KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀនទី ២៣
២៣
ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ · ជំពូកទី ៦ ចម្លាស់ បន្សំ និងប្រូបាប · មេរៀនទី ២៣ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

ប្រូបាប

ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រទំព័រ ១០២–១៣៤▶ ស្លាយបង្រៀន
វត្ថុបំណង

  1. កំណត់ន័យរបស់ពាក្យ ពិសោធន៍ចៃដន្យ វិញ្ញាសា លំហសំណាក និងព្រឹត្តិការណ៍

  2. បង្ហាញប្រភេទនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុ ព្រឹត្តិការណ៍សមាស ព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមាន ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក ផលគុណ ព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុងនិងផ្ទុយ

  3. កំណត់និយមន័យប្រូបាប រូបមន្ត និងលក្ខណៈនៃប្រូបាប

  4. ប្រើរូបមន្តចម្លាស់និងបន្សំ ដើម្បីគណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ ។

លំហសំណាកនិងព្រឹត្តិការណ៍

ពិសោធន៍ចៃដន្យ-វិញ្ញាសា

ឧទាហរណ៍ ១

នៅពេលដែលគេបោះកាក់មួយ គេមិនអាចដឹងច្បាស់ជាមុនថាកាក់នោះផ្ងារឡើងខាងរូប \((H)\) ឬមួយក៏ខាងលេខ \((T)\) នោះទេ ។ នៅពេលដែលគេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ គេក៏មិនអាចដឹងជាមុនថាមុខលើនៃគ្រាប់ឡុកឡាក់ តាងឱ្យលេខណាមួយក្នុងចំណោមលេខពី \(1\) ដល់ \(6\) ដែរ ។

ពិសោធន៍មួយដែលគេធ្វើដោយមិនបានដឹងជាមុនថា មានលទ្ធផលអ្វីមួយប្រាកដកើតឡើង នោះហៅថា ពិសោធន៍ចៃដន្យ ។

ឧទាហរណ៍ ២

បើគេយកកាក់មួយគ្រាប់មកពិសោធន៍ដោយកំណត់ជាក់លាក់ថា គេបោះកាក់ \(1\) ដង ឬ \(2\) ដង ឬ \(3\) ដង \(\dots\) នោះគេថា គេធ្វើវិញ្ញាសាបោះកាក់មួយគ្រាប់ចំនួន \(1\) ដង ឬ \(2\) ដង ឬ \(3\) ដង \(\dots\) ។

ឧទាហរណ៍ ៣

បើគេដាក់សន្លឹកប័ណ្ណ \(4\) សន្លឹកចុះលេខ \(1, 2, 3\) និង \(4\) ក្នុងថង់មួយ រួចគេធ្វើពិសោធន៍ដោយកំណត់សកម្មភាពជាក់លាក់ថា គេចាប់យកប័ណ្ណម្ដងមួយៗចំនួន \(2\) លើកចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ ហើយមិនដាក់ប័ណ្ណចូលថង់វិញ ។ គេថាគេធ្វើវិញ្ញាសាមួយ គឺវិញ្ញាសាចាប់យកប័ណ្ណចេញពីថង់ម្ដងមួយចំនួន \(2\) លើក ដោយមិនដាក់វិញ ។

ពិសោធន៍មួយដែលគេកំណត់ធ្វើដោយជាក់លាក់ក្នុងពិសោធន៍ចៃដន្យមួយហៅថា វិញ្ញាសា ។

លំហសំណាក

ឧទាហរណ៍

ក្នុងវិញ្ញាសាបោះកាក់មួយចំនួន \(2\) ដង បើលើកទី \(1\) គេបោះបានខាងរូបតាងដោយ \(H\) និងលើកទី \(2\) បានខាងលេខតាងដោយ \(T\) នោះគេថាគេបានលទ្ធផល \((HT)\) ។ បើលើកទី \(1\) បោះបានខាង \(T\) និងលើកទី \(2\) បានខាង \(T\) នោះគេបានលទ្ធផល \((TT)\) ជាលទ្ធផលដែលបោះបានខាង \(T\) ទាំង \(2\) លើក ។ តើក្នុងវិញ្ញាសាបោះកាក់មួយ \(2\) ដងនេះ គេអាចបានលទ្ធផលទាំងអស់ប៉ុន្មានរបៀប?

លទ្ធផលដែលអាចកើតឡើងទាំងអស់មាន \(4\) របៀបគឺ \((HH)\), \((HT)\), \((TH)\) និង \((TT)\) ។

  • លទ្ធផលទាំងអស់ដែលអាចកើតឡើងក្នុងវិញ្ញាសានេះ បង្កើតបានជាសំណុំមួយហៅថា លំហសំណាក ។ គេកំណត់សរសេរ \(S = \{(HH), (HT), (TH), (TT)\}\) ។ ចំនួនលទ្ធផលទាំងអស់តាងដោយ \(n(S) = 4\) ។

  • ក្នុងវិញ្ញាសាបោះកាក់មួយគ្រាប់ចំនួន \(1\) ដង គេបានលំហសំណាក \(S = \{H, T\}\) ។ ចំនួនលទ្ធផលទាំងអស់តាងដោយ \(n(S) = 2\) ។

និយមន័យ

លំហសំណាក គឺជាសំណុំលទ្ធផលទាំងអស់ដែលអាចកើតឡើងក្នុងវិញ្ញាសាមួយនៃពិសោធន៍ចៃដន្យ ។ ចំនួនលទ្ធផលក្នុងលំហសំណាកតាងដោយ \(n(S)\) ។

លំហាត់គំរូ

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ចំនួន \(2\) ដង ។

  1. តើសកម្មភាពណាជាពិសោធន៍ចៃដន្យ? ជាវិញ្ញាសា?

  2. សរសេរលំហសំណាក ។

ដំណោះស្រាយ

  1. ពិសោធន៍ចៃដន្យគឺ សកម្មភាពបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ។ វិញ្ញាសាគឺ សកម្មភាពបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយចំនួន \(2\) ដង ។

  2. គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយចំនួន \(2\) ដង លទ្ធផលនីមួយៗដែលអាចកើតឡើងជាគូមានលំដាប់ អាចមានលេខច្រំដែល ដែលជាធាតុរបស់ \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) ។ គេបានលំហសំណាក ៖ \(S = \{(a, b)\) ដែល \(a \in E, b \in E\}\)

    \[\begin{aligned} S &\\ &= \{(1, 1), (1, 2), \dots, (2, 3), (2, 4), \dots, (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \end{aligned}\]
    ចំនួនលទ្ធផលដែលអាចកើតឡើងកំណត់ដោយ \(n(S) = 6\times 6 = 36\) ករណី ។

ប្រតិបត្តិ

គេចាប់យកឃ្លីម្ដង \(2\) គ្រាប់ចេញពីថង់មួយដោយចៃដន្យ ដែលក្នុងនោះមានឃ្លីក្រហម \(2\) ឃ្លីលឿង \(2\) និងឃ្លីខៀវ \(1\) ។

  1. តើសកម្មភាពណាជាពិសោធន៍ចៃដន្យ? ជាវិញ្ញាសា?

  2. សរសេរលំហសំណាក ។

មើលចម្លើយ

ក. ពិសោធន៍ចៃដន្យ ៖ ការចាប់យកឃ្លីចេញពីថង់ ។ វិញ្ញាសា ៖ ការចាប់យកឃ្លីម្ដង \(2\) គ្រាប់ ។ ខ. តាងឃ្លីក្រហម \(R_1, R_2\) ឃ្លីលឿង \(Y_1, Y_2\) និងឃ្លីខៀវ \(B\) ។ លំហសំណាកជាសំណុំនៃគូឃ្លីទាំងអស់ (មិនគិតលំដាប់) ៖ \(S = \{R_1R_2, R_1Y_1, R_1Y_2, R_1B, R_2Y_1, R_2Y_2, R_2B, Y_1Y_2, Y_1B, Y_2B\}\), \(n(S) = {}_5C_2 = 10\) ។

ព្រឹត្តិការណ៍

ព្រឹត្តិការណ៍
ឧទាហរណ៍ ១

ក្នុងវិញ្ញាសាបោះកាក់មួយចំនួន \(2\) ដង បើគេកំណត់ថាគេចង់បានខាងរូប \(H\) កើតឡើងតែ \(1\) ដងគត់ នោះលទ្ធផលដែលស្របនឹងការចង់បាននេះគឺ \((HT)\) និង \((TH)\) ។ បើគេចង់បានខាងរូប \(H\) កើតឡើងទាំង \(2\) ដង នោះគេបានលទ្ធផល \((HH)\) ។

សំណុំលទ្ធផលដែលកើតឡើងស្របតាមការប្រាថ្នាចង់បានហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ ។

  • បើគេតាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ “បោះកាក់មួយចំនួន \(2\) ដង បានខាងរូបម្ដងគត់” នោះគេសរសេរ ៖ \(A = \{(HT), (TH)\} \Rightarrow n(A) = 2\) ។

  • បើគេតាង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ “បោះបានខាងលេខ \(2\) ដង” ៖ \(B = \{(TT)\} \Rightarrow n(B) = 1\) ។

ក្នុងវិញ្ញាសានេះ គេឃើញថាលំហសំណាក \(S = \{(HH), (HT), (TH), (TT)\} \Rightarrow n(S) = 4\) ។ ដូច្នេះ \(A\) និង \(B\) ជាសំណុំរងនៃលំហសំណាក ។

សម្គាល់

ព្រឹត្តិការណ៍ ជាសំណុំរងនៃលំហសំណាក ។

ឧទាហរណ៍ ២

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីក្រហម \(1\) ខៀវ \(1\) និងលឿង \(1\) ។ គេចាប់យកឃ្លីម្ដងមួយៗដោយចៃដន្យចេញពីថង់ រួចដាក់ចូលថង់វិញចំនួន \(2\) លើក ។

គេតាង ក ជាឃ្លីពណ៌ក្រហម ខ ជាឃ្លីពណ៌ខៀវ និង ល ជាឃ្លីពណ៌លឿង ។ ក្នុងវិញ្ញាសានេះគេបានលំហសំណាក ៖ \(S = \{(a, b)\) ដែល \(a, b \in E\}\) ដែល \(E = \{\) ក \(, \) ខ \(, \) ល \(\}\)

\[\begin{aligned} S = \{&(\text{កក}), (\text{ខខ}), (\text{លល}), (\text{កខ}), (\text{ខក}),\\ &(\text{ខល}), (\text{លខ}), (\text{កល}), (\text{លក})\} \Rightarrow n(S) = 9 \end{aligned}\]

  • បើតាង \(A_1\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ “ចាប់បានឃ្លីខៀវទាំង \(2\) លើក” គេបាន \(A_1 = \{(\) ខខ \()\} \Rightarrow n(A_1) = 1\) ។

  • \(A_2\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ “ចាប់បានឃ្លីខ្មៅលើកទី \(1\) ឃ្លីក្រហមលើកទី \(2\)” គេបាន \(A_2 = \varnothing\) ព្រោះក្នុងថង់គ្មានឃ្លីខ្មៅទេ \(\Rightarrow n(A_2) = 0\) ។

  • \(A_3\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ “ចាប់បានឃ្លី \(2\) ពណ៌ដូចគ្នា ឬ \(2\) ពណ៌ខុសគ្នា” គេបាន \(A_3 = S \Rightarrow n(A_3) = 9\) ។

គេឃើញថា ៖

  • ព្រឹត្តិការណ៍ \(A_1\) មានលទ្ធផលតែមួយគត់ ។ ព្រឹត្តិការណ៍ \(A_1\) ហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុ ។

  • ព្រឹត្តិការណ៍ \(A_2\) ហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមាន ព្រោះគ្មានលទ្ធផលណាមួយកើតឡើងក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ \(A_2\) ។

  • ព្រឹត្តិការណ៍ \(A_3\) មានគ្រប់លទ្ធផលទាំងអស់ដែលអាចកើតឡើង ដូចក្នុងលំហសំណាក ។ ព្រឹត្តិការណ៍ \(A_3\) ហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ ។

លំហាត់គំរូ

គេធ្វើវិញ្ញាសាបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ \(2\) គ្រាប់ មួយតូចមួយធំ ។

  1. កំណត់លទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
    \(B_1\) : “គ្រាប់ឡុកឡាក់ធំចេញលេខ \(4\)”
    \(B_2\) : “គ្រាប់ឡុកឡាក់ធំចេញលេខសេស”
    \(B_3\) : “គ្រាប់ឡុកឡាក់តូចចេញលេខ \(3\) គ្រាប់ឡុកឡាក់ធំចេញលេខ \(5\)”
    \(B_4\) : “គ្រាប់ឡុកឡាក់តូចចេញលេខ \(1\) គ្រាប់ឡុកឡាក់ធំចេញលេខ \(7\)”

  2. តើព្រឹត្តិការណ៍ណាជាព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុ?

ដំណោះស្រាយ

  1. គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ \(2\) គ្រាប់ មួយតូចមួយធំ គេបានលទ្ធផលនីមួយៗជាគូ \((a, b)\) ដែល \(a\) ជាលេខរបស់គ្រាប់ធំ និង \(b\) ជាលេខរបស់គ្រាប់តូច ។ គេបានលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ដូចខាងក្រោម ៖

    \[\begin{aligned} B_1 &= \{(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)\}\\ &\Rightarrow n(B_1) = 6 \end{aligned}\]
    \[\begin{aligned} B_2 = \{&(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),\\ &(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),\\ &(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\} \Rightarrow n(B_2) = 18 \end{aligned}\]
    \(B_3 = \{(5, 3)\} \Rightarrow n(B_3) = 1\) ។ \(B_4\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមាន \(\Rightarrow n(B_4) = 0\) ។

  2. ព្រឹត្តិការណ៍ \(B_3\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុ ។

ប្រតិបត្តិ

ក្នុងថង់មួយមានសន្លឹកបណ្ណ \(4\) សន្លឹកដែលចុះលេខ \(1, 2, 3\) និង \(4\) ។ គេហូតយកម្ដងមួយ ចំនួន \(2\) លើកដោយមិនដាក់វិញ ។ ចូរកំណត់លទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
\(C_1\) : “ហូតបានលេខគូនៅលើកទី \(1\)”
\(C_2\) : “ហូតបានលេខសេសទាំង \(2\) លើក”
\(C_3\) : “ហូតលើកទី \(1\) បានលេខគូ លើកទី \(2\) បានលេខធំជាង \(3\)”
\(C_4\) : “លើកទី \(1\) បានលេខ \(1\) លើកទី \(2\) បានលេខតូចជាង \(2\)” ។

មើលចម្លើយ

\(C_1 = \{(2, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)\}\), \(C_2 = \{(1, 3), (3, 1)\}\), \(C_3 = \{(2, 4)\}\) (ឯកធាតុ), \(C_4 = \varnothing\) (មិនអាចមាន ព្រោះប័ណ្ណលេខ \(1\) មិនបានដាក់វិញ) ។

ព្រឹត្តិការណ៍សមាស

គេឃើញថាព្រឹត្តិការណ៍ជាសំណុំរងនៃលំហសំណាក ដូច្នេះគេអាចប្រើសញ្ញាប្រសព្វ និងប្រជុំ ដើម្បីបង្កើតព្រឹត្តិការណ៍បន្ថែមទៀតដែលជាព្រឹត្តិការណ៍សមាស ហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ និងព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក ។

ឧទាហរណ៍

គេធ្វើវិញ្ញាសាចាប់យកឃ្លីម្ដងមួយចំនួន \(2\) លើកចេញពីថង់ដែលមានឃ្លី \(3\) គ្រាប់មានពណ៌ខុសគ្នា ក្រហម ខៀវ និងលឿងដោយដាក់វិញ ។ ចូរកំណត់លំហសំណាក \(S\) និងព្រឹត្តិការណ៍ ៖
\(A\) : “ចាប់បានឃ្លី \(2\) ពណ៌ខុសគ្នា” \(B\) : “ចាប់បានឃ្លីពណ៌ខៀវនៅលើកទី \(1\)”
\(C\) : “ចាប់បានឃ្លី \(2\) ពណ៌ដូចគ្នា” \(D\) : “ចាប់បានឃ្លីពណ៌ក្រហមនៅលើកទី \(1\)”

តាង ខ ជាឃ្លីពណ៌ខៀវ ក ជាឃ្លីពណ៌ក្រហម និង ល ជាឃ្លីពណ៌លឿង ។

\[\begin{aligned} S &= \{(\text{ខខ}), (\text{កក}), (\text{លល}), (\text{ខក}), (\text{ខល}), (\text{កល}), (\text{កខ}), (\text{លខ}), (\text{លក})\}\\ A &= \{(\text{ខក}), (\text{ខល}), (\text{កល}), (\text{កខ}), (\text{លខ}), (\text{លក})\}\\ B &= \{(\text{ខក}), (\text{ខល}), (\text{ខខ})\}\\ C &= \{(\text{ខខ}), (\text{កក}), (\text{លល})\}\\ D &= \{(\text{កខ}), (\text{កល}), (\text{កក})\} \end{aligned}\]
គេឃើញថាព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) មានលទ្ធផលរួម \((\) ខក \(), (\) ខល \()\) ។ លទ្ធផលរួមនេះបង្កើតបានព្រឹត្តិការណ៍មួយហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃ \(A\) និង \(B\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(A \cap B = \{(\) ខក \(), (\) ខល \()\}\) ។ ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃ \(A\) និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ “ឃ្លីទាំង \(2\) ពណ៌ខុសគ្នា និងចាប់លើកទី \(1\) បានពណ៌ខៀវ” ។

និយមន័យ

ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃ \(A\) និង \(B\) ជាប្រសព្វនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(A\) និង \(B\) មានន័យថា \(A \cap B\) ។

គេឃើញថា គ្រប់លទ្ធផលទាំងអស់នៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងគ្រប់លទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) បង្កើតបានព្រឹត្តិការណ៍មួយហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកនៃ \(A\) និង \(B\) ។

\[A \cup B = \{(\text{ខក}), (\text{ខល}), (\text{កល}), (\text{កខ}), (\text{លខ}), (\text{លក}), (\text{ខខ})\}\]
ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកនៃ \(A\) និង \(B\) គឺ “ចាប់ឃ្លីទាំង \(2\) បានពណ៌ខុសគ្នា ឬបានពណ៌ខៀវនៅលើកទី \(1\)” ។

និយមន័យ

ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកនៃ \(A\) និង \(B\) ជាប្រជុំនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(A\) ឬ \(B\) មានន័យថា \(A \cup B\) ។

ព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(D\) គ្មានលទ្ធផលណាមួយដូចគ្នាទេ ។ គេថាព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(D\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ មិនចុះសម្រុងគ្នា ។ គេបាន \(B \cap D = \varnothing\) និង \(n(B \cap D) = 0\) ។

និយមន័យ

ព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(D\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុងគ្នា កាលណាព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃ \(B\) និង \(D\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមាន ៖ \(B \cap D = \varnothing\) (មិនមានធាតុរួម) ។ គេបាន \(n(B \cap D) = 0\) ។

គេឃើញថា \(A \cap C = \varnothing\) និង \(A \cup C = S\) ។ គេថាព្រឹត្តិការណ៍ \(C\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹង \(A\) ឬ \(C\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បំពេញនៃ \(A\) ។ គេកំណត់សរសេរព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនៃ \(A\) ឬព្រឹត្តិការណ៍បំពេញនៃ \(A\) ដោយ \(\bar{A}\) ។

ព្រឹត្តិការណ៍ \(2\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បំពេញគ្នា កាលណាផលគុណនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំង \(2\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមាន និងព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំង \(2\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ ៖ \(A \cap \bar{A} = \varnothing\), \(A \cup \bar{A} = S\) ។ គេបានព្រឹត្តិការណ៍ \(2\) បំពេញគ្នាជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុង ។

លំហាត់គំរូ

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ ។ គេតាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ចេញលេខគូ \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ចេញលេខជាពហុគុណនៃ \(3\) និង \(C\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ចេញលេខតូចជាង ឬស្មើនឹង \(2\) ។ ចូរកំណត់ ៖

  1. លំហសំណាក \(S\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(A, B, C\)

  2. ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ \(A \cap B\), \(A \cap C\), \(B \cap C\)

  3. ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក \(A \cup B\), \(B \cup C\)

  4. ព្រឹត្តិការណ៍បំពេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A, B, C\)

  5. តើព្រឹត្តិការណ៍ណាជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុងគ្នា?

ដំណោះស្រាយ

  1. គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ គេបានលទ្ធផលអាចកើតឡើងមានលេខ \(1, 2, 3, 4, 5\) និង \(6\) ។ គេបានលំហសំណាក \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) ។ ព្រឹត្តិការណ៍ \(A = \{2, 4, 6\}\), \(B = \{3, 6\}\), \(C = \{1, 2\}\) ។

  2. ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ ៖ \(A \cap B = \{6\}\), \(A \cap C = \{2\}\), \(B \cap C = \varnothing\) ។

  3. ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក ៖ \(A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}\), \(B \cup C = \{1, 2, 3, 6\}\) ។

  4. ព្រឹត្តិការណ៍បំពេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A, B, C\) គឺ ៖ \(\bar{A} = \{1, 3, 5\}\), \(\bar{B} = \{1, 2, 4, 5\}\), \(\bar{C} = \{3, 4, 5, 6\}\) ។

  5. ដោយ \(B \cap C = \varnothing\) នោះ \(B\) និង \(C\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុង ។

ប្រតិបត្តិ

គេធ្វើវិញ្ញាសាចាប់យកបណ្ណមួយសន្លឹកចំនួន \(2\) លើក ដោយចៃដន្យនិងមិនដាក់វិញ ចេញពីថង់មួយ ដែលមានប័ណ្ណ \(4\) សន្លឹកគឺ ប័ណ្ណលេខ \(1\) លេខ \(2\) លេខ \(3\) និងលេខ \(4\) ។

  1. កំណត់លំហសំណាក \(S\) និងព្រឹត្តិការណ៍ ៖
    \(A\) : “ចាប់ទាំង \(2\) លើកបានបណ្ណមានលេខតូចជាង \(4\)”
    \(B\) : “ចាប់លើកទី \(1\) បានលេខតូចជាង \(2\) និងលើកទី \(2\) បានលេខសេស”
    \(C\) : “ចាប់ទាំង \(2\) លើកបានលេខខុសគ្នា”
    \(D\) : “ចាប់លើកទី \(1\) បានលេខធំជាង \(4\)”
    \(E\) : “ចាប់ទាំង \(2\) លើកបានលេខដូចគ្នា”

  2. តើមួយណាជាព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុ ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមាន ព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ ។

  3. តើព្រឹត្តិការណ៍ណា ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុង ។

  4. រកព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ \(A \cap B\), \(B \cap E\) និងព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក \(A \cup B\), \(B \cup E\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(S\) មាន \({}_4P_2 = 12\) គូ ៖ \((1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)\) ។ \(A = \{(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)\}\), \(B = \{(1,3)\}\), \(C = S\), \(D = \varnothing\), \(E = \varnothing\) ។ ខ. \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុ, \(D\) និង \(E\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមាន, \(C\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ ។ គ. \(D\) និង \(E\) មិនចុះសម្រុងជាមួយគ្រប់ព្រឹត្តិការណ៍ ។ ឃ. \(A \cap B = \{(1,3)\}\), \(B \cap E = \varnothing\), \(A \cup B = A\), \(B \cup E = B\) ។

ប្រូបាប

និយមន័យប្រូបាប

ឧទាហរណ៍ ១

គេមានគ្រាប់ឡុកឡាក់ស្មើសាច់ល្អមួយគ្រាប់ ។ បើគេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់នេះ គេឃើញថាមុខនីមួយៗមានឱកាស (ឬសំណាង) អាចកើតឡើងដូចៗគ្នា ។ សំណាងដែលអាចកើតឡើងនេះមានមួយដងក្នុងចំណោម \(6\) ដងគឺមានសំណាង \(\dfrac{1}{6}\) ។

បើគេធ្វើពិសោធន៍បោះដដែលៗជាច្រើនដង នោះប្រេកង់ដែលអាចកើតឡើងចំពោះមុខនីមួយៗស្ទើរតែស្មើគ្នា ។ គេកត់ត្រាលទ្ធផលពិសោធន៍បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ស្មើសាច់ល្អមួយគ្រាប់ចំនួន \(n\) ដង \(r\) ជាប្រេកង់ដែលមុខណាមួយអាចកើតឡើង \(\dfrac{r}{n}\) ជាប្រេកង់ធៀប ៖

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n & 10 & 30 & 50 & 60 & 90 & 100 & 200 & 500\\ \hline r & 2 & 4 & 8 & 11 & 16 & 16 & 33 & 83\\ \hline \dfrac{r}{n} & 0.20 & 0.133 & 0.160 & 0.183 & 0.177 & 0.160 & 0.165 & 0.166\\ \hline \end{array}\]
គេឃើញថា បើចំនួនដង \(n\) នៃការបោះកាន់តែច្រើនដង នោះប្រេកង់ធៀបខិតទៅរកចំនួនថេរមួយគឺ \(\dfrac{1}{6} = 0.1666\dots\) ។ \(\dfrac{1}{6}\) ហៅថាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ចេញលេខណាមួយក្នុងវិញ្ញាសា ។ គេសរសេរ ៖ \(P(\{1\}) = P(\{2\}) = \dots = P(\{6\}) = \dfrac{1}{6}\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

គ្រូធ្វើសំណួរផ្ទាល់មាត់ដោយឱ្យសិស្សចាប់ឆ្នោតយកសំណួរមួយក្នុងចំណោម សំណួរពីជគណិត \(3\) សំណួរ និងធរណីមាត្រ \(2\) សំណួរ ។ សុខជាសិស្សចូលចិត្តរៀនតែពីជគណិត ។ តើសុខមានសំណាង (ឬឱកាស) ប៉ុន្មានភាគរយចាប់បានសំណួរពីជគណិត? ចាប់បានសំណួរធរណីមាត្រ?

ក្នុងវិញ្ញាសានេះ គេអាចសរសេរលំហសំណាក \(S = \{\)ពីជគណិត \(1\) - ពីជគណិត \(2\) - ពីជគណិត \(3\) - ធរណីមាត្រ \(1\) - ធរណីមាត្រ \(2\}\) ។ សន្លឹកឆ្នោតមួយសន្លឹកៗមានសំណាងក្នុងការចាប់បានស្មើគ្នា ។ ដូច្នេះ ការចាប់បានសំណួរពីជគណិត សុខមានសំណាង \(\dfrac{3}{5}\) ត្រូវនឹង \(60\%\) និងឱកាសចាប់បានសំណួរធរណីមាត្រមាន \(\dfrac{2}{5}\) ត្រូវនឹង \(40\%\) ។

  • គេថា \(\dfrac{3}{5} = 0.6\) ជាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍សុខចាប់បានសំណួរពីជគណិត ហើយ \(\dfrac{2}{5} = 0.4\) ជាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍សុខចាប់បានសំណួរធរណីមាត្រ ។

បើគេតាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍សុខចាប់បានសំណួរពីជគណិត នោះ \(n(A) = 3\) ហៅថាចំនួនករណីស្រប ។ \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍សុខចាប់បានសំណួរធរណីមាត្រ នោះ \(n(B) = 2\) ហៅថា ចំនួនករណីស្រប ។ លំហសំណាក \(S\) មាន \(5\) ធាតុ ។ គេបាន \(n(S) = 5\) ហៅថាចំនួនករណីអាច ។ គេកំណត់សរសេរ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) គឺ \(P(A) = 0.6\) ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) គឺ \(P(B) = 0.4\) ។

  • គេឃើញថា ៖ \(P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{3}{5} = 0.6\) និង \(P(B) = \dfrac{n(B)}{n(S)} = \dfrac{2}{5} = 0.4\) ដែល \(n(A) = 3\) ឬ \(n(B) = 2\) ជាចំនួនករណីស្រប និង \(n(S) = 5\) ជាចំនួនករណីអាច ។

និយមន័យ

ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) មួយ ជាផលធៀបនៃចំនួនករណីស្រប \(n(A)\) និងចំនួនករណីអាច \(n(S)\) គឺ

\[P(A) = \frac{\text{ចំនួនករណីស្រប}}{\text{ចំនួនករណីអាច}} = \frac{n(A)}{n(S)}\]

សម្គាល់

បើការរើសយកធាតុនីមួយៗ ជាការរើសដោយចៃដន្យនោះ ធាតុនីមួយៗមានឱកាសដូចគ្នាក្នុងការជ្រើសរើស ។ ដូច្នេះ ប្រូបាបដែលយកបានធាតុនីមួយៗជាសមប្រូបាប ។

លំហាត់គំរូ

គេរើសសិស្សម្នាក់ឱ្យធ្វើជាប្រធានក្រុម ក្នុងចំណោមសិស្សស្រី \(5\) នាក់ និងសិស្សប្រុស \(3\) នាក់ ។ រកប្រូបាបដែលប្រធានក្រុមជាសិស្សស្រី និងរកប្រូបាបសិស្សប្រុសជាប្រធានក្រុម ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលសិស្សស្រីធ្វើជាប្រធានក្រុម និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលសិស្សប្រុសធ្វើជាប្រធានក្រុម ។ សិស្សទាំងអស់មាន \(5 + 3 = 8\) នាក់ គេបាន \(n(S) = 8\) ។ សិស្សស្រីមាន \(5\) នាក់ គេបាន \(n(A) = 5\) និងសិស្សប្រុសមាន \(3\) នាក់ គេបាន \(n(B) = 3\) ។

គេបាន ៖ ប្រូបាបដែលសិស្សស្រីជាប្រធានគឺ \(P(A) = \dfrac{5}{8}\) ។ ប្រូបាបដែលសិស្សប្រុសជាប្រធានគឺ \(P(B) = \dfrac{3}{8}\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេធ្វើវិញ្ញាសាហូតប័ណ្ណម្ដងមួយសន្លឹកចំនួន \(2\) ដងចេញពីថង់មួយដែលមានប័ណ្ណលេខ \(1\) លេខ \(2\) និងលេខ \(3\) ដោយហូតហើយដាក់វិញ ។

  1. សរសេរលំហសំណាក \(S\) ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ដែលហូតលើកទី \(1\) បានលេខគូ និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ដែលហូតទាំង \(2\) លើកបានប័ណ្ណមានផលបូកលេខស្មើនឹង \(5\) ។

  2. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}\), \(n(S) = 9\) ។ \(A = \{(2,1), (2,2), (2,3)\}\), \(B = \{(2,3), (3,2)\}\) ។ ខ. \(P(A) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\), \(P(B) = \dfrac{2}{9}\) ។

លក្ខណៈនៃប្រូបាប

ឧទាហរណ៍

ក្នុងវិញ្ញាសាបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ ។

លទ្ធផលដែលអាចកើតឡើងទាំងអស់ក្នុងលំហសំណាកគឺ លទ្ធផលបោះបានលេខ \(1\) លេខ \(2\) លេខ \(3\) លេខ \(4\) លេខ \(5\) និងលេខ \(6\) ។ គេបានប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗស្មើនឹង \(\dfrac{1}{6}\) គឺ

\[\begin{aligned} P(\{1\}) &= P(\{2\}) = P(\{3\}) = P(\{4\})\\ &= P(\{5\}) = P(\{6\}) = \frac{1}{6} \end{aligned}\]
ផលបូកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុទាំងអស់ដែលអាចកើតឡើងក្នុងលំហសំណាក \(S\) ស្មើនឹង \(1\) គឺ \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = 1\) ។ គេបាន \(P(S) = 1\) ។

ជាទូទៅ

បើគេតាង \(e_i\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុនៃលំហសំណាក \(S\) នោះគេបាន ៖

\[\begin{aligned} P(e_1) + P(e_2) + \dots + P(e_n) &= \sum_{i = 1}^{n} P(e_i)\\ &= P(S) = 1 \end{aligned}\]
បើ \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតឡើងគឺ \(A = \varnothing\) នោះ \(n(A) = 0\) ហើយ \(P(A) = 0\) ។
បើ \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មួយនៃលំហសំណាក \(S\) នោះ \(n(A) \le n(S)\) ហើយ \(P(A) \le P(S)\) ។

សន្និដ្ឋាន

  • ប្រូបាបនៃលំហសំណាក \(S\) ស្មើនឹង \(1\) គឺ \(P(S) = 1\) ។

  • ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមានស្មើនឹង \(0\) គឺ \(P(\varnothing) = 0\) ។

  • ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងលំហសំណាក ជាចំនួនដែលនៅចន្លោះ \([0, 1]\) ៖ \(0 \le P(A) \le 1\) ។

ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាស

ឧទាហរណ៍

គេធ្វើវិញ្ញាសាបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ ។ តាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បោះបានលេខគូ និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បោះបានលេខជាពហុគុណនៃ \(3\) ។

គេបានលំហសំណាក \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), \(A = \{2, 4, 6\}\), \(B = \{3, 6\}\) ។

  1. ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃ \(A\) និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បោះបានលេខគូ និងជាពហុគុណនៃ \(3\) គឺ \(A \cap B = \{6\}\) ។ ដូច្នេះ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃ \(A\) និង \(B\) គឺ \(P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}\) ។ ម្យ៉ាងទៀតប្រូបាបបោះបានលេខគូគឺ \(P(A) = \dfrac{3}{6}\) ប្រូបាបបោះបានលេខជាពហុគុណនៃ \(3\) គឺ \(P(B) = \dfrac{2}{6}\) ។ ដោយ \(P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}\) និង \(P(A)\times P(B) = \dfrac{1}{6}\) នោះគេបាន

    \[\begin{gathered} P(A \cap B) = P(A)\times P(B)\\ (\text{ព្រឹត្តិការណ៍ } A \text{ និង } B \text{ មិនអាស្រ័យគ្នា}) \end{gathered}\]

  2. ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកនៃ \(A\) និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បោះបានលេខគូ ឬលេខជាពហុគុណនៃ \(3\) គឺ \(A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}\) ។ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកនៃ \(A\) និង \(B\) គឺ \(P(A \cup B) = \dfrac{n(A \cup B)}{n(S)} = \dfrac{4}{6}\) ។ គេដឹងថា បើ \(A \cap B \ne \varnothing\) នោះ \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)

    \[\begin{aligned} P(A \cup B) &= \frac{n(A) + n(B) - n(A \cap B)}{n(S)}\\ &= \frac{n(A)}{n(S)} + \frac{n(B)}{n(S)} - \frac{n(A \cap B)}{n(S)}\\ &= \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} \end{aligned}\]
    ដូច្នេះ \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) ។
    សម្គាល់ ៖ បើ \(A \cap B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតឡើង \(P(A \cap B) = 0\) នោះ \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) ។

  3. ព្រឹត្តិការណ៍បំពេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) គឺ \(\bar{A}\) ។ គេបាន \(\bar{A} = \{1, 3, 5\}\), \(P(\bar{A}) = \dfrac{3}{6}\) ។ ដោយ \(A \cap \bar{A} = \varnothing\), \(A \cup \bar{A} = S\) នោះ \(P(A \cup \bar{A}) = P(A) + P(\bar{A}) = 1\) ។ ដូច្នេះ \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\) (\(\bar{A}\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បំពេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\)) ។

លំហាត់គំរូ

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីក្រហម \(2\) និងឃ្លីខៀវ \(3\) ។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) ចេញពីថង់ម្ដងមួយៗដោយចៃដន្យ ។

  1. ក្នុងករណីយកហើយដាក់វិញ ចូររកប្រូបាបដែលចាប់បាន ៖ ឃ្លីក្រហមមុន និងខៀវក្រោយ ។ ឃ្លីក្រហមមុន ឬក្រហមក្រោយតែ \(1\) គ្រាប់គត់ ។

  2. ក្នុងករណីយកហើយមិនដាក់វិញ ចូររកប្រូបាបដែលចាប់បាន ៖ ឃ្លីក្រហមមុន និងខៀវក្រោយ ។ ឃ្លីក្រហមមុន ឬក្រហមក្រោយតែមួយ \(1\) គ្រាប់គត់ ។

ដំណោះស្រាយ

តាងព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) : “ចាប់បានឃ្លីក្រហមមុន” និង \(B\) : “ចាប់បានឃ្លីខៀវក្រោយ” ។

  1. ក្នុងវិញ្ញាសាយកហើយដាក់វិញ គេបានចំនួនឃ្លីនៅក្នុងថង់សម្រាប់ចាប់មុននិងក្រោយស្មើគ្នា ។ ដូច្នេះ ការចាប់យកឃ្លីទី \(1\) និងឃ្លីទី \(2\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ \(2\) មិនទាក់ទងគ្នាទេ ។ គេបាន \(P(A) = \dfrac{2}{5}\), \(P(B) = \dfrac{3}{5}\) ។ ព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានឃ្លីក្រហមមុន និងឃ្លីខៀវក្រោយ ជាព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ \(A\) និង \(B\) កំណត់ដោយ \(A \cap B\) ។

    \[P(A \cap B) = P(A)\times P(B) = \frac{2}{5}\times\frac{3}{5} = \frac{6}{25}\]
    វិធីផ្សេង ៖ \(A \cap B = \{(\) ក \(_1\) ខ \(_1), (\) ក \(_1\) ខ \(_2), (\) ក \(_1\) ខ \(_3), (\) ក \(_2\) ខ \(_1), (\) ក \(_2\) ខ \(_2), (\) ក \(_2\) ខ \(_3)\} \Rightarrow n(A \cap B) = 6\) ។ \(n(S) = 5\times 5 = 25\) គេបាន \(P(A \cap B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)} = \dfrac{6}{25}\) ។

    ព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានឃ្លីក្រហមមុន ឬក្រហមក្រោយតែ \(1\) គ្រាប់គត់ \(=\) (ក្រហមនិងខៀវ) ឬ (ខៀវនិងក្រហម)

    \[= \frac{2}{5}\times\frac{3}{5} + \frac{3}{5}\times\frac{2}{5} = \frac{12}{25}\]

  2. ក្នុងវិញ្ញាសាយកហើយមិនដាក់វិញ ចំនួនឃ្លីក្នុងថង់សម្រាប់ចាប់លើកទី \(1\) មាន \(5\) ។ ក្រោយពីយកមួយចេញហើយមិនដាក់វិញ ចំនួនឃ្លីក្នុងថង់សម្រាប់ចាប់លើកទី \(2\) មានតែ \(4\) ។

    • បើលើកទី \(1\) ចាប់បានឃ្លីក្រហម នោះចំនួនឃ្លីចាប់លើកទី \(2\) មានតែក្រហម \(1\) និងខៀវ \(2\) ។

    • បើលើកទី \(1\) ចាប់បានឃ្លីខៀវ នោះចំនួនឃ្លីចាប់លើកទី \(2\) មានខៀវតែ \(2\) និងឃ្លីក្រហម \(2\) ។ គេថាព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតលើកទី \(2\) ទាក់ទងនឹងព្រឹត្តិការណ៍កើតលើកទី \(1\) ។

    • បើលើកទី \(1\) ចាប់បានឃ្លីក្រហម និងលើកទី \(2\) ចាប់បានឃ្លីខៀវ នោះប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីក្រហមមុនគឺ \(\dfrac{2}{5}\) និងប្រូបាបចាប់បានឃ្លីខៀវក្រោយគឺ \(\dfrac{3}{4}\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(P(A) = \dfrac{2}{5}\) និង \(P(B \) ដែល \( A \) កើតមុន \() = P(B/A) = \dfrac{3}{4}\) ។ ដូច្នេះ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ \(A\) និង \(B\) គឺ

      \[P(A \cap B) = P(A)\times P(B/A) = \frac{2}{5}\times\frac{3}{4} = \frac{3}{10}\]

    • ព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានឃ្លីក្រហមមុន ឬក្រហមក្រោយតែ \(1\) គ្រាប់គត់

      \[= \frac{2}{5}\times\frac{3}{4} + \frac{3}{5}\times\frac{2}{4} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\]

សម្គាល់

  • ក្នុងវិញ្ញាសាហូតហើយដាក់វិញ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតមុន ឬព្រឹត្តិការណ៍កើតក្រោយរក្សាដដែល ។

  • ក្នុងវិញ្ញាសាហូតហើយមិនដាក់វិញ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតក្រោយប្រែប្រួលទៅតាមព្រឹត្តិការណ៍កើតមុន ។

សន្និដ្ឋាន

ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ \(A\) និង \(B\) គឺ ៖

\[\begin{aligned} P(A \cap B) &= P(A)\times P(B) && \text{បើ } A \text{ និង } B \text{ មិនទាក់ទងគ្នា}\\ P(A \cap B) &= P(A)\times P(B/A) && \text{បើ } A \text{ និង } B \text{ ទាក់ទងគ្នា} \end{aligned}\]
ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក \(A\) និង \(B\) គឺ ៖
\[\begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ P(A \cup B) &= P(A)\\ &\quad{} + P(B) \quad{} \text{បើ } A \text{ និង } B \text{ ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុង} \end{aligned}\]
ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹង \(A\) គឺ \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\) ។

លំហាត់គំរូ ១

គេសរសេរតួអក្សរមួយដាក់លើសន្លឹកកាតមួយ ក្នុងចំណោមតួអក្សរនៃឈ្មោះបុរសម្នាក់ \(ALGEBRO\) រួចដាក់ចូលក្នុងថង់ ។ គេចាប់សន្លឹកកាតម្ដងមួយចេញពីថង់ \(2\) ដងដោយចៃដន្យ ដោយយកហើយដាក់វិញ ។ តាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់បានស្រៈនៅលើកទី \(1\), \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានព្យញ្ជនៈនៅលើកទី \(1\) និង \(C\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានព្យញ្ជនៈនៅលើកទី \(2\) ។

  1. តើព្រឹត្តិការណ៍ណាជាព្រឹត្តិការណ៍បំពេញគ្នា ។

  2. រកប្រូបាបដែលចាប់យកបាន ស្រៈនៅលើកទី \(1\) ព្យញ្ជនៈនៅលើកទី \(1\) ព្យញ្ជនៈនៅលើកទី \(2\) ស្រៈមុននិងព្យញ្ជនៈក្រោយ ។

ដំណោះស្រាយ

តាង ស \(=\) ស្រៈ និង ព \(=\) ព្យញ្ជនៈ ។ លំហសំណាក \(S = \{(\) សស \(), (\) សព \(), (\) ពស \(), (\) ពព \()\}\) ។ ព្រឹត្តិការណ៍ \(A = \{(\) សព \(), (\) សស \()\}\), \(B = \{(\) ពស \(), (\) ពព \()\}\), \(C = \{(\) សព \(), (\) ពព \()\}\) ។

  1. ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បំពេញគ្នា ព្រោះ \(A \cap B = \varnothing\) និង \(A \cup B = S\) ។

  2. ក្នុងឈ្មោះ \(ALGEBRO\) មានតួអក្សរ \(7\) ដែលមានស្រៈ \(3\) (\(A, E, O\)) និងព្យញ្ជនៈ \(4\) (\(L, G, B, R\)) ។

    • ស្រៈនៅលើកទី \(1\) គឺ \(P(A) = P(\) សស \() + P(\) សព \() = \dfrac{3}{7}\times\dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{7}\times\dfrac{4}{7} = \dfrac{9 + 12}{49} = \dfrac{21}{49} = \dfrac{3}{7}\) ។

    • ព្យញ្ជនៈនៅលើកទី \(1\) គឺ \(P(B) = P(\) ពស \() + P(\) ពព \() = \dfrac{4}{7}\times\dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7}\times\dfrac{4}{7} = \dfrac{12 + 16}{49} = \dfrac{28}{49} = \dfrac{4}{7}\) ។

    • ព្យញ្ជនៈនៅលើកទី \(2\) គឺ \(P(C)\) ។ ដោយវិញ្ញាសានេះជាវិញ្ញាសាហូតហើយដាក់វិញ នោះចំនួនកាតត្រូវហូតយកលើកទី \(1\) និងលើកទី \(2\) ស្មើគ្នា ។ ដូច្នេះ ព្រឹត្តិការណ៍ចាប់យកលើកទី \(1\) មិនទាក់ទងនឹងព្រឹត្តិការណ៍ចាប់យកលើកទី \(2\) ទេ ។ គេបាន \(P(C) = P(\) សព \() + P(\) ពព \() = \dfrac{3}{7}\times\dfrac{4}{7} + \dfrac{4}{7}\times\dfrac{4}{7} = \dfrac{12 + 16}{49} = \dfrac{28}{49} = \dfrac{4}{7}\) ។

    • ស្រៈមុននិងព្យញ្ជនៈក្រោយ ៖ \(P(A \cap C) = P(A)\times P(C) = \dfrac{3}{7}\times\dfrac{4}{7} = \dfrac{12}{49} \approx 0.245\) ។

លំហាត់គំរូ ២

គេជ្រើសរើសសិស្ស \(2\) នាក់ ក្នុងចំណោមសិស្សស្រី \(4\) នាក់ និងសិស្សប្រុស \(5\) នាក់ ជាតំណាងក្រុមដែលមានប្រធាន និងអនុប្រធាន ។ រកប្រូបាបដែលសិស្ស ៖

  1. ស្រីជាប្រធានក្រុម

  2. ប្រុសទាំង \(2\) ជាតំណាងក្រុម

  3. ស្រីជាប្រធាន និងប្រុសជាអនុប្រធាន

  4. យ៉ាងតិចមានសិស្សស្រីម្នាក់ជាតំណាងក្រុម ។

ដំណោះស្រាយ

តាង ប \(=\) ប្រុស និង ស \(=\) ស្រី (តួទី \(1\) ជាប្រធាន តួទី \(2\) ជាអនុប្រធាន) ។
\(M\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលសិស្សប្រុសជាប្រធានក្រុមគឺ \(M = (\) បប \()\) ឬ \((\) បស \()\)
\(W\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលសិស្សស្រីជាប្រធានក្រុមគឺ \(W = (\) សស \()\) ឬ \((\) សប \()\)
\(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលសិស្សប្រុសជាអនុប្រធានគឺ \(B = (\) សប \()\) ឬ \((\) បប \()\)
\(G\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលសិស្សស្រីជាអនុប្រធានគឺ \(G = (\) សស \()\) ឬ \((\) បស \()\) ។

  1. ដោយសិស្សទាំងអស់មាន \(9\) នាក់ និងសិស្សស្រីមាន \(4\) នាក់ នោះឱកាសដែលរើសបានសិស្សស្រីជាប្រធានមាន \(4\) ដងក្នុង \(9\) ដង ។

    \[\begin{aligned} P(W) &= P(\text{សស}) + P(\text{សប}) = \frac{4}{9}\times\frac{3}{8} + \frac{4}{9}\times\frac{5}{8}\\ &= \frac{3 + 5}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \end{aligned}\]

  2. ឱកាសដែលរើសបានសិស្សប្រុសធ្វើជាប្រធានក្រុមមាន \(5\) ដងក្នុង \(9\) ដង និងសិស្សប្រុសម្នាក់ទៀតធ្វើជាអនុប្រធានមាន \(4\) ដងក្នុង \(8\) ដង ។ ដូច្នេះ \(P(M \cap B) = \dfrac{5}{9}\times\dfrac{4}{8} = \dfrac{5}{18} \approx 0.278\) ។

  3. ឱកាសដែលរើសសិស្សស្រីម្នាក់ជាប្រធានមាន \(4\) ដងក្នុង \(9\) ដង ។ បន្ទាប់មកនៅសល់សិស្ស \(8\) នាក់ ដើម្បីរើសយកម្នាក់ជាអនុប្រធានក្រុម ព្រោះសិស្សស្រីដែលជាប្រធានមិនអាចរើសធ្វើជាអនុប្រធានបានទៀតទេ គឺជាវិញ្ញាសាយកហើយមិនដាក់វិញ ។ ដូច្នេះ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតក្រោយអាស្រ័យនឹងព្រឹត្តិការណ៍កើតមុន ។ ដោយអនុប្រធានជាសិស្សប្រុស នោះឱកាសរើសសិស្សប្រុសមាន \(5\) ដងក្នុង \(8\) ដង ។

    \[P(W \cap B) = P(W)\times P(B/W) = \frac{4}{9}\times\frac{5}{8} = \frac{5}{18} \approx 0.278\]

  4. ព្រឹត្តិការណ៍ដែលយ៉ាងតិចមានស្រីម្នាក់ ជាព្រឹត្តិការណ៍បំពេញនៃព្រឹត្តិការណ៍គ្មានស្រីសោះ ។ ព្រឹត្តិការណ៍គ្មានស្រីសោះ គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលសិស្សប្រុសទាំង \(2\) ជាតំណាងក្រុម ។ ដូច្នេះ

    \[\begin{aligned} P(\text{យ៉ាងតិចមានស្រីម្នាក់}) &= 1 - P(\text{គ្មានសិស្សស្រី})\\ &= 1 - P(M \cap B)\\ &= 1 - \frac{5}{9}\times\frac{4}{8} = 1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18} \approx 0.722 \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីក្រហម \(4\) និងឃ្លីខៀវ \(6\) ។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។

  1. រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីក្រហមទាំង \(2\) ។

  2. រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីខៀវទាំង \(2\) ។

  3. រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លី \(2\) មានពណ៌ដូចគ្នា ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\dfrac{2}{15}\) ខ. \(\dfrac{1}{3}\) គ. \(\dfrac{7}{15}\) ។

ប្រតិបត្តិ

ក្នុងប្រអប់ \(A\) មានសំបុត្រ \(5\) សន្លឹក ចុះលេខពី \(1\) ដល់ \(5\) ។ ប្រអប់ \(B\) មានសំបុត្រ \(3\) សន្លឹក ចុះលេខពី \(4\) ដល់ \(6\) ។ គេចាប់យកសំបុត្រ \(1\) សន្លឹកចេញពីប្រអប់នីមួយៗដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបដែលសំបុត្រទាំង \(2\) ៖

  1. មានលេខដូចគ្នា

  2. មានលេខខុសគ្នា

  3. មានផលបូកលេខជាចំនួនសេស ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\dfrac{2}{15}\) ខ. \(\dfrac{13}{15}\) គ. \(\dfrac{8}{15}\) ។

គណនាប្រូបាបដោយប្រើចម្លាស់និងបន្សំ

គណនាប្រូបាបដោយប្រើចម្លាស់

លំហាត់គំរូ ១

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ \(2\) ដង ។

  1. រកប្រូបាបដែលបោះបានលេខទាំងពីរលើកខុសគ្នា ។

  2. រកប្រូបាបដែលបោះបានលេខទាំងពីរលើកជាលេខគូ ។

  3. រកប្រូបាបដែលបោះបានលេខទាំងពីរលើកខុសគ្នា និងជាលេខគូ ។

ដំណោះស្រាយ

ការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ពីរដងជាចម្លាស់ច្រំដែលនៃ \(2\) ធាតុយកពី \(6\) ធាតុ ព្រោះលេខដែលអាចចេញលើកទី \(1\) មាន \(6\) ជម្រើស និងលេខអាចចេញលើកទី \(2\) ក៏មាន \(6\) ជម្រើសដែរ ។ ដូច្នេះ លទ្ធផលដែលអាចកើតឡើងទាំងអស់មានចំនួន \(6^2 = 36\) ។ \(36\) ជាចំនួនករណីអាច ។

  1. តាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលបោះបានលេខខុសគ្នាទាំងពីរលើក ។ បើគេចង់បានតែលទ្ធផលណាដែលមានលេខទាំង \(2\) ខុសគ្នា នោះលទ្ធផលទាំងនេះជាចម្លាស់នៃ \(2\) ធាតុយកពី \(6\) ធាតុ ។ លទ្ធផលទាំងអស់មានចំនួន \({}_6P_2 = 6\times 5 = 30\) ។ ដោយ \(30\) ជាចំនួនករណីស្រប និង \(36\) ជាចំនួនករណីអាច ។ គេបាន \(P(A) = \dfrac{30}{36} = \dfrac{5}{6} \approx 0.833\) ។

  2. តាង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បោះបានលេខទាំងពីរជាលេខគូ ។ លទ្ធផលដែលមានលេខទាំងពីរជាលេខគូ គឺលទ្ធផលនៃចម្លាស់ច្រំដែលនៃ \(2\) ធាតុយកចេញពី \(3\) ធាតុ ដែលជាលេខ \(2, 4, 6\) ។ លទ្ធផលដែលគេចង់បាននេះមានចំនួន \(3^2 = 9\) ។ គេបាន \(P(B) = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4} = 0.25\) ។

  3. ព្រឹត្តិការណ៍ដែលបោះបានលេខទាំងពីរខុសគ្នា និងជាលេខគូគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ \(A \cap B\) ។ សំណុំលទ្ធផលដែលមានលេខទាំងពីរខុសគ្នា និងជាលេខគូគឺ

    \[\begin{aligned} A \cap B &\\ &= \{(2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 6), (6, 2), (6, 4)\} \end{aligned}\]
    \(n(A \cap B) = 6\) ជាចំនួនករណីស្រប ។ ដូច្នេះ \(P(A \cap B) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \approx 0.167\) ។

លំហាត់គំរូ ២

គេបង្កើតលេខសម្ងាត់របស់សោដោយចំនួនដែលមានលេខ \(4\) ខ្ទង់ខុសពីលេខ \(0\) ។

  1. តើគេអាចបង្កើតលេខសម្ងាត់នេះបានប៉ុន្មានរបៀប?

  2. គេរើសយកលេខសម្ងាត់មួយដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
    \(A\) : “លេខសម្ងាត់ជាចំនួនគូ”
    \(B\) : “លេខសម្ងាត់ទាំង \(4\) ខ្ទង់ជាលេខគូ”
    \(C\) : “លេខសម្ងាត់ទាំង \(4\) ខ្ទង់មានលេខ \(1\) តែម្ដងគត់”
    \(D\) : “លេខសម្ងាត់ទាំង \(4\) ខ្ទង់ខុសៗគ្នា” ។

ដំណោះស្រាយ

  1. លេខសម្ងាត់នេះជាចម្លាស់ \(4\) លេខយកចេញពី \(9\) លេខ \((1, 2, 3, \dots, 9)\) ហើយអាចមានលេខច្រំដែល ។

    \[\begin{array}{cccc} \boxed{9} & \boxed{9} & \boxed{9} & \boxed{9}\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\ 9 \times & 9 \times & 9 \times & 9 \end{array}\]
    ចំនួនចម្លាស់ច្រំដែល \(4\) ធាតុយកពី \(9\) ធាតុគឺ \(9^4 = 6561\) ។

  2. ការរើសយកលេខសម្ងាត់នីមួយៗ មានឱកាសដូចគ្នាព្រោះគេរើសដោយចៃដន្យ គេថាប្រូបាបនៃការយកបានលេខនីមួយៗជាសមប្រូបាប ។

    • ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍យកបានលេខសម្ងាត់ជាចំនួនគូ គឺជាចំនួនដែលមានលេខ \(2, 4, 6, 8\) នៅខាងចុង ។ លេខនីមួយៗក្នុងចំណោម \(3\) លេខខាងដើមរបស់លេខសម្ងាត់ត្រូវរើសចេញពី \(9\) លេខ ហើយលេខចុងក្រោយរើសចេញពី \(4\) លេខ ដែលជាលេខគូ ។

      \[\begin{array}{cccc} \boxed{9} & \boxed{9} & \boxed{9} & \boxed{4}\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\ 9 \times & 9 \times & 9 \times & 4 \end{array}\]
      គេអាចបង្កើតលេខសម្ងាត់តាមរបៀបនេះបានចំនួន \(9^3\times 4\) របៀប ដោយចំនួនករណីអាចមាន \(9^4\) និងចំនួនករណីស្របមាន \(9^3\times 4\) នោះ \(P(A) = \dfrac{9^3\times 4}{9^4} = \dfrac{4}{9} \approx 0.444\) ។

    • ព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មានលេខទាំង \(4\) ខ្ទង់ជាលេខគូ នោះលេខមួយខ្ទង់ៗត្រូវរើសយកពី \(4\) លេខ \(2, 4, 6\) និង \(8\) ហើយអាចច្រំដែល ។ គេបានចំនួនចម្លាស់ច្រំដែលនៃ \(4\) ធាតុគឺ \(4^4 = 256\) ។

      \[P(B) = \frac{256}{6561} \approx 0.039\]

    • \(C\) ជាព្រឹត្តិការណ៍លេខសម្ងាត់មានលេខ \(1\) តែម្ដងគត់ ។ លេខ \(1\) អាចមានទីតាំង \(4\) បែប ៖ \(1{*}{*}{*}\), \({*}1{*}{*}\), \({*}{*}1{*}\), \({*}{*}{*}1\) ។ ឯលេខនីមួយៗក្នុងចំណោមលេខនៅត្រង់ \(3\) កន្លែងទៀតត្រូវមាន \(8\) ជម្រើស ។ ចំនួនលេខសម្ងាត់ដែលកើតឡើងទាំងអស់មាន \(4\times 8^3\) ។

      \[P(C) = \frac{4\times 8^3}{9^4} = \frac{2048}{6561} \approx 0.312\]

    • \(D\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលលេខទាំង \(4\) ខ្ទង់របស់លេខសម្ងាត់ ជាលេខខុសៗគ្នា ។ ចំនួននៃលេខសម្ងាត់ជាចំនួនចម្លាស់នៃ \(4\) ធាតុយកពី \(9\) ធាតុ ៖ \({}_9P_4 = 9\times 8\times 7\times 6 = 3024\) ។

      \[P(D) = \frac{3024}{6561} \approx 0.461\]

ប្រតិបត្តិ

គេមានកាស \(9\) ដែលចុះតាមលេខរៀងពី \(1\) ដល់ \(9\) ។ គេរៀបកាសមួយៗដាក់ទៅក្នុងការេមួយដែលមាន \(9\) ក្រឡា (ការេ \(3\times 3\)) ។

  1. តើគេអាចរៀបកាសទាំង \(9\) បានប៉ុន្មានរបៀប?

  2. រកប្រូបាបដែលកាសលេខ \(1\) និងលេខ \(2\) នៅក្នុងជួរឈរទី \(1\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(9! = 362\,880\) ខ. \(\dfrac{3\times 2\times 7!}{9!} = \dfrac{1}{12} \approx 0.083\) ។

គណនាប្រូបាបដោយប្រើបន្សំ

លំហាត់គំរូ ១

គេរើសសិស្ស \(8\) នាក់ដោយចៃដន្យក្នុងចំណោមសិស្សប្រុស \(9\) នាក់ និងសិស្សស្រី \(11\) នាក់ទៅសម្ភាសន៍ ។

  1. តើគេអាចរៀបសិស្សបានប៉ុន្មានរបៀបខុសៗគ្នា?

  2. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
    \(A\) : “ក្រុមសិស្សទាំង \(8\) នាក់មានសុទ្ធតែសិស្សស្រី”
    \(B\) : “ក្នុងក្រុមមានសិស្សស្រី \(5\) នាក់ និងប្រុស \(3\) នាក់” ។

ដំណោះស្រាយ

  1. សកម្មភាពនេះ គឺគេរើសសិស្ស \(8\) នាក់ក្នុងចំណោមសិស្ស \(20\) នាក់ដោយគ្មានលំដាប់ ហើយសិស្សម្នាក់មិនអាចមានឈ្មោះ \(2\) ដងក្នុងក្រុមតែមួយ ។ ចំនួនករណីដែលអាចកើតឡើងជាបន្សំ \(8\) ធាតុយកពី \(20\) ធាតុ ។ ចំនួនករណីអាចគឺ \({}_{20}C_8 = \dfrac{20!}{12!8!} = 125\,970\) ។

  2. គេរើសសិស្សដោយចៃដន្យ ដូច្នេះធាតុនីមួយៗមានសមប្រូបាប ។

    • សិស្ស \(8\) នាក់ដែលត្រូវជ្រើសរើសសុទ្ធតែស្រី គឺគេរើស \(8\) នាក់ក្នុងចំណោម \(11\) នាក់ ។ ចំនួនករណីស្របជាចំនួនបន្សំ \({}_{11}C_8 = 165\) ។ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) គឺ

      \[P(A) = \frac{{}_{11}C_8}{{}_{20}C_8} = \frac{165}{125\,970} \approx 0.0013\]

    • គេរើសសិស្សស្រី \(5\) នាក់ និងសិស្សប្រុស \(3\) នាក់ចេញពីសិស្សស្រី \(11\) នាក់ និងប្រុស \(9\) នាក់ ។ ចំនួនរបៀបដែលរើសសិស្សស្រី \(5\) នាក់គឺ \({}_{11}C_5\) និងចំនួនរបៀបដែលរើសសិស្សប្រុស \(3\) នាក់គឺ \({}_9C_3\) ។ ដូច្នេះ ចំនួនករណីស្របនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) គឺ \({}_{11}C_5\times{}_9C_3\) ។

      \[P(B) = \frac{{}_{11}C_5\times{}_9C_3}{{}_{20}C_8} = \frac{462\times 84}{125\,970} \approx 0.308\]

លំហាត់គំរូ ២

គេរៀបចំឆ្នោត \(150\) សន្លឹកដើម្បីលក់ឱ្យអស់មុនពេលចេញផ្សាយ ដែលក្នុងនោះមានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ \(5\) សន្លឹក ។ មនុស្សម្នាក់ទិញឆ្នោត \(10\) សន្លឹក ។ រកប្រូបាបដែល ៖

  1. គ្មានត្រូវរង្វាន់សោះ

  2. ត្រូវរង្វាន់យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក

  3. ត្រូវរង្វាន់ \(3\) សន្លឹកគត់ ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(A\) : “ជាព្រឹត្តិការណ៍គ្មានត្រូវរង្វាន់សោះ” និង \(B\) : “ត្រូវរង្វាន់ \(3\) សន្លឹក” ។

  1. ចំនួនរបៀបដែលអាចទិញឆ្នោតបាន \(10\) សន្លឹកគឺ \(n(S) = {}_{150}C_{10}\) ជាចំនួនករណីអាច ។ ចំនួនឆ្នោតដែលគ្មានរង្វាន់មាន \(150 - 5 = 145\) សន្លឹក ។ ចំនួនរបៀបដែលជ្រើសរើសឆ្នោតគ្មានរង្វាន់ \(10\) សន្លឹកគឺ \(n(A) = {}_{145}C_{10}\) ជាចំនួនករណីស្រប ។ ដូច្នេះ

    \[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{{}_{145}C_{10}}{{}_{150}C_{10}} \approx 0.7048\]

  2. ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវរង្វាន់យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក ជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹងគ្មានត្រូវរង្វាន់សោះ ។ ប្រូបាបដែលត្រូវរង្វាន់យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹកគឺ \(P(\bar{A}) = 1 - P(A) \approx 1 - 0.7048 = 0.2952\) ។

  3. ចំនួនរបៀបដែលជ្រើសរើសបានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ \(3\) សន្លឹក ក្នុងចំណោមឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ \(5\) សន្លឹកគឺ \({}_5C_3\) ។ ឯឆ្នោតដែលទិញ \(7\) សន្លឹកទៀតជាឆ្នោតគ្មានរង្វាន់ រើសចេញពីឆ្នោត \(145\) សន្លឹកដែលគ្មានរង្វាន់ ។ ចំនួនរបៀបដែលជ្រើសរើសបានឆ្នោត \(7\) សន្លឹកនេះគឺ \({}_{145}C_7\) ។ គេបាន

    \[P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{{}_5C_3\times{}_{145}C_7}{{}_{150}C_{10}} \approx 0.002\]

ប្រតិបត្តិ

ក្នុងថង់មួយមានអក្សរ \(10\) តួ \(a, b, c, d, e, f, g, h, i, j\) ។ គេចាប់យកអក្សរ \(4\) តួព្រមគ្នាចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបដែល ៖

  1. គ្មានបានស្រៈមួយសោះ

  2. បានស្រៈតែមួយគត់

  3. បានស្រៈតែ \(2\) គត់

  4. យ៉ាងតិចណាស់បានស្រៈមួយ ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\dfrac{{}_7C_4}{{}_{10}C_4} = \dfrac{1}{6} \approx 0.167\) ខ. \(0.5\) គ. \(0.3\) ឃ. \(\dfrac{5}{6} \approx 0.833\) ។

មេរៀនសង្ខេប ជំពូកទី ៦

មេរៀនសង្ខេប

  1. គោលការណ៍ផលបូក ៖ \(m\) ជាចំនួនធាតុក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង \(n\) ជាចំនួនធាតុក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ។

    • បើ \(A\) និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុងគ្នា (គ្មានធាតុរួម) នោះព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ឬ \(B\) មានធាតុ \(n(A \cup B) = m + n\) ។

    • បើ \(A\) និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ចុះសម្រុងគ្នា (មាន \(p\) ធាតុរួម) នោះព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ឬ \(B\) មានធាតុ \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = m + n - p\) ។

  2. គោលការណ៍ផលគុណ

    • បើ \(m\) ជាចំនួនធាតុនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង \(n\) ជាចំនួនធាតុនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) កើតឡើងបន្ទាប់ពីព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) កើតឡើង នោះព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង \(B\) កើតឡើងមាន \(n(A \cap B) = m\times n\) របៀប ។

    • ចម្លាស់នៃ \(n\) ធាតុ គឺជាការតម្រៀប \(n\) វត្ថុខុសៗគ្នាជាជួរមានលំដាប់ ។ ចំនួនចម្លាស់នៃ \(n\) ធាតុ មាន \({}_nP_n = n!\) របៀប ៖ \(n! = n(n - 1)(n - 2)\cdots 3\times 2\times 1\) ។

    • ចម្លាស់នៃ \(r\) ធាតុយកពី \(n\) ធាតុ គឺជាការតម្រៀប \(r\) វត្ថុខុសៗគ្នាជាជួរតាមលំដាប់ដែលធាតុនីមួយៗយកចេញពី \(n\) ធាតុខុសគ្នា ។ ចំនួនចម្លាស់នៃ \(r\) ធាតុយកពី \(n\) ធាតុមាន \({}_nP_r = n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - r + 1)\) ឬ \({}_nP_r = \dfrac{n!}{(n - r)!}\) \((n \in \mathbb{N}, r \in \mathbb{N}, r \le n)\) ។

    • ចម្លាស់ច្រំដែលនៃ \(r\) ធាតុយកពី \(n\) គឺជាការតម្រៀប \(r\) ធាតុដែលធាតុនីមួយៗអាចជាធាតុដដែលយកចេញពី \(n\) ធាតុខុសគ្នា ។ ចំនួនចម្លាស់ច្រំដែលនៃ \(r\) ធាតុយកពី \(n\) ធាតុមាន \(n^r\) ។

    • ចំនួនចម្លាស់រង្វង់នៃ \(n\) ធាតុមាន \((n - 1)!\) របៀប ។

  3. បន្សំនៃ \(r\) ធាតុយកពី \(n\) ធាតុ គឺជាការយក \(r\) វត្ថុចេញពី \(n\) វត្ថុដោយមិនគិតលំដាប់ ។ ចំនួនបន្សំនៃ \(r\) ធាតុយកពី \(n\) ធាតុគឺ \({}_nC_r = \dfrac{n!}{(n - r)!r!} = \dfrac{n(n - 1)\cdots(n - r + 1)}{r!}\) ។

  4. ទ្រឹស្ដីបទទ្វេធា ៖ \((a + b)^n = {}_nC_0 a^n + {}_nC_1 a^{n-1}b + {}_nC_2 a^{n-2}b^2 + \dots + {}_nC_n b^n\)

    • ផលបូកនេះមាន \((n + 1)\) តួ ។

    • ចំពោះតួបន្តបន្ទាប់គ្នា ស្វ័យគុណរបស់ \(a\) ចុះតាមលំដាប់នៅពេលដែលស្វ័យគុណរបស់ \(b\) កើនតាមលំដាប់ ។

    • ក្នុងតួនីមួយៗផលបូកនៃស្វ័យគុណ \(a\) និង \(b\) ស្មើនឹង \(n\) ។

    • មេគុណរបស់ \(a^{n-k}b^k\) គឺ \({}_nC_k\) ។

    • ករណី \(b = 1\) គេបាន \((1 + a)^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 a + {}_nC_2 a^2 + \dots + {}_nC_n a^n\) ហើយមេគុណរបស់ \(a^k\) គឺ \({}_nC_k\) ។

  5. ប្រូបាប

    • ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃ \(A\) និង \(B\) ជាប្រសព្វនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ។

    • ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកនៃ \(A\) និង \(B\) ជាប្រជុំនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ។

    • ព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(D\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុង កាលណាព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃ \(B\) និង \(D\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមានគឺ \(B \cap D = \varnothing\) ។

    • ព្រឹត្តិការណ៍ \(2\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគ្នា ឬជាព្រឹត្តិការណ៍បំពេញគ្នា កាលណាព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំង \(2\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមាន និងព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំង \(2\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដដែល \(A \cap \bar{A} = \varnothing\), \(A \cup \bar{A} = S\) ។ គេបានព្រឹត្តិការណ៍ \(2\) បំពេញគ្នាជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុង ។

    • ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ ជាផលធៀបនៃចំនួនករណីស្រប និងចំនួនករណីអាច ៖ \(P(A) = \dfrac{\text{ចំនួនករណីស្រប}}{\text{ចំនួនករណីអាច}} = \dfrac{n(A)}{n(S)}\) ។

    • ប្រូបាបនៃលំហសំណាក \(S\) ស្មើនឹង \(1\) គឺ \(P(S) = 1\) ។ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមានស្មើនឹង \(0\) គឺ \(P(\varnothing) = 0\) ។

    • ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងលំហសំណាក ជាចំនួនដែលនៅចន្លោះ \([0, 1]\) ៖ \(0 \le P(A) \le 1\) ។

    • ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ \(A\) និង \(B\) គឺ \(P(A \cap B) = P(A)\times P(B)\) បើ \(A\) និង \(B\) មិនទាក់ទងគ្នា ។ \(P(A \cap B) = P(A)\times P(B/A)\) បើ \(A\) និង \(B\) ទាក់ទងគ្នា ។

    • ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក \(A\) និង \(B\) គឺ \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) ។ \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) កាលណា \(A\) និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុង ។

    • ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍បំពេញនៃ \(A\) គឺ \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\) ។

លំហាត់ជំពូកទី ៦

  1. គណនា ៖

    1. \(8!\)

    2. \(10!\)

    3. \(0!\)

    4. \(1!\)

    5. \({}_7P_5\)

    6. \({}_{12}P_4\)

    7. \({}_5P_3\)

    8. \({}_6P_0\)

    9. \({}_5P_5\)

    10. \({}_6P_2\)

  2. គណនា ៖

    1. \({}_5C_2\)

    2. \({}_8C_3\)

    3. \({}_6C_2\)

    4. \({}_6C_4\)

    5. \({}_3C_3\)

    6. \({}_9C_7\)

    7. \({}_4C_3\)

    8. \({}_{12}C_2\)

    9. \({}_7C_4\)

    10. \({}_3C_0\)

  3. ដោះស្រាយសមីការ ៖

    1. \({}_nP_2 = 56\)

    2. \({}_nP_2 = 60\)

    3. \({}_nP_2 = 30\)

    4. \({}_nP_3 = 990\)

    5. \(2({}_nP_2) = 60\)

  4. ដោះស្រាយសមីការ ៖

    1. \({}_8P_r = 3!\)

    2. \({}_7P_r = 7!\)

    3. \({}_nP_2 = 4({}_{n-1}P_2)\)

    4. \(n({}_nP_3) = {}_nP_6\)

  5. សម្រួលកន្សោម ៖

    1. \(\dfrac{3!(n + 2)!}{4!(n - 1)!}\)

    2. \(\dfrac{7!(r - 1)!}{6!(r + 1)!} + \dfrac{5!r!}{3!(r + 1)!}\)

    3. \(\dfrac{{}_nC_5}{{}_{n-1}C_3}\)

    4. \(({}_{n-1}C_3)\left(\dfrac{1}{{}_{n-2}C_3}\right)\)

  6. ដោះស្រាយសមីការ ៖

    1. \(2({}_nC_2) = {}_{n+1}C_3\)

    2. \({}_nC_1 = 10\)

    3. \({}_nC_2 = 21\)

    4. \({}_nC_2 = 28\)

    5. \({}_{n+1}C_{n-1} = 15\)

    6. \({}_nC_{n-2} = 6\)

    7. \(720({}_nC_5) = {}_{n+1}P_5\)

    8. \({}_nC_3 = 4({}_nP_2)\)

  7. នៅអាហារដ្ឋានមានរៀបឈុតអាហារសម្រាប់បម្រើសេចក្ដីត្រូវការរបស់ភ្ញៀវមួយពេល ។ មួយឈុតអាហារមាន បាយ សាច់ បន្លែ និងភេសជ្ជៈ ។ សម្រាប់បាយមានបីប្រភេទគឺ បាយ មី និងដំឡូងបារាំង សម្រាប់សាច់មាន សាច់គោ ជ្រូក ត្រី មាន់ សម្រាប់បន្លែមាន សណ្ដែក ការ៉ុត ប៉េងប៉ោះ និងភេសជ្ជៈមាន កូកាកូឡា សាស៊ី ទឹកផ្លែឈើ ស្រាបៀរ ។ តើគេអាចបង្កើតឈុតម្ហូបបានប៉ុន្មានរបៀប?

  8. រកចំនួនពាក្យ (ពាក្យមានន័យឬពាក្យគ្មានន័យ) ដែលកើតឡើងពីតួអក្សរនៃពាក្យ ៖ ក. \(SIMPLE\) ខ. \(SECONDARY\) ។

  9. ក្នុងចំណោមសិស្សប្រុស \(5\) នាក់ និងស្រី \(8\) នាក់ ដែលមានស្នាដៃល្អក្នុងការតែងកំណាព្យ គ្រូជ្រើសរើសសិស្សប្រុស \(3\) នាក់ និងស្រី \(4\) នាក់ឡើងបង្ហាញស្នាដៃតាមលំដាប់មុនក្រោយ ។ តើគ្រូអាចជ្រើសរើសសិស្សទាំងនេះបានប៉ុន្មានរបៀប?

  10. បងប្អូនប្រុស \(3\) នាក់ និងស្រី \(2\) នាក់ឈរជាជួរថតរូប ។ តើគេឈរបានប៉ុន្មានរបៀប បើមានក្មេងប្រុស \(2\) នាក់ឈរចុងសងខាង ។

  11. រកចំនួននៃការតម្រៀបតួអក្សររបស់ពាក្យ \(INCLUDE\) បើ ៖

    1. គ្រប់ព្យញ្ជនៈនៅជាប់គ្នា

    2. គ្មានព្យញ្ជនៈ \(2\) ណានៅជាប់គ្នា

    3. ការតម្រៀបនីមួយៗ ចាប់ផ្ដើមដោយព្យញ្ជនៈ និងបញ្ចប់ដោយស្រៈ ។

  12. រកចំនួននៃចំនួនដែលនៅចន្លោះ \(2000\) និង \(5000\) ហើយមានលេខខុសៗគ្នា ដោយប្រើលេខ \(1, 2, 4, 5, 7\) និង \(8\) ។

  13. នៅលើថតទូមួយមានតម្រៀបសៀវភៅ គណិតវិទ្យា \(4\) រូបវិទ្យា \(3\) និងគីមីវិទ្យា \(2\) ។ តើគេអាចរៀបបានប៉ុន្មានរបៀបបើ ៖

    1. សៀវភៅរូបវិទ្យា \(3\) នៅជាប់គ្នា

    2. សៀវភៅគីមីវិទ្យាមិននៅជាប់គ្នា

    3. សៀវភៅរូបវិទ្យាមិននៅជាប់គ្នា ។

  14. ក្មេងប្រុស \(4\) នាក់ និងក្មេងស្រី \(5\) នាក់ឈរតម្រៀបគ្នាជាជួរ ។

    1. រកចំនួនរបៀបដែលអាចឈរបាន

    2. រកចំនួនរបៀបឈរ បើ ៖ \(2\) នាក់ដំបូងជាក្មេងស្រី ។ ម្នាក់ដំបូងជាក្មេងប្រុស និងម្នាក់ខាងចុងជាក្មេងស្រី ។ ក្មេងប្រុសនៅឈរជិតគ្នា ។ គ្មានក្មេងស្រីណាឈរជិតគ្នា ។

  15. ហាងមួយមានអាវយឺត \(7\) ពណ៌សុទ្ធតែជាពណ៌ដែលសុខចូលចិត្តទាំងអស់ ប៉ុន្តែសុខមានប្រាក់ទិញបានត្រឹមតែអាវយឺត \(3\) ប៉ុណ្ណោះ ។ តើសុខមានជម្រើសប៉ុន្មានរបៀប ដើម្បីយកអាវយឺត \(3\) នេះ?

  16. ក្រុមកីឡាករមានមនុស្ស \(10\) នាក់ ដែលមានស្ត្រី \(4\) នាក់ និងបុរស \(6\) នាក់ ។ គេរើសកីឡាករ \(4\) នាក់ ដើម្បីធ្វើការប្រកួតគ្នា ។ រកចំនួនរបៀបដែលជ្រើសរើស បើ ៖

    1. កីឡាករត្រូវប្រកួតមានភេទដូចគ្នា

    2. កីឡាករត្រូវប្រកួតមានចំនួនស្រីស្មើនឹងបុរស ។

    3. ក្រុមប្រកួតមានបុរសឈ្មោះ \(A\) ឬក្រុមមានបុរសឈ្មោះ \(B\) ប៉ុន្តែមិនមែនជាក្រុមមានបុរសឈ្មោះ \(A\) និង \(B\) ។

  17. មានសិស្ស \(10\) នាក់ស្ម័គ្រចិត្តចូលរួមក្នុងការងារសង្គមរបស់សហគមន៍ ។ ប្រធានសហគមន៍ចែកសិស្ស \(5\) នាក់ ចុះតាមភូមិដើម្បីផ្ដល់ប្រឹក្សាដល់ប្រជាជន \(3\) នាក់ជួយកិច្ចការរដ្ឋបាល និង \(2\) នាក់ចុះស្រង់ពត៌មាន ។ តើប្រធានអាចចែកសិស្សតាមក្រុមបានប៉ុន្មានរបៀប?

  18. គេជ្រើសរើសសិស្ស \(5\) នាក់ក្នុងចំណោមសិស្សស្រី \(7\) នាក់ និងសិស្សប្រុស \(10\) នាក់ឱ្យចូលរួមប្រជុំការងារ ។ តើគេអាចរើសសិស្ស \(5\) នាក់នេះបានប៉ុន្មានរបៀបបើ ៖

    1. គ្មានលក្ខខណ្ឌ?

    2. មានសិស្សស្រី \(3\) នាក់ និងប្រុស \(2\) នាក់?

    3. មានសិស្សស្រីយ៉ាងតិចម្នាក់?

  19. ក្នុងកម្រងសំណួរពហុជ្រើសរើសមាន \(5\) សំណួរដែលសំណួរនីមួយៗមានចម្លើយ \(3\) ។ គេអាចជ្រើសរើសយកចម្លើយបានតែមួយគត់ក្នុងមួយសំណួរ ។ តើគេអាចបានកម្រងចម្លើយប៉ុន្មានរបៀបខុសគ្នា?

  20. រកមេគុណរបស់ \(x^4\) និង \(x^5\) ក្នុងការពន្លាតទ្វេធានៃ \(\left(1 - \dfrac{x}{2}\right)^{12}\) ។

  21. រកមេគុណរបស់ \(x^2\) ក្នុងការពន្លាតកន្សោម \((1 - 2x)^5(1 + 3x)^9\) ។

  22. បង្ហាញថា \({}_nC_0 - {}_nC_1 + {}_nC_2 - {}_nC_3 + \dots + (-1)^n{}_nC_n = 0\) ។

  23. សរសេរ \(4\) តួដំបូងតាមស្វ័យគុណកើននៃ \(y\) ក្នុងការពន្លាតទ្វេធានៃកន្សោម ៖ ក. \((1 - 3y)^8\) ខ. \(\left(1 + \dfrac{3y}{3}\right)^8\) ។

  24. គេពន្លាតទ្វេធានៃកន្សោមនីមួយៗខាងក្រោម ៖

    1. រកតួដែលមាន \(x^{12}\) ក្នុងលទ្ធផលពន្លាតកន្សោម \((1 + 2x^2)^8\) ។

    2. រកតួដែលមាន \(x^3\) ក្នុងលទ្ធផលពន្លាតកន្សោម \(\left(x - \dfrac{2}{x^2}\right)^{12}\) ។

  25. រកមេគុណនៃ \(x^6\) និង \(x^8\) ក្នុងលទ្ធផលពន្លាតទ្វេធា \(\left(1 + \dfrac{1}{2}x^2\right)^{10}\) ។ ទាញរកមេគុណនៃ \(x^8\) ក្នុងលទ្ធផលពន្លាតទ្វេធានៃ \((2x^2 + 3)\left(1 + \dfrac{1}{2}x^2\right)^{10}\) ។

  26. ក្នុងការពន្លាតទ្វេធាខាងក្រោមនេះ ចូរសរសេរតួទី \(7\) រាប់តាមលំដាប់ស្វ័យគុណកើននៃ \(x\) ៖ ក. \(\left(2 + \dfrac{x^2}{2}\right)^{11}\) ខ. \(\left(2x - \dfrac{1}{x^2}\right)^{12}\) ។

  27. ក្នុងកម្រងបទចម្រៀង \(10\) បទ ដែល \(5\) បទជាចម្រៀងរបស់លោកស៊ីន ស៊ីសាមុត \(3\) បទជារបស់លោកស្រីរស់ សេរីសុទ្ធា និង \(2\) បទជាចម្រៀងរបស់អ្នកនាងហួយ មាស ។ គេចង់ជ្រើសរើសចម្រៀង \(4\) បទ ដើម្បីច្រៀងកំដរអារម្មណ៍ក្នុងពិធីជប់លៀងមួយ ។ តើគេអាចជ្រើសរើសចម្រៀង \(4\) បទនេះបានប៉ុន្មានរបៀបបើ ៖

    1. មិនប្រកាន់ជាបទរបស់អ្នកណា?

    2. \(2\) បទជារបស់លោកស៊ីន ស៊ីសាមុត \(1\) បទជារបស់លោកស្រីរស់ សេរីសុទ្ធា និង \(1\) បទជារបស់អ្នកនាងហួយ មាស?

    3. យ៉ាងតិចមានមួយបទម្នាក់?

    4. ជាបទចម្រៀងរបស់ម្ចាស់ដើមតែ \(2\) នាក់គត់?

  28. រកប្រូបាបនៃការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់តាមករណីដែលគេទទួលបានដូចខាងក្រោម ៖

    1. ផលបូកស្មើ \(6\) ឬ \(7\)

    2. ផលបូកធំជាង \(8\)

    3. ផលបូកតូចជាង \(3\) ឬធំជាង \(8\)

    4. ផលបូកស្មើ \(16\)

    5. ផលបូកតិចជាង \(11\) ។

  29. គ្រាប់ឡុកឡាក់ \(1\) គ្រាប់មានមុខ \(6\) ដែលមុខនីមួយៗមានចុះលេខ \(1, 2, 3, 5, 8\) និង \(13\) ។

    1. បើគេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយដង តើប្រូបាបដែលគេទទួលបានលេខសេសស្មើប៉ុន្មាន?

    2. បើគេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរដង និងគេបូកលេខវា តើប្រូបាបដែលគេទទួលបានផលបូកជាចំនួនគូស្មើប៉ុន្មាន?

  30. គេបោះកាក់មួយគ្រាប់ និងហូតបៀមួយសន្លឹកចេញពីបៀមួយហ៊ូ ។ រកប្រូបាបដែលគេអាចទទួលបាន ៖

    1. ក្បាលនិងសន្លឹកលេខ \(6\)

    2. កន្ទុយនិងសន្លឹកក្រហម

    3. ក្បាលនិងសន្លឹកជួង

    4. កន្ទុយនិងសន្លឹករូប ។

  31. រកប្រូបាបដែលគេហូតបានសន្លឹករូបពីរសន្លឹក ពេលដែលគេហូតសន្លឹកបៀពីរសន្លឹកចេញពីបៀមួយហ៊ូដោយមិនដាក់ទៅវិញ ។

  32. គេបានលក់សំបុត្រចំនួន \(50\) សន្លឹក ដែលមានសន្លឹករង្វាន់ចំនួនពីរសន្លឹក ។ ចូររកប្រូបាបដែលបុរសម្នាក់នឹងឈ្នះពីររង្វាន់ បើបុរសនោះបានទិញសំបុត្រពីរសន្លឹក ។

  33. គេបង្កើតគណៈកម្មការគ្រូនិងមាតាបិតាសិស្សមួយ ដែលមានគ្នា \(4\) នាក់ ដោយរើសចេញពីគ្រូ \(5\) នាក់ និងមាតាបិតាសិស្សចំនួន \(20\) នាក់ ។ ចូររកប្រូបាបដែលគេអាចរើសគណៈកម្មការមានសមាសភាពតាមករណីដូចខាងក្រោម ៖

    1. គ្រូទាំងអស់

    2. គ្រូ \(2\) នាក់និងមាតាបិតា \(2\) នាក់

    3. មាតាបិតាទាំងអស់

    4. គ្រូម្នាក់និងមាតាបិតា \(3\) នាក់ ។

  34. ក្រុមហ៊ុនមួយមានអ្នកគ្រប់គ្រងចំនួន \(7\) នាក់ក្នុងនោះមានស្ត្រីចំនួន \(4\) នាក់ ។ គេរើសអ្នកគ្រប់គ្រងចំនួន \(3\) នាក់មកចូលរួមក្នុងវគ្គបណ្ដុះបណ្ដាល ។ ចូររកប្រូបាបដែលគេអាចរើសបានតាមករណីដូចខាងក្រោម ៖

    1. ស្ត្រីទាំងអស់

    2. បុរសទាំងអស់

    3. បុរស \(2\) នាក់និងស្ត្រី \(1\) នាក់

    4. យ៉ាងហោចណាស់មានស្ត្រី \(2\) នាក់

    5. យ៉ាងច្រើនមានបុរស \(2\) នាក់ ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព
មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ១០២–១៣៤។
ទំព័រ ១០២
ទំព័រ ១០២
ទំព័រ ១០៣
ទំព័រ ១០៣
ទំព័រ ១០៤
ទំព័រ ១០៤
ទំព័រ ១០៥
ទំព័រ ១០៥
ទំព័រ ១០៦
ទំព័រ ១០៦
ទំព័រ ១០៧
ទំព័រ ១០៧
ទំព័រ ១០៨
ទំព័រ ១០៨
ទំព័រ ១០៩
ទំព័រ ១០៩
ទំព័រ ១១០
ទំព័រ ១១០
ទំព័រ ១១១
ទំព័រ ១១១
ទំព័រ ១១២
ទំព័រ ១១២
ទំព័រ ១១៣
ទំព័រ ១១៣
ទំព័រ ១១៤
ទំព័រ ១១៤
ទំព័រ ១១៥
ទំព័រ ១១៥
ទំព័រ ១១៦
ទំព័រ ១១៦
ទំព័រ ១១៧
ទំព័រ ១១៧
ទំព័រ ១១៨
ទំព័រ ១១៨
ទំព័រ ១១៩
ទំព័រ ១១៩
ទំព័រ ១២០
ទំព័រ ១២០
ទំព័រ ១២១
ទំព័រ ១២១
ទំព័រ ១២២
ទំព័រ ១២២
ទំព័រ ១២៣
ទំព័រ ១២៣
ទំព័រ ១២៤
ទំព័រ ១២៤
ទំព័រ ១២៥
ទំព័រ ១២៥
ទំព័រ ១២៦
ទំព័រ ១២៦
ទំព័រ ១២៧
ទំព័រ ១២៧
ទំព័រ ១២៨
ទំព័រ ១២៨
ទំព័រ ១២៩
ទំព័រ ១២៩
ទំព័រ ១៣០
ទំព័រ ១៣០
ទំព័រ ១៣១
ទំព័រ ១៣១
ទំព័រ ១៣២
ទំព័រ ១៣២
ទំព័រ ១៣៣
ទំព័រ ១៣៣
ទំព័រ ១៣៤
ទំព័រ ១៣៤

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គេបោះកាក់មួយ និងគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ព្រមគ្នា ។ ចូរកំណត់ ៖ ក. សកម្មភាពដែលជាពិសោធន៍ចៃដន្យ និងជាវិញ្ញាសា ។ ខ. លំហសំណាក \(S\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) : “បោះកាក់បានខាងរូប \(H\)” និង \(B\) : “បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់បានលេខ \(4\)” ។ គ. រកប្រូបាបព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹង \(A\) ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹង \(B\) និងព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ \(A\) និង \(B\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ពិសោធន៍ចៃដន្យ ៖ ការបោះកាក់ និងគ្រាប់ឡុកឡាក់ ។ វិញ្ញាសា ៖ ការបោះកាក់មួយ និងគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយព្រមគ្នាម្ដង ។ ខ. \(S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}\), \(n(S) = 12\) ។ \(A = \{H1, \dots, H6\}\), \(B = \{H4, T4\}\) ។ គ. \(P(\bar{A}) = \dfrac{1}{2}\), \(P(\bar{B}) = \dfrac{5}{6}\), \(P(A \cap B) = \dfrac{1}{12}\) ។

២លំហាត់ទី ២

គេហូតបៀមួយសន្លឹកដោយចៃដន្យចេញពីហ៊ូបៀរ \(52\) សន្លឹក ។ រកប្រូបាបដែលហូតបាន ៖ ក. សន្លឹកអាត់ ខ. សន្លឹកក្រហម គ. សន្លឹកអាត់ឬក្រហម ឃ. មិនមែនអាត់និងមិនមែនក្រហម ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(\dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}\) ខ. \(\dfrac{26}{52} = \dfrac{1}{2}\) គ. \(\dfrac{4 + 26 - 2}{52} = \dfrac{7}{13}\) ឃ. \(1 - \dfrac{7}{13} = \dfrac{6}{13}\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

ថង់មួយមានឃ្លី \(10\) ចុះលេខពី \(0\) ដល់ \(9\) ។ គេចាប់យកឃ្លីមួយដោយចៃដន្យ ។ ចូរកំណត់ ៖ ក. លំហសំណាក \(S\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) : “ចាប់បានឃ្លីមានលេខជាពហុគុណនៃ \(3\)” និង \(B\) : “ចាប់បានឃ្លីមានលេខធំជាង \(5\)” ។ ខ. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A, B, A \cap B\) និង \(A \cup B\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(S = \{0, 1, 2, \dots, 9\}\), \(A = \{0, 3, 6, 9\}\) (\(0\) ក៏ជាពហុគុណនៃ \(3\)), \(B = \{6, 7, 8, 9\}\) ។ ខ. \(P(A) = \dfrac{2}{5}\), \(P(B) = \dfrac{2}{5}\), \(A \cap B = \{6, 9\}\) ៖ \(P(A \cap B) = \dfrac{1}{5}\), \(P(A \cup B) = \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{5}\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

ថង់មួយមានឃ្លីខៀវ \(7\) និងឃ្លីស \(3\) ។ គេចាប់យកឃ្លីម្ដង \(3\) ដោយចៃដន្យតែម្ដងគត់ ។ រកប្រូបាបដែលចាប់បាន ៖ ក. ឃ្លីខៀវ \(2\) និងឃ្លីស \(1\) ខ. ឃ្លីខៀវទាំង \(3\) គ. ឃ្លីសទាំង \(3\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(n(S) = {}_{10}C_3 = 120\) ។ ក. \(\dfrac{{}_7C_2\times 3}{120} = \dfrac{63}{120} = \dfrac{21}{40}\) ខ. \(\dfrac{{}_7C_3}{120} = \dfrac{35}{120} = \dfrac{7}{24}\) គ. \(\dfrac{1}{120}\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ \(2\) ព្រមគ្នា មួយពណ៌ខៀវ មួយទៀតពណ៌ក្រហម ។ រកប្រូបាបដែល ៖ ក. លេខចេញលើគ្រាប់ខៀវ ស្មើនឹង \(2\) ដងនៃលេខចេញលើគ្រាប់ក្រហម ខ. ផលបូកលេខគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំង \(2\) ស្មើនឹង \(5\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(n(S) = 36\) ។ ក. (ខៀវ, ក្រហម) \(= (2, 1), (4, 2), (6, 3)\) ៖ \(P = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}\) ខ. \((1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\) ៖ \(P = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

ក្នុងប្រអប់ \(1\) មានក្រដាសបត់ជាសន្លឹកឆ្នោតចាប់យករង្វាន់ ។ សន្លឹកឆ្នោតមាន \(20\) សន្លឹកដែលឆ្នោតត្រូវរង្វាន់មាន \(12\) សន្លឹកសម្រាប់សិស្ស \(20\) នាក់ចាប់យកមួយសន្លឹកម្នាក់បន្តបន្ទាប់គ្នា ដើម្បីផ្ទៀងមើលរង្វាន់រៀងៗខ្លួន ។ សុខជាអ្នកចាប់បានមុនគេ បន្ទាប់មកសោចាប់ទី \(2\) និងសនចាប់ទី \(3\) និងសិស្សឯទៀតចាប់ម្នាក់មួយបន្តបន្ទាប់គ្នារហូតអស់ឆ្នោត ។ រកប្រូបាបដែល ៖ ក. សុខចាប់បានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ ខ. សោចាប់បានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ គ. សនចាប់បានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ ឃ. តើអ្នកចាប់មុននិងអ្នកចាប់ក្រោយអ្នកណាមានសំណាងជាងអ្នកណា?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}\) ខ. \(\dfrac{12}{20}\times\dfrac{11}{19} + \dfrac{8}{20}\times\dfrac{12}{19} = \dfrac{3}{5}\) គ. \(\dfrac{3}{5}\) ឃ. សំណាងស្មើគ្នា (\(\dfrac{3}{5}\) ដូចគ្នា) មិនអាស្រ័យនឹងលំដាប់ចាប់ទេ ។

៧លំហាត់ទី ៧

នៅក្នុងប្រអប់ \(A\) មានសៀវភៅពីជគណិត \(3\) ក្បាល និងធរណីមាត្រ \(4\) ក្បាល ហើយប្រអប់ \(B\) មានសៀវភៅពីជគណិត \(5\) ក្បាល និងធរណីមាត្រ \(3\) ក្បាល ។ គេចាប់យកសៀវភៅមួយក្បាលពីប្រអប់ \(A\) ដាក់ចូលក្នុងប្រអប់ \(B\) រួចយកសៀវភៅមួយពីប្រអប់ \(B\) ដាក់ចូលក្នុងប្រអប់ \(A\) វិញ ។ រកប្រូបាបដែលចំនួនសៀវភៅទាំងពីជគណិត និងធរណីមាត្រនៅក្នុងប្រអប់ទាំងពីរមិនប្រែប្រួល ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនមិនប្រែប្រួលកាលណាសៀវភៅដែលយកត្រឡប់មកវិញជាប្រភេទដូចគ្នានឹងសៀវភៅដែលយកចេញ ៖ \(P = \dfrac{3}{7}\times\dfrac{6}{9} + \dfrac{4}{7}\times\dfrac{4}{9} = \dfrac{34}{63}\) ។

៨លំហាត់ទី ៨

ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីពណ៌ស \(2\) គ្រាប់ ដែលមានចុះលេខ \(1\), \(2\) និងឃ្លីពណ៌ខ្មៅ \(3\) គ្រាប់ដែលមានចុះលេខ \(1, 2, 3\) ។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) គ្រាប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យពីក្នុងប្រអប់នោះ ។ ក. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) : ចាប់បានឃ្លីពណ៌ដូចគ្នា ខ. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) : គេចាប់បានឃ្លីមានផលបូកលេខស្មើ \(3\) គ. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(C\) : គេចាប់បានឃ្លីមានផលបូកស្មើ \(3\) ដោយដឹងថាវាមានពណ៌ដូចគ្នា ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(n(S) = {}_5C_2 = 10\) ។ ក. \(\dfrac{1 + 3}{10} = \dfrac{2}{5}\) ខ. គូលេខ \(1\) និង \(2\) ៖ \(2\times 2 = 4\) គូ ៖ \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\) គ. ក្នុងចំណោមគូពណ៌ដូចគ្នា \(4\) គូ មានតែ (ស\(1\), ស\(2\)) និង (ខ្មៅ\(1\), ខ្មៅ\(2\)) ៖ \(P(C) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\) ។

៩លំហាត់ទី ៩

ក្នុងប្រអប់មួយមានខ្មៅដៃពណ៌ខៀវ \(5\) ដើម និងខ្មៅដៃពណ៌ក្រហម \(4\) ដើម ។ សិស្សម្នាក់បានចាប់យកខ្មៅដៃ \(3\) ដើមព្រមគ្នា ចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ ។ ក. រកប្រូបាប “សិស្សយកបានខ្មៅដៃពណ៌ខៀវ \(2\) ដើមនិងខ្មៅដៃពណ៌ក្រហម \(1\) ដើម” ខ. រកប្រូបាប “សិស្សបានខ្មៅដៃពណ៌ដូចគ្នា” ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(n(S) = {}_9C_3 = 84\) ។ ក. \(\dfrac{{}_5C_2\times 4}{84} = \dfrac{40}{84} = \dfrac{10}{21}\) ខ. \(\dfrac{{}_5C_3 + {}_4C_3}{84} = \dfrac{14}{84} = \dfrac{1}{6}\) ។

១០លំហាត់ទី ១០

នៅក្នុងធុងមួយគេមានប៊ូល \(12\) ដែលគេសរសេរលេខពី \(1\) ដល់ \(12\) ។ គេចាប់យកប៊ូល \(3\) ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យចេញពីធុង ។ ក. រកប្រូបាបដែល “គេចាប់បានប៊ូលទាំង \(3\) មានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង \(3\)” ខ. រកប្រូបាបដែល “គេចាប់បានមានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង \(3\)” គ. រកប្រូបាបដែល “លេខទាំង \(3\) តម្រៀបតាមលំដាប់កើនជាស្វ៊ីតនព្វន្ត” ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(n(S) = {}_{12}C_3 = 220\) ។ លេខចែកដាច់នឹង \(3\) ៖ \(3, 6, 9, 12\) ។ ក. \(\dfrac{{}_4C_3}{220} = \dfrac{1}{55}\) ខ. \(\dfrac{4\times{}_8C_2}{220} = \dfrac{112}{220} = \dfrac{28}{55}\) គ. ផលសងរួម \(d = 1, 2, 3, 4, 5\) មាន \(10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 30\) ករណី ៖ \(\dfrac{30}{220} = \dfrac{3}{22}\) ។

១១លំហាត់ទី ១១

សៅ សែន សុខ ជាអ្នកប្រមាញ់ដៃត្រង់ខុសៗគ្នា ។ សៅដែលជាអ្នកដៃត្រង់ជាងគេ បាញ់ត្រូវ \(7\) គ្រាប់ក្នុង \(10\) គ្រាប់ សែនត្រូវ \(5\) ដង សុខដែលអន់ភ្នែក \(1\) ដងក្នុង \(10\) គ្រាប់ ។ អ្នកប្រមាញ់ទាំងបីចេញដំណើរស្មើគ្នាតម្រង់លើទន្សាយតែមួយ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖ ក. ទន្សាយនោះត្រូវគេបាញ់ត្រូវ ខ. ទន្សាយត្រូវគេបាញ់ត្រូវ តែសុខបាញ់ខុស គ. សុខតែម្នាក់ឯងបានបាញ់ត្រូវទន្សាយនោះ ។ សម្គាល់ ៖ គេសន្មត់ថាលទ្ធផលនៃអ្នកប្រមាញ់ទាំងបីមិនទាក់ទងនឹងគ្នាទេ ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(P(\) សៅត្រូវ \() = 0.7\), \(P(\) សែនត្រូវ \() = 0.5\), \(P(\) សុខត្រូវ \() = 0.9\) ។ ក. \(1 - 0.3\times 0.5\times 0.1 = 0.985\) ខ. \(0.1\times(1 - 0.3\times 0.5) = 0.085\) គ. \(0.9\times 0.3\times 0.5 = 0.135\) ។

១២លំហាត់ទី ១២

គេចង់ជ្រើសរើសយកសិស្ស \(3\) នាក់ក្នុងចំណោមសិស្ស \(10\) នាក់ ដែលក្នុងនោះមានសិស្សប្រុសចំនួន \(6\) និងសិស្សស្រីចំនួន \(4\) នាក់ ។ រកប្រូបាបដែលជ្រើសរើសបានសិស្សប្រុស \(2\) នាក់ និងសិស្សស្រី \(1\) នាក់ ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(\dfrac{{}_6C_2\times{}_4C_1}{{}_{10}C_3} = \dfrac{60}{120} = \dfrac{1}{2}\) ។

១៣លំហាត់ទី ១៣

ប្រធានវិញ្ញាសាគណិតវិទ្យានៃការប្រឡងមួយមានលំហាត់ពីជគណិត \(6\) និងលំហាត់ធរណីមាត្រ \(4\) ។ បេក្ខជនម្នាក់ៗត្រូវធ្វើលំហាត់ \(2\) ក្នុងចំណោមលំហាត់ទាំង \(10\) នោះទៅតាមការជ្រើសរើសរបស់ខ្លួន ។ ក. រកចំនួនករណីអាច ខ. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖ \(A\) : សិស្ស \(X\) ម្នាក់ជ្រើសរើសយកលំហាត់ពីជគណិតទាំងពីរ ។ \(B\) : សិស្ស \(Y\) ម្នាក់ជ្រើសរើសយកលំហាត់ធរណីមាត្រទាំងពីរ ។ \(C\) : សិស្ស \(Z\) ម្នាក់ជ្រើសរើសយកលំហាត់ពីជគណិតមួយនិងលំហាត់ធរណីមាត្រមួយ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \({}_{10}C_2 = 45\) ខ. \(P(A) = \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}\), \(P(B) = \dfrac{6}{45} = \dfrac{2}{15}\), \(P(C) = \dfrac{24}{45} = \dfrac{8}{15}\) ។

១៤លំហាត់ទី ១៤

ក្នុងប្រអប់មួយមានថ្នាំតីណាល់ចំនួន \(7\) គ្រាប់និងថ្នាំអាស្ពីរីនចំនួន \(5\) គ្រាប់ ។ គេចាប់យកថ្នាំ \(4\) គ្រាប់ចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ ។ ក. រកប្រូបាបដែលចាប់បានថ្នាំតីណាល់ទាំង \(4\) គ្រាប់ ខ. រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានថ្នាំអាស្ពីរីនយ៉ាងតិច \(1\) គ្រាប់ ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(n(S) = {}_{12}C_4 = 495\) ។ ក. \(\dfrac{{}_7C_4}{495} = \dfrac{35}{495} = \dfrac{7}{99}\) ខ. \(1 - \dfrac{7}{99} = \dfrac{92}{99}\) ។

១៥លំហាត់ទី ១៥

គេប្រើលេខ \(0\) ដល់ \(9\) ដើម្បីសរសេរចំនួនដែលមានលេខ \(4\) ខ្ទង់ ដោយខ្ទង់ដើមដំបូងមិនប្រើលេខ \(0\) ។ ក. តើគេអាចសរសេរបានប៉ុន្មានចំនួនតាមរបៀបខាងលើនេះ? ខ. តើមានប៉ុន្មានចំនួនដែលមានលេខទាំង \(4\) ខ្ទង់ខុសៗគ្នា ។ គ. តើមានប៉ុន្មានចំនួនដែលមានលេខទាំង \(4\) ខ្ទង់ដូចគ្នា ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(9\times 10^3 = 9000\) ខ. \(9\times 9\times 8\times 7 = 4536\) គ. \(9\) (\(1111, 2222, \dots, 9999\)) ។

១៦លំហាត់ទី ១៦

នៅក្នុងថង់មួយមានប៊ូលពណ៌ក្រហម \(8\) និងប៊ូលពណ៌ខ្មៅ \(6\) ។ គេចាប់យកប៊ូល \(5\) ព្រមគ្នាចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ ។ ក. រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានប៊ូលទាំង \(5\) ពណ៌ក្រហមទាំងអស់ ខ. រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានប៊ូល \(3\) ពណ៌ក្រហម និងប៊ូល \(2\) ពណ៌ខ្មៅ គ. រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានប៊ូលពណ៌ខ្មៅ \(1\) យ៉ាងតិច ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(n(S) = {}_{14}C_5 = 2002\) ។ ក. \(\dfrac{{}_8C_5}{2002} = \dfrac{56}{2002} = \dfrac{4}{143}\) ខ. \(\dfrac{{}_8C_3\times{}_6C_2}{2002} = \dfrac{840}{2002} = \dfrac{60}{143}\) គ. \(1 - \dfrac{4}{143} = \dfrac{139}{143}\) ។

១៧លំហាត់ទី ១៧

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី \(3\) គ្រាប់ គឺ ឃ្លី \(a\), \(b\) និង \(c\) ។ គេចាប់យកឃ្លីម្ដង \(1\) គ្រាប់ ចំនួនពីរលើកចេញពីថង់ដោយដាក់វិញ ។ ក. ចូរកំណត់លំហសំណាក \(S\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) : “ចាប់បានឃ្លី \(2\) គ្រាប់ផ្សេងគ្នា” និង \(B\) : “ចាប់បានឃ្លី \(b\) នៅលើកទី \(1\)” ។ ខ. រកប្រូបាប \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A \cap B)\), \(P(A \cup B)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(S = \{aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc\}\), \(A = \{ab, ac, ba, bc, ca, cb\}\), \(B = \{ba, bb, bc\}\) ។ ខ. \(P(A) = \dfrac{2}{3}\), \(P(B) = \dfrac{1}{3}\), \(P(A \cap B) = \dfrac{2}{9}\), \(P(A \cup B) = \dfrac{7}{9}\) ។

១៨លំហាត់ទី ១៨

ក្នុងថង់មួយមានប៊ិកក្រហម \(8\) និងប៊ិកខៀវ \(6\) ។ គេចាប់យកប៊ិក \(5\) ព្រមគ្នាចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖ \(A\) : “ប៊ិកទាំង \(5\) ពណ៌ក្រហម” ។ \(B\) : “ប៊ិក \(3\) ពណ៌ក្រហមនិងប៊ិក \(2\) ពណ៌ខៀវ” ។ \(C\) : “មានប៊ិកខៀវ \(1\) យ៉ាងតិចក្នុងចំណោមប៊ិកទាំង \(5\)” ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(P(A) = \dfrac{4}{143}\), \(P(B) = \dfrac{60}{143}\), \(P(C) = \dfrac{139}{143}\) ។

១៩លំហាត់ទី ១៩

គ្រូបន្ទុកថ្នាក់បានជ្រើសរើសប្រធានក្រុមវេនសម្អាតថ្នាក់ប្រចាំថ្ងៃចំនួន \(6\) នាក់នៃថ្នាក់រៀនមួយ ដែលមានសិស្សប្រុសចំនួន \(20\) នាក់ និងសិស្សស្រីចំនួន \(15\) នាក់ ។ គណនាប្រូបាបខាងក្រោម ៖ \(A\) : “ប្រធានក្រុមសុទ្ធតែប្រុស” ។ \(B\) : “ប្រធានក្រុមសុទ្ធតែស្រី” ។ \(C\) : “ប្រធានក្រុមមានប្រុស \(3\) នាក់ និងស្រី \(3\) នាក់” ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(n(S) = {}_{35}C_6 = 1\,623\,160\) ។ \(P(A) = \dfrac{{}_{20}C_6}{{}_{35}C_6} = \dfrac{38\,760}{1\,623\,160} \approx 0.0239\), \(P(B) = \dfrac{{}_{15}C_6}{{}_{35}C_6} = \dfrac{5005}{1\,623\,160} \approx 0.0031\), \(P(C) = \dfrac{{}_{20}C_3\times{}_{15}C_3}{{}_{35}C_6} = \dfrac{518\,700}{1\,623\,160} \approx 0.3196\) ។

២០លំហាត់ទី ២០

ក្នុងកាបូបមួយមានក្រដាសប្រាក់ \(1\,000\) រៀលចំនួន \(4\) សន្លឹក និងក្រដាសប្រាក់ \(500\) រៀលចំនួន \(5\) សន្លឹក ។ គេហូតក្រដាសប្រាក់ \(3\) សន្លឹកចេញពីកាបូបដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖ \(A\) : “ហូតបានក្រដាសប្រាក់ \(1\,000\) ទាំង \(3\) សន្លឹក” ។ \(B\) : “ហូតបានក្រដាសប្រាក់ \(500\) រៀលយ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក” ។ \(C\) : “ហូតបានប្រាក់ចំនួន \(2\,000\) រៀល” ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(n(S) = {}_9C_3 = 84\) ។ \(P(A) = \dfrac{4}{84} = \dfrac{1}{21}\), \(P(B) = 1 - \dfrac{1}{21} = \dfrac{20}{21}\), \(C\) ៖ \(1\,000 + 500 + 500\) ៖ \(P(C) = \dfrac{4\times{}_5C_2}{84} = \dfrac{40}{84} = \dfrac{10}{21}\) ។

២១លំហាត់ទី ២១

គេចង់បង្កើតចំនួនមានលេខ \(3\) ខ្ទង់ ដែលខ្ទង់ទាំងបីមានលេខខុសៗគ្នា ដោយយកចេញពីលេខ \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\) ។ ក. រកចំនួនករណីអាច ខ. រកប្រូបាបដែលចំនួនមានលេខ \(3\) ខ្ទង់នេះជាពហុគុណនៃ \(5\) គ. រកប្រូបាបដែលចំនួនលេខ \(3\) ខ្ទង់នេះជាចំនួនគូ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \({}_9P_3 = 504\) ខ. ខ្ទង់រាយជាលេខ \(5\) ៖ \(\dfrac{8\times 7}{504} = \dfrac{1}{9}\) គ. ខ្ទង់រាយជាលេខ \(2, 4, 6, 8\) ៖ \(\dfrac{4\times 8\times 7}{504} = \dfrac{4}{9}\) ។

២២លំហាត់ទី ២២

ក្នុងថតតុមួយមានសៀវភៅគណិតវិទ្យា \(7\) ក្បាល និងសៀវភៅភាសាខ្មែរ \(5\) ក្បាល ។ សិស្សម្នាក់បានយកសៀវភៅ \(4\) ក្បាលព្រមគ្នាចេញពីថតតុដោយចៃដន្យ ។ ក. រកប្រូបាបដែលសិស្សយកបានសៀវភៅគណិតវិទ្យាទាំង \(4\) ក្បាល ខ. រកប្រូបាបដែលសិស្សយកបានសៀវភៅភាសាខ្មែរ \(1\) ក្បាលយ៉ាងតិច ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(\dfrac{{}_7C_4}{{}_{12}C_4} = \dfrac{35}{495} = \dfrac{7}{99}\) ខ. \(1 - \dfrac{7}{99} = \dfrac{92}{99}\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២៣ ប្រូបាប (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត