លំហាត់ប្រតិបត្តិ លីមីត

ប្រធាន៖ ចូរបង្ហាញលីមីតខាងក្រោមដោយប្រើនិយមន័យ៖
. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to 1}(x^2+1) = 2\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(\varepsilon > 0\) មាន \(\alpha > 0\) ដែល \(0 < |x-1| < \alpha \implies |(x^2+1)-2| < \varepsilon\) ។
យើងមាន៖ \(|(x^2+1)-2| = |x^2-1| = |x-1||x+1|\) ។
ឧបមា \(\alpha \le 1\) នោះ \(0 < |x-1| < 1 \implies 0 < x < 2 \implies 1 < x+1 < 3 \implies |x+1| < 3\) ។
នាំឱ្យ \(|x^2-1| < 3|x-1|\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(|x^2-1| < \varepsilon\) យើងគ្រាន់តែឱ្យ \(3|x-1| < \varepsilon \implies |x-1| < \frac{\varepsilon}{3}\) ។
យក \(\alpha = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{3}\right)\) ។ បើ \(0 < |x-1| < \alpha\) នោះ \(|(x^2+1)-2| < \varepsilon\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to 2} x^2 = 4\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(\varepsilon > 0\) មាន \(\alpha > 0\) ដែល \(0 < |x-2| < \alpha \implies |x^2-4| < \varepsilon\) ។
យើងមាន៖ \(|x^2-4| = |x-2||x+2|\) ។
ឧបមា \(\alpha \le 1\) នោះ \(0 < |x-2| < 1 \implies 1 < x < 3 \implies 3 < x+2 < 5 \implies |x+2| < 5\) ។
នាំឱ្យ \(|x^2-4| < 5|x-2|\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(|x^2-4| < \varepsilon\) យើងគ្រាន់តែឱ្យ \(5|x-2| < \varepsilon \implies |x-2| < \frac{\varepsilon}{5}\) ។
យក \(\alpha = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right)\) ។ បើ \(0 < |x-2| < \alpha\) នោះ \(|x^2-4| < \varepsilon\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to -1}(x^2-1) = 0\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(\varepsilon > 0\) មាន \(\alpha > 0\) ដែល \(0 < |x+1| < \alpha \implies |x^2-1| < \varepsilon\) ។
យើងមាន៖ \(|x^2-1| = |x+1||x-1|\) ។
ឧបមា \(\alpha \le 1\) នោះ \(0 < |x+1| < 1 \implies -2 < x < 0 \implies -3 < x-1 < -1 \implies |x-1| < 3\) ។
នាំឱ្យ \(|x^2-1| < 3|x+1|\) ។
យក \(\alpha = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{3}\right)\) ។ បើ \(0 < |x+1| < \alpha\) នោះ \(|x^2-1| < 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to 7}\frac{8}{x-3} = 2\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(\varepsilon > 0\) មាន \(\alpha > 0\) ដែល \(0 < |x-7| < \alpha \implies \left|\frac{8}{x-3}-2\right| < \varepsilon\) ។
យើងមាន៖ \(\left|\frac{8}{x-3}-2\right| = \left|\frac{8-2x+6}{x-3}\right| = \frac{2|x-7|}{|x-3|}\) ។
ឧបមា \(\alpha \le 1\) នោះ \(0 < |x-7| < 1 \implies 6 < x < 8 \implies 3 < x-3 < 5 \implies |x-3| > 3 \implies \frac{1}{|x-3|} < \frac{1}{3}\) ។
នាំឱ្យ \(\frac{2|x-7|}{|x-3|} < \frac{2}{3}|x-7|\) ។
យក \(\alpha = \min\left(1, \frac{3\varepsilon}{2}\right)\) ។ បើ \(0 < |x-7| < \alpha\) នោះ \(\left|\frac{8}{x-3}-2\right| < \frac{2}{3}\cdot\frac{3\varepsilon}{2} = \varepsilon\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to -1^+}\frac{x+5}{x+1} = +\infty\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(M > 0\) មាន \(\alpha > 0\) ដែល \(0 < x - (-1) < \alpha \implies \frac{x+5}{x+1} > M\) ។
ដោយ \(x \to -1^+\) នោះ \(x > -1 \implies x+1 > 0\) ។
ឧបមា \(\alpha \le 1\) នោះ \(0 < x+1 < 1 \implies -1 < x < 0 \implies 4 < x+5 < 5 \implies x+5 > 4\) ។
នាំឱ្យ \(\frac{x+5}{x+1} > \frac{4}{x+1}\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(\frac{x+5}{x+1} > M\) យើងគ្រាន់តែឱ្យ \(\frac{4}{x+1} > M \implies x+1 < \frac{4}{M}\) ។
យក \(\alpha = \min\left(1, \frac{4}{M}\right)\) ។ បើ \(0 < x+1 < \alpha\) នោះ \(\frac{x+5}{x+1} > M\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to -2^+}\frac{x-9}{x+2} = -\infty\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(M > 0\) មាន \(\alpha > 0\) ដែល \(0 < x+2 < \alpha \implies \frac{x-9}{x+2} < -M\) ។
ដោយ \(x \to -2^+\) នោះ \(x > -2 \implies x+2 > 0\) ។
ឧបមា \(\alpha \le 1\) នោះ \(0 < x+2 < 1 \implies -2 < x < -1 \implies -11 < x-9 < -10 \implies x-9 < -10\) ។
ដោយ \(x+2 > 0\) នាំឱ្យ \(\frac{x-9}{x+2} < \frac{-10}{x+2}\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(\frac{x-9}{x+2} < -M\) យើងឱ្យ \(\frac{-10}{x+2} < -M \implies x+2 < \frac{10}{M}\) ។
យក \(\alpha = \min\left(1, \frac{10}{M}\right)\) ។ បើ \(0 < x+2 < \alpha\) នោះ \(\frac{x-9}{x+2} < -M\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-2}{x^2-1} = 1\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(\varepsilon > 0\) មាន \(N > 0\) ដែល \(x > N \implies \left|\frac{x^2-2}{x^2-1}-1\right| < \varepsilon\) ។
យើងមាន៖ \(\left|\frac{x^2-2-(x^2-1)}{x^2-1}\right| = \frac{1}{x^2-1}\) (ព្រោះ \(x > 1\)) ។
ដើម្បីឱ្យ \(\frac{1}{x^2-1} < \varepsilon \iff x^2-1 > \frac{1}{\varepsilon} \iff x^2 > 1+\frac{1}{\varepsilon} \iff x > \sqrt{1+\frac{1}{\varepsilon}}\) ។
យក \(N = \max\left(2, \sqrt{1+\frac{1}{\varepsilon}}\right)\) ។
បើ \(x > N\) នោះ \(\left|\frac{x^2-2}{x^2-1}-1\right| < \varepsilon\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to -\infty}\frac{4x+1}{2x+1} = 2\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(\varepsilon > 0\) មាន \(N > 0\) ដែល \(x < -N \implies \left|\frac{4x+1}{2x+1}-2\right| < \varepsilon\) ។
យើងមាន៖ \(\left|\frac{4x+1-2(2x+1)}{2x+1}\right| = \frac{1}{|2x+1|}\) ។
ដោយ \(x \to -\infty\) ឧបមា \(x < -1 \implies 2x+1 < -1 < 0 \implies |2x+1| = -(2x+1)\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(\frac{1}{|2x+1|} < \varepsilon \iff |2x+1| > \frac{1}{\varepsilon} \iff -2x-1 > \frac{1}{\varepsilon} \iff x < -\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\varepsilon}\right)\) ។
យក \(N = \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\varepsilon}\right)\) ។
បើ \(x < -N\) នោះ \(\left|\frac{4x+1}{2x+1}-2\right| < \varepsilon\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to +\infty}(1+6x-x^2) = -\infty\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(M > 0\) មាន \(N > 0\) ដែល \(x > N \implies 1+6x-x^2 < -M\) ។
យើងមាន៖ \(1+6x-x^2 = -x^2\left(1-\frac{6}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\) ។
ឧបមា \(x > 12\) នោះ \(\frac{6}{x} < \frac{1}{2}\) និង \(\frac{1}{x^2} < \frac{1}{4}\) នាំឱ្យ \(1-\frac{6}{x}-\frac{1}{x^2} > \frac{1}{4}\) ។
នាំឱ្យ \(1+6x-x^2 < -\frac{x^2}{4}\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(-\frac{x^2}{4} < -M \iff x^2 > 4M \iff x > 2\sqrt{M}\) ។
យក \(N = \max(12, 2\sqrt{M})\) ។
បើ \(x > N\) នោះ \(1+6x-x^2 < -M\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to +\infty}\frac{5x^2+4x-1}{x+2} = +\infty\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(M > 0\) មាន \(N > 0\) ដែល \(x > N \implies \frac{5x^2+4x-1}{x+2} > M\) ។
ឧបមា \(x > 1\) នោះ \(4x > 0 \implies 5x^2+4x-1 > 5x^2-1 > 4x^2\) ។
ម៉្យាងទៀត \(x+2 < x+2x = 3x\) (ព្រោះ \(x > 1 \implies 2 < 2x\)) ។
នាំឱ្យ \(\frac{5x^2+4x-1}{x+2} > \frac{4x^2}{3x} = \frac{4}{3}x\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(\frac{4}{3}x > M \iff x > \frac{3M}{4}\) ។
យក \(N = \max\left(1, \frac{3M}{4}\right)\) ។
បើ \(x > N\) នោះ \(\frac{5x^2+4x-1}{x+2} > M\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to -\infty}x^3 = -\infty\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(M > 0\) មាន \(N > 0\) ដែល \(x < -N \implies x^3 < -M\) ។
យើងឱ្យ \(x^3 < -M \iff x < -\sqrt[3]{M}\) ។
យក \(N = \sqrt[3]{M}\) ។
បើ \(x < -N \implies x < -\sqrt[3]{M} \implies x^3 < -(\sqrt[3]{M})^3 = -M\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to +\infty}\sqrt{x-1} = +\infty\) (ដែនកំណត់ \(D = [1, +\infty)\))៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(M > 0\) មាន \(N > 0\) ដែល \(x > N \implies \sqrt{x-1} > M\) ។
យើងឱ្យ \(\sqrt{x-1} > M \iff x-1 > M^2 \iff x > M^2+1\) ។
យក \(N = M^2+1\) ។ បើ \(x > N\) នោះ \(\sqrt{x-1} > M\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to 4}(x^2+x-11) = 9\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(\varepsilon > 0\) មាន \(\alpha > 0\) ដែល \(0 < |x-4| < \alpha \implies |(x^2+x-11)-9| < \varepsilon\) ។
យើងមាន៖ \(|x^2+x-20| = |x-4||x+5|\) ។
ឧបមា \(\alpha \le 1\) នោះ \(0 < |x-4| < 1 \implies 3 < x < 5 \implies 8 < x+5 < 10 \implies |x+5| < 10\) ។
នាំឱ្យ \(|x^2+x-20| < 10|x-4|\) ។
យក \(\alpha = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{10}\right)\) ។ បើ \(0 < |x-4| < \alpha\) នោះ \(|(x^2+x-11)-9| < 10\cdot\frac{\varepsilon}{10} = \varepsilon\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} = \infty\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(M > 0\) មាន \(\alpha > 0\) ដែល \(0 < |x| < \alpha \implies \frac{1}{|x|} > M\) ។
យើងមាន៖ \(\frac{1}{|x|} > M \iff |x| < \frac{1}{M}\) ។
យក \(\alpha = \frac{1}{M}\) ។
បើ \(0 < |x| < \alpha\) នោះ \(\frac{1}{|x|} > M\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to 1}\frac{1}{(x-1)^2} = +\infty\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(M > 0\) មាន \(\alpha > 0\) ដែល \(0 < |x-1| < \alpha \implies \frac{1}{(x-1)^2} > M\) ។
យើងមាន៖ \(\frac{1}{(x-1)^2} > M \iff (x-1)^2 < \frac{1}{M} \iff |x-1| < \frac{1}{\sqrt{M}}\) ។
យក \(\alpha = \frac{1}{\sqrt{M}}\) ។
បើ \(0 < |x-1| < \alpha\) នោះ \(\frac{1}{(x-1)^2} > M\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to 0}\frac{x+2}{x^2} = \infty\)៖
តាមនិយមន័យ គ្រប់ \(M > 0\) មាន \(\alpha > 0\) ដែល \(0 < |x| < \alpha \implies \frac{x+2}{x^2} > M\) ។
ឧបមា \(\alpha \le 1\) នោះ \(-1 < x < 1 \implies 1 < x+2 < 3 \implies x+2 > 1\) ។
នាំឱ្យ \(\frac{x+2}{x^2} > \frac{1}{x^2}\) ។
យើងឱ្យ \(\frac{1}{x^2} > M \iff x^2 < \frac{1}{M} \iff |x| < \frac{1}{\sqrt{M}}\) ។
យក \(\alpha = \min\left(1, \frac{1}{\sqrt{M}}\right)\) ។
បើ \(0 < |x| < \alpha\) នោះ \(\frac{x+2}{x^2} > M\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to 3}\frac{2x^2+3x-27}{x^2-4x+3} = \frac{15}{2}\)៖
គ្រប់ \(\varepsilon > 0\) មាន \(\alpha > 0\) ដែល \(0 < |x-3| < \alpha \implies \left|\frac{2x^2+3x-27}{x^2-4x+3}-\frac{15}{2}\right| < \varepsilon\) ។
ដោយ \(2x^2+3x-27 = (x-3)(2x+9)\) និង \(x^2-4x+3 = (x-3)(x-1)\) នោះចំពោះ \(x \neq 3\)៖
\(\left|\frac{2x+9}{x-1}-\frac{15}{2}\right| = \left|\frac{4x+18-15x+15}{2(x-1)}\right| = \frac{11|x-3|}{2|x-1|}\) ។
ឧបមា \(\alpha \le \frac{1}{2}\) នោះ \(|x-3| < \frac{1}{2} \implies 2.5 < x < 3.5 \implies 1.5 < x-1 < 2.5 \implies |x-1| > 1\) ។
នាំឱ្យ \(\frac{11|x-3|}{2|x-1|} < \frac{11}{2}|x-3|\) ។
យក \(\alpha = \min\left(\frac{1}{2}, \frac{2\varepsilon}{11}\right)\) ។
បើ \(0 < |x-3| < \alpha\) នោះ \(\left|\frac{2x^2+3x-27}{x^2-4x+3}-\frac{15}{2}\right| < \varepsilon\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to +\infty}\frac{x-1}{x+1} = 1\)៖
គ្រប់ \(\varepsilon > 0\) មាន \(N > 0\) ដែល \(x > N \implies \left|\frac{x-1}{x+1}-1\right| < \varepsilon\) ។
យើងមាន៖ \(\left|\frac{x-1-(x+1)}{x+1}\right| = \frac{2}{x+1}\) (ព្រោះ \(x > 0\)) ។
ដោយ \(x+1 > x \implies \frac{2}{x+1} < \frac{2}{x}\) ។
យើងឱ្យ \(\frac{2}{x} < \varepsilon \iff x > \frac{2}{\varepsilon}\) ។
យក \(N = \frac{2}{\varepsilon}\) ។
បើ \(x > N\) នោះ \(\left|\frac{x-1}{x+1}-1\right| < \varepsilon\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to +\infty}\frac{x+1}{x-1} = 1\)៖
គ្រប់ \(\varepsilon > 0\) មាន \(N > 0\) ដែល \(x > N \implies \left|\frac{x+1}{x-1}-1\right| < \varepsilon\) ។
យើងមាន៖ \(\left|\frac{x+1-(x-1)}{x-1}\right| = \frac{2}{x-1}\) (ព្រោះ \(x > 1\)) ។
ឧបមា \(x > 2 \implies x-1 > \frac{x}{2} \implies \frac{2}{x-1} < \frac{4}{x}\) ។
យើងឱ្យ \(\frac{4}{x} < \varepsilon \iff x > \frac{4}{\varepsilon}\) ។
យក \(N = \max\left(2, \frac{4}{\varepsilon}\right)\) ។
បើ \(x > N\) នោះ \(\left|\frac{x+1}{x-1}-1\right| < \varepsilon\) ពិតមែន។

. បង្ហាញថា \(\lim_{x \to +\infty}\frac{2x}{x+1} = 2\)៖
គ្រប់ \(\varepsilon > 0\) មាន \(N > 0\) ដែល \(x > N \implies \left|\frac{2x}{x+1}-2\right| < \varepsilon\) ។
យើងមាន៖ \(\left|\frac{2x-2(x+1)}{x+1}\right| = \frac{2}{x+1}\) (ព្រោះ \(x > 0\)) ។
ដោយ \(x+1 > x \implies \frac{2}{x+1} < \frac{2}{x}\) ។
យើងឱ្យ \(\frac{2}{x} < \varepsilon \iff x > \frac{2}{\varepsilon}\) ។
យក \(N = \frac{2}{\varepsilon}\) ។
បើ \(x > N\) នោះ \(\left|\frac{2x}{x+1}-2\right| < \varepsilon\) ពិតមែន។

ប្រធាន៖ គណនាតម្លៃ \(\alpha > 0\) ទៅតាមតម្លៃ \(\varepsilon\) នីមួយៗដែលគេឲ្យដូចខាងក្រោម៖
. \(\lim_{x \to 1} (5x-3) = 2 , \ \varepsilon = 0.00005\)៖
យើងមាន៖ \(|(5x-3)-2| = |5x-5| = 5|x-1|\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(5|x-1| < \varepsilon \iff |x-1| < \frac{\varepsilon}{5}\) ។
យើងយក \(\alpha = \frac{\varepsilon}{5} = \frac{0.00005}{5} = 0.00001\) ។

. \(\lim_{x \to 2} (3x-2) = 4 , \ \varepsilon = 0.000000099\)៖
យើងមាន៖ \(|(3x-2)-4| = |3x-6| = 3|x-2|\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(3|x-2| < \varepsilon \iff |x-2| < \frac{\varepsilon}{3}\) ។
យើងយក \(\alpha = \frac{\varepsilon}{3} = \frac{0.000000099}{3} = 0.000000033\) ។

. \(\lim_{x \to 1} (2x-1) = 1 , \ \varepsilon = 44\times 10^{-6}\)៖
យើងមាន៖ \(|(2x-1)-1| = |2x-2| = 2|x-1|\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(2|x-1| < \varepsilon \iff |x-1| < \frac{\varepsilon}{2}\) ។
យើងយក \(\alpha = \frac{\varepsilon}{2} = \frac{44\times 10^{-6}}{2} = 22\times 10^{-6}\) ។

. \(\lim_{x \to 2} (3x+1) = 7 , \ \varepsilon = 0.0030\)៖
យើងមាន៖ \(|(3x+1)-7| = |3x-6| = 3|x-2|\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(3|x-2| < \varepsilon \iff |x-2| < \frac{\varepsilon}{3}\) ។
យើងយក \(\alpha = \frac{\varepsilon}{3} = \frac{0.0030}{3} = 0.0010\) ។

. \(\lim_{x \to 4} (2x-1) = 7 , \ \varepsilon = 0.000006\)៖
យើងមាន៖ \(|(2x-1)-7| = |2x-8| = 2|x-4|\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(2|x-4| < \varepsilon \iff |x-4| < \frac{\varepsilon}{2}\) ។
យើងយក \(\alpha = \frac{\varepsilon}{2} = \frac{0.000006}{2} = 0.000003\) ។

. \(\lim_{x \to -3} (2x+5) = -1 , \ \varepsilon = 0.10\)៖
យើងមាន៖ \(|(2x+5)-(-1)| = |2x+6| = 2|x+3|\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(2|x+3| < \varepsilon \iff |x+3| < \frac{\varepsilon}{2}\) ។
យើងយក \(\alpha = \frac{\varepsilon}{2} = \frac{0.10}{2} = 0.05\) ។

. \(\lim_{x \to 3} (2x+4) = 10 , \ \varepsilon = 0.00001\)៖
យើងមាន៖ \(|(2x+4)-10| = |2x-6| = 2|x-3|\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(2|x-3| < \varepsilon \iff |x-3| < \frac{\varepsilon}{2}\) ។
យើងយក \(\alpha = \frac{\varepsilon}{2} = \frac{0.00001}{2} = 0.000005\) ។

. \(\lim_{x \to 2} (x-1)^2 = 1 , \ \varepsilon = 0.00021\)៖
យើងមាន៖ \(|(x-1)^2-1| = |x^2-2x| = |x||x-2|\) ។
ឧបមា \(\alpha \le 1\) នោះ \(0 < |x-2| < 1 \implies 1 < x < 3 \implies |x| < 3\) ។
នាំឱ្យ \(|(x-1)^2-1| < 3|x-2|\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(3|x-2| < \varepsilon \iff |x-2| < \frac{\varepsilon}{3}\) ។
យើងយក \(\alpha = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{3}\right) = \min\left(1, \frac{0.00021}{3}\right) = 0.00007\) ។

. \(\lim_{x \to 1} \sqrt{x} = 1 , \ \varepsilon = (\sqrt{2}-1)\times 10^{-4}\)៖
យើងមាន៖ \(|\sqrt{x}-1| = \frac{|x-1|}{\sqrt{x}+1}\) ។
ដោយ \(\sqrt{x} \ge 0 \implies \sqrt{x}+1 \ge 1 \implies \frac{1}{\sqrt{x}+1} \le 1\) ។
នាំឱ្យ \(|\sqrt{x}-1| \le |x-1|\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(|\sqrt{x}-1| < \varepsilon\) យើងគ្រាន់តែឱ្យ \(|x-1| < \varepsilon\) ។
យើងយក \(\alpha = \varepsilon = (\sqrt{2}-1)\times 10^{-4}\) ។

. \(\lim_{x \to 2} (4x-5) = 3 , \ \varepsilon = 8\times 10^{-3}\)៖
យើងមាន៖ \(|(4x-5)-3| = |4x-8| = 4|x-2|\) ។
ដើម្បីឱ្យ \(4|x-2| < \varepsilon \iff |x-2| < \frac{\varepsilon}{4}\) ។
យើងយក \(\alpha = \frac{\varepsilon}{4} = \frac{8\times 10^{-3}}{4} = 2\times 10^{-3}\) ។

ប្រធាន៖ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{x \to 2} (x^2-4)\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ចូលយើងបាន៖
\(2^2 - 4 = 4 - 4 = 0\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{x^3-4x}{2x^2+3x}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ដាក់ \(x\) ជាកត្តារួមនៃភាគយក និងភាគបែង៖
\(\lim_{x \to 0}\frac{x(x^2-4)}{x(2x+3)} = \lim_{x \to 0}\frac{x^2-4}{2x+3}\) ។
ជំនួស \(x = 0\) ចូល៖ \(\frac{0^2-4}{2(0)+3} = -\frac{4}{3}\) ។

. \(\lim_{x \to -1} \frac{x^3}{(x+1)^2}\)៖
ជំនួស \(x = -1\) ចូល៖
ភាគយក៖ \((-1)^3 = -1 < 0\) ។
ភាគបែង៖ \((x+1)^2 \to 0^+\) (ព្រោះ \((x+1)^2 > 0, \forall x \neq -1\)) ។
នាំឱ្យលីមីតមានតម្លៃខិតជិត \(-\infty\) ។

. \(\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)^2(x-1)}{x^3+1}\)៖
ជំនួស \(x = -1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែក \(x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)\) តាមរូបមន្ត \(A^3+B^3\)៖
\(\lim_{x \to -1}\frac{(x+1)^2(x-1)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \lim_{x \to -1}\frac{(x+1)(x-1)}{x^2-x+1}\) ។
ជំនួស \(x = -1\) ចូល៖ \(\frac{(-1+1)(-1-1)}{(-1)^2-(-1)+1} = \frac{0\cdot(-2)}{1+1+1} = 0\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{x^3-2x^2+x}{2x^3+x^2-2x}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ដាក់ \(x\) ជាកត្តារួមនៃភាគយក និងភាគបែង៖
\(\lim_{x \to 0}\frac{x(x^2-2x+1)}{x(2x^2+x-2)} = \lim_{x \to 0}\frac{x^2-2x+1}{2x^2+x-2}\) ។
ជំនួស \(x = 0\) ចូល៖ \(\frac{0-0+1}{0+0-2} = -\frac{1}{2}\) ។

. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x+3}{(x-1)^2}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ចូល៖
ភាគយក៖ \(1^2+2(1)+3 = 6 > 0\) ។
ភាគបែង៖ \((x-1)^2 \to 0^+\) (ព្រោះ \((x-1)^2 > 0, \forall x \neq 1\)) ។
នាំឱ្យលីមីតមានតម្លៃខិតជិត \(+\infty\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{x^4-4x^3+x^2}{x^3+x^2+x}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ដាក់ \(x\) ជាកត្តារួមនៃភាគយក និងភាគបែង៖
\(\lim_{x \to 0}\frac{x(x^3-4x^2+x)}{x(x^2+x+1)} = \lim_{x \to 0}\frac{x(x^2-4x+1)}{x^2+x+1}\) ។
ជំនួស \(x = 0\) ចូល៖ \(\frac{0(0-0+1)}{0+0+1} = \frac{0}{1} = 0\) ។

. \(\lim_{x \to -1} \frac{x^3+x^2+x+1}{x^4+x^2-2}\)៖
ជំនួស \(x = -1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកភាគយក និងភាគបែងជាកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^2(x+1)+(x+1) = (x+1)(x^2+1)\) ។
ភាគបែង៖ \((x^2-1)(x^2+2) = (x+1)(x-1)(x^2+2)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x+1)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to -1}\frac{x^2+1}{(x-1)(x^2+2)} = \frac{(-1)^2+1}{(-1-1)((-1)^2+2)} = \frac{2}{(-2)(3)} = -\frac{1}{3}\) ។

. \(\lim_{x \to 2} \frac{(x+1)^2}{2-x}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ចូល៖
ភាគយក៖ \((2+1)^2 = 9 > 0\) ។
ភាគបែង៖ \(2-x \to 0\) ។
- កាលណា \(x \to 2^+ \implies 2-x < 0 \implies \lim_{x\to 2^+}\frac{(x+1)^2}{2-x} = -\infty\)
- កាលណា \(x \to 2^- \implies 2-x > 0 \implies \lim_{x\to 2^-}\frac{(x+1)^2}{2-x} = +\infty\)
ដោយលីមីតឆ្វេង និងស្ដាំខុសគ្នា

. \(\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2-3x+2}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកភាគបែង៖ \(x^2-3x+2 = (x-2)(x-1)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-2)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 2}\frac{x-2}{(x-2)(x-1)} = \lim_{x \to 2}\frac{1}{x-1} = \frac{1}{2-1} = 1\) ។

. \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2-6x+9}{2x^2+x-21}\)៖
ជំនួស \(x = 3\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកភាគយក និងភាគបែងជាកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^2-6x+9 = (x-3)^2\) ។
ភាគបែង៖ \(2x^2+x-21 = (x-3)(2x+7)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-3)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 3}\frac{x-3}{2x+7} = \frac{3-3}{2(3)+7} = \frac{0}{13} = 0\) ។

. \(\lim_{x \to -3} \frac{x^3+27}{2x^2-3x-27}\)៖
ជំនួស \(x = -3\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^3+27 = (x+3)(x^2-3x+9)\) ។
ភាគបែង៖ \(2x^2-3x-27 = (x+3)(2x-9)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x+3)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to -3}\frac{x^2-3x+9}{2x-9} = \frac{(-3)^2-3(-3)+9}{2(-3)-9} = \frac{27}{-15} = -\frac{9}{5}\) ។

. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-6x+8}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^3-6x^2+11x-6 = (x-1)(x-2)(x-3)\) ។
ភាគបែង៖ \(x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-2)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 2}\frac{(x-1)(x-3)}{x-4} = \frac{(2-1)(2-3)}{2-4} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\) ។

. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^3-5x^2+8x-4}{x^3-3x^2+4}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \((x-1)(x-2)^2\) ។
ភាគបែង៖ \((x+1)(x-2)^2\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-2)^2\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 2}\frac{x-1}{x+1} = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}\) ។

. \(\lim_{x \to 3}\left( \frac{1}{x-3}- \frac{6}{x^2-9}\right)\)៖
ជំនួស \(x = 3\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ។
តម្រូវភាគបែងរួម \((x-3)(x+3) = x^2-9\)៖
\(\frac{1}{x-3}-\frac{6}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+3-6}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)}\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-3)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 3}\frac{1}{x+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}\) ។

. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3+x^2-x-1}{x^3-x^2-x+1}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^2(x+1)-(x+1) = (x+1)^2(x-1)\) ។
ភាគបែង៖ \(x^2(x-1)-(x-1) = (x-1)^2(x+1)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-1)(x+1)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 1}\frac{x+1}{x-1}\) ។
ជំនួស \(x = 1\)៖ ភាគយកស្មើ \(2\), ភាគបែងខិតជិត \(0\) ៖ \(\lim_{x\to 1^+} = +\infty\) និង \(\lim_{x\to 1^-} = -\infty\) ។

. \(\lim_{x \to 4}\left( \frac{2x^2-4x-24}{x^2-16} - \frac{1}{4-x}\right)\)៖
ដោយ \(-\frac{1}{4-x} = +\frac{1}{x-4}\) យើងតម្រូវភាគបែងរួម \(x^2-16\)៖
\(\frac{2x^2-4x-24+(x+4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x^2-3x-20}{(x-4)(x+4)}\) ។
បំបែកកត្តា៖ \(2x^2-3x-20 = (x-4)(2x+5)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-4)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 4}\frac{2x+5}{x+4} = \frac{2(4)+5}{4+4} = \frac{13}{8}\) ។

. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^3+3x^2-9x-2}{x^3-x-6}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \((x-2)(x^2+5x+1)\) ។
ភាគបែង៖ \((x-2)(x^2+2x+3)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-2)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 2}\frac{x^2+5x+1}{x^2+2x+3} = \frac{2^2+5(2)+1}{2^2+2(2)+3} = \frac{15}{11}\) ។

. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^3-3x+2 = (x-1)^2(x+2)\) ។
ភាគបែង៖ \(x^4-4x+3 = (x-1)^2(x^2+2x+3)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-1)^2\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 1}\frac{x+2}{x^2+2x+3} = \frac{1+2}{1+2+3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) ។

. \(\lim_{x \to 2}\left( \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^2} \right)\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ដោយផ្ទាល់ចូលក្នុងកន្សោម៖
\(\frac{1}{1-2} - \frac{3}{1-2^2} = \frac{1}{-1} - \frac{3}{-3} = -1 - (-1) = 0\) ។

ប្រធាន៖ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-3x+2}{x^2-2x}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^2-3x+2 = (x-2)(x-1)\) ។
ភាគបែង៖ \(x^2-2x = x(x-2)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-2)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 2}\frac{x-1}{x} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}\) ។

. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-x-2}{x^2-2x}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^2-x-2 = (x-2)(x+1)\) ។
ភាគបែង៖ \(x^2-2x = x(x-2)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-2)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 2}\frac{x+1}{x} = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}\) ។

. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2+5}{x^2-3}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ដោយផ្ទាល់ចូលក្នុងកន្សោម៖
\(\frac{2^2+5}{2^2-3} = \frac{4+5}{4-3} = \frac{9}{1} = 9\) ។

. \(\lim_{x \to 1} \frac{3x^4-4x^3+1}{(x-1)^2}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកភាគយក៖

. \(\lim_{x \to -2} \frac{3x+6}{x^3+8}\)៖
ជំនួស \(x = -2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(3x+6 = 3(x+2)\) ។
ភាគបែង៖ \(x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x+2)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to -2}\frac{3}{x^2-2x+4} = \frac{3}{(-2)^2-2(-2)+4} = \frac{1}{4}\) ។

. \(\lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x-1}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ដោយផ្ទាល់ចូលក្នុងកន្សោម៖
\(\frac{2+1}{2-1} = \frac{3}{1} = 3\) ។

. \(\lim_{x \to -2} \frac{x^3+3x^2+2x}{x^2-x-6}\)៖
ជំនួស \(x = -2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x(x^2+3x+2) = x(x+1)(x+2)\) ។
ភាគបែង៖ \(x^2-x-6 = (x+2)(x-3)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x+2)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to -2}\frac{x(x+1)}{x-3} = \frac{-2(-2+1)}{-2-3} = -\frac{2}{5}\) ។

. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2-2x+1}{x^3-x}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^2-2x+1 = (x-1)^2\) ។
ភាគបែង៖ \(x^3-x = x(x-1)(x+1)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-1)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{x(x+1)} = \frac{1-1}{1(1+1)} = 0\) ។

. \(\lim_{x \to 4} \frac{x^2+7x-44}{x^2-6x+8}\)៖
ជំនួស \(x = 4\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^2+7x-44 = (x-4)(x+11)\) ។
ភាគបែង៖ \(x^2-6x+8 = (x-4)(x-2)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-4)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 4}\frac{x+11}{x-2} = \frac{4+11}{4-2} = \frac{15}{2}\) ។

. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2-4}{x^2-3x+2}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ចូលយើងបាន៖
ភាគយក៖ \(1^2-4 = -3 < 0\) ។
ភាគបែង៖ \(x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) \to 0\) ។
ដោយភាគយកខិតជិត \(-3 \neq 0\) និងភាគបែងខិតជិត \(0\) ៖
- បើ \(x \to 1^+ \implies (x-1)(x-2) \to 0^- \implies +\infty\)
- បើ \(x \to 1^- \implies (x-1)(x-2) \to 0^+ \implies -\infty\)

. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3-5x+4}{x^3-1}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^3-1-5(x-1) = (x-1)(x^2+x-4)\) ។
ភាគបែង៖ \(x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-1)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 1}\frac{x^2+x-4}{x^2+x+1} = \frac{1+1-4}{1+1+1} = -\frac{2}{3}\) ។

. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកភាគយក៖ \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-2)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 2}(x+2) = 2+2 = 4\) ។

. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x^2-3x+2}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\) ។
ភាគបែង៖ \(x^2-3x+2 = (x-2)(x-1)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-2)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 2}\frac{x+2}{x-1} = \frac{2+2}{2-1} = 4\) ។

. \(\lim_{x \to 1}\left( \frac{1}{x^2-1} - \frac{2}{x^4-1}\right)\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ។
តម្រូវភាគបែងរួម \(x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1)\)៖

. \(\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2-5x+6}\)៖
ជំនួស \(x = 3\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកភាគបែង៖ \(x^2-5x+6 = (x-3)(x-2)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-3)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 3}\frac{1}{x-2} = \frac{1}{3-2} = 1\) ។

. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2-4x+3}{x^3-x^2+2x-2}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \(x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)\) ។
ភាគបែង៖ \(x^2(x-1)+2(x-1) = (x-1)(x^2+2)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-1)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 1}\frac{x-3}{x^2+2} = \frac{1-3}{1^2+2} = -\frac{2}{3}\) ។

. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^9-3x+2}{x^6+5x-6}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកកត្តា៖
ភាគយក៖ \((x^9-1)-3(x-1) = (x-1)(x^8+\dots+x-2)\) ។
ភាគបែង៖ \((x^6-1)+5(x-1) = (x-1)(x^5+\dots+x+6)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-1)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 1}\frac{x^8+\dots+x-2}{x^5+\dots+x+6} = \frac{9(1)-3}{6(1)+5} = \frac{6}{11}\) ។

. \(\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^3-x^2-x-2}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកភាគបែង៖ \(x^3-x^2-x-2 = (x-2)(x^2+x+1)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-2)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 2}\frac{1}{x^2+x+1} = \frac{1}{4+2+1} = \frac{1}{7}\) ។

. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^m-1}{x^n-1}\) (\(m, n \in \mathbb{N}^*\))៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
អនុវត្តរូបមន្តបំបែកកត្តា \(A^k-1\)៖
ភាគយក៖ \(x^m-1 = (x-1)(x^{m-1} + \dots + 1)\) ។
ភាគបែង៖ \(x^n-1 = (x-1)(x^{n-1} + \dots + 1)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-1)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 1}\frac{x^{m-1} + \dots + 1}{x^{n-1} + \dots + 1} = \frac{\overbrace{1+1+\dots+1}^{m\text{ តួ}}}{\underbrace{1+1+\dots+1}_{n\text{ តួ}}} = \frac{m}{n}\) ។

. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^n-1}{x-1}\) (\(n \in \mathbb{N}^*\))៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
អនុវត្តរូបមន្តបំបែកកត្តា៖
\(x^n-1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1)\) ។
សម្រួលកត្តា \((x-1)\) ទទួលបាន៖
\(\lim_{x \to 1}(x^{n-1} + \dots + 1) = \underbrace{1+1+\dots+1}_{n\text{ តួ}} = n\) ។

ប្រធាន៖ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}\)៖
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(\sqrt{x}\)៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+3}}\)៖
ទាញ \(\sqrt{x}\) ជាកត្តារួមនៃភាគយកនិងភាគបែង៖

. \(\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2+x-3} +2x}{\sqrt{x^2+4} +x}\)៖
ដោយ \(x \to +\infty\) នោះ \(x > 0 \implies \sqrt{x^2} = x\)៖

. \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{2x^2+1}\)៖
ប្រភាគសនិទានមានដឺក្រេភាគយកស្មើដឺក្រេភាគបែង៖
\(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{2x^2+1} = \lim_{x \to \infty}\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2+\frac{1}{x^2}\right)} = \lim_{x \to \infty}\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}\) ។

. \(\lim_{x\to -\infty} \frac{x^3+x^2-4}{2x^3+x+11}\)៖
ប្រភាគសនិទានមានដឺក្រេភាគយកស្មើដឺក្រេភាគបែង៖
\(\lim_{x\to -\infty}\frac{x^3+x^2-4}{2x^3+x+11} = \lim_{x\to -\infty}\frac{x^3}{2x^3} = \frac{1}{2}\) ។

. \(\lim_{x\to \infty} \frac{3x^2+2x-1}{x^3-x+2}\)៖
ដឺក្រេភាគយក (2) តូចជាងដឺក្រេភាគបែង (3)៖
\(\lim_{x\to \infty} \frac{3x^2+2x-1}{x^3-x+2} = \lim_{x\to \infty}\frac{3x^2}{x^3} = \lim_{x\to \infty}\frac{3}{x} = 0\) ។

. \(\lim_{x\to \infty} \left(\frac{x^3}{x^2+2} - x \right)\)៖
តម្រូវភាគបែងរួម \(x^2+2\)៖

. \(\lim_{x\to \infty} \frac{x^2+3x-4}{3x^2-2x+5}\)៖
ប្រភាគសនិទានមានដឺក្រេស្មើគ្នា៖
\(\lim_{x\to \infty}\frac{x^2+3x-4}{3x^2-2x+5} = \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{3x^2} = \frac{1}{3}\) ។

. \(\lim_{x\to +\infty} \frac{x(x-1)(x-2)}{x^2+6x-9}\)៖
គុណពន្លាតភាគយក៖ \(x(x^2-3x+2) = x^3-3x^2+2x\) ។
ដឺក្រេភាគយក (3) ធំជាងដឺក្រេភាគបែង (2)៖
\(\lim_{x\to +\infty}\frac{x^3-3x^2+2x}{x^2+6x-9} = \lim_{x\to +\infty}\frac{x^3}{x^2} = \lim_{x\to +\infty} x = +\infty\) ។

. \(\lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x^2+9}}{x+3}\)៖
- ចំពោះ \(x \to +\infty\) នាំឱ្យ \(x > 0 \implies \sqrt{x^2} = x\)៖
\(\lim_{x\to +\infty}\frac{x\sqrt{1+\frac{9}{x^2}}}{x\left(1+\frac{3}{x}\right)} = \frac{\sqrt{1+0}}{1+0} = 1\) ។
- ចំពោះ \(x \to -\infty\) នាំឱ្យ \(x < 0 \implies \sqrt{x^2} = -x\)៖
\(\lim_{x\to -\infty}\frac{-x\sqrt{1+\frac{9}{x^2}}}{x\left(1+\frac{3}{x}\right)} = \frac{-\sqrt{1+0}}{1+0} = -1\) ។

. \(\lim_{x\to \infty} \left(\frac{x^2+x-1}{2x^2-x+1}\right)^3\)៖
គណនាលីមីតខាងក្នុងវង់ក្រចក៖
\(\lim_{x\to \infty}\frac{x^2+x-1}{2x^2-x+1} = \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}\) ។
នាំឱ្យលីមីតស្មើនឹង៖ \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\) ។

. \(\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2+2x+1}{5x}\)៖
ដឺក្រេភាគយក (2) ធំជាងដឺក្រេភាគបែង (1)៖
\(\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2+2x+1}{5x} = \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{5x} = \lim_{x\to +\infty}\frac{x}{5} = +\infty\) ។

. \(\lim_{x\to \infty} \frac{x^3+x^4-1}{2x^5-x^2+x}\)៖
ដឺក្រេខ្ពស់បំផុតនៃភាគយកគឺ \(x^4\) និងភាគបែងគឺ \(2x^5\)៖
\(\lim_{x\to \infty}\frac{x^4}{2x^5} = \lim_{x\to \infty}\frac{1}{2x} = 0\) ។

. \(\lim_{x\to +\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)^2}{\sqrt[3]{x^6+1}}\)៖
ដោយ \(x \to +\infty\) នាំឱ្យ \(x > 0\)៖

. \(\lim_{x\to -\infty} \frac{x^6+7x^4-40}{1-x-5x^7}\)៖
ដឺក្រេខ្ពស់បំផុតនៃភាគយកគឺ \(x^6\) និងភាគបែងគឺ \(-5x^7\)៖
\(\lim_{x\to -\infty}\frac{x^6}{-5x^7} = \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{-5x} = 0\) ។

. \(\lim_{x\to \infty} \frac{(x+1)(x-2)}{3x^2+6x-5}\)៖
គុណពន្លាតភាគយក៖ \((x+1)(x-2) = x^2-x-2\) ។
ប្រភាគសនិទានមានដឺក្រេភាគយកស្មើដឺក្រេភាគបែង៖
\(\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-x-2}{3x^2+6x-5} = \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{3x^2} = \frac{1}{3}\) ។

. \(\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\)៖
ដោយ \(x \to +\infty\) នាំឱ្យ \(x > 0 \implies \sqrt{x^2} = x\)៖
\(\lim_{x\to +\infty}\frac{x\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}{x} = \lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1} = \sqrt{0+1} = 1\) ។

. \(\lim_{x\to \infty}\left( \frac{3x^2+2x+1}{x^2-3x+1}\right)^4\)៖
គណនាលីមីតខាងក្នុងវង់ក្រចក៖
\(\lim_{x\to \infty}\frac{3x^2+2x+1}{x^2-3x+1} = \lim_{x\to \infty}\frac{3x^2}{x^2} = 3\) ។
នាំឱ្យលីមីតស្មើនឹង៖ \(3^4 = 81\) ។

. \(\lim_{x\to - \infty} \frac{5x^3-x^2+x}{1+x^2+3x^3}\)៖
ប្រភាគសនិទានមានដឺក្រេស្មើគ្នា៖
\(\lim_{x\to -\infty}\frac{5x^3-x^2+x}{3x^3+x^2+1} = \lim_{x\to -\infty}\frac{5x^3}{3x^3} = \frac{5}{3}\) ។

. \(\lim_{x\to \infty} \frac{1+x-3x^3}{1+x^2+3x^3}\)៖
ប្រភាគសនិទានមានដឺក្រេស្មើគ្នា៖
\(\lim_{x\to \infty}\frac{-3x^3+x+1}{3x^3+x^2+1} = \lim_{x\to \infty}\frac{-3x^3}{3x^3} = -1\) ។

. \(\lim_{x\to -\infty}\left( \frac{x^3-8}{x^4+16}\right)^{10}\)៖
គណនាលីមីតខាងក្នុងវង់ក្រចក៖
\(\lim_{x\to -\infty}\frac{x^3-8}{x^4+16} = \lim_{x\to -\infty}\frac{x^3}{x^4} = \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x} = 0\) ។
នាំឱ្យលីមីតស្មើនឹង៖ \(0^{10} = 0\) ។

. \(\lim_{x\to \infty} \frac{(x+3)(x+4)(x+5)}{x^4+x-11}\)៖
ដឺក្រេខ្ពស់បំផុតនៃភាគយកគឺ \(x^3\) និងភាគបែងគឺ \(x^4\)៖
\(\lim_{x\to \infty}\frac{x^3}{x^4} = \lim_{x\to \infty}\frac{1}{x} = 0\) ។

. \(\lim_{x\to -\infty} \frac{8x-2x^5+x^6}{11x+5x^3+3x^5}\)៖
ដឺក្រេខ្ពស់បំផុតនៃភាគយកគឺ \(x^6\) និងភាគបែងគឺ \(3x^5\)៖
\(\lim_{x\to -\infty}\frac{x^6}{3x^5} = \lim_{x\to -\infty}\frac{x}{3} = -\infty\) ។

. \(\lim_{x\to \infty} \left(\frac{x^3}{2x^2-1} - \frac{x^2}{2x+1}\right)\)៖
តម្រូវភាគបែងរួម \((2x^2-1)(2x+1)\)៖

. \(\lim_{x\to \infty} \left(x^2-\frac{x^4-1}{x^2-2}\right)\)៖
តម្រូវភាគបែងរួម \(x^2-2\)៖

. \(\lim_{x\to \infty} \frac{(x-1)^{100}(6x+1)^{200}}{(3x+5)^{300}}\)៖
ទាញតួដឺក្រេខ្ពស់បំផុតចេញពីកន្សោមនីមួយៗ៖

. \(\lim_{x \to +\infty } \frac{\sqrt[4]{x^5}+\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[6]{x^8}}{\sqrt[3]{x^4+2}}\)៖
សរសេរជាស្វ័យគុណសនិទាន៖
\(\sqrt[4]{x^5} = x^{\frac{5}{4}}\), \(\sqrt[5]{x^3} = x^{\frac{3}{5}}\), \(\sqrt[6]{x^8} = x^{\frac{4}{3}}\),
និងភាគបែង \(\sqrt[3]{x^4+2} \sim (x^4)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}}\) ។
ដោយស្វ័យគុណខ្ពស់បំផុតនៃភាគយកនិងភាគបែងគឺ \(x^{\frac{4}{3}}\) នាំឱ្យ៖
\(\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt[6]{x^8}}{\sqrt[3]{x^4}} = \lim_{x\to \infty}\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}} = 1\) ។

. \(\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2(2x+1)(3x-2)}{2x^2(5x-8)(x+6)}\)៖
តួដឺក្រេខ្ពស់បំផុត៖
- ភាគយក៖ \(x^2(2x)(3x) = 6x^4\)
- ភាគបែង៖ \(2x^2(5x)(x) = 10x^4\)
\(\lim_{x\to -\infty}\frac{6x^4}{10x^4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\) ។

. \(\lim_{x\to \infty}\left( \frac{2x^8+8x^6+6x^4}{4x^8-x^6+12x^4}\right)^5\)៖
គណនាលីមីតខាងក្នុងវង់ក្រចក៖
\(\lim_{x\to \infty}\frac{2x^8+8x^6+6x^4}{4x^8-x^6+12x^4} = \lim_{x\to \infty}\frac{2x^8}{4x^8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) ។
នាំឱ្យលីមីតស្មើនឹង៖ \(\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\) ។

. \(\lim_{x\to -\infty} \frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}}\)៖
ទាញតួដឺក្រេខ្ពស់បំផុត៖
- ភាគយក៖ \((2x)^{20}(3x)^{30} = 2^{20}\cdot 3^{30}x^{50}\)
- ភាគបែង៖ \((2x)^{50} = 2^{50}x^{50}\)
នាំឱ្យលីមីតស្មើនឹងផលធៀបនៃមេគុណ៖
\(\frac{2^{20}\cdot 3^{30}}{2^{50}} = \frac{3^{30}}{2^{50-20}} = \frac{3^{30}}{2^{30}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{30}\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីតខាងក្រោម៖
. \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមបំពេញ \(A^3-B^3\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{a+x}-\sqrt[n]{a}}{x}\) (\(a > 0, n \in \mathbb{N}_{\ge 2}\))៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(u = \sqrt[n]{a+x}\) និង \(v = \sqrt[n]{a}\) នាំឱ្យ \(u^n = a+x\) និង \(v^n = a\) នាំឱ្យ \(x = u^n-v^n\) ។
ពេល \(x \to 0 \implies u \to v\)៖

. \(\lim_{x \to 1} \frac{1-\sqrt[2021]{x}}{1-x}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(t = \sqrt[2021]{x} \implies x = t^{2021}\) ។ ពេល \(x \to 1 \implies t \to 1\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[5]{(x+1)^3}-1}{x}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(t = \sqrt[5]{x+1} \implies x = t^5-1\) ។ ពេល \(x \to 0 \implies t \to 1\)៖

. \(\lim_{x \to 1} \frac{1-\sqrt[3]{2-x}}{1-x}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(t = \sqrt[3]{2-x} \implies t^3 = 2-x \implies 1-x = t^3-1\) ។
ពេល \(x \to 1 \implies t \to 1\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x(x+2)}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមបំពេញ \(A^3-B^3\)៖

. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-x-2}{\sqrt[3]{x+6}-2}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំលែង \(x^2-x-2 = (x-2)(x+1)\) និងគុណកន្សោមបំពេញភាគបែង៖

. \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[5]{x^2+x-1}-1}{1+\sqrt[3]{1-2x}}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x-1\)៖
\(\bullet\) ភាគយក៖ \(u = x^2+x-1 \implies u-1 = (x-1)(x+2)\)

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x}-1}{3x}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់នៃភាគយក៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់នៃភាគយក៖

. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)៖
ដោយ \(x > 0\) ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(\sqrt{x}\)៖

. \(\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x-1}-2}{x^2-25}\)៖
ជំនួស \(x = 5\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់ និងបំលែងភាគបែង៖

. \(\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^3-5x^2+3x+9}\)៖
ជំនួស \(x = 3\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់ និងដាក់ភាគបែងជាកត្តា៖
\(x^3-5x^2+3x+9 = (x-3)^2(x+1)\)

. \(\lim_{x \to 9} \frac{3-\sqrt{x}}{27-\sqrt{x^3}}\)៖
ជំនួស \(x = 9\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)\)៖
\(27-\sqrt{x^3} = 3^3-(\sqrt{x})^3 = (3-\sqrt{x})(9+3\sqrt{x}+x)\)

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមបំពេញ \(A^3-B^3 = (1+x)-(1-x) = 2x\)៖

. \(\lim_{x \to 1}\frac{x^{\frac{2}{3}}-1}{x^{\frac{3}{5}}-1}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(x = t^{15} \implies t = \sqrt[15]{x}\) ។ ពេល \(x \to 1 \implies t \to 1\)៖

. \(\lim_{x \to 1}\frac{1-\sqrt[n]{x}}{1-\sqrt[m]{x}}\) (\(m, n \in \mathbb{N}_{\ge 2}\))៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(1-x\)៖

. \(\lim_{x \to 1}\frac{1-\sqrt{x}}{1-x^2}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំលែងភាគបែង៖ \(1-x^2 = (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})(1+x)\)

. \(\lim_{x \to 4}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}\)៖
ជំនួស \(x = 4\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់រៀងគ្នា៖

. \(\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+8}-\sqrt{8x+1}}{\sqrt{5-x}-\sqrt{7x-3}}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់ភាគយក និងភាគបែង៖
- ភាគយក៖ \((x+8)-(8x+1) = -7(x-1)\)
- ភាគបែង៖ \((5-x)-(7x-3) = -8(x-1)\)

. \(\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{4x}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់នៃភាគយក៖

. \(\lim_{x \to 7}\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}\)៖
ជំនួស \(x = 7\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់ និងបំលែងភាគបែង៖

. \(\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់នៃភាគយក៖

. \(\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x^2-2x+6}-\sqrt{x^2+2x-6}}{x^2-4x+3}\)៖
ជំនួស \(x = 3\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់ភាគយក និងបំលែងភាគបែង៖
- ភាគយក៖ \((x^2-2x+6)-(x^2+2x-6) = -4(x-3)\)
- ភាគបែង៖ \(x^2-4x+3 = (x-3)(x-1)\)

. \(\lim_{x \to -1}\frac{x+1}{2-\sqrt{4+x+x^2}}\)៖
ជំនួស \(x = -1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់នៃភាគបែង៖ \(4-(4+x+x^2) = -x(x+1)\)

. \(\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+16}-4}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់ភាគយក និងភាគបែង៖

. \(\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+9}-3}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់ភាគយក និងភាគបែង៖

. \(\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt[3]{10-x}-2}{x-2}\)៖
ជំនួស \(x = 2\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមបំពេញ \(A^3-B^3\)៖

. \(\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{\sqrt[3]{26+x}-3}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមបំពេញភាគបែង៖

. \(\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{x^2+1}-1}{x^2}\)៖
ជំនួស \(x = 0\) ទទួលបានរាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមបំពេញភាគយក៖

ប្រធាន៖ គណនាលីមីតខាងក្រោម៖
. \(\lim_{x \to \infty} (-3x^2+5x+2)\)៖
ពេល \(x \to \infty\) មានរាង \(\infty - \infty\) ។
ទាញតួដឺក្រេខ្ពស់បំផុត \(x^2\) ជាកត្តា៖

. \(\lim_{x \to \infty} (-2+x-x^4)\)៖
ពេល \(x \to \infty\) មានរាង \(\infty - \infty\) ។
ទាញ \(x^4\) ជាកត្តា៖

. \(\lim_{x \to \infty} (-x^3+x^2-4x+5)\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(-\infty + \infty\) ។
ទាញ \(x^3\) ជាកត្តា៖

. \(\lim_{x \to +\infty} (1+x-x^5)\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) មានរាង \(\infty - \infty\) ។
ទាញ \(x^5\) ជាកត្តា៖

. \(\lim_{x \to -\infty} (1-3x-x^3)\)៖
ពេល \(x \to -\infty\) មានរាង \((+\infty)+(+\infty)\) មិនមែនរាងមិនកំណត់ទេ ។
ទាញ \(x^3\) ជាកត្តា៖

. \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x-2}-\sqrt{x})\)៖
(អនុគមន៍កំណត់ចំពោះ \(x \ge 2 \implies x \to +\infty\))៖
ពេល \(x \to +\infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ។
គុណនិងចែកនឹងកន្សោមឆ្លាស់៖

. \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x}-x)\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ។
គុណនិងចែកនឹងកន្សោមឆ្លាស់៖

. \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+x}-x)\)៖
ពេល \(x \to -\infty\) នាំឱ្យ \(\sqrt{x^2+x} \to +\infty\) និង \(-x \to +\infty\) ។
លីមីតមានរាង \((+\infty) + (+\infty)\) មិនមែនមិនកំណត់ទេ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x-3}-\sqrt{x})\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ។
គុណនិងចែកនឹងកន្សោមឆ្លាស់៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}(\sqrt{x-3}-\sqrt{x})\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\infty \times 0\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់ក្នុងវង់ក្រចក៖

. \(\lim_{x \to +\infty} x(\sqrt{x^2+1}-x)\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\infty \times 0\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់៖

. \(\lim_{x \to -\infty} x(\sqrt{x^2+1}-x)\)៖
ពេល \(x \to -\infty\) នាំឱ្យ \(x \to -\infty\) និងចំនួន \((\sqrt{x^2+1}-x) \to +\infty\) ។
លីមីតមានរាង \((-\infty) \times (+\infty) = -\infty\) (មិនមែនមិនកំណត់ទេ)៖

. \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+1}-x)\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់៖

. \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+1}-x)\)៖
ពេល \(x \to -\infty\) នាំឱ្យ \(\sqrt{x^2+1} \to +\infty\) និង \(-x \to +\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+3})\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ។
ទាញតួដែលមានដឺក្រេខ្ពស់ជាងគេ \(x\) ជាកត្តា៖

. \(\lim_{x \to \pm\infty} (x\sqrt{x^2+1}-x)\)៖
ដាក់ \(x\) ជាកត្តារួម៖ \(x(\sqrt{x^2+1}-1)\)
ដោយ \(\lim_{x \to \pm\infty} (\sqrt{x^2+1}-1) = +\infty\)៖
- ពេល \(x \to +\infty \implies (+\infty)(+\infty) = +\infty\)
- ពេល \(x \to -\infty \implies (-\infty)(+\infty) = -\infty\)

. \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{2x^2+x}+3x-1)\)៖
ពេល \(x \to -\infty\) នាំឱ្យ \(\sqrt{x^2} = -x\) ។ ទាញ \(x\) ជាកត្តា៖

. \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2+3x})\)៖
គុណកន្សោមឆ្លាស់៖

. \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{x^3+3x^2+1}-x)\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ។
គុណកន្សោមបំពេញ \(A^3-B^3 = 3x^2+1\)៖

. \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt[4]{x^4+4}-x)\)៖
ពេល \(x \to -\infty\) នាំឱ្យ \(\sqrt[4]{x^4+4} \to +\infty\) និង \(-x \to +\infty\) ៖

ប្រធាន៖ គណនាលីមីតខាងក្រោម៖
. \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x-7}{3x}\)៖
ពេល \(x \to \infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\frac{\infty}{\infty}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x}\)៖
ពេល \(x \to \infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\frac{\infty}{\infty}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to \infty} \frac{7+x^2}{-3+x^2}\)៖
ពេល \(x \to \infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\frac{\infty}{\infty}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x^2\)៖

. \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{3+(x-1)^2}\)៖
ពេល \(x \to \infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\frac{\infty}{\infty}\) ។
ពន្លាតភាគបែង៖ \(3+(x-1)^2 = x^2-2x+4\)

. \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-4x+4}{(x-1)^2}\)៖
ពេល \(x \to \infty\) មានរាងមិនកំណត់ \(\frac{\infty}{\infty}\) ។
ពន្លាតភាគបែង៖ \((x-1)^2 = x^2-2x+1\)

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}{\sqrt{x}-5}\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(\sqrt{x}\)៖

. \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+9}-\sqrt{x^2-9}}{6x}\)៖
ពេល \(x \to \infty\) គុណកន្សោមឆ្លាស់នៃភាគយក៖
\((x^2+9)-(x^2-9) = 18\)

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x-1}-2x}{x-7}\)៖
(អនុគមន៍កំណត់ចំពោះ \(x \ge 1 \implies x \to +\infty\))៖
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}-6x}{3x+1}\)៖
(អនុគមន៍កំណត់ចំពោះ \(x \ge 0 \implies x \to +\infty\))៖
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3+x}-x}\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^2+1}-x}\)៖
ពេល \(x \to +\infty\) ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x}-2\sqrt{x^3}}{\sqrt[4]{x^5}+x\sqrt{x}}\)៖
តួដឺក្រេខ្ពស់បំផុតគឺ \(x^{3/2} = x\sqrt{x}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x^{3/2}\)៖

. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt[3]{x^2+1}}{2\sqrt[4]{x^4+1}-\sqrt[5]{x^4+1}}\)៖
ពេល \(x \to -\infty \implies |x| = -x\) ។ ចែកនឹង \(|x|\)៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}\)៖
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(\sqrt{x}\)៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}\)៖
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(\sqrt{x}\)៖

. \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+2x-3}+2x}{\sqrt{x^2+4}+x}\)៖
- បើ \(x \to +\infty\) ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[4]{x^4+2}}{\sqrt[3]{5+27x^3}}\)៖
- បើ \(x \to +\infty\)៖ \(\lim_{x \to +\infty}\frac{x\sqrt[4]{1+2/x^4}}{x\sqrt[3]{5/x^3+27}} = \frac{1}{3}\)
- បើ \(x \to -\infty\)៖ \(\lim_{x \to -\infty}\frac{-x\sqrt[4]{1+2/x^4}}{x\sqrt[3]{5/x^3+27}} = -\frac{1}{3}\)

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}\)៖
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(\sqrt{x}\) (\(x > 0\))៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}{x+1}\)៖
គុណកន្សោមឆ្លាស់នៃភាគយក៖

ប្រធាន៖ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}(\sin^2 x + \cos^2 x)\)៖
ជំនួសតម្លៃ \(x = \frac{\pi}{6}\) ចូលក្នុងកន្សោម៖

. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}(\sin x - 1)^2\)៖
ជំនួសតម្លៃ \(x = \frac{\pi}{6}\) ចូលក្នុងកន្សោម៖

. \(\lim_{x \to \pi} \tan x\)៖
ជំនួសតម្លៃ \(x = \pi\) ចូលក្នុងកន្សោម៖

. \(\lim_{x \to 7\pi} \cos\frac{x}{3}\)៖
ជំនួសតម្លៃ \(x = 7\pi\) ចូលក្នុងកន្សោម៖

. \(\lim_{x \to \frac{13\pi}{4}}(\cot x - \tan x)\)៖
ជំនួសតម្លៃ \(x = \frac{13\pi}{4}\) ចូលក្នុងកន្សោម៖
ដោយ \(\frac{13\pi}{4} = 3\pi + \frac{\pi}{4}\) នោះ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + \cos^2 x}{x^2 + 1}\)៖
ជំនួសតម្លៃ \(x = 0\) ចូលក្នុងកន្សោម៖

. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \tan x}{\sin^2 x}\)៖
ជំនួសតម្លៃ \(x = \frac{\pi}{4}\) ចូលក្នុងកន្សោម៖

. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\tan x - \sin x}{\cos x - 1}\)៖
ជំនួសតម្លៃ \(x = \frac{\pi}{3}\) ចូលក្នុងកន្សោម៖

. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin^2 x + \tan^2 x}{2\sin x}\)៖
ជំនួសតម្លៃ \(x = \frac{\pi}{6}\) ចូលក្នុងកន្សោម៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x + \tan x}{\tan^2 x + 3}\)៖
ជំនួសតម្លៃ \(x = 0\) ចូលក្នុងកន្សោម៖

. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x + \sin x}{\cos^2 2x}\)៖
នៅពេល \(x \to \frac{\pi}{4}\) ភាគយកគឺ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 10x}{10x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(u = 10x\) ពេល \(x \to 0\) នាំឱ្យ \(u \to 0\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan 8x}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{5x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{\sin 4x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{\tan 6x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{3x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(1-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1-\cos x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ដោយ \(1-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}\) នោះ៖
\(\sqrt{1-\cos x} = \sqrt{2}\left|\sin\frac{x}{2}\right|\)

• បើ \(x \to 0^+\) នោះ \(\sin\frac{x}{2} > 0\)៖

  \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}} &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \lim_{x \to 0^+} \frac{2\cdot \frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} = \sqrt{2} \end{aligned}\]

• បើ \(x \to 0^-\) នោះ \(\sin\frac{x}{2} < 0\)៖

  \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{-\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}} &= -\sqrt{2} \end{aligned}\]

\(\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1-\cos x}} = \begin{cases} \sqrt{2} & \text{បើ } x \to 0^+ \\ -\sqrt{2} & \text{បើ } x \to 0^- \end{cases}}\)

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^3}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 2x}{x\sin x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(1-\cos 2x = 2\sin^2 x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^3\frac{x}{2}}{x^3}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x + \sin 7x}{\sin 3x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(1-\cos u = 2\sin^2\frac{u}{2}\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to \infty} x\sin\frac{\pi}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\infty \cdot 0\) ។
តាង \(t = \frac{\pi}{x}\) ពេល \(x \to \infty \implies t \to 0\) និង \(x = \frac{\pi}{t}\)៖

. \(\lim_{x \to -1} \frac{x^3+1}{\sin(x+1)}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែក \(x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)\)៖

. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{|\sin x|}{x}\)៖
នៅពេល \(x \to 0^+\) (\(x > 0\)) នោះ \(\sin x > 0 \implies |\sin x| = \sin x\)៖

. \(\lim_{x \to 1} \frac{\tan(x-1)}{\sqrt{x}-1}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ \((\sqrt{x}+1)\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos x}-1}{\sin^2 x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណនឹងកន្សោមឆ្លាស់ភាគយកគឺ \((\sqrt{\cos x}+1)\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin 5x}{\sin 2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos^3 x}{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ទាញ \(\cos x\) ជាកត្តារួចប្រើរូបមន្ត \(1-\cos^2 x = \sin^2 x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} x\cot 2x\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(0\cdot\infty\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{1-\cos x}{x^2}}\)៖
យើងគណនាលីមីតខាងក្នុងរ៉ាឌីកាល់សិន៖

. \(\lim_{x \to \pi} \frac{\sqrt{1-\tan x}-\sqrt{1+\tan x}}{\sin 2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។ គុណនឹងកន្សោមឆ្លាស់៖

. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\ln(\sin x)}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{-\infty}{-\infty}\) ។ ប្រើវិធានឡូពីតាល់៖

. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(\sin 2x)}{\ln(\sin x)}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{-\infty}{-\infty}\) ។ ប្រើវិធានឡូពីតាល់៖

ប្រធាន៖ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x}{3x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(1-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{2\tan x}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}\) (\(b \neq 0\))៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{3x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan mx}{\sin nx}\) (\(n \neq 0\))៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x\sin x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
គុណកន្សោមឆ្លាស់ \((1+\cos x)\)៖

. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{\cos 2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែក \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 2x}{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(1-\cos 2x = 2\sin^2 x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos^2 x}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ទាញ \(\cos x\) ជាកត្តារួម៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - \cos^2 3x}{6x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ទាញ \(\cos 3x\) ជាកត្តារួម៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 4x}{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(1-\cos 4x = 2\sin^2 2x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin 3x}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 3x}{\sin 3x - 2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - 2x}{x - 2\sin x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{x + \sin x}{2x - 3\sin 2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos^2 x}{3x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(1-\cos^2 x = \sin^2 x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 5x}{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(1-\cos 5x = 2\sin^2\frac{5x}{2}\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x + 1989\pi)}{\sin(4x + 1987\pi)}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ដោយ \(\sin(\theta + k\pi) = (-1)^k \sin\theta\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{\sin^2 x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ដោយ \(\sin^2 x = 1-\cos^2 x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \left(\frac{2}{\sin^2 x} - \frac{1}{1-\cos x}\right)\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ។
តម្រូវភាគបែងរួម \(\sin^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x)\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + 1 - \cos x}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - 2\sin 4x}{\tan x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{2\sin^2 x - 3\sin x + 1}{4\sin^2 x - 1}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
បំបែកភាគយកនិងភាគបែងជាកត្តា៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos nx}{1-\cos mx}\) (\(m \neq 0\))៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(1-\cos u = 2\sin^2\frac{u}{2}\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{3x + \sin 2x}{3x - \sin 2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{(1+x^2) - \cos x}{\tan^2 x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x^2\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(a+x) - \sin(a-x)}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(\sin P - \sin Q = 2\sin\frac{P-Q}{2}\cos\frac{P+Q}{2}\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1+\sin x - \cos x}{1-\sin x - \cos x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(1-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}\) និង \(\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{2\tan x - \sin x}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{x(a-b)}{\sin ax - \sin bx}\) \((a \ne b)\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។ ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin(\sin x))}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x + x\sin 10x}{\sin 10x + x\sin 5x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។ ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x)\sin x}{\tan^3 x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

ប្រធាន៖ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\ln x)}{\ln x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(t = \ln x \implies x \to 1, t \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\tan(e^x)}{e^x}\)៖
តាង \(t = e^x\) ។ កាលណា \(x \to -\infty \implies t \to 0^+\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin^2 2x)}{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ប្រើរូបមន្ត \(1-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}\) ៖

. \(\lim_{x \to 1} \frac{\cos(\frac{\pi x}{2})}{1-x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(t = 1-x \implies x = 1-t\) ។ កាលណា \(x \to 1, t \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\tan x\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(0 \cdot \infty\) ។
តាង \(t = \frac{\pi}{2}-x \implies x = \frac{\pi}{2}-t\) ។ ពេល \(x \to \frac{\pi}{2}, t \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to 1} (1-x)\tan\frac{\pi x}{2}\)៖
តាង \(t = 1-x \implies x = 1-t\) ។ ពេល \(x \to 1, t \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} 2x}{3x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(t = \sin^{-1} 2x \implies 2x = \sin t \implies x = \frac{\sin t}{2}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1} 2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(t = \tan^{-1} 2x \implies 2x = \tan t \implies x = \frac{\tan t}{2}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(x^2)}{(\tan^{-1} x)^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x^2\) ៖

. \(\lim_{x \to -3} \frac{x^2-9}{\tan^{-1}(x+3)}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(t = x+3 \implies x = t-3\) ។ ពេល \(x \to -3, t \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{2x-\sin^{-1} x}{2x+\tan^{-1} x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។ ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x\) ៖

. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin(x-\frac{\pi}{6})}{\sqrt{3}-2\cos x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(t = x-\frac{\pi}{6} \implies x = t + \frac{\pi}{6}\) ។ ពេល \(x \to \frac{\pi}{6}, t \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{(\frac{\pi}{4}-x)(\cos x + \sin x)}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(t = \frac{\pi}{4}-x \implies x = \frac{\pi}{4}-t\) ៖

. \(\lim_{x \to a} \frac{\cos\sqrt{x} - \cos\sqrt{a}}{x-a}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាមនិយមន័យដេរីវេនៃ \(f(x) = \cos\sqrt{x}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{x(5^x-1)}{1-\cos x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos 2x)\sin 5x}{x^2\sin 3x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{1-\sqrt{1-x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។ គុណនឹងកន្សោមឆ្លាស់ \(1+\sqrt{1-x}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{x^2}}\)៖
ដោយសារ \(\sqrt{x^2} = |x|\) ៖
\(\bullet\) បើ \(x \to 0^+ \implies |x| = x\) នោះ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x + 4\tan x}{2-x-2x^4}\)៖
ជំនួសតម្លៃ \(x = 0\) ដោយផ្ទាល់៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{\sin 5x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។ គុណនឹងកន្សោមឆ្លាស់ \(\sqrt{x+4}+2\) ៖

. \(\lim_{x \to 1} \frac{\sin(1-x)}{\sqrt{x}-1}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(t = 1-x \implies x = 1-t\) ។ ពេល \(x \to 1, t \to 0\) ៖

. \(\lim_{a \to \pi} \frac{\sin a}{1-\frac{a^2}{\pi^2}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។
តាង \(t = \pi - a \implies a = \pi - t\) ។ ពេល \(a \to \pi, t \to 0\) ៖

ប្រធាន៖ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x}\)៖

. \(\lim_{x \to -\infty} e^{2-3x}\)៖
កាលណា \(x \to -\infty\) នោះ \(2-3x \to +\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} (e^x - 7x + 6)\)៖
ទាញ \(e^x\) ជាកត្តារួម៖

. \(\lim_{x \to -\infty} (e^x + 3)\)៖
កាលណា \(x \to -\infty\) នោះ \(e^x \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} (2e^x - x^2 + 1)\)៖
ទាញ \(e^x\) ជាកត្តារួម៖

. \(\lim_{x \to 0} (e^x + 2x^2 - 6)\)៖
ជំនួសតម្លៃ \(x = 0\) ដោយផ្ទាល់៖

. \(\lim_{x \to +\infty} (x^3+x)e^{-x}\)៖

. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{2x}+1}{e^x+3}\)៖
កាលណា \(x \to -\infty\) នោះ \(e^{2x} \to 0\) និង \(e^x \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{xe^x+2}{x^2-1}\)៖
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(x^2\) ៖

. \(\lim_{x \to -\infty} xe^x\)៖
តាង \(t = -x \implies x = -t\) ។ ពេល \(x \to -\infty, t \to +\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x-1}{x^2+x-3}\)៖

. \(\lim_{x \to -\infty} (xe^x + e^x + 2)\)៖
ដោយសារ \(\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0\) និង \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-e^x}{2e^x+3x+1}\)៖
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(e^x\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x-e^x}{2e^x+3}\)៖
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(e^x\) ៖

. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)៖
កាលណា \(x \to -\infty \implies e^x \to 0, e^{-x} \to +\infty\) ៖
ចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(e^{-x}\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3e^{x-2}}{x^3}\)៖

. \(\lim_{x \to +\infty} (x+1)e^{-x}\)៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-e^{-2x}}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។ គុណនឹង \(e^x\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}-3e^x+1}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។ បំបែកជាកត្តា៖
\(2(e^x)^2 - 3e^x + 1 = (2e^x - 1)(e^x - 1)\) ៖

ប្រធាន៖ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x+\sin x - 1}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ចែកភាគយក និងភាគបែងនឹង \(x\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x}+\sin 2x - 1}{\sin x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{(e^{-3x+2}-e^2)\sin \pi x}{4x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ទាញ \(e^2\) ជាកត្តា ៖ \(e^{-3x+2}-e^2 = e^2(e^{-3x}-1)\)

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + e^x - 1}{x^2+x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ភាគបែង \(x^2+x = x(x+1)\) ៖

. \(\lim_{x \to 1} \frac{1-x}{e^x-e}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ទាញ \(e\) ជាកត្តា ៖ \(e^x - e = e(e^{x-1}-1)\) ៖
តាង \(t = x-1 \implies x = t+1\) ។
កាលណា \(x \to 1 \implies t \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{5^x-4^x}{x^2-x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ថែម និងដក \(1\) នៅភាគយក ៖
\(5^x-4^x = (5^x-1) - (4^x-1)\)
ភាគបែង \(x^2-x = x(x-1)\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{2-(e^x+e^{-x})}{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង \(e^x\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x}-e^{\sin 3x}}{\sin 2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ចែកភាគយក និងភាគបែងនឹង \(x\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin^2 2x}-\cos(\sin 3x)}{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ថែម និងដក \(1\) នៅភាគយក ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x+1}-e}{\sin \pi x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ទាញ \(e\) ជាកត្តា ៖ \(e^{x+1}-e = e(e^x-1)\)

. \(\lim_{x \to \pi} \frac{\sin 2x}{e^{x+\pi}-e^{2\pi}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
តាង \(t = x-\pi \implies x = t+\pi\) ។
កាលណា \(x \to \pi \implies t \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x+\sin x - 1}{1-\sqrt{x+1}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
គុណកន្សោមឆ្លាស់ \((1+\sqrt{x+1})\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{(e^x-1)(1-\cos 2x)\sin 7x}{x^4}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ដោយ \(1-\cos 2x = 2\sin^2 x\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^{x^2}-4^{x^2}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ចែកភាគយក និងភាគបែងនឹង \(x^2\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{\sin 2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ចែកភាគយក និងភាគបែងនឹង \(x\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{2e^{x}+3e^{2x}-5}{e^{3x}-1}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ។ សរសេរ \(2e^x+3e^{2x}-5 = 2(e^x-1)+3(e^{2x}-1)\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{-x^2}-\cos 2x}{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ថែម និងដក \(1\) នៅភាគយក ៖

ប្រធាន៖ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2-x}\)៖
ទាញ \(x^2\) ជាកត្តានៅភាគបែង ៖

. \(\lim_{x \to -\infty} \ln(e^x+1)\)៖
កាលណា \(x \to -\infty \implies e^x \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to 0^+} \ln\left(\frac{x}{x+1}\right)\)៖
កាលណា \(x \to 0^+ \implies \frac{x}{x+1} \to 0^+\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} x\ln(x^2+1)\)៖
កាលណា \(x \to +\infty\) ៖
\(x \to +\infty\) និង \(\ln(x^2+1) \to +\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} (x\ln x - x^2 + 5)\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ៖
ទាញ \(x^2\) ជាកត្តា ៖

. \(\lim_{x \to 1^-} x\ln(4-3x-x^2)\)៖
ជំនួស \(x \to 1^-\) ចូល ៖
\(4 - 3(1) - (1)^2 = 0^+\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} x[\ln(x+1)-\ln x]\)៖
ប្រើលក្ខណៈ \(\ln A - \ln B = \ln\frac{A}{B}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0^+} (x\ln x - x^2 + 2)\)៖
ដោយតាមរូបមន្តគ្រឹះ \(\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0\) ៖

. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2\ln x + 2}{\ln x + 1}\)៖
ចែកភាគយក និងភាគបែងនឹង \(\ln x\) ៖

. \(\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x} - \frac{\ln x}{x}\right)\)៖
តម្រូវភាគបែងរួម ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x\ln x + 1}{x^2}\)៖
បំបែកជាពីរតួ ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{1-e^x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ចែកភាគយក និងភាគបែងនឹង \(x\) ៖

. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1+\ln x}{e^x-e}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
តាង \(t = x-1 \implies x = t+1\) ។
កាលណា \(x \to 1 \implies t \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} [x+3-3\ln(e^x+1)]\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ៖
ទាញ \(e^x\) ជាកត្តាក្នុងលោការីត ៖
\(\ln(e^x+1) = \ln[e^x(1+e^{-x})] = x + \ln(1+e^{-x})\)

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{e^{2x}-1}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ចែកភាគយក និងភាគបែងនឹង \(x\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \left(x+\frac{\ln x}{2x+1}\right)\)៖
គណនាលីមីតតួទីពីរ ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x^2)}{1-\cos 2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
ដោយ \(1-\cos 2x = 2\sin^2 x\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos 2x)}{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
សរសេរ \(\cos 2x = 1+(\cos 2x - 1)\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x^2-x+1)}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
សរសេរ \(x^2-x+1 = 1 + (x^2-x)\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)+\ln(1+2x)}{x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\) ៖
បំបែកជាពីរតួ ៖

ប្រធាន៖ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1+n}{n}\right)^{n+2020}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែកជាផលគុណ ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{2x+3}{2x+1} = 1 + \frac{2}{2x+1}\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x+1}{x}}\)៖
កាលណា \(x \to +\infty\) ៖
មូលដ្ឋាន \(1+\frac{1}{x} \to 1+0 = 1\)
ស្វ័យគុណ \(\frac{x+1}{x} = 1+\frac{1}{x} \to 1+0 = 1\) ៖
ជារាងកំណត់ \(1^1\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{3x-4}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{5x}\right)^{2x+6}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{7}{3x}\right)^{x-1}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{1}{3x}\right)^x\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{5}{x}\right)^x\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^x\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{x-1}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+6}{x+5}\right)^x\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{x+6}{x+5} = 1 + \frac{1}{x+5}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x-3}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{x-3}{x} = 1 - \frac{3}{x}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7x+10}{1+7x}\right)^{\frac{x}{3}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{7x+10}{7x+1} = 1 + \frac{9}{7x+1}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x-1}{2x+1}\right)^x\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{2x-1}{2x+1} = 1 - \frac{2}{2x+1}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6+4x}{2+4x}\right)^{3-2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{4x+6}{4x+2} = 1 + \frac{4}{4x+2}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+5}{x+4}\right)^{2x-1}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{x+5}{x+4} = 1 + \frac{1}{x+4}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x+5}{2x}\right)^{3x-7}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{2x+5}{2x} = 1 + \frac{5}{2x}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x+1}{2x-3}\right)^{3x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{2x+1}{2x-3} = 1 + \frac{4}{2x-3}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{5-4x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{x-1}{x+3} = 1 - \frac{4}{x+3}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x+1}\right)^x\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3x-2}{3x+1}\right)^{2x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{3x-2}{3x+1} = 1 - \frac{3}{3x+1}\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2x-5}{2x-2}\right)^{4x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{2x-5}{2x-2} = 1 - \frac{3}{2x-2}\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{3x+6}{3x-1}\right)^{x^2}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{3x+6}{3x-1} = 1 + \frac{7}{3x-1}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2+2x+1}{x^2+3}\right)^x\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{x^2+2x+1}{x^2+3} = 1 + \frac{2x-2}{x^2+3}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (1+5x)^{\frac{1}{8x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left[\ln\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{2-x}\right]\)៖
គណនាលីមីតខាងក្នុង ៖

. \(\lim_{x \to \infty} x[\ln(x+3)-\ln x]\)៖
ប្រើលក្ខណៈលោការីត ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} x[\ln x - \ln(x+2)]\)៖
ប្រើលក្ខណៈលោការីត ៖

. \(\lim_{x \to \infty} (x+1)[\ln(x+1)-\ln x]\)៖
ប្រើលក្ខណៈលោការីត ៖

ប្រធាន៖ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{x \to 0^+} (1+2x)^{\cot x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (1+\sin x)^{\frac{1}{x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (2-e^x)^{\frac{1}{x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(2-e^x = 1+(1-e^x)\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (1+\sin x)^{\cot x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{\sin x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\cos x = 1+(\cos x - 1)\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (1+3\tan^2 x)^{\cot^2 x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \sqrt[\sin x]{1+x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{\sin 3x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (x+2^x)^{\frac{1}{x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(x+2^x = 1+(x+2^x-1)\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (\cos x+\sin x)^{\frac{1}{x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\cos x+\sin x = 1+(\cos x-1+\sin x)\) ៖

. \(\lim_{x \to 0^+} (1+\tan^2\sqrt{x})^{\frac{1}{2x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \left(\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\right)^{\frac{1}{\sin x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} = 1 - \frac{2x}{x^2+x+1}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{\tan x}{x-\sin x}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{\sin x}{x} = 1 + \frac{\sin x-x}{x}\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (2-2\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\)៖
ជំនួស \(x=0\) ៖ មូលដ្ឋាន \(2-2(1)=0\)
ស្វ័យគុណ \(\frac{1}{x^2} \to +\infty\) ៖ ជារាង \(0^{+\infty}\) ៖

. \(\lim_{x \to 1} (1+\sin\pi x)^{\cot\pi x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
តាង \(t = x-1 \implies x = t+1\) ។ កាលណា \(x \to 1 \implies t \to 0\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (1+2x^2)^{\cot^2 x}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{n \to 0} \left(1+\sin\frac{n}{2}\right)^{\frac{1}{n}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖

. \(\lim_{x \to 0} (\cos x+\sin^2 x)^{\frac{1}{x^2}}\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\cos x+\sin^2 x = 1+(\cos x-1+\sin^2 x)\) ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}}\)៖
ជារាង \(\infty^0\) ៖
សរសេរ \(x^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\ln x}{x}}\) ៖

. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+a}{x+b}\right)^x\)៖
ជារាងមិនកំណត់ \(1^\infty\) ៖
បំបែក \(\frac{x+a}{x+b} = 1+\frac{a-b}{x+b}\) ៖

ប្រធាន៖ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)\)៖
ផលបូកភាគយក ៖
\(S_{n-1} = 1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{n(n-1)}{2}\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \left[\frac{1+3+\dots+(2n-1)}{n+1} - \frac{1}{2n+3}\right]\)៖
ផលបូកចំនួនសេស \(n\) តួដំបូង ៖
\(S_n = 1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+\dots+n}{\sqrt{9n^4+1}}\)៖
ផលបូកភាគយក ៖ \(S_n = \frac{n(n+1)}{2}\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1+3+5+\dots+(2n-1)}{1+2+3+\dots+n}\)៖
ភាគយក \(S_1 = n^2\) ; ភាគបែង \(S_2 = \frac{n(n+1)}{2}\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \left[\frac{1+3+5+\dots+(2n-1)}{n+3} - n\right]\)៖
ផលបូកភាគយកគឺ \(n^2\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1+4+7+\dots+(3n-2)}{\sqrt{5n^2+n+1}}\)៖
ភាគយក \(S_n = \frac{n(1+3n-2)}{2} = \frac{3n^2-n}{2}\) ៖
ដឺក្រេភាគយក (\(2\)) ធំជាងភាគបែង (\(1\)) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{3^n}}{1+\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{5^n}}\)៖
ផលបូកស្វ៊ីតធរណីមាត្រអនន្ត ៖
ភាគយក ៖ \(S_1 = \frac{1}{1-1/3} = \frac{3}{2}\)
ភាគបែង ៖ \(S_2 = \frac{1}{1-1/5} = \frac{5}{4}\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1-3+5-7+\dots-(4n-1)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+n+1}}\)៖
ផ្ដុំតួភាគយកជាគូៗ (\(n\) គូ) ៖
\((1-3)+(5-7)+\dots = -2n\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1-2+3-4+\dots-2n}{\sqrt{9n^2+1}}\)៖
ផ្ដុំតួភាគយកជាគូៗ (\(n\) គូ) ៖
\((1-2)+(3-4)+\dots = -n\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^3+5}-\sqrt{3n^4+2}}{1+2+3+\dots+(2n-1)}\)៖
ភាគបែង \(S = \frac{(2n-1)(2n)}{2} = 2n^2-n\) ៖
តួដឺក្រេធំបំផុតភាគយកគឺ \(-\sqrt{3}n^2\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+2}{1+2+3+\dots+n} - \frac{2}{3}\right)\)៖
ជំនួស \(1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{3^k+2^k}{6^k}\)៖
បំបែក \(u_k = \left(\frac{1}{2}\right)^k + \left(\frac{1}{3}\right)^k\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{2-5+4-7+\dots-(2n+3)}{n+3}\)៖
ផ្ដុំតួភាគយកជាគូៗ (\(n\) គូ) ៖
\((2-5)+(4-7)+\dots = -3n\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+\dots+n}{n-n^2+3}\)៖
ភាគយក \(S_n = \frac{n^2+n}{2}\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+\sqrt{n}-1}{2+7+12+\dots+(5n-3)}\)៖
ភាគបែង \(S_n = \frac{n(2+5n-3)}{2} = \frac{5n^2-n}{2}\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1+2^k}{4^k}\)៖
បំបែក \(u_k = \left(\frac{1}{4}\right)^k + \left(\frac{1}{2}\right)^k\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{2+4+6+\dots+2n}{1+3+5+\dots+(2n-1)}\)៖
ភាគយក \(n(n+1) = n^2+n\) ; ភាគបែង \(n^2\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \left[\frac{1+5+\dots+(4n-3)}{n+1} - \frac{4n-1}{2}\right]\)៖
ភាគយកជាស្វ៊ីតនព្វន្ត \(S_n = 2n^2-n\) ៖

ប្រធាន៖ ដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោមឲ្យបានត្រឹមត្រូវ៖
. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1-2+3-4+\dots+(2n-1)-2n}{\sqrt[3]{n^3+2n+2}}\)៖
ផ្គុំភាគយកជា \(n\) គូ ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{3+6+9+\dots+3n}{n^2+4}\)៖
ភាគយកទាញ \(3\) ជាកត្តា ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \left[\frac{2+4+\dots+2n}{n+3} - n\right]\)៖
ផលបូកភាគយក \(2+4+\dots+2n = n(n+1)\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \left[\frac{7}{10} + \frac{29}{100} + \dots + \frac{2^n+5^n}{10^n}\right]\)៖
តួទូទៅ \(u_k = \frac{2^k+5^k}{10^k} = \left(\frac{1}{5}\right)^k + \left(\frac{1}{2}\right)^k\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \left[\frac{27}{100} + \frac{27}{100^2} + \dots + \frac{27}{100^n}\right]\)៖
ស្វ៊ីតធរណីមាត្រអនន្ត \(u_1 = \frac{27}{100}\) និង \(q = \frac{1}{100}\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[8]{2}\cdots\sqrt[2^n]{2}\right)\)៖
សរសេរជាស្វ័យគុណ ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\cdots\sqrt{a}}}} \quad{} (a > 0)\)៖
សរសេរជាស្វ័យគុណ ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\cdots\sqrt{2}}}}\)៖
អនុវត្តលទ្ធផលពីលំហាត់ (ឆ) ចំពោះ \(a = 2\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{a\sqrt{b\sqrt{a\sqrt{b\cdots}}}} \quad{} (a,b > 0)\)៖
តាង \(L = \lim_{n \to \infty} u_n\) ។ លើកជាការេ ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3\sqrt{5\cdots}}}}\)៖
អនុវត្តលទ្ធផលពី (ឈ) ចំពោះ \(a = 3, b = 5\) ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \left[1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}}\right]\)៖
ស្វ៊ីតធរណីមាត្រអនន្ត \(u_1 = 1\) និង \(q = -\frac{1}{3}\) ៖
ដោយ \(|q| = \frac{1}{3} < 1\) ផលបូកអនន្តគឺ ៖

. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1+a+a^2+\dots+a^n}{1+b+b^2+\dots+b^n} \quad{} (|a| < 1, |b| < 1)\)៖
ភាគយក \(S_a = \frac{1}{1-a}\) ; ភាគបែង \(S_b = \frac{1}{1-b}\) ៖

ប្រធាន៖ ដោយប្រើទ្រឹស្ដីបទឡូពីតាល់ (L’Hôpital) ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោម៖
. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\)៖
រាង \(\frac{\infty}{\infty}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x+\ln x}{x\ln x}\)៖
រាង \(\frac{\infty}{\infty}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^{x}}\)៖
រាង \(\frac{\infty}{\infty}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ពីរដង ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1+e^{x})}{x}\)៖
រាង \(\frac{\infty}{\infty}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to 0^+} x\ln x\)៖
រាង \(0\cdot(-\infty)\) ។ សរសេរជារាង \(\frac{-\infty}{+\infty}\) រួចប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to +\infty} x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)\)៖
រាង \(\infty\cdot 0\) ។ សរសេរជារាង \(\frac{0}{0}\) រួចប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}\ln x\)៖
រាង \(0\cdot(-\infty)\) ។ សរសេរ \(\sqrt{x}\ln x = \frac{\ln x}{x^{-\frac{1}{2}}}\) រួចប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)\)៖
រាង \(\infty-\infty\) ។ ធ្វើផលដក ៖ \(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - x}{x\sin x}\) (រាង \(\frac{0}{0}\))

. \(\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)\)៖
រាង \(\infty-\infty\) ។ ធ្វើផលដក ៖ \(\frac{x-1-\ln x}{(x-1)\ln x}\) (រាង \(\frac{0}{0}\))

. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3-2x^2+x}{x^2-1}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) គេបានរាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើទ្រឹស្ដីបទឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(\frac{d}{dx}(x^3-2x^2+x) = 3x^2-4x+1\)
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(\frac{d}{dx}(x^2-1) = 2x\)

. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2+1)}{\ln x}\)៖
រាង \(\frac{\infty}{\infty}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to 3} \frac{x^3-9x}{x^4-3x^3-x+3}\)៖
ជំនួស \(x = 3\) បានរាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(\frac{d}{dx}(x^3-9x) = 3x^2-9\)
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(\frac{d}{dx}(x^4-3x^3-x+3) = 4x^3-9x^2-1\)
ជំនួស \(x = 3\) ៖
ភាគយក ៖ \(3(9)-9 = 27-9 = 18\)
ភាគបែង ៖ \(4(27)-9(9)-1 = 108-81-1 = 26\)

. \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{8x}-2x}{\sqrt[4]{x}-x}\)៖
ជំនួស \(x = 1\) បានរាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
\(\sqrt[3]{8x} = 2x^{1/3} \implies (2x^{1/3})' = \frac{2}{3}x^{-2/3}\) នាំឲ្យភាគយកដេរីវេបាន \(\frac{2}{3}x^{-2/3}-2\) ។
ភាគបែង \(\sqrt[4]{x} = x^{1/4} \implies (x^{1/4})' = \frac{1}{4}x^{-3/4}\) នាំឲ្យភាគបែងដេរីវេបាន \(\frac{1}{4}x^{-3/4}-1\) ។
ជំនួស \(x = 1\) ចំពោះកន្សោមថ្មី ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{5^x-1}{x}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(\frac{d}{dx}(5^x-1) = 5^x \ln 5\)
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(\frac{d}{dx}(x) = 1\)

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{x}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(e^x - e^{-x}(-1) = e^x + e^{-x}\)
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(1\)

. \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x^2-1}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(\frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\)
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(\frac{d}{dx}(x^2-1) = 2x\)

. \(\lim_{x \to 1} \frac{3x^3-3}{3^x-3}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(9x^2\)
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(3^x \ln 3\)

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x^2}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(e^x\)
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(2x\) ភាគយក \(e^x \to 1 > 0\) ហើយភាគបែង \(2x \to 0\) ៖
- កាលណា \(x \to 0^+ \implies 2x > 0 \implies \lim_{x\to 0^+}\frac{e^x}{2x} = +\infty\)
- កាលណា \(x \to 0^- \implies 2x < 0 \implies \lim_{x\to 0^-}\frac{e^x}{2x} = -\infty\)
ដោយលីមីតឆ្វេង និងស្ដាំខុសគ្នា

. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{1-\cos x}{\pi - 3x}\)៖
ជំនួស \(x = \frac{\pi}{3}\) ៖ \(1 - \cos\frac{\pi}{3} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) និង \(\pi - 3\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0\) ។
រាងគឺ \(\frac{1/2}{0}\) (មិនមែនរាងមិនកំណត់ទេ) ដូច្នេះមិនចាំបាច់ប្រើឡូពីតាល់ទេ ៖
- កាលណា \(x \to \frac{\pi}{3}^- \implies \pi-3x > 0 \implies\) លីមីតស្មើ \(+\infty\)
- កាលណា \(x \to \frac{\pi}{3}^+ \implies \pi-3x < 0 \implies\) លីមីតស្មើ \(-\infty\)
ដោយលីមីតឆ្វេង និងស្ដាំខុសគ្នា

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x-1}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(\cos x\)
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(e^x\)

ប្រធាន៖ ដោយប្រើទ្រឹស្ដីបទឡូពីតាល់ ចូរដោះស្រាយលីមីតខាងក្រោម៖
. \(\lim_{x\to 0}\frac{\arctan 3x}{\arcsin 2x}\)
ជំនួស \(x = 0\) បានរាង \(\frac{0}{0}\) ។ អនុវត្តវិធានឡូពីតាល់ដោយធ្វើដេរីវេភាគយក និងភាគបែង ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(\frac{d}{dx}(\arctan 3x) = \frac{(3x)'}{1+(3x)^2} = \frac{3}{1+9x^2}\) ។
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(\frac{d}{dx}(\arcsin 2x) = \frac{(2x)'}{\sqrt{1-(2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\) ។
ជំនួសចូលលីមីត ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{x^3+\pi x}{\sin 3x}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(3x^2+\pi\) ។
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(3\cos 3x\) ។
ជំនួស \(x=0\) ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{2x-\sin x}\)
ជំនួស \(x = 0\) បានរាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(e^x-e^{-x}(-1) = e^x+e^{-x}\) ។
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(2-\cos x\) ។
ជំនួស \(x = 0\) ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{3^x-1}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(\frac{4}{1+4x}\) ។
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(3^x\ln 3\) ។
ជំនួស \(x = 0\) ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\ln(1+\sin x)}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(4\cos 4x\) ។
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(\frac{\cos x}{1+\sin x}\) ។
ជំនួស \(x=0\) ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x + x^2}{2^{3x}-3^{2x}}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(\frac{1}{1+x^2}+2x\) ។
ដេរីវេភាគបែង ៖
\(3\cdot 2^{3x}\ln 2 - 2\cdot 3^{2x}\ln 3\) ។
ជំនួស \(x = 0\) ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-e^{-2x}}{2\arcsin x - \sin x}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(3e^{3x}+2e^{-2x}\) ។
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}-\cos x\) ។
ជំនួស \(x = 0\) ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{3\ln(1-2x)}{2\arctan 3x}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(3\cdot \frac{-2}{1-2x} = \frac{-6}{1-2x}\) ។
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(2\cdot \frac{3}{1+9x^2} = \frac{6}{1+9x^2}\) ។
ជំនួស \(x = 0\) ៖

. \(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\arctan\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}{\pi - 2x}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(\frac{1}{1+(x-\pi/2)^2}\) ។
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(-2\) ។
ជំនួស \(x = \frac{\pi}{2}\) ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos 3x)}{\arctan 4x}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(\frac{(\cos 3x)'}{\cos 3x} = \frac{-3\sin 3x}{\cos 3x} = -3\tan 3x\) ។
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(\frac{4}{1+16x^2}\) ។
ជំនួស \(x = 0\) ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^2-(1+2x)}{x^2+4x^3}\)
ជំនួស \(x = 0\) បានរាង \(\frac{0}{0}\) ។
យើងអាចពន្លាតភាគយកមុននឹងធ្វើដេរីវេ ៖
\((1+x)^2-(1+2x) = 1+2x+x^2-1-2x = x^2\) ។
លីមីតក្លាយជា ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^4 x}{4x^2}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(-4\cos^3 x(-\sin x) = 4\cos^3 x\sin x\) ។
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(8x\) ។

. \(\lim_{x\to -1}\frac{(x^2+3x+2)^2}{x^3-3x-2}\)
ជំនួស \(x = -1\) បានរាង \(\frac{0}{0}\) ។ បំបែកជាកត្តាសិន ៖
\(x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)\) នាំឱ្យភាគយកគឺ \((x+1)^2(x+2)^2\) ។
ភាគបែង \(x^3-3x-2 = (x+1)^2(x-2)\) ។
លីមីតក្លាយជា ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{2x\sin x}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេភាគយក ៖ \(\sin x\) ។
ដេរីវេភាគបែង ៖ \(2\sin x + 2x\cos x\) (តាមវិធានដេរីវេផលគុណ) ។
នាំឱ្យលីមីតក្លាយជា ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{e^x-e^{-x}-2x}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេទី១ ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{x^3}{x-\arctan x}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេទី១ ៖

. \(\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-3x-1}{\sin^2 x}\)
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖
ដេរីវេទី១ ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x-x}{x^3}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1-x}{x^2}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ពីរដង ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ពីរដង ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x^2-1}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{2^{x}-3^{x}}{x}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖ (ដោយ \((a^x)' = a^x\ln a\))

. \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 3x}{x\sin x}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ពីរដង ៖

. \(\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi-x}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-\cos x}{x}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x-x}{x^3}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖ (ដោយ \((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\))

. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{-x}-2x}{x-\sin x}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់បីដង ៖

. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x-1}{x-\frac{\pi}{4}}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖

. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{\ln(x-1)}\)៖
រាង \(\frac{0}{0}\) ។ ប្រើឡូពីតាល់ ៖

ប្រធាន៖ សិក្សាភាពជាប់ ឬកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ជាប់ត្រង់ចំណុចដែលគេឲ្យ៖
. \(f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-9}{x-3} & x\ne 3\\ 6 & x=3\end{cases}\) ត្រង់ \(x=3\)៖
គេមាន \(f(3)=6\) ។
\(\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3}(x+3)=6\) ។
ដោយ \(\lim\limits_{x\to 3}f(x)=f(3)=6\)

. \(f(x)=\begin{cases}x^2+1 & x<1\\ 2x & x\ge 1\end{cases}\) ត្រង់ \(x=1\)៖
\(f(1)=2(1)=2\) ។
\(\lim\limits_{x\to 1^-}(x^2+1)=2\) និង \(\lim\limits_{x\to 1^+}2x=2\) ។
ដោយ \(\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=f(1)\)

. \(f(x)=\begin{cases}\frac{\sin 2x}{x} & x\ne 0\\ 1 & x=0\end{cases}\) ត្រង់ \(x=0\)៖
\(f(0)=1\) និង \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\left(2\cdot\frac{\sin 2x}{2x}\right)=2\) ។
ដោយ \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=2\ne f(0)\)

. រក \(m\)៖
\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{4}\) ។
\(f\) ជាប់ត្រង់ \(0\) លុះត្រាតែ \(f(0)=\lim\limits_{x\to 0}f(x)\)

. រក \(a\) និង \(b\)៖
\(f(1)=3\) ; \(\lim\limits_{x\to 1^-}(x+a)=1+a\) ; \(\lim\limits_{x\to 1^+}(bx^2+1)=b+1\) ។
\(f\) ជាប់ត្រង់ \(1\) លុះត្រាតែ \(1+a=3\) និង \(b+1=3\) ។

. \(f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}\) មិនកំណត់ត្រង់ \(0\) ។
\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\) ។

ប្រធាន៖ ទ្រឹស្ដីបទតម្លៃកណ្ដាល និងអាស៊ីមតូត៖
. តាង \(f(x)=x^3-3x+1\) ជាអនុគមន៍ពហុធា ដូចនេះជាប់លើ \([0,1]\) ។
\(f(0)=1>0\) និង \(f(1)=-1<0\) នាំឱ្យ \(f(0)\cdot f(1)<0\) ។
តាមទ្រឹស្ដីបទតម្លៃកណ្ដាល

. តាង \(f(x)=xe^x-1\) ជាប់លើ \([0,1]\) ។
\(f(0)=-1<0\) និង \(f(1)=e-1>0\) ។
\(f'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x>0\) លើ \(]0,1[\) នាំឱ្យ \(f\) កើនដាច់ខាត ។

. តាង \(g(x)=\sin x+x-1\) ជាប់លើ \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) ។
\(g(0)=-1<0\) និង \(g\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+\frac{\pi}{2}-1=\frac{\pi}{2}>0\) ។

. \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) ។ ចែកពហុធាបាន \(f(x)=2x+1+\frac{3}{x-2}\) ។
\(\bullet\) \(\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=+\infty\) , \(\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=-\infty\) \(\Rightarrow\) \(x=2\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។
\(\bullet\) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-(2x+1)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{3}{x-2}=0\) \(\Rightarrow\) \(y=2x+1\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

. \(D=\mathbb{R}\setminus\{-3\}\) ។ គេសរសេរ \(g(x)=-2+\frac{7}{x+3}\) ។
\(\bullet\) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}g(x)=-2\) \(\Rightarrow\) \(y=-2\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។
\(\bullet\) \(\lim\limits_{x\to -3^+}g(x)=+\infty\) , \(\lim\limits_{x\to -3^-}g(x)=-\infty\) \(\Rightarrow\) \(x=-3\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

. \(\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2e^x+1}{e^x+1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2+e^{-x}}{1+e^{-x}}=2\) និង \(\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2e^x+1}{e^x+1}=\frac{0+1}{0+1}=1\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត \(\lim_{x\to 0} \frac{2-\sqrt{x+4}}{x}\) ។

ចម្លើយ៖ យើងមានលីមីតមានរាងមិនកំណត់ \(\left[\frac{0}{0}\right]\)

ប្រធាន៖ \(f\) ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ \(f(x) = \begin{cases} x-2+\frac{e}{\ln x} & \text{បើ } x > 0 \text{ និង } x \neq 1 \\ m & \text{បើ } x = 0 \end{cases}\) ។ គណនា \(\lim_{x\to 0^+} f(x)\) ។

កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍ \(f\) ជាប់ខាងស្ដាំត្រង់ \(x = 0\) ។

ចម្លើយ៖

• គណនាលីមីតខាងស្ដាំត្រង់ \(0\)៖

  \[\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \left(x-2+\frac{e}{\ln x}\right)\]
  ដោយ \(\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty\) នាំឲ្យ \(\lim_{x\to 0^+} \frac{e}{\ln x} = 0\) ។ ដូចនេះ \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0-2+0 = -2\) ។

• កំណត់តម្លៃ \(m\)៖ ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍ \(f\) ជាប់ខាងស្ដាំត្រង់ \(x = 0\) លុះត្រាតែ \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0)\) ។ ដោយ \(f(0) = m\) និង \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = -2\) យើងបាន \(m = -2\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត៖

. \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x + e^x - 1}{x^2+x}\) . \(\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x + 2}{x+1}\)

ចម្លើយ៖

. គណនា \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x + e^x - 1}{x^2+x}\) (រាងមិនកំណត់ \(\left[\frac{0}{0}\right]\))

. គណនា \(\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x + 2}{x+1}\) (រាងមិនកំណត់ \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\))

ប្រធាន៖

. គណនាលីមីត៖ \(\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x \ln x + 1}{x^2}\) ។

. គណនាដេរីវេនៃ \(y = e^x \ln(x+1), x > -1\) ។ ទាញរកព្រីមីទីវនៃ \(f(x) = e^x \ln(x+1) + \frac{e^x+1}{x+1}\) ដោយដឹងថាព្រីមីទីវមានតម្លៃស្មើ \(0\) ចំពោះ \(x = 0\) ។

ចម្លើយ៖

. គណនាលីមីត៖

. គណនាដេរីវេនិងទាញរកព្រីមីទីវ៖ យើងមាន \(y = e^x \ln(x+1)\)

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត៖

. \(\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{2\cos x} - 1}{2\cos 2x + 1}\) . \(\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{(x+a)^2} - \frac{1}{a^2}}{x}\)

ចម្លើយ៖

. គណនាលីមីត \(\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{2\cos x} - 1}{2\cos 2x + 1}\) (រាង \(\left[\frac{0}{0}\right]\))
យើងមាន \(\sqrt{2\cos x}-1 = \frac{2\cos x-1}{\sqrt{2\cos x}+1}\) និង \(2\cos 2x+1 = 2(2\cos^2 x-1)+1 = 4\cos^2 x-1 = (2\cos x-1)(2\cos x+1)\) ។

. គណនាលីមីត \(\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{(x+a)^2} - \frac{1}{a^2}}{x}\) (រាង \(\left[\frac{0}{0}\right]\))

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត៖

ចម្លើយ៖

. គណនា \(\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{2\sin(x-\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi}{4}-x}\)៖
តាង \(u = x - \frac{\pi}{4}\) នោះ \(u \to 0\) ។ លីមីតទៅជា៖ \(\lim_{u\to 0} \frac{2\sin u}{-u} = -2\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = -2(1) = -2\) ។

. គណនា \(\lim_{x\to 0} \frac{-2\sin 5x}{\sqrt{5}-\sqrt{x+5}}\) (រាង \(\left[\frac{0}{0}\right]\))៖
\(\lim_{x\to 0} \frac{-2\sin 5x(\sqrt{5}+\sqrt{x+5})}{5-(x+5)} = \lim_{x\to 0}\left[10\cdot\frac{\sin 5x}{5x}(\sqrt{5}+\sqrt{x+5})\right] = 10(1)(2\sqrt{5}) = 20\sqrt{5}\) ។

. គណនា \(\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 3x}{-2x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 3x}{-2x^2} = -\frac{1}{2}\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 3x}{3x}\times 3\right)^2 = -\frac{9}{2}\) ។

. គណនា \(\lim_{x\to 0} \frac{x^2+x}{|x|}\)៖
បើ \(x \to 0^+\) លីមីតស្មើ \(1\) ។ បើ \(x \to 0^-\) លីមីតស្មើ \(-1\) ។ លីមីតគ្មានតម្លៃ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត៖

ចម្លើយ៖

. \(\lim_{x\to 1} \frac{x^2(x-1)+(x-1)}{x-1} = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x^2+1)}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x^2+1) = 2\) ។

. \(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{(\sin x-1)(\sin x+1)}{1+\sin x} = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\sin x-1) = 1-1 = 0\) ។

. \(\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2+x}-x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{x\sqrt{1+1/x}+x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1} = \frac{1}{2}\) ។

. \(\lim_{x\to 0} \frac{e^{-x}+e^x}{2}\times \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 = \frac{1+1}{2}\times(1)^2 = 1\) ។

. \(\lim_{x\to +\infty} \left[\ln\left(\frac{x+2}{x}\right) - \frac{2}{x+2} + \frac{1}{4}\right] = \ln(1) - 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត៖

. \(\lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{\sqrt{x+2}-2}\) . \(\lim_{x\to 0} \frac{\cos x-1}{\sin^2 x}\) . \(\lim_{x\to 0} \frac{2\sin 3x}{x}\)

ចម្លើយ៖

. \(\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)(\sqrt{x+2}+2)}{x+2-4} = \lim_{x\to 2}(x^2+2x+4)(\sqrt{x+2}+2) = (12)(4) = 48\) ។

. \(\lim_{x\to 0} \frac{-(1-\cos x)}{1-\cos^2 x} = \lim_{x\to 0} \frac{-1}{1+\cos x} = -\frac{1}{2}\) ។

. \(\lim_{x\to 0} \frac{2\sin 3x}{3x}\times 3 = 2(1)\times 3 = 6\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត៖

. \(\lim_{x\to 1} \frac{1-x^2}{x^2+2-3x}\) . \(\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^3-27}\) . \(\lim_{x\to 0} \frac{5\sin 5x}{x}\)

ចម្លើយ៖

. \(\lim_{x\to 1} \frac{(1-x)(1+x)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x\to 1} \frac{-(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x\to 1} \frac{-(x+1)}{x-2} = \frac{-2}{-1} = 2\) ។

. \(\lim_{x\to 3} \frac{x+6-9}{(x-3)(x^2+3x+9)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x\to 3} \frac{x-3}{(x-3)(x^2+3x+9)(\sqrt{x+6}+3)} = \frac{1}{27(6)} = \frac{1}{162}\) ។

. \(\lim_{x\to 0} \frac{5\sin 5x}{5x}\times 5 = 25\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត៖

. \(\lim_{x\to 1} \frac{1-x^2}{x^3-x^2+x-1}\) . \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{-x}\) . \(\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}}{\sin x}\)

ចម្លើយ៖

. \(\lim_{x\to 1} \frac{(1-x)(1+x)}{x^2(x-1)+(x-1)} = \lim_{x\to 1} \frac{-(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+1)} = \lim_{x\to 1} \frac{-(x+1)}{x^2+1} = \frac{-2}{2} = -1\) ។

. \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{-x} = -3\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = -3(1) = -3\) ។

. \(\lim_{x\to 0} \frac{x+2-(2-x)}{\sin x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x})} = \lim_{x\to 0} \frac{2x}{\sin x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x})} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{\frac{\sin x}{x}(\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x})} = \frac{2}{1(2\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត៖

. \(\lim_{x\to 1} \frac{x^2(x-2)+x^2+x-1}{1-x}\) . \(\lim_{x\to 0} \frac{-2x}{\sin 3x}\) . \(\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin x-\sqrt{3}\cos x}{2(\pi - 3x)}\)

ចម្លើយ៖

. ភាគយក \(x^3-2x^2+x^2+x-1 = x^3-x^2+x-1 = x^2(x-1)+(x-1) = (x-1)(x^2+1)\) ។
លីមីតស្មើ \(\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x^2+1)}{-(x-1)} = \lim_{x\to 1} -(x^2+1) = -2\) ។

. \(\lim_{x\to 0} \frac{-2x}{\sin 3x} = -\frac{2}{3}\lim_{x\to 0} \frac{3x}{\sin 3x} = -\frac{2}{3}(1) = -\frac{2}{3}\) ។

. តាង \(u = x-\frac{\pi}{3} \implies x = u+\frac{\pi}{3}\) ។ កាលណា \(x \to \frac{\pi}{3}\) នោះ \(u \to 0\) ។
ភាគបែង \(2(\pi - 3x) = 2(-3)(x-\frac{\pi}{3}) = -6u\) ។
ភាគយក \(\sin x-\sqrt{3}\cos x = 2(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x) = 2\sin(x-\frac{\pi}{3}) = 2\sin u\) ។
លីមីតស្មើ \(\lim_{u\to 0} \frac{2\sin u}{-6u} = -\frac{1}{3}\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = -\frac{1}{3}\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត

. \(\lim_{x\to +\infty} \left[\sqrt{x^2+2x+3}-(x+1)\right]\) . \(\lim_{x\to 0} \frac{-2x\sin x}{1-\cos^2 x}\) . \(\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \frac{1+\sin x}{\sin^4 x-1}\)

ចម្លើយ៖

. \(\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2+2x+3-(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+3}+(x+1)} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2+2x+3-x^2-2x-1}{\sqrt{x^2(1+2/x+3/x^2)}+x+1} = \lim_{x\to +\infty} \frac{2}{x\sqrt{1+0}+x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{2}{2x} = 0\) ។

. \(\lim_{x\to 0} \frac{-2x\sin x}{\sin^2 x} = \lim_{x\to 0} \frac{-2x}{\sin x} = -2(1) = -2\) ។

. \(\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \frac{1+\sin x}{(\sin^2 x-1)(\sin^2 x+1)} = \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \frac{1+\sin x}{(\sin x-1)(\sin x+1)(\sin^2 x+1)} = \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \frac{1}{(\sin x-1)(\sin^2 x+1)} = \frac{1}{(-1-1)((-1)^2+1)} = -\frac{1}{4}\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត

. \(\lim_{x\to 3} \sqrt{3x^2-11}\) . \(\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{3}\sin(x-\frac{\pi}{3})}{\frac{\pi}{3}-x}\) . \(\lim_{x\to +\infty}(2x-7-11\ln x)\)

ចម្លើយ៖

. \(\lim_{x\to 3} \sqrt{3x^2-11} = \sqrt{3(3)^2-11} = \sqrt{27-11} = \sqrt{16} = 4\) ។

. តាង \(u = x-\frac{\pi}{3}\) នោះ \(\frac{\pi}{3}-x = -u\) ។ \(\lim_{u\to 0} \frac{\sqrt{3}\sin u}{-u} = -\sqrt{3}(1) = -\sqrt{3}\) ។

. \(\lim_{x\to +\infty} x\left(2-\frac{7}{x}-11\frac{\ln x}{x}\right) = (+\infty)(2-0-0) = +\infty\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត៖

. \(\lim_{x\to 0} \frac{e^x+1}{2e^x}\) . \(\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x}-1}\) . \(\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{3}(\frac{\pi}{3}-x)}{\sin(x-\frac{\pi}{3})}\)

ចម្លើយ៖

. \(\lim_{x\to 0} \frac{e^x+1}{2e^x} = \frac{e^0+1}{2e^0} = \frac{1+1}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1\) ។

. \(\lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x\to 1} \frac{(x+3-4)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+3}+2} = \frac{1+1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2}\) ។

. តាង \(u = x-\frac{\pi}{3}\) នោះ \(\frac{\pi}{3}-x = -u\) ។ \(\lim_{u\to 0} \frac{\sqrt{3}(-u)}{\sin u} = -\sqrt{3}\lim_{u\to 0} \frac{u}{\sin u} = -\sqrt{3}(1) = -\sqrt{3}\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត

ចម្លើយ៖

. តាង \(u = \frac{1}{x}\) កាលណា \(x \to +\infty\) នោះ \(u \to 0\) ។ លីមីតក្លាយជា \(\lim_{u\to 0} \frac{1}{u}\ln(1+u) = \lim_{u\to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1\) ។

. \(\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \frac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{2(1+\sin x)} = \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{2} = \frac{1-(-1)}{2} = 1\) ។

. \(\lim_{x\to 3} \frac{(x-3)(x^2+3x+9)(\sqrt{x+6}+3)}{27(x+6-9)} = \lim_{x\to 3} \frac{(x-3)(x^2+3x+9)(\sqrt{x+6}+3)}{27(x-3)} = \lim_{x\to 3} \frac{(x^2+3x+9)(\sqrt{x+6}+3)}{27} = \frac{27\times 6}{27} = 6\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត៖

ចម្លើយ៖

. \(\lim_{x\to 0}(2e^{3x}-xe^x+2e^x+4) = 2(1)-0(1)+2(1)+4 = 8\) ។

. តាមលក្ខណៈលីមីតអនន្តនៃអនុគមន៍សនិទានដោយដឺក្រេភាគយកស្មើភាគបែង \(\lim_{x\to +\infty} \frac{8x^2-x+1}{ax^2+8} = \frac{8}{a}\) ។ ដោយ \(\frac{8}{a} = 1 \implies a = 8\) ។

. \(\lim_{x\to -\infty}(x+\sqrt{x^2+9}) = \lim_{x\to -\infty} \frac{x^2-(x^2+9)}{x-\sqrt{x^2+9}} = \lim_{x\to -\infty} \frac{-9}{x-|x|\sqrt{1+9/x^2}} = \lim_{x\to -\infty} \frac{-9}{x+x\sqrt{1+9/x^2}} = \lim_{x\to -\infty} \frac{-9}{x(1+\sqrt{1+0})} = 0\) ។

. \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}\times \frac{1-\cos x}{x^2} = 1\times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) ។

ប្រធាន៖ គណនាលីមីត៖

ចម្លើយ៖

. អនុគមន៍ \(\sqrt{x^2-1}\) កំណត់ចំពោះ \(|x| \ge 1\) ដូចនេះនៅជិត \(1\) យើងគិតតែ \(x \to 1^+\) ៖ \(\lim_{x\to 1^+}(\sqrt{x^2-1}+3x) = \sqrt{1^2-1}+3(1) = 3\) ។

. \(\lim_{x\to 0} \frac{e^{4x}-1}{e^x-1} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{4x}-1}{4x}\times \frac{4x}{e^x-1} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{4x}-1}{4x}\times \frac{x}{e^x-1}\times 4 = 1\times 1\times 4 = 4\) ។

. \(\lim_{x\to 2} \frac{(2-\sqrt{x+2})(2+\sqrt{x+2})}{(x-2)(x^2+2x+4)(2+\sqrt{x+2})} = \lim_{x\to 2} \frac{-(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)(2+\sqrt{x+2})} = \lim_{x\to 2} \frac{-1}{(x^2+2x+4)(2+\sqrt{x+2})} = \frac{-1}{12(4)} = -\frac{1}{48}\) ។

. តាង \(u = x-\frac{\pi}{3} \implies x = u+\frac{\pi}{3}\) ។ ភាគបែង \(\sin x-\sqrt{3}\cos x = 2(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x) = 2\sin(x-\frac{\pi}{3}) = 2\sin u\) ។
លីមីតក្លាយជា \(\lim_{u\to 0} \frac{u}{2\sin u} = \frac{1}{2}\lim_{u\to 0} \frac{u}{\sin u} = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}\) ។

ប្រធាន៖ គណនា៖

ចម្លើយ៖

. \(\lim_{x\to 3} \sqrt{\frac{3x^2+9}{x^2-5}} = \sqrt{\frac{3(3)^2+9}{3^2-5}} = \sqrt{\frac{27+9}{9-5}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3\) ។

. \(\lim_{x\to +\infty} \frac{1+3x^2}{\sqrt{x^4+1}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2(\frac{1}{x^2}+3)}{x^2\sqrt{\frac{1}{x^4}+1}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{1}{x^2}+3}{\sqrt{\frac{1}{x^4}+1}} = \frac{0+3}{\sqrt{0+1}} = 3\) ។

. តាង \(u = 1-x \implies x = 1-u\) ។ កាលណា \(x \to 1\) នោះ \(u \to 0\) ។
លីមីតក្លាយជា \(\lim_{u\to 0} \frac{\sin(-2u)}{u} = \lim_{u\to 0} \frac{-\sin(2u)}{u} = -2\lim_{u\to 0} \frac{\sin(2u)}{2u} = -2(1) = -2\) ។

. \(\lim_{x\to e} \frac{2(\ln^2 x+1)-4\ln x}{4(1-\ln x)} = \lim_{x\to e} \frac{2(\ln^2 x-2\ln x+1)}{-4(\ln x-1)} = \lim_{x\to e} \frac{2(\ln x-1)^2}{-4(\ln x-1)} = \lim_{x\to e} \frac{\ln x-1}{-2} = \frac{1-1}{-2} = 0\) ។