{2}, r_2 = -2\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = C_1 e^{\frac{1}{2}x} + C_2 e^{-2x}}\)

ឃ  \(y'' - 3y' + y = 0\)
\(r^2 - 3r + 1 = 0 \implies r = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = C_1 e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}x} + C_2 e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}x}}\)

ង  \(y'' + 2y' + y = 0\)
\(r^2 + 2r + 1 = 0 \implies r_1 = r_2 = -1\) (ឫសឌុប)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = (C_1 x + C_2)e^{-x}}\)

ច  \(y'' - 2\sqrt{11}y' + 11y = 0\)
\(r^2 - 2\sqrt{11}r + 11 = 0 \implies r_1 = r_2 = \sqrt{11}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = (C_1 x + C_2)e^{x\sqrt{11}}}\)

ឆ  \(y'' - 2y' + y = 0 \implies r = 1\) (ឫសឌុប) ៖
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = (C_1 x + C_2)e^x}\)

ជ  \(y'' + y = 0 \implies r = \pm i\) ៖
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = C_1\cos x + C_2\sin x}\)

ឈ  \(9y'' + 6y' + y = 0 \implies r = -\dfrac{1}{3}\) (ឫសឌុប) ៖
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = (C_1 x + C_2)e^{-\frac{1}{3}x}}\)

ញ  \(y'' - 2y' + 4y = 0 \implies r = 1 \pm i\sqrt{3}\) ៖
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = e^x(C_1\cos x\sqrt{3} + C_2\sin x\sqrt{3})}\)

ដ  \(4y'' + 12y' + 9y = 0 \implies r = -\dfrac{3}{2}\) ៖
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = (C_1 x + C_2)e^{-\frac{3}{2}x}}\)

ឋ  \(9y'' - 12y' + 11y = 0 \implies r = \dfrac{2}{3} \pm i\dfrac{\sqrt{7}}{3}\) ៖
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = e^{\frac{2}{3}x}\left(C_1\cos\dfrac{\sqrt{7}}{3}x + C_2\sin\dfrac{\sqrt{7}}{3}x\right)}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  \(y = C_1 + C_2 e^{9x} \implies y' = 9C_2 e^{9x}\) ៖
\(y(0) = C_1 + C_2 = 3\) និង \(y'(0) = 9C_2 = 1 \implies C_2 = \dfrac{1}{9}, C_1 = \dfrac{26}{9}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = \dfrac{26}{9} + \dfrac{1}{9}e^{9x}}\)

ខ  \(y = e^{\frac{3}{2}x}\left(C_1\cos\dfrac{\sqrt{3}}{2}x + C_2\sin\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\) ៖
\(y(0) = C_1 = 0\)។
\(y' = C_2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \implies C_2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 11 \implies C_2 = \dfrac{22\sqrt{3}}{3}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = \dfrac{22\sqrt{3}}{3}e^{\frac{3}{2}x}\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)}\)

គ  \(y = C_1 e^{\frac{1}{2}x} + C_2 e^{-2x}\) ៖
\(y(0) = C_1 + C_2 = 12\)។
\(y'(0) = \dfrac{1}{2}C_1 - 2C_2 = -3\)។
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ៖ \(C_1 = \dfrac{42}{5}, C_2 = \dfrac{18}{5}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = \dfrac{42}{5}e^{\frac{1}{2}x} + \dfrac{18}{5}e^{-2x}}\)

ឃ  \(r = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\) ៖
\(y = C_1 e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}x} + C_2 e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}x}\)។
\(y(0) = C_1 + C_2 = -7\)។
\(y'(0) = \dfrac{3}{2}(C_1+C_2) + \dfrac{\sqrt{5}}{2}(C_1-C_2) = 11\)
\(\implies C_1 = \dfrac{-35+43\sqrt{5}}{10}, \ C_2 = \dfrac{-35-43\sqrt{5}}{10}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = e^{\frac{3}{2}x}\left(-7\cosh\frac{\sqrt{5}}{2}x + \frac{43\sqrt{5}}{5}\sinh\frac{\sqrt{5}}{2}x\right)}\)

ង  \(y = (C_1 x + C_2)e^{-x}\) ៖
\(y(0) = C_2 = 15\)។
\(y'(0) = C_1 - C_2 = -2 \implies C_1 = 13\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = (13x + 15)e^{-x}}\)

ច  \(r = \sqrt{11}\) (ឫសឌុប) ៖
\(y = (C_1 x + C_2)e^{x\sqrt{11}}\)។
\(y(0) = C_2 = 5\)។
\(y'(0) = C_1 + C_2\sqrt{11} = -7 \implies C_1 = -7 - 5\sqrt{11}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = \left((-7-5\sqrt{11})x + 5\right)e^{x\sqrt{11}}}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  \(r = \pm 1 \implies y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\) ៖
\(y(0) = C_1 + C_2 = 1, \ y'(0) = C_1 - C_2 = -2\)
\(\implies C_1 = -\dfrac{1}{2}, \ C_2 = \dfrac{3}{2}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = -\dfrac{1}{2}e^x + \dfrac{3}{2}e^{-x}}\)

ខ  \(r = 1 \pm i\sqrt{2}\) ៖
\(y = e^x(C_1\cos x\sqrt{2} + C_2\sin x\sqrt{2})\)។
\(y(0) = C_1 = 2\)។
\(y'(0) = C_1 + C_2\sqrt{2} = 1 \implies C_2 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = e^x\left(2\cos x\sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x\sqrt{2}\right)}\)

គ  \(r = 1, 2 \implies y = C_1 e^{x-1} + C_2 e^{2(x-1)}\) ៖
\(y(1) = C_1 + C_2 = 1\)។
\(y'(1) = C_1 + 2C_2 = 3 \implies C_2 = 2, C_1 = -1\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = -e^{x-1} + 2e^{2(x-1)}}\)

ឃ  \(r = -\dfrac{1}{2}\) (ឫសឌុប) ៖
\(y = (C_1 x + C_2)e^{-\frac{1}{2}x}\)។
\(y(0) = C_2 = 0\)។
\(y'(0) = C_1 = 1\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = x e^{-\frac{1}{2}x}}\)

ង  \(y'' + 4y = 0 \implies r = \pm 2i\) ៖
\(y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x\)។
\(y(0) = C_1 = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)។
\(y'(0) = 2C_2 = 3\sqrt{2} \implies C_2 = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}(\cos 2x + \sin 2x)}\)

ច  \(r = \pm i \implies y = C_1\cos x + C_2\sin x\) ៖
\(y(\pi/2) = C_2 = 3\)។
\(y'(\pi/2) = -C_1 = 2 \implies C_1 = -2\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = -2\cos x + 3\sin x}\)

ឆ  \(r = \pm 3 \implies y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}\) ៖
\(y(\ln 2) = 8C_1 + \dfrac{1}{8}C_2 = 1\)។
\(y'(\ln 2) = 24C_1 - \dfrac{3}{8}C_2 = -3\)។
\(\implies C_1 = 0, \ C_2 = 8\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = 8e^{-3x}}\)

ជ  \(r = -3 \pm 2i\) ៖
\(y = e^{-3x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)\)។
\(y(0) = C_1 = 1\)។
\(y'(0) = -3C_1 + 2C_2 = 0 \implies C_2 = \dfrac{3}{2}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = e^{-3x}\left(\cos 2x + \dfrac{3}{2}\sin 2x\right)}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  \(y'' + 4y = 0 \implies r = \pm 2i\) ៖
\(y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x\)។
\(y(0) = C_1 = 1 \ , \ y'(0) = 2C_2 = -1 \implies C_2 = -\dfrac{1}{2}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = \cos 2x - \dfrac{1}{2}\sin 2x}\)

ខ  \(y'' - 2y' + 5y = 10\cos x\) ៖
\(r = 1 \pm 2i \implies y_h = e^x(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)\)។
យក \(y_p = A\cos x + B\sin x \implies A = 2, B = -1\)។
ដូចនេះ ៖
\(\boxed{y = e^x(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x) + 2\cos x - \sin x}\)

គ  \(y'' + 4y = \sin x \ , \ y(0) = 1 \ , \ y'(0) = 2\) ៖
\(y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x + \dfrac{1}{3}\sin x\)។
\(y(0) = C_1 = 1 \ , \ y'(0) = 2C_2 + \dfrac{1}{3} = 2 \implies C_2 = \dfrac{5}{6}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = \cos 2x + \dfrac{5}{6}\sin 2x + \dfrac{1}{3}\sin x}\)

ឃ  \(y'' + 4y' + 5y = 35e^{-4x}\) ៖
\(r = -2 \pm i \implies y_h = e^{-2x}(C_1\cos x + C_2\sin x)\)។
\(y_p = 7e^{-4x} \implies y = e^{-2x}(C_1\cos x + C_2\sin x) + 7e^{-4x}\)។
\(y(0) = -3 \implies C_1 = -10 \ , \ y'(0) = 1 \implies C_2 = 9\)។
ដូចនេះ ៖
\(\boxed{y = e^{-2x}(-10\cos x + 9\sin x) + 7e^{-4x}}\)

ង  \(y'' - 2y' + 5y = 0\) ៖
\(r = 1 \pm 2i \implies y = e^x(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)\)។
\(y(0) = -1 \implies C_1 = -1 \ , \ y'(0) = 1 \implies C_2 = 1\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = e^x(-\cos 2x + \sin 2x)}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  សមីការសម្គាល់ ៖
\(r^2 + 5r + 6 = 0 \iff (r+2)(r+3) = 0\)
\(\implies r_1 = -2, \ r_2 = -3\)។
ដូចនេះ ចម្លើយទូទៅគឺ ៖
\(\boxed{y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} \quad{} (C_1, C_2 \in \mathbb{R})}\)

ខ  ប៉ះនឹងបន្ទាត់ \((D) \colon y = x - 1\) ត្រង់ \(x = 0\) ៖
\(y(0) = -1\) និង \(y'(0) = 1\)។
\(y(0) = C_1 + C_2 = -1\)
\(y'(0) = -2C_1 - 3C_2 = 1\)
\(\implies C_1 = -2, \ C_2 = 1\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = -2e^{-2x} + e^{-3x}}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  រកសំណុំចម្លើយនៃ \((E)\) ៖
\(y' - y\ln 3 = 0 \iff \dfrac{y'}{y} = \ln 3\)
\(\implies \ln|y| = x\ln 3 + C_0 \implies y = C e^{x\ln 3}\)
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = C \cdot 3^x \quad{} (C \in \mathbb{R})}\)

ខ  កំណត់ \(f\) ដោយដឹងថា \(f(1) = 2\) ៖
\(f(x) = C \cdot 3^x \implies f(1) = 3C = 2 \implies C = \dfrac{2}{3}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{f(x) = \dfrac{2}{3} \cdot 3^x = 2 \cdot 3^{x-1}}\)

គ  បង្ហាញថា \(g(x) = 3^{x-1}\) ជាចម្លើយនៃ \((E)\) ៖
\(g'(x) = (3^{x-1})' = 3^{x-1} \ln 3\)។
ជំនួសចូល \((E)\) ៖
\(g'(x) - g(x)\ln 3 = 3^{x-1}\ln 3 - 3^{x-1}\ln 3 = 0\) (ពិត)។
ដូចនេះ \(g(x) = 3^{x-1}\) ជាចម្លើយនៃ \((E)\)។

ដំណោះស្រាយ

ក  ដោយ \(g = f' \implies g' = f''\) ៖
ជំនួសចូល \(f'' + 2f' = 0\) គេបាន ៖
\(g' + 2g = 0\) (ពិត)។
ដូចនេះ \(g\) ជាចម្លើយនៃ \(g' + 2g = 0\)។

ខ  ដោះស្រាយ \(g' + 2g = 0\) ៖
\(g(x) = C_1 e^{-2x} \quad{} (C_1 \in \mathbb{R})\)។
ដោយ \(f'(x) = g(x) = C_1 e^{-2x}\) នោះ ៖
\(f(x) = \int C_1 e^{-2x}\,dx = -\dfrac{C_1}{2}e^{-2x} + C_2\)។
តាង \(A = -\dfrac{C_1}{2}\) និង \(B = C_2\) ៖
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{f(x) = A e^{-2x} + B \quad{} (A, B \in \mathbb{R})}\)

គ  ផ្ទៀងផ្ទាត់តាមសមីការសម្គាល់ ៖
\(r^2 + 2r = 0 \iff r(r + 2) = 0 \implies r_1 = 0, \ r_2 = -2\)។
ចម្លើយទូទៅគឺ ៖
\(f(x) = A e^{-2x} + B e^{0x} = A e^{-2x} + B\)។
ចម្លើយទាំងពីរវិធីដូចគ្នាទាំងស្រុង។

ដំណោះស្រាយ

ក  សមីការសម្គាល់នៃ \((E_1)\) ៖
\(r^2 - 3r + 2 = 0 \iff (r-1)(r-2) = 0\)
\(\implies r_1 = 1, \ r_2 = 2\)។
ចម្លើយទូទៅគឺ ៖ \(y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}\)។
អនុវត្តលក្ខខណ្ឌ \(f(0) = 3\) និង \(f'(0) = 4\) ៖
\(\begin{cases} f(0) = C_1 + C_2 = 3 \\ f'(0) = C_1 + 2C_2 = 4 \end{cases}\)
\(\implies C_2 = 1, \ C_1 = 2\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{f(x) = 2e^x + e^{2x}}\)

ខ  រក \(a\) និង \(b\) ដើម្បីឱ្យ \(g(x) = ax + b\) ជាចម្លើយ \((E)\) ៖
គណនាដេរីវេ ៖ \(g'(x) = a\) និង \(g''(x) = 0\)។
ជំនួសចូលសមីការ \((E)\) ៖
\(0 - 3(a) + 2(ax + b) = 2x + 1\)
\(2ax + (2b - 3a) = 2x + 1\)។
ផ្ទឹមមេគុណអង្គទាំងពីរ ៖
\(\begin{cases} 2a = 2 \implies a = 1 \\ 2b - 3a = 1 \implies 2b = 4 \implies b = 2 \end{cases}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{a = 1 \ , \ b = 2}\) (ហើយ \(g(x) = x + 2\))

ដំណោះស្រាយ

ក  សមីការសម្គាល់ ៖
\(r^2 - 6r + 8 = 0 \iff (r - 2)(r - 4) = 0\)
\(\implies r_1 = 2, \ r_2 = 4\)។
ដូចនេះ ចម្លើយទូទៅគឺ ៖
\(\boxed{y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{4x} \quad{} (C_1, C_2 \in \mathbb{R})}\)

ខ  ប៉ះនឹងបន្ទាត់ដេកត្រង់ \(E(0, -1)\) ៖
បន្ទាត់ដេកមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(0\)។
គេបាន \(g(0) = -1\) និង \(g'(0) = 0\)។
\(g'(x) = 2C_1 e^{2x} + 4C_2 e^{4x}\)។
\(\begin{cases} g(0) = C_1 + C_2 = -1 \\ g'(0) = 2C_1 + 4C_2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} C_1 + C_2 = -1 \\ C_1 + 2C_2 = 0 \end{cases}\)
\(\implies C_2 = 1, \ C_1 = -2\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{g(x) = -2e^{2x} + e^{4x}}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  សមីការសម្គាល់នៃ \((F)\) ៖
\(r^2 - 2r + 5 = 0 \implies \Delta' = 1 - 5 = -4 = (2i)^2\)
\(\implies r = 1 \pm 2i\)។
ចម្លើយទូទៅ ៖ \(y = e^x(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)\)។
\(y(0) = C_1 = 2\)។
\(y'(0) = C_1 + 2C_2 = 6 \implies 2 + 2C_2 = 6 \implies C_2 = 2\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = 2e^x(\cos 2x + \sin 2x)}\)

ខ  ស្វែងរក \(n, p, q\) ៖
\(y = 2x^2 + 3x + 1 \implies y' = 4x + 3, \ y'' = 4\)។
ជំនួសចូល \((E)\) ៖
\(4 - 2(4x + 3) + 5(2x^2 + 3x + 1) = nx^2 + px + q\)
\(10x^2 + 7x + 3 = nx^2 + px + q\)
\(\implies n = 10, \ p = 7, \ q = 3\)។
ដូចនេះ ចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) គឺ ៖
\(\boxed{y = e^x(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x) + 2x^2 + 3x + 1}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  សមីការសម្គាល់នៃ \((E)\) ៖
\(r^2 - 4r + 5 = 0 \implies \Delta' = 4 - 5 = -1 = i^2\)
\(\implies r = 2 \pm i\)។
ដូចនេះ ចម្លើយទូទៅគឺ ៖
\(\boxed{y_g = e^{2x}(C_1\cos x + C_2\sin x) \quad{} (C_1, C_2 \in \mathbb{R})}\)

ខ  រក \(a\) និង \(b\) ៖
\(y_p' = -a\sin x + b\cos x, \ y_p'' = -a\cos x - b\sin x\)។
ជំនួសចូល \((F)\) ៖
\(y_p'' - 4y_p' + 5y_p = (4a - 4b)\cos x + (4a + 4b)\sin x\)
\(\begin{cases} 4a - 4b = 4 \\ 4a + 4b = -12 \end{cases} \iff \begin{cases} a - b = 1 \\ a + b = -3 \end{cases} \implies a = -1, \ b = -2\)។
ដូចនេះ \(y_p = -\cos x - 2\sin x\)។
ចម្លើយទូទៅនៃ \((F)\) គឺ ៖
\(\boxed{y = e^{2x}(C_1\cos x + C_2\sin x) - \cos x - 2\sin x}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  សមីការសម្គាល់នៃ \((E_2)\) ៖
\(-r^2 - r + 6 = 0 \iff r^2 + r - 6 = 0\)
\(\iff (r - 2)(r + 3) = 0 \implies r_1 = 2, \ r_2 = -3\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x}}\)

ខ  រកពហុធា \(p(x) = ax^2 + bx + c\) ៖
\(p'(x) = 2ax + b, \ p''(x) = 2a\)។
ជំនួសចូល \((E_1)\) ៖
\(-2a - (2ax + b) + 6(ax^2 + bx + c) = 6x^2 - 2x + 4\)
\(6ax^2 + (6b - 2a)x + (6c - 2a - b) = 6x^2 - 2x + 4\)
\(\begin{cases} 6a = 6 \implies a = 1 \\ 6b - 2 = -2 \implies b = 0 \\ 6c - 2 = 4 \implies c = 1 \end{cases}\)។
ដូចនេះ \(p(x) = x^2 + 1\)។
ចម្លើយទូទៅនៃ \((E_1)\) គឺ ៖
\(\boxed{y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x} + x^2 + 1}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  រកអនុគមន៍ថេរ \(k\) ៖
\(y = k \implies y' = 0, \ y'' = 0\)។
ជំនួសចូល \((E) \implies 2k = 4 \implies k = 2\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{k = 2}\)

ខ  ដោះស្រាយសមីការ \((E)\) ៖
សមីការសម្គាល់ ៖ \(r^2 - 4r + 2 = 0 \implies \Delta' = 2\)
\(\implies r = 2 \pm \sqrt{2}\)។
ដូចនេះ ចម្លើយទូទៅគឺ ៖
\(\boxed{y = C_1 e^{(2+\sqrt{2})x} + C_2 e^{(2-\sqrt{2})x} + 2}\)

គ  រកចម្លើយពិសេស ៖
\(y(0) = C_1 + C_2 + 2 = 2\sqrt{2} \implies C_1 + C_2 = 2\sqrt{2} - 2\)។
\(y'(0) = (2+\sqrt{2})C_1 + (2-\sqrt{2})C_2 = 0\)
\(\implies 2(C_1+C_2) + \sqrt{2}(C_1-C_2) = 0\)
\(\implies C_1 - C_2 = 2\sqrt{2} - 4\)។
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ៖ \(C_1 = 2\sqrt{2} - 3, \ C_2 = 1\)។
ដូចនេះ ៖
\(\boxed{y = (2\sqrt{2}-3)e^{(2+\sqrt{2})x} + e^{(2-\sqrt{2})x} + 2}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  សមីការសម្គាល់ ៖
\(r^2 + 3r = 0 \iff r(r+3) = 0 \implies r_1 = 0, \ r_2 = -3\)។
ដូចនេះ ឫសគឺ ៖ \(\boxed{r_1 = 0 \ , \ r_2 = -3}\)

ខ  រក \(g(x) = ax\) ៖
\(g'(x) = a, \ g''(x) = 0 \implies 3a = 5 \implies a = \dfrac{5}{3}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{g(x) = \dfrac{5}{3}x}\)

គ  ចម្លើយទូទៅនៃសមីការ ៖
\(\boxed{y = C_1 + C_2 e^{-3x} + \dfrac{5}{3}x \quad{} (C_1, C_2 \in \mathbb{R})}\)

ឃ  រកចម្លើយពិសេស ៖
\(y'(x) = -3C_2 e^{-3x} + \dfrac{5}{3}\)។
\(y'(1) = -3C_2 e^{-3} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{2}{3} \implies C_2 = \dfrac{e^3}{3}\)។
\(y(0) = C_1 + C_2 = C_1 + \dfrac{e^3}{3} = e^3 \implies C_1 = \dfrac{2e^3}{3}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y = \dfrac{e^3}{3}(2 + e^{-3x}) + \dfrac{5}{3}x}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  តាង \(p(x) = ax^2 + bx + c\) ៖
\(p'(x) = 2ax + b, \ p''(x) = 2a\)។
ជំនួសចូល \((E)\) ៖
\(2ax^2 + (2b - 6a)x + (2a - 3b + 2c) = 2x^2 - 5x + 3\)
\(\begin{cases} 2a = 2 \implies a = 1 \\ 2b - 6 = -5 \implies b = \dfrac{1}{2} \\ 2 - \dfrac{3}{2} + 2c = 3 \implies c = \dfrac{5}{4} \end{cases}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{p(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{4}}\)

ខ  បង្ហាញថា \(f\) ជាចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) ៖
\(h'' - 3h' + 2h = (f - p)'' - 3(f - p)' + 2(f - p)\)
\(= (f'' - 3f' + 2f) - (p'' - 3p' + 2p) = 0\)
\(\iff f'' - 3f' + 2f = p'' - 3p' + 2p = 2x^2 - 5x + 3\)។
សមីការសម្គាល់នៃ \(h\) គឺ \(r^2 - 3r + 2 = 0 \implies r = 1, 2\)។
\(\implies h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}\)។
ដូចនេះ ៖
\(\boxed{f(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{4}}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  គណនាដេរីវេ ៖
\(\phi'(x) = \alpha\cos x - \alpha x\sin x\)
\(\phi''(x) = -2\alpha\sin x - \alpha x\cos x\)។
ជំនួសចូល \((E) \implies -2\alpha\sin x = \sin x \implies \alpha = -\dfrac{1}{2}\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{\alpha = -\dfrac{1}{2}}\) \((\phi(x) = -\dfrac{1}{2}x\cos x)\)

ខ  បង្ហាញសមភាព ៖
\((f - \phi)'' + (f - \phi) = (f'' + f) - (\phi'' + \phi)\)
\(= \sin x - \sin x = 0\) (ពិត)។

គ  ដោះស្រាយ \(y'' + y = 0\) ៖
\(r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i\)។
\(\implies y = C_1\cos x + C_2\sin x\)។
ទាញរក \(f(x)\) ៖
\(f(x) - \phi(x) = C_1\cos x + C_2\sin x\)
\(\implies f(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \phi(x)\)។
ដូចនេះ ៖
\(\boxed{f(x) = C_1\cos x + C_2\sin x - \dfrac{1}{2}x\cos x}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  សមីការសម្គាល់នៃ \((E)\) ៖
\(2r^2 - 3r + 1 = 0 \iff (2r - 1)(r - 1) = 0\)
\(\implies r_1 = 1, \ r_2 = \dfrac{1}{2}\)។
ដូចនេះ ចម្លើយទូទៅគឺ ៖
\(\boxed{y = C_1 e^x + C_2 e^{\frac{1}{2}x} \quad{} (C_1, C_2 \in \mathbb{R})}\)

ខ  ប៉ះនឹងបន្ទាត់ \((d) \colon y = -\dfrac{1}{2}x\) ត្រង់ \(O(0,0)\) ៖
\(g(0) = 0\) និង \(g'(0) = -\dfrac{1}{2}\)។
\(g(0) = C_1 + C_2 = 0 \implies C_2 = -C_1\)។
\(g'(x) = C_1 e^x + \dfrac{1}{2}C_2 e^{\frac{1}{2}x} \implies g'(0) = C_1 + \dfrac{1}{2}C_2 = -\dfrac{1}{2}\)។
\(C_1 - \dfrac{1}{2}C_1 = -\dfrac{1}{2} \implies \dfrac{1}{2}C_1 = -\dfrac{1}{2} \implies C_1 = -1, \ C_2 = 1\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{g(x) = -e^x + e^{\frac{1}{2}x}}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  សមីការសម្គាល់ ៖
\(r^2 - 5r + 6 = 0 \iff (r-2)(r-3) = 0\)
\(\implies r_1 = 2, \ r_2 = 3\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y_g = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}}\)

ខ  រក \(a, b, c\) ៖
\(y_p' = 2ax + b, \ y_p'' = 2a\)។
ជំនួសចូល \((E) \implies 6ax^2 + (6b - 10a)x + (2a - 5b + 6c) = x^2 + x\)
\(\begin{cases} 6a = 1 \implies a = 1/6 \\ 6b - 10a = 1 \implies b = 4/9 \\ 2a - 5b + 6c = 0 \implies c = 17/54 \end{cases}\)
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{a = \dfrac{1}{6} \ , \ b = \dfrac{4}{9} \ , \ c = \dfrac{17}{54}}\)

គ  ចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) ៖
\(\boxed{y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + \dfrac{1}{6}x^2 + \dfrac{4}{9}x + \dfrac{17}{54}}\)

ដំណោះស្រាយ

ក  សមីការសម្គាល់ ៖
\(r^2 - 6r + 5 = 0 \iff (r - 1)(r - 5) = 0\)
\(\implies r_1 = 1, \ r_2 = 5\)។
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{y_h = C_1 e^x + C_2 e^{5x}}\)

ខ  កំណត់ \(A\) និង \(B\) ៖
\(y_p' = e^{2x}(2Ax + 2B + A)\)
\(y_p'' = e^{2x}(4Ax + 4B + 4A)\)។
ជំនួសចូល \((E) \implies e^{2x}[-3Ax - (2A + 3B)] = xe^{2x}\)
\(\begin{cases} -3A = 1 \implies A = -1/3 \\ -2A - 3B = 0 \implies B = 2/9 \end{cases}\)
ដូចនេះ ៖ \(\boxed{A = -\dfrac{1}{3} \ , \ B = \dfrac{2}{9}}\)

គ  បង្ហាញថា \(y = y_h + y_p\) ជាចម្លើយនៃ \((E)\) ៖
\((y_h + y_p)'' - 6(y_h + y_p)' + 5(y_h + y_p)\)
\(= (y_h'' - 6y_h' + 5y_h) + (y_p'' - 6y_p' + 5y_p) = 0 + xe^{2x} = xe^{2x}\) (ពិត)។
ចម្លើយទូទៅនៃ \((E)\) គឺ ៖
\(\boxed{y = C_1 e^x + C_2 e^{5x} + e^{2x}\left(-\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{9}\right)}\)

មេរៀនទី ៣ ៖ អនុវត្តន៍នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល