KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១២
  3. មេរៀនទី ៩
៩
ជំពូកទី ៣ ដេរីវេ · មេរៀនទី ៩ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១២

ដេរីវេនៃអនុគមន៍

ដេរីវេ៦ ផ្នែកសំណួរពហុជ្រើសរើស ៥០

ដេរីវេត្រង់ចំណុចមួយ

អត្រាកំណើនមធ្យម និងអត្រាកំណើនខណៈ

ឧបមាថា \(y = f(x)\) ជាអនុគមន៍កំណត់លើចន្លោះបើក \(I\) ហើយ \(x_0, x_0 + \Delta x \in I\)។

  • កំណើននៃអថេរ \(x\) គឺ \(\Delta x = x - x_0\) (ឬតាងដោយ \(h\))។

  • កំណើននៃអនុគមន៍ \(y\) គឺ \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f(x_0 + h) - f(x_0)\)។

  • ផលធៀប \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\) ហៅថា អត្រាកំណើនមធ្យម នៃអនុគមន៍ \(f\) ចន្លោះ \(x_0\) និង \(x_0 + \Delta x\)។

  • លីមីតនៃអត្រាកំណើនមធ្យមនេះ កាលណា \(\Delta x \to 0\) (បើមាន) ហៅថា អត្រាកំណើនខណៈ ឬ ចំនួនដេរីវេ នៃអនុគមន៍ \(f\) ត្រង់ចំណុច \(x_0\)។

និយមន័យដេរីវេត្រង់ចំណុចមួយ

ដេរីវេត្រង់ចំណុចមួយ \(x_0\)

បើ \(f\) ជាអនុគមន៍កំណត់លើចន្លោះ \(I\) ហើយ \(x_0 \in I\)។ ចំនួនដេរីវេនៃ \(f\) ត្រង់ \(x_0\) (បើមាន) គឺតាងដោយ \(f'(x_0)\) ហើយកំណត់ដោយ៖

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

ឧទាហរណ៍

ដោយប្រើនិយមន័យ ចូរគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍នីមួយៗខាងក្រោមត្រង់ចំណុច \(x_0\) ដែលបានកំណត់៖

  1. \(f(x) = 2x^2 + 3x\) ត្រង់ \(x_0 = 2\)

  2. \(f(x) = \dfrac{x+1}{2x-1}\) ត្រង់ \(x_0 = 1\)

  3. \(f(x) = \sqrt{2x+1}\) ត្រង់ \(x_0 = 4\)

ដំណោះស្រាយ

  1. ចំពោះ \(f(x) = 2x^2 + 3x\) ត្រង់ \(x_0 = 2\)៖ គេមាន \(f(2) = 2(2)^2 + 3(2) = 8 + 6 = 14\)។ តាមនិយមន័យ៖

    \[f'(2) = \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{2x^2 + 3x - 14}{x - 2}\]
    ដោយ \(2x^2 + 3x - 14 = (x-2)(2x+7)\) នោះ៖
    \[f'(2) = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(2x+7)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (2x+7) = 2(2) + 7 = 11\]

  2. ចំពោះ \(f(x) = \dfrac{x+1}{2x-1}\) ត្រង់ \(x_0 = 1\)៖ គេមាន \(f(1) = \dfrac{1+1}{2(1)-1} = 2\)។

    \[f'(1) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{(1+h)+1}{2(1+h)-1} - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{h+2}{2h+1} - 2}{h}\]
    \[= \lim_{h \to 0} \dfrac{h+2 - 2(2h+1)}{h(2h+1)} = \lim_{h \to 0} \dfrac{-3h}{h(2h+1)} = \lim_{h \to 0} \dfrac{-3}{2h+1} = -3\]

  3. ចំពោះ \(f(x) = \sqrt{2x+1}\) ត្រង់ \(x_0 = 4\)៖ គេមាន \(f(4) = \sqrt{2(4)+1} = \sqrt{9} = 3\)។

    \[f'(4) = \lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{2x+1} - 3}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \dfrac{(\sqrt{2x+1}-3)(\sqrt{2x+1}+3)}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)}\]
    \[= \lim_{x \to 4} \dfrac{2x+1-9}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)} = \lim_{x \to 4} \dfrac{2(x-4)}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)} = \dfrac{2}{\sqrt{9}+3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\]

ន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ និងសមីការបន្ទាត់ប៉ះ

ន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ

ជាទូទៅ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(y = f(x)\) ត្រង់ចំណុច \(x_0\) គឺ \(f'(x_0)\) ជាមេគុណប្រាប់ទិស (ជម្រាល) នៃបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) នឹងក្រាបតាងអនុគមន៍ \(f\) ត្រង់ចំណុច \(M_0(x_0, f(x_0))\)៖

\[m = f'(x_0) = \tan\alpha\]
ដែល \(\alpha\) ជាមុំរវាងបន្ទាត់ប៉ះ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអាប់ស៊ីស \(x'Ox\)។

សម្រាយបញ្ជាក់៖ យកចំណុច \(M_0(x_0, f(x_0))\) និងចំណុច \(M(x, f(x))\) នៅលើក្រាប \((C)\) នៃអនុគមន៍ \(f\) (\(x \neq x_0\))។ បន្ទាត់កាត់ \((M_0M)\) មានមេគុណប្រាប់ទិស៖

\[m_{\text{កាត់}} = \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \tan\alpha_{\text{កាត់}}\]
នៅពេលចំណុច \(M\) រំកិលខិតជិតចំណុច \(M_0\) តាមបណ្តោយខ្សែកោង \((C)\) (ពោលគឺ \(x \to x_0\)) នោះបន្ទាត់កាត់ \((M_0M)\) នឹងប្រែក្លាយទៅជាបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) ត្រង់ចំណុច \(M_0\)។ ហេតុនេះ មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) គឺ៖
\[m = \lim_{x \to x_0} m_{\text{កាត់}} = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) = \tan\alpha \quad{} \blacksquare\]

សមីការបន្ទាត់ប៉ះ និងបន្ទាត់ណរម៉ាល់

ជាទូទៅ

គេឱ្យខ្សែកោង \((C) : y = f(x)\) និងចំណុច \(M_0(x_0, y_0) \in (C)\) ដែល \(y_0 = f(x_0)\)៖

  • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) ត្រង់ \(M_0\) គឺ៖

    \[(T) : y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \iff y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0\]

  • សមីការបន្ទាត់ណរម៉ាល់ \((N)\) (បន្ទាត់កែងនឹងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចប៉ះ) គឺ៖

    \[(N) : y - y_0 = -\dfrac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) \quad{} (\text{ចំពោះ } f'(x_0) \neq 0)\]

សម្រាយបញ្ជាក់៖

  • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\)៖ បន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) កាត់តាមចំណុច \(M_0(x_0, y_0)\) និងមានមេគុណប្រាប់ទិស \(m = f'(x_0)\)។ តាមរូបមន្តសមីការបន្ទាត់កាត់តាមមួយចំណុចដែលមានមេគុណប្រាប់ទិស \(m\) គឺ \(y - y_0 = m(x - x_0)\) គេបាន \((T) : y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\)។

  • សមីការបន្ទាត់ណរម៉ាល់ \((N)\)៖ បន្ទាត់ណរម៉ាល់ \((N)\) កាត់តាមចំណុច \(M_0(x_0, y_0)\) ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\)។ តាមលក្ខខណ្ឌបន្ទាត់កែងគ្នា ផលគុណមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(-1\)៖

    \[m_N \cdot m_T = -1 \iff m_N \cdot f'(x_0) = -1 \implies m_N = -\dfrac{1}{f'(x_0)} \quad{} (f'(x_0) \neq 0)\]
    ដូចនេះ សមីការបន្ទាត់ណរម៉ាល់គឺ \((N) : y - y_0 = -\dfrac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)\)។ \(\blacksquare\)

ករណីពិសេសនៃសមីការបន្ទាត់ប៉ះ

  • បន្ទាត់ប៉ះដេក (Horizontal Tangent)៖ កាលណា \(f'(x_0) = 0\) នោះបន្ទាត់ប៉ះស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស \(x'Ox\) ហើយមានសមីការ \(y = y_0\)។

  • បន្ទាត់ប៉ះស្របនឹងបន្ទាត់ \((d) : y = ax + b\)៖ បន្ទាត់ប៉ះមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(a \implies f'(x_0) = a\)។ គេដោះស្រាយសមីការនេះដើម្បីរក \(x_0\) រួចទាញរក \(y_0 = f(x_0)\)។

  • បន្ទាត់ប៉ះកែងនឹងបន្ទាត់ \((d) : y = ax + b\) (\(a \neq 0\))៖ ផលគុណមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(-1 \implies f'(x_0) \cdot a = -1 \iff f'(x_0) = -\dfrac{1}{a}\)។

  • បន្ទាត់ប៉ះគូសចេញពីចំណុចក្រៅក្រាប \(A(x_A, y_A)\)៖ បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចប៉ះ \((x_0, f(x_0))\) មានសមីការ \(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\)។ ដោយបន្ទាត់ប៉ះកាត់តាម \(A(x_A, y_A)\) គេបានសមីការ៖

    \[y_A - f(x_0) = f'(x_0)(x_A - x_0)\]
    ដោះស្រាយសមីការនេះទាញរកអាប់ស៊ីសចំណុចប៉ះ \(x_0\) រួចសរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះ។

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) មានក្រាប \((C)\)។

  1. សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) និងបន្ទាត់ណរម៉ាល់ \((N)\) ទៅនឹង \((C)\) ត្រង់ចំណុច \(x_0 = 2\)។

  2. រកចំណុចនៅលើក្រាប \((C)\) ដែលបន្ទាត់ប៉ះជាបន្ទាត់ដេក។

  3. សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹង \((C)\) ដែលស្របនឹងបន្ទាត់ \((d) : y = 9x - 5\)។

ដំណោះស្រាយ

  1. គេមាន \(f(x) = x^3 - 3x + 1 \implies f'(x) = 3x^2 - 3\)។ ត្រង់ \(x_0 = 2\) គេបាន \(y_0 = f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 3\)។ មេគុណប្រាប់ទិសបន្ទាត់ប៉ះគឺ \(f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9\)។ - សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\)៖ \(y - 3 = 9(x - 2) \iff y = 9x - 15\)។ - សមីការបន្ទាត់ណរម៉ាល់ \((N)\)៖ \(y - 3 = -\dfrac{1}{9}(x - 2) \iff y = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{29}{9}\)។

  2. បន្ទាត់ប៉ះជាបន្ទាត់ដេក លុះត្រាតែមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(0\)៖ \(f'(x) = 0 \iff 3x^2 - 3 = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = 1 \) ឬ \( x = -1\)។ - ចំពោះ \(x = 1 \implies y = 1^3 - 3(1) + 1 = -1 \implies A(1, -1)\)។ - ចំពោះ \(x = -1 \implies y = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = 3 \implies B(-1, 3)\)។ ដូចនេះ ចំណុចដែលមានបន្ទាត់ប៉ះដេកគឺ \(A(1, -1)\) និង \(B(-1, 3)\)។

  3. បន្ទាត់ \((d)\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(m = 9\)។ បន្ទាត់ប៉ះស្របនឹង \((d) \iff f'(x_0) = 9 \iff 3x_0^2 - 3 = 9 \iff 3x_0^2 = 12 \iff x_0^2 = 4 \implies x_0 = \pm 2\)។ - ចំពោះ \(x_0 = 2 \implies y_0 = 3 \implies (T_1) : y = 9(x-2)+3 = 9x - 15\)។ - ចំពោះ \(x_0 = -2 \implies y_0 = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -1 \implies (T_2) : y = 9(x+2)-1 = 9x + 17\)។

ភាពមានដេរីវេ និងភាពជាប់

ទ្រឹស្តីបទទំនាក់ទំនងភាពមានដេរីវេ និងភាពជាប់

ជាទូទៅ

បើអនុគមន៍ \(f\) មានដេរីវេត្រង់ \(x_0\) នោះ \(f\) ជាប់ត្រង់ \(x_0\)។

សម្រាយបញ្ជាក់៖ ចំពោះ \(x \neq x_0\) គេអាចសរសេរ \(f(x) - f(x_0) = \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0)\)។ យកលីមីតនៃអង្គទាំងពីរកាលណា \(x \to x_0\)៖

\[\lim_{x \to x_0} [f(x) - f(x_0)] = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot \lim_{x \to x_0} (x - x_0) = f'(x_0) \cdot 0 = 0\]
នាំឱ្យ \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)។ តាមនិយមន័យភាពជាប់ នាំឱ្យ \(f\) ជាប់ត្រង់ \(x_0\)។ \(\blacksquare\)

សម្គាល់

ចំណាំសំខាន់៖ ច្រាសមកវិញ អនុគមន៍ជាប់ត្រង់ចំណុចមួយ មិនប្រាកដថាមានដេរីវេត្រង់ចំណុចនោះឡើយ។

ដេរីវេខាងឆ្វេង ដេរីវេខាងស្តាំ និងករណីគ្មានដេរីវេ

  • ដេរីវេខាងឆ្វេង៖ \(f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

  • ដេរីវេខាងស្តាំ៖ \(f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

លក្ខខណ្ឌ៖ អនុគមន៍ \(f\) មានដេរីវេត្រង់ \(x_0\) លុះត្រាតែ \(f'_-(x_0) = f'_+(x_0) = f'(x_0)\) ជាចំនួនពិតកំណត់។

ករណីដែលអនុគមន៍គ្មានដេរីវេត្រង់ \(x_0\)៖

  1. ចំណុចស្រួច (Corner / Cusp)៖ ដេរីវេខាងឆ្វេង និងដេរីវេខាងស្តាំមានតម្លៃខុសគ្នា (\(f'_-(x_0) \neq f'_+(x_0)\)) ដូចជា \(f(x) = |x|\) ត្រង់ \(x = 0\) ដែល \(f'_-(0) = -1 \neq f'_+(0) = 1\)។

  2. បន្ទាត់ប៉ះឈរ (Vertical Tangent)៖ លីមីតអត្រាកំណើនខិតទៅរក \(\pm\infty\) ដូចជា \(f(x) = \sqrt[3]{x}\) ត្រង់ \(x = 0\)។

  3. អនុគមន៍ដាច់ (Discontinuity)៖ បើ \(f\) មិនជាប់ត្រង់ \(x_0\) នោះ \(f\) គ្មានដេរីវេត្រង់ \(x_0\) ឡើយ។

អនុគមន៍ដេរីវេ និងរូបមន្តគណនា

តារាងរូបមន្តដេរីវេនៃអនុគមន៍គ្រឹះ និងអនុគមន៍បណ្ដាក់

តារាងខាងក្រោមសង្ខេបនូវរូបមន្តដេរីវេគ្រឹះ និងរូបមន្តអនុគមន៍បណ្ដាក់ \(u = u(x)\)៖

អនុគមន៍គ្រឹះ \(y = f(x)\) អនុគមន៍បណ្ដាក់ \(y = f(u)\)
\(y = c\) (ចំនួនថេរ) \(y' = 0\)
\(y = ax + b\) \(y' = a\)
\(y = x^n \ (n \in \mathbb{R})\) \(y' = n x^{n-1}\) \(y = u^n\) \(y' = n u' u^{n-1}\)
\(y = \dfrac{1}{x} \ (x \neq 0)\) \(y' = -\dfrac{1}{x^2}\) \(y = \dfrac{1}{u}\) \(y' = -\dfrac{u'}{u^2}\)
\(y = \sqrt{x} \ (x > 0)\) \(y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) \(y = \sqrt{u} \ (u > 0)\) \(y' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)
\(y = \sin x\) \(y' = \cos x\) \(y = \sin u\) \(y' = u' \cos u\)
\(y = \cos x\) \(y' = -\sin x\) \(y = \cos u\) \(y' = -u' \sin u\)
\(y = \tan x\) \(y' = 1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}\) \(y = \tan u\) \(y' = u'(1+\tan^2 u) = \dfrac{u'}{\cos^2 u}\)
\(y = \cot x\) \(y' = -(1+\cot^2 x) = -\dfrac{1}{\sin^2 x}\) \(y = \cot u\) \(y' = -u'(1+\cot^2 u) = -\dfrac{u'}{\sin^2 u}\)
\(y = e^x\) \(y' = e^x\) \(y = e^u\) \(y' = u' e^u\)
\(y = a^x \ (a > 0, a \neq 1)\) \(y' = a^x \ln a\) \(y = a^u\) \(y' = u' a^u \ln a\)
\(y = \ln x \ (x > 0)\) \(y' = \dfrac{1}{x}\) \(y = \ln |u|\) \(y' = \dfrac{u'}{u}\)
\(y = \log_a x\) \(y' = \dfrac{1}{x \ln a}\) \(y = \log_a |u|\) \(y' = \dfrac{u'}{u \ln a}\)
\(y = \arcsin x\) \(y' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(y = \arcsin u\) \(y' = \dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\)
\(y = \arccos x\) \(y' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(y = \arccos u\) \(y' = -\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\)
\(y = \arctan x\) \(y' = \dfrac{1}{1+x^2}\) \(y = \arctan u\) \(y' = \dfrac{u'}{1+u^2}\)

ប្រមាណវិធីលើដេរីវេ

បើ \(u\) និង \(v\) ជាអនុគមន៍មានដេរីវេលើចន្លោះ \(I\) ហើយ \(k\) ជាចំនួនថេរពិត៖

  1. \((u \pm v)' = u' \pm v'\)

  2. \((k \cdot u)' = k \cdot u'\)

  3. \((u \cdot v)' = u'v + v'u\)

  4. \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2} \quad{} (v \neq 0)\)

បច្ចេកទេសគណនាដេរីវេពិសេស

វិធីសាស្ត្រដេរីវេលោការីត (Logarithmic Differentiation)

ចំពោះអនុគមន៍ដែលមានអថេរទាំងនៅគោល និងស្វ័យគុណ \(y = [u(x)]^{v(x)}\) ឬផលគុណ/ផលចែកស្មុគស្មាញ៖

  1. បំពាក់លោការីតនេពែលើអង្គទាំងពីរ៖ \(\ln y = \ln [u(x)]^{v(x)} = v(x) \cdot \ln u(x)\)។

  2. ធ្វើដេរីវេអង្គទាំងពីរធៀបនឹង \(x\)៖

    \[\dfrac{y'}{y} = v'(x) \ln u(x) + v(x) \cdot \dfrac{u'(x)}{u(x)}\]

  3. ទាញរក \(y'\) ដោយគុណនឹង \(y\)៖

    \[y' = [u(x)]^{v(x)} \left[ v'(x) \ln u(x) + \dfrac{v(x) u'(x)}{u(x)} \right]\]

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អាំភ្លីស៊ីត (Implicit Differentiation)

កាលណាទំនាក់ទំនងរវាង \(x\) និង \(y\) ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ \(F(x, y) = 0\) ដែលមិនអាចទាញ \(y\) ជាកន្សោមនៃ \(x\) ដោយងាយ៖

  1. ធ្វើដេរីវេលើអង្គទាំងពីរនៃសមីការធៀបនឹង \(x\) ដោយចាត់ទុក \(y\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x\) (ប្រើរូបមន្តបណ្ដាក់ \((y^n)' = n y^{n-1} y'\) និង \((f(y))' = f'(y) \cdot y'\))។

  2. ប្រមូលផ្តុំតួដែលមាន \(y'\) ទៅអង្គម្ខាង ហើយតួដែលគ្មាន \(y'\) ទៅអង្គម្ខាងទៀត។

  3. ដាក់ \(y'\) ជាកត្តារួចទាញរកកន្សោមនៃ \(y'\)។

ដេរីវេលំដាប់ខ្ពស់ និងរូបមន្តឡែបនីស

  • ដេរីវេទីមួយ៖ \(f'(x) = \dfrac{df}{dx}\)

  • ដេរីវេទីពីរ៖ \(f''(x) = (f'(x))' = \dfrac{d^2f}{dx^2}\)

  • ដេរីវេទី \(n\)៖ \(f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))' = \dfrac{d^nf}{dx^n}\)

  • រូបមន្តឡែបនីស (Leibniz Formula) សម្រាប់ដេរីវេទី \(n\) នៃផលគុណ \(uv\)៖

    \[(u \cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)} = \binom{n}{0}u^{(n)}v + \binom{n}{1}u^{(n-1)}v' + \dots + \binom{n}{n}u v^{(n)}\]

  1. ដោយប្រើនិយមន័យដេរីវេ គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\) ត្រង់ចំណុច \(x_0 = 1\)។

  2. ដោយប្រើនិយមន័យដេរីវេ គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x) = x^3 - 2x\) ត្រង់ចំណុច \(x_0 = -1\)។

  3. ដោយប្រើនិយមន័យដេរីវេ គណនាដេរីវេនៃ \(f(x) = \dfrac{2x-3}{x+1}\) ត្រង់ចំណុច \(x_0 = 2\)។

  4. ដោយប្រើនិយមន័យ គណនាដេរីវេនៃ \(f(x) = \sqrt{3x+4}\) ត្រង់ចំណុច \(x_0 = 4\)។

  5. ដោយប្រើនិយមន័យ គណនាដេរីវេនៃ \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) ត្រង់ចំណុច \(x_0 = 1\)។

  6. សិក្សាភាពមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x) = |x - 3|\) ត្រង់ចំណុច \(x_0 = 3\)។

  7. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{បើ } x \ge 1 \\ 2x & \text{បើ } x < 1 \end{cases}\)។ សិក្សាភាពមានដេរីវេនៃ \(f\) ត្រង់ \(x_0 = 1\)។

  8. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{បើ } x \le 2 \\ x^2 - 3 & \text{បើ } x > 2 \end{cases}\)។ កំណត់តម្លៃ \(a\) និង \(b\) ដើម្បីឱ្យ \(f\) មានដេរីវេត្រង់ \(x = 2\)។

  9. បង្ហាញថាអនុគមន៍ \(f(x) = x|x|\) មានដេរីវេត្រង់ចំណុច \(x = 0\) រួចគណនា \(f'(0)\)។

  10. ពិនិត្យភាពមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x) = \sqrt[3]{x^2}\) ត្រង់ចំណុច \(x = 0\)។

  11. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍នីមួយៗខាងក្រោម៖

    1. \(f(x) = 4x^5 - 7x^3 + 2x - 9\)

    2. \(g(x) = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{2x^3}{3} + x^2\)

  12. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x) = (3x^2 - 2x + 1)(4x^3 - 5x)\)។

  13. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ប្រភាគសនិទាន \(f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 4}\)។

  14. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x - 1}\)។

  15. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្វ័យគុណ \(f(x) = (5x^3 - 2x + 1)^6\)។

  16. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍អសនិទាន \(f(x) = \sqrt{x^4 + 3x^2 + 7}\)។

  17. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍រ៉ាឌីកាល់ \(f(x) = \sqrt[3]{(2x^2-1)^2}\)។

  18. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x) = x^2 \sqrt{2x+3}\)។

  19. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ \(f(x) = \sin(4x) - \cos(3x) + \tan(2x)\)។

  20. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x) = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x\)។

  21. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសនិទាន \(f(x) = \dfrac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}\)។

  22. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលខាងក្រោម៖

    1. \(f(x) = e^{3x^2 - 4x + 1}\)

    2. \(g(x) = x^3 e^{-2x}\)

  23. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីតខាងក្រោម៖

    1. \(f(x) = \ln(x^2 + 5x + 6)\)

    2. \(g(x) = \ln\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\)

  24. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍គោល \(a\) និងលោការីតគោល \(a\)៖

    1. \(f(x) = 2^{\sin x}\)

    2. \(g(x) = \log_3(x^2+1)\)

  25. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាសនៃត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម៖

    1. \(f(x) = \arcsin(2x)\)

    2. \(g(x) = \arctan(x^2)\)

  26. សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះ និងបន្ទាត់ណរម៉ាល់ទៅនឹងក្រាប \(y = x^3 - 3x^2 + 4\) ត្រង់ចំណុច \(x_0 = 1\)។

  27. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប \(y = \dfrac{2x-1}{x+2}\) ត្រង់ចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប និងអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

  28. រកចំណុចនៅលើក្រាប \(y = x^3 - 3x + 5\) ដែលបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចនោះស្របនឹងបន្ទាត់ \((d) : 9x - y + 2 = 0\)។

  29. សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប \(y = \dfrac{x+2}{x-1}\) ដែលកែងនឹងបន្ទាត់ \((d) : 3x - y + 1 = 0\)។

  30. រកចំណុចទាំងអស់នៅលើខ្សែកោង \(y = x^4 - 2x^2 + 3\) ដែលមានបន្ទាត់ប៉ះដេក។

  31. សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប \(y = x^2 - 4x + 3\) គូសចេញពីចំណុចក្រៅក្រាប \(A(1, -2)\)។

  32. កំណត់តម្លៃនៃ \(a\) និង \(b\) ដើម្បីឱ្យខ្សែកោង \(y = ax^2 + bx + 1\) ប៉ះនឹងបន្ទាត់ \(y = 3x - 2\) ត្រង់ចំណុច \((1, 1)\)។

  33. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះរួមនៃប៉ារ៉ាបូលទាំងពីរ \((P_1) : y = x^2\) និង \((P_2) : y = -x^2 + 4x - 8\)។

  34. បង្ហាញថាបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប \(y = \dfrac{1}{x}\) ត្រង់ចំណុចណាក៏ដោយ បង្កើតបានជាមួយអ័ក្សកូអរដោនែនូវត្រីកោណកែងមួយដែលមានផ្ទៃក្រឡាថេរ។

  35. រកមុំដែលបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប \(y = \sin x\) ត្រង់ចំណុច \(x = 0\) បង្កើតឡើងជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស \(Ox\)។

  36. គណនាដេរីវេអាំភ្លីស៊ីត \(y' = \dfrac{dy}{dx}\) នៃសមីការ \(x^2 + xy + y^2 = 7\)។

  37. គណនា \(y'\) បើ \(x^3 + y^3 - 6xy = 0\) (ខ្សែកោងដេកាត)។

  38. គណនា \(y'\) បើ \(\sin(xy) = x + y\)។

  39. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងរង្វង់ \(x^2 + y^2 = 25\) ត្រង់ចំណុច \(M(3, -4)\)។

  40. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងអេលីប \(\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1\) ត្រង់ចំណុចដែលមានអាប់ស៊ីស \(x = 2\) ក្នុងកាដ្រង់ទីមួយ។

  41. ដោយប្រើដេរីវេលោការីត គណនាដេរីវេនៃ \(y = x^x\) ចំពោះ \(x > 0\)។

  42. ដោយប្រើដេរីវេលោការីត គណនាដេរីវេនៃ \(y = (\sin x)^x\) ចំពោះ \(x \in (0, \pi)\)។

  43. គណនាដេរីវេនៃ \(y = x^{\ln x}\) ចំពោះ \(x > 0\)។

  44. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ \(y = \dfrac{(x-1)^3 \sqrt{x+2}}{(x+3)^4}\) ដោយប្រើវិធីដេរីវេលោការីត។

  45. គណនាដេរីវេទីពីរ \(y''\) នៃសមីការអាំភ្លីស៊ីត \(x^2 + y^2 = 16\) ជាកន្សោមនៃ \(y\)។

  46. គណនាដេរីវេទីមួយ ទីពីរ និងទីបី នៃអនុគមន៍ \(f(x) = (x^2+1)e^x\)។

  47. គណនាដេរីវេទី \(n\) នៃអនុគមន៍ \(f(x) = \dfrac{1}{x+2}\) ចំពោះ \(n \in \mathbb{N}^*\)។

  48. គណនាដេរីវេទី \(n\) នៃអនុគមន៍ \(f(x) = \sin x\) និងទាញរកដេរីវេទី \(n\) នៃ \(g(x) = \sin(ax+b)\)។

  49. គណនាដេរីវេទី \(n\) នៃអនុគមន៍ \(f(x) = \ln(1+x)\) ចំពោះ \(x > -1\)។

  50. ដោយប្រើរូបមន្តឡែបនីស ចូរគណនាដេរីវេទី \(10\) នៃអនុគមន៍ \(f(x) = (x^2 - 3)e^{2x}\)។

ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយ

បើកមើលចម្លើយ និងដំណោះស្រាយលម្អិត
ក. ចម្លើយសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ក ខ គ ខ ក ខ គ ខ ក គ
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ខ ខ ខ គ ក ក គ ខ ក គ
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ខ ក គ ខ គ ខ ខ ក ខ គ
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
ក ខ ក ខ ក ក គ ក ខ គ
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ខ ក ខ ខ ក ខ គ ខ ខ ខ
ខ. ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍

លំហាត់ទី ១ ៖
គេមាន \(f(1) = 0\)។ តាមនិយមន័យដេរីវេត្រង់ \(x_0 = 1\) ៖

\[f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 5x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (3x - 2) = 1\]
ដូចនេះ \(f'(1) = 1\)។

លំហាត់ទី ២ ៖
គេមាន \(f(-1) = 1\)។ តាមនិយមន័យដេរីវេត្រង់ \(x_0 = -1\) ៖

\[f'(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (x^2 - x - 1) = 1\]
ដូចនេះ \(f'(-1) = 1\)។

លំហាត់ទី ៣ ៖ គេមាន \(f(2) = \dfrac{2(2)-3}{2+1} = \dfrac{1}{3}\)។
តាមនិយមន័យដេរីវេត្រង់ \(x_0 = 2\) ៖

\[\begin{aligned} f'(2) &= \lim_{x \to 2} \frac{\frac{2x-3}{x+1} - \frac{1}{3}}{x - 2} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{3(2x-3) - (x+1)}{3(x+1)(x-2)} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{5(x-2)}{3(x+1)(x-2)} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{5}{3(x+1)} = \frac{5}{9} \end{aligned}\]
ដូចនេះ \(f'(2) = \dfrac{5}{9}\)។

លំហាត់ទី ៤ ៖ គេមាន \(f(4) = \sqrt{3(4)+4} = 4\)។
តាមនិយមន័យដេរីវេត្រង់ \(x_0 = 4\) ៖

\[\begin{aligned} f'(4) &= \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{3x+4} - 4}{x - 4} \\ &= \lim_{x \to 4} \frac{3x+4-16}{(x-4)(\sqrt{3x+4}+4)} \\ &= \lim_{x \to 4} \frac{3(x-4)}{(x-4)(\sqrt{3x+4}+4)} \\ &= \frac{3}{4+4} = \frac{3}{8} \end{aligned}\]
ដូចនេះ \(f'(4) = \dfrac{3}{8}\)។

លំហាត់ទី ៥ ៖ គេមាន \(f(1) = 1\)។
តាមនិយមន័យដេរីវេត្រង់ \(x_0 = 1\) ៖

\[\begin{aligned} f'(1) &= \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x-1)} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{-(x-1)}{\sqrt{x}(x-1)(1+\sqrt{x})} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{-1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})} = -\frac{1}{2} \end{aligned}\]
ដូចនេះ \(f'(1) = -\dfrac{1}{2}\)។

លំហាត់ទី ៦ ៖ គេមាន \(f(3) = 0\)។ គណនាដេរីវេឆ្វេង និងដេរីវេស្តាំ ៖

  • \(f'_+(3) = \lim_{x \to 3^+} \frac{|x-3|}{x-3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{x-3}{x-3} = 1\)

  • \(f'_-(3) = \lim_{x \to 3^-} \frac{|x-3|}{x-3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-(x-3)}{x-3} = -1\)

ដោយ \(f'_+(3) \neq f'_-(3)\) នាំឱ្យ \(f\) គ្មានដេរីវេត្រង់ \(x_0 = 3\)។

លំហាត់ទី ៧ ៖ គេមាន \(f(1) = 1^2+1 = 2\)។

  • \(f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x^2+1)-2}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 2\)

  • \(f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{2x-2}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} 2 = 2\)

ដោយ \(f'_+(1) = f'_-(1) = 2\) នោះ \(f\) មានដេរីវេត្រង់ \(x_0 = 1\) ហើយ \(f'(1) = 2\)។

លំហាត់ទី ៨ ៖ ដើម្បីឱ្យ \(f\) មានដេរីវេត្រង់ \(x = 2\) ៖
- ភាពជាប់ត្រង់ \(x=2\) ៖ \(2a + b = 2^2 - 3 = 1 \implies 2a+b=1\)
- ភាពមានដេរីវេត្រង់ \(x=2\) ៖ \(f'_-(2) = a\) និង \(f'_+(2) = 2(2) = 4 \implies a = 4\)
នាំឱ្យ \(b = 1 - 2(4) = -7\)។
ដូចនេះ \(a = 4, \; b = -7\)។

លំហាត់ទី ៩ ៖ គេមាន \(f(0) = 0\)។ ពិនិត្យផលធៀបកំណើន ៖

\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} &= \lim_{x \to 0} \frac{x|x|}{x} \\ &= \lim_{x \to 0} |x| = 0 \end{aligned}\]
ដោយលីមីតកំណត់ស្មើ \(0\) នាំឱ្យ \(f\) មានដេរីវេត្រង់ \(x=0\) និង \(f'(0) = 0\)។

លំហាត់ទី ១០ ៖ គេមាន \(f(0) = 0\)។ ពិនិត្យផលធៀបកំណើន ៖

\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} &= \lim_{x \to 0} \frac{x^{2/3}}{x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{1/3}} = \infty \end{aligned}\]
ដោយលីមីតអនន្ត នោះ \(f\) គ្មានដេរីវេត្រង់ \(x = 0\) ទេ (ក្រាបមានបន្ទាត់ប៉ះឈរ)។

លំហាត់ទី ១១ ៖ គណនាដេរីវេ ៖
a) \(f'(x) = 4(5x^4) - 7(3x^2) + 2 = 20x^4 - 21x^2 + 2\)
b) \(g'(x) = \dfrac{4x^3}{4} - \dfrac{2(3x^2)}{3} + 2x = x^3 - 2x^2 + 2x\)

លំហាត់ទី ១២ ៖ អនុវត្តរូបមន្ត \((uv)' = u'v + uv'\) ៖

\[\begin{aligned} f'(x) &= (6x-2)(4x^3-5x) \\ &\quad{} + (3x^2-2x+1)(12x^2-5) \\ &= 24x^4 - 30x^2 - 8x^3 + 10x \\ &\quad{} + 36x^4 - 15x^2 - 24x^3 \\ &\quad{} + 10x + 12x^2 - 5 \\ &= 60x^4 - 32x^3 - 33x^2 + 20x - 5 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១៣ ៖ អនុវត្តរូបមន្តផលចែក ៖

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{(4x-3)(x^2+4) - (2x^2-3x+1)(2x)}{(x^2+4)^2} \\ &= \frac{4x^3+16x-3x^2-12}{(x^2+4)^2} \\ &\quad{} - \frac{4x^3-6x^2+2x}{(x^2+4)^2} \\ &= \frac{3x^2 + 14x - 12}{(x^2+4)^2} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១៤ ៖ អនុវត្តរូបមន្តផលចែក ៖

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{3x^2(x-1) - (x^3+1)(1)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{3x^3-3x^2-x^3-1}{(x-1)^2} \\ &= \frac{2x^3 - 3x^2 - 1}{(x-1)^2} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១៥ ៖ អនុវត្ត \((u^n)' = n u^{n-1} u'\) ៖

\[\begin{aligned} f'(x) &= 6(5x^3 - 2x + 1)^5 \cdot (15x^2 - 2) \\ &= 6(15x^2 - 2)(5x^3 - 2x + 1)^5 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១៦ ៖ អនុវត្ត \((\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) ៖

\[f'(x) = \frac{4x^3 + 6x}{2\sqrt{x^4+3x^2+7}} = \frac{2x^3 + 3x}{\sqrt{x^4+3x^2+7}}\]

លំហាត់ទី ១៧ ៖ គេមាន \(f(x) = (2x^2-1)^{2/3}\)។

\[f'(x) = \frac{2}{3}(2x^2-1)^{-1/3}(4x) = \frac{8x}{3\sqrt[3]{2x^2-1}}\]

លំហាត់ទី ១៨ ៖ អនុវត្តរូបមន្តផលគុណ ៖

\[\begin{aligned} f'(x) &= 2x\sqrt{2x+3} + x^2 \frac{2}{2\sqrt{2x+3}} \\ &= \frac{2x(2x+3) + x^2}{\sqrt{2x+3}} \\ &= \frac{5x^2 + 6x}{\sqrt{2x+3}} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១៩ ៖ គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ៖

\[\begin{aligned} f'(x) &= 4\cos(4x) - (-3\sin(3x)) \\ &\quad{} + 2(1+\tan^2(2x)) \\ &= 4\cos(4x) + 3\sin(3x) + \frac{2}{\cos^2(2x)} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២០ ៖ គណនាដេរីវេនៃផលគុណ និងផលបូក ៖

\[\begin{aligned} f'(x) &= (2x\sin x + x^2\cos x) \\ &\quad{} + (2\cos x - 2x\sin x) - 2\cos x \\ &= x^2\cos x \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២១ ៖ អនុវត្តរូបមន្តផលចែក ៖

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{(\cos x + \sin x)^2 - (\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2} \\ &= \frac{(1+2\sin x\cos x) + (1-2\sin x\cos x)}{(\sin x + \cos x)^2} \\ &= \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២២ ៖ គណនាដេរីវេអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ៖
a) \(f'(x) = (3x^2-4x+1)' e^{3x^2-4x+1} = (6x-4)e^{3x^2-4x+1}\)
b) \(g'(x) = 3x^2 e^{-2x} + x^3(-2e^{-2x}) = x^2(3-2x)e^{-2x}\)

លំហាត់ទី ២៣ ៖ គណនាដេរីវេអនុគមន៍លោការីត ៖
a) \(f'(x) = \dfrac{(x^2+5x+6)'}{x^2+5x+6} = \dfrac{2x+5}{x^2+5x+6}\)
b) \(g(x) = \dfrac{1}{2}[\ln(1-x) - \ln(1+x)]\) នាំឱ្យ ៖

\[g'(x) = \frac{1}{2}\left[\frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x}\right] = \frac{-1}{1-x^2} = \frac{1}{x^2-1}\]

លំហាត់ទី ២៤ ៖ គណនាដេរីវេ ៖
a) \(f'(x) = (\sin x)' 2^{\sin x} \ln 2 = \cos x \cdot 2^{\sin x} \ln 2\)
b) \(g'(x) = \dfrac{(x^2+1)'}{(x^2+1)\ln 3} = \dfrac{2x}{(x^2+1)\ln 3}\)

លំហាត់ទី ២៥ ៖ គណនាដេរីវេអនុគមន៍ច្រាស ៖
a) \(f'(x) = \dfrac{(2x)'}{\sqrt{1-(2x)^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\)
b) \(g'(x) = \dfrac{(x^2)'}{1+(x^2)^2} = \dfrac{2x}{1+x^4}\)

លំហាត់ទី ២៦ ៖ គេមាន \(y = x^3 - 3x^2 + 4\)។
ត្រង់ \(x_0 = 1 \implies y_0 = 1 - 3 + 4 = 2\)។
\(y' = 3x^2 - 6x \implies y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3\)។

  • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T) : y - 2 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 5\)

  • សមីការបន្ទាត់ណរម៉ាល់ \((N) : y - 2 = \frac{1}{3}(x - 1) \implies y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}\)

លំហាត់ទី ២៧ ៖ ក្រាបកាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសពេល \(y = 0\) ៖
\(\dfrac{2x-1}{x+2} = 0 \implies 2x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}\)។
ចំណុចប៉ះគឺ \(M\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)\)។
គណនាដេរីវេ ៖ \(y' = \dfrac{2(x+2) - (2x-1)}{(x+2)^2} = \dfrac{5}{(x+2)^2}\)។
មេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(y'\left(\frac{1}{2}\right) = \dfrac{5}{(5/2)^2} = \dfrac{4}{5}\)។
សមីការបន្ទាត់ប៉ះ ៖

\[y - 0 = \frac{4}{5}\left(x - \frac{1}{2}\right) \implies y = \frac{4}{5}x - \frac{2}{5}\]

លំហាត់ទី ២៨ ៖ បន្ទាត់ \((d) : 9x - y + 2 = 0 \iff y = 9x + 2\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(m = 9\)។
បន្ទាត់ប៉ះស្របនឹង \((d)\) លុះត្រាតែ \(y' = 9\) ៖
\(3x^2 - 3 = 9 \iff 3x^2 = 12 \iff x = \pm 2\)។

  • បើ \(x = 2 \implies y = 2^3 - 3(2) + 5 = 7 \implies A(2, 7)\)

  • បើ \(x = -2 \implies y = (-2)^3 - 3(-2) + 5 = 3 \implies B(-2, 3)\)

ដូចនេះចំណុចទាំងពីរគឺ \((2, 7)\) និង \((-2, 3)\)។

លំហាត់ទី ២៩ ៖ បន្ទាត់ \((d) : 3x - y + 1 = 0 \iff y = 3x + 1\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(m_d = 3\)។
បន្ទាត់ប៉ះកែងនឹង \((d)\) នាំឱ្យមានមេគុណប្រាប់ទិស \(m = -\dfrac{1}{3}\) ៖
\(y' = \dfrac{-3}{(x-1)^2} = -\frac{1}{3} \iff (x-1)^2 = 9 \iff x - 1 = \pm 3\)។

  • \(x = 4 \implies y = 2\) ៖ \(y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 4) \implies y = -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3}\)

  • \(x = -2 \implies y = 0\) ៖ \(y - 0 = -\frac{1}{3}(x + 2) \implies y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}\)

លំហាត់ទី ៣០ ៖ បន្ទាត់ប៉ះដេកកាលណា \(y' = 0\) ៖
\(y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0 \iff x = 0, \; x = 1, \; x = -1\)។

  • \(x = 0 \implies y = 3 \implies A(0, 3)\)

  • \(x = 1 \implies y = 1 - 2 + 3 = 2 \implies B(1, 2)\)

  • \(x = -1 \implies y = 1 - 2 + 3 = 2 \implies C(-1, 2)\)

ដូចនេះចំណុចទាំងនោះគឺ \((0, 3), \; (1, 2), \; (-1, 2)\)។

លំហាត់ទី ៣១ ៖ តាង \(M(x_0, x_0^2 - 4x_0 + 3)\) ជាចំណុចប៉ះ។
សមីការបន្ទាត់ប៉ះកាត់តាម \(A(1, -2)\) ៖

\[\begin{aligned} -2 - y_0 &= (2x_0 - 4)(1 - x_0) \\ x_0^2 - 2x_0 - 1 &= 0 \iff x_0 = 1 \pm \sqrt{2} \end{aligned}\]
- \(x_0 = 1+\sqrt{2} \implies y = (-2+2\sqrt{2})x - 2\sqrt{2}\)
- \(x_0 = 1-\sqrt{2} \implies y = (-2-2\sqrt{2})x + 2\sqrt{2}\)

លំហាត់ទី ៣២ ៖ ខ្សែកោងប៉ះបន្ទាត់ \(y = 3x - 2\) ត្រង់ \((1, 1)\) ៖

  • កាត់តាម \((1, 1)\) ៖ \(a(1)^2 + b(1) + 1 = 1 \iff a + b = 0\)

  • មេគុណប្រាប់ទិសត្រង់ \(x=1\) ស្មើ \(3\) ៖
    \(y' = 2ax + b \implies 2a(1) + b = 3 \iff 2a + b = 3\)

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ៖ ដកសមីការទាំងពីរបាន \(a = 3 \implies b = -3\)។
ដូចនេះ \(a = 3, \; b = -3\)។

លំហាត់ទី ៣៣ ៖ តាងបន្ទាត់ប៉ះរួម \(y = mx + c\) ៖
- ប៉ះ \((P_1) \implies c = -\frac{m^2}{4}\)
- ប៉ះ \((P_2) \implies (m-4)^2 - 4(c+8) = 0\)
ជំនួស \(c = -\frac{m^2}{4}\) បាន \(m^2 - 4m - 8 = 0\)

\[\iff m = 2 \pm 2\sqrt{3}\]
ដូចនេះបន្ទាត់ប៉ះរួមទាំងពីរគឺ ៖
\[y = (2 \pm 2\sqrt{3})x - (4 \pm 2\sqrt{3})\]

លំហាត់ទី ៣៤ ៖ តាង \(M\left(x_0, \frac{1}{x_0}\right)\) លើក្រាប \(y = \frac{1}{x}\)។
សមីការបន្ទាត់ប៉ះ ៖

\[y = -\frac{1}{x_0^2}x + \frac{2}{x_0}\]
- កាត់ \(Ox\) ត្រង់ \(x = 2x_0\)
- កាត់ \(Oy\) ត្រង់ \(y = \frac{2}{x_0}\)
ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \frac{1}{2}(2x_0)\left(\frac{2}{x_0}\right) = 2\) (ថេរ)។

លំហាត់ទី ៣៥ ៖ គេមាន \(y = \sin x \implies y' = \cos x\)។
ត្រង់ \(x = 0\) មេគុណប្រាប់ទិសបន្ទាត់ប៉ះគឺ ៖

\[m = y'(0) = \cos 0 = 1\]
ដោយ \(m = \tan \alpha = 1\) នោះមុំ \(\alpha\) ដែលបន្ទាត់ប៉ះបង្កើតជាមួយអ័ក្ស \(Ox\) គឺ ៖
\[\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\]

លំហាត់ទី ៣៦ ៖ ដេរីវេអង្គទាំងពីរធៀបនឹង \(x\) ៖

\[2x + (1 \cdot y + x y') + 2y y' = 0\]
\[y'(x + 2y) = -(2x + y) \implies y' = -\frac{2x + y}{x + 2y}\]

លំហាត់ទី ៣៧ ៖ ដេរីវេអង្គទាំងពីរធៀបនឹង \(x\) ៖

\[3x^2 + 3y^2 y' - 6(y + x y') = 0\]
\[3(y^2 - 2x) y' = 6y - 3x^2 \implies y' = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}\]

លំហាត់ទី ៣៨ ៖ ដេរីវេអង្គទាំងពីរធៀបនឹង \(x\) ៖

\[\begin{aligned} \cos(xy)(y + xy') &= 1 + y' \\ y'[x\cos(xy) - 1] &= 1 - y\cos(xy) \\ \implies y' &= \frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy) - 1} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៣៩ ៖ ដេរីវេអាំភ្លីស៊ីត ៖ \(2x + 2yy' = 0 \implies y' = -\frac{x}{y}\)។
ត្រង់ \(M(3, -4)\) ៖ \(y' = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}\)។
សមីការបន្ទាត់ប៉ះ ៖

\[y - (-4) = \frac{3}{4}(x - 3) \iff 3x - 4y - 25 = 0\]

លំហាត់ទី ៤០ ៖ ចំពោះ \(x = 2\) ក្នុងកាដ្រង់ទីមួយ ៖

\[\frac{4}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \implies y = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]
ដេរីវេអាំភ្លីស៊ីត ៖ \(y' = -\frac{9x}{16y} = -\frac{\sqrt{3}}{4}\)។
សមីការបន្ទាត់ប៉ះ ៖
\[y - \frac{3\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x - 2)\]
\[\iff \sqrt{3}x + 4y - 8\sqrt{3} = 0\]

លំហាត់ទី ៤១ ៖ ចំពោះ \(x > 0\), បំពាក់លោការីតនេពែលើអង្គទាំងពីរ ៖

\[\ln y = \ln(x^x) = x \ln x\]
ដេរីវេធៀបនឹង \(x\) ៖
\[\begin{aligned} \frac{y'}{y} &= (x)'\ln x + x(\ln x)' \\ &= \ln x + x\left(\frac{1}{x}\right) = 1 + \ln x \\ \implies y' &= y(1 + \ln x) = x^x(1 + \ln x) \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៤២ ៖ ចំពោះ \(x \in (0, \pi) \implies \sin x > 0\) ៖

\[\ln y = \ln((\sin x)^x) = x \ln(\sin x)\]
ដេរីវេធៀបនឹង \(x\) ៖
\[\begin{aligned} \frac{y'}{y} &= \ln(\sin x) + x\cot x \\ \implies y' &= (\sin x)^x [\ln(\sin x) + x\cot x] \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៤៣ ៖ ចំពោះ \(x > 0\) ៖

\[\ln y = \ln(x^{\ln x}) = (\ln x)(\ln x) = (\ln x)^2\]
ដេរីវេធៀបនឹង \(x\) ៖
\[\begin{aligned} \frac{y'}{y} &= 2(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \\ \implies y' &= \frac{2\ln x}{x} \cdot x^{\ln x} = 2(\ln x) x^{\ln x - 1} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៤៤ ៖ បំពាក់លោការីតនេពែ ៖

\[\ln y = 3\ln(x-1) + \frac{1}{2}\ln(x+2) - 4\ln(x+3)\]
ដេរីវេធៀបនឹង \(x\) ៖
\[\frac{y'}{y} = \frac{3}{x-1} + \frac{1}{2(x+2)} - \frac{4}{x+3}\]
\[\begin{aligned} \implies y' &= \frac{(x-1)^3\sqrt{x+2}}{(x+3)^4} \\ &\quad{} \times \left[ \frac{3}{x-1} + \frac{1}{2(x+2)} - \frac{4}{x+3} \right] \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៤៥ ៖ ដេរីវេ \(x^2 + y^2 = 16 \implies y' = -\frac{x}{y}\)។
ដេរីវេទីពីរ ៖

\[\begin{aligned} y'' &= -\frac{1 \cdot y - x y'}{y^2} = -\frac{y - x(-x/y)}{y^2} \\ &= -\frac{y^2 + x^2}{y^3} = -\frac{16}{y^3} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៤៦ ៖ គេមាន \(f(x) = (x^2+1)e^x\) ៖

  • \(f'(x) = 2x e^x + (x^2+1)e^x = (x^2 + 2x + 1)e^x = (x+1)^2 e^x\)

  • \(f''(x) = (2x+2)e^x + (x^2+2x+1)e^x = (x^2 + 4x + 3)e^x\)

  • \(f'''(x) = (2x+4)e^x + (x^2+4x+3)e^x = (x^2 + 6x + 7)e^x\)

លំហាត់ទី ៤៧ ៖ គេមាន \(f(x) = (x+2)^{-1}\) ៖

  • \(f'(x) = -1(x+2)^{-2}\)

  • \(f''(x) = (-1)(-2)(x+2)^{-3} = (-1)^2 2!(x+2)^{-3}\)

  • \(f'''(x) = (-1)^3 3!(x+2)^{-4}\)

តាមវិចារកាត់តាមលំនាំ គេបានរូបមន្តដេរីវេទី \(n\) ៖

\[f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(x+2)^{n+1}}\]

លំហាត់ទី ៤៨ ៖ គេមាន \(f(x) = \sin x\) ៖
\(f'(x) = \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\)
\(f''(x) = -\sin x = \sin\left(x + 2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\)
ជាទូទៅ ៖ \(f^{(n)}(x) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)\)។
ទាញរកដេរីវេទី \(n\) នៃ \(g(x) = \sin(ax+b)\) ៖

\[g^{(n)}(x) = a^n \sin\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right)\]

លំហាត់ទី ៤៩ ៖ គេមាន \(f(x) = \ln(1+x)\) ចំពោះ \(x > -1\) ៖
\(f'(x) = (1+x)^{-1}\)
\(f''(x) = -1(1+x)^{-2} = (-1)^1 1!(1+x)^{-2}\)
\(f'''(x) = 2(1+x)^{-3} = (-1)^2 2!(1+x)^{-3}\)
ជាទូទៅចំពោះ \(n \ge 1\) ៖

\[f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}\]

លំហាត់ទី ៥០ ៖ តាមរូបមន្តឡែបនីស ៖

\[\begin{aligned} f^{(10)}(x) &= u v^{(10)} + 10 u' v^{(9)} + 45 u'' v^{(8)} \\ &= (x^2 - 3)(2^{10}e^{2x}) \\ &\quad{} + 10(2x)(2^9 e^{2x}) + 45(2)(2^8 e^{2x}) \\ &= 2^8 e^{2x} [4(x^2 - 3) + 40x + 90] \\ &= 2^9(2x^2 + 20x + 39)e^{2x} \end{aligned}\]

ដំណោះស្រាយ មេរៀនទី ២ ៖ អនុវត្តន៍នៃដេរីវេ

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៩ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត