មេរៀនទី ២៥ : ការបំប្លែងវិល — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

ប្រវត្តិនៃការបំប្លែងវិល និងគន្លងតារាសាស្ត្រ

ការសិក្សាអំពីការវិលមានអាយុកាលរាប់ពាន់ឆ្នាំតាំងពីការសិក្សាតារាសាស្រ្ត ដើម្បីតាមដានគន្លងតារា និងភពនានាជុំវិញព្រះអាទិត្យ ដោយអ្នកប្រាជ្ញដូចជា កូប៉ែនិក (Copernicus) និង កេព្ល័រ (Kepler)។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាសុទ្ធ លោក លីអូណាដ អយល័រ (Leonhard Euler) បានបង្កើតទ្រឹស្តីបទនៃការវិល ដែលបញ្ជាក់ថាការផ្លាស់ទីណាមួយនៅលើស្វ៊ែរអាចចាត់ទុកជាការវិលជុំវិញអ័ក្សមួយ។

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ?

រំលឹកចំណេះដឹងពីថ្នាក់ទី៩៖
១. សញ្ញាណនៃរង្វង់ និងមុំផ្ចិត
២. ការប្រើប្រាស់រ៉ាប៉័រទ័រដើម្បីវាស់មុំ
៣. ការរកកូអរដោនេចំណុចក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ

ការបំប្លែងវិលចំណុច

គេមានចំណុច $M$ និងចំណុចនឹង $A$ មួយ គេបង្វិលចំណុច $M$ ឱ្យបាន $AM = AM'$ និង $\angle MAM' = \alpha$ ។ គេបាន $M'$ ជារូបភាពនៃ $M$ តាមការបំប្លែងវិលមុំ $\alpha$ ជុំវិញផ្ចិត $A$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

រូបភាពនៃចំណុច $M$ តាមការបំប្លែងវិលមុំ $\alpha$ ជុំវិញផ្ចិត $A$ គឺចំណុច $M'$ ដែល

\[\begin{cases} AM = AM' \\ \angle MAM' = |\alpha| \text{ មានពីរករណី } \begin{cases} \alpha > 0 \text{ មានទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកា} \\ \alpha < 0 \text{ មានទិសដៅដូចទ្រនិចនាឡិកា} \end{cases} \\ \text{ធ្នូ } MM' \text{ ជាធ្នូមានទិសដៅ} \end{cases}\]

រូបភាពនៃ $A$ គឺ $A$ ។

ឧទាហរណ៍

៖ គេបំប្លែងវិលរូបដើមតាមមុំ $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ និង $360^\circ$ ជុំវិញផ្ចិត $O$ នោះគេបាន

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ការបំប្លែងវិលរូប

គេបង្វិលរូបត្រីកោណ $ABC$ ជុំវិញចំណុច $P$ ឱ្យផ្លាស់ទីទៅរូបត្រីកោណ $A'B'C'$ បានមុំ $\theta$ ហើយ $PA = PA'$ និង $\angle APA' = \theta$ គេថាការបង្វិលនេះហៅថា ការបំប្លែងវិល ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេបានត្រីកោណ $A'B'C'$ ជារូបភាពនៃត្រីកោណ $ABC$ តាមការបំប្លែងវិលមុំ $\theta$ ជុំវិញចំណុច $P$ ។ ចំណុច $P$ ហៅថា ផ្ចិតបំប្លែងវិល ហើយមុំ $\theta$ ហៅថា មុំបំប្លែងវិល ។

ឧទាហរណ៍

៖ គេឃើញថា រូបនៃចតុកោណកែង $P'Q'R'S'$ ជារូបភាពបំប្លែងវិលរបស់ចតុកោណកែង $PQRS$ ជុំវិញផ្ចិត $O$ តាមមុំ $-90^\circ$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមនិយមន័យនិងឧទាហរណ៍ គេទាញបានសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម៖

សន្និដ្ឋាន

ការបំប្លែងវិលឱ្យ

រូបភាពនៃអង្កត់មួយជាអង្កត់មួយទៀតដែលមានប្រវែងស្មើគ្នា ។
រូបភាពនៃរូប $F$ មួយ ជារូប $F'$ មួយទៀត ដែលប៉ុនគ្នានឹងរូប $F$ ។

ការបកស្រាយនៃការបំប្លែងវិលក្នុងតម្រុយកូអរដោនេ

ឧទាហរណ៍

៖ គេមានត្រីកោណ $MNP$ ដែល $M(3, 1)$, $N(5, 3)$ និង $P(2, 6)$ ។ រករូបភាពនៃត្រីកោណ $MNP$ តាមការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\theta = 90^\circ$ និង $\theta = -90^\circ$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាងត្រីកោណ $M'N'P'$ ជារូបភាពនៃត្រីកោណ $MNP$ ។ ភ្ជាប់ $OM$, $ON$ និង $OP$ ហើយតាមចំណុច $O$ គូសអង្កត់ $OM'$, $ON'$ និង $OP'$ ដែល $OM = OM'$, $ON = ON'$ និង $OP = OP'$ ហើយ $OM = OM''$, $ON = ON''$ និង $OP = OP''$ ។ តាមរូបគេបាន

$\angle MOM' = \angle NON' = \angle POP' = 90^\circ$ ហើយ

$\angle MOM'' = \angle NON'' = \angle POP'' = -90^\circ$

គេបាន $M'(-1, 3)$, $N'(-3, 5)$ និង $P'(-6, 2)$ ហើយ $M''(1, -3)$, $N''(3, -5)$ និង $P''(6, -2)$ ។

តាមចំណោទស្រាយឧទាហរណ៍ខាងលើ គេទាញបាន

ជាទូទៅ

1. រូបភាពបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\theta = 90^\circ$ គឺ $P(x, y) \rightarrow P'(-y, x)$ ។
2. រូបភាពបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\theta = 180^\circ$ គឺ $P(x, y) \rightarrow P'(-x, -y)$ ។
3. រូបភាពបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\theta = 270^\circ$ ឬ $-90^\circ$ គឺ $P(x, y) \rightarrow P''(y, -x)$ ។
សម្គាល់ ការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\theta = 180^\circ$ ដូចគ្នានឹងការបំប្លែងឆ្លុះនៃចំណុចធៀបនឹងចំណុច $O$ ដែរ ។

១លំហាត់គំរូ ១

គេមានត្រីកោណ $TVW$ ដែល $T(3, 2)$, $V(6, 3)$ និង $W(4, 6)$ ។ រករូបភាពនៃត្រីកោណ $TVW$ តាមការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\theta = 90^\circ$ ។

ដំណោះស្រាយ

តាងត្រីកោណ $T'V'W'$ ជារូបភាពនៃត្រីកោណ $TVW$ ។ គេបានរូបភាពកូអរដោនេនៃកំពូលនីមួយៗ តាមការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\theta = 90^\circ$ គឺ $T(3, 2) \rightarrow T'(-2, 3)$ $V(6, 3) \rightarrow V'(-3, 6)$ $W(4, 6) \rightarrow W'(-6, 4)$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

២លំហាត់គំរូ ២

ដោយប្រើលំហាត់គំរូ 1 ខាងលើ រករូបភាពនៃត្រីកោណ $TVW$ តាមការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\theta = 180^\circ$ ។

ដំណោះស្រាយ

តាងត្រីកោណ $T''V''W''$ ជារូបភាពនៃត្រីកោណ $TVW$ ។ គេបានរូបភាពកូអរដោនេនៃកំពូលនីមួយៗ តាមការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\theta = 180^\circ$ គឺ $T(3, 2) \rightarrow T''(-3, -2)$, $V(6, 3) \rightarrow V''(-6, -3)$ និង $W(4, 6) \rightarrow W''(-4, -6)$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

រកកូអរដោនេរូបភាពរបស់ចំណុច $P(-2, 3)$ តាមការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\alpha = 90^\circ$ ។

មើលចម្លើយ

$P'(-3, -2)$ ។

ប្រតិបត្តិ

ក. គេមានត្រីកោណ $PQR$ ដែល $P(1, 2)$, $Q(2, 4)$ និង $R(4, 1)$ ។ រករូបភាពនៃត្រីកោណ $PQR$ តាមការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\alpha = 180^\circ$ ។
ខ. គេមានត្រីកោណ $MNP$ ដែល $M(4, -3)$, $N(1, -4)$ និង $P(-2, 2)$ រករូបភាពនៃត្រីកោណ $MNP$ តាមការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\alpha = -90^\circ$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $P'(-1, -2)$, $Q'(-2, -4)$, $R'(-4, -1)$
ខ. $M'(-3, -4)$, $N'(-4, -1)$, $P'(2, 2)$ ។

ប្រតិបត្តិ

ចតុកោណកែង $P'Q'R'S'$ ជារូបភាពនៃចតុកោណកែង $PQRS$ តាមការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ មុំ $\alpha$ ។ រករង្វាស់មុំ $\alpha$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គេមានការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$ ដូចរូបខាងស្ដាំ ។ គេបំប្លែងវិលពី $I \rightarrow N$ ។ ចូរជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវ ៖

$A \rightarrow B$ $\square$
$N \rightarrow D$ $\square$
$D \rightarrow C$ $\square$

មើលដំណោះស្រាយ

ពិនិត្យរូបធរណីមាត្រដែលបានឱ្យ ផ្ចិតវិលគឺចំណុច $O$ ហើយការបំប្លែងវិលប្លែងចំណុច $I \to N$៖

មុំវិលកំណត់ដោយ $\angle(OI, ON)$ ក្នុងទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។

តាមលក្ខណៈធរណីមាត្រនៃរូប៖

ចំណុច $D$ ស្ថិតនៅទីតាំងដែលត្រូវបង្វិលជុំវិញ $O$ ដោយមុំស្មើគ្នានេះ នឹងទៅធ្លាក់ចំចំណុច $C$ ($D \to C$)។
ចំណុច $A$ មិនប្លែងទៅ $B$ ទេ ($A \to B$ មិនត្រឹមត្រូវ)។
$N \to D$ មិនត្រឹមត្រូវ។

ដូចនេះ ចម្លើយត្រឹមត្រូវគឺ៖

\[\text{\textbf{គ.}~ } D \rightarrow C \quad{} \text{$\text{\rlap{$\checkmark$}}\square$}\]

២លំហាត់ទី ២

រករូបភាពនៃចំណុច $P(5, 7)$ ដោយការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O(0, 0)$ និងមុំបំប្លែងវិលខាងក្រោម៖

$90^\circ$
$180^\circ$
$270^\circ$

មើលដំណោះស្រាយ

រូបមន្តនៃការបំប្លែងវិលជុំវិញគល់ $O(0, 0)$ ដោយមុំវិល $\theta$ គឺ៖

\[\begin{cases} x' = x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' = x\sin\theta + y\cos\theta \end{cases}\]

ចំណុចដើមគឺ $P(5, 7)$៖

ក. មុំវិល $\theta = 90^\circ$៖ ដោយ $\cos 90^\circ = 0$ និង $\sin 90^\circ = 1$ នាំឱ្យ $(x', y') = (-y, x)$៖

\[P'(-7, 5)\]

ខ. មុំវិល $\theta = 180^\circ$៖ ដោយ $\cos 180^\circ = -1$ និង $\sin 180^\circ = 0$ នាំឱ្យ $(x', y') = (-x, -y)$៖

\[P'(-5, -7)\]

គ. មុំវិល $\theta = 270^\circ$ (ឬ $-90^\circ$)៖ ដោយ $\cos 270^\circ = 0$ និង $\sin 270^\circ = -1$ នាំឱ្យ $(x', y') = (y, -x)$៖

\[P'(7, -5)\]

៣លំហាត់ទី ៣

រករូបភាពនៃ $\Delta ABC$ ដែល $A(2, 7)$, $B(3, 4)$ និង $C(7, 5)$ តាមការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O(0, 0)$ មុំ $\alpha = 90^\circ$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$ មានរូបមន្តបំប្លែងកូអរដោនេគឺ $(x, y) \to (-y, x)$។

អនុវត្តចំពោះកំពូលទាំងបីនៃ $\triangle ABC$៖

\[\begin{aligned} A(2, 7) &\xrightarrow{R_{(O, 90^\circ)}} A'(-7, 2) \\ B(3, 4) &\xrightarrow{R_{(O, 90^\circ)}} B'(-4, 3) \\ C(7, 5) &\xrightarrow{R_{(O, 90^\circ)}} C'(-5, 7) \end{aligned}\]

ដូចនេះ កំពូលនៃត្រីកោណរូបភាពគឺ $A'(-7, 2), B'(-4, 3)$ និង $C'(-5, 7)$។

៤លំហាត់ទី ៤

រករូបភាពនៃបន្ទាត់ដែលមានសមីការ $y = x + 2$ តាមការបំប្លែងវិលមុំ $\alpha = -90^\circ$ ហើយមានផ្ចិតបំប្លែងវិលខាងក្រោម៖

ចំណុច $O(0, 0)$
$P(0, 2)$
$Q(-2, 0)$

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ដើម $(d): y = x + 2$ មានមេគុណប្រាប់ទិស $m_1 = 1$។

ការបំប្លែងវិលដោយមុំ $\alpha = -90^\circ$ នឹងប្លែងបន្ទាត់ $(d)$ ទៅជាបន្ទាត់កែងនឹងវា គឺមានមេគុណប្រាប់ទិស $m_2 = -\dfrac{1}{m_1} = -1$។

ក. ផ្ចិតវិល $O(0, 0)$៖ រូបមន្តវិល $-90^\circ$ ជុំវិញ $O$ គឺ $(x', y') = (y, -x) \implies x = -y', y = x'$។

ជំនួសចូលសមីការដើម៖ $x' = (-y') + 2 \iff y' = -x' + 2$។

សមីការរូបភាពគឺ $y = -x + 2$។

ខ. ផ្ចិតវិល $P(0, 2)$៖ ដោយសារ $2 = 0 + 2$ នាំឱ្យចំណុច $P(0, 2) \in (d)$។

ចំណុច $P$ ជាផ្ចិតវិល ដូច្នេះរូបភាពរបស់វាគឺខ្លួនឯង ($P' \equiv P$)។

បន្ទាត់រូបភាពកាត់តាម $P(0, 2)$ និងមានមេគុណប្រាប់ទិស $m = -1$៖

\[y - 2 = -1(x - 0) \iff y = -x + 2\]

គ. ផ្ចិតវិល $Q(-2, 0)$៖ ដោយសារ $0 = -2 + 2$ នាំឱ្យចំណុច $Q(-2, 0) \in (d)$។

ចំណុច $Q$ ជាផ្ចិតវិល ដូច្នេះ $Q' \equiv Q(-2, 0)$។

បន្ទាត់រូបភាពកាត់តាម $Q(-2, 0)$ និងមានមេគុណប្រាប់ទិស $m = -1$៖

\[y - 0 = -1(x - (-2)) \iff y = -x - 2\]

៥លំហាត់ទី ៥

កំណត់គូនីមួយៗនៃរូបភាពដែលតាងឱ្យការបំប្លែងវិលមានផ្ចិតខាងក្រោមគ្រាន់តែសរសេរ “បំប្លែងវិល” និង “មិនបំប្លែងវិល” ។

(ក)

(ខ)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

(គ)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ការបំប្លែងចំពោះគូនីមួយៗនៃរូបភាព៖

ក. រូបភាពកើតឡើងពីការបង្វិលរូបដើមជុំវិញចំណុចថេរមួយក្នុងប្លង់ដោយមុំកំណត់មួយ។ ដូច្នេះ វាជា “បំប្លែងវិល”។

ខ. រូបភាពមានការត្រឡប់ទិសដៅ ឬកិលដោយគ្មានការវិលជុំវិញផ្ចិតថេរណាមួយឡើយ។ ដូច្នេះ វា “មិនបំប្លែងវិល”។

គ. រូបភាពរក្សាទ្រង់ទ្រាយ និងទំហំ ហើយចំណុចទាំងអស់វិលជុំវិញផ្ចិតរួមមួយដោយមុំដូចគ្នា។ ដូច្នេះ វាជា “បំប្លែងវិល”។

៦លំហាត់ទី ៦

គេមាន $\Delta XYZ$ មានកំពូល $X(-6, -9)$, $Y(-1, -3)$ និង $Z(-8, -5)$ ។

រករូបភាព $\Delta X'Y'Z'$ នៃ $\Delta XYZ$ តាមការបំប្លែងវិលមុំ $90^\circ$ ។
រករូបភាព $\Delta X''Y''Z''$ នៃ $\Delta X'Y'Z'$ តាមការបំប្លែងវិលមុំ $180^\circ$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

$\Delta XYZ$ មានកំពូល $X(-6, -9), Y(-1, -3), Z(-8, -5)$។

ក. រូបភាព $\Delta X'Y'Z'$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$៖ រូបមន្តគឺ $(x, y) \to (-y, x)$៖

\[\begin{aligned} X(-6, -9) &\to X'(-(-9), \, -6) = X'(9, -6) \\ Y(-1, -3) &\to Y'(-(-3), \, -1) = Y'(3, -1) \\ Z(-8, -5) &\to Z'(-(-5), \, -8) = Z'(5, -8) \end{aligned}\]

ខ. រូបភាព $\Delta X''Y''Z''$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 180^\circ)}$៖ រូបមន្តគឺ $(x, y) \to (-x, -y)$៖

\[\begin{aligned} X(-6, -9) &\to X''(6, 9) \\ Y(-1, -3) &\to Y''(1, 3) \\ Z(-8, -5) &\to Z''(8, 5) \end{aligned}\]

៧លំហាត់ទី ៧

កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើខាងក្រោម៖

រូបភាពនៃចំណុច $P(2, 3)$ ដោយបំប្លែងវិលផ្ចិត $O(0, 0)$ និងមុំ $90^\circ$ គឺចំណុច $P'(-2, -3)$ ។
រូបភាពនៃចំណុច $Q(1, 3)$ ដោយបំប្លែងវិលផ្ចិត $O(0, 0)$ និងមុំ $180^\circ$ គឺចំណុច $Q'(-1, -3)$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើ៖

ក. រូបភាពនៃចំណុច $P(2, 3)$ ដោយបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$៖

\[(x', y') = (-y, x) = (-3, 2)\]

ដោយសារ $(-3, 2) \ne (-2, -3)$ នាំឱ្យសំណើ ក. មិនពិត (False)។

ខ. រូបភាពនៃចំណុច $Q(1, 3)$ ដោយបំប្លែងវិល $R_{(O, 180^\circ)}$៖

\[(x', y') = (-x, -y) = (-1, -3)\]

សំណើបានបញ្ជាក់ថា $Q'(-1, -3)$ ដែលត្រូវគ្នានឹងការគណនា។ នាំឱ្យសំណើ ខ. ពិត (True)។

៨លំហាត់ទី ៨

គេមានត្រីកោណ $ABC$ មានកំពូល $A(1, 2)$, $B(3, 3)$ និង $C(2, 5)$ ។

តាង $A'B'C'$ ជារូបភាពនៃ $\triangle ABC$ តាមការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O(0, 0)$ មុំ $-90^\circ$ ។ រកកូអរដោនេកំពូលនៃ $\triangle A'B'C'$ ។
តាង $A''B''C''$ ជារូបភាព $\triangle A'B'C'$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។ រកកូអរដោនេកំពូលនៃ $\triangle A''B''C''$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ត្រីកោណ $ABC$ មាន $A(1, 2), B(3, 3), C(2, 5)$។

ក. រកកូអរដោនេនៃកំពូល $\Delta A'B'C'$ តាម $R_{(O, -90^\circ)}$៖ រូបមន្តបំប្លែងវិលដោយមុំ $-90^\circ$ ជុំវិញ $O$ គឺ $(x, y) \to (y, -x)$៖

\[\begin{aligned} A(1, 2) &\to A'(2, -1) \\ B(3, 3) &\to B'(3, -3) \\ C(2, 5) &\to C'(5, -2) \end{aligned}\]

ខ. គណនាប្រវែងជ្រុងដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់អ៊ីសូមេទ្រី៖

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(3 - 1)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \\ A'B' &= \sqrt{(3 - 2)^2 + (-3 + 1)^2} = \sqrt{5} \end{aligned}\]

យើងឃើញថា $A'B' = AB = \sqrt{5}$ (ការបំប្លែងវិលរក្សាប្រវែងជ្រុង)។

៩លំហាត់ទី ៩

គេកំណត់តាង $R(O, \alpha)$ ជាការបំប្លែងវិលជុំវិញផ្ចិត $O(0, 0)$ និងមុំ $\alpha$ ។

រូបភាពនៃ $L(-2, 4)$ តាម $R(O, 180^\circ)$
រូបភាពនៃ $D(-1, -3)$ តាម $R(O, 90^\circ)$
រូបភាពនៃ $P(2, -1)$ តាម $R(O, 270^\circ)$

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រូបភាពនៃ $L(-2, 4)$ តាម $R(O, 180^\circ)$៖ រូបមន្ត $(x, y) \to (-x, -y)$៖

\[L'(-(-2), \, -4) = L'(2, -4)\]

ខ. រូបភាពនៃ $D(-1, -3)$ តាម $R(O, 90^\circ)$៖ រូបមន្ត $(x, y) \to (-y, x)$៖

\[D'(-(-3), \, -1) = D'(3, -1)\]

គ. រូបភាពនៃ $P(2, -1)$ តាម $R(O, 270^\circ)$៖ មុំ $270^\circ$ ស្មើនឹង $-90^\circ$ មានរូបមន្ត $(x, y) \to (y, -x)$៖

\[P'(-1, \, -2)\]

១០លំហាត់ទី ១០

ក្នុងប្លង់កូអរដោនេ គេឱ្យបន្ទាត់ $(L)$ មានសមីការ $2x + 3y = 6$ និងចំណុច $O(0, 0)$ ។

រកកូអរដោនេចំណុច $A$ និង $B$ ជាប្រសព្វរវាង $(L)$ ជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងអ័ក្សអរដោនេ ។
រកកូអរដោនេ $A'$ និង $B'$ ជារូបភាពនៃ $A$ និង $B$ តាម $R(O, -90^\circ)$ ។
សរសេរសមីការបន្ទាត់ $(L')$ កាត់តាមពីរចំណុច $A'$ និង $B'$ ។
តើបន្ទាត់ $(L')$ និង $(L)$ មានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងដូចម្ដេច?

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ $(L): 2x + 3y = 6$។

ក. រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ $A$ និង $B$៖

ប្រសព្វជាមួយ $Ox$ ($y = 0$)៖ $2x = 6 \implies x = 3 \implies A(3, 0)$
ប្រសព្វជាមួយ $Oy$ ($x = 0$)៖ $3y = 6 \implies y = 2 \implies B(0, 2)$

ខ. រកកូអរដោនេ $A'$ និង $B'$ តាម $R(O, -90^\circ)$៖ រូបមន្តគឺ $(x, y) \to (y, -x)$៖

\[\begin{aligned} A(3, 0) &\to A'(0, -3) \\ B(0, 2) &\to B'(2, 0) \end{aligned}\]

គ. សរសេរសមីការបន្ទាត់ $(L')$ កាត់តាម $A'$ និង $B'$៖ មេគុណប្រាប់ទិស៖ $m = \dfrac{0 - (-3)}{2 - 0} = \dfrac{3}{2}$។

សមីការបន្ទាត់ $(L')$ គឺ៖

\[y = \frac{3}{2}x - 3 \iff 3x - 2y = 6 \quad{} (\text{ឬ } 3x - 2y - 6 = 0)\]

ឃ. ទំនាក់ទំនងរវាងបន្ទាត់ $(L')$ និង $(L)$៖ មេគុណប្រាប់ទិសនៃ $(L)$ គឺ $m_1 = -\dfrac{2}{3}$ និងនៃ $(L')$ គឺ $m_2 = \dfrac{3}{2}$។

ផលគុណមេគុណប្រាប់ទិស៖ $m_1 \times m_2 = \left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \left(\dfrac{3}{2}\right) = -1$។

ដូចនេះ បន្ទាត់ទាំងពីរកាត់កែងគ្នា៖ $(L') \perp (L)$។

១១លំហាត់ទី ១១

ចំណុច $M(x, y)$ លើបន្ទាត់ $(L): 3x + y = 1$ ។ តាង $M'$ ជារូបភាពនៃ $M$ តាម $R(O, 90^\circ)$ ។ បីចំណុច $M, M', O$ បង្កើតបានត្រីកោណកែងត្រង់ $O$ ។

បង្ហាញថាផ្ទៃក្រឡា $\triangle OMM'$ គឺ $A = \frac{1}{2}(10x^2 - 6x + 1)$ ។
រកផ្ទៃក្រឡាអប្បបរមារបស់ត្រីកោណ $OMM'$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $M(x, y)$ លើបន្ទាត់ $(L): 3x + y = 1 \implies y = 1 - 3x$។

រូបភាព $M'$ តាម $R(O, 90^\circ)$ គឺ $M'(-y, x)$។

ក. បង្ហាញថាផ្ទៃក្រឡា $\triangle OMM'$ គឺ $A = \dfrac{1}{2}(10x^2 - 6x + 1)$៖ ដោយសារការបំប្លែងវិល $90^\circ$ ជុំវិញ $O$ នាំឱ្យ $OM \perp OM'$ និង $OM' = OM$។

ត្រីកោណ $OMM'$ ជាត្រីកោណកែងសមបាតត្រង់ $O$។ ផ្ទៃក្រឡារបស់វាគឺ៖

\[A = \frac{1}{2} OM \times OM' = \frac{1}{2} OM^2 = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)\]

ជំនួស $y = 1 - 3x$ ចូល៖

\[\begin{aligned} A &= \frac{1}{2}\big[x^2 + (1 - 3x)^2\big] \\ &= \frac{1}{2}\big[x^2 + (1 - 6x + 9x^2)\big] \\ &= \frac{1}{2}(10x^2 - 6x + 1) \end{aligned}\]

ខ. រកផ្ទៃក្រឡាអប្បបរមារបស់ត្រីកោណ $OMM'$៖ ត្រីធាដឺក្រេទីពីរ $f(x) = 10x^2 - 6x + 1$ មាន $a = 10 > 0$ សម្រេចតម្លៃអប្បបរមាត្រង់៖

\[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(10)} = \frac{3}{10} = 0.3\]

តម្លៃអប្បបរមានៃ $f(x)$ គឺ៖

\[\begin{aligned} f\left(\frac{3}{10}\right) &= 10\left(\frac{9}{100}\right) - 6\left(\frac{3}{10}\right) + 1 \\ &= \frac{9}{10} - \frac{18}{10} + 1 = \frac{1}{10} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ផ្ទៃក្រឡាអប្បបរមានៃ $\triangle OMM'$ គឺ៖

\[A_{\min} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{20} = 0.05 \text{ ឯកតាផ្ទៃ}\]

១២លំហាត់ទី ១២

កង់វិលកម្សាន្ត៖ កង់វិលកម្សាន្តមួយមានកន្ត្រកមួយស្ថិតនៅទីតាំងចំណុច $A(4, 0)$ ធៀបនឹងផ្ចិតកង់ដែលមានកូអរដោនេ $O(0, 0)$។ កង់នេះវិលក្នុងទិសដៅស្របនឹងទ្រនិចនាឡិកា (ទិសដៅអវិជ្ជមាន)។

បន្ទាប់ពីវិលបានមុំ $-90^\circ$ តើកន្ត្រកនេះនឹងស្ថិតនៅចំណុចណា? តាងដោយ $A'$។
ប្រសិនបើកន្ត្រកបន្តវិល $-180^\circ$ ទៀតពីទីតាំង $A'$ តើវានឹងទៅដល់ចំណុចណា?
តើចម្ងាយពីផ្ចិត $O$ ទៅកន្ត្រកប្រែប្រួលដែរឬទេក្នុងពេលកំពុងវិល? ហេតុអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

កង់វិលកម្សាន្តមានផ្ចិត $O(0, 0)$ និងកន្ត្រកនៅ $A(4, 0)$ (កាំ $R = 4$)។

ក. ទីតាំង $A'$ ក្រោយវិលបានមុំ $-90^\circ$៖ រូបមន្តវិល $-90^\circ$ គឺ $(x, y) \to (y, -x)$៖

\[A(4, 0) \to A'(0, -4)\]

ខ. ទីតាំងក្រោយវិលបន្ត $-180^\circ$ ទៀតពី $A'$៖ ការវិលបន្ត $-180^\circ$ ពី $A'(0, -4)$ មានរូបមន្ត $(x, y) \to (-x, -y)$៖

\[A'(0, -4) \to A''(0, 4)\]

គ. ការប្រែប្រួលនៃចម្ងាយពីផ្ចិត $O$ ទៅកន្ត្រក៖ ចម្ងាយពីផ្ចិត $O$ ទៅកន្ត្រកមិនប្រែប្រួលទេ ($OA = OA' = OA'' = 4$) ពីព្រោះការបំប្លែងវិលរក្សាទុកចម្ងាយពីចំណុចទៅកាន់ផ្ចិតវិល (ចំណុចទាំងអស់ផ្លាស់ទីលើរង្វង់តែមួយដែលមានផ្ចិត $O$ និងកាំ $R = 4$)។

១៣លំហាត់ទី ១៣

ប្រព័ន្ធរ៉ាដា៖ អង់តែនរ៉ាដាមួយបាញ់សញ្ញាចាប់បានយន្តហោះមួយគ្រឿងនៅទីតាំង $P(3, 4)$ ក្នុងតម្រុយកូអរដោនេ (គិតជាគីឡូម៉ែត្រ)។ ដើម្បីតាមដានយន្តហោះមួយទៀត រ៉ាដាត្រូវបង្វិលមុំ $90^\circ$ ក្នុងទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។

តើកូអរដោនេថ្មីនៃទីតាំងដែលរ៉ាដាកំពុងចង្អុលទៅ (តាងដោយ $P'$) គឺអ្វី?
គណនាចម្ងាយពីទីតាំងរ៉ាដា $O(0, 0)$ ទៅយន្តហោះ $P$ និង $P'$។ តើចម្ងាយនេះស្មើគ្នាឬទេ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេថ្មី $P'$៖ យន្តហោះដើមស្ថិតនៅ $P(3, 4)$។ ការបង្វិលរ៉ាដាមុំ $90^\circ$ ច្រាសទ្រនិចនាឡិកាជុំវិញ $O(0, 0)$ មានរូបមន្ត $(x, y) \to (-y, x)$៖

\[P'(-4, 3)\]

ខ. គណនាចម្ងាយពី $O$ ទៅ $P$ និង $P'$៖

\[\begin{aligned} OP &= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{ km} \\ OP' &= \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\text{ km} \end{aligned}\]

ចម្ងាយទាំងពីរនេះស្មើគ្នា ($OP = OP' = 5\text{ km}$) ពីព្រោះការបំប្លែងវិលរក្សាចម្ងាយពីចំណុចទៅកាន់ផ្ចិតវិល។

១៤លំហាត់ទី ១៤

គេឱ្យចំណុច $A(3, 2)$។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $A'$ ជាភាពនៃ $A$ តាមការបំប្លែងវិលជុំវិញគល់ $O$ ដោយមុំវិល៖

$\theta = 90^\circ$
$\theta = -90^\circ$
$\theta = 180^\circ$

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(3, 2)$។ រូបមន្តវិលជុំវិញគល់ $O$៖

ក. $\theta = 90^\circ$៖ $(x', y') = (-y, x) \implies A'(-2, 3)$
ខ. $\theta = -90^\circ$៖ $(x', y') = (y, -x) \implies A'(2, -3)$
គ. $\theta = 180^\circ$៖ $(x', y') = (-x, -y) \implies A'(-3, -2)$

១៥លំហាត់ទី ១៥

គេឱ្យចំណុច $M(4, -1)$ និងផ្ចិតវិល $I(1, 2)$។ រកកូអរដោនេនៃភាព $M'$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(I, 90^\circ)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $M(4, -1)$ និងផ្ចិតវិល $I(1, 2)$ មុំ $\theta = 90^\circ$។

វ៉ិចទ័រ $\overrightarrow{IM} = (x_M - x_I, \, y_M - y_I) = (4 - 1, \, -1 - 2) = (3, -3)$។

រូបភាពនៃវ៉ិចទ័រនេះតាមការវិល $90^\circ$ គឺ៖

\[\overrightarrow{IM'} = (-y_{\overrightarrow{IM}}, \, x_{\overrightarrow{IM}}) = (-(-3), \, 3) = (3, 3)\]

កូអរដោនេនៃ $M'$ គឺ៖

\[\begin{cases} x_{M'} = x_I + 3 = 1 + 3 = 4 \\ y_{M'} = y_I + 3 = 2 + 3 = 5 \end{cases} \implies M'(4, 5)\]

១៦លំហាត់ទី ១៦

គេឱ្យបន្ទាត់ $(d): 2x - y + 3 = 0$។ រកសមីការបន្ទាត់ $(d')$ ជាភាពនៃ $(d)$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ $(d): 2x - y + 3 = 0$។

ការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$ មានរូបមន្ត $(x', y') = (-y, x)$។

ទាញរក $x$ និង $y$៖

\[\begin{cases} x' = -y \implies y = -x' \\ y' = x \implies x = y' \end{cases}\]

ជំនួស $x$ និង $y$ ចូលក្នុងសមីការ $(d)$៖

\[\begin{aligned} 2(y') - (-x') + 3 &= 0 \\ x' + 2y' + 3 &= 0 \end{aligned}\]

ដូចនេះ សមីការបន្ទាត់រូបភាព $(d')$ គឺ $x + 2y + 3 = 0$។

១៧លំហាត់ទី ១៧

គេឱ្យរង្វង់ $(C): (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$។ រកសមីការរង្វង់ $(C')$ ជាភាពនៃ $(C)$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 180^\circ)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

រង្វង់ $(C): (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$ មានផ្ចិត $I(2, 3)$ និងកាំ $R = 5$។

តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 180^\circ)}$៖

ផ្ចិតថ្មី $I'$ ជារូបភាពនៃ $I$ តាមការវិល $180^\circ$៖
\[I'(-2, -3)\]
កាំរង្វង់រក្សាតម្លៃដដែល៖ $R' = R = 5$

សមីការរង្វង់រូបភាព $(C')$ គឺ៖

\[(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\]

១៨លំហាត់ទី ១៨

គេឱ្យត្រីកោណសម័ង្ស $ABC$ មានផ្ចិត $O$។

រករូបភាពនៃត្រីកោណ $ABC$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 120^\circ)}$។
បញ្ជាក់ថាតើត្រីកោណសម័ង្សមានស៊ីមេទ្រីវិលកម្រិតប៉ុន្មាន។

មើលដំណោះស្រាយ

ត្រីកោណសម័ង្ស $ABC$ មានផ្ចិត $O$ (ជាទីប្រជុំទម្ងន់ផង ជាផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅផង)។

មុំនៅផ្ចិតស្មើគ្នា៖ $\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COA} = \dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ$។

ក. រូបភាពនៃ $\triangle ABC$ តាម $R_{(O, 120^\circ)}$៖ ការវិល $120^\circ$ ជុំវិញ $O$ តាមទិសវិជ្ជមានប្លែងកំពូលនីមួយៗទៅកំពូលបន្ទាប់៖

\[A \to B, \quad{} B \to C, \quad{} C \to A\]

រូបភាពនៃត្រីកោណ $ABC$ គឺត្រីកោណ $BCA$ ដែលត្រួតស៊ីគ្នាទាំងស្រុងលើ $\triangle ABC$ ដើម។

ខ. កម្រិតស៊ីមេទ្រីវិល៖ ត្រីកោណសម័ង្សមានស៊ីមេទ្រីវិល កម្រិត ៣ (Order 3) ត្រូវគ្នានឹងមុំវិល $120^\circ, 240^\circ$ និង $360^\circ$ (ឬ $0^\circ$)។

១៩លំហាត់ទី ១៩

គេឱ្យចំណុច $A(2, 0)$។ រកកូអរដោនេនៃ $A'$ ជាភាពនៃ $A$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 60^\circ)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(2, 0)$។ តាមរូបមន្តការបំប្លែងវិល $R_{(O, 60^\circ)}$៖

\[\begin{cases} x' = x\cos 60^\circ - y\sin 60^\circ \\ y' = x\sin 60^\circ + y\cos 60^\circ \end{cases}\]

ជំនួស $x = 2, y = 0$ និង $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}, \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$៖

\[\begin{aligned} x' &= 2\left(\frac{1}{2}\right) - 0 = 1 \\ y' &= 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 0 = \sqrt{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ កូអរដោនេនៃចំណុចរូបភាពគឺ $A'(1, \sqrt{3})$។

២០លំហាត់ទី ២០

បង្ហាញថាក្នុងការបំប្លែងវិល $R_{(I, \theta)}$ ផ្ចិតវិល $I$ ជាចំណុចមិនប្រែប្រួលតែមួយគត់ (បើ $\theta \ne 2k\pi$)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាង $R_{(I, \theta)}$ ជាការបំប្លែងវិលផ្ចិត $I$ មុំ $\theta \ne 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)។

ចំណុច $M$ គឺជាចំណុចមិនប្រែប្រួល លុះត្រាតែ $R_{(I, \theta)}(M) = M$។

តាមនិយមន័យនៃការបំប្លែងវិល៖

ចំពោះចំណុច $I$៖ $R_{(I, \theta)}(I) = I$ ជានិច្ច ហេតុនេះ $I$ ជាចំណុចមិនប្រែប្រួល។
ចំពោះចំណុច $M \ne I$៖ គេមាន $IM' = IM$ និងមុំតម្រង់ទិស $(\overrightarrow{IM}, \overrightarrow{IM'}) = \theta$។ ដើម្បីឱ្យ $M' \equiv M$ លុះត្រាតែមុំ $(\overrightarrow{IM}, \overrightarrow{IM}) = 0 \equiv \theta \pmod{2\pi}$ ដែលផ្ទុយពីសម្មតិកម្ម $\theta \ne 2k\pi$។

ដូចនេះ គ្មានចំណុច $M \ne I$ ណាអាចមិនប្រែប្រួលបានឡើយ។

សរុបមក ផ្ចិតវិល $I$ គឺជាចំណុចមិនប្រែប្រួលតែមួយគត់នៃការបំប្លែងវិល។

២១លំហាត់ទី ២១

គេឱ្យចំណុច $A(1, 1)$ និង $B(3, 4)$។

រកភាព $A'$ និង $B'$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$។
គណនាប្រវែង $AB$ និង $A'B'$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាការបំប្លែងវិលរក្សាប្រវែងអង្កត់។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(1, 1)$ និង $B(3, 4)$។

ក. រកភាព $A'$ និង $B'$ តាម $R_{(O, 90^\circ)}$៖ រូបមន្ត $(x, y) \to (-y, x)$៖

\[A'(-1, 1) \quad{} \text{និង} \quad{} B'(-4, 3)\]

ខ. គណនាប្រវែង $AB$ និង $A'B'$៖

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \\ A'B' &= \sqrt{(-4 + 1)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \end{aligned}\]

យើងឃើញថា $A'B' = AB = \sqrt{13}$ ឯកតា។ នេះបញ្ជាក់ថាការបំប្លែងវិលរក្សាទុកប្រវែងអង្កត់ (Isometry)។

២២លំហាត់ទី ២២

គេឱ្យការបំប្លែងវិលពីរមានផ្ចិតរួម $O$ គឺ $R_1 = R_{(O, 30^\circ)}$ និង $R_2 = R_{(O, 45^\circ)}$។

កំណត់ការបំប្លែងបណ្តាក់ $R_2 \circ R_1$។
រករូបភាពនៃចំណុច $P(4, 0)$ តាមការបំប្លែងបណ្តាក់នោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ការបំប្លែងវិលពីរមានផ្ចិតរួម $O$ គឺ $R_1 = R_{(O, 30^\circ)}$ និង $R_2 = R_{(O, 45^\circ)}$។

ក. កំណត់ការបំប្លែងបណ្តាក់ $R_2 \circ R_1$៖ ផលបណ្តាក់នៃការបំប្លែងវិលពីរដែលមានផ្ចិតរួម គឺជាការបំប្លែងវិលមួយដែលមានផ្ចិតរួមដដែល និងមានមុំវិលស្មើផលបូកនៃមុំវិលទាំងពីរ៖

\[R_2 \circ R_1 = R_{(O, \, 30^\circ + 45^\circ)} = R_{(O, 75^\circ)}\]

ខ. រករូបភាពនៃចំណុច $P(4, 0)$ តាម $R_{(O, 75^\circ)}$៖ រូបមន្តបំប្លែងវិល៖

\[\begin{aligned} x' &= 4\cos 75^\circ - 0\sin 75^\circ = 4\cos 75^\circ \\ y' &= 4\sin 75^\circ + 0\cos 75^\circ = 4\sin 75^\circ \end{aligned}\]

ដោយ $\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ និង $\sin 75^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$៖

\[\begin{aligned} x' &= 4\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = \sqrt{6} - \sqrt{2} \\ y' &= 4\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = \sqrt{6} + \sqrt{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ $P'(\sqrt{6} - \sqrt{2}, \, \sqrt{6} + \sqrt{2})$។

២៣លំហាត់ទី ២៣

គេឱ្យការ៉េ $ABCD$ មានផ្ចិត $O$។ រករូបភាពនៃអង្កត់ទ្រូង $[AC]$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ការ៉េ $ABCD$ មានផ្ចិត $O$ (ចំណុចប្រសព្វរវាងអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរ)។

អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរ $[AC]$ និង $[BD]$ កាត់កែងគ្នាត្រង់ $O$ និងមានប្រវែងស្មើគ្នា ($OA = OB = OC = OD$)។

មុំរវាងអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរគឺ $90^\circ$ តាមទិសវិជ្ជមាន៖

\[\begin{aligned} A &\xrightarrow{R_{(O, 90^\circ)}} B \\ C &\xrightarrow{R_{(O, 90^\circ)}} D \end{aligned}\]

ដូចនេះ រូបភាពនៃអង្កត់ទ្រូង $[AC]$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$ គឺអង្កត់ទ្រូង $[BD]$។

២៤លំហាត់ទី ២៤

រកការបំប្លែងវិលច្រាស $(R_{(I, \theta)})^{-1}$ នៃ $R_{(I, \theta)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ការបំប្លែងវិលច្រាស $(R_{(I, \theta)})^{-1}$ គឺជាការបំប្លែងដែលបង្វិលរូបភាពឱ្យត្រឡប់មកចំណុចដើមវិញ៖

\[(R_{(I, \theta)})^{-1} \circ R_{(I, \theta)} = \text{Id}\]

ដើម្បីត្រឡប់ពីមុំ $\theta$ មកវិញ គេត្រូវបង្វិលជុំវិញផ្ចិត $I$ ដដែល ដោយមុំផ្ទុយគឺ $-\theta$៖

\[(R_{(I, \theta)})^{-1} = R_{(I, -\theta)}\]

(ឬ $R_{(I, 360^\circ - \theta)}$)។

២៥លំហាត់ទី ២៥

គេឱ្យចំណុច $M(x, y)$ និងកន្សោមបំប្លែង $\begin{cases} x' = -y \\ y' = x \end{cases}$។

បញ្ជាក់ប្រភេទ និងធាតុនៃការបំប្លែងធរណីមាត្រនេះ។
រកភាពនៃបន្ទាត់ $(D): 3x + 4y - 5 = 0$ តាមការបំប្លែងនេះ។

មើលដំណោះស្រាយ

កន្សោមបំប្លែង $\begin{cases} x' = -y \\ y' = x \end{cases}$។

ក. បញ្ជាក់ប្រភេទ និងធាតុនៃការបំប្លែង៖ កន្សោមនេះមានទម្រង់ $\begin{cases} x' = x\cos 90^\circ - y\sin 90^\circ \\ y' = x\sin 90^\circ + y\cos 90^\circ \end{cases}$។

នេះជា ការបំប្លែងវិល (Rotation) ដែលមាន៖

ផ្ចិតវិលគឺគល់ $O(0, 0)$
មុំវិលគឺ $\theta = 90^\circ$ (ទិសច្រាសទ្រនិចនាឡិកា)

ខ. រកភាពនៃបន្ទាត់ $(D): 3x + 4y - 5 = 0$ តាមការបំប្លែងនេះ៖ រូបមន្តបំប្លែងច្រាសគឺ $x = y'$ និង $y = -x'$។

ជំនួសចូលសមីការ $(D)$៖

\[\begin{aligned} 3(y') + 4(-x') - 5 &= 0 \\ -4x' + 3y' - 5 &= 0 \iff 4x' - 3y' + 5 = 0 \end{aligned}\]

ដូចនេះ សមីការបន្ទាត់រូបភាព $(D')$ គឺ $4x - 3y + 5 = 0$។

២៦លំហាត់ទី ២៦

គេឱ្យចំណុច $A(5, 2)$ និង $B(2, -5)$។ បង្ហាញថា $B$ ជារូបភាពនៃ $A$ តាមការបំប្លែងវិលជុំវិញគល់ $O$ ហើយកំណត់មុំវិល $\theta$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(5, 2)$ និង $B(2, -5)$។

១. បង្ហាញថា $B$ ជារូបភាពនៃ $A$ តាមការបំប្លែងវិលផ្ចិត $O$៖ គណនាចម្ងាយពីគល់ $O(0, 0)$ ទៅចំណុចទាំងពីរ៖

\[\begin{aligned} OA &= \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \\ OB &= \sqrt{2^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \end{aligned}\]

ដោយសារ $OA = OB = \sqrt{29}$ នាំឱ្យចំណុច $B$ ស្ថិតនៅលើរង្វង់តែមួយជាមួយ $A$ ដែលមានផ្ចិត $O$។ ហេតុនេះ $B$ ពិតជាអាចកើតឡើងពី $A$ តាមការបំប្លែងវិលជុំវិញ $O$។

២. កំណត់មុំវិល $\theta$៖ ប្រៀបធៀបកូអរដោនេ $A(5, 2)$ និង $B(2, -5)$៖

\[x_B = 2 = y_A \quad{} \text{និង} \quad{} y_B = -5 = -x_A\]

ទំនាក់ទំនងនេះត្រូវគ្នានឹងកន្សោមបំប្លែងវិល $(x', y') = (y, -x)$ ដែលជាការវិលដោយមុំ $\theta = -90^\circ$ (ស្របទ្រនិចនាឡិកា) ឬ $\theta = 270^\circ$ (ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា)។

២៧លំហាត់ទី ២៧

គេឱ្យបន្ទាត់ $(d): x + y - 2 = 0$។ រកសមីការនៃបន្ទាត់ $(d')$ ជាភាពនៃ $(d)$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 45^\circ)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ $(d): x + y - 2 = 0$។

រូបមន្តនៃការបំប្លែងវិល $R_{(O, 45^\circ)}$ គឺ៖

\[\begin{cases} x' = x\cos 45^\circ - y\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(x - y) \\[8pt] y' = x\sin 45^\circ + y\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(x + y) \end{cases}\]

យើងសង្កេតឃើញថា $y' = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(x + y) \iff x + y = \sqrt{2}y'$។

ជំនួស $x + y = \sqrt{2}y'$ ចូលក្នុងសមីការបន្ទាត់ $(d): x + y - 2 = 0$៖

\[\sqrt{2}y' - 2 = 0 \iff y' = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\]

ដូចនេះ សមីការបន្ទាត់រូបភាព $(d')$ គឺ $y = \sqrt{2}$ (បន្ទាត់ដេកស្របនឹង $Ox$)។

២៨លំហាត់ទី ២៨

បង្ហាញថា ការបំប្លែងវិលដោយមុំ $\theta = 180^\circ$ ជុំវិញចំណុច $I$ គឺដូចគ្នាទៅនឹងការបំប្លែងឆ្លុះកណ្តាលធៀបនឹងចំណុច $I$ ($R_{(I, 180^\circ)} \equiv S_I$)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាង $M(x, y)$ ជាចំណុចណាមួយក្នុងប្លង់ និង $I(a, b)$ ជាចំណុចថេរ។

១. តាមការបំប្លែងវិល $R_{(I, 180^\circ)}$៖ រូបភាព $M'$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $IM' = IM$ និងមុំតម្រង់ទិស $(\overrightarrow{IM}, \overrightarrow{IM'}) = 180^\circ = \pi$។

មុំ $180^\circ$ មានន័យថា វ៉ិចទ័រទាំងពីរមានទិសផ្ទុយគ្នា៖

\[\overrightarrow{IM'} = -\overrightarrow{IM} \iff \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IM'} = \vec{0}\]

សមភាពនេះបញ្ជាក់ថា ចំណុច $I$ គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ $[MM']$។

២. តាមនិយមន័យនៃការបំប្លែងឆ្លុះកណ្តាល $S_I$៖ រូបភាពនៃ $M$ តាមការឆ្លុះធៀបនឹងចំណុច $I$ ($S_I$) គឺជាចំណុច $M'$ ដែលធ្វើឱ្យ $I$ ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ $[MM']$។

ដោយសារនិយមន័យទាំងពីរផ្ដល់លទ្ធផលដូចគ្នាទាំងស្រុងចំពោះគ្រប់ចំណុច $M$ យើងសន្និដ្ឋានបានថា៖

\[R_{(I, 180^\circ)} \equiv S_I\]

២៩លំហាត់ទី ២៩

គេឱ្យឆកោណទៀងទាត់ $ABCDEF$ មានផ្ចិត $O$។

រករូបភាពនៃកំពូលនីមួយៗតាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 60^\circ)}$។
រកមុំវិលវិជ្ជមានតូចបំផុតដែលប្លែងឆកោណនេះឱ្យត្រួតស៊ីគ្នាលើខ្លួនឯង។

មើលដំណោះស្រាយ

ឆកោណទៀងទាត់ $ABCDEF$ មានផ្ចិត $O$។ មុំនៅផ្ចិតស្មើគ្នា៖ $\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$។

ក. រករូបភាពនៃកំពូលនីមួយៗតាម $R_{(O, 60^\circ)}$៖ ការវិល $60^\circ$ តាមទិសវិជ្ជមាន (ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា) ប្លែងកំពូលនីមួយៗទៅកំពូលជាប់បន្ទាប់៖

\[\begin{aligned} A &\to B, \quad{} B \to C, \quad{} C \to D \\ D &\to E, \quad{} E \to F, \quad{} F \to A \end{aligned}\]

រូបភាពនៃឆកោណគឺ $BCDEFA$ ដែលត្រួតស៊ីគ្នាលើឆកោណដើម $ABCDEF$។

ខ. មុំវិលវិជ្ជមានតូចបំផុតឱ្យឆកោណត្រួតស៊ីគ្នាលើខ្លួនឯង៖ មុំវិលវិជ្ជមានតូចបំផុតនោះគឺមុំនៅផ្ចិតដែលទ្រជ្រុងមួយ៖

\[\theta_{\min} = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\]

៣០លំហាត់ទី ៣០

គេឱ្យចំណុច $A(4, 3)$ និង $I(1, -1)$។ រកកូអរដោនេនៃ $A'$ ជាភាពនៃ $A$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(I, 180^\circ)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(4, 3)$ និងផ្ចិតវិល $I(1, -1)$ មុំ $\theta = 180^\circ$។

ការបំប្លែងវិល $R_{(I, 180^\circ)}$ ស្មើនឹងការបំប្លែងឆ្លុះកណ្តាលធៀបនឹង $I$ ($S_I$) ដែលនាំឱ្យ $I$ ជាចំណុចកណ្តាលនៃ $[AA']$៖

\[\begin{cases} x_{A'} = 2x_I - x_A = 2(1) - 4 = -2 \\[6pt] y_{A'} = 2y_I - y_A = 2(-1) - 3 = -5 \end{cases}\]

ដូចនេះ កូអរដោនេនៃចំណុចរូបភាពគឺ $A'(-2, -5)$។

៣១លំហាត់ទី ៣១

គេឱ្យប៉ារ៉ាបូល $(P): y = x^2$។ រកសមីការនៃខ្សែកោង $(P')$ ជាភាពនៃ $(P)$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ប៉ារ៉ាបូល $(P): y = x^2$។

ការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$ មានរូបមន្ត $(x', y') = (-y, x)$។

ទាញរក $x$ និង $y$ ជាអនុគមន៍នៃ $x'$ និង $y'$៖

\[\begin{cases} x = y' \\ y = -x' \end{cases}\]

ជំនួស $x$ និង $y$ ចូលក្នុងសមីការប៉ារ៉ាបូល $(P)$៖

\[\begin{aligned} -x' &= (y')^2 \\ x' &= -(y')^2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ សមីការខ្សែកោងរូបភាព $(P')$ គឺ $x = -y^2$ (ប៉ារ៉ាបូលបើកទៅឆ្វេង)។

៣២លំហាត់ទី ៣២

បង្ហាញថា ការបំប្លែងវិលជាអ៊ីសូមេទ្រីផ្ទាល់ (Direct Isometry) ដែលរក្សាប្រវែង រង្វាស់មុំ និងទិសដៅតម្រង់ទិសនៃប្លង់។

មើលដំណោះស្រាយ

១. រក្សាប្រវែងអង្កត់ (Isometry)៖ យកចំណុចពីរ $A, B$ និងរូបភាព $A', B'$ តាម $R_{(O, \theta)}$។

ក្នុងត្រីកោណ $OAB$ និង $\triangle OA'B'$ យើងមាន៖

$OA' = OA$ (ការវិលរក្សាចម្ងាយពីផ្ចិត)
$OB' = OB$
$\widehat{A'OB'} = \widehat{A'OA} + \widehat{AOB} - \widehat{B'OB} = \theta + \widehat{AOB} - \theta = \widehat{AOB}$

នាំឱ្យ $\triangle OA'B' \cong \triangle OAB$ (ករណី ជ.ម.ជ) ហេតុនេះ $A'B' = AB$។

២. ជាអ៊ីសូមេទ្រីផ្ទាល់ (Direct Isometry)៖ ម៉ាទ្រីសតំណាងនៃការបំប្លែងវិលគឺ $M = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$។

ដេទែរមីណង់នៃម៉ាទ្រីស៖

\[\det(M) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = +1 > 0\]

ដោយសារ $\det(M) = +1$ នាំឱ្យការបំប្លែងវិលរក្សាទិសដៅតម្រង់ទិស (Orientation) នៃប្លង់ ហេតុនេះវាជាអ៊ីសូមេទ្រីផ្ទាល់ (Direct Isometry)។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

គេឱ្យចំណុច $A(2, 1)$ និង $B(6, 1)$។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $C$ ដើម្បីឱ្យត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស (ប្រើការបំប្លែងវិល $R_{(A, 60^\circ)}$)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(2, 1)$ និង $B(6, 1)$ នាំឱ្យ $\overrightarrow{AB} = (6 - 2, \, 1 - 1) = (4, 0)$ និង $AB = 4$។

ដើម្បីឱ្យ $\triangle ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស ចំណុច $C$ អាចរកបានតាមការបំប្លែងវិល $R_{(A, 60^\circ)}(B)$៖

វ៉ិចទ័រ $\overrightarrow{AC}$ ទទួលបានពីការបង្វិល $\overrightarrow{AB}$ ដោយមុំ $60^\circ$៖

\[\begin{aligned} x_C - x_A &= 4\cos 60^\circ = 2 \implies x_C = 4 \\ y_C - y_A &= 4\sin 60^\circ = 2\sqrt{3} \implies y_C = 1 + 2\sqrt{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ កូអរដោនេនៃ $C$ គឺ $C(4, \, 1 + 2\sqrt{3})$ (ឬ $C'(4, \, 1 - 2\sqrt{3})$ តាមការវិល $-60^\circ$)។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

គេឱ្យរង្វង់ $(C): x^2 + y^2 - 4x = 0$។ រកសមីការរង្វង់ $(C')$ ជាភាពនៃ $(C)$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

រង្វង់ $(C): x^2 + y^2 - 4x = 0$។

សរសេរជាទម្រង់ស្ដង់ដា៖

\[(x - 2)^2 + y^2 = 4\]

នាំឱ្យរង្វង់ $(C)$ មានផ្ចិត $I(2, 0)$ និងកាំ $R = \sqrt{4} = 2$។

តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$៖

ផ្ចិតថ្មី $I'$ ជារូបភាពនៃ $I(2, 0)$៖
\[I'(0, 2)\]
កាំរង្វង់រក្សាដដែល៖ $R' = R = 2$

សមីការរង្វង់រូបភាព $(C')$ គឺ៖

\[(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2 \iff x^2 + (y - 2)^2 = 4\]

(ឬពន្លាត៖ $x^2 + y^2 - 4y = 0$)។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

គេឱ្យចំណុច $A(2, 3)$ និង $A'(-1, 4)$។ បើដឹងថា $A' = R_{(O, \theta)}(A)$ ចូរគណនា $\cos\theta$ និង $\sin\theta$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(2, 3)$ និង $A'(-1, 4)$ ដោយ $A' = R_{(O, \theta)}(A)$។

រូបមន្តបំប្លែងវិលផ្ដល់ប្រព័ន្ធសមីការ៖

\[\begin{cases} -1 = 2\cos\theta - 3\sin\theta \quad{} (1) \\ 4 = 2\sin\theta + 3\cos\theta \quad{} (2) \end{cases}\]

គុណសមីការ (1) នឹង $2$ និងគុណសមីការ (2) នឹង $3$៖

\[\begin{aligned} -2 &= 4\cos\theta - 6\sin\theta \\ 12 &= 9\cos\theta + 6\sin\theta \end{aligned}\]

បូកសមីការទាំងពីរចូលគ្នា៖

\[10 = 13\cos\theta \implies \cos\theta = \frac{10}{13}\]

ជំនួស $\cos\theta = \dfrac{10}{13}$ ចូលសមីការ (2)៖

\[\begin{aligned} 2\sin\theta &= 4 - 3\left(\frac{10}{13}\right) = \frac{22}{13} \\ \implies \sin\theta &= \frac{11}{13} \end{aligned}\]

ដូចនេះ $\cos\theta = \dfrac{10}{13}$ និង $\sin\theta = \dfrac{11}{13}$។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

(PISA - កង់វិលកម្សាន្ត Ferris Wheel) កង់វិលកម្សាន្តមួយមានកាំ $R = 20\text{ m}$ វិលជុំវិញផ្ចិត $O(0, 25)$ ក្នុងប្លង់ឈរ (គិតជាម៉ែត្រ)។ កន្ត្រកមួយចេញពីចំណុចទាបបំផុត $P_0(0, 5)$។

រកកូអរដោនេនៃកន្ត្រកនៅពេលកង់វិលបានមុំ $90^\circ$ តាមទិសច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។
រកកម្ពស់នៃកន្ត្រកធៀបនឹងដីនៅពេលកង់វិលបានមុំ $120^\circ$។

មើលដំណោះស្រាយ

កង់វិលកម្សាន្តមានកាំ $R = 20\text{ m}$ ផ្ចិត $O(0, 25)$ និងទីតាំងទាបបំផុត $P_0(0, 5)$។

ក. រកកូអរដោនេកន្ត្រកពេលវិលបានមុំ $90^\circ$ ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា៖ វ៉ិចទ័រពីផ្ចិតទៅចំណុចដើមគឺ $\overrightarrow{OP_0} = (0 - 0, \, 5 - 25) = (0, -20)$។

បង្វិលវ៉ិចទ័រនេះដោយមុំ $90^\circ$ ច្រាសទ្រនិចនាឡិកាបាន $(x', y') = (-(-20), 0) = (20, 0)$។

កូអរដោនេថ្មីនៃកន្ត្រកគឺ៖

\[P_1 = O + (20, 0) = (0 + 20, \, 25 + 0) = (20, 25)\]

ខ. រកកម្ពស់ធៀបនឹងដីពេលវិលបានមុំ $120^\circ$៖ នៅទីតាំងដើម $P_0$ មុំប៉ូលែធៀបនឹងផ្ចិត $O$ គឺ $\alpha_0 = -90^\circ$។

ក្រោយពេលវិលបានមុំ $+120^\circ$ មុំថ្មីគឺ $\alpha = -90^\circ + 120^\circ = 30^\circ$។

អរដោនេ (កម្ពស់ធៀបនឹងដី) គឺ៖

\[\begin{aligned} y &= y_O + R\sin 30^\circ \\ &= 25 + 20\left(\frac{1}{2}\right) = 35\text{ m} \end{aligned}\]

ដូចនេះ កម្ពស់នៃកន្ត្រកធៀបនឹងដីគឺ $35\text{ m}$។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

គេឱ្យត្រីកោណ $ABC$ កែងត្រង់ $A$ ដែលមាន $AB = AC$ (កែងសមបាត)។ បង្ហាញថាការបំប្លែងវិល $R_{(A, 90^\circ)}$ ប្លែងចំណុច $B$ ទៅជាចំណុច $C$ (ឬផ្ទុយទៅវិញ)។

មើលដំណោះស្រាយ

ត្រីកោណ $ABC$ កែងសមបាតត្រង់ $A$ នាំឱ្យ $AB = AC$ និង $\widehat{BAC} = 90^\circ$។

ពិនិត្យការបំប្លែងវិល $R_{(A, 90^\circ)}$ ដែលមានផ្ចិត $A$ និងមុំ $90^\circ$៖

ផ្ចិត $A$ ជាចំណុចមិនប្រែប្រួល៖ $R_{(A, 90^\circ)}(A) = A$។
ចម្ងាយពីផ្ចិតទៅ $B$ គឺ $AB$។ ដោយសារ $AB = AC$ នាំឱ្យរូបភាពត្រូវមានចម្ងាយ $AC$ ពី $A$។
មុំរវាងកន្លះបន្ទាត់ $[AB)$ និង $[AC)$ គឺ $\widehat{BAC} = 90^\circ$ តាមទិសវិជ្ជមាន (ឬអវិជ្ជមានអាស្រ័យតាមការរៀបកំពូល)។

ហេតុនេះ ការបង្វិលកាំរស្មី $[AB)$ ដោយមុំ $90^\circ$ ជុំវិញ $A$ នឹងធ្វើឱ្យវាត្រួតស៊ីគ្នាលើកាំរស្មី $[AC)$ ហើយដោយ $AB = AC$ នាំឱ្យ៖

\[R_{(A, 90^\circ)}(B) = C\]

(ឬបើតម្រង់ទិសផ្ទុយគឺ $R_{(A, -90^\circ)}(B) = C$)។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

គេឱ្យបន្ទាត់ពីរ $(d_1): x - 2y + 1 = 0$ និង $(d_2): 2x + y - 4 = 0$។ បង្ហាញថា $(d_2)$ ជារូបភាពនៃ $(d_1)$ តាមការបំប្លែងវិលជុំវិញចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទាំងពីរដោយមុំ $90^\circ$។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ $(d_1): x - 2y + 1 = 0$ មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{n}_1 = (1, -2)$។

បន្ទាត់ $(d_2): 2x + y - 4 = 0$ មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{n}_2 = (2, 1)$។

គណនាផលគុណស្កាលែនៃវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ទាំងពីរ៖

\[\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1(2) + (-2)(1) = 2 - 2 = 0\]

ដោយសារ $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \implies \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2$ នាំឱ្យបន្ទាត់ទាំងពីរកាត់កែងគ្នា៖ $(d_1) \perp (d_2)$។

តាង $I$ ជាចំណុចប្រសព្វរវាង $(d_1)$ និង $(d_2)$ ($I \in (d_1)$ និង $I \in (d_2)$)។

ការបំប្លែងវិលជុំវិញផ្ចិត $I$ ដោយមុំ $90^\circ$ នឹងរក្សាទុកចំណុច $I$ នៅដដែល និងបង្វិលគ្រប់បន្ទាត់កាត់តាម $I$ ដោយមុំ $90^\circ$។

ដោយហេតុថា $(d_2)$ កាត់តាម $I$ ហើយកែងនឹង $(d_1)$ នោះរូបភាពនៃ $(d_1)$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(I, 90^\circ)}$ គឺពិតជាបន្ទាត់ $(d_2)$។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

រកកូអរដោនេនៃផ្ចិតវិល $I$ បើដឹងថាការបំប្លែងវិល $R_{(I, 90^\circ)}$ ប្លែងចំណុច $A(1, 2)$ ទៅជា $A'(3, 4)$។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងផ្ចិតវិលគឺ $I(a, b)$។

រូបមន្តបំប្លែងវិល $90^\circ$ ជុំវិញ $I(a, b)$ គឺ៖

\[\begin{cases} x' - a = -(y - b) \\ y' - b = x - a \end{cases}\]

ជំនួសកូអរដោនេ $A(1, 2)$ និង $A'(3, 4)$ ចូល៖

\[\begin{cases} 3 - a = -(2 - b) \iff a + b = 5 \quad{} (1) \\ 4 - b = 1 - a \iff a - b = -3 \quad{} (2) \end{cases}\]

បូកសមីការ (1) និង (2)៖

\[2a = 2 \implies a = 1\]

ជំនួស $a = 1$ ចូល (1)៖ $1 + b = 5 \implies b = 4$។

ដូចនេះ កូអរដោនេនៃផ្ចិតវិលគឺ $I(1, 4)$។

៤០លំហាត់ទី ៤០

គេឱ្យចំណុច $A(3, 0)$ និង $B(0, 3)$។ រកចំណុច $C$ ដើម្បីឱ្យ $\triangle ABC$ ក្លាយជាត្រីកោណសម័ង្ស។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(3, 0)$ និង $B(0, 3)$ នាំឱ្យ $\overrightarrow{AB} = (-3, 3)$ និង $AB = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$។

ដើម្បីឱ្យ $\triangle ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស ចំណុច $C$ អាចរកបានតាមការបំប្លែងវិល $R_{(A, 60^\circ)}$៖

\[\begin{aligned} x_C - 3 &= -3\left(\frac{1}{2}\right) - 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{-3 - 3\sqrt{3}}{2} \\ x_C &= 3 + \frac{-3 - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2} \\[6pt] y_C &= -3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 3\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ចំណុច $C$ គឺ $C\left(\frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}, \, \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}\right)$
(ឬចំណុចស៊ីមេទ្រីតាមការវិល $-60^\circ$ គឺ $C'\left(\frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}, \, \frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}\right)$)។

៤១លំហាត់ទី ៤១

បង្ហាញថា ផលបណ្តាក់នៃការបំប្លែងវិលពីរដែលមានផ្ចិតខុសគ្នា $R_{(A, \alpha)}$ និង $R_{(B, -\alpha)}$ គឺជាការបំប្លែងកិលមួយ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាង $f = R_{(B, -\alpha)} \circ R_{(A, \alpha)}$ ជាផលបណ្តាក់នៃការបំប្លែងវិលទាំងពីរ។

ការបំប្លែងវិលទាំងពីរ $R_{(A, \alpha)}$ និង $R_{(B, -\alpha)}$ សុទ្ធតែជាអ៊ីសូមេទ្រីផ្ទាល់ (Direct Isometries)។
ផលបណ្តាក់នៃអ៊ីសូមេទ្រីផ្ទាល់ពីរ គឺជាអ៊ីសូមេទ្រីផ្ទាល់មួយ (Direct Isometry)។
មុំវិលសរុបនៃផលបណ្តាក់គឺស្មើផលបូកនៃមុំវិលទាំងពីរ៖
\[\theta_{\text{សរុប}} = \alpha + (-\alpha) = 0\]

ក្នុងប្លង់ អ៊ីសូមេទ្រីផ្ទាល់ដែលមានមុំវិលស្មើ $0$ គឺជាការបំប្លែងកិល (Translation) ឬជាការបំប្លែងឯកត្តកម្ម (ករណី $A \equiv B$)។

ដោយសារ $A \ne B$ ផលបណ្តាក់នេះមិនមែនជាការបំប្លែងឯកត្តកម្មទេ ដូច្នេះវាគឺជា ការបំប្លែងកិល ពិតប្រាកដ។

៤២លំហាត់ទី ៤២

(PISA - ទ្រនិចនាឡិកា) នាឡិកាជញ្ជាំងមួយមានទ្រនិចខ្លី (ទ្រនិចម៉ោង) ប្រវែង $6\text{ cm}$ និងទ្រនិចវែង (ទ្រនិចនាទី) ប្រវែង $10\text{ cm}$។ ផ្ចិតនាឡិកាស្ថិតនៅគល់ $O(0, 0)$។

នៅម៉ោង $12: 00$ ត្រង់ ទ្រនិចទាំងពីរសុទ្ធតែចង្អុលទៅទិសខាងលើ (អ័ក្ស $+Oy$)។ រកកូអរដោនេនៃចុងទ្រនិចទាំងពីរ។
នៅម៉ោង $3: 00$ រកកូអរដោនេនៃចុងទ្រនិចម៉ោង តាមរយៈការបំប្លែងវិល។
គណនាមុំវិលនៃទ្រនិចនាទីក្នុងរយៈពេល $20$ នាទី។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. កូអរដោនេចុងទ្រនិចនៅម៉ោង $12: 00$៖ ទ្រនិចទាំងពីរកំពុងចង្អុលចំទិសឈរឡើងលើតាមអ័ក្ស $+Oy$៖

ទ្រនិចម៉ោង (ប្រវែង $6\text{ cm}$)៖ $H(0, 6)$
ទ្រនិចនាទី (ប្រវែង $10\text{ cm}$)៖ $M(0, 10)$

ខ. កូអរដោនេចុងទ្រនិចម៉ោងនៅម៉ោង $3: 00$៖ ពីម៉ោង $12$ ដល់ម៉ោង $3$ ទ្រនិចម៉ោងវិលបានមុំ $90^\circ$ តាមទិសទ្រនិចនាឡិកា (មុំវិល $\theta = -90^\circ$)៖

\[H(0, 6) \xrightarrow{R_{(O, -90^\circ)}} H'(6, 0)\]

គ. មុំវិលនៃទ្រនិចនាទីក្នុងរយៈពេល ២០ នាទី៖ ទ្រនិចនាទីវិលមួយជុំ ($360^\circ$) ក្នុងរយៈពេល $60$ នាទី។ ក្នុងរយៈពេល $20$ នាទី មុំវិលគឺ៖

\[\theta = \frac{20}{60} \times 360^\circ = 120^\circ\]

តាមទិសដៅទ្រនិចនាឡិកា (ទិសអវិជ្ជមាន) មុំវិលគឺ $-120^\circ$។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

គេឱ្យចំណុច $M(r\cos\alpha, r\sin\alpha)$ ក្នុងកូអរដោនេប៉ូលែ។ បង្ហាញថារូបភាពនៃ $M$ តាម $R_{(O, \theta)}$ គឺ $M'(r\cos(\alpha+\theta), r\sin(\alpha+\theta))$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $M$ មានកូអរដោនេប៉ូលែ $x = r\cos\alpha$ និង $y = r\sin\alpha$។

តាមរូបមន្តបំប្លែងវិល $R_{(O, \theta)}$ កូអរដោនេនៃ $M'(x', y')$ គឺ៖

\[\begin{aligned} x' &= x\cos\theta - y\sin\theta \\ &= (r\cos\alpha)\cos\theta - (r\sin\alpha)\sin\theta \\ &= r(\cos\alpha\cos\theta - \sin\alpha\sin\theta) \end{aligned}\]

តាមរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ $\cos(\alpha + \theta) = \cos\alpha\cos\theta - \sin\alpha\sin\theta$ នាំឱ្យ៖

\[x' = r\cos(\alpha + \theta)\]

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះ $y'$៖

\[\begin{aligned} y' &= x\sin\theta + y\cos\theta \\ &= (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta \\ &= r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) \\ &= r\sin(\alpha + \theta) \end{aligned}\]

ដូចនេះ $M'(r\cos(\alpha + \theta), \, r\sin(\alpha + \theta))$ ត្រូវបានបង្ហាញត្រឹមត្រូវ។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

គេឱ្យត្រីកោណ $ABC$។ នៅលើជ្រុង $[AB]$ និង $[AC]$ ខាងក្រៅត្រីកោណ គេសង់ការ៉េ $ABDE$ និង $ACFG$។ បង្ហាញថា $CD = BF$ និង $CD \perp BF$ ដោយប្រើការបំប្លែងវិល $R_{(A, 90^\circ)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ពិនិត្យការបំប្លែងវិល $R_{(A, 90^\circ)}$ ដែលមានផ្ចិត $A$ និងមុំ $90^\circ$ តាមទិសវិជ្ជមាន៖

ដោយសារ $ABDE$ ជាការ៉េ នាំឱ្យ $AB = AD$ និង $\widehat{BAD} = 90^\circ$ ហេតុនេះ $R_{(A, 90^\circ)}(B) = D$។
ដោយសារ $ACFG$ ជាការ៉េ នាំឱ្យ $AF = AC$ និង $\widehat{FAC} = 90^\circ$ ហេតុនេះ $R_{(A, 90^\circ)}(F) = C$ (ឬតាមទិសវិលត្រូវគ្នា)។

ការបំប្លែងវិល $R_{(A, 90^\circ)}$ ប្លែងអង្កត់ $[BF]$ ទៅជាអង្កត់ $[DC]$។

ដោយសារការបំប្លែងវិលរក្សាប្រវែងអង្កត់ និងបង្វិលបន្ទាត់ដោយមុំ $90^\circ$ យើងទាញបានភ្លាមៗថា៖

\[CD = BF \quad{} \text{និង} \quad{} CD \perp BF\]

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

គេឱ្យបន្ទាត់ $(d): y = \sqrt{3}x + 2$។ រកសមីការនៃបន្ទាត់ $(d')$ ជាភាពនៃ $(d)$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(O, 60^\circ)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ $(d): y = \sqrt{3}x + 2$។

មេគុណប្រាប់ទិស $m = \sqrt{3} \implies \tan\alpha = \sqrt{3} \implies \alpha = 60^\circ$។

ប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស $Oy$ គឺចំណុច $A(0, 2)$។

ក្រោយពេលវិល $60^\circ$ ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា មុំទិសថ្មីគឺ $\alpha' = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$។

មេគុណប្រាប់ទិសនៃ $(d')$ គឺ $m' = \tan 120^\circ = -\sqrt{3}$។
រូបភាពនៃចំណុច $A(0, 2)$ តាម $R_{(O, 60^\circ)}$៖
\[\begin{cases} x' = -2\sin 60^\circ = -\sqrt{3} \\ y' = 2\cos 60^\circ = 1 \end{cases} \implies A'(-\sqrt{3}, 1)\]

សមីការបន្ទាត់ $(d')$ កាត់តាម $A'(-\sqrt{3}, 1)$ មានមេគុណប្រាប់ទិស $m' = -\sqrt{3}$៖

\[\begin{aligned} y - 1 &= -\sqrt{3}(x - (-\sqrt{3})) \\ y - 1 &= -\sqrt{3}(x + \sqrt{3}) = -\sqrt{3}x - 3 \\ \sqrt{3}x + y + 2 &= 0 \end{aligned}\]

ដូចនេះ សមីការបន្ទាត់រូបភាពគឺ $\sqrt{3}x + y + 2 = 0$។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

រកកូអរដោនេនៃចំណុច $P'$ ជាភាពនៃ $P(-2, 3)$ តាមការបំប្លែងវិល $R_{(I, -90^\circ)}$ ដោយផ្ចិត $I(1, 1)$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $P(-2, 3)$ ផ្ចិតវិល $I(1, 1)$ មុំវិល $\theta = -90^\circ$។

រូបមន្តបំប្លែងវិលដោយមុំ $-90^\circ$ ជុំវិញ $I(a, b)$ គឺ៖

\[\begin{cases} x' - a = y - b \\ y' - b = -(x - a) \end{cases}\]

ជំនួស $a = 1, b = 1$ និង $x = -2, y = 3$៖

\[\begin{aligned} x' - 1 &= 3 - 1 = 2 \implies x' = 3 \\ y' - 1 &= -(-2 - 1) = -(-3) = 3 \implies y' = 4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ កូអរដោនេនៃចំណុចរូបភាពគឺ $P'(3, 4)$។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

គេឱ្យផ្កាយប្រាំបែកទៀងទាត់មួយមានផ្ចិត $O$។ រកមុំវិលវិជ្ជមានតូចបំផុតដែលប្លែងផ្កាយនេះឱ្យត្រួតស៊ីគ្នាលើខ្លួនឯង។

មើលដំណោះស្រាយ

ផ្កាយប្រាំបែកទៀងទាត់មួយមានកំពូលទាំង ៥ ចែករង្វង់ជុំវិញផ្ចិត $O$ ជា ៥ ធ្នូស្មើៗគ្នា។

មុំនៅផ្ចិតរវាងកំពូលជាប់គ្នាពីរគឺ៖

\[\theta = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ\]

ការបំប្លែងវិលជុំវិញផ្ចិត $O$ ដោយមុំ $72^\circ$ នឹងប្លែងកំពូលនីមួយៗឱ្យទៅធ្លាក់ចំកំពូលបន្ទាប់ ហេតុនេះរូបផ្កាយទាំងមូលនឹងត្រួតស៊ីគ្នាលើខ្លួនឯងដដែល។

ដូចនេះ មុំវិលវិជ្ជមានតូចបំផុតគឺ $\theta = 72^\circ$។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

(PISA - រ៉ាដាស្កេន (Radar Scanner)) អង់តែនរ៉ាដាត្រួតពិនិត្យដែនអាកាសមួយវិលជុំវិញផ្ចិត $O$ ដោយល្បឿនថេរ $6$ ជុំ/នាទី ។

គណនាល្បឿនមុំនៃការវិល (គិតជា ដឺក្រេ/វិនាទី)។
បើរ៉ាដាចាប់បានសញ្ញាយន្តហោះមួយនៅទីតាំង $(30, 40)\text{ km}$ នៅខណៈ $t = 0$ ហើយយន្តហោះហោះហើរតាមគន្លងរង្វង់ជុំវិញ $O$ ដោយល្បឿនមុំស្មើនឹងរ៉ាដា តើទីតាំងយន្តហោះនៅឯណាពេល $t = 2.5$ វិនាទី ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. គណនាល្បឿនមុំនៃការវិល៖ រ៉ាដាវិលបាន $6$ ជុំ/នាទី ។ មួយជុំស្មើនឹង $360^\circ$៖

\[\omega = \frac{6 \times 360^\circ}{60\text{ s}} = \frac{2160^\circ}{60\text{ s}} = 36^\circ/\text{s}\]

ខ. រកទីតាំងយន្តហោះនៅខណៈ $t = 2.5$ វិនាទី ៖ ក្នុងរយៈពេល $t = 2.5\text{ s}$ មុំវិលសរុបគឺ៖

\[\theta = \omega \times t = 36^\circ \times 2.5 = 90^\circ\]

ទីតាំងដើមគឺ $P(30, 40)\text{ km}$។ ការវិលជុំវិញគល់ $O(0, 0)$ ដោយមុំ $90^\circ$ មានរូបមន្ត $(x', y') = (-y, x)$៖

\[P'(-40, 30)\text{ km}\]

ដូចនេះ ទីតាំងយន្តហោះនៅខណៈ $t = 2.5\text{ s}$ គឺ $(-40, 30)\text{ km}$។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

គេឱ្យចំណុច $A(1, 0), B(0, 1), C(-1, 0), D(0, -1)$។ បង្ហាញថា $ABCD$ ជាការ៉េដោយប្រើការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(1, 0), B(0, 1), C(-1, 0), D(0, -1)$។

អនុវត្តការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$ ដែលមានរូបមន្ត $(x, y) \to (-y, x)$៖

\[\begin{aligned} A(1, 0) &\to (-0, 1) = (0, 1) = B \\ B(0, 1) &\to (-1, 0) = C \\ C(-1, 0) &\to (0, -1) = D \\ D(0, -1) &\to (-(-1), 0) = (1, 0) = A \end{aligned}\]

ការបំប្លែងវិល $R_{(O, 90^\circ)}$ ប្លែងកំពូល $A \to B \to C \to D \to A$ និងប្លែងជ្រុង $[AB] \to [BC] \to [CD] \to [DA] \to [AB]$។

ដោយសារការបំប្លែងវិលជាអ៊ីសូមេទ្រី វារក្សាប្រវែងជ្រុង ($AB = BC = CD = DA$) និងបង្វិលជ្រុងជាប់គ្នាដោយមុំ $90^\circ$ ($\widehat{ABC} = \widehat{BCD} = \widehat{CDA} = \widehat{DAB} = 90^\circ$)។

ដូចនេះ ចតុកោណ $ABCD$ គឺជាការ៉េពិតប្រាកដ។

៥០លំហាត់ទី ៥០

(PISA - ថាមពលកង្ហារខ្យល់ Wind Turbine) កង្ហារខ្យល់មួយមានស្លាប ៣ ស្មើៗគ្នា ប្រវែងស្លាបនីមួយៗគឺ $40\text{ m}$ ភ្ជាប់គ្នាត្រង់ផ្ចិត $O(0, 50)$ (គិតជាម៉ែត្រ)។ ស្លាបទីមួយចង្អុលចំទិសឈរត្រង់ឡើងលើនៅខណៈដើម។

រកកូអរដោនេនៃចុងស្លាបទាំងបីនៅខណៈដើម។
រកកូអរដោនេនៃចុងស្លាបទីមួយក្រោយពេលកង្ហារវិលបានមុំ $45^\circ$ តាមទិសទ្រនិចនាឡិកា។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃចុងស្លាបទាំងបីនៅខណៈដើម៖ ផ្ចិតកង្ហារស្ថិតនៅ $O(0, 50)$ និងប្រវែងស្លាប $R = 40\text{ m}$។

ស្លាបទាំង ៣ បង្កើតមុំ $120^\circ$ នឹងគ្នា៖

ស្លាបទី ១ (ចង្អុលឡើងលើ $\alpha_1 = 90^\circ$)៖
\[A_1(0, \, 50 + 40) = A_1(0, 90)\]
ស្លាបទី ២ (មុំ $\alpha_2 = 90^\circ + 120^\circ = 210^\circ$)៖
\[\begin{cases} x_2 = 40\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -20\sqrt{3} \\[6pt] y_2 = 50 + 40\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 30 \end{cases}\]
$\implies A_2(-20\sqrt{3}, 30)$
ស្លាបទី ៣ (មុំ $\alpha_3 = 210^\circ + 120^\circ = 330^\circ$)៖
\[\begin{cases} x_3 = 40\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 20\sqrt{3} \\[6pt] y_3 = 50 + 40\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 30 \end{cases}\]
$\implies A_3(20\sqrt{3}, 30)$

ខ. កូអរដោនេចុងស្លាបទី ១ ក្រោយវិលបាន $45^\circ$ តាមទ្រនិចនាឡិកា៖ មុំថ្មីធៀបនឹងផ្ចិត $O$ គឺ $\alpha' = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$៖

\[\begin{cases} x' = 40\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 20\sqrt{2} \approx 28.28\text{ m} \\[6pt] y' = 50 + 20\sqrt{2} \approx 78.28\text{ m} \end{cases}\]

ដូចនេះ កូអរដោនេចុងស្លាបទី ១ គឺ $(20\sqrt{2}, \, 50 + 20\sqrt{2})$។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ៩ ការបំប្លែងរូបក្នុងប្លង់ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត