KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀនទី ៣៩
៣៩
ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម · ជំពូកទី ៤ ម៉ាទ្រីសនិងដេទែរមីណង់ · មេរៀនទី ៣៩ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

ដេទែរមីណង់

ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រសង្គមទំព័រ ១៤៤–១៥២
វត្ថុបំណង

  1. គណនាដេទែរមីណង់លំដាប់ \(2\) និងលំដាប់ \(3\)

  2. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើដេទែរមីណង់ ។

ដេទែរមីណង់លំដាប់ 2

កន្សោម \(ad - bc\) ដែលបានពីម៉ាទ្រីស \(A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\) ហៅថា ដេទែរមីណង់លំដាប់ \(2\) នៃម៉ាទ្រីស \(A\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(\det(A)\) ឬ \(|A|\) ឬ \(\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\) ។

ដេទែរមីណង់លំដាប់ 2

តម្លៃដេទែរមីណង់នៃម៉ាទ្រីស \(A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\) គឺ \(\det A = |A| = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\) ។

លំហាត់គំរូ ១

គេឱ្យម៉ាទ្រីស \(M = \begin{bmatrix} 2 & -3\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\), \(N = \begin{bmatrix} -4 & 14\\ 10 & 10 \end{bmatrix}\) និង \(P = \begin{bmatrix} -2 & 3\\ -4 & 6 \end{bmatrix}\) ។

  1. គណនាដេទែរមីណង់និងម៉ាទ្រីសច្រាស (បើមាន) នៃម៉ាទ្រីសនីមួយៗ ។

  2. គណនាម៉ាទ្រីស \(X\) បើ \(MX = N\)

  3. គណនាម៉ាទ្រីស \(Y\) បើ \(YM = N\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(|M| = \begin{vmatrix} 2 & -3\\ 4 & 3 \end{vmatrix} = 6 + 12 = 18\) និង \(M^{-1} = \dfrac{1}{18}\begin{bmatrix} 3 & 3\\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\ -\frac{2}{9} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}\) ។

    \(|N| = \begin{vmatrix} -4 & 14\\ 10 & 10 \end{vmatrix} = (-4)(10) - 14(10) = -180\) និង \(N^{-1} = -\dfrac{1}{180}\begin{bmatrix} 10 & -14\\ -10 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{18} & \frac{7}{90}\\ \frac{1}{18} & \frac{1}{45} \end{bmatrix}\)

    \(|P| = \begin{vmatrix} -2 & 3\\ -4 & 6 \end{vmatrix} = -12 + 12 = 0\), \(P\) គ្មានម៉ាទ្រីសច្រាសទេ ។

  2. គេមានសមីការម៉ាទ្រីស \(MX = N\) ។ បើគេគុណពីខាងឆ្វេងអង្គនីមួយៗនៃសមីការម៉ាទ្រីសនឹង \(M^{-1}\) នោះគេបាន

    \[\begin{aligned} M^{-1}MX &= M^{-1}N \Rightarrow IX = M^{-1}N \ (\text{ព្រោះ } M^{-1}M = I)\\ &\Rightarrow X = M^{-1}N \ (\text{ព្រោះ } IX = X) \end{aligned}\]
    \[\begin{gathered} X = \frac{1}{18}\begin{bmatrix} 3 & 3\\ -4 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -4 & 14\\ 10 & 10 \end{bmatrix} = \frac{1}{18}\begin{bmatrix} 18 & 72\\ 36 & -36 \end{bmatrix},\\ X = \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & -2 \end{bmatrix} \text{ ។} \end{gathered}\]

  3. គេមានសមីការម៉ាទ្រីស \(YM = N\) ។ បើគេគុណពីខាងស្តាំអង្គនីមួយៗនៃសមីការម៉ាទ្រីសនឹង \(M^{-1}\) នោះគេបាន

    \[YMM^{-1} = NM^{-1} \Rightarrow YI = NM^{-1} \Rightarrow Y = NM^{-1}\]
    \[\begin{gathered} Y = \begin{bmatrix} -4 & 14\\ 10 & 10 \end{bmatrix}\frac{1}{18}\begin{bmatrix} 3 & 3\\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{18}\begin{bmatrix} -68 & 16\\ -10 & 50 \end{bmatrix},\\ Y = \begin{bmatrix} -\frac{34}{9} & \frac{8}{9}\\ -\frac{5}{9} & \frac{25}{9} \end{bmatrix} \text{ ។} \end{gathered}\]

ប្រតិបត្តិ

គេមានម៉ាទ្រីស \(A = \begin{bmatrix} 3 & -1\\ 2 & 0 \end{bmatrix}\) និង \(B = \begin{bmatrix} 5 & 0\\ -2 & 4 \end{bmatrix}\) ។ ក. រកម៉ាទ្រីស \(X\) ដែល \(AX = B\) ។ ខ. គណនា \((AB)^{-1}\) និង \(B^{-1}A^{-1}\) រួចសន្និដ្ឋាន ។

មើលចម្លើយ

ក. \(A^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -2 & 3 \end{bmatrix}\),  \(X = \begin{bmatrix} -1 & 2\\ -8 & 6 \end{bmatrix}\) ។

ខ. \(AB = \begin{bmatrix} 17 & -4\\ 10 & 0 \end{bmatrix}\),  \((AB)^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{10}\\ -\frac{1}{4} & \frac{17}{40} \end{bmatrix} = B^{-1}A^{-1}\) ។

ដេទែរមីណង់លំដាប់ 3

គណនាដេទែរមីណង់លំដាប់ 3 តាមក្បួនរបស់សារុស

គេមានដេទែរមីណង់ \(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\) ។ គេអាចយកជួរទី \(1\) និងទី \(2\) សរសេរបន្ថែមបន្ទាប់ពីដេទែរមីណង់ ។

បន្ទាប់មកគេគណនាផលគុណនៃធាតុដែលតាមសញ្ញាព្រួញនីមួយៗ គេបាន

ក្បួនសារុស

\[\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} &= a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3\\ &\quad{} - a_3b_2c_1 - b_3c_2a_1 - c_3a_2b_1 \text{ ។} \end{aligned}\]

សម្គាល់

ក្បួនសារុសប្រើបានតែដេទែរមីណង់លំដាប់ \(3\) តែមួយគត់ ។

ឧទាហរណ៍

គណនាតម្លៃដេទែរមីណង់ \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 6 & -3 & 5\\ -4 & 0 & -1 \end{vmatrix}\) ។ តាមក្បួនសារុស គេបាន

\[\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 6 & -3 & 5\\ -4 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 3 - 40 + 0 - 36 - 0 + 12 = -61 \text{ ។}\]

ការគណនាដេទែរមីណង់លំដាប់ 3 តាមមីន័រ

គេមាន \(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 - a_3b_2c_1 - b_3c_2a_1 - c_3a_2b_1\) ។ គេអាចសរសេរ

\[\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} &= (a_1b_2c_3 - a_1c_2b_3) - (b_1a_2c_3 - b_1c_2a_3) + (c_1a_2b_3 - c_1b_2a_3)\\ &= a_1(b_2c_3 - c_2b_3)\\ &\quad{} - b_1(a_2c_3 - c_2a_3)\\ &\quad{} + c_1(a_2b_3 - b_2a_3) \end{aligned}\]

ដូច្នេះ

\[\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1\begin{vmatrix} b_2 & c_2\\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} &\\ &\quad{} - b_1\begin{vmatrix} a_2 & c_2\\ a_3 & c_3 \end{vmatrix} + c_1\begin{vmatrix} a_2 & b_2\\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} \end{aligned}\]

ហៅថាវិធីពន្លាតមីន័រតាមជួរដេកទី \(1\) ព្រោះ \(a_1, b_1, c_1\) ជាធាតុស្ថិតនៅជួរដេកទី \(1\) ។ \(\begin{vmatrix} b_2 & c_2\\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}\) មីន័រនៃធាតុ \(a_1\), \(\begin{vmatrix} a_2 & c_2\\ a_3 & c_3 \end{vmatrix}\) មីន័រនៃធាតុ \(b_1\), \(\begin{vmatrix} a_2 & b_2\\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}\) មីន័រនៃធាតុ \(c_1\) ។

  • មីន័រនៃធាតុ \(a_1\) បានពីការលុបជួរឈរនិងជួរដេកដែលមានធាតុ \(a_1\) ។

  • មីន័រនៃធាតុ \(b_1\) បានពីការលុបជួរឈរនិងជួរដេកដែលមានធាតុ \(b_1\) ។

  • មីន័រនៃធាតុ \(c_1\) បានពីការលុបជួរឈរនិងជួរដេកដែលមានធាតុ \(c_1\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានម៉ាទ្រីស \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & 5 & 4\\ 13 & -2 & 1 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0\\ -1 & 4 & -1\\ 2 & -3 & 5 \end{bmatrix}\) ។ ក. គណនាដេទែរមីណង់នៃម៉ាទ្រីស \(A\) និង \(B\) តាមវិធីសារុស ខ. គណនាដេទែរមីណង់នៃម៉ាទ្រីស \(A\) និង \(B\) តាមមីន័រ ។

មើលចម្លើយ

\(|A| = -194\),  \(|B| = 57\) ។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរតាមរូបមន្តក្រាម័រ

ឧទាហរណ៍ ១

គេមានប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} a_1x + b_1y = m_1\\ a_2x + b_2y = m_2 \end{cases}\) ។ គេអាចសរសេរប្រព័ន្ធសមីការនេះជាសមីការ \(\begin{bmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} m_1\\ m_2 \end{bmatrix}\) ។

ម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\) ហៅថា ម៉ាទ្រីសមេគុណ, \(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ជាម៉ាទ្រីសអថេរ, \(\begin{bmatrix} m_1\\ m_2 \end{bmatrix}\) ជាម៉ាទ្រីសចំនួនថេរ ។ គេប្រើម៉ាទ្រីសច្រាសនៃម៉ាទ្រីសមេគុណ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការម៉ាទ្រីសនេះ ។

ដេទែរមីណង់នៃម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\) គឺ \(a_1b_2 - a_2b_1\) ។ ម៉ាទ្រីសច្រាសគឺ \(\dfrac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}\begin{bmatrix} b_2 & -b_1\\ -a_2 & a_1 \end{bmatrix}\) ។

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} &= \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}\begin{bmatrix} b_2 & -b_1\\ -a_2 & a_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} m_1\\ m_2 \end{bmatrix}\\ &= \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}\begin{bmatrix} b_2m_1 - b_1m_2\\ -a_2m_1 + a_1m_2 \end{bmatrix} \text{ ។} \end{aligned}\]
គេសង្កេតឃើញថា \(a_1b_2 - a_2b_1 = \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}\) ជាដេទែរមីណង់នៃម៉ាទ្រីសមេគុណ ។ \(b_2m_1 - b_1m_2 = \begin{vmatrix} m_1 & b_1\\ m_2 & b_2 \end{vmatrix}\) ជាដេទែរមីណង់ដែលជួរឈរទី \(1\) ជំនួសដោយចំនួនថេរ ។ \(a_1m_2 - a_2m_1 = \begin{vmatrix} a_1 & m_1\\ a_2 & m_2 \end{vmatrix}\) ជាដេទែរមីណង់ដែលជួរឈរទី \(2\) ជំនួសដោយចំនួនថេរ ។

រូបមន្តក្រាម័រ

បើគេតាង \(D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}\), \(D_x = \begin{vmatrix} m_1 & b_1\\ m_2 & b_2 \end{vmatrix}\), \(D_y = \begin{vmatrix} a_1 & m_1\\ a_2 & m_2 \end{vmatrix}\) នោះគេបាន \(x = \dfrac{D_x}{D}\), \(y = \dfrac{D_y}{D}\) (\(D \ne 0\)) ។

  • បើ \(D = 0\) និង \(D_x \ne 0\) ឬ \((D_y \ne 0)\) នោះប្រព័ន្ធសមីការគ្មានចម្លើយ ។

  • បើ \(D = 0\) និង \(D_x = 0\) (និង \(D_y = 0\)) នោះប្រព័ន្ធសមីការមានចម្លើយច្រើនរាប់មិនអស់ ។

ឧទាហរណ៍ ២

គេមានប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = m_1\\ a_2x + b_2y + c_2z = m_2\\ a_3x + b_3y + c_3z = m_3 \end{cases}\) ។ គេអាចសរសេរជាសមីការម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} m_1\\ m_2\\ m_3 \end{bmatrix}\) ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការនេះ ។ តាមលំនាំគំរូដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការមានពីរអញ្ញាត គេបានចម្លើយនៃប្រព័ន្ធសមីការមាន \(3\) អញ្ញាត

រូបមន្តក្រាម័រ (៣ អញ្ញាត)

\[\begin{gathered} x = \frac{D_x}{D} = \frac{\begin{vmatrix} m_1 & b_1 & c_1\\ m_2 & b_2 & c_2\\ m_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}},\\ y = \frac{D_y}{D} = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & m_1 & c_1\\ a_2 & m_2 & c_2\\ a_3 & m_3 & c_3 \end{vmatrix}}{D},\\ z = \frac{D_z}{D} = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & m_1\\ a_2 & b_2 & m_2\\ a_3 & b_3 & m_3 \end{vmatrix}}{D} \end{gathered}\]

លំហាត់គំរូ ២

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

  1. \(\begin{cases} 3x + 7y = -6\\ 4x - 2y = 26 \end{cases}\)

  2. \(\begin{cases} 4x - 5y = 13\\ -8x + 10y = 18 \end{cases}\)

  3. \(\begin{cases} x + 2y + 3z = 2\\ -2x + y + 2z = 1\\ 4x - y = 3 \end{cases}\)

  4. \(\begin{cases} 2x + 2y + 2z = 0\\ -2x + 5y + 2z = 1\\ 8x + y + 4z = -1 \end{cases}\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. គេបាន \(D = \begin{vmatrix} 3 & 7\\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -34\), \(D_x = \begin{vmatrix} -6 & 7\\ 26 & -2 \end{vmatrix} = -170\), \(D_y = \begin{vmatrix} 3 & -6\\ 4 & 26 \end{vmatrix} = 102\) ។

    \(x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-170}{-34} = 5\), \(y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{102}{-34} = -3\) ។ ដូច្នេះ \(x = 5\), \(y = -3\) ជាគូចម្លើយនៃប្រព័ន្ធសមីការ ។

  2. គេបាន \(D = \begin{vmatrix} 4 & -5\\ -8 & 10 \end{vmatrix} = 0\), \(D_x = \begin{vmatrix} 13 & -5\\ 18 & 10 \end{vmatrix} = 220 \ne 0\) ។ គេសង្កេតឃើញថា \(\dfrac{4}{-8} = \dfrac{-5}{10} \ne \dfrac{13}{18}\) ។ ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធសមីការគ្មានចម្លើយ ។

  3. គេបាន \(D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ -2 & 1 & 2\\ 4 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 12\), \(D_x = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2\\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 4\), \(D_y = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ -2 & 1 & 2\\ 4 & 3 & 0 \end{vmatrix} = -20\), \(D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2\\ -2 & 1 & 1\\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 20\) ។

    គេបាន \(x = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\), \(y = \dfrac{-20}{12} = -\dfrac{5}{3}\), \(z = \dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3}\) ជាចម្លើយនៃប្រព័ន្ធសមីការ ។

  4. គេបាន \(D = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 2\\ -2 & 5 & 2\\ 8 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 0\), \(D_x = \begin{vmatrix} 0 & 2 & 2\\ 1 & 5 & 2\\ -1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 0\) ។ ប្រព័ន្ធមានចម្លើយច្រើនរាប់មិនអស់ ។ រកចម្លើយរាប់មិនអស់របស់ប្រព័ន្ធសមីការនេះ ៖ បូកសមីការទី \(1\) និងទី \(2\) គេបាន \(7y + 4z = 1\) ។ បើយក \(z = l\) គេបាន \(y = \dfrac{1 - 4l}{7}\), \(x = -y - z = -\dfrac{1 + 3l}{7}\) ។

    ដូច្នេះចម្លើយរាប់មិនអស់នៃប្រព័ន្ធសមីការគឺ \(x = -\dfrac{1 + 3l}{7}\), \(y = \dfrac{1 - 4l}{7}\), \(z = l\) ។

លំហាត់គំរូ ៣

គេដឹងថាក្នុងមួយលើករថយន្តរបស់សុខដឹកភ្ញៀវទៅប្រទេសថៃបានថ្លៃដឹក \(9700\$\) និងវៀតណាមបាន \(6800\$\) រីឯរថយន្តសៅទៅប្រទេសថៃបាន \(10200\$\) និងវៀតណាមបាន \(8200\$\) ។ រថយន្តរបស់អ្នកទាំងពីរដឹកភ្ញៀវទៅប្រទេសនីមួយៗរាល់លើកដូចគ្នា ដែលនៅពេលដំណាច់ខែ សុខទទួលបានថ្លៃដឹកសរុប \(86400\$\) ហើយសៅបាន \(98200\$\) ។ តើរថយន្តអ្នកទាំងពីរដឹកភ្ញៀវទៅប្រទេសថៃបានប៉ុន្មានលើកនិងវៀតណាមបានប៉ុន្មានលើក?

ដំណោះស្រាយ

តាង \(x\) ជាចំនួនដងនៃការដឹកភ្ញៀវទៅប្រទេសថៃ, \(y\) ជាចំនួនដងនៃការដឹកភ្ញៀវទៅប្រទេសវៀតណាម ។ តាមសម្មតិកម្មគេបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖ \(\begin{cases} 9700x + 6800y = 86400\\ 10200x + 8200y = 98200 \end{cases}\) ។

\[\begin{gathered} D = \begin{vmatrix} 9700 & 6800\\ 10200 & 8200 \end{vmatrix} = 10180000,\\ D_x = \begin{vmatrix} 86400 & 6800\\ 98200 & 8200 \end{vmatrix} = 40720000,\\ D_y = \begin{vmatrix} 9700 & 86400\\ 10200 & 98200 \end{vmatrix} = 71260000 \end{gathered}\]
ដូច្នេះ \(x = \dfrac{40720000}{10180000} = 4\), \(y = \dfrac{71260000}{10180000} = 7\) ។ រថយន្តសុខនិងសៅដឹកភ្ញៀវទៅប្រទេសថៃបាន \(4\) ដងនិងវៀតណាមបាន \(7\) ដង ។

ប្រតិបត្តិ

  1. គេមានប្រអប់ \(2\) ដែលប្រអប់នីមួយៗមានតែសន្លឹកក្រដាសប្រាក់ \(5\) ពាន់រៀល និង \(10\) ពាន់រៀល ។ គេដឹងថាប្រអប់ទី \(1\) មានប្រាក់ចំនួន \(250\) ពាន់រៀល និងប្រអប់ទី \(2\) មាន \(275\) ពាន់រៀល ហើយចំនួនសន្លឹក \(5\) ពាន់ ក្នុងប្រអប់ទី \(1\) ស្មើនឹងចំនួនសន្លឹក \(10\) ពាន់ ក្នុងប្រអប់ទី \(2\) ។ តើក្នុងប្រអប់ទី \(1\) មានសន្លឹក \(5\) ពាន់ប៉ុន្មានសន្លឹក? \(10\) ពាន់ចំនួនប៉ុន្មានសន្លឹក?

  2. វត្ថុបីធ្វើអំពីប្លាទីនលាយមាសនិងប្រាក់ ។ វត្ថុទី \(1\) មានម៉ាស \(62\) g ដែលក្នុងនេះមានប្លាទីន \(1\) cm\(^3\) មាស \(1\) cm\(^3\) និងប្រាក់ \(1\) cm\(^3\) ។ វត្ថុទី \(2\) មានម៉ាស \(83\) g ដែលមានប្លាទីន \(2\) cm\(^3\) មាស \(2\) cm\(^3\) និងប្រាក់ \(1\) cm\(^3\) ។ វត្ថុទី \(3\) មានម៉ាស \(71\) g ដែលក្នុងនោះមានប្លាទីន \(1\) cm\(^3\) មាស \(2\) cm\(^3\) និងប្រាក់ \(1\) cm\(^3\) ។ កំណត់រកម៉ាសមាឌរបស់លោហធាតុនីមួយៗគិតជាក្រាមក្នុង \(1\) cm\(^3\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(x = 20\), \(y = 15\) ។

  2. \(x = 12\), \(y = 9\), \(z = 41\) ។

លំហាត់ជំពូកទី ៤

  1. គេមានម៉ាទ្រីសដូចខាងក្រោម ៖ ចូរកំណត់លំដាប់នៃម៉ាទ្រីស ។

    1. \(\begin{bmatrix} -3 & 2 & 5 \end{bmatrix}\)

    2. \(\begin{bmatrix} -3 & 1\\ 2 & 5\\ 7 & -6 \end{bmatrix}\)

    3. \(\begin{bmatrix} -6\\ 7\\ 8\\ 0 \end{bmatrix}\)

    4. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 5 & 4 & 7\\ 11 & 0 & -13 \end{bmatrix}\)

  2. គេមានម៉ាទ្រីស \(A = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 7\\ -2 & x & 9\\ \sqrt{16} & x & 9 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 1 & -7\\ 3 & 0 \end{bmatrix}\) ។ កំណត់តម្លៃ \(x\) និង \(y\) ដើម្បីឱ្យ \(A = B\) ។

  3. គេឱ្យម៉ាទ្រីស \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 1 & -7\\ 3 & 0 \end{bmatrix}\), \(C = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 8 & -2 \end{bmatrix}\) ។ គណនា ក. \(3A - B + 2C\) ខ. \(2(A - B + 2C) + 3B - C\) ។

  4. រកតម្លៃ \(p, q, a\) និង \(b\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖

    1. \(\begin{bmatrix} 10 & 3\\ -3 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p\\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\ -1 \end{bmatrix}\)

    2. \(\begin{bmatrix} 4 & -3\\ 2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15\\ b \end{bmatrix}\)

    3. \(\begin{bmatrix} -1 & a\\ b & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5\\ 3 & 0 \end{bmatrix}\) ។

  5. គេឱ្យសមីការម៉ាទ្រីស \(M\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -2\\ 0 & -1\\ 2 & 3 \end{bmatrix}\) ។ ចូរកំណត់លំដាប់នៃម៉ាទ្រីស \(M\) និងរកម៉ាទ្រីស \(M\) ។

  6. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

    1. \(\begin{cases} 2x - 3y = -4\\ 2x + 7y = 0 \end{cases}\)

    2. \(\begin{cases} x + y = 1\\ 2x + y = 3 \end{cases}\)

    3. \(\begin{cases} x - 2y + 3z = 4\\ 2x + y - 4z = 3\\ -3x + 4y - z = -2 \end{cases}\)

    4. \(\begin{cases} 4x + 2y + 7z = 35\\ 3x + y + 8z = 25\\ 5x + 3y + z = 40 \end{cases}\) ។

  7. នារីទៅផ្សារទិញសាច់ដើម្បីធ្វើម្ហូបប្រចាំថ្ងៃ ។ លើកទី \(1\) នារីទិញសាច់មាន់ \(3\) kg ត្រី \(1\) kg និងសាច់គោ \(2\) kg ចំណាយអស់ប្រាក់ចំនួន \(90\) ពាន់រៀល ។ លើកទី \(2\) នារីទិញសាច់មាន់ \(2\) kg ត្រី \(1\) kg និងសាច់គោ \(3\) kg ចំណាយអស់ប្រាក់ចំនួន \(94\) ពាន់រៀល ហើយលើកទី \(3\) ទិញសាច់មាន់ \(3\) kg ត្រី \(2\) kg និងសាច់គោ \(1\) kg ចំណាយអស់ប្រាក់ចំនួន \(84\) ពាន់រៀល ។ តើសាច់មាន់ ត្រី និងសាច់គោ \(1\) kg ថ្លៃប៉ុន្មានពាន់រៀល?

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព
មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម) ទំព័រ ១៤៤–១៥២។
ទំព័រ ១៤៤
ទំព័រ ១៤៤
ទំព័រ ១៤៥
ទំព័រ ១៤៥
ទំព័រ ១៤៦
ទំព័រ ១៤៦
ទំព័រ ១៤៧
ទំព័រ ១៤៧
ទំព័រ ១៤៨
ទំព័រ ១៤៨
ទំព័រ ១៤៩
ទំព័រ ១៤៩
ទំព័រ ១៥០
ទំព័រ ១៥០
ទំព័រ ១៥១
ទំព័រ ១៥១
ទំព័រ ១៥២
ទំព័រ ១៥២

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គណនាដេទែរមីណង់

  1. \(\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4\\ 3 & 2 & -1\\ 4 & 3 & 7 \end{vmatrix}\)

  2. \(\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1\\ 2 & -1 & 1\\ -2 & 2 & 3 \end{vmatrix}\)

  3. \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & -3\\ 3 & -5 & -1\\ 4 & 4 & 1 \end{vmatrix}\) ។

២លំហាត់ទី ២

គណនាដេទែរមីណង់ ដោយប្រើការពន្លាតតាមមីន័រ

  1. \(\begin{vmatrix} -1 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 0\\ 3 & 6 & -2 \end{vmatrix}\)

  2. \(\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\ 4 & 3 & 1\\ 0 & 5 & 2 \end{vmatrix}\)

  3. \(\begin{vmatrix} 3 & -1 & 1\\ 0 & 4 & 1\\ 5 & -2 & -3 \end{vmatrix}\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

បរិមាត្រចតុកោណកែងមួយមានប្រវែង \(86\) cm ។ គេដឹងថាប្រវែងទទឹង \(2\) ដងលើសប្រវែងបណ្តោយ \(2\) cm ។ រកវិមាត្រនៃចតុកោណកែងដោយប្រើការដោះស្រាយតាមវិធីក្រាម័រ ។

៤លំហាត់ទី ៤

គេលក់ផ្លែពុទ្រា \(50\) kg ក្នុង \(1\) kg មានតម្លៃ \(3500\) ៛ ។ ប៉ុន្តែដោយពុទ្រានេះមានផ្លែធំ និងផ្លែតូច នោះផ្លែតូចគេលក់តែ \(3000\) ៛ ក្នុង \(1\) kg និងផ្លែធំលក់ថ្លៃ \(5000\) ៛ ក្នុង \(1\) kg ។ តើផ្លែពុទ្រាធំមានប៉ុន្មានគីឡូក្រាមនិងតូចប៉ុន្មានគីឡូក្រាម?

៥លំហាត់ទី ៥

គេដឹងថាផលបូកនៃបីចំនួនស្មើនឹង \(20\) ចំនួនទី \(1\) ស្មើនឹងផលបូកនៃចំនួនទី \(2\) និងទី \(3\) ស្មើនឹង \(3\) ដងចំនួនទី \(1\) ។ រកចំនួននីមួយៗ ។

៦លំហាត់ទី ៦

បរិមាត្រត្រីកោណមួយមានប្រវែង \(18\) m ។ គេដឹងថាជ្រុងដែលវែងជាងគេស្មើនឹង \(2\) ដងជ្រុងដែលខ្លីជាងគេ ។ ជ្រុងមួយទៀតជាមធ្យមនព្វន្តនៃជ្រុងដែលវែងជាងគេនិងជ្រុងខ្លីជាងគេ ។ រកប្រវែងជ្រុងនីមួយៗនៃត្រីកោណ ។

៧លំហាត់ទី ៧

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

  1. \(\begin{cases} \frac{3}{4}x - y = 0\\ \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 6 \end{cases}\)

  2. \(\begin{cases} x + y = -6\\ 2x - y = 2 \end{cases}\)

  3. \(\begin{cases} x + 2y = 5\\ 3x - 15 = -6y \end{cases}\)

  4. \(\begin{cases} 2x + 3y + 2z = 14\\ 4x + 2y - z = 15\\ x + y + 2z = 8 \end{cases}\)

  5. \(\begin{cases} x + 2y - 3z = 10\\ 4x + y - z = -10\\ 3x - 7y + 2z = 5 \end{cases}\)

  6. \(\begin{cases} -2x + y + 3z = 2\\ x - 7y - 3z = -4\\ 4x - 2y - 6z = 1 \end{cases}\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៣៩ ដេទែរមីណង់ (វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត