KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀនទី ២៥
២៥
ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ · ជំពូកទី ៧ ស្ថិតិ · មេរៀនទី ២៥ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

រង្វាស់នៃគម្លាត

ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រទំព័រ ១៤៤–១៥៨▶ ស្លាយបង្រៀន
វត្ថុបំណង

  1. គណនារ៉ង់និងចន្លោះអាំងទែរកាទីល

  2. គណនាវ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល និងគំរូ ។

រ៉ង់

ឧទាហរណ៍ ១

ទិន្នន័យខាងក្រោម ជាពិន្ទុសិស្ស \(5\) នាក់ ដែលគេបានជ្រើសរើសចេញពីថ្នាក់រៀនពីរ គឺថ្នាក់ \(A\) និងថ្នាក់ \(B\) ។
ថ្នាក់ \(A\) ៖ \(3, 4, 5, 6, 7\)
ថ្នាក់ \(B\) ៖ \(1, 3, 5, 7, 9\) ។

បើគេគណនាគម្លាតរវាងពិន្ទុដែលខ្ពស់ជាងគេ និងពិន្ទុដែលទាបជាងគេ នោះគេបាន ៖ គម្លាតពិន្ទុថ្នាក់ \(A\) ៖ \(7 - 3 = 4\) ។ គម្លាតពិន្ទុថ្នាក់ \(B\) ៖ \(9 - 1 = 8\) ។

គេសង្កេតឃើញថាពិន្ទុថ្នាក់ \(A\) និង \(B\) មានមធ្យមស្មើនឹង \(5\) ដូចគ្នា ។ ប៉ុន្តែពិន្ទុថ្នាក់ \(B\) មានគម្លាតធំជាងគម្លាតពិន្ទុថ្នាក់ \(A\) ។ គេថាពិន្ទុថ្នាក់ \(B\) មានពង្រាយខ្លាំងជាង ។

និយមន័យ

រ៉ង់ គឺជាផលដករវាងតម្លៃទិន្នន័យដែលខ្ពស់ជាងគេ និងតម្លៃទិន្នន័យដែលទាបជាងគេ ។

ឧទាហរណ៍ ២

សង្កេតទិន្នន័យដែលជាពិន្ទុសិស្សមាន \(6, 9, 11, 15, 25, 26, 27, 27, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 35, 85, 100\) ។

ទិន្នន័យនេះពង្រាយខ្សោយព្រោះយើងឃើញថាពិន្ទុមួយចំនួននៅកៀកៗគ្នា ។ ប៉ុន្តែបើគេពិនិត្យតាមរ៉ង់នោះ \(100 - 6 = 94\) រ៉ង់មានតម្លៃធំបញ្ជាក់ថាពិន្ទុមានពង្រាយខ្លាំង ក្នុងករណីនេះផ្ទុយនឹងពិន្ទុពិតរបស់សិស្សដែលបានទទួល ។ ដូច្នេះ រ៉ង់មិនអាចយកជាការបាន ។

ក្នុងករណីដែលរ៉ង់មានតម្លៃធំពេក ហើយទិន្នន័យពិតមួយចំនួននៅកៀកគ្នា គេត្រូវបង្កើតគម្លាតមួយទៀតដោយកាត់ចោល \(25\%\) នៃពិន្ទុទាប និង \(25\%\) នៃពិន្ទុខ្ពស់ ហើយគេសិក្សាតែរ៉ង់ \(50\%\) នៃពិន្ទុដែលស្ថិតនៅកណ្ដាល ។

  • \(25\%\) នៃពិន្ទុទាបគឺ \(6, 9, 11, 15\)

  • \(25\%\) នៃពិន្ទុខ្ពស់គឺ \(31, 35, 85, 100\)

  • \(50\%\) នៃពិន្ទុកណ្ដាលគឺ \(25, 26, 27, 27, 29, 30, 30, 30, 31\) ។

\(Q_1 = \dfrac{15 + 25}{2} = 20\) និង \(Q_3 = \dfrac{31 + 31}{2} = 31\) ។ គណនារ៉ង់នៃពិន្ទុកណ្ដាលនេះ គេបាន រ៉ង់ \(31 - 20 = 11\) ហៅថាចន្លោះអាំងទែរកាទីល តាងដោយ \(I\) ។

ចន្លោះអាំងទែរកាទីល

\[I = Q_3 - Q_1\]

ធ្វើរបៀបនេះ គេនឹងបានតម្លៃមួយដែលផ្ដល់ផលល្អក្នុងការវិភាគទិន្នន័យ ទោះបីទិន្នន័យនោះមានពង្រាយខ្លាំង ឬពង្រាយខ្សោយក៏ដោយ ។

លំហាត់គំរូ

គេបានសម្ភាសន៍សមាជិកក្រុមភ្លេងមួយក្រុម ដើម្បីចង់ដឹងថា តើសមាជិកម្នាក់ៗអាចប្រើឧបករណ៍ភ្លេងបានចំនួនប៉ុន្មាន? លទ្ធផលនៃការសម្ភាសន៍ត្រូវបានគេរៀបដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ខាងក្រោម ៖

\[\begin{array}{|l|ccccc|}\hline \text{ចំនួនឧបករណ៍ភ្លេង } x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline \text{ចំនួនសមាជិក } f & 11 & 10 & 5 & 3 & 1\\ \hline \end{array}\]
គណនារ៉ង់ និងចន្លោះអាំងទែរកាទីល ។

ដំណោះស្រាយ

រ៉ង់ \(= 5 - 1 = 4\) ។ ទិន្នន័យមានបំណែងចែកប្រេកង់ ការគណនាកាទីលត្រូវបង្កើតតារាងប្រេកង់កើន ៖

\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline x & f & f^{\uparrow}\\ \hline 1 & 11 & 11\\ 2 & 10 & 21\\ 3 & 5 & 26\\ 4 & 3 & 29\\ 5 & 1 & 30\\ \hline \end{array}\]
\(Q_1 =\) តម្លៃតួទី \(\dfrac{1}{4}(n + 1) =\) តម្លៃតួទី \(\dfrac{1}{4}(30 + 1) =\) តម្លៃតួទី \(7.75\) (\(n = 30\)) \(\Rightarrow Q_1 = 1\) ។
\(Q_3 =\) តម្លៃតួទី \(\dfrac{3}{4}(n + 1) =\) តម្លៃតួទី \(\dfrac{3}{4}(30 + 1) =\) តម្លៃតួទី \(23.25 \Rightarrow Q_3 = 3\) ។
ដូច្នេះ \(I = 3 - 1 = 2\) ។

ប្រតិបត្តិ

គណនារ៉ង់និងចន្លោះអាំងទែរកាទីលនៃសំណុំទិន្នន័យខាងក្រោម ៖

  1. \(4, 2, 8, 3, 9, 11, 12, 18, 7, 3\)

  2. \(\begin{array}{|c|cccccc|}\hline x & 3 & 8 & 9 & 7 & 5 & 10\\ \hline f & 5 & 7 & 3 & 9 & 4 & 2\\ \hline\end{array}\)

មើលចម្លើយ

ក. រៀប ៖ \(2, 3, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 18\) ។ រ៉ង់ \(= 18 - 2 = 16\) ។ \(Q_1 =\) តួទី \(2.75\) ៖ \(3\), \(Q_3 =\) តួទី \(8.25\) ៖ \(\dfrac{11 + 12}{2} = 11.5\) ។ \(I = 11.5 - 3 = 8.5\) ។ ខ. រ៉ង់ \(= 10 - 3 = 7\), \(n = 30\) ៖ \(Q_1 =\) តួទី \(7.75\) ៖ \(5\), \(Q_3 =\) តួទី \(23.25\) ៖ \(8\) ។ \(I = 3\) ។

វ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដានៃស្ថិតិសកល

ឥឡូវនេះ យើងពិនិត្យមើលពង្រាយនៃចំនួនដែលនៅសងខាងតម្លៃមធ្យម សម្រាប់ទិន្នន័យខាងក្រោម ៖ គេមានសំណុំទិន្នន័យ \(-193, -93, 7, 107, 207\) ដែលមានមធ្យមស្មើនឹង \(7\) ។

យើងឃើញថាគម្លាតពីមធ្យមមាន \(-200, -100, 0, 100\) និង \(200\) ។ បើគេបូកគម្លាតទាំងអស់នេះ នោះផលបូកស្មើនឹងសូន្យ ។ លទ្ធផលស្មើនឹងសូន្យ ពុំអាចបញ្ជាក់ពីពង្រាយឡើយនៅពេលដែលគេចង់ប្រៀបធៀបរង្វាស់ពង្រាយនៃសំណុំទិន្នន័យមួយ ទៅនឹងរង្វាស់ពង្រាយនៃសំណុំទិន្នន័យមួយទៀត ។ ហេតុនេះ គេត្រូវពិនិត្យមើលការេនៃគម្លាតទាំង \(5\) ខាងលើ គេបាន \((-200)^2, (-100)^2, 0^2, (100)^2\) និង \((200)^2\) ឬស្មើនឹង \(40\,000\), \(10\,000\), \(0\), \(10\,000\) និង \(40\,000\) ។

បើគេយកផលបូកការេនៃគម្លាតដែលស្មើនឹង \(100\,000\) ទៅចែកនឹងចំនួនគម្លាត \(5\) នោះគេបានតម្លៃមួយហៅថា វ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល តម្លៃនោះគឺ \(\dfrac{100\,000}{5} = 20\,000\) ។

ជាទូទៅ

វ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកលមានរូបមន្ត

\[\sigma^2 = \frac{\sum(X_i - \mu)^2}{N}\]
ដែល \(\sigma^2\) តាងវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល (\(\sigma\) អានថា “sigma” ស៊ិចម៉ា), \(\mu\) តាងមធ្យមស្ថិតិសកល អានថា “mu” មុយ, \(N\) តាងចំនួនទិន្នន័យទាំងអស់ក្នុងស្ថិតិសកល, \(X_i\) តួនីមួយៗនៃទិន្នន័យក្នុងស្ថិតិសកល ។

រូបមន្តកាត់សម្រាប់វ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល ៖

\[\begin{aligned} \sigma^2 &= \frac{\sum(X_i - \mu)^2}{N} = \frac{\sum(X_i^2 - 2\mu X_i + \mu^2)}{N}\\ &= \frac{\sum X_i^2 - 2\mu\sum X_i + \sum\mu^2}{N}\\ &= \frac{\sum X_i^2}{N} - 2\mu\frac{\sum X_i}{N} + \frac{\sum\mu^2}{N} \end{aligned}\]
ដោយ \(\dfrac{\sum X_i}{N} = \mu\) ហើយ \(\sum\mu^2 = N\mu^2 = N\left(\dfrac{\sum X_i}{N}\right)^2\) យើងបាន ៖
\[\begin{aligned} \sigma^2 &= \frac{\sum X_i^2}{N} - 2\left(\frac{\sum X_i}{N}\right)^2 + \left(\frac{\sum X_i}{N}\right)^2\\ &= \frac{\sum X_i^2}{N} - \left(\frac{\sum X_i}{N}\right)^2 \end{aligned}\]
ដូច្នេះ
\[\sigma^2 = \frac{N\sum X_i^2 - \left(\sum X_i\right)^2}{N^2}\]
ឫសការេនៃវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកលហៅថា គម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល ។ ដូច្នេះ
\[\begin{gathered} \sigma = \sqrt{\frac{\sum(X_i - \mu)^2}{N}} \quad{} \text{ឬ}\\ \sigma = \frac{1}{N}\sqrt{N\sum X_i^2 - \left(\sum X_i\right)^2} \end{gathered}\]

លំហាត់គំរូ ១

គេមានទិន្នន័យ \(7, 4, 6, 9, 12, 4, 10, 11, 15, 17, 15\) ។ គេសន្មតថាទិន្នន័យនេះជាស្ថិតិសកល ។ គណនាវ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដា ។

ដំណោះស្រាយ

តាមរូបមន្តវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល \(\sigma^2 = \dfrac{\sum(X_i - \mu)^2}{N}\) ។ មធ្យមស្ថិតិសកល

\[\begin{aligned} \mu &= \frac{\sum X_i}{N}\\ &= \frac{7 + 4 + 6 + 9 + 12 + 4 + 10 + 11 + 15 + 17 + 15}{11}\\ &= \frac{110}{11} = 10 \end{aligned}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline X_i & X_i - \mu & (X_i - \mu)^2\\ \hline 7 & 7 - 10 = -3 & 9\\ 4 & 4 - 10 = -6 & 36\\ 6 & 6 - 10 = -4 & 16\\ 9 & 9 - 10 = -1 & 1\\ 12 & 12 - 10 = 2 & 4\\ 4 & 4 - 10 = -6 & 36\\ 10 & 10 - 10 = 0 & 0\\ 11 & 11 - 10 = 1 & 1\\ 15 & 15 - 10 = 5 & 25\\ 17 & 17 - 10 = 7 & 49\\ 15 & 15 - 10 = 5 & 25\\ \hline & & \sum(X_i - \mu)^2 = 202\\ \hline \end{array}\]
ដូច្នេះ វ៉ារ្យង់ \(\sigma^2 = \dfrac{202}{11} \approx 18.36\) ។ គម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល \(\sigma = \sqrt{18.36} \approx 4.28\) ។

ប្រើប្រាស់រូបមន្តកាត់ ៖ \(\sum X_i = 7 + 4 + \dots + 15 = 110\), \(\sum X_i^2 = 7^2 + 4^2 + \dots + 15^2 = 1302\), \(N = 11\) ។

\[\begin{gathered} \sigma^2 = \frac{11\times 1302 - 110^2}{11^2} \approx 18.36,\\ \sigma = \sqrt{18.36} \approx 4.28 \end{gathered}\]

លំហាត់គំរូ ២

ប្រាក់ចំណូលប្រចាំសប្ដាហ៍របស់នាយករង \(5\) នាក់ក្នុងក្រុមហ៊ុនមួយមាន \(\$50\), \(\$60\), \(\$55\), \(\$52\) និង \(\$58\) (គេសន្មតថាទិន្នន័យជាស្ថិតិសកល) ។

  1. គណនាវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល

  2. គណនាគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល ។

ដំណោះស្រាយ

  1. រូបមន្តវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល \(\sigma^2 = \dfrac{\sum(X_i - \mu)^2}{N}\) ។ ក្នុងរូបមន្តនេះ យើងមិនស្គាល់មធ្យមស្ថិតិសកល \(\mu\) ទេ ។ គណនា \(\mu\) ៖ \(\mu = \dfrac{\sum X_i}{N} = \dfrac{50 + 60 + 55 + 52 + 58}{5} = \dfrac{275}{5} = 55\) ។

    \[\begin{array}{|c|c|c|}\hline X_i & X_i - \mu & (X_i - \mu)^2\\ \hline 50 & 50 - 55 = -5 & 25\\ 60 & 60 - 55 = 5 & 25\\ 55 & 55 - 55 = 0 & 0\\ 52 & 52 - 55 = -3 & 9\\ 58 & 58 - 55 = 3 & 9\\ \hline & & \sum(X_i - \mu)^2 = 68\\ \hline \end{array}\]
    ដូច្នេះ \(\sigma^2 = \dfrac{68}{5} = 13.6\) ។

  2. គម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកលជាឫសការេនៃវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល \(\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{13.6} \approx 3.69\) ។

ប្រតិបត្តិ

ម៉ាសនៃឡាំងឥវ៉ាន់មួយចំនួន ដែលគេផ្ញើទៅប្រទេសថៃមានទម្ងន់ \(98\) kg, \(95\) kg, \(110\) kg, \(106\) kg, \(103\) kg, \(112\) kg, \(119\) kg, \(102\) kg, \(92\) kg, \(105\) kg, \(91\) kg និង \(90\) kg ។ គណនាវ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល ។

មើលចម្លើយ

\(\mu \approx 101.92\), \(\sigma^2 \approx 75.74\), \(\sigma \approx 8.7\) ។

វ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដានៃស្ថិតិគំរូ

វ៉ារ្យង់ស្ថិតិគំរូនិងវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកលមានការខុសគ្នាបន្តិច ។ វ៉ារ្យង់គំរូ តាងដោយ

\[s^2 = \frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n - 1}\]
ដែល \(s^2\) តាងវ៉ារ្យង់ស្ថិតិគំរូ, \(\bar{X}\) តាងមធ្យមស្ថិតិគំរូ \(\bar{X} = \dfrac{\sum X_i}{n}\), \(n\) តាងចំនួនទិន្នន័យក្នុងស្ថិតិគំរូ, \(X_i\) តាងតួនីមួយៗនៃទិន្នន័យក្នុងស្ថិតិគំរូ ។

រូបមន្តកាត់សម្រាប់វ៉ារ្យង់គំរូ ៖

\[\begin{aligned} s^2 &= \frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n - 1}\\ &= \frac{\sum(X_i^2 - 2\bar{X}X_i + \bar{X}^2)}{n - 1}\\ &= \frac{\sum X_i^2 - 2\bar{X}\sum X_i + \sum\bar{X}^2}{n - 1}\\ &= \frac{\sum X_i^2 - 2\cdot\frac{\sum X_i}{n}\cdot\sum X_i + \left(\frac{\sum X_i}{n}\right)^2\cdot n}{n - 1} \end{aligned}\]
(ដោយ \(\bar{X} = \dfrac{\sum X_i}{n}\) មធ្យមស្ថិតិគំរូ និង \(\sum\bar{X}^2 = n\bar{X}^2\))
\[\Rightarrow s^2 = \frac{n\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)^2 + \left(\sum X_i\right)^2}{n(n - 1)}\]
ដូច្នេះ
\[s^2 = \frac{n\sum X_i^2 - \left(\sum X_i\right)^2}{n(n - 1)}\]

សម្គាល់

កាលណាចំនួនទិន្នន័យក្នុងគំរូកាន់តែធំទៅៗ ពេលនោះរូបមន្តវ៉ារ្យង់គំរូកាន់តែដូចវ៉ារ្យង់សកលស្ថិតិ ។ មានន័យថា កាលណា \(n\) កាន់តែធំនោះ \(s^2 \to \sigma^2\) ។ គេអាចយកវ៉ារ្យង់ស្ថិតិគំរូ ដើម្បីធ្វើការប៉ាន់ស្មានវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល ។ ដូច្នេះហើយបានជាភាគបែងនៃវ៉ារ្យង់ស្ថិតិគំរូ \(n(n - 1)\) ព្រោះចៀសវាងកុំឱ្យមានល្អៀងធំពេក ។

លំហាត់គំរូ

ក្នុងរោងចក្រធ្វើនំមួយ មានម៉ាស៊ីនសម្រាប់ខ្ចប់នំពីរគឺ ម៉ាស៊ីន \(A\) និងម៉ាស៊ីន \(B\) ។ គេជ្រើសរើសយកគំរូនំចំនួន \(10\) កញ្ចប់ចេញពីលទ្ធផលនៃម៉ាស៊ីននីមួយៗ ហើយម៉ាសនំថ្លឹងបង្គត់គិតជាក្រាម ។

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ម៉ាស៊ីន } A & \text{ម៉ាស៊ីន } B\\ \hline 196 & 192\\ 198 & 194\\ 198 & 195\\ 199 & 198\\ 200 & 200\\ 200 & 201\\ 201 & 203\\ 201 & 204\\ 202 & 206\\ 205 & 207\\ \hline \end{array}\]

  1. គណនាគម្លាតស្តង់ដានៃម៉ាសកញ្ចប់នំ ដែលយកចេញពីលទ្ធផលការងារម៉ាស៊ីននីមួយៗ

  2. បកស្រាយចម្លើយសំណួរខាងលើ ។

ដំណោះស្រាយ

  1. គម្លាតស្តង់ដានៃម៉ាស៊ីន \(A\) និងម៉ាស៊ីន \(B\) តាមរូបមន្ត \(s^2 = \dfrac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n - 1}\) ។

    \[\begin{aligned} \bar{X}_A &= \frac{196 + 198 + \dots + 202 + 205}{10} = \frac{2000}{10} = 200 \text{ g}\\ \bar{X}_B &= \frac{192 + 194 + \dots + 206 + 207}{10} = \frac{2000}{10} = 200 \text{ g} \end{aligned}\]
    \[\begin{array}{|c|c|c|}\hline X_i\,(A) & X_i - \bar{X}_A & (X_i - \bar{X}_A)^2\\ \hline 196 & -4 & 16\\ 198 & -2 & 4\\ 198 & -2 & 4\\ 199 & -1 & 1\\ 200 & 0 & 0\\ 200 & 0 & 0\\ 201 & 1 & 1\\ 201 & 1 & 1\\ 202 & 2 & 4\\ 205 & 5 & 25\\ \hline & & 56\\ \hline \end{array}\]
    \[\begin{array}{|c|c|c|}\hline X_i\,(B) & X_i - \bar{X}_B & (X_i - \bar{X}_B)^2\\ \hline 192 & -8 & 64\\ 194 & -6 & 36\\ 195 & -5 & 25\\ 198 & -2 & 4\\ 200 & 0 & 0\\ 201 & 1 & 1\\ 203 & 3 & 9\\ 204 & 4 & 16\\ 206 & 6 & 36\\ 207 & 7 & 49\\ \hline & & 240\\ \hline \end{array}\]
    គម្លាតស្តង់ដាសម្រាប់ម៉ាស៊ីន \(A\) ៖ \(s_A = \sqrt{\dfrac{\sum(X_i - \bar{X}_A)^2}{n - 1}} = \sqrt{\dfrac{56}{9}} = \sqrt{6.22} \approx 2.49\) ។
    គម្លាតស្តង់ដាសម្រាប់ម៉ាស៊ីន \(B\) ៖ \(s_B = \sqrt{\dfrac{\sum(X_i - \bar{X}_B)^2}{n - 1}} = \sqrt{\dfrac{240}{9}} = \sqrt{26.67} \approx 5.16\) ។

  2. ដោយម៉ាស៊ីន \(A\) មានគម្លាតស្តង់ដាតូចជាងគម្លាតស្តង់ដាម៉ាស៊ីន \(B\) នាំឱ្យម៉ាស៊ីន \(A\) ធ្វើការបានល្អជាងម៉ាស៊ីន \(B\) ។

វិធីផ្សេងដោយប្រើរូបមន្តកាត់ ៖ ម៉ាស៊ីន \(A\) ៖ \(\sum x_i = 2000\), \(\sum x_i^2 = 400\,056\) ៖ \(s_A = \sqrt{\dfrac{10\times 400\,056 - 2000^2}{10\times 9}} \approx 2.494\) ។ ម៉ាស៊ីន \(B\) ៖ \(\sum x_i = 2000\), \(\sum x_i^2 = 400\,240\) ៖ \(s_B = \sqrt{\dfrac{10\times 400\,240 - 2000^2}{10\times 9}} \approx 5.164\) ។

ប្រតិបត្តិ

អាយុកាលអគារអ្នកជំងឺតាមផ្នែកនីមួយៗក្នុងមន្ទីរពេទ្យមួយមាន \(38\), \(26\), \(13\) និង \(22\) ឆ្នាំ ។ គណនាវ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដា បើគេឧបមាថាទិន្នន័យជាស្ថិតិគំរូ ។

មើលចម្លើយ

\(\bar{X} = 24.75\), \(s^2 \approx 107.58\), \(s \approx 10.37\) ។

វ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដាសម្រាប់ទិន្នន័យផ្ដុំជាតារាងប្រេកង់

បើទិន្នន័យ \(X_1, X_2, X_3, \dots, X_n\) កើតឡើងដោយមានប្រេកង់ \(f_1, f_2, f_3, \dots, f_n\) នោះវ៉ារ្យង់នៃស្ថិតិសកលមានរូបមន្ត

រូបមន្ត

\[\begin{aligned} \sigma^2 = \frac{\sum f_i(X_i - \mu)^2}{\sum f_i} \quad{} \text{ឬ} \quad{} \sigma^2 &\\ &= \frac{N\cdot\sum f_iX_m^2 - \left(\sum f_iX_m\right)^2}{N^2} \end{aligned}\]
ដែល \(X_m\) ជាផ្ចិតនៃថ្នាក់ \(X_m = \dfrac{X_L + X_M}{2}\) និង \(N = \sum f_i\) ។ \(\sigma\) ឫសការេនៃវ៉ារ្យង់ហៅថា គម្លាតស្តង់ដា គេបាន
\[\begin{gathered} \sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i(X_i - \mu)^2}{\sum f_i}}\\ \text{ឬ} \quad{} \sigma = \sqrt{\frac{N\cdot\sum f_iX_m^2 - \left(\sum f_iX_m\right)^2}{N^2}} \end{gathered}\]

សម្គាល់

ចំពោះទិន្នន័យផ្ដុំជាតារាងប្រេកង់ វ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល និងស្ថិតិគំរូ មានរូបមន្តស្រដៀងគ្នាកំណត់ដោយ \(s^2 = \dfrac{n\cdot\sum f_iX_m^2 - \left(\sum f_iX_m\right)^2}{n(n - 1)}\) ដែល \(n = \sum f_i\) ។

លំហាត់គំរូ

តារាងខាងក្រោម ជាបំណែងចែកការប្រាក់ដែលអ្នកវិនិយោគចំនួន \(460\) នាក់ឱ្យក្នុងមួយឆ្នាំ ។

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ការប្រាក់ (គិតជាដុល្លារ)} & \text{ចំនួនអ្នកវិនិយោគ } f_i\\ \hline 25 - 30 & 17\\ 30 - 40 & 55\\ 40 - 60 & 142\\ 60 - 80 & 153\\ 80 - 110 & 93\\ \hline \end{array}\]
គណនាគម្លាតស្តង់ដា ។

ដំណោះស្រាយ

ចំពោះទិន្នន័យដែលផ្ដុំជាថ្នាក់ ចំណុចកណ្ដាលនៃថ្នាក់តំណាងឱ្យថ្នាក់នីមួយៗ ។ ឧបមាថាទិន្នន័យជាទិន្នន័យគំរូ ។ គម្លាតស្តង់ដាគំរូ \(s = \sqrt{\dfrac{n\cdot\sum f_iX_m^2 - \left(\sum f_iX_m\right)^2}{n(n - 1)}}\), \(n = \sum f_i\) ។

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ការប្រាក់} & f_i & X_m & f_iX_m & X_m^2 & f_iX_m^2\\ \hline 25 - 30 & 17 & 27.5 & 467.5 & 756.25 & 12\,856.25\\ 30 - 40 & 55 & 35 & 1925 & 1225 & 67\,375\\ 40 - 60 & 142 & 50 & 7100 & 2500 & 355\,000\\ 60 - 80 & 153 & 70 & 10\,710 & 4900 & 749\,700\\ 80 - 110 & 93 & 95 & 8835 & 9025 & 839\,325\\ \hline & 460 & & 29\,037.5 & & 2\,024\,256.25\\ \hline \end{array}\]
\[\begin{aligned} s &\\ &= \sqrt{\frac{460\times 2\,024\,256.25 - 29\,037.5^2}{460\times 459}} \approx 20.41316 \end{aligned}\]
ដូច្នេះ \(s \approx 20.41\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានបំណែងចែកប្រេកង់ខាងក្រោម ។ គណនាមធ្យម និងគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិគំរូ ។

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ថ្នាក់} & f_i\\ \hline 5 - 10 & 15\\ 10 - 15 & 72\\ 15 - 20 & 15\\ 20 - 25 & 90\\ 25 - 30 & 35\\ 30 - 35 & 8\\ \hline \end{array}\]

មើលចម្លើយ

\(\bar{X} \approx 19.24\), \(s \approx 6.58\) ។

មេរៀនសង្ខេប ជំពូកទី ៧

មេរៀនសង្ខេប

  1. បើទិន្នន័យដែលបានរៀបតាមលំដាប់មានចំនួនតួស្មើនឹង \(n\) នោះគេបាន ៖ កាទីលទី \(1\) \(Q_1 =\) តម្លៃតួទី \(\dfrac{1}{4}(n + 1)\), កាទីលទី \(2\) \(Q_2 =\) តម្លៃតួទី \(\dfrac{2}{4}(n + 1) =\) តម្លៃតួទី \(\dfrac{1}{2}(n + 1)\), កាទីលទី \(3\) \(Q_3 =\) តម្លៃតួទី \(\dfrac{3}{4}(n + 1)\) ។

  2. បើគេតាង \(D_i\) ជាទីតាំងនៃភាគដប់ នោះគេបាន \(D_1, D_2, D_3, \dots, D_9\) ៖ \(D_1 =\) តម្លៃតួទី \(\dfrac{1}{10}(n + 1)\), \(\dots\), \(D_9 =\) តម្លៃតួទី \(\dfrac{9}{10}(n + 1)\) ។

  3. បើគេតាង \(L_P\) ជាតម្លៃតួទីតាំងភាគរយ នោះគេបាន \(L_1, L_2, \dots, L_{99}\) ។ រូបមន្តភាគរយ \(L_P =\) តម្លៃតួទី \(\dfrac{P}{100}(n + 1)\) ដែល \(P\) ជាភាគរយដែលគេត្រូវរក ។

  4. រង្វាស់ទីតាំងនៃទិន្នន័យផ្ដុំជាថ្នាក់ ៖ \(Q_1 = L + \dfrac{\frac{1}{4}n - f^{\uparrow}}{f}\times(i)\), \(Q_3 = L + \dfrac{\frac{3}{4}n - f^{\uparrow}}{f}\times(i)\), \(L_P = L + \dfrac{\frac{P}{100}n - f^{\uparrow}}{f}\times(i)\) ។

  5. រ៉ង់ គឺជាផលដករវាងតម្លៃទិន្នន័យដែលខ្ពស់ជាងគេនិងតម្លៃទិន្នន័យដែលទាបជាងគេ ។

    • ចន្លោះអាំងទែរកាទីល \(I = Q_3 - Q_1\)

    • វ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកលមានរូបមន្ត \(\sigma^2 = \dfrac{\sum(X - \mu)^2}{N}\)

    • គម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\)

    • វ៉ារ្យង់គំរូ តាងដោយ \(s^2 = \dfrac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n - 1} = \dfrac{n\sum X_i^2 - \left(\sum X_i\right)^2}{n(n - 1)}\)

    • គម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិគំរូ \(s = \sqrt{s^2}\) ។

  6. ចំពោះទិន្នន័យផ្ដុំជាថ្នាក់

    • ឫសការេនៃវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកលហៅថា គម្លាតស្តង់ដា ៖ \(\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum f_i(X_i - \mu)^2}{\sum f_i}} = \sqrt{\dfrac{N\cdot\sum f_iX_m^2 - \left(\sum f_iX_m\right)^2}{N^2}}\) ដែល \(N = \sum f_i\)

    • ឫសការេនៃវ៉ារ្យង់ស្ថិតិគំរូហៅថា គម្លាតស្តង់ដា ៖ \(s = \sqrt{\dfrac{\sum f_i(X_i - \bar{X})^2}{n - 1}} = \sqrt{\dfrac{n\cdot\sum f_iX_m^2 - \left(\sum f_iX_m\right)^2}{n(n - 1)}}\) ដែល \(n = \sum f_i\) ។

លំហាត់ជំពូកទី ៧

  1. គេមានសំណុំទិន្នន័យខាងក្រោម ។ គណនាកាទីលទាំងបី ភាគដប់ និង \(L_{35}\) ៖

    1. \(4, 8, 3, 6, 7, 10, 11, 18, 15, 19, 20\)

    2. \(\begin{array}{|c|cccccccc|}\hline x & 7 & 8 & 9 & 11 & 13 & 15 & 19 & 20\\ \hline f & 2 & 5 & 4 & 12 & 11 & 9 & 7 & 3\\ \hline\end{array}\)

  2. អ្នកទេសចរជនជាតិជប៉ុន ដែលធ្វើដំណើរតាមយន្តហោះមកព្រះរាជាណាចក្រកម្ពុជាមានអាយុ \(32, 21, 60, 47, 54, 17, 72, 55, 33\) និង \(41\) ឆ្នាំ ។

    1. គណនារ៉ង់

    2. គណនាចន្លោះអាំងទែរកាទីល

    3. គណនាគម្លាតស្តង់ដា ។

  3. ប្រាក់ចំណូលប្រចាំសប្ដាហ៍របស់នាយករង \(5\) នាក់ក្នុងក្រុមហ៊ុនមួយនោះមាន \(\$30\), \(\$35\), \(\$50\), \(\$42\) និង \(\$40\) ដោយគិតថាទិន្នន័យជាស្ថិតិសកល ។ ក. គណនាវ៉ារ្យង់ ខ. គណនាគម្លាតស្តង់ដា ។

  4. ពិន្ទុនៃការធ្វើតេស្តសិស្សចំនួន \(60\) នាក់លើមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យា បានបង្ហាញដូចតារាងខាងក្រោម ៖

    \[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ពិន្ទុ} & \text{ចំនួនសិស្ស } f\\ \hline 100 - 105 & 8\\ 105 - 110 & 13\\ 110 - 115 & 25\\ 115 - 120 & 11\\ 120 - 125 & 4\\ \hline \end{array}\]

    1. គណនារ៉ង់

    2. គណនា \(Q_1\) និង \(Q_2\)

    3. គណនាភាគដប់និង \(L_{36}\)

    4. គណនាវ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិគំរូ ។

  5. តារាងខាងក្រោម ជាបំណែងចែកប្រេកង់រយៈពេលសម្រាប់ដោះស្រាយចំណោទរបស់សិស្ស \(38\) នាក់ងាយមួយ ។

    \[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{រយៈពេល (គិតជាវិនាទី)} & \text{ចំនួនសិស្ស } f\\ \hline 5 - 10 & 8\\ 10 - 20 & 13\\ 20 - 25 & 24\\ 25 - 40 & 11\\ 40 - 45 & 4\\ \hline \end{array}\]

    1. គណនាម៉ូត

    2. គណនាមធ្យម

    3. គណនាគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិគំរូ ។

  6. គេមានបំណែងចែកប្រេកង់ខាងក្រោម ៖

    \[\begin{array}{|c|ccccccccccc|}\hline x_i & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 29 & 30 & 31\\ \hline f_i & 20 & 30 & 33 & 31 & 20 & 18 & 12 & 10 & 5 & 3 & 2\\ \hline \end{array}\]
    ក. គណនាម៉ូត ខ. គណនាគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិគំរូ ។

  7. គេស្រង់ទិន្នន័យរថយន្តម៉ូដថ្មីចំនួន \(10\) គ្រឿង ដើម្បីកត់ត្រានូវកម្រិតស៊ីប្រេងក្នុង \(100\) km ។ គេបានទិន្នន័យ \(12, 15, 13, 14, 15, 16, 17, 16, 17, 18\) ។ ចូររកតម្លៃ មធ្យម កាទីលទី \(1\) មេដ្យាន កាទីលទី \(3\) ម៉ូត រ៉ង់ វ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដា ។

  8. គេបានសាកសួរព័ត៌មានសិស្សថ្នាក់ទី \(8\) នូវចំនួនមិត្តភក្តិជិតស្និត ដែលពួកគេមានពេលកំពុងរៀន ។ គេបានតារាងទិន្នន័យដូចខាងក្រោម ៖

    \[\begin{array}{|l|cccc|}\hline \text{ចំនួនមិត្តភក្តិជិតស្និត} & 8 & 6 & 5 & 3\\ \hline \text{ចំនួនសិស្ស} & 1 & 2 & 3 & 0\\ \hline \end{array}\]
    រកមធ្យមចំនួនមិត្តភក្តិជិតស្និតរបស់សិស្សថ្នាក់ ។

  9. តាមការផ្សព្វផ្សាយព័ត៌មានមួយបាននិយាយថា មធ្យមរយៈពេលធ្វើការរបស់បុគ្គលិកក្រុមហ៊ុនមួយស្មើនឹង \(9\) ឆ្នាំ ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ពីការអះអាងនេះ គេបានស្រង់រយៈពេលធ្វើការរបស់បុគ្គលិកក្នុងក្រុមហ៊ុននេះដូចខាងក្រោម ៖

    \[\begin{array}{|l|ccc|}\hline \text{ចំនួនបុគ្គលិក} & 8 & 2 & 3\\ \hline \text{រយៈពេលធ្វើការគិតជាឆ្នាំ} & 2 & 6 & 10\\ \hline \end{array}\]
    រកមធ្យមនៃរយៈពេលធ្វើការរបស់បុគ្គលិក ។ តើការអះអាងរបស់ក្រុមហ៊ុនពិតឬមិនពិត?

  10. គេធ្វើតេស្តគណិតលើសិស្ស \(29\) នាក់ គេបានតារាងទិន្នន័យ ៖

    \[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ពិន្ទុ} & \text{ចំនួនសិស្ស}\\ \hline 40.5 - 45.5 & 3\\ 45.5 - 50.5 & 8\\ 50.5 - 55.5 & 10\\ 55.5 - 60.5 & 3\\ 60.5 - 65.5 & 1\\ \hline \end{array}\]

    1. សង់ក្រាបប្រេកង់កើន

    2. រកពិន្ទុដែលត្រូវនឹងទិន្នន័យទី \(22\) ទីតាំងទីភាគរយ \(78\) និង \(99\)

    3. រកទីតាំងទីភាគរយដែលត្រូវនឹងតម្លៃ \(52\), \(43\) និង \(64\) ។

  11. គេមានទិន្នន័យពិន្ទុសរុបរបស់សិស្សក្នុងសាលារៀនមួយ ។ ចូរគណនាមធ្យម, \(Q_1\), មេដ្យាន, \(Q_3\), វ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដា ។

    \[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ពិន្ទុ} & \text{ចំនួនសិស្ស}\\ \hline 196.5 - 217.5 & 5\\ 217.5 - 238.5 & 17\\ 238.5 - 259.5 & 22\\ 259.5 - 280.5 & 48\\ 280.5 - 301.5 & 22\\ 301.5 - 322.5 & 6\\ \hline \end{array}\]

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព
មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ១៤៤–១៥៨។
ទំព័រ ១៤៤
ទំព័រ ១៤៤
ទំព័រ ១៤៥
ទំព័រ ១៤៥
ទំព័រ ១៤៦
ទំព័រ ១៤៦
ទំព័រ ១៤៧
ទំព័រ ១៤៧
ទំព័រ ១៤៨
ទំព័រ ១៤៨
ទំព័រ ១៤៩
ទំព័រ ១៤៩
ទំព័រ ១៥០
ទំព័រ ១៥០
ទំព័រ ១៥១
ទំព័រ ១៥១
ទំព័រ ១៥២
ទំព័រ ១៥២
ទំព័រ ១៥៣
ទំព័រ ១៥៣
ទំព័រ ១៥៤
ទំព័រ ១៥៤
ទំព័រ ១៥៥
ទំព័រ ១៥៥
ទំព័រ ១៥៦
ទំព័រ ១៥៦
ទំព័រ ១៥៧
ទំព័រ ១៥៧
ទំព័រ ១៥៨
ទំព័រ ១៥៨

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គណនារ៉ង់និងចន្លោះអាំងទែរកាទីលនៃសំណុំទិន្នន័យខាងក្រោម ៖ ក. \(5, 16, 9, 8, 6, 10, 12, 10, 8, 6\) ខ. \(\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline f & 5 & 2 & 7 & 9 & 4 & 10 & 5\\ \hline\end{array}\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រៀប ៖ \(5, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 16\) ។ រ៉ង់ \(= 16 - 5 = 11\) ។ \(Q_1 =\) តួទី \(2.75\) ៖ \(6\), \(Q_3 =\) តួទី \(8.25\) ៖ \(\dfrac{10 + 12}{2} = 11\) ៖ \(I = 5\) ។ ខ. \(n = 42\), រ៉ង់ \(= 9 - 3 = 6\) ។ \(f^{\uparrow}\) ៖ \(5, 7, 14, 23, 27, 37, 42\) ។ \(Q_1 =\) តួទី \(10.75\) ៖ \(5\), \(Q_3 =\) តួទី \(32.25\) ៖ \(8\) ៖ \(I = 3\) ។

២លំហាត់ទី ២

ប្រាក់ចំណូលប្រចាំសប្ដាហ៍ (គិតជាដុល្លារ) របស់អ្នកនឹងនាំថ្នាក់កណ្ដាលក្នុងក្រុមហ៊ុនមួយមាន \(52, 56, 58, 65, 68, 65, 75, 70\) ។ ដោយសន្មតថាទិន្នន័យទាំងនេះជាស្ថិតិសកល ។ ក. គណនារ៉ង់ ខ. គណនាវ៉ារ្យង់សកលស្ថិតិ និងគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រ៉ង់ \(= 75 - 52 = 23\) ។ ខ. \(\mu = \dfrac{509}{8} = 63.625\), \(\sigma^2 \approx 52.23\), \(\sigma \approx 7.23\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

ពូសែនិងពូសុខជាឈ្មួញទិញជ្រូកដូចគ្នា ។ ឈ្មួញទាំងពីរទិញជ្រូកបានម្នាក់ \(10\) ក្បាល ដែលជ្រូកនីមួយៗមានម៉ាស ៖

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ម៉ាសជ្រូកពូសែ (kg)} & \text{ម៉ាសជ្រូកពូសុខ (kg)}\\ \hline 70 & 63\\ 92 & 63\\ 102 & 65\\ 98 & 71\\ 105 & 72\\ 35 & 74\\ 39 & 40\\ 39 & 58\\ 40 & 80\\ 60 & 94\\ \hline \end{array}\]
ក. គណនាវ៉ារ្យង់ (ស្ថិតិសកល) ។ ខ. តើឈ្មួញណាមួយទិញជ្រូកបានម៉ាសស្មើសាច់ជាង?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មធ្យមទាំងពីរស្មើ \(68\) kg ។ ពូសែ ៖ \(\sigma^2 = 762.4\) (\(\sigma \approx 27.61\)) ។ ពូសុខ ៖ \(\sigma^2 = 182.4\) (\(\sigma \approx 13.51\)) ។ ខ. ពូសុខទិញជ្រូកបានម៉ាសស្មើសាច់ជាង ព្រោះវ៉ារ្យង់តូចជាង ។

៤លំហាត់ទី ៤

គេមានទិន្នន័យ \(a, b, 8, 5, 7\) (ស្ថិតិសកល) ដែលមានតម្លៃមធ្យមស្មើនឹង \(6\) និងវ៉ារ្យង់ស្មើនឹង \(2\) ។ គណនាតម្លៃ \(a\) និង \(b\) បើ \(a > b\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(\dfrac{a + b + 20}{5} = 6 \Rightarrow a + b = 10\) ។ \(\dfrac{(a - 6)^2 + (b - 6)^2 + 4 + 1 + 1}{5} = 2 \Rightarrow (a - 6)^2 + (b - 6)^2 = 4\) ។ ដោយ \(b - 6 = -(a - 6)\) គេបាន \(2(a - 6)^2 = 4\) ។ ដូច្នេះ \(a = 6 + \sqrt{2}\), \(b = 6 - \sqrt{2}\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

បំណែងចែកប្រេកង់ខាងក្រោម ជាបំណែងចែកម៉ាស (kg) ជ្រូកចំនួន \(40\) ក្បាលក្នុងកសិដ្ឋានមួយ ៖

\[\begin{array}{|l|ccccc|}\hline \text{ម៉ាស (kg)} & 20 - 30 & 30 - 40 & 40 - 50 & 50 - 60 & 60 - 70\\ \hline \text{ចំនួនជ្រូក } f_i & 5 & 8 & 10 & 11 & 6\\ \hline \end{array}\]
ក. គណនារ៉ង់ ខ. គណនាមធ្យម គ. គណនាគម្លាតស្តង់ដា ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រ៉ង់ \(= 70 - 20 = 50\) kg ។ ខ. \(\mu = \dfrac{\sum f_iX_m}{N} = \dfrac{1850}{40} = 46.25\) kg ។ គ. \(\sum f_iX_m^2 = 91\,800\) ៖ \(\sigma = \sqrt{\dfrac{40\times 91\,800 - 1850^2}{40^2}} \approx 12.49\) kg (បើគិតជាស្ថិតិគំរូ \(s \approx 12.65\) kg) ។

៦លំហាត់ទី ៦

តាមសំណុំទិន្នន័យទាំងបីខាងក្រោមមានតម្លៃមធ្យមនិងរ៉ង់ដូចគ្នា ប៉ុន្តែតើវាមានបម្រែបម្រួលដូចគ្នាឬទេ? ចូរបកស្រាយចម្លើយរបស់ប្អូនដោយគណនាគម្លាតស្តង់ដា ។ ឧបមាថាទិន្នន័យទាំងនោះជាគំរូស្ថិតិ ។ ក. \(5, 7, 9, 11, 13, 15, 17\) ខ. \(5, 6, 7, 11, 15, 16, 17\) គ. \(5, 5, 5, 11, 17, 17, 17\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យមទាំងបីស្មើ \(11\) និងរ៉ង់ស្មើ \(12\) ។ ក. \(s \approx 4.32\) ខ. \(s \approx 5.07\) គ. \(s = 6\) ។ បម្រែបម្រួលមិនដូចគ្នាទេ ៖ សំណុំ គ មានពង្រាយខ្លាំងជាងគេ ហើយសំណុំ ក មានពង្រាយតិចជាងគេ ។

៧លំហាត់ទី ៧

ចំនួនអវត្តមានដែលគេបានសង្កេតដោយគំរូស្ថិតិចៃដន្យលើសាលារៀនចំនួន \(10\) មានដូចខាងក្រោម ៖ \(7, 37, 3, 8, 48, 11, 6, 2, 12, 5\) ។ ចូរគណនារ៉ង់ វ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដា ។ តើទិន្នន័យនេះមានបម្រែបម្រួលអថេរខ្លាំងដែរឬទេ?

មើលដំណោះស្រាយ

រ៉ង់ \(= 48 - 2 = 46\), \(\bar{X} = 13.9\), \(s^2 \approx 243.66\), \(s \approx 15.61\) ។ គម្លាតស្តង់ដាធំជាងមធ្យម ដូច្នេះទិន្នន័យមានបម្រែបម្រួលខ្លាំង ។

៨លំហាត់ទី ៨

តម្លៃសាប៊ូដែលប្រើប្រាស់ក្នុងម៉ាស៊ីនបោកខោអាវម្ដងមានទិន្នន័យដូចក្នុងតារាងខាងក្រោម ។ គណនាមធ្យម វ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដា ។ ឧបមាថាទិន្នន័យនេះជាគំរូស្ថិតិ ។

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{តម្លៃ (សេនដុល្លារ)} & \text{ចំនួនម៉ាស៊ីនបោកខោអាវ}\\ \hline 13 - 19 & 2\\ 20 - 26 & 7\\ 27 - 33 & 12\\ 34 - 40 & 5\\ 41 - 47 & 6\\ 48 - 54 & 1\\ 55 - 61 & 0\\ 62 - 68 & 2\\ \hline \end{array}\]

មើលដំណោះស្រាយ

\(n = 35\), ផ្ចិតថ្នាក់ \(16, 23, 30, \dots, 65\) ។ \(\sum f_iX_m = 1183\), \(\sum f_iX_m^2 = 44\,527\) ។ \(\bar{X} = 33.8\) សេន, \(s^2 \approx 133.58\), \(s \approx 11.56\) សេន ។

៩លំហាត់ទី ៩

គេសង្កេតទិន្នន័យបទឧក្រិដ្ឋក្នុងខ័ណ្ឌ/ស្រុក គេបានទិន្នន័យដូចខាងក្រោម ៖

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ចំនួនឧក្រិដ្ឋ} & \text{ខ័ណ្ឌ/ស្រុក}\\ \hline 5 - 11 & 8\\ 12 - 18 & 5\\ 19 - 25 & 7\\ 26 - 32 & 1\\ 33 - 39 & 1\\ 40 - 46 & 3\\ \hline \end{array}\]
គណនាវ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដា នៃទិន្នន័យសំណាកខាងលើ ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(n = 25\), \(\sum f_iX_m = 487\), \(\sum f_iX_m^2 = 12\,709\) ។ \(\bar{X} = 19.48\), \(s^2 = 134.26\), \(s \approx 11.59\) ។

១០លំហាត់ទី ១០

អាគុយចំនួន \(80\) ត្រូវបានគេធ្វើតេស្តដើម្បីកំណត់ពីរយៈពេលប្រើប្រាស់របស់វាគិតជាម៉ោង ។ គេបានតារាងប្រេកង់ដូចខាងក្រោម ៖

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{រយៈពេល (h)} & \text{ចំនួនអាគុយ}\\ \hline 62.5 - 73.5 & 5\\ 73.5 - 84.5 & 14\\ 84.5 - 95.5 & 18\\ 95.5 - 106.5 & 25\\ 106.5 - 117.5 & 12\\ 117.5 - 128.5 & 6\\ \hline \end{array}\]
រកវ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដានៃរយៈពេលប្រើប្រាស់អាគុយ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ផ្ចិតថ្នាក់ \(68, 79, 90, 101, 112, 123\) ។ \(\sum f_iX_m = 7673\), \(\sum f_iX_m^2 = 752\,621\) ។ \(\bar{X} \approx 95.91\) h, \(s^2 \approx 211.19\), \(s \approx 14.53\) h ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២៥ រង្វាស់នៃគម្លាត (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត