អនុវត្តន៍ដេរីវេចំពោះសមីការនិងវិសមីការ

ការអនុវត្តដេរីវេចំពោះសមីការ

ដោយប្រើក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = f(x)\) គេអាចបញ្ជាក់បានដោយងាយពីអត្ថិភាពឫស ទីតាំងឫសធៀបនឹងចំនួន និងចំនួនឫសនៃសមីការ \(f(x) = \lambda\) ទៅតាមតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(\lambda\) ។

ការអនុវត្តដេរីវេចំពោះសមីការដឺក្រេទី 3

លំហាត់គំរូ

សិក្សាដោយប្រើក្រាបហ្វិកទៅតាមតម្លៃ \(m\) អត្ថិភាពនិងទីតាំងឫសនៃសមីការ \(x^3 - 3x - m = 0\) ធៀបនឹងចំនួន \(0\) និង \(1\) ។

ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី \(1\) ៖ សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = x^3 - 3x\) ។ គេបាន \(y' = 3x^2 - 3\) ។ បើ \(y' = 0\), \(3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\) ។ ចំពោះ \(x = -1\) គេបាន \(y = 2\) និងចំពោះ \(x = 1\) គេបាន \(y = -2\) ។ \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(x^3 - 3x) = +\infty\), \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(x^3 - 3x) = -\infty\) ។

ក្រាបប្រសព្វអ័ក្ស \((x'ox) \Rightarrow y = 0\) ៖ \(x^3 - 3x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) ឬ \(x = \pm\sqrt{3}\) ។

ជំហានទី \(2\) ៖ បំប្លែងសមីការឱ្យមានរាង \(f(x) = m\) ៖ \(x^3 - 3x = m\) ។

ជំហានទី \(3\) ៖ សង់បន្ទាត់ដេកមានសមីការ \(y = m\) នៅក្នុងតម្រុយតែមួយហើយនៅត្រង់ផ្នែកណាដែលបន្ទាត់ជួបក្រាបបានច្រើនចំណុចបំផុត ។

ជំហានទី \(4\) ៖ ប្រើក្រាបដើម្បីសិក្សាទៅតាមតម្លៃ \(m\) នូវអត្ថិភាពនិងទីតាំងឫសធៀបនឹងចំនួន \(0\) និង \(1\) ។ សន្មត \(x_1, x_2, x_3\) ជាឫសនៃសមីការដែល \(x_1 \le x_2 \le x_3\) ។

• បើ \(m > 2\) នោះសមីការមានឫសតែមួយគត់ \(x_3\) ដែល \(0 < 1 < x_3\) ។

• បើ \(m = 2\) នោះសមីការមានឫសដែល \(x_1 = x_2 = -1 < 0 < 1 < x_3\) ។

• បើ \(0 < m < 2\) នោះសមីការមានឫសបីផ្សេងគ្នាដែល \(x_1 < x_2 < 0 < 1 < x_3\) ។

• បើ \(m = 0\) នោះសមីការមានឫសបីផ្សេងគ្នាដែល \(x_1 < x_2 = 0 < 1 < x_3\) ។

• បើ \(-2 < m < 0\) នោះសមីការមានឫសបីផ្សេងគ្នាដែល \(x_1 < 0 < x_2 < 1 < x_3\) ។

• បើ \(m = -2\) នោះសមីការមានឫសដែល \(x_1 < 0 < 1 = x_2 = x_3\) ។

• បើ \(m < -2\) នោះសមីការមានឫសតែមួយគត់ដែល \(x_1 < 0 < 1\) ។

ការអនុវត្តដេរីវេចំពោះសមីការប៊ីការេ

ឧទាហរណ៍

អនុគមន៍ \(y = x^4 - 2x^2\) មានក្រាប \(C\) ។

1. សង់ក្រាប \(C\) នៃអនុគមន៍ ។

2. ដោយប្រើក្រាប \((C)\) សិក្សាទៅតាមតម្លៃ \(m\) អត្ថិភាពនិងចំនួនឫសនៃសមីការ \(x^4 - 2x^2 - m = 0\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)\) ។ \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) ឬ \(x = \pm 1\) ។ ចំពោះ \(x = 0\), \(y = 0\) និងចំពោះ \(x = \pm 1\), \(y = -1\) ។ \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}(x^4 - 2x^2) = \lim_{x \to \pm\infty} x^4\left(1 - \frac{2}{x^2}\right) = +\infty\) ។

   

   បើ \(x = 0\) នាំឱ្យ \(y = 0\) ។ បើ \(y = 0\), \(x^2(x^2 - 2) = 0\) នាំឱ្យ \(x = 0\) ឬ \(x = \pm\sqrt{2}\) ។

2. សមីការ \(x^4 - 2x^2 = m\) ៖

   • បើ \(m > 0\) នោះសមីការមានឫស \(2\) ផ្សេងគ្នា ។

   • បើ \(m = 0\) នោះសមីការមានឫស \(4\) គឺ \(0\) ជាឫសឌុប និងឫសពីរផ្សេងទៀតត្រង់ \(x = \pm\sqrt{2}\) ។

   • បើ \(-1 < m < 0\) នោះសមីការមានឫស \(4\) ផ្សេងគ្នា ។

   • បើ \(m = -1\) នោះសមីការមានឫសឌុប \(2\) ត្រង់ \(x = \pm 1\) ។

   • បើ \(m < -1\) នោះសមីការគ្មានឫស ។

លំហាត់គំរូ

គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 2\) និងក្រាប \(C\) ។ សិក្សាទៅតាមតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(\lambda\) អត្ថិភាពនិងទីតាំងឫសនៃសមីការ \(x^4 - 2x^2 + 2 = \lambda\) ធៀបនឹងចំនួន \(-1\) និង \(1\) តាមក្រាប ។

ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី \(1\) ៖ សមីការមានរាង \(x^4 - 2x^2 + 2 = \lambda\) ។ អនុគមន៍ \(f\) មានអប្បបរមា \(f(\pm 1) = 1\) និងអតិបរមាធៀប \(f(0) = 2\) ។

ជំហានទី \(2\) ៖ សង់បន្ទាត់ដេកមានសមីការ \(y = \lambda\) ។

ជំហានទី \(3\) ៖ សន្មត \(x_1, x_2, x_3\) និង \(x_4\) ជាឫសនៃសមីការដែល \(x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4\) ។ សិក្សាដោយប្រើក្រាបទៅតាមតម្លៃ \(\lambda\) ៖

• បើ \(\lambda > 2\) នោះសមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នាដែល \(x_1 < -1 < 1 < x_2\) ។

• បើ \(\lambda = 2\) នោះសមីការមានឫសបួនដែល \(x_1 < -1 < x_2 = x_3 = 0 < 1 < x_4\) ។

• បើ \(1 < \lambda < 2\) នោះសមីការមានឫសបួនផ្សេងគ្នាដែល \(x_1 < -1 < x_2 < x_3 < 1 < x_4\) ។

• បើ \(\lambda = 1\) នោះសមីការមានឫសបួនដែល \(x_1 = x_2 = -1 < x_3 = x_4 = 1\) ។

• បើ \(\lambda < 1\) នោះសមីការគ្មានឫសទេ ។

ការអនុវត្តដេរីវេចំពោះវិសមីការ

ការអនុវត្តដេរីវេចំពោះវិសមីការដឺក្រេទី 3

របៀបទី \(1\) ៖ ប្រើប្រាស់អនុគមន៍ \(y = x^3 + x + 2\) ។ \(y' = 3x^2 + 1 > 0\) ចំពោះ \(\forall x \in \mathbb{R}\) ។ \(y'' = 6x\), បើ \(y'' = 0\), \(6x = 0 \Rightarrow x = 0\) ។ \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(x^3 + x + 2) = +\infty\), \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(x^3 + x + 2) = -\infty\) ។ បើ \(x = 0\), \(y = 2\) ។ បើ \(y = 0\), \(x^3 + x + 2 = 0\) សមមូល \((x + 1)(x^2 - x + 2) = 0\) ឬ \(x = -1\) ព្រោះសមីការ \(x^2 - x + 2 = 0\) គ្មានឫស ។ តាមក្រាបគ្រប់ចំណុច \((x, y)\) ដែលមាន \(y > 0\) ត្រូវស្ថិតនៅផ្នែកខាងលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយត្រូវគ្នានឹង \(x > -1\) ។ ដូច្នេះ វិសមីការ \(x^3 + x + 2 > 0\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះ \(x > -1\) ។

របៀបទី \(2\) ៖ ប្រើទិសដៅអថេរភាពនៃអនុគមន៍ \(y = x^3 + x + 2\) ។ គេបាន \(y' = 3x^2 + 1 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) \(\Rightarrow\) អនុគមន៍ \(y\) ជាអនុគមន៍កើនលើ \(\mathbb{R}\) ។ បើ \(x > -1 \Rightarrow y(x) > y(-1)\) (លក្ខណៈអនុគមន៍កើន) ។ ដោយ \(y(-1) = (-1)^3 + (-1) + 2 = 0\) \(\Rightarrow y(x) > 0\) ។ ដូច្នេះ វិសមីការ \(x^3 + x + 2 > 0\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះ \(x > -1\) ។

លំហាត់គំរូ

អនុគមន៍ \(y = f(x) = x^3 - 3x + 2\) មានក្រាប \(C\) ។

1. ដោះស្រាយវិសមីការ \(x^3 - 3x + 2 < 0\) តាមក្រាប ។

2. បង្ហាញថា \(0 \le x^3 - 3x + 2 \le 4\) ចំពោះ \(x \in [-2, 2]\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. តាមក្រាប គ្រប់ចំណុច \((x, y)\) នៃក្រាបដែលមាន \(y < 0\) ត្រូវស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្រោមអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយត្រូវគ្នានឹង \(x < -2\) ។ ដូច្នេះ វិសមីការមានសំណុំចម្លើយ \(S = (-\infty, -2)\) ។

2. របៀបទី \(1\) ៖ តាមក្រាប ចំណុច \((x, y)\) នៃក្រាបដែលមាន \(x \in [-2, 2]\) ត្រូវស្ថិតលើក្រាបដែលនៅខាងលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស ជួបអ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ \(x = -2\) និង \(x = 1\) ហើយជួបបន្ទាត់ \(y = 4\) ត្រង់ \(x = -1\) និង \(x = 2\) ។ ដូច្នេះ \(0 \le y = x^3 - 3x + 2 \le 4\) ចំពោះ \(x \in [-2, 2]\) ។

   របៀបទី \(2\) ៖ ដោយមិនប្រើក្រាប (ករណីគ្មានក្រាប) ៖ ប្រើតារាងអថេរភាព ។ ដេរីវេ \(y' = 3x^2 - 3\) ។ បើ \(y' = 0\), \(3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) ។ តម្លៃបរមា ៖ \(y(-1) = 4\), \(y(1) = 0\) ។

   

   តាមតារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ខាងលើ គេបាន ៖ \(0 \le y = x^3 - 3x + 2 \le 4\) ចំពោះ \(x \in [-2, 2]\) ។

ការអនុវត្តដេរីវេចំពោះវិសមីការដែលអង្គទី 1 ជាកន្សោមប៊ីការេ

តាមក្រាប ចំណុច \((x, y)\) នៃក្រាបដែលមាន \(y \ge 0\) ត្រូវស្ថិតនៅផ្នែកខាងលើ ឬជួបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយត្រូវគ្នានឹង \(-1 \le x \le 1\) ។ ដូច្នេះ វិសមីការមានសំណុំឫស \(S = [-1, 1]\) ។

លំហាត់គំរូ

អនុគមន៍ \(y = -\dfrac{1}{2}x^4 + 3x^2 - \dfrac{5}{2}\) មានក្រាប \(C\) ។

1. ដោះស្រាយវិសមីការ \(-\dfrac{1}{2}x^4 + 3x^2 - \dfrac{5}{2} < 0\) តាមក្រាប ។

2. បង្ហាញថា \(0 < -\dfrac{1}{2}x^4 + 3x^2 - \dfrac{5}{2} \le 2\) ចំពោះ \(x \in (-\sqrt{5}, -1) \cup (1, \sqrt{5})\) តាមក្រាប ។

ដំណោះស្រាយ

1. តាមក្រាប វិសមីការ \(-\dfrac{1}{2}x^4 + 3x^2 - \dfrac{5}{2} < 0\) មានសំណុំឫស \(S = (-\infty, -\sqrt{5}) \cup (-1, 1) \cup (\sqrt{5}, +\infty)\) ។

2. តាមក្រាប ចំណុច \((x, y)\) នៃក្រាប \(C\) ដែលមាន \(0 < y \le 2\) ត្រូវស្ថិតនៅផ្នែកខាងលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយប៉ះនឹងបន្ទាត់ \(y = 2\) ដែលត្រូវគ្នានឹង \(x \in (-\sqrt{5}, -1) \cup (1, \sqrt{5})\) ។ ដូច្នេះ \(0 < -\dfrac{1}{2}x^4 + 3x^2 - \dfrac{5}{2} \le 2\) ចំពោះ \(x \in (-\sqrt{5}, -1) \cup (1, \sqrt{5})\) ។

មេរៀនសង្ខេប ជំពូកទី ៥

លំហាត់ជំពូកទី ៥

1. \(f\) ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ \(f(x) = \dfrac{3x^2 - 4x - 4}{x^2 - x - 2}\) បើ \(x > 2\), \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{\sqrt{x + 2} - 2}\) បើ \(x < 2\) និង \(f(2) = \dfrac{8}{3}\) ។ គណនា \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\), \(\displaystyle\lim_{x \to -2^+} f(x)\), \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)\) ។

2. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = \begin{cases} 5 - ax^2 & \text{បើ } x > 2\\ x + 1 & \text{បើ } x \le 2 \end{cases}\) ។ កំណត់តម្លៃ \(a\) ដើម្បីឱ្យ \(f\) មានលីមីតត្រង់ \(x = 2\) ។

3. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} & \text{បើ } x > 1\\ \dfrac{m^2 + m - 7}{2} + 2x - 2 & \text{បើ } x \le 1 \end{cases}\) ។ តើតម្លៃ \(m\) ស្មើប៉ុន្មានដែលធ្វើឱ្យ \(f\) ជាអនុគមន៍មានលីមីតត្រង់ \(x = 1\) ។

4. គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

   1. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - 5x + 6}{9 - x^2}\)

   2. \(\displaystyle\lim_{x \to -5}\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 4x - 5}\)

   3. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x^2 - 2x}\)

   4. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}{x^3 - 4x^2 + 4x}\)

   5. \(\displaystyle\lim_{x \to 5}\frac{\sqrt{x - 1} - 2}{x - 5}\)

   6. \(\displaystyle\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{2x + 1} - 3}{\sqrt{x} - 2}\)

5. គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

   1. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}\)

   2. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 6}}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{8 - 2x}}\)

   3. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - x - 6}{\sqrt{x + 6} - 3}\)

   4. \(\displaystyle\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 12} - \sqrt{x} - 2}\)

   5. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{1}{x - 1}\left(x + 1 + \frac{2}{x - 2}\right)\)

   6. \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x^2 + 3x}{|x|}\)

6. គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

   1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{1 + 2\sqrt{x} - x}{x + 2}\)

   2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{x^2 + 5x} - 3}{2x + 1}\)

   3. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{(x - 1)^2(7x^2 + 2)}{(2x + 3)^4}\)

   4. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(x - \sqrt{x^2 + 3})\)

   5. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2 + 2x} + x - 1)\)

   6. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(x + 1 - \sqrt{x^2 + 3x})\)

7. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

   1. \(y = (x^2 + 1)(x^3 - 2x + 4)\)

   2. \(y = \dfrac{1}{x^4} + 2\sqrt{x} + \dfrac{7}{\sqrt[3]{x}}\)

   3. \(y = \dfrac{x^2 + 2x - 2}{x^2 + 1}\)

   4. \(y = \dfrac{1}{(x^2 + x + 1)^2}\)

   5. \(y = x\sqrt{x} + \sqrt[5]{x^3}\)

   6. \(y = (x^2 + 3x - 2)^{10}\)

8. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

   1. \(y = \sqrt{9 - x^2}\)

   2. \(y = (x^2 - x)^2(x + 1)\)

   3. \(y = \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 1}}\)

   4. \(y = x\sqrt[3]{1 + x^2}\)

9. កំណត់តម្លៃ \(a\) ដើម្បីឱ្យលីមីត \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x + a} - 3}{x^2 - 5x + 6}\) ជាចំនួនកំណត់ ។

10. កំណត់តម្លៃ \(a\) និង \(b\) ដើម្បីឱ្យលីមីត \(\displaystyle\lim_{x \to 8}\frac{ax^2 + bx + 8}{\sqrt[3]{x} - 2} = 84\) ។

11. រកតម្លៃអតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖ ក. \(y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1\) ខ. \(y = x^4 - 4x^2 + 5\) ។

12. រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ \(y = 2x^3 + 3(m - 1)x^2 + 6(m - 2)x - 1\) មានអតិបរមាធៀបមួយនិងអប្បបរមាធៀបមួយ ។

13. រកចំណុចរបត់នៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

    1. \(y = x^3 - 8\)

    2. \(y = -\dfrac{x^3}{3} + 3x^2 - 9x + 5\)

    3. \(y = x^3 + 6x^2 + 9x + 7\)

    4. \(y = -\dfrac{x^4}{12} + 2x^2 - 3\)

14. គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = (m^2 - 2)x^3 + (m + 4)x^2\) ។ ក. កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍នេះមាន \(I(1, 2)\) ជាចំណុចរបត់ ។ ខ. ចំពោះតម្លៃ \(m\) ដែលបានរកឃើញ ចូរសិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាប \(C\) តាងអនុគមន៍នេះ ។

15. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាប \(C\) តាងអនុគមន៍ \(y = x^3 - 3x^2 - 6x + 8\) ។

16. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាប \(C\) តាងអនុគមន៍ \(y = \dfrac{2x - 1}{x + 2}\) ។

17. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

    1. \(y = x^3 - 3x\)

    2. \(y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 4\)

    3. \(y = x^4 - 5x^2 + 4\)

    4. \(y = -x^4 + 3x^2 - 5\)

    5. \(y = \dfrac{2x - 2}{x - 2}\)

    6. \(y = \dfrac{3 - 2x}{x + 1}\)

18. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = x^2\) និង \(h\) ជាចំនួនពិតខុសពីសូន្យ ។ រកតម្លៃ \(\alpha\) ដើម្បីឱ្យ \(f(x_0 + h) = f(x_0) + h\cdot f'(x_0 + \alpha h)\) ។

19. បន្ទាត់ \(T\) មួយប៉ះនឹងក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = x^3\) ត្រង់ចំណុច \(M\) មួយ ហើយជួបអ័ក្សអាប់ស៊ីសនិងអ័ក្សអរដោនេរៀងគ្នាត្រង់ចំណុច \(A\) និង \(B\) ។ រកផលធៀប \(AM : BM\) ។

20. គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 2\) ។ ក. គណនា \(y'\) និងសិក្សាសញ្ញានៃ \(y'\) ។ ខ. សង់តារាងអថេរភាព និងក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y\) ។

21. ប៉ារ៉ាបូលតាង \(y = 9 - x^2\) កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ចំណុច \(E\) និង \(F\) ។ ចតុកោណព្នាយ \(EFGH\) ចារឹកក្នុងប៉ារ៉ាបូល ហើយមានអង្កត់ \(EF\) ជាបាតធំ និង \(GH\) ជាបាតតូច ។ ក. រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(G\) និង \(H\) ដើម្បីឱ្យចតុកោណព្នាយមានផ្ទៃក្រឡាធំបំផុត ។ ខ. គណនាផ្ទៃក្រឡាធំបំផុតនោះ ។

22. ក. ក្រាប \(C_1\) នៃអនុគមន៍ \(y = x^3 + ax\) និង \(C_2\) នៃ \(y = x^2 + bx + c\) កាត់គ្នាត្រង់ \(A(1, 2)\) ហើយមានបន្ទាត់ប៉ះរួមត្រង់ចំណុចនោះ ។ រកតម្លៃ \(a, b\) និង \(c\) ។ ខ. ចំពោះតម្លៃនៃចំនួនពិត \(a, b\) និង \(c\) ដែលរកឃើញ សង់ក្រាប \(C_1\), \(C_2\) និងបន្ទាត់ប៉ះរួមត្រង់ \(A\) ។

23. ក. រកតម្លៃ \(k\) ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 2kx\) គ្មានបរមា ។ ខ. រកតម្លៃ \(a\) ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ \(y = x^4 + 2ax^2 + a\) មានអតិបរមា និងអប្បបរមា ។

24. រកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ \(y = 2x^3 - 3ax^2 + 1\) លើចន្លោះ \(0 \le x \le 3\) ដែល \(a > 0\) ។

25. គេឱ្យចតុមុខនិយ័ត \(ABCD\) មួយដែលមានទ្រនុង \(12\) cm ។ ចំណុច \(M, N, P\) ស្ថិតនៅលើទ្រនុង \(AB, AC, AD\) រៀងគ្នា ហើយមានចម្ងាយ \(x\) ដូចគ្នាពីកំពូល \(A\) ។ ចំណុច \(M', N', P'\) ជាចំណោលកែងនៃ \(M, N, P\) រៀងគ្នាទៅលើបាត \(BCD\) ។ រកតម្លៃ \(x\) បើគេដឹងថាព្រីសត្រីមុខនិយ័ត \(MNP\cdot M'N'P'\) មានមាឌធំបំផុត ។

26. គេឱ្យសមីការ \(2x^3 - 3x^2 - 12x - k = 0\)  \((E)\) ។ ក. រកតម្លៃ \(k\) ដើម្បីឱ្យ \((E)\) មានឫសបីផ្សេងគ្នា ។ ខ. ដោះស្រាយវិសមីការ \(2x^3 - 3x^2 - 12x - k \le 0\) តាមក្រាប ។

27. អនុគមន៍ \(f(x) = x^2(6 - 3x^2)\) មានក្រាប \(C\) ។ ក. រកតម្លៃ \(P\) ដើម្បីឱ្យសមីការ \(f(x) = P\) មានឫសបួនផ្សេងគ្នាតាមក្រាប ។ ខ. បង្ហាញថា \(0 \le 6x^2 - 3x^4 < 3\) ចំពោះ \(x \in (-1, 1)\) ។

28. គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

    1. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}[(x^2 + 4x + 2)(3 - x^2)]\)

    2. \(\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{3x^2 - x - 4}{(2x + 5)^2}\)

    3. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{2x^2 - 5x + 3}{x^2 + x - 2}\)

    4. \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x^2 + x}{|x|}\)

    5. \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{2x^2 + |x|}{|x|}\)

    6. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x}{x^2 + 1}\)

    7. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^3 - 27}{x - 3}\)

    8. \(\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 3}\)

    9. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^{100} - 7x + 6}{x^{50} + 3x - 4}\)

    10. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^3 - 4x + 3}{x^3 - x^2 + 2x - 2}\)

    11. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{2x - 1} - 1}{x - 1}\)

    12. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{3x - 3}{1 + \sqrt[3]{x - 2}}\)

    13. \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[m]{ax + 1}\,\sqrt[n]{bx + 1} - 1}{x}\)

    14. \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{x^2 - 1}{x^2 + 3}\)

    15. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-x^2 + x + 1}{2x + 1}\)

    16. \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{\sqrt{4x^2 + 3} - 2x}{\sqrt{x^2 + 4} + 2x}\)

    17. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(\sqrt{x^2 + x + 1} - x)\)

    18. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{4x^2 + 4} + x)\)

    19. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(\sqrt{x^2 + 3} - \sqrt{x^2 - 2x})\)

29. ក. គេឱ្យ \(f(x) = x^2 - 2x\) ។ ចូរគណនា \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}\) ។ ខ. \(f\) ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ \(f(x) = ax^2 + bx + c\) ។ ចូររក \(\displaystyle\lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) ។

30. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

    1. \(f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 5x\)

    2. \(f(x) = (2x - 3)(3x + 2)\)

    3. \(f(x) = (2x^2 - 5)^2\)

    4. \(y = (2x^3 + 1)^5 + (x^2 - 3)^3\)

    5. \(y = \dfrac{2x - 3}{5x + 1}\)

    6. \(y = (2x^2 - 3)(3x^2 + 2)\)

    7. \(y = \dfrac{2x^2 - 3x + 4}{x - 2}\)

    8. \(y = \dfrac{-3x^2 + 5x + 4}{3x - 2}\)

31. ក. គណនា \(f'(x)\) និង \(f'(1)\) នៃអនុគមន៍ \(f(x) = \dfrac{x^4}{2} + 2x\) ។ ខ. គណនាដេរីវេ \(y'\), \(y'(0)\) និង \(y'(1)\) នៃអនុគមន៍ \(y = \sqrt[3]{x^2 - 4x + 3}\) ។ គ. គណនាដេរីវេ \(\dfrac{dy}{dx}\) និង \(\dfrac{dy}{dx}\left(\dfrac{1}{2}\right)\) នៃអនុគមន៍ \(y = x^5 - x^4 + 4x^2 - 3x + 2\) ។ ឃ. គណនាដេរីវេ \(y'(1)\) នៃអនុគមន៍ \(y = \dfrac{x^2 - 3x + 5}{x - 3}\) ។ ង. គណនាដេរីវេ \(y'(0)\) នៃអនុគមន៍ \(y = \dfrac{(5 - 2x)(2x + 1)}{3x - 2}\) ។

32. ក. គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = \dfrac{x + 3}{x - 1}\) ។ គណនា \(y'\) និង \(y'(-1)\) ។ ខ. គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = \dfrac{x + 1}{x^2}\) ។ គណនា \(y'\) និង \(y'(1)\) ។ គ. គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = \dfrac{(x + 1)(2 - x)}{2x - 1}\) ។ គណនា \(y'\) និង \(y'(0)\) ។

33. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = 2x^3 - 12x + 3\) ។ ក. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(f'(x) = 0\) ខ. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(f''(x) = 12\) ។

34. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6\) ។ ក. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(f'(x) = 1\) ខ. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(f''(x) = 0\) ។

35. អនុគមន៍ \(f\) កំណត់ដោយ \(f(x) = -4x^3 + x^2 + 14x - 1\) ។ ក. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(f'(x) = 0\) ហើយសិក្សាសញ្ញានៃ \(f'(x)\) ខ. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(f''(x) = 0\) ហើយសិក្សាសញ្ញានៃ \(f''(x)\) ។

36. គេឱ្យក្រាប \(C : y = f(x) = x^2 - x + 1\) ។ រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះគូសពីចំណុច \(A(1, 3)\) ប៉ះទៅនឹងក្រាប \(C\) ។

37. អនុគមន៍ \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 5\) មានក្រាប \(C\) ។ ក. រកសមីការបន្ទាត់ \(L\) ដែលប៉ះក្រាប \(C\) ត្រង់ចំណុចអាប់ស៊ីស \(-2\) ។ ខ. រកសមីការបន្ទាត់ដែលមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(-4\) ហើយប៉ះនឹងក្រាប \(C\) ។

38. ក. រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ \(y = x^3 + mx^2 - mx + 2\) មានអតិបរមានិងអប្បបរមាធៀប ។ ខ. រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ \(y = x^3 + 2mx^2 + mx - 3\) មានអតិបរមានិងអប្បបរមាធៀប ។

39. រកតម្លៃអតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖ ក. \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 2\) ខ. \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2\) គ. \(f(x) = x^4 - 4x^2 + 2\) ។

40. អនុគមន៍ \(f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3bx + 2\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 1\) និងអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) ។ ក. រកតម្លៃនៃចំនួនពិត \(a\) និង \(b\) ខ. រកផលដករវាងតម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមាធៀបនៃ \(f\) ។

41. អនុគមន៍ \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 0\) និងអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 1\) ។ ក. រកតម្លៃនៃចំនួនពិត \(a\) និង \(b\) ខ. រកផលដករវាងតម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមាធៀបនៃ \(f\) ។

42. អនុគមន៍ \(y = 3x^2 - 4x + 1\) កំណត់នៅលើ \(\mathbb{R}\) និងមានក្រាប \((C)\) ។ ក. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹង \((C)\) ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ \(y = -\dfrac{x}{5} + 2\) ។ ខ. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹង \((C)\) ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ \(y = x + 5\) ។

43. អនុគមន៍ \(f(x) = 2x^3 - 16x + 11\) មានក្រាប \((C)\) ។ ក. រកសមីការបន្ទាត់ \((L)\) ដែលប៉ះនឹងក្រាប \((C)\) ត្រង់ចំណុច \(A(2, -5)\) ។ ខ. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះដែលមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(-10\) ហើយប៉ះនឹងក្រាប \((C)\) ។

44. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = 4x^3 + 9x^2 - 30x + 1\) មានក្រាប \((C)\) ។ ក. គណនាលីមីតពេល \(x\) ខិតជិត \(1\) ខ. គណនាដេរីវេទី \(1\) នៃ \(f(x)\) គ. រកកូអរដោនេនៃគ្រប់ចំណុចប៉ះនៃក្រាប \((C)\) ដែលមានបន្ទាត់ប៉ះជាបន្ទាត់ដេក ឃ. រកសមីការនៃបន្ទាត់ប៉ះទាំងនោះ ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ៥៤–៧៦។

លំហាត់អនុវត្តន៍

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។