មេរៀនទី ២១ : ចម្លាស់ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

ជំពូកទី ៦ ៖ ចម្លាស់ បន្សំ និងប្រូបាប

សួនសត្វមួយមានច្រកសម្រាប់ចេញចូលបួន ។ ភ្ញៀវអាចចេញចូលតាមច្រកមួយណាក៏បាន ។ តែមិនអាចចេញមកវិញតាមច្រកដែលបានចូលទេ ។ បើពួសុខគាត់ចូលច្រក ① នោះគាត់អាចចេញតាមច្រក ②, ③ ឬទី ④ មានន័យថា គាត់មាន \(3\) របៀបក្នុងការចេញ ។ តាមរបៀបនេះ តើអ្នកដឹងថា មានប៉ុន្មានរបៀបក្នុងការចូលទៅទស្សនា និងចេញមកវិញ? តើគេអាចប៉ាន់ស្មានសំណាងដែលគេចេញមកវិញតាមច្រកទី ① មានតម្លៃប៉ុន្មាន?

វត្ថុបំណង

រាប់ចំនួនលទ្ធផលដែលកើតឡើងក្នុងវិញ្ញាសាមួយ
រកចំនួនលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(2\) កើតឡើង
សង់ដ្យាក្រាមដើមឈើ
តម្រៀបធាតុ សង់ដ្យាក្រាមដើមឈើ
រកចំនួនចម្លាស់នៃ \(n\) ធាតុ
រកចំនួនចម្លាស់នៃ \(r\) ធាតុយកពី \(n\) ធាតុ
រកចំនួនចម្លាស់ច្រំដែល
រកចំនួនចម្លាស់វង់ ។

គោលការណ៍រាប់

គោលការណ៍ផលបូក

ឧទាហរណ៍ ១

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់មានទំហំខុសគ្នាគឺមួយតូច មួយធំ ។ ចំនួនដែលបង្ហាញនៅមុខខាងលើនៃគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរហៅថា លទ្ធផលមួយ ។ តើគេបានលទ្ធផលប៉ុន្មានរបៀប បើចំនួននៅមុខលើនៃគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរមានផលបូកស្មើនឹង \(3\) ឬ \(4\)?

ផលបូកស្មើ \(3\) អាចសរសេរ \(3 = 1 + 2 = 2 + 1\) ។ ផលបូកស្មើ \(4\) អាចសរសេរ \(4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1\) ។

លទ្ធផលដែលមានផលបូកស្មើនឹង \(3\) មានគូលំដាប់ \((1, 2)\) និង \((2, 1)\) ។
លទ្ធផលដែលមានផលបូកស្មើនឹង \(4\) មានគូលំដាប់ \((1, 3)\), \((2, 2)\) និង \((3, 1)\) ។
គេឃើញថាក្នុងករណីទាំងពីរនេះគ្មានលទ្ធផលណាមួយដូចគ្នាទេ ។ គេបានចំនួនលទ្ធផលដែលកើតឡើងទាំងអស់គឺ \(2 + 3 = 5\) ។

បើគេតាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរចេញគូចំនួនដែលមានផលបូកស្មើនឹង \(3\) នោះចំនួនលទ្ធផលដែលកើតក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ \(A = \{(1, 2), (2, 1)\}\) មាន \(2\) របៀប ។ គេកំណត់សរសេរ \(n(A) = 2\) ។ បើ \(B = \{(1, 3), (2, 2), (3, 1)\}\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរមានផលបូកស្មើនឹង \(4\) នោះ \(n(B) = 3\) ។

គេបានព្រឹត្តិការណ៍ដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់មានផលបូកស្មើនឹង \(3\) ឬ \(4\) គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ឬ \(B\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(A \cup B = \{(1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)\}\) ។ ដោយព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) គ្មានលទ្ធផលណាមួយដូចគ្នា នោះចំនួនលទ្ធផលដែលកើតក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ឬ \(B\) គឺ \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) = 2 + 3 = 5\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

គេធ្វើពិសោធន៍ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ \(1\) ហើយគេចង់ដឹងថា តើលទ្ធផលមានប៉ុន្មានរបៀប បើគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរមានផលបូកស្មើនឹង \(4\) ឬផលគុណស្មើនឹង \(4\)?

ផលបូកស្មើ \(4\) អាចសរសេរ \(4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1\) (ព្រោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មានតែលេខ \(1, 2, 3, 4, 5\) និង \(6\) ប៉ុណ្ណោះ) ។

លទ្ធផលដែលមានផលបូកស្មើនឹង \(4\) មានគូលំដាប់ \((1, 3)\), \((2, 2)\) និង \((3, 1)\) ។
លទ្ធផលដែលមានផលគុណស្មើនឹង \(4\) មានគូលំដាប់ \((1, 4)\), \((2, 2)\) និង \((4, 1)\) ។
គេឃើញថា ចំនួនលទ្ធផលដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរមានផលបូកស្មើនឹង \(4\) ឬផលគុណស្មើនឹង \(4\) មិនអាចស្មើនឹង \(3 + 3 = 6\) របៀបទេ ព្រោះក្នុងករណីទាំងពីរនេះ មានលទ្ធផលរួមគ្នាមួយគឺ មានលំដាប់ \((2, 2)\) ។
បើគេតាង \(C\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរមានផលគុណស្មើនឹង \(4\) ហើយ \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរមានផលបូកស្មើនឹង \(4\) ។
គេបានគូលំដាប់ \((2, 2)\) គឺជាលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) និង \(C\) ដែលគេកំណត់សរសេរដោយ \(B \cap C\) ដែលមានចំនួនលទ្ធផល \(n(B \cap C) = 1\) ។ ដូច្នេះចំនួនលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B \cup C\) គឺ \(n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C) = 3 + 3 - 1 = 5\) ។

ជាទូទៅ

គេមានព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ។ \(n(A)\) ជាចំនួនលទ្ធផលកើតក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ។ \(n(B)\) ជាចំនួនលទ្ធផលកើតក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ។

បើ \(A\) និង \(B\) ជាពីរព្រឹត្តិការណ៍ពីរមិនចុះសម្រុងគ្នា (គ្មានលទ្ធផលណាមួយរួមទេ) នោះចំនួនលទ្ធផលដែលកើតឡើងក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ «\(A\) ឬ \(B\)» គឺ \(n(A \cup B) = n(A) + n(B)\) ។
បើ \(A\) និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ពីរចុះសម្រុងគ្នា (មានលទ្ធផលរួមគ្នា) នោះចំនួនលទ្ធផលដែលកើតឡើងក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ «\(A\) ឬ \(B\)» គឺ \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់ មួយពណ៌ស មួយទៀតពណ៌ក្រហម ។ រកចំនួនលទ្ធផលដែលកើតឡើង កាលណាលទ្ធផលមានផលបូកលេខស្មើនឹង \(5\) ឬ \(6\) ។
ក្នុងថង់មួយមានប័ណ្ណ \(6\) ដែលបង់លេខ \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) ។ គេចាប់យកប័ណ្ណមួយចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ ។ រកចំនួនលទ្ធផលដែលអាចកើតឡើង កាលណាលេខដែលចាប់បានជាលេខសេស ឬលេខធំជាង \(4\) ។

មើលចម្លើយ

\(4 + 5 = 9\)
\(\{1, 3, 5\} \cup \{5, 6\} = \{1, 3, 5, 6\}\) ដូច្នេះមាន \(3 + 2 - 1 = 4\) ។

គោលការណ៍ផលគុណ

ឧទាហរណ៍ ១

គេមានអាវ \(4\) និងខោ \(3\) ផ្សេងៗគ្នា ។ តើគេអាចស្លៀកពាក់បានប៉ុន្មានរបៀបខុសៗគ្នា បើគេចាប់យកអាវ \(1\) និងខោ \(1\) ដោយចៃដន្យក្នុងចំណោមអាវ \(4\) និងខោ \(3\) នេះមកប្រើ ។

គេអាចរាប់បានថា បើគេរើសយកអាវមួយទៅប្រើជាមួយខោណាមួយក្នុងចំណោមខោ \(3\) នោះគេបានសម្លៀកបំពាក់ \(3\) របៀបខុសៗគ្នា ។
បើគេប្រើអាវ \(4\) និងខោ \(3\) នោះគេបានសម្លៀកបំពាក់ \(4\) ដងច្រើនជាង គឺ \(4\times 3 = 12\) របៀបខុសៗគ្នា ។

ដូច្នេះ គេអាចជ្រើសរើសអាវ \(1\) និងខោ \(1\) ក្នុងចំណោមអាវ \(4\) និងខោ \(3\) មកស្លៀកពាក់បាន \(12\) របៀប ។ ដើម្បីបង្ហាញការរាប់ឱ្យកាន់តែច្បាស់ គេប្រើដ្យាក្រាមដើមឈើ ៖

តាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ចាប់យកអាវ \(1\) ដោយចៃដន្យក្នុងចំណោមអាវ \(4\) គេបានចំនួនលទ្ធផល \(n(A) = 4\) ។
តាង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ចាប់យកខោ \(1\) ដោយចៃដន្យក្នុងចំណោមខោ \(3\) គេបានចំនួនលទ្ធផល \(n(B) = 3\) ។

ដូច្នេះ ចំនួនលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) កើតឡើងបន្តបន្ទាប់គ្នាស្មើនឹង \(n(A)\times n(B) = 4\times 3 = 12\) របៀប ។

ជាទូទៅ

គេមានព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) កើតឡើង \(m\) របៀប ហើយមានព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) កើតឡើង \(n\) របៀប នោះចំនួនលទ្ធផលដែលព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) កើតឡើង ហើយ \(B\) កើតឡើងបន្ទាប់ស្មើនឹង \(m\times n\) ។

លំហាត់គំរូ

គេមានផ្លូវ \(3\) ខ្សែសម្រាប់ធ្វើដំណើរពីក្រុង \(A\) ទៅ \(B\) និងមានផ្លូវ \(2\) ខ្សែសម្រាប់ធ្វើដំណើរពីក្រុង \(B\) ទៅក្រុង \(C\) ។ តើគេអាចធ្វើដំណើរតាមផ្លូវបានប៉ុន្មានរបៀប ដើម្បីចេញពីក្រុង \(A\) ទៅ \(C\) ដោយឆ្លងកាត់តាមក្រុង \(B\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(1, 2, 3\) ជាផ្លូវភ្ជាប់ពីក្រុង \(A\) ទៅ \(B\) និង \(a, b\) ជាផ្លូវភ្ជាប់ពីក្រុង \(B\) ទៅក្រុង \(C\) ។ ដើម្បីធ្វើដំណើរពី \(A\) ទៅ \(B\) គេមានផ្លូវ \(3\) ជម្រើស និងផ្លូវពី \(B\) ទៅ \(C\) មាន \(2\) ជម្រើស ។ តាមគោលការណ៍ផលគុណចំនួនរបៀបសម្រាប់ធ្វើដំណើរពី \(A\) ទៅ \(C\) ដោយឆ្លងកាត់តាម \(B\) មាន \(3\times 2 = 6\) របៀប ។

ប្រតិបត្តិ

កំណត់ចំនួនស្លាកលេខ ដើម្បីសម្គាល់វត្ថុតាមប្រភេទដោយប្រើតួអក្សរមួយពី \(A\) ដល់ \(H\) សរសេរពីមុខលេខដែលប្រើលេខពី \(1\) ដល់ \(15\) ។
មីងដានីចង់ទិញវត្ថុបីមុខមាន កាបូបដាក់សៀវភៅរៀនមួយ កាបូបតូចដាក់ប៊ិក ខ្មៅដៃមួយ និងល្បែងហ្គេមមួយឈុត សម្រាប់ជារង្វាន់លើកទឹកចិត្តកូនដែលបានជាប់ចំណាត់ថ្នាក់ល្អ ។ ពេលទៅដល់ហាងលក់វត្ថុទាំងនេះ គាត់ឃើញមានកាបូបដាក់សៀវភៅ \(3\) ប្រភេទ \((A, B\) និង \(C)\) កាបូបតូចមាន \(4\) ពណ៌ (ក្រហម ខៀវ លឿង និងបៃតង) និងល្បែងហ្គេម \(2\) ប្រភេទ \((I\) និង \(II)\) ។ តើមីងដានីអាចជ្រើសរើសវត្ថុបីប្រភេទបានប៉ុន្មានរបៀប?

មើលចម្លើយ

\(8\times 15 = 120\)
\(3\times 4\times 2 = 24\) ។

ចម្លាស់

ចម្លាស់នៃ \(n\) ធាតុ

ឧទាហរណ៍

គេមានប័ណ្ណ \(4\) សន្លឹកចុះលេខ \(6\), \(7\), \(8\) និង \(9\) ។ បើគេយកប័ណ្ណនីមួយៗមកតម្រៀបជាជួរមានលំដាប់ នោះគេបានលទ្ធផលផ្សេងៗគ្នា ដែលជាចំនួនមាន \(4\) លេខ ។ ចូរកំណត់ចំនួននៃចំនួនមាន \(4\) លេខដែលបង្កើតបាន ។

ដើម្បីបានលទ្ធផលក្នុងការរៀបលេខទាំង \(4\) នេះ គេត្រូវគិតពីការយកប័ណ្ណនីមួយៗមករៀបក្នុងការេ \(4\) ៖ ខ្ទង់ទី \(1\) អាចបាន \(4\) របៀប (ព្រោះមាន \(4\) ប័ណ្ណ), ខ្ទង់ទី \(2\) អាចបាន \(3\) របៀប (ព្រោះសល់ \(3\) ប័ណ្ណ), ខ្ទង់ទី \(3\) អាចបាន \(2\) របៀប និងខ្ទង់ទី \(4\) អាចបាន \(1\) របៀប ។

ដូច្នេះ តាមគោលការណ៍ផលគុណចំនួន នៃចំនួនមាន \(4\) លេខដែលអាចកើតឡើងទាំងអស់មាន \(4\times 3\times 2\times 1 = 24\) ។ ការតម្រៀបប័ណ្ណ \(4\) សន្លឹកផ្សេងៗគ្នាតាម \(4\) កន្លែងផ្សេងៗគ្នា ហើយគិតលំដាប់នេះហៅថាចម្លាស់នៃ \(4\) ធាតុ ។ ចំនួនចម្លាស់នៃ \(4\) ធាតុគឺ \(4\times 3\times 2\times 1\) ឬគេកំណត់សរសេរដោយខ្លីគឺ \(4!\) (\(4!\) អានថា \(4\) ហ្វាក់តូរីយ៉ែល ដែល \(4! = 4\times 3\times 2\times 1\)) ។ ដើម្បីបង្ហាញលទ្ធផលឱ្យកាន់តែច្បាស់ គេអាចបង្ហាញតាមដ្យាក្រាមដើមឈើ ។ លទ្ធផលទាំង \(24\) គឺ ៖

\[\begin{array}{cccccc} 6789 & 6798 & 6879 & 6897 & 6978 & 6987\\ 7689 & 7698 & 7869 & 7896 & 7968 & 7986\\ 8679 & 8697 & 8769 & 8796 & 8967 & 8976\\ 9678 & 9687 & 9768 & 9786 & 9867 & 9876 \end{array}\]

ជាទូទៅ

ចម្លាស់នៃ \(n\) ធាតុ គឺជាតម្រៀបមានលំដាប់នៃ \(n\) វត្ថុខុសៗគ្នាជាជួរដេក \(n \in \mathbb{N}\) ។ ចំនួនចម្លាស់នៃ \(n\) ធាតុស្មើនឹង \(n!\) ។ \(n!\) អានថា \(n\) ហ្វាក់តូរីយ៉ែល

\[n! = n(n - 1)(n - 2)\times\dots\times 4\times 3\times 2\times 1\]

លំហាត់គំរូ

គ្រូធ្វើបញ្ជីឈ្មោះសិស្ស \(8\) នាក់ដោយមានចុះលេខរៀងពី \(1\) ដល់ \(8\) តែមិនគិតតាមលំដាប់អក្ខរក្រមទេ ។

តើគ្រូអាចធ្វើបញ្ជីឈ្មោះបានប៉ុន្មានរបៀប?
បើគ្រូចង់ឱ្យឈ្មោះសុក និងឈ្មោះសៅនៅជាប់គ្នា តើបញ្ជីឈ្មោះរបៀបនេះមានប៉ុន្មានបែប?

ដំណោះស្រាយ

ការសរសេរឈ្មោះតាមលំដាប់លេខរៀង គឺជាចម្លាស់ឈ្មោះសិស្ស \(8\) នាក់ជាជួរ ។ ចំនួនចម្លាស់គឺ \(8! = 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 40320\) ។ ដូច្នេះ គ្រូអាចធ្វើបញ្ជីឈ្មោះបាន \(40320\) របៀប ។
បើឈ្មោះសុក និងសៅនៅជាប់គ្នា គេចាត់ទុកថាឈ្មោះ \(2\) នេះនៅក្នុងកន្លែងតែមួយ ម្យ៉ាងទៀតឈ្មោះសុក ឬសៅអាចនៅខាងមុខ ឬខាងក្រោយគ្នាគឺមាន \(2\) របៀប បន្ទាប់មកគេត្រូវចម្លាស់សិស្ស \(7\) នាក់ទៀត ។ ដូច្នេះ ចំនួនបញ្ជីឈ្មោះតាមបែបនេះមាន ៖ \(2\times 7! = 2\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 10080\) របៀប ។

ប្រតិបត្តិ

គេរៀបសៀវភៅ \(10\) ក្បាលខុសៗគ្នាដាក់ជាជួរលើធ្នើមួយ ។ ក. តើការតម្រៀបនេះមានប៉ុន្មានរបៀបខុសៗគ្នា? ខ. បើគេកំណត់ឱ្យសៀវភៅ \(3\) ក្បាលនៅជាប់គ្នាជានិច្ច តើការតម្រៀបនេះមានប៉ុន្មានបែប?
មានមនុស្ស \(6\) នាក់អង្គុយលើកៅអីមួយជួរដែលក្នុងនោះមានក្មេង \(4\) នាក់ និងមនុស្សចាស់ \(2\) នាក់ ។ រកចំនួនរបៀបការអង្គុយក្នុងករណីដែលមនុស្សចាស់ទាំង \(2\) នាក់អង្គុយចុងសងខាង ។

មើលចម្លើយ

ក. \(10! = 3628800\) ខ. \(3!\times 8! = 241920\)
\(2!\times 4! = 48\) ។

ចម្លាស់នៃ \(r\) ធាតុយកពី \(n\) ធាតុ

ឧទាហរណ៍

គេបង្កើតលេខកូដមាន \(4\) ខ្ទង់ខុសៗគ្នា ដើម្បីធ្វើប័ណ្ណពិសេសដោយប្រើ \(6\) លេខ ៖ \(0, 1, 3, 5, 7\) និង \(9\) ។ តើគេអាចបង្កើតលេខកូដបានប៉ុន្មានប័ណ្ណ?

លេខកូដដែលអាចកើតឡើង គឺជាតម្រៀប \(4\) លេខខុសៗគ្នាតាមលំដាប់ដែលលេខនីមួយៗយកចេញពី \(6\) លេខ ។
ដើម្បីសរសេរលេខខ្ទង់ដំបូង គេមាន \(6\) លេខសម្រាប់ជ្រើសរើសយក \(1\) លេខមកសរសេរក្នុងចំណោមលេខ \(0, 1, 3, 5, 7\) និង \(9\) ។
លេខខ្ទង់ទី \(2\) គេមាន \(5\) លេខសម្រាប់ជ្រើសរើសយក \(1\) លេខមកសរសេរ ព្រោះយើងប្រើអស់ \(1\) លេខហើយ ។
លេខខ្ទង់ទី \(3\) គេមាន \(4\) លេខសម្រាប់ជ្រើសរើសយក \(1\) លេខ ព្រោះយើងប្រើអស់ \(2\) លេខហើយ និងលេខប័ណ្ណខ្ទង់ចុងក្រោយ គេមាន \(3\) លេខដែលនៅសល់ពីការសរសេរលេខ \(3\) ខ្ទង់មុន សម្រាប់ជ្រើសរើសយក \(1\) លេខ ។

ដោយសារយើងរើសលេខបន្តបន្ទាប់គ្នា ចំនួនលេខកូដទាំងអស់មាន \(6\times 5\times 4\times 3 = 360\) ។ ការតម្រៀប \(4\) លេខខុសគ្នាជាជួរមានលំដាប់ដែលលេខនីមួយៗយកចេញពី \(6\) លេខខុសៗគ្នាហៅថា ចម្លាស់នៃ \(4\) ធាតុយកពី \(6\) ធាតុ ។ ចំនួនចម្លាស់នៃ \(4\) ធាតុយកពី \(6\) ធាតុគឺ

\[6\times 5\times 4\times 3 = \frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1} = \frac{6!}{2!} = \frac{6!}{(6 - 4)!}\]

គេកំណត់សរសេរ \({}_6P_4 = \dfrac{6!}{(6 - 4)!}\) ។

ជាទូទៅ

ចម្លាស់នៃ \(r\) ធាតុយកចេញពី \(n\) ធាតុ គឺជាតម្រៀបមានលំដាប់នៃ \(r\) ធាតុខុសៗគ្នាដែលធាតុនីមួយៗយកចេញពី \(n\) ធាតុខុសៗគ្នា \((n \in \mathbb{N}, r \in \mathbb{N}, r \le n)\) ។ ចំនួនចម្លាស់នៃ \(r\) ធាតុយកចេញពី \(n\) ធាតុគឺ

\[\begin{gathered} {}_nP_r = n(n - 1)(n - 2)\dots(n - r + 1) \quad{} \text{ឬ}\\ {}_nP_r = \frac{n!}{(n - r)!} \end{gathered}\]

គេអាចប្រើនិមិត្តសញ្ញា \(P(n, r)\) ។

សម្គាល់

បើ \(r = n\) នោះជាចម្លាស់នៃ \(n\) ធាតុ ។ គេបាន \({}_nP_n = n!\) ព្រោះ \(0! = 1\) ។

លំហាត់គំរូ

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី \(7\) គ្រាប់ មានពណ៌ខុសៗគ្នា (ស ក្រហម ខៀវ លឿង ខ្មៅ បៃតង និងត្នោតចេក) ។ គេចាប់យកឃ្លីម្ដងមួយចេញពីថង់ រួចកត់ត្រាពណ៌ទុក ចំនួន \(3\) ដងបន្តបន្ទាប់ដោយមិនដាក់ចូលថង់វិញ ក្រោយពីយកចេញពីថង់ម្ដងៗ ។

បើគេយកឃ្លីចេញតាមរបៀបនេះ តើគេបានលទ្ធផលប៉ុន្មានរបៀប?
រកចំនួនលទ្ធផលដែលឃ្លីយកចេញលើកទី \(2\) ជាឃ្លីពណ៌ក្រហម ។

ដំណោះស្រាយ

ការចាប់យកឃ្លី \(3\) តាមរបៀបនេះ ជាការតម្រៀបឃ្លី \(3\) តាមលំដាប់ដែលឃ្លីនីមួយៗយកចេញពីឃ្លី \(7\) ខុសៗគ្នា ។ តម្រៀបបែបនេះជាចម្លាស់នៃ \(3\) ធាតុយកពី \(7\) ធាតុ ។ ចំនួនលទ្ធផលដែលកើតឡើងទាំងអស់មាន \({}_7P_3 = 7\times 6\times 5 = 210\) ។
លទ្ធផលដែលឃ្លីយកចេញលើកទី \(2\) មានពណ៌ក្រហម ជាលទ្ធផលទាំងឡាយដែលឃ្លីចាប់លើកទី \(1\) មាន \(6\) ជម្រើស ចាប់លើកទី \(2\) មានតែមួយជម្រើសគឺឃ្លីពណ៌ក្រហម និងចាប់លើកទី \(3\) មាន \(5\) ជម្រើស ។ ដូច្នេះ ចំនួនលទ្ធផលទាំងអស់គឺ \(6\times 1\times 5 = 30\) របៀប ឬ \(1\times{}_6P_2 = 30\) របៀប ។

ប្រតិបត្តិ

គេចង់បង្កើតគណៈកម្មការសិស្សមានគ្នា \(4\) នាក់ ម្នាក់ជាប្រធាន ម្នាក់ជាអនុប្រធាន ម្នាក់ជាលេខា និងម្នាក់ទៀតជាសមាជិកដើម្បីជួយការងារសាលារៀន ។ សមាសភាពគណៈកម្មការនេះត្រូវរើសក្នុងចំណោមសិស្ស \(10\) នាក់ ។ ក. កំណត់ចំនួនគណៈកម្មការដែលអាចបង្កើតបាន? ខ. កំណត់ចំនួនគណៈកម្មការដែលមានសុខជាលេខា?
សិស្ស \(9\) នាក់ឈរជាជួរដែលក្នុងនោះមានសិស្សស្រី \(5\) នាក់ និងសិស្សប្រុស \(4\) នាក់ ។ រកចំនួនរបៀបដែលសិស្សឈរ បើគេដឹងថាសិស្សប្រុស \(2\) នាក់ឈរនៅចុងសងខាង ។

មើលចម្លើយ

ក. \({}_{10}P_4 = 5040\) ខ. \({}_9P_3 = 504\)
\({}_4P_2\times 7! = 60480\) ។

ចម្លាស់ច្រំដែល

ឧទាហរណ៍ ១

ការបង្កើតលេខកូដសម្រាប់បង្កើតប័ណ្ណពិសេសមួយដោយប្រើ \(6\) លេខ គឺ \(0, 1, 3, 5, 7\) និង \(9\) ។ បើលេខកូដនោះអាចមានលេខដដែលៗកើតឡើង តើគេអាចសរសេរលេខប័ណ្ណបានចំនួនប៉ុន្មាន?

ខ្ទង់នីមួយៗអាចបាន \(6\) របៀប ព្រោះលេខដែលប្រើហើយអាចប្រើបានម្ដងទៀត (ឧទាហរណ៍ \(0001\), \(1101\), \(\dots\)) ។ ដូច្នេះ ចំនួនប័ណ្ណទាំងអស់មាន \(6\times 6\times 6\times 6 = 6^4 = 1296\) ។ ការបង្កើតលេខបែបនេះហៅថា ចម្លាស់ច្រំដែលនៃ \(4\) ធាតុយកពី \(6\) ធាតុ ។ ចំនួនចម្លាស់ច្រំដែលនៃ \(4\) ធាតុយកពី \(6\) ធាតុផ្សេងៗស្មើនឹង \(6^4\) ។

ជាទូទៅ

ចម្លាស់ច្រំដែលនៃ \(r\) ធាតុយកចេញពី \(n\) ធាតុ គឺជាតម្រៀបមានលំដាប់នៃ \(r\) ធាតុដែលធាតុនីមួយៗអាចជាធាតុដដែលយកចេញពី \(n\) ធាតុខុសគ្នា ។ ចំនួនចម្លាស់ច្រំដែលនៃ \(r\) ធាតុយកចេញពី \(n\) ធាតុស្មើនឹង \(n^r\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ចំនួន \(2\) ដងបន្តបន្ទាប់គ្នា ។ រកចំនួនលទ្ធផលដែលអាចកើតឡើងទាំងអស់ ។

ព្រោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយអាចចេញលេខ \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) ដូច្នេះលទ្ធផលបានពីការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ចំនួន \(2\) ដងបន្តបន្ទាប់គ្នានេះ ជាចម្លាស់ច្រំដែលនៃ \(2\) ធាតុយកពី \(6\) ធាតុ ។ ចំនួនចម្លាស់ច្រំដែលនៃ \(2\) ធាតុយកពី \(6\) ធាតុគឺ \(6^2 = 36\) ។

លំហាត់គំរូ

ថង់មួយមានឃ្លី \(7\) គ្រាប់ដែលមានពណ៌ខុសៗគ្នា ។ គេចាប់យកឃ្លីម្ដងមួយចេញពីថង់កត់ត្រាពណ៌ទុក រួចដាក់ចូលក្នុងវិញ ហើយចាប់ម្ដងទៀត ។ គេធ្វើរបៀបនេះចំនួន \(3\) ដងបន្តបន្ទាប់គ្នា ។ រកចំនួនលទ្ធផលដែលកើតឡើងទាំងអស់ ។

ដំណោះស្រាយ

ការចាប់លើកទី \(1\), ទី \(2\), ទី \(3\) ៖ ចំនួនរបៀប \(7\times 7\times 7\) (ព្រោះចាប់ហើយដាក់វិញ) ។ ដូច្នេះ ចំនួនលទ្ធផលទាំងអស់គឺ \(7^3 = 343\) ។

គេឃើញថាចំនួនលទ្ធផលក្នុងឧទាហរណ៍ពីមុន (ចាប់មិនដាក់វិញ \({}_7P_3 = 210\)) តិចជាងចំនួនលទ្ធផលក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ។ លទ្ធផលដែលមានក្នុងឧទាហរណ៍នេះហើយគ្មានក្នុងឧទាហរណ៍មុន ជាលទ្ធផលដែលមានធាតុដូចគ្នា \(2\) ដង និងមានធាតុដូចគ្នា \(3\) ដង ។

សម្គាល់

បើយើងប្រៀបធៀបលទ្ធផលក្នុងឧទាហរណ៍ទាំង \(2\) នេះ គេឃើញថា លទ្ធផល (ចាប់ដាក់វិញ) \(=\) លទ្ធផល (ចាប់មិនដាក់វិញ) \(+\) លទ្ធផលមានធាតុដូចគ្នា \(2\) ដង \(+\) ធាតុដូចគ្នា \(3\) ដង ។

ប្រតិបត្តិ

គេពិនិត្យលេខទូរសព្ទដែលគេប្រើសព្វថ្ងៃ ជាចំនួនដែលមានលេខ \(6\) ខ្ទង់ (ដោយមិនគិតពីលេខសម្គាល់ក្រុមហ៊ុន) ។ រកចំនួនលេខទូរសព្ទដែលគេអាចបង្កើតបាន ។
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ \(3\) ដងបន្តបន្ទាប់គ្នា ។ ក. រកចំនួនលទ្ធផលដែលអាចកើតឡើងទាំងអស់ ។ ខ. រកចំនួនលទ្ធផលដែលមានលេខ \(5\) ពីរដង ។

មើលចម្លើយ

\(10^6 = 1\,000\,000\)
ក. \(6^3 = 216\) ខ. \(3\times 5 = 15\) ។

ចម្លាស់វង់

ឧទាហរណ៍

គេតម្រៀបប័ណ្ណ \(4\) សន្លឹក \(6\), \(7\), \(8\) និង \(9\) ដាក់ជារង្វង់ ។ តើគេបានលទ្ធផលចំនួនប៉ុន្មានបែប?

ការតម្រៀបប័ណ្ណ \(4\) សន្លឹកជាជួរដេកតាមលំដាប់គឺជាចម្លាស់នៃ \(4\) ធាតុ ហើយចំនួនចម្លាស់មាន \(4!\) ។
គេសង្កេតឃើញថាជួរដេក \(4\) ជួរ \(6789\), \(7896\), \(8967\), \(9678\) អាចជារបៀបតែមួយ បើគេដាក់ជារង្វង់ ។

ដូច្នេះ ចំពោះចម្លាស់ជាវង់មួយរបៀបនេះអាចយកមករៀបជាចម្លាស់ជាជួរដេកបាន \(4\) របៀបខុសគ្នា ។ គេបានចំនួនចម្លាស់វង់តិចជាងចំនួនចម្លាស់ជាជួរដេក \(4\) ដង ។ ដោយចំនួនចម្លាស់នៃ \(4\) ធាតុជាជួរដេកមាន \(4!\) នោះចំនួនចម្លាស់វង់នៃ \(4\) ធាតុមាន \(\dfrac{4!}{4} = \dfrac{4\cdot 3!}{4} = 3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6\) របៀប ។

ជាទូទៅ

ចំនួនចម្លាស់វង់នៃ \(n\) ធាតុគឺ \(\dfrac{n!}{n} = (n - 1)!\) ។

លំហាត់គំរូ

គ្រួសារមួយមានមនុស្សចាស់ \(4\) នាក់ និងក្មេង \(2\) នាក់អង្គុយហូបបាយជុំវិញតុមូលមួយ ។

តើការអង្គុយនេះមានប៉ុន្មានរបៀបខុសគ្នា ។
បើក្មេង \(2\) នាក់អង្គុយជិតគ្នាជានិច្ច តើការអង្គុយនេះមានប៉ុន្មានរបៀប?

ដំណោះស្រាយ

របៀបអង្គុយរបស់មនុស្ស \(6\) នាក់នេះជាចម្លាស់វង់នៃ \(6\) ធាតុ ។ ចំនួនចម្លាស់វង់នៃ \(6\) ធាតុគឺ \(\dfrac{6!}{6} = 5! = 5\times 4\times 3\times 2 = 120\) របៀប ។
បើមានក្មេងពីរនាក់អង្គុយជិតគ្នា នោះយើងគិតថាក្មេង \(2\) នាក់នេះអង្គុយរួមគ្នាមួយកន្លែងដូច្នេះ ជាចម្លាស់វង់ \(5\) ធាតុ ប៉ុន្តែរបៀបដែលក្មេងទាំងពីរអង្គុយជិតគ្នាមាន \(2\) របៀបផ្សេងគ្នា (ឆ្វេង ឬស្ដាំគ្នា) ។ ចំនួនចម្លាស់វង់ដែលក្មេង \(2\) នាក់អង្គុយជាប់គ្នាមានចំនួន \(2!(5 - 1)! = 2\times 4! = 2\times 4\times 3\times 2 = 48\) របៀប ។

ប្រតិបត្តិ

សិស្សមួយក្រុមមានស្រី \(2\) នាក់ ប្រុស \(6\) នាក់អង្គុយជុំវិញតុមូលធ្វើការងារជាក្រុម ។ តើសិស្សអាចអង្គុយបានប៉ុន្មានរបៀប បើសិស្សស្រី \(2\) នាក់អង្គុយទល់មុខគ្នា ។

មើលចម្លើយ

\(6! = 720\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ៧៧–៩១។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ \(2\) គ្រាប់ខុសគ្នា ។ រកចំនួនលទ្ធផលដែលអាចកើតឡើង បើផលបូកគ្រាប់ឡុកឡាក់ស្មើនឹង \(8\) ឬ \(9\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូក \(8\) មាន \(5\) លទ្ធផល ហើយផលបូក \(9\) មាន \(4\) លទ្ធផល ។ ដូច្នេះ \(5 + 4 = 9\) ។

២លំហាត់ទី ២

គេមានរថយន្តឈ្នួល \(3\) ប្រភេទសម្រាប់បំរើសេវាធ្វើដំណើរទៅឬមកពីក្នុងភូមិនៅទីប្រជុំជនមួយដែលនៅក្បែរគ្នា ។ ពេលធ្វើដំណើរទៅទីប្រជុំជន ពូសុខអាចជិះរថយន្តណាមួយ ឬក៏គាត់ដើរដោយខ្លួនឯង ។ ហេតុនេះ ពេលត្រឡប់មកផ្ទះវិញ គាត់សម្រេចចិត្តថាជិះរថយន្ត ។ តើការធ្វើដំណើរទៅនិងត្រឡប់មករបស់គាត់មានប៉ុន្មានរបៀប?

មើលដំណោះស្រាយ

ទៅមាន \(3 + 1 = 4\) របៀប មកវិញមាន \(3\) របៀប ៖ \(4\times 3 = 12\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

មានបុរស \(6\) នាក់ និងនារី \(5\) នាក់ចាប់ដៃគូគ្នារាំវង់ ។ តើការចាប់ដៃគូស្រីប្រុសនេះមានប៉ុន្មានរបៀប?

មើលដំណោះស្រាយ

\(6\times 5 = 30\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

នៅថ្ងៃសម្រាកមួយ សុភីរៀបផែនការការងាររបស់ខ្លួន ធ្វើកិច្ចការសាលារៀន បោកសម្លៀកបំពាក់ អានកាសែត ទស្សនាវដ្ដី និងស្រាវជ្រាវឯកសារតាមអ៊ីនធឺណែត ។ តើសុភីអាចរៀបផែនការរបស់ខ្លួនបានប៉ុន្មានរបៀប?

មើលដំណោះស្រាយ

\(4! = 24\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

រកចំនួនទាំងអស់នៃចំនួនដែលមានលេខ \(4\) ខ្ទង់ដោយប្រើគ្រប់លេខរបស់ចំនួន \(4129\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(4! = 24\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

ថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស \(40\) នាក់ គ្រូត្រូវការសិស្ស \(2\) នាក់ដើម្បីឡើងដោះស្រាយលំហាត់លេខ \(2\) និងលេខ \(5\) ដែលមាននៅក្នុងសៀវភៅលំហាត់ ។ តើគ្រូអាចហៅសិស្សបានប៉ុន្មានរបៀបដើម្បីដោះស្រាយលំហាត់?

មើលដំណោះស្រាយ

\({}_{40}P_2 = 40\times 39 = 1560\) ។

៧លំហាត់ទី ៧

តើជ័យលាភីមានចំនួនប៉ុន្មានរបៀប ដើម្បីចាប់យករង្វាន់លេខ \(1\) លេខ \(2\) និងលេខ \(3\) សម្រាប់មនុស្ស \(9\) នាក់ ។

មើលដំណោះស្រាយ

\({}_9P_3 = 504\) ។

៨លំហាត់ទី ៨

កាក់មួយមានមុខពីរគឺខាងរូប និងខាងលេខ ។ គេបោះកាក់នេះ \(4\) ដងបន្តបន្ទាប់គ្នា ។ រកចំនួនលទ្ធផលដែលអាចកើតឡើងទាំងអស់ ។ សង់ដ្យាក្រាមដើមឈើ ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(2^4 = 16\) ។

៩លំហាត់ទី ៩

កុមារវិនយកឃ្លី \(6\) ពណ៌ផ្សេងៗរៀបជារង្វង់ឱ្យឆ្លាស់ពណ៌គ្នា ។ តើវិនអាចរៀបបានប៉ុន្មានរបៀបផ្សេងៗគ្នា ។

មើលដំណោះស្រាយ

\((6 - 1)! = 120\) ។

១០លំហាត់ទី ១០

គណនា ៖

\(\dfrac{4!}{3!}\), \(\dfrac{10!}{7!}\), \(\dfrac{9!}{5!3!}\), \(\dfrac{(n - 1)!}{n!}\), \(\dfrac{n!}{(n - 3)!}\), \(\dfrac{(n!)^2}{(n - 1)!(n - 2)!}\)
\({}_6P_4\), \({}_5P_3\), \({}_7P_7\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(4\); \(720\); \(504\); \(\dfrac{1}{n}\); \(n(n - 1)(n - 2)\); \(n^2(n - 1)\) ខ. \(360\); \(60\); \(5040\) ។

១១លំហាត់ទី ១១

ចំពោះ \(n \in \mathbb{N}\) ចូរដោះស្រាយសមីការ ៖

\({}_nP_3 = 60\)
\({}_nP_2 = 56\)
\({}_nP_2 = 30\)
\({}_nP_3 = 990\)
\({}_6P_r = 30\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(n = 5\) ខ. \(n = 8\) គ. \(n = 6\) ឃ. \(n = 11\) ង. \(r = 2\) ។

១២លំហាត់ទី ១២

រោងភាពយន្តមួយ ត្រូវបញ្ចាំងខ្សែភាពយន្ត \(4\) រឿងខុសៗគ្នាក្នុង \(1\) ថ្ងៃ ។ តើគេអាចរើសខ្សែភាពយន្ត \(4\) រឿងមកបញ្ចាំង ក្នុងចំណោមខ្សែភាពយន្ត \(11\) រឿងបានប៉ុន្មានរបៀប?

មើលដំណោះស្រាយ

\({}_{11}P_4 = 7920\) (គិតលំដាប់ម៉ោងបញ្ចាំង) ។

១៣លំហាត់ទី ១៣

ប៉ុស្តិ៍នគរបាលមួយមានគ្នា \(5\) នាក់ និងមានសំណុំរឿងឧក្រិដ្ឋចំនួន \(7\) ករណី ។ តើមានប៉ុន្មានរបៀបដែលនគរបាលម្នាក់ ត្រូវសើបអង្កេតសំណុំរឿងឧក្រិដ្ឋ \(1\) ករណីផ្សេងៗគ្នា?

មើលដំណោះស្រាយ

\({}_7P_5 = 2520\) ។

១៤លំហាត់ទី ១៤

តើគេអាចរើសសន្លឹកឆ្នោត \(4\) សន្លឹកពីសន្លឹកឆ្នោត \(50\) សន្លឹកបានប៉ុន្មានរបៀប ដើម្បីឱ្យសន្លឹកឆ្នោតនីមួយៗឈ្នះរង្វាន់ផ្សេងៗគ្នា?

មើលដំណោះស្រាយ

\({}_{50}P_4 = 5\,527\,200\) ។

១៥លំហាត់ទី ១៥

តើគេអាចបង្កើតប័ណ្ណសម្គាល់ខ្លួនដែលមាន \(6\) ខ្ទង់បានប៉ុន្មានរបៀបដោយលេខតាមខ្ទង់នីមួយៗប្រើបានតែមួយដងប៉ុណ្ណោះ?

មើលដំណោះស្រាយ

\({}_{10}P_6 = 151\,200\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២១ ចម្លាស់ (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត