ការបំប្លែងចាំង

រូបមន្តនៃការបំប្លែងចាំងផ្ចិត \(O(0, 0)\) ផលធៀប \(c = 3\) គឺ៖

ការបំប្លែងទំហំ \((x, y) \to \left(\dfrac{1}{2}x, \, \dfrac{1}{2}y\right)\) ជាការបំប្លែងចាំងផ្ចិត \(O(0, 0)\) ផលធៀប \(c = \dfrac{1}{2}\) (បង្រួម ២ ដង)៖

ក.  \((2, 6) \to \left(\dfrac{2}{2}, \, \dfrac{6}{2}\right) = (1, 3)\)
ខ.  \((-3, 2) \to \left(-\dfrac{3}{2}, \, \dfrac{2}{2}\right) = (-1.5, 1)\)
គ.  \((-4, -8) \to \left(-\dfrac{4}{2}, \, -\dfrac{8}{2}\right) = (-2, -4)\)
ឃ.  \((p, q) \to \left(\dfrac{p}{2}, \, \dfrac{q}{2}\right)\)

\(\Delta LMN\) មានកំពូល \(L(1, 1), M(6, 1), N(6, 5)\)។

ការបំប្លែងចាំងផ្ចិត \(O(0, 0)\) ផលធៀប \(c = -2\) មានរូបមន្ត \((x, y) \to (-2x, \, -2y)\)៖

\(\Delta ABC\) មានកំពូល \(A(-2, -1), B(-2, 2), C(4, -1)\) និងផលធៀបចាំង \(c = 3\) ផ្ចិត \(O(0, 0)\)។

១. រករូបភាពនៃកំពូលទាំងបី៖ តាមរូបមន្ត \((x, y) \to (3x, \, 3y)\)៖

• ក្នុង \(\triangle ABC\)៖ ជ្រុង \([AB]\) ឈរ (\(x = -2\)) មានប្រវែង \(AB = 2 - (-1) = 3\)។ ជ្រុង \([AC]\) ដេក (\(y = -1\)) មានប្រវែង \(AC = 4 - (-2) = 6\)។ ដោយ \([AB] \perp [AC]\) នាំឱ្យ \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\)។

  \[S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9 \text{ ឯកតាផ្ទៃ}\]

• ក្នុង \(\triangle A'B'C'\)៖ \(A'B' = 6 - (-3) = 9\) និង \(A'C' = 12 - (-6) = 18\)។

  \[S_{A'B'C'} = \frac{1}{2} A'B' \times A'C' = \frac{1}{2} \times 9 \times 18 = 81 \text{ ឯកតាផ្ទៃ}\]

ផលធៀបផ្ទៃក្រឡាគឺ៖

ការបំប្លែងចាំងផ្ចិត \(O\) ផលធៀប \(c = 2\) មានរូបមន្ត៖

រូបភាពនៃចំណុច \(A(9, 3)\) តាមការបំប្លែងចាំងផ្ចិត \(O\) ផលធៀប \(c\) គឺ \(A'(6, 2)\)។

តាមនិយមន័យនៃការបំប្លែងចាំងផ្ចិត \(O\)៖

រូបភាពនៃចំណុច \((-8, -6)\) តាមការបំប្លែងចាំងផ្ចិត \(O\) ផលធៀប \(c\) គឺ \((-8c, \, -6c)\)៖

ក.  ចំពោះ \(c = 2\)៖

រូបភាពនៃ \((4, 6)\) គឺ \((6, 9)\) នាំឱ្យផលធៀបចាំងគឺ៖

ក.  \((0, 2) \to \left(\dfrac{3}{2}(0), \, \dfrac{3}{2}(2)\right) = (0, 3)\)
ខ.  \((8, 0) \to \left(\dfrac{3}{2}(8), \, \dfrac{3}{2}(0)\right) = (12, 0)\)
គ.  \((10, 4) \to \left(\dfrac{3}{2}(10), \, \dfrac{3}{2}(4)\right) = (15, 6)\)
ឃ.  \((-2, -6) \to \left(\dfrac{3}{2}(-2), \, \dfrac{3}{2}(-6)\right) = (-3, -9)\)

បន្ទាត់ \((L): 2x + 3y = 6\)។

ក.  រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ \(A\) និង \(B\)៖

• ប្រសព្វជាមួយ \(Ox\) (\(y = 0\))៖ \(2x = 6 \implies x = 3 \implies A(3, 0)\)

• ប្រសព្វជាមួយ \(Oy\) (\(x = 0\))៖ \(3y = 6 \implies y = 2 \implies B(0, 2)\)

ខ.  រកកូអរដោនេ \(A'\) និង \(B'\) តាម \(h_{(O, -2)}\)៖ រូបមន្តគឺ \((x, y) \to (-2x, \, -2y)\)៖

សមីការបន្ទាត់ \((L')\)៖

ចតុកោណកែង \(ABCD\) មាន \(A(1, 1)\), \(B(4, 1)\), \(C(4, 3)\), \(D(1, 3)\)
ពង្រីកតាម \(h_{(O, 3)}\) (\(c = 3\))។

ក.  រកកូអរដោនេនៃកំពូលរូបភាព \(A', B', C', D'\)៖ រូបមន្ត \((x, y) \to (3x, 3y)\)៖

• រូបដើម \(ABCD\) មានបណ្តោយ \(a = 4 - 1 = 3\) និងទទឹង \(b = 3 - 1 = 2\)៖

  \[P = 2(3 + 2) = 10 \text{ ឯកតា}, \quad{} S = 3 \times 2 = 6 \text{ ឯកតាផ្ទៃ}\]

• រូបភាព \(A'B'C'D'\) មានបណ្តោយ \(a' = 12 - 3 = 9\) និងទទឹង \(b' = 9 - 3 = 6\)៖

  \[\begin{aligned} P' &= 2(9 + 6) = 30 \text{ ឯកតា} \\ S' &= 9 \times 6 = 54 \text{ ឯកតាផ្ទៃ} \end{aligned}\]

ផលធៀបបរិមាត្រ៖ \(\dfrac{P'}{P} = \dfrac{30}{10} = 3 = c\) (កើន \(3\) ដង)។

ផលធៀបផ្ទៃក្រឡា៖ \(\dfrac{S'}{S} = \dfrac{54}{6} = 9 = c^2 = 3^2\) (កើន \(9\) ដង)។

ផែនទីបង្រួមតាមមាត្រដ្ឋាន \(1 : 4\) ពោលគឺការបំប្លែងចាំងផលធៀប \(k = \dfrac{1}{4} = 0.25\)។

ក.  កូអរដោនេថ្មីនៃកំពូលត្រីកោណ៖ គ្រប់កូអរដោនេនៃកំពូលត្រូវគុណនឹងផលធៀប \(k = \dfrac{1}{4}\)៖

ចំណុច \(P(-1, 3)\)។ រករូបភាពឆ្លុះក្នុងករណីនីមួយៗ៖

ក.  ធៀបនឹង \(y = -x\)៖ \((x', y') = (-y, -x) = (-3, 1)\)
ខ.  ធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស (\(Ox\))៖ \((x', y') = (x, -y) = (-1, -3)\)
គ.  ធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ (\(Oy\))៖ \((x', y') = (-x, y) = (1, 3)\)
ឃ.  ធៀបនឹង \(y = x\)៖ \((x', y') = (y, x) = (3, -1)\)
ង.  ធៀបនឹង \(y = -1\)៖ \(x' = -1, y' = 2(-1) - 3 = -5 \implies (-1, -5)\)
ច.  ធៀបនឹង \(x = -1\)៖ \(x' = 2(-1) - (-1) = -1, y' = 3 \implies (-1, 3)\)

ចំណុច \(A(1, 4)\)។ រករូបភាពឆ្លុះក្នុងករណីនីមួយៗ៖

ក.  ធៀបនឹង \(x = 0\) (\(Oy\))៖ \((-1, 4)\)
ខ.  ធៀបនឹង \(y = 0\) (\(Ox\))៖ \((1, -4)\)
គ.  ធៀបនឹង \(y = x\)៖ \((4, 1)\)
ឃ.  ធៀបនឹង \(y = -x\)៖ \((-4, -1)\)
ង.  ធៀបនឹង \(y = 2\)៖ \(x' = 1, y' = 2(2) - 4 = 0 \implies (1, 0)\)
ច.  ធៀបនឹង \(x = -1\)៖ \(x' = 2(-1) - 1 = -3, y' = 4 \implies (-3, 4)\)

ការបំប្លែងបណ្តាក់៖ ឆ្លុះធៀបនឹង \(x = 3\) រួចបន្តឆ្លុះកណ្តាលត្រង់ \(O(0, 0)\)៖

- ឆ្លុះធៀបនឹង \(x = 3\)៖ \(x_1 = 2(3) - x = 6 - x, y_1 = y\)។

- ឆ្លុះធៀបនឹង \(O(0, 0)\)៖ \(x' = -x_1 = -(6 - x) = x - 6, y' = -y_1 = -y\)។

កន្សោមបំប្លែងសរុបគឺ \((x', y') = (x - 6, \, -y)\)៖

ក.  \((1, 1) \to (1 - 6, -1) = (-5, -1)\)
ខ.  \((-1, 2) \to (-1 - 6, -2) = (-7, -2)\)
គ.  \((3, -1) \to (3 - 6, -(-1)) = (-3, 1)\)
ឃ.  \((2, 0) \to (2 - 6, 0) = (-4, 0)\)
ង.  \((0, 0) \to (0 - 6, 0) = (-6, 0)\)

ការបំប្លែងបណ្តាក់៖ ឆ្លុះធៀបនឹង \(y = 1\) រួចបន្តឆ្លុះធៀបនឹង \(y = x\)៖

- ឆ្លុះធៀបនឹង \(y = 1\)៖ \(x_1 = x, y_1 = 2(1) - y = 2 - y\)។

- ឆ្លុះធៀបនឹង \(y = x\)៖ \(x' = y_1 = 2 - y, y' = x_1 = x\)។

កន្សោមបំប្លែងសរុបគឺ \((x', y') = (2 - y, \, x)\)៖

ក.  \((3, 3) \to (2 - 3, 3) = (-1, 3)\)
ខ.  \((2, -1) \to (2 - (-1), 2) = (3, 2)\)
គ.  \((-1, 4) \to (2 - 4, -1) = (-2, -1)\)
ឃ.  \((0, 1) \to (2 - 1, 0) = (1, 0)\)
ង.  \((0, 0) \to (2 - 0, 0) = (2, 0)\)

ការបំប្លែងដែលរក្សាប្រវែងអង្កត់ និងបង្កើតរូបភាពប៉ុនរូបដើម ហៅថា អ៊ីសូមេទ្រី (Isometry) រួមមាន៖ ការបំប្លែងកិល, ការបំប្លែងឆ្លុះ, និងការបំប្លែងវិល។

ផ្ទុយទៅវិញ ការបំប្លែងទំហំ (Homothety/Dilation) ធ្វើឱ្យរូបភាពពង្រីក ឬបង្រួមតាមផលធៀប \(k\) ដែលមិនស្មើ \(\pm 1\) ហេតុនេះរូបភាពមិនប៉ុនរូបដើមឡើយ។

ដូចនេះ ចម្លើយត្រឹមត្រូវគឺ៖

ការបំប្លែងដែលមិនរក្សាចម្ងាយ (Non-isometric transformation) គឺការបំប្លែងណាដែលចម្ងាយរវាងចំណុចពីរនៃរូបភាព \(A'B'\) មិនស្មើនឹងចម្ងាយរវាងចំណុចដើម \(AB\)។

ការបំប្លែងទំហំ (Dilation) មាន \(A'B' = |k| AB\)។ ប្រសិនបើ \(|k| \ne 1\) នោះចម្ងាយមិនត្រូវបានរក្សាទុកឡើយ។

ដូចនេះ ចម្លើយត្រឹមត្រូវគឺ៖

ពិនិត្យកន្សោមបំប្លែងនៃជម្រើសនីមួយៗចំពោះចំណុច \(P(x, y)\)៖

• a. បំប្លែងឆ្លុះតាមគល់ \(O\)៖ \(P'( -x, -y )\)

• b. បំប្លែងកិល៖ \(P'( x - 1, y - 1 )\)

• c. បំប្លែងទំហំផ្ចិត \(O\) ផលធៀប \(-1\)៖ \(P'( -1 \cdot x, -1 \cdot y ) = P'( -x, -y )\)

• d. បំប្លែងវិល \(180^\circ\) ពីគល់ \(O\)៖ \(P'( -x, -y )\)

យើងឃើញថា a, c, និង d សុទ្ធតែផ្ដល់រូបភាព \((-x, -y)\) ដូចគ្នាទាំងអស់ មានតែជម្រើស b មួយគត់ដែលផ្ដល់ \((x - 1, y - 1)\)។

ដូចនេះ ការបំប្លែងដែលមិនសមមូលនឹងបីទៀតគឺ៖

ចំណុច \((1, 3)\) បំប្លែងកិលតាម \(\vec{a} = (2, 3)\) បានចំណុចរូបភាព \(M'\)៖

ចតុកោណព្នាយកែង \(ABCD\) មាន \(A(3, -2)\), \(B(7, -2)\), \(C(9, -7)\), \(D(3, -7)\) ។

ក.  រូបភាពតាមការបំប្លែងវិល \(R_{(O, 90^\circ)}\)៖ រូបមន្តគឺ \((x, y) \to (-y, x)\)៖

រូបភាពតាមការបំប្លែងវិល \(R_{(O, 180^\circ)}\) គឺ \(A'(-4, 1)\), \(B'(-1, 4)\), \(C'(-5, -8)\) ។

ការបំប្លែងវិលច្រាសនៃ \(R_{(O, 180^\circ)}\) គឺ \(R_{(O, 180^\circ)}\) ដដែល ដែលមានរូបមន្ត \((x, y) = (-x', -y')\)។

កូអរដោនេកំពូលដើមមុនពេលធ្វើបំប្លែងវិលគឺ៖

ចតុកោណកែង \(RECT\) មាន \(R(-5, 4)\), \(E(-5, -2)\), \(C(-3, -2)\), \(T(-3, 4)\) ។

ក.  រូបភាពតាមការវិល \(R_{(O, -90^\circ)}\)៖ រូបមន្ត \((x, y) \to (y, -x)\)៖

ក.  បង្ហាញថា \(G' = h_{(O, k)}(G)\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃ \(\Delta A'B'C'\)៖ តាមនិយមន័យនៃការបំប្លែងចាំង \(h_{(O, k)}\)៖

សមភាពនេះបញ្ជាក់ថា \(G'\) គឺជាភាពនៃ \(G\) តាមការបំប្លែងចាំង \(h_{(O, k)}\)។

ខ.  គណនាផ្ទៃក្រឡា \(S'\) ជាអនុគមន៍នៃ \(k\) និង \(S\)៖ ការបំប្លែងចាំងគុណគ្រប់ប្រវែងអង្កត់នឹង \(|k|\) នាំឱ្យបាតគុណនឹង \(|k|\) និងកម្ពស់គុណនឹង \(|k|\)។

ដូចនេះ ផ្ទៃក្រឡារូបភាពគឺ៖

ចំណុច \(A(2, -3)\) និងផ្ចិតចាំង \(O(0, 0)\)។ រូបមន្តបំប្លែងចាំងគឺ \(A'(ka, kb)\)៖

ក.  ផលធៀប \(k = 3\) (ពង្រីក ៣ ដង)៖

ចំណុច \(M(5, 3)\) ផ្ចិតចាំង \(I(1, -1)\) ផលធៀប \(k = 2\)។

តាមនិយមន័យនៃការបំប្លែងចាំង \(h_{(I, k)}\)៖

បន្ទាត់ \((d): 2x - 3y + 6 = 0\)។

ការបំប្លែងចាំងផ្ចិត \(O(0, 0)\) ផលធៀប \(k = 2\) មានរូបមន្ត៖

បង្ហាញថា \((d') \parallel (d)\)៖ បន្ទាត់ \((d)\) និង \((d')\) មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ដូចគ្នាគឺ \(\vec{n} = (2, -3)\) ដែលបញ្ជាក់ថាមេគុណប្រាប់ទិសស្មើគ្នា \(m = \dfrac{2}{3}\)។ ដោយសារតួថេរខុសគ្នា (\(6 \ne 12\)) នាំឱ្យ \((d') \parallel (d)\)។

រង្វង់ \((C): (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4\)។

ក.  កំណត់ផ្ចិត \(I\) និងកាំ \(R\) នៃ \((C)\)៖

• ផ្ចិត \(I(2, -1)\)

• កាំ \(R = \sqrt{4} = 2\)

ខ.  រកសមីការរង្វង់ \((C')\) តាមការបំប្លែងចាំង \(h_{(O, 3)}\)៖

• ផ្ចិតថ្មី \(I'\) ជារូបភាពនៃ \(I\) តាម \(h_{(O, 3)}\)៖

  \[I'(3(2), \, 3(-1)) = I'(6, -3)\]

• កាំថ្មីនៃ \((C')\)៖

  \[R' = |k| \times R = 3 \times 2 = 6\]

សមីការរង្វង់ \((C')\) គឺ៖

ចំណុច \(A(1, 2)\) មានរូបភាព \(A'(4, 8)\) តាម \(h_{(O, k)}\)។

ក.  កំណត់ផលធៀបចាំង \(k\)៖ តាមនិយមន័យ \(\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA}\)៖

ខ.  រករូបភាពនៃចំណុច \(B(-2, 5)\) តាម \(h_{(O, 4)}\)៖

ការបំប្លែងចាំងពីរមានផ្ចិតរួម \(O\) គឺ \(h_1 = h_{(O, 2)}\) និង \(h_2 = h_{(O, -3)}\)។

ក.  កំណត់ការបំប្លែងបណ្តាក់ \(h_2 \circ h_1\)៖ ចំពោះគ្រប់ចំណុច \(M\) ក្នុងប្លង់៖

ការបំប្លែងចាំងច្រាស \((h_{(I, k)})^{-1}\) គឺជាការបំប្លែងដែលប្លែងចំណុចរូបភាព \(M'\) ឱ្យត្រឡប់មកចំណុចដើម \(M\) វិញ៖

ត្រីកោណ \(ABC\) មានផ្ទៃក្រឡា \(S = 12\text{ cm}^2\) និងផលធៀបចាំង \(k = -2\)។

ក.  គណនាផលធៀបនៃជ្រុង \(\dfrac{A'B'}{AB}\)៖ តាមលក្ខណៈនៃការបំប្លែងចាំង ប្រវែងអង្កត់រូបភាពស្មើនឹងប្រវែងអង្កត់ដើមគុណនឹង \(|k|\)៖

ចំណុច \(A(2, 1)\) និងភាពរបស់វា \(A'(8, 7)\) តាម \(h_{(I, 3)}\) (\(k = 3\))។

តាមនិយមន័យនៃការបំប្លែងចាំងផ្ចិត \(I(a, b)\)៖

បន្ទាត់ \((d): 4x + y - 8 = 0\) និង \(h_{(I, -1)}\) ដោយ \(I(1, 2)\)។

ការបំប្លែងចាំងផលធៀប \(k = -1\) គឺជាការបំប្លែងឆ្លុះកណ្តាលធៀបនឹងផ្ចិត \(I\) (\(S_I\)) ដែលនាំឱ្យ \(I\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \([MM']\)៖

យកចំណុច \(M\) ណាមួយក្នុងប្លង់ និងតាង \(M' = h_{(I, -1)}(M)\)។

តាមនិយមន័យនៃការបំប្លែងចាំង \(h_{(I, -1)}\)៖

តាមនិយមន័យនៃការបំប្លែងឆ្លុះកណ្តាលធៀបនឹងចំណុច \(I\) (\(S_I\)) រូបភាពនៃចំណុច \(M\) គឺជាចំណុច \(M'\) ដែលធ្វើឱ្យ \(I\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \([MM']\) ដែរ។

ដោយសារការបំប្លែងទាំងពីរផ្ដល់លទ្ធផលដូចគ្នាចំពោះគ្រប់ចំណុច \(M\) យើងសន្និដ្ឋានបានថា៖

រង្វង់ \((C_1): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4\) មានផ្ចិត \(I_1(1, 2)\) និងកាំ \(R_1 = 2\)។

រង្វង់ \((C_2): (x - 7)^2 + (y - 5)^2 = 16\) មានផ្ចិត \(I_2(7, 5)\) និងកាំ \(R_2 = 4\)។

ក.  ផលធៀបនៃកាំ៖

គ.  ផ្ចិតចាំងខាងក្នុង \(J\) (\(k = -2\))៖

កន្សោមបំប្លែង \(\begin{cases} x' = 3x - 4 \\ y' = 3y + 2 \end{cases}\)។

ក.  បង្ហាញថានេះជាការបំប្លែងចាំង៖ សរសេរកន្សោមជាទម្រង់ \(\begin{cases} x' - a = k(x - a) \\ y' - b = k(y - b) \end{cases}\)៖

ខ.  កំណត់ផ្ចិតចាំង \(I\) និងផលធៀប \(k\)៖

• ផ្ចិតចាំងគឺ \(I(2, -1)\)

• ផលធៀបចាំងគឺ \(k = 3\)

១. រក្សាភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់៖ យកបន្ទាត់ \((d)\) មួយដែលមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u}\)។ យកពីរចំណុច \(A, B \in (d)\) នោះ \(\overrightarrow{AB} \parallel \vec{u}\)។

តាមការបំប្លែងចាំង \(h_{(I, k)}\) រូបភាព \(A', B'\) ផ្ទៀងផ្ទាត់៖

ហេតុនេះ បន្ទាត់រូបភាព \((d')\) ស្របនឹងបន្ទាត់ដើម \((d)\) ជានិច្ច នាំឱ្យការបំប្លែងចាំងរក្សាភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់។

២. រក្សារង្វាស់មុំ (Conformal)៖ យកបន្ទាត់ពីរ \((d_1)\) និង \((d_2)\) កាត់គ្នាបង្កើតបានមុំ \(\alpha\)។

រូបភាពនៃបន្ទាត់ទាំងពីរតាម \(h_{(I, k)}\) គឺ \((d_1')\) និង \((d_2')\) ដែល \((d_1') \parallel (d_1)\) និង \((d_2') \parallel (d_2)\)។

តាមលក្ខណៈធរណីមាត្រ មុំបង្កើតឡើងដោយគូនៃបន្ទាត់ស្របគ្នាពីរ មានទំហំស្មើគ្នា៖

ត្រីកោណ \(ABC\) មានទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\)។ \(A', B', C'\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុង \([BC], [CA], [AB]\) រៀងគ្នា។

ក.  បង្ហាញថា \(\triangle A'B'C'\) ជារូបភាពនៃ \(\triangle ABC\) តាមការបំប្លែងចាំង៖ តាមលក្ខណៈនៃមេដ្យាន និងទីប្រជុំទម្ងន់នៃត្រីកោណ ចំណុច \(G\) ស្ថិតនៅលើមេដ្យាន \([AA']\) ហើយចែកអង្កត់នេះតាមផលធៀប៖

ខ.  កំណត់ផ្ចិតចាំង និងផលធៀបចាំង \(k\)៖

• ផ្ចិតចាំងគឺទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\) នៃ \(\triangle ABC\)

• ផលធៀបចាំងគឺ \(k = -\dfrac{1}{2}\)

ប៉ារ៉ាបូល \((P): y = x^2\)។

ការបំប្លែងចាំង \(h_{(O, 2)}\) មានរូបមន្ត៖

រូបថតដើមមានទំហំ \(10\text{ cm} \times 15\text{ cm}\) (ទទឹង \(10\text{ cm}\), បណ្តោយ \(15\text{ cm}\))។

រូបថតពង្រីកមានបណ្តោយ \(60\text{ cm}\)។

ក.  កំណត់ផលធៀបពង្រីក \(k\)៖

• ផ្ទៃក្រឡាដើម៖ \(S = 10 \times 15 = 150\text{ cm}^2\)

• ផ្ទៃក្រឡាថ្មី៖ \(S' = 40 \times 60 = 2400\text{ cm}^2\)

ផលធៀបផ្ទៃក្រឡា៖

បន្ទាត់ពីរស្របគ្នា \((d_1): x - 2y + 4 = 0\) និង \((d_2): x - 2y - 6 = 0\)។

ផ្ចិតចាំង \(I\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(y = 0\) នាំឱ្យ \(I(a, 0)\)។

រូបមន្តនៃការបំប្លែងចាំង \(h_{(I, 2)}\) គឺ៖

តាមនិយមន័យ ចំណុច \(M\) គឺជាចំណុចមិនប្រែប្រួលនៃ \(h_{(I, k)}\) លុះត្រាតែ៖

ចំណុច \(A(1, 3)\) និង \(B(4, -1)\) ផ្ចិតចាំង \(I(2, 1)\) ផលធៀប \(k = -2\)។

រូបមន្តបំប្លែងចាំង៖ \(\overrightarrow{IM'} = -2\overrightarrow{IM}\)។

• ចំពោះចំណុច \(A\)៖ \(\overrightarrow{IA} = (1 - 2, 3 - 1) = (-1, 2)\)។

  \[\begin{aligned} \overrightarrow{IA'} &= -2(-1, 2) = (2, -4) \\ \implies A' &= (2 + 2, \, 1 - 4) = (4, -3) \end{aligned}\]

• ចំពោះចំណុច \(B\)៖ \(\overrightarrow{IB} = (4 - 2, -1 - 1) = (2, -2)\)។

  \[\begin{aligned} \overrightarrow{IB'} &= -2(2, -2) = (-4, 4) \\ \implies B' &= (2 - 4, \, 1 + 4) = (-2, 5) \end{aligned}\]

ដូចនេះ រូបភាពនៃអង្កត់ \([AB]\) គឺអង្កត់ \([A'B']\) ដែលមានចុងទាំងពីរគឺ \(A'(4, -3)\) និង \(B'(-2, 5)\)។

ការ៉េ \(ABCD\) មានផ្ទៃក្រឡា \(S = 16\text{ cm}^2\)។

ការបំប្លែងចាំងមានផលធៀប \(k = -\dfrac{3}{2}\)។

តាមលក្ខណៈនៃការបំប្លែងចាំង ផ្ទៃក្រឡានៃរូបភាពប្រែប្រួលតាមសមាមាត្រ \(k^2\)៖

ក.  វិមាត្របន្ទប់រៀនលើប្លង់៖ មាត្រដ្ឋាន \(1 : 200\) មានន័យថា \(k = \dfrac{1}{200}\)។

វិមាត្រពិតប្រាកដគិតជាសង់ទីម៉ែត្រ៖

• បណ្តោយ៖ \(8\text{ m} = 800\text{ cm} \implies \) បណ្តោយលើប្លង់ \( = \dfrac{800}{200} = 4\text{ cm}\)

• ទទឹង៖ \(6\text{ m} = 600\text{ cm} \implies \) ទទឹងលើប្លង់ \( = \dfrac{600}{200} = 3\text{ cm}\)

ដូចនេះ វិមាត្រលើប្លង់គឺ \(4\text{ cm} \times 3\text{ cm}\)។

ខ.  ផ្ទៃក្រឡាជាក់ស្តែងនៃទីធ្លាសាលា៖ ផ្ទៃក្រឡាលើប្លង់គឺ \(S_{\text{ប្លង់}} = 150\text{ cm}^2\)។

ផលធៀបផ្ទៃក្រឡាគឺ \(k^2 = \left(\dfrac{1}{200}\right)^2 = \dfrac{1}{40000}\)។

ផ្ទៃក្រឡាជាក់ស្តែងលើដីគិតជា \(\text{cm}^2\)៖

រង្វង់ \((C): (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 9\) មានផ្ចិត \(I_0(3, 1)\) និងកាំ \(R = \sqrt{9} = 3\)។

ការបំប្លែងចាំង \(h_{(I, -3)}\) មានផ្ចិត \(I(1, 1)\) និងផលធៀប \(k = -3\)៖

• រកផ្ចិតថ្មី \(I'\) នៃ \((C')\)៖

  \[\overrightarrow{II'} = -3\overrightarrow{II_0}\]
  ដោយ \(\overrightarrow{II_0} = (3 - 1, 1 - 1) = (2, 0)\) នាំឱ្យ៖
  \[\begin{aligned} \overrightarrow{II'} &= -3(2, 0) = (-6, 0) \\ \implies I' &= (1 - 6, \, 1 + 0) = (-5, 1) \end{aligned}\]

• កាំថ្មីនៃ \((C')\)៖

  \[R' = |k| \times R = |-3| \times 3 = 9\]

សមីការរង្វង់រូបភាព \((C')\) គឺ៖

យកចំណុច \(M\) ណាមួយក្នុងប្លង់។

១. គណនា \((h_{(O, k_2)} \circ h_{(O, k_1)})(M)\)៖

ដូចនេះ យើងទាញបានសមភាព៖

ក.  ពន្យល់តាមការបំប្លែងចាំង និងកំណត់ផលធៀប \(k\)៖ ប្រភពពន្លឺចំណុច \(S(0, 6)\) បញ្ចាំងកាំរស្មីពន្លឺកាត់តាមគែមតុទៅកាន់កម្រាលឥដ្ឋ។ នេះគឺជាគំរូធរណីមាត្រនៃការបំប្លែងចាំងផ្ចិត \(S\)។

• ចម្ងាយឈរពីប្រភព \(S(0, 6)\) ទៅផ្ទៃតុ (\(y = 1\)) គឺ \(d_1 = 6 - 1 = 5\text{ m}\)។

• ចម្ងាយឈរពីប្រភព \(S(0, 6)\) ទៅកម្រាលឥដ្ឋ (\(y = 0\)) គឺ \(d_2 = 6 - 0 = 6\text{ m}\)។

ផលធៀបចាំងគឺស្មើផលធៀបនៃចម្ងាយពីផ្ចិតទៅប្លង់ទាំងពីរ៖

ប្រវែងស្រមោលលើកម្រាលឥដ្ឋគឺ៖

ចំណុច \(A(2, 4), B(6, 4), C(4, 8)\)។

តាមការបំប្លែងចាំង \(h_{(O, k)}\) រូបភាពនៃ \(\triangle ABC\) គឺ \(\triangle A'B'C'\)។

ផលធៀបរវាងបរិមាត្រនៃត្រីកោណទាំងពីរស្មើនឹងត Luate ដាច់ខាតនៃផលធៀបចាំង៖

ក.  កំណត់ផលធៀបចាំង \(k\)៖ រូបភាពដើមមានទំហំ \(1920 \times 1080\) និងរូបភាពថ្មីមានទំហំ \(1280 \times 720\)។

ផលធៀបចាំងនៃការបង្រួមគឺ៖

• ចំនួនភិចសែលរូបភាពដើម៖ \(N = 1920 \times 1080 = 2\,073\,600\) ភិចសែល

• ចំនួនភិចសែលរូបភាពថ្មី៖ \(N' = 1280 \times 720 = 921\,600\) ភិចសែល

ផលធៀបនៃចំនួនភិចសែលគឺ៖