មេរៀនទី ២៣ : ការបំប្លែងកិល — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

ប្រវត្តិនៃការបំប្លែងកិល និងកម្មវិធីអ៊ែរឡាំងហ្គេន

ការសិក្សាពីការបំប្លែងរូប (Transformations) ដូចជាការបំប្លែងកិល ត្រូវបានរៀបចំជាប្រព័ន្ធដោយគណិតវិទូជនជាតិអាល្លឺម៉ង់ ហ្វីលីច ខ្លេន (Felix Klein) ក្នុងឆ្នាំ១៨៧២ តាមរយៈកម្មវិធីអ៊ែរឡាំងហ្គេន (Erlangen Program)។ គាត់បានស្នើថាយើងអាចសិក្សាធរណីមាត្រតាមរយៈការបំប្លែងដែលរក្សាលក្ខណៈនៃរូប (Isometries)។ ការបំប្លែងកិល (Translation) ជាការបំប្លែងងាយបំផុតមួយ ដែលរក្សាប្រវែង រាង និងទំហំរបស់រូបជានិច្ច។

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ?

រំលឹកចំណេះដឹងពីថ្នាក់ទី៩៖
១. សញ្ញាណនៃវ៉ិចទ័រ និងវ៉ិចទ័រស្មើគ្នា
២. ការសង់រូបភាពនៃចំណុចតាមការផ្លាស់ទី
៣. ការបូកវ៉ិចទ័រក្នុងប្លង់កូអរដោនេ

ការបំប្លែងកិលចំណុច

ឧទាហរណ៍

៖ គេរំកិលខ្សាច់មួយគ្រាប់នៅលើតុមួយពីចំណុច \(M\) ទៅ \(M'\) តាមទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) ។ គេថា \(M'\) ជារូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែងកិលវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេកំណត់សរសេរ \(M' = t_{\vec{p}}(M)\) ឬ \(M \xrightarrow{t_{\vec{p}}} M'\)

\(t_{\vec{p}}\) ហៅថាការបំប្លែងកិលតាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) ។

ជាទូទៅ

រូបភាពនៃចំណុច \(M\) តាមការបំប្លែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) គឺចំណុច \(M'\) ដែល \(\overrightarrow{MM'} = \vec{p}\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(M' = t_{\vec{p}}(M)\) ឬ \(M \xrightarrow{t_{\vec{p}}} M'\) ។

ឧទាហរណ៍

៖ គេមានវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) និងចំណុច \(A\) ។ គេបំប្លែងកិលចំណុច \(A\) ទៅ \(A'\) តាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) ។ យើងឃើញថា រូបភាពនៃចំណុច \(A\) តាមការបំប្លែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) គឺចំណុច \(A'\) ដែល \(\overrightarrow{AA'} = \vec{p}\) ។

គេកំណត់សរសេរ \(A' = t_{\vec{p}}(A)\) ឬ \(A \xrightarrow{t_{\vec{p}}} A'\) ។

ការបំប្លែងកិលរូប

ឧទាហរណ៍

៖ គេរំកិលទៀននៅលើតុមួយពីកន្លែងមួយទៅកន្លែងមួយទៀត ។ ទៀនពុំបានទទួលរងការខូច រាងទំហំ និងទ្រង់ទ្រាយរបស់វាទេ គឺគ្រាន់តែផ្លាស់ប្ដូរទីកន្លែង ឬទីតាំងរបស់វាប៉ុណ្ណោះ ។ ការរំកិលនេះ ហៅថា ការបំប្លែងកិលរូប ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

បើគេរំកិលទៀនពីទីតាំង \(PQ\) ទៅ \(P'Q'\) នោះ គេបាន \(\overrightarrow{PP'} = \overrightarrow{QQ'}\) ។

និយមន័យ

ការបំប្លែងកិលរូប គឺជាការផ្លាស់ទីគ្រប់ចំណុចទាំងអស់របស់វត្ថុមួយក្នុងចម្ងាយស្មើគ្នា និងមានទិសដៅដូចគ្នា ។

ឧទាហរណ៍

៖ គេបំប្លែងកិលរូបតាមសញ្ញាព្រួញ ។ តាមរូបភាពដើម គេអាចរំកិលបានរូបភាពដូចខាងក្រោម៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមនិយមន័យ និងឧទាហរណ៍គេអាចសន្និដ្ឋានបានដូចខាងក្រោម ៖

សន្និដ្ឋាន	ការបំប្លែងកិល
	១. រូបភាពនៃអង្កត់មួយជាអង្កត់មួយទៀត ហើយអង្កត់ទាំងពីរស្របគ្នា និងមានប្រវែងស្មើគ្នា ។
	២. រូបភាពនៃបន្ទាត់មួយជាបន្ទាត់មួយទៀត ហើយបន្ទាត់ទាំងពីរស្របគ្នា ។
	៣. រូបភាពនៃមុំមួយជាមុំមួយទៀត ហើយមុំទាំងពីរមានរង្វាស់ស្មើគ្នា ។
	៤. រូបភាពនៃរូប \(F\) មួយជារូប \(F'\) មួយទៀត ដែលប៉ុនគ្នានឹងរូប \(F\) ។

ប្រតិបត្តិ

បំប្លែងកិលរូបខាងស្ដាំទៅមុខ \(4\) ឯកតា និងទៅលើ \(1\) ឯកតា ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ការបកស្រាយនៃការបំប្លែងកិលក្នុងតម្រុយកូអរដោនេ

ឧទាហរណ៍

៖ គេមានវ៉ិចទ័រ \(\vec{p} = (a, b)\) និងចំណុច \(M(x, y)\) ក្នុងតម្រុយកូអរដោនេ ។ គេបំប្លែងកិលចំណុច \(M(x, y)\) ទៅ \(M'(x', y')\) តាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) ។

តាមរូបគេបានចំណុច \(M'(x', y')\) ជារូបភាពនៃចំណុច \(M(x, y)\) តាមការបំប្លែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) ។ តាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) គេកំណត់ដោយ \(M(x, y) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} M'(x', y')\) ដែល \(\overrightarrow{MM'} = \vec{p}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដោយត្រីកោណកែង \(OQP\) និង \(MNM'\) ប៉ុនគ្នា (ករណី អ.ម) នាំឱ្យគេបាន

\(x' - x = a\) ឬ \(x' = x + a\), \(y' - y = b\) ឬ \(y' = y + b\) ។ ដូច្នេះ \(M'(x+a, y+b)\) ជារូបភាពនៃ \(M(x, y)\) តាមការបំប្លែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p} = (a, b)\) ។

គេកំណត់ \(M(x, y) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} M'(x+a, y+b)\) ។

ជាទូទៅ

\(M'(x+a, y+b)\) ជារូបភាពនៃ \(M(x, y)\) តាមការបំប្លែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p} = (a, b)\) ដែលគេកំណត់ដោយ \(M(x, y) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} M'(x+a, y+b)\) ។

ឧទាហរណ៍

៖ រករូបភាពនៃត្រីកោណ \(PQR\) តាមការបំប្លែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (-3, 2)\) ដែល \(P(2, 0)\), \(Q(3, 3)\) និង \(R(4, 1)\) ។

តាង \(P'Q'R'\) ជារូបភាពនៃត្រីកោណ \(PQR\) ។

ដោយ \(\Delta P'Q'R'\) ជារូបភាពនៃ \(\Delta PQR\)

តាមរូបមន្ត \(M(x, y) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} M'(x+a, y+b)\)

គេបាន \(P(2, 0) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} P'(-1, 2)\)

\(Q(3, 3) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} Q'(0, 5)\)

\(R(4, 1) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} R'(1, 3)\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានវ៉ិចទ័រ \(\vec{p} = (-1, -2)\) និងអង្កត់ \(MN\) ដែល \(M(1, 2)\), \(N(-2, 5)\) ។ រករូបភាពនៃអង្កត់ \(MN\) តាមការបំប្លែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) ។

មើលចម្លើយ

\(M'(0, 0)\), \(N'(-3, 3)\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (3, 4)\) និងការេ \(PQRS\) ដែល \(P(4, -1)\), \(Q(1, -1)\), \(R(1, -4)\) និង \(S(4, -4)\) ។ រករូបភាពនៃការេ \(PQRS\) តាមការបំប្លែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) ។

មើលចម្លើយ

\(P'(7, 3)\), \(Q'(4, 3)\), \(R'(4, 0)\), \(S'(7, 0)\) ។

ប្រតិបត្តិ

បើរូបភាពនៃចំណុច \((-2, 1)\) តាមការបំប្លែងកិលមួយគឺ \((1, 0)\) ។ រកកូអរដោនេនៃរូបភាពរបស់ចំណុច \((2, 3)\) តាមការបំប្លែងកិលខាងលើ ។

មើលចម្លើយ

\((5, 2)\) ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

រករូបភាពនៃចំណុចខាងក្រោមតាមការបំប្លែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p} = (3, 5)\)

\((6, 6)\)
\((-1, 3)\)
\((0, 0)\)
\((-3, 5)\)

មើលដំណោះស្រាយ

តាមរូបមន្តការបំប្លែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p} = (a, b)\) រូបភាពនៃចំណុច \(M(x, y)\) គឺ \(M'(x', y')\) ដែលកំណត់ដោយ៖

\[\begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}\]

ក្នុងលំហាត់នេះ វ៉ិចទ័រកិលគឺ \(\vec{p} = (3, 5)\) នាំឱ្យ \(\begin{cases} x' = x + 3 \\ y' = y + 5 \end{cases}\)។

ក. រូបភាពនៃចំណុច \((6, 6)\)៖

\[\begin{cases} x' = 6 + 3 = 9 \\ y' = 6 + 5 = 11 \end{cases} \implies (9, 11)\]

ខ. រូបភាពនៃចំណុច \((-1, 3)\)៖

\[\begin{cases} x' = -1 + 3 = 2 \\ y' = 3 + 5 = 8 \end{cases} \implies (2, 8)\]

គ. រូបភាពនៃចំណុច \((0, 0)\)៖

\[\begin{cases} x' = 0 + 3 = 3 \\ y' = 0 + 5 = 5 \end{cases} \implies (3, 5)\]

ឃ. រូបភាពនៃចំណុច \((-3, 5)\)៖

\[\begin{cases} x' = -3 + 3 = 0 \\ y' = 5 + 5 = 10 \end{cases} \implies (0, 10)\]

២លំហាត់ទី ២

កំណត់កូអរដោនេនៃរូបភាពរបស់ចំណុច \((-1, 2)\) តាមការបំប្លែងកិលខាងក្រោម៖

បំប្លែងកិលតាម \(\vec{a} = (3, 0)\)
បំប្លែងកិលតាម \(\vec{b} = (0, -3)\)
បំប្លែងកិលតាម \(\vec{c} = (4, -2)\)
បំប្លែងកិល \(\vec{d} = (1, -5)\)
បំប្លែងកិលតាម \(\vec{e} = (-2, -4)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

រូបភាពនៃចំណុច \(M(-1, 2)\) តាមការបំប្លែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (a, b)\) គឺ \(M'(-1 + a, 2 + b)\)។

ក. បំប្លែងកិលតាម \(\vec{a} = (3, 0)\)៖

\[M'(-1 + 3, 2 + 0) = (2, 2)\]

ខ. បំប្លែងកិលតាម \(\vec{b} = (0, -3)\)៖

\[M'(-1 + 0, 2 + (-3)) = (-1, -1)\]

គ. បំប្លែងកិលតាម \(\vec{c} = (4, -2)\)៖

\[M'(-1 + 4, 2 + (-2)) = (3, 0)\]

ឃ. បំប្លែងកិលតាម \(\vec{d} = (1, -5)\)៖

\[M'(-1 + 1, 2 + (-5)) = (0, -3)\]

ង. បំប្លែងកិលតាម \(\vec{e} = (-2, -4)\)៖

\[M'(-1 + (-2), 2 + (-4)) = (-3, -2)\]

៣លំហាត់ទី ៣

រូបភាពនៃចំណុច \(A(3, 2)\) តាមការបំប្លែងនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) បានចំណុច \(A'(-4, 1)\) ។ រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមនិយមន័យនៃការបំប្លែងកិល បើ \(A'\) ជារូបភាពនៃ \(A\) តាម \(t_{\vec{p}}\) នោះគេបាន៖

\[\overrightarrow{AA'} = \vec{p}\]

ដោយ \(A(3, 2)\) និង \(A'(-4, 1)\) នោះកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) គឺ៖

\[\begin{aligned} \vec{p} &= (x_{A'} - x_A, \, y_{A'} - y_A) \\ &= (-4 - 3, \, 1 - 2) \\ &= (-7, -1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ វ៉ិចទ័រកិលគឺ \(\vec{p} = (-7, -1)\)។

៤លំហាត់ទី ៤

រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) កំណត់ដោយការបំប្លែងកិលខាងក្រោម៖

\((5, 3) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (8, 7)\)
\((1, 1) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (9, 11)\)
\((-5, -4) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (4, -1)\)
\((-2, -7) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (-8, -5)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

បើចំណុច \(A(x, y) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} A'(x', y')\) នោះវ៉ិចទ័រកិលកំណត់ដោយ \(\vec{p} = (x' - x, \, y' - y)\)។

ក. \((5, 3) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (8, 7)\)៖

\[\vec{p} = (8 - 5, \, 7 - 3) = (3, 4)\]

ខ. \((1, 1) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (9, 11)\)៖

\[\vec{p} = (9 - 1, \, 11 - 1) = (8, 10)\]

គ. \((-5, -4) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (4, -1)\)៖

\[\begin{aligned} \vec{p} &= (4 - (-5), \, -1 - (-4)) \\ &= (4 + 5, \, -1 + 4) = (9, 3) \end{aligned}\]

ឃ. \((-2, -7) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (-8, -5)\)៖

\[\begin{aligned} \vec{p} &= (-8 - (-2), \, -5 - (-7)) \\ &= (-8 + 2, \, -5 + 7) = (-6, 2) \end{aligned}\]

៥លំហាត់ទី ៥

បើរូបភាពនៃចំណុច \((-1, 5)\) តាមការបំប្លែងកិល គឺ \((2, 1)\) រកកូអរដោនេនៃរូបភាពរបស់ចំណុចនីមួយៗតាមការបំប្លែងកិលដូចគ្នា

\((-1, 2)\)
\((1, -2)\)
\((3, 4)\)
\((4, 3)\)
\((-6, -2)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដំបូង រកវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{p} = (a, b)\) ដែលប្លែង \((-1, 5)\) ទៅជា \((2, 1)\)៖

\[\vec{p} = (2 - (-1), \, 1 - 5) = (2 + 1, \, -4) = (3, -4)\]

រូបមន្តបំប្លែងកិលសម្រាប់គ្រប់ចំណុច \((x, y)\) គឺ៖

\[(x', y') = (x + 3, \, y - 4)\]

ក. ចំពោះ \((-1, 2)\)៖

\[(-1 + 3, \, 2 - 4) = (2, -2)\]

ខ. ចំពោះ \((1, -2)\)៖

\[(1 + 3, \, -2 - 4) = (4, -6)\]

គ. ចំពោះ \((3, 4)\)៖

\[(3 + 3, \, 4 - 4) = (6, 0)\]

ឃ. ចំពោះ \((4, 3)\)៖

\[(4 + 3, \, 3 - 4) = (7, -1)\]

ង. ចំពោះ \((-6, -2)\)៖

\[(-6 + 3, \, -2 - 4) = (-3, -6)\]

៦លំហាត់ទី ៦

គេមានបីចំណុច \(A(2, 1)\), \(B(1, 6)\) និង \(C(3, 5)\) ។

រករូបភាពនៃត្រីកោណ \(ABC\) តាមការបំប្លែងកិល \((x, y) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (x+4, y+2)\) ។
គណនាប្រវែង \(AB, AC, BC, A'B', B'C'\) និង \(A'C'\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃកំពូលរូបភាព \(A', B', C'\)៖ តាមកន្សោមបំប្លែង \((x, y) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (x + 4, \, y + 2)\) យើងបាន៖

\[\begin{aligned} A(2, 1) &\xrightarrow{t_{\vec{p}}} A'(2 + 4, \, 1 + 2) = (6, 3) \\ B(1, 6) &\xrightarrow{t_{\vec{p}}} B'(1 + 4, \, 6 + 2) = (5, 8) \\ C(3, 5) &\xrightarrow{t_{\vec{p}}} C'(3 + 4, \, 5 + 2) = (7, 7) \end{aligned}\]

ដូចនេះ រូបភាពនៃត្រីកោណ \(ABC\) គឺ \(\triangle A'B'C'\) ដែលមានកំពូល \(A'(6, 3), B'(5, 8), C'(7, 7)\)។

ខ. គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងឡាយ៖ តាមរូបមន្តចម្ងាយរវាងពីរចំណុច \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)៖

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(1 - 2)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \\ AC &= \sqrt{(3 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \\ BC &= \sqrt{(3 - 1)^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \end{aligned}\]

ដោយសារការបំប្លែងកិលរក្សាទុកប្រវែងអង្កត់ នាំឱ្យប្រវែងជ្រុងនៃ \(\triangle A'B'C'\) ស្មើនឹងជ្រុងត្រូវគ្នានៃ \(\triangle ABC\)៖

\[\begin{aligned} A'B' &= AB = \sqrt{26}, \quad{} A'C' = AC = \sqrt{17} \\ B'C' &= BC = \sqrt{5} \end{aligned}\]

៧លំហាត់ទី ៧

រករូបភាពនៃបន្ទាត់ដែលមានសមីការ \(2x + y = 5\) តាមការបំប្លែងកិល \((x, y) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (x-1, y+3)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ការបំប្លែងកិលកំណត់ដោយ \((x, y) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (x', y') = (x - 1, \, y + 3)\)។

ទាញរក \(x\) និង \(y\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x'\) និង \(y'\)៖

\[\begin{cases} x' = x - 1 \implies x = x' + 1 \\ y' = y + 3 \implies y = y' - 3 \end{cases}\]

ជំនួស \(x\) និង \(y\) ចូលក្នុងសមីការបន្ទាត់ដើម \(2x + y = 5\)៖

\[\begin{aligned} 2(x' + 1) + (y' - 3) &= 5 \\ 2x' + 2 + y' - 3 &= 5 \\ 2x' + y' - 1 &= 5 \\ 2x' + y' &= 6 \end{aligned}\]

ដូចនេះ សមីការរូបភាពនៃបន្ទាត់គឺ \(2x + y = 6\)។

៨លំហាត់ទី ៨

រកកំពូលនៃរូបភាពរបស់រូបធរណីមាត្រតាមការបំប្លែងកិលខាងក្រោម ព្រមទាំងសង់ក្រាបរបស់វា ។

\(\Delta EFG\) ដែលមានកំពូល \(E(-5, -2)\), \(F(-2, 3)\) និង \(G(2, -3)\) បំប្លែងកិលតាម \(\vec{u} = (6, 3)\) ។
\(\Delta PQR\) ដែលមានកំពូល \(P(0, 0)\), \(Q(-3, -4)\) និង \(R(1, 3)\) បំប្លែងកិលតាម \(\vec{v} = (-6, 3)\) ។
ការេ \(SQAR\) ដែលមានកំពូល \(S(2, 1)\), \(Q(4, 3)\), \(A(2, 5)\) និង \(R(0, 3)\) បំប្លែងកិលតាម \(\vec{w} = (-1, 3)\) ។
ចតុកោណកែង \(WXYZ\) ដែលមានកំពូល \(W(-4, 1)\), \(X(2, 4)\), \(Y(3, 2)\) និង \(Z(-3, -1)\) បំប្លែងកិលតាម \(\vec{p} = (-1, 4)\) ។
ប្រលេឡូក្រាម \(FGHJ\) ដែលមានកំពូល \(F(7, 5)\), \(G(5, 2)\), \(H(7, 0)\) និង \(J(9, 3)\) បំប្លែងកិលតាម \(\vec{a} = (-4, -2)\) ។
បញ្ចកោណ \(ABCDE\) ដែលមានកំពូល \(A(-1, -2)\), \(B(0, -1)\), \(C(1, 1)\), \(D(-1, 3)\) និង \(E(-3, 1)\) បំប្លែងកិលតាម \(\vec{b} = (-2, 1)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

រូបភាពនៃចំណុច \((x, y)\) តាមការបំប្លែងកិលវ៉ិចទ័រ \((a, b)\) គឺ \((x + a, \, y + b)\)។

ក. \(\Delta EFG\) បំប្លែងតាម \(\vec{u} = (6, 3)\)៖

\[\begin{aligned} E(-5, -2) &\to E'(-5 + 6, \, -2 + 3) = (1, 1) \\ F(-2, 3) &\to F'(-2 + 6, \, 3 + 3) = (4, 6) \\ G(2, -3) &\to G'(2 + 6, \, -3 + 3) = (8, 0) \end{aligned}\]

ខ. \(\Delta PQR\) បំប្លែងតាម \(\vec{v} = (-6, 3)\)៖

\[\begin{aligned} P(0, 0) &\to P'(0 - 6, \, 0 + 3) = (-6, 3) \\ Q(-3, -4) &\to Q'(-3 - 6, \, -4 + 3) = (-9, -1) \\ R(1, 3) &\to R'(1 - 6, \, 3 + 3) = (-5, 6) \end{aligned}\]

គ. ការេ \(SQAR\) បំប្លែងតាម \(\vec{w} = (-1, 3)\)៖

\[\begin{aligned} S(2, 1) &\to S'(1, 4), \quad{} Q(4, 3) \to Q'(3, 6) \\ A(2, 5) &\to A'(1, 8), \quad{} R(0, 3) \to R'(-1, 6) \end{aligned}\]

ឃ. ចតុកោណកែង \(WXYZ\) បំប្លែងតាម \(\vec{p} = (-1, 4)\)៖

\[\begin{aligned} W(-4, 1) &\to W'(-5, 5), \quad{} X(2, 4) \to X'(1, 8) \\ Y(3, 2) &\to Y'(2, 6), \quad{} Z(-3, -1) \to Z'(-4, 3) \end{aligned}\]

ង. ប្រលេឡូក្រាម \(FGHJ\) បំប្លែងតាម \(\vec{a} = (-4, -2)\)៖

\[\begin{aligned} F(7, 5) &\to F'(3, 3), \quad{} G(5, 2) \to G'(1, 0) \\ H(7, 0) &\to H'(3, -2), \quad{} J(9, 3) \to J'(5, 1) \end{aligned}\]

ច. បញ្ចកោណ \(ABCDE\) បំប្លែងតាម \(\vec{b} = (-2, 1)\)៖

\[\begin{aligned} A(-1, -2) &\to A'(-3, -1), \; B(0, -1) \to B'(-2, 0) \\ C(1, 1) &\to C'(-1, 2), \; D(-1, 3) \to D'(-3, 4) \\ E(-3, 1) &\to E'(-5, 2) \end{aligned}\]

៩លំហាត់ទី ៩

\(\Delta MNP\) មានកំពូល \(M(4, 2)\), \(N(-8, 0)\) និង \(P(6, 7)\) ។ គេបំប្លែងកិលបាន \(M'\) ដែលមានកូអរដោនេ \((-2, 4)\) ។

បកស្រាយការបំប្លែងកិលដោយប្រើគូលំដាប់ ។
រកកូអរដោនេនៃ \(N'\) និង \(P'\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បកស្រាយការបំប្លែងកិលដោយប្រើគូលំដាប់៖ ចំណុច \(M(4, 2)\) មានរូបភាពជា \(M'(-2, 4)\)។ វ៉ិចទ័រកិលគឺ៖

\[\vec{p} = \overrightarrow{MM'} = (-2 - 4, \, 4 - 2) = (-6, 2)\]

ការបំប្លែងកិលនេះកំណត់ដោយគូលំដាប់៖

\[(x, y) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (x - 6, \, y + 2)\]

ខ. រកកូអរដោនេនៃ \(N'\) និង \(P'\)៖ អនុវត្តកន្សោមបំប្លែងខាងលើចំពោះ \(N(-8, 0)\) និង \(P(6, 7)\)៖

\[\begin{aligned} N(-8, 0) &\to N'(-8 - 6, \, 0 + 2) = (-14, 2) \\ P(6, 7) &\to P'(6 - 6, \, 7 + 2) = (0, 9) \end{aligned}\]

ដូចនេះ \(N'(-14, 2)\) និង \(P'(0, 9)\)។

១០លំហាត់ទី ១០

កូអរដោនេនៃកំពូលរបស់ប្រលេឡូក្រាម \(QRST\) គឺ \(Q(-10, 2)\), \(R(-4, 0)\), \(S(6, 2)\) និង \(T(0, 4)\) ។ \(S'\) មានកូអរដោនេ \((8, -3)\) ។

បកស្រាយការបំប្លែងកិលដោយប្រើគូលំដាប់ ។
រកកូអរដោនេនៃ \(Q'\), \(R'\) និង \(T'\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បកស្រាយការបំប្លែងកិលដោយប្រើគូលំដាប់៖ កំពូល \(S(6, 2)\) មានរូបភាពជា \(S'(8, -3)\)។ វ៉ិចទ័រកិលគឺ៖

\[\vec{p} = \overrightarrow{SS'} = (8 - 6, \, -3 - 2) = (2, -5)\]

ការបំប្លែងកិលកំណត់ដោយគូលំដាប់៖

\[(x, y) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (x + 2, \, y - 5)\]

ខ. រកកូអរដោនេនៃ \(Q'\), \(R'\) និង \(T'\)៖

\[\begin{aligned} Q(-10, 2) &\to Q'(-10 + 2, \, 2 - 5) = (-8, -3) \\ R(-4, 0) &\to R'(-4 + 2, \, 0 - 5) = (-2, -5) \\ T(0, 4) &\to T'(0 + 2, \, 4 - 5) = (2, -1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ \(Q'(-8, -3), R'(-2, -5)\) និង \(T'(2, -1)\)។

១១លំហាត់ទី ១១

ឆកោណ \(ABCDEF\) មានកំពូល \(A(0, 2)\), \(B(-5, 0)\), \(C(-4, -4)\), \(D(0, -4)\), \(E(6, -2)\) និង \(F(3, 1)\) ។ គេបំប្លែងកិល \(E'\) បានកូអរដោនេ \((8, -5)\) ។

បកស្រាយការបំប្លែងកិល ដោយប្រើគូលំដាប់ ។
រកកូអរដោនេនៃ \(A', B', C', D'\) និង \(F'\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បកស្រាយការបំប្លែងកិលដោយប្រើគូលំដាប់៖ កំពូល \(E(6, -2)\) មានរូបភាពជា \(E'(8, -5)\)។ វ៉ិចទ័រកិលគឺ៖

\[\vec{p} = \overrightarrow{EE'} = (8 - 6, \, -5 - (-2)) = (2, -3)\]

ការបំប្លែងកិលកំណត់ដោយគូលំដាប់៖

\[(x, y) \xrightarrow{t_{\vec{p}}} (x + 2, \, y - 3)\]

ខ. រកកូអរដោនេនៃកំពូលផ្សេងទៀត៖

\[\begin{aligned} A(0, 2) &\to A'(0 + 2, \, 2 - 3) = (2, -1) \\ B(-5, 0) &\to B'(-5 + 2, \, 0 - 3) = (-3, -3) \\ C(-4, -4) &\to C'(-4 + 2, \, -4 - 3) = (-2, -7) \\ D(0, -4) &\to D'(0 + 2, \, -4 - 3) = (2, -7) \\ F(3, 1) &\to F'(3 + 2, \, 1 - 3) = (5, -2) \end{aligned}\]

១២លំហាត់ទី ១២

ក្នុងប្លង់កូអរដោនេ គេឱ្យបន្ទាត់ \((L)\) មានសមីការ \(2x + 3y = 6\) និងវ៉ិចទ័រ \(\vec{p} = (1, 3)\) ។

រកកូអរដោនេចំណុច \(A\) និង \(B\) ដែលជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ \((L)\) ជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងអ័ក្សអរដោនេរៀងគ្នា ។
រកកូអរដោនេចំណុច \(A'\) និង \(B'\) ជារូបភាពរៀងគ្នានៃចំណុច \(A\) និង \(B\) តាមការបំប្លែងកិលវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) ។
សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((L')\) កាត់តាមពីរចំណុច \(A'\) និង \(B'\) ។
តើបន្ទាត់ \((L')\) និង \((L)\) មានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងដូចម្ដេច?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេ \(A\) និង \(B\) ជាប្រសព្វនៃ \((L): 2x + 3y = 6\) ជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ៖

ប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស (\(y = 0\))៖ \(2x + 3(0) = 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \implies A(3, 0)\)
ប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអរដោនេ (\(x = 0\))៖ \(2(0) + 3y = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2 \implies B(0, 2)\)

ខ. រកកូអរដោនេ \(A'\) និង \(B'\) តាមការបំប្លែងកិល \(\vec{p} = (1, 3)\)៖

\[\begin{aligned} A(3, 0) &\to A'(3 + 1, \, 0 + 3) = (4, 3) \\ B(0, 2) &\to B'(0 + 1, \, 2 + 3) = (1, 5) \end{aligned}\]

គ. សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((L')\) កាត់តាម \(A'(4, 3)\) និង \(B'(1, 5)\)៖ មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ \((L')\) គឺ៖

\[m = \frac{y_{B'} - y_{A'}}{x_{B'} - x_{A'}} = \frac{5 - 3}{1 - 4} = -\frac{2}{3}\]

សមីការបន្ទាត់ \((L')\) គឺ៖

\[\begin{aligned} y - y_{A'} &= m(x - x_{A'}) \\ y - 3 &= -\frac{2}{3}(x - 4) \\ 3(y - 3) &= -2(x - 4) \\ 3y - 9 &= -2x + 8 \\ 2x + 3y &= 17 \end{aligned}\]

ឃ. ទំនាក់ទំនងរវាងបន្ទាត់ \((L')\) និង \((L)\)៖ បន្ទាត់ \((L): 2x + 3y = 6\) និង \((L'): 2x + 3y = 17\) មានមេគុណប្រាប់ទិសដូចគ្នាគឺ \(m = -\dfrac{2}{3}\) ប៉ុន្តែមានតួថេរខុសគ្នា (\(17 \ne 6\)) នាំឱ្យបន្ទាត់ទាំងពីរស្របគ្នា៖

\[(L') \parallel (L)\]

១៣លំហាត់ទី ១៣

ចំណុច \(M(x, y)\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \((L)\) ដែលមានសមីការ \(3x + 2y = 6\) ។ តាង \(M'\) ជារូបភាពនៃចំណុច \(M\) តាមការបំប្លែងកិលវ៉ិចទ័រ \(\vec{p} = (-1, 2)\) ។

បង្ហាញថាបីចំណុច \(M, M'\) និង \(O\) មិនអាចបង្កើតជាត្រីកោណសម័ង្សបានទេ ។
បើបីចំណុច \(M, M'\) និង \(O\) បង្កើតបានត្រីកោណសមបាត \(OM' = OM\) ។ កំណត់កូអរដោនេចំណុច \(M\) និង \(M'\) រួចរកផ្ទៃក្រឡារបស់ត្រីកោណសមបាតនេះ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច \(M(x, y)\) លើបន្ទាត់ \((L): 3x + 2y = 6\) មានរូបភាព \(M'\) តាម \(t_{\vec{p}}\) ដោយ \(\vec{p} = (-1, 2)\)។

តាមនិយមន័យ៖ \(\overrightarrow{MM'} = \vec{p} = (-1, 2) \implies MM' = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)។

ក. បង្ហាញថា \(\triangle MM'O\) មិនអាចជាត្រីកោណសម័ង្ស៖ ដើម្បីឱ្យ \(\triangle MM'O\) ជាត្រីកោណសម័ង្ស លុះត្រាតែ \(OM = OM' = MM' = \sqrt{5}\)។

លក្ខខណ្ឌ \(OM = OM'\) នាំឱ្យ៖

\[\begin{aligned} OM^2 = OM'^2 &\iff x^2 + y^2 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 \\ &\iff 0 = -2x + 1 + 4y + 4 \\ &\iff 2x - 4y = 5 \end{aligned}\]

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការរវាង \((L)\) និងលក្ខខណ្ឌនេះ៖

\[\begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ 2x - 4y = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 4y = 12 \\ 2x - 4y = 5 \end{cases}\]

បូកអង្គនិងអង្គ៖ \(8x = 17 \implies x = \dfrac{17}{8}\)។

ជំនួសចូល \((L)\)៖ \(2y = 6 - 3\left(\dfrac{17}{8}\right) = \dfrac{48 - 51}{8} = -\dfrac{3}{8} \implies y = -\dfrac{3}{16}\)។

គណនាប្រវែង \(OM^2\) ចំពោះចំណុចនេះ៖

\[\begin{aligned} OM^2 &= \left(\frac{17}{8}\right)^2 + \left(-\frac{3}{16}\right)^2 = \frac{289}{64} + \frac{9}{256} \\ &= \frac{1156 + 9}{256} = \frac{1165}{256} \approx 4.55 \end{aligned}\]

ដោយសារ \(OM^2 = \dfrac{1165}{256} \ne 5 = MM'^2 \implies OM \ne MM'\) នោះបីចំណុច \(M, M', O\) មិនអាចបង្កើតជាត្រីកោណសម័ង្សបានឡើយ។

ខ. ករណី \(\triangle MM'O\) សមបាត \(OM' = OM\)៖ ពីការគណនាខាងលើ ចំណុចតែមួយគត់ដែលឱ្យ \(OM = OM'\) គឺ៖

\[M\left(\frac{17}{8}, \, -\frac{3}{16}\right)\]

កូអរដោនេនៃ \(M' = t_{\vec{p}}(M)\) គឺ៖

\[M'\left(\frac{17}{8} - 1, \, -\frac{3}{16} + 2\right) = \left(\frac{9}{8}, \, \frac{29}{16}\right)\]

គណនាផ្ទៃក្រឡា \(\triangle OMM'\)៖

\[\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} |x_M y_{M'} - x_{M'} y_M| \\ &= \frac{1}{2} \left| \frac{17}{8} \cdot \frac{29}{16} - \frac{9}{8} \cdot \left(-\frac{3}{16}\right) \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| \frac{493 + 27}{128} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{520}{128} = \frac{65}{32} \text{ ឯកតាផ្ទៃ} \end{aligned}\]

១៤លំហាត់ទី ១៤

ចំណុច \(M(\alpha, 1)\) បំប្លែងកិលតាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}_1 = (0, 1)\) បានចំណុច \(M_1\) ។ ចំណុច \(M_1\) បំប្លែងកិលតាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}_2 = (2, -2)\) បានចំណុច \(M_2(3, \beta)\) ។ រកតម្លៃ \(\alpha\) និង \(\beta\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច \(M(\alpha, 1)\) បំប្លែងកិលតាម \(\vec{p}_1 = (0, 1)\) បានចំណុច \(M_1\)៖

\[M_1(\alpha + 0, \, 1 + 1) = M_1(\alpha, 2)\]

ចំណុច \(M_1(\alpha, 2)\) បំប្លែងកិលបន្តតាម \(\vec{p}_2 = (2, -2)\) បានចំណុច \(M_2\)៖

\[M_2(\alpha + 2, \, 2 + (-2)) = M_2(\alpha + 2, 0)\]

ដោយសមត្ថកម្ម \(M_2(3, \beta)\) យើងបានប្រព័ន្ធសមីការ៖

\[\begin{cases} \alpha + 2 = 3 \\ 0 = \beta \end{cases} \implies \begin{cases} \alpha = 3 - 2 = 1 \\ \beta = 0 \end{cases}\]

ដូចនេះ \(\alpha = 1\) និង \(\beta = 0\)។

១៥លំហាត់ទី ១៥

ការរចនាក្បាច់ក្បឿង៖ សិប្បករម្នាក់រចនាក្បឿងក្រាលបាតដោយប្រើការបំប្លែងកិល។ គាត់ចាប់ផ្តើមពីក្បាច់រាងត្រីកោណមួយមានកំពូល \(A(1, 1), B(3, 1)\) និង \(C(2, 4)\)។ គាត់បង្កើតក្បាច់ទី២ ដោយបំប្លែងកិលត្រីកោណនេះតាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{v} = (3, -2)\)។

ចូររកកូអរដោនេនៃកំពូលត្រីកោណក្បាច់ទី២ \(A'B'C'\)។
តើផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណក្បាច់ទី២ ប្រែប្រួលដែរឬទេបើធៀបនឹងត្រីកោណដើម? ហេតុអ្វី?
ប្រសិនបើគាត់ចង់កិលក្បាច់ទី២ នេះឲ្យត្រឡប់ទៅត្រួតស៊ីគ្នាជាមួយក្បាច់ដើមវិញ តើគាត់ត្រូវប្រើវ៉ិចទ័របំប្លែងកិលអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃកំពូលក្បាច់ទី២ \(A'B'C'\)៖ បំប្លែងកិលតាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{v} = (3, -2)\) មានរូបមន្ត \((x', y') = (x + 3, \, y - 2)\)៖

\[\begin{aligned} A(1, 1) &\to A'(1 + 3, \, 1 - 2) = (4, -1) \\ B(3, 1) &\to B'(3 + 3, \, 1 - 2) = (6, -1) \\ C(2, 4) &\to C'(2 + 3, \, 4 - 2) = (5, 2) \end{aligned}\]

ខ. ការប្រែប្រួលនៃផ្ទៃក្រឡា៖ ផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណក្បាច់ទី២ មិនប្រែប្រួលទេបើធៀបនឹងត្រីកោណដើម (\(S_{A'B'C'} = S_{ABC}\)) ពីព្រោះការបំប្លែងកិលជាអ៊ីសូមេទ្រី (Isometry) ដែលរក្សាទុកប្រវែងអង្កត់ រង្វាស់មុំ និងផ្ទៃក្រឡា។

គណនាផ្ទៃក្រឡាជាក់ស្តែង៖ បាត \(AB = 3 - 1 = 2\), កម្ពស់ \(h = 4 - 1 = 3\) នាំឱ្យ \(S = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3\) ឯកតាផ្ទៃ។

គ. វ៉ិចទ័រកិលត្រឡប់ទៅក្បាច់ដើមវិញ៖ ដើម្បីឱ្យក្បាច់ទី២ ត្រួតស៊ីគ្នាជាមួយក្បាច់ដើមវិញ ត្រូវប្រើការបំប្លែងកិលច្រាស \((t_{\vec{v}})^{-1} = t_{-\vec{v}}\) ពោលគឺវ៉ិចទ័រផ្ទុយ៖

\[\vec{v}' = -\vec{v} = -(3, -2) = (-3, 2)\]

១៦លំហាត់ទី ១៦

ការផ្លាស់ទីរបស់មនុស្សយន្ត៖ មនុស្សយន្តរុករកមួយត្រូវបានបញ្ជាឲ្យផ្លាស់ទីពីចំណុច \(P(-4, 5)\) តាមការបំប្លែងកិលវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (6, 2)\) រួចបន្តការបំប្លែងកិលតាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{w} = (1, -4)\)។

តើមនុស្សយន្តនោះនឹងទៅដល់ចំណុចណាជាទីតាំងចុងក្រោយ?
តើគេអាចបញ្ជាមនុស្សយន្តនោះឲ្យផ្លាស់ទីពីចំណុច \(P\) ទៅកាន់ទីតាំងចុងក្រោយដោយប្រើការបំប្លែងកិលតែម្តងបានទេ? បើបាន តើត្រូវប្រើវ៉ិចទ័រអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ទីតាំងចុងក្រោយរបស់មនុស្សយន្ត៖ មនុស្សយន្តចាប់ផ្តើមពី \(P(-4, 5)\)៖

បន្ទាប់ពីការកិលទី១ តាម \(\vec{u} = (6, 2)\)៖
\[P_1(-4 + 6, \, 5 + 2) = (2, 7)\]
បន្ទាប់ពីការកិលទី២ តាម \(\vec{w} = (1, -4)\)៖
\[P'(2 + 1, \, 7 + (-4)) = (3, 3)\]

ដូចនេះ ទីតាំងចុងក្រោយរបស់មនុស្សយន្តគឺចំណុច \((3, 3)\)។

ខ. ការបំប្លែងកិលតែម្តងពី \(P\) ទៅទីតាំងចុងក្រោយ៖ គេអាចបញ្ជាមនុស្សយន្តឱ្យទៅដល់ទីតាំងចុងក្រោយដោយការបំប្លែងកិលតែម្តងបាន តាមរយៈការបំប្លែងបណ្តាក់ \(t_{\vec{w}} \circ t_{\vec{u}} = t_{\vec{u} + \vec{w}}\)។

វ៉ិចទ័រកិលតែម្តងនោះគឺ៖

\[\vec{p} = \vec{u} + \vec{w} = (6 + 1, \, 2 + (-4)) = (7, -2)\]

១៧លំហាត់ទី ១៧

ក្នុងប្លង់កូអរដោនេ គេឱ្យចំណុច \(A(1, 4)\) និងវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u} = (-3, 2)\)។

រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(A'\) ជាភាពនៃ \(A\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\)។
រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(B\) ដែលមានរូបភាពជា \(B'(5, -1)\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(A' = t_{\vec{u}}(A)\)៖ តាមរូបមន្តបំប្លែងកិលដោយ \(\vec{u} = (-3, 2)\) និង \(A(1, 4)\)៖

\[\begin{cases} x_{A'} = 1 + (-3) = -2 \\ y_{A'} = 4 + 2 = 6 \end{cases} \implies A'(-2, 6)\]

ខ. រកកូអរដោនេនៃ \(B\) ដែល \(t_{\vec{u}}(B) = B'(5, -1)\)៖ តាង \(B(x, y)\)។ តាមនិយមន័យ \(B' = t_{\vec{u}}(B)\)៖

\[\begin{cases} x - 3 = 5 \implies x = 5 + 3 = 8 \\ y + 2 = -1 \implies y = -1 - 2 = -3 \end{cases}\]

ដូចនេះ ចំណុចដើមគឺ \(B(8, -3)\)។

១៨លំហាត់ទី ១៨

គេឱ្យបន្ទាត់ \((d): 2x - 3y + 6 = 0\) និងវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u} = (2, -1)\)។

រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((d')\) ជាភាពនៃ \((d)\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\)។
បង្ហាញថា \((d') \parallel (d)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((d')\) ជាភាពនៃ \((d)\) តាម \(t_{\vec{u}}\)៖ កន្សោមបំប្លែងកិលតាម \(\vec{u} = (2, -1)\) គឺ៖

\[\begin{cases} x' = x + 2 \implies x = x' - 2 \\ y' = y - 1 \implies y = y' + 1 \end{cases}\]

ជំនួស \(x\) និង \(y\) ចូលក្នុងសមីការបន្ទាត់ \((d): 2x - 3y + 6 = 0\)៖

\[\begin{aligned} 2(x' - 2) - 3(y' + 1) + 6 &= 0 \\ 2x' - 4 - 3y' - 3 + 6 &= 0 \\ 2x' - 3y' - 1 &= 0 \end{aligned}\]

ដូចនេះ សមីការបន្ទាត់ \((d')\) គឺ \(2x - 3y - 1 = 0\)។

ខ. បង្ហាញថា \((d') \parallel (d)\)៖ បន្ទាត់ \((d)\) និង \((d')\) មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ដូចគ្នាគឺ \(\vec{n} = (2, -3)\) ដែលបញ្ជាក់ថាមេគុណប្រាប់ទិសស្មើគ្នា \(m = \dfrac{2}{3}\)។ ដោយតួថេរខុសគ្នា (\(6 \ne -1\)) នាំឱ្យបន្ទាត់ទាំងពីរស្របគ្នាដាច់ខាត គឺ \((d') \parallel (d)\)។

១៩លំហាត់ទី ១៩

គេឱ្យរង្វង់ \((C): (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9\) និងវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (-1, 3)\)។

កំណត់កូអរដោនេផ្ចិត \(I\) និងកាំ \(R\) នៃរង្វង់ \((C)\)។
រកសមីការនៃរង្វង់ \((C')\) ជាភាពនៃ \((C)\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. កំណត់កូអរដោនេផ្ចិត \(I\) និងកាំ \(R\) នៃរង្វង់ \((C)\)៖ សមីការរង្វង់មានរាងស្ដង់ដា \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\)។

ពីរង្វង់ \((C): (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9\) យើងទាញបាន៖

ផ្ចិត \(I(2, -1)\)
កាំ \(R = \sqrt{9} = 3\)

ខ. រកសមីការរង្វង់ \((C')\) ជាភាពនៃ \((C)\) តាម \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (-1, 3)\)៖ ដោយសារការបំប្លែងកិលរក្សាទំហំនិងទ្រង់ទ្រាយនៃរូប រង្វង់រូបភាព \((C')\) មានកាំស្មើនឹងរង្វង់ដើម គឺ \(R' = R = 3\)។

ផ្ចិតថ្មី \(I'\) ជារូបភាពនៃ \(I\) តាម \(t_{\vec{u}}\)៖

\[I'(2 + (-1), \, -1 + 3) = (1, 2)\]

សមីការនៃរង្វង់ \((C')\) គឺ៖

\[(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2 = 9\]

២០លំហាត់ទី ២០

គេឱ្យការបំប្លែងកិលពីរ \(t_{\vec{u}}\) និង \(t_{\vec{v}}\) ដោយ \(\vec{u} = (3, -2)\) និង \(\vec{v} = (-1, 5)\)។

កំណត់វ៉ិចទ័រតំណាងឱ្យការបំប្លែងបណ្តាក់ \(t_{\vec{v}} \circ t_{\vec{u}}\)។
បង្ហាញថា \(t_{\vec{v}} \circ t_{\vec{u}} = t_{\vec{u}} \circ t_{\vec{v}}\) (លក្ខណៈត្រឡប់)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. កំណត់វ៉ិចទ័រតំណាងឱ្យការបំប្លែងបណ្តាក់ \(t_{\vec{v}} \circ t_{\vec{u}}\)៖ ចំពោះគ្រប់ចំណុច \(M\) ក្នុងប្លង់៖

\[(t_{\vec{v}} \circ t_{\vec{u}})(M) = t_{\vec{v}}(t_{\vec{u}}(M)) = M + \vec{u} + \vec{v} = M + (\vec{u} + \vec{v})\]

ដូចនេះ ការបំប្លែងបណ្តាក់ \(t_{\vec{v}} \circ t_{\vec{u}}\) គឺជាការបំប្លែងកិលតាមវ៉ិចទ័រផលបូក \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}\)។

ជាមួយ \(\vec{u} = (3, -2)\) និង \(\vec{v} = (-1, 5)\)៖

\[\vec{w} = (3 + (-1), \, -2 + 5) = (2, 3)\]

ខ. បង្ហាញថា \(t_{\vec{v}} \circ t_{\vec{u}} = t_{\vec{u}} \circ t_{\vec{v}}\)៖ ដោយសារវិធីបូកវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈប្តូរវេន (Commutative)៖

\[\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} = (2, 3)\]

នាំឱ្យ៖

\[t_{\vec{v}} \circ t_{\vec{u}} = t_{\vec{u} + \vec{v}} = t_{\vec{v} + \vec{u}} = t_{\vec{u}} \circ t_{\vec{v}}\]

ដូចនេះ ការបំប្លែងកិលមានលក្ខណៈប្តូរវេន (ត្រឡប់)។

២១លំហាត់ទី ២១

រកវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u}\) បើដឹងថាការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) ប្លែងចំណុច \(M(4, -2)\) ទៅជា \(M'(-1, 5)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមនិយមន័យនៃការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}(M) = M'\) នោះវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u}\) គឺស្មើនឹងវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{MM'}\)៖

\[\vec{u} = \overrightarrow{MM'} = (x_{M'} - x_M, \, y_{M'} - y_M)\]

ជំនួសកូអរដោនេ \(M(4, -2)\) និង \(M'(-1, 5)\)៖

\[\begin{aligned} \vec{u} &= (-1 - 4, \, 5 - (-2)) \\ &= (-5, \, 5 + 2) \\ &= (-5, 7) \end{aligned}\]

ដូចនេះ វ៉ិចទ័រកិលគឺ \(\vec{u} = (-5, 7)\)។

២២លំហាត់ទី ២២

គេឱ្យប៉ារ៉ាបូល \((P): y = x^2 - 4x + 3\) និងវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (1, 2)\)។ រកសមីការនៃប៉ារ៉ាបូល \((P')\) ជាភាពនៃ \((P)\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ការបំប្លែងកិលតាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (1, 2)\) កំណត់ដោយ៖

\[\begin{cases} x' = x + 1 \implies x = x' - 1 \\ y' = y + 2 \implies y = y' - 2 \end{cases}\]

ជំនួស \(x\) និង \(y\) ចូលក្នុងសមីការប៉ារ៉ាបូល \((P): y = x^2 - 4x + 3\)៖

\[\begin{aligned} y' - 2 &= (x' - 1)^2 - 4(x' - 1) + 3 \\ y' - 2 &= (x'^2 - 2x' + 1) - (4x' - 4) + 3 \\ y' - 2 &= x'^2 - 6x' + 8 \\ y' &= x'^2 - 6x' + 10 \end{aligned}\]

ដូចនេះ សមីការប៉ារ៉ាបូលរូបភាព \((P')\) គឺ \(y = x^2 - 6x + 10\)។

២៣លំហាត់ទី ២៣

បង្ហាញថាការបំប្លែងកិលរក្សាទុកប្រវែងអង្កត់ រង្វាស់មុំ និងផ្ទៃក្រឡានៃរូបធរណីមាត្រ (Isometry)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាង \(t_{\vec{u}}\) ជាការបំប្លែងកិលតាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (a, b)\)។

១. រក្សាប្រវែងអង្កត់៖ យកចំណុចពីរ \(A(x_A, y_A)\) និង \(B(x_B, y_B)\)។ រូបភាពរបស់វាគឺ \(A'(x_A + a, y_A + b)\) និង \(B'(x_B + a, y_B + b)\)។

វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{A'B'} = (x_B + a - (x_A + a), \, y_B + b - (y_A + b)) = (x_B - x_A, \, y_B - y_A) = \overrightarrow{AB}\)។

នាំឱ្យប្រវែងអង្កត់ \(\|\overrightarrow{A'B'}\| = \|\overrightarrow{AB}\| \iff A'B' = AB\)។

២. រក្សារង្វាស់មុំ៖ ចំពោះមុំ \(\widehat{BAC}\) បង្កើតឡើងដោយត្រីកោណ \(ABC\)។ ដោយសារជ្រុងទាំងបីស្មើជ្រុងត្រូវគ្នា (\(A'B' = AB, A'C' = AC, B'C' = BC\)) នាំឱ្យ \(\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC\) (តាមករណី ជ.ជ.ជ)។ ហេតុនេះ មុំត្រូវគ្នាស្មើគ្នា៖ \(\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC}\)។

៣. រក្សាផ្ទៃក្រឡា៖ ដោយ \(\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC\) នាំឱ្យផ្ទៃក្រឡា \(S_{A'B'C'} = S_{ABC}\)។

សរុបមក ការបំប្លែងកិលជាអ៊ីសូមេទ្រី (Isometry) ដែលរក្សាប្រវែងអង្កត់ រង្វាស់មុំ និងផ្ទៃក្រឡា។

២៤លំហាត់ទី ២៤

គេឱ្យចំណុច \(A(2, 1)\) និង \(B(5, 5)\)។ តាង \(A'\) និង \(B'\) ជាភាពនៃ \(A\) និង \(B\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (-2, 3)\)។

រកកូអរដោនេនៃ \(A'\) និង \(B'\)។
គណនាប្រវែង \(AB\) និង \(A'B'\) រួចប្រៀបធៀប។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃ \(A'\) និង \(B'\)៖ រូបមន្តបំប្លែងកិលតាម \(\vec{u} = (-2, 3)\) គឺ \((x', y') = (x - 2, \, y + 3)\)៖

\[\begin{aligned} A(2, 1) &\to A'(2 - 2, \, 1 + 3) = (0, 4) \\ B(5, 5) &\to B'(5 - 2, \, 5 + 3) = (3, 8) \end{aligned}\]

ខ. គណនាប្រវែង \(AB\) និង \(A'B'\) រួចប្រៀបធៀប៖

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \\ A'B' &= \sqrt{(3 - 0)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \end{aligned}\]

យើងឃើញថា \(A'B' = AB = 5\) ឯកតាប្រវែង (ការបំប្លែងកិលរក្សាប្រវែងអង្កត់)។

២៥លំហាត់ទី ២៥

រកការបំប្លែងកិលច្រាស \((t_{\vec{u}})^{-1}\) នៃ \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (4, -7)\)។ បញ្ជាក់វ៉ិចទ័រកិលច្រាសនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ការបំប្លែងកិលច្រាស \((t_{\vec{u}})^{-1}\) គឺជាការបំប្លែងដែលប្លែងរូបភាពឱ្យត្រឡប់មកចំណុចដើមវិញ៖

\[(t_{\vec{u}})^{-1} \circ t_{\vec{u}} = \text{Id}\]

បើ \(t_{\vec{u}}\) កំណត់ដោយការបូកវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) នោះការបំប្លែងច្រាសគឺជាការដកវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) ឬបូកនឹងវ៉ិចទ័រផ្ទុយ \(-\vec{u}\)៖

\[(t_{\vec{u}})^{-1} = t_{-\vec{u}}\]

ជាមួយ \(\vec{u} = (4, -7)\) វ៉ិចទ័រកិលច្រាសគឺ៖

\[-\vec{u} = -(4, -7) = (-4, 7)\]

កន្សោមបំប្លែងច្រាសគឺ \((x', y') \mapsto (x' - 4, \, y' + 7)\)។

២៦លំហាត់ទី ២៦

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) ដែលមានកំពូល \(A(0, 0), B(4, 0), C(2, 3)\)។

រកកូអរដោនេកំពូលនៃត្រីកោណ \(A'B'C'\) ជាភាពនៃ \(ABC\) តាម \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (3, 2)\)។
គណនាផ្ទៃក្រឡានៃ \(\triangle ABC\) និង \(\triangle A'B'C'\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃកំពូល \(A', B', C'\)៖ កន្សោមបំប្លែងកិលតាម \(\vec{u} = (3, 2)\) គឺ \((x', y') = (x + 3, \, y + 2)\)៖

\[\begin{aligned} A(0, 0) &\to A'(0 + 3, \, 0 + 2) = (3, 2) \\ B(4, 0) &\to B'(4 + 3, \, 0 + 2) = (7, 2) \\ C(2, 3) &\to C'(2 + 3, \, 3 + 2) = (5, 5) \end{aligned}\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ. គណនាផ្ទៃក្រឡា \(\triangle ABC\) និង \(\triangle A'B'C'\)៖ ត្រីកោណ \(ABC\) មានបាត \(AB\) ស្ថិតនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស មានប្រវែង \(AB = 4 - 0 = 4\)។

កម្ពស់ដែលគូសចេញពីកំពូល \(C(2, 3)\) កែងនឹងបាត \(AB\) គឺ \(h = y_C = 3\)។

ផ្ទៃក្រឡា \(\triangle ABC\) គឺ៖

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \text{បាត} \times \text{កម្ពស់} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \text{ ឯកតាផ្ទៃ}\]

ដោយសារការបំប្លែងកិលរក្សាផ្ទៃក្រឡា នាំឱ្យផ្ទៃក្រឡានៃ \(\triangle A'B'C'\) គឺ៖

\[S_{A'B'C'} = S_{ABC} = 6 \text{ ឯកតាផ្ទៃ}\]

២៧លំហាត់ទី ២៧

គេឱ្យបន្ទាត់ពីរស្របគ្នា \((d_1): x + 2y - 3 = 0\) និង \((d_2): x + 2y + 7 = 0\)។ រកវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u}\) មួយដែលមានទិសកែងនឹង \((d_1)\) ដែលប្លែង \((d_1)\) ទៅជា \((d_2)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ \((d_1): x + 2y - 3 = 0\) មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ \(\vec{n} = (1, 2)\)។

ដោយសារវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u}\) មានទិសកែងនឹង \((d_1)\) នោះ \(\vec{u}\) ត្រូវតែស្របនឹង \(\vec{n}\) ពោលគឺមានទម្រង់៖

\[\vec{u} = k\vec{n} = (k, \, 2k) \quad{} (k \in \mathbb{R})\]

ជ្រើសរើសចំណុចមួយនៅលើ \((d_1)\)៖ ចំពោះ \(y = 0 \implies x = 3 \implies A(3, 0) \in (d_1)\)។

រូបភាពនៃ \(A\) តាម \(t_{\vec{u}}\) គឺ \(A'(3 + k, \, 2k)\) ត្រូវស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \((d_2): x + 2y + 7 = 0\)៖

\[\begin{aligned} (3 + k) + 2(2k) + 7 &= 0 \\ 3 + k + 4k + 7 &= 0 \\ 5k + 10 &= 0 \implies k = -2 \end{aligned}\]

ជំនួស \(k = -2\) ចូលទម្រង់វ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\)៖

\[\vec{u} = (-2, \, 2(-2)) = (-2, -4)\]

ដូចនេះ វ៉ិចទ័រកិលដែលត្រូវការគឺ \(\vec{u} = (-2, -4)\)។

២៨លំហាត់ទី ២៨

គេឱ្យចំណុច \(A(1, 2)\) និងបន្ទាត់ \((D): 3x - 4y + 5 = 0\)។

រកចំណុច \(A'\) ជាភាពនៃ \(A\) តាម \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (4, 3)\)។
គណនាចម្ងាយពី \(A\) ទៅ \((D)\) និងចម្ងាយពី \(A'\) ទៅ \((D')\) ជាភាពនៃ \((D)\) តាម \(t_{\vec{u}}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកចំណុច \(A'\) ជាភាពនៃ \(A(1, 2)\) តាម \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (4, 3)\)៖

\[A'(1 + 4, \, 2 + 3) = (5, 5)\]

ខ. គណនាចម្ងាយពី \(A\) ទៅ \((D)\) និងចម្ងាយពី \(A'\) ទៅ \((D')\)៖ តាមរូបមន្តចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់៖

\[\begin{aligned} d(A, D) &= \frac{|3(1) - 4(2) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \\ &= \frac{|3 - 8 + 5|}{\sqrt{25}} = \frac{0}{5} = 0 \end{aligned}\]

ដោយសារ \(d(A, D) = 0\) នាំឱ្យចំណុច \(A\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \((D)\)។

តាមលក្ខណៈនៃការបំប្លែងកិល បើ \(A \in (D)\) នោះរូបភាព \(A'\) ត្រូវតែស្ថិតនៅលើបន្ទាត់រូបភាព \((D')\) ដែរ (\(A' \in (D')\))។

ដូចនេះ ចម្ងាយពី \(A'\) ទៅ \((D')\) គឺ៖

\[d(A', D') = 0 = d(A, D)\]

២៩លំហាត់ទី ២៩

បង្ហាញថា ប្រសិនបើបន្ទាត់ \((d)\) ស្របនឹងវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u}\) នោះភាពនៃ \((d)\) តាម \(t_{\vec{u}}\) គឺបន្ទាត់ \((d)\) ដដែល (\((d') \equiv (d)\))។

មើលដំណោះស្រាយ

យកចំណុច \(M(x, y)\) ណាមួយនៅលើបន្ទាត់ \((d)\)។

រូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) គឺចំណុច \(M'\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់៖

\[\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\]

ដោយសារបន្ទាត់ \((d)\) ស្របនឹងវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u}\) (\(\vec{u} \parallel (d)\)) នាំឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{MM'}\) មានទិសស្របនឹងបន្ទាត់ \((d)\)។

ម៉្យាងទៀត ដោយចំណុច \(M \in (d)\) នោះបន្ទាត់កាត់តាម \(M\) ស្របនឹង \(\vec{u}\) គឺបន្ទាត់ \((d)\) ខ្លួនឯង នាំឱ្យចំណុច \(M'\) ត្រូវតែស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \((d)\) ជានិច្ច (\(M' \in (d)\))។

ដោយហេតុថា គ្រប់ចំណុចនៃបន្ទាត់រូបភាព \((d')\) សុទ្ធតែស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \((d)\) ហើយ \((d')\) ជាបន្ទាត់ត្រង់ យើងសន្និដ្ឋានបានថា៖

\[(d') \equiv (d)\]

ពោលគឺបន្ទាត់រូបភាពត្រួតស៊ីគ្នាលើបន្ទាត់ដើម។

៣០លំហាត់ទី ៣០

គេឱ្យរង្វង់ \((C)\) មានផ្ចិត \(I(0, 0)\) និងកាំ \(R = 5\)។ បន្ទាត់ \((d): 3x + 4y - 25 = 0\) ប៉ះរង្វង់ \((C)\) ត្រង់ចំណុច \(H\)។

រកកូអរដោនេនៃចំណុចប៉ះ \(H\)។
រកភាពនៃចំណុចប៉ះ \(H'\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (2, -1)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃចំណុចប៉ះ \(H\)៖ រង្វង់ \((C)\) មានផ្ចិត \(I(0, 0)\) និងកាំ \(R = 5\)។ បន្ទាត់ \((d): 3x + 4y - 25 = 0\) ប៉ះរង្វង់ត្រង់ \(H\) នាំឱ្យកាំ \(IH \perp (d)\)។

បន្ទាត់ \((IH)\) កាត់តាម \(I(0, 0)\) និងកែងនឹង \((d)\) មានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិសជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃ \((d)\) គឺ \(\vec{n} = (3, 4)\)៖

\[(IH): \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \iff 4x - 3y = 0 \implies y = \frac{4}{3}x\]

ចំណុចប៉ះ \(H\) ជាប្រសព្វរវាង \((IH)\) និង \((d)\)៖

\[\begin{aligned} 3x + 4\left(\frac{4}{3}x\right) - 25 &= 0 \\ \iff 3x + \frac{16}{3}x &= 25 \iff x = 3 \end{aligned}\]

ទាញរក \(y\)៖ \(y = \dfrac{4}{3}(3) = 4\)។

ដូចនេះ ចំណុចប៉ះគឺ \(H(3, 4)\)។

ខ. រកភាពនៃចំណុចប៉ះ \(H'\) តាម \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (2, -1)\)៖

\[H'(3 + 2, \, 4 + (-1)) = (5, 3)\]

ដូចនេះ ចំណុចប៉ះរូបភាពគឺ \(H'(5, 3)\)។

៣១លំហាត់ទី ៣១

គេឱ្យចំណុច \(M(x, y)\) និងកន្សោមបំប្លែង \(\begin{cases} x' = x - 5 \\ y' = y + 8 \end{cases}\)។

បញ្ជាក់ប្រភេទនៃការបំប្លែងធរណីមាត្រនេះ។
រកវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u}\) នៃការបំប្លែងនេះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បញ្ជាក់ប្រភេទនៃការបំប្លែងធរណីមាត្រ៖ កន្សោមបំប្លែងដែលបានឱ្យគឺ៖

\[\begin{cases} x' = x - 5 \\ y' = y + 8 \end{cases}\]

កន្សោមនេះមានទម្រង់ទូទៅ \(\begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}\) ដែលជាកន្សោមវិភាគនៃការបំប្លែងកិល (Translation) ក្នុងប្លង់។

ខ. រកវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u}\)៖ តាមការប្រៀបធៀបទម្រង់ទូទៅ យើងបាន \(a = -5\) និង \(b = 8\)។

ដូចនេះ វ៉ិចទ័រកិលនៃការបំប្លែងនេះគឺ៖

\[\vec{u} = (-5, 8)\]

៣២លំហាត់ទី ៣២

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\)។ បង្ហាញថាផលបូកនៃការបំប្លែងកិលទាំងបី \(t_{\overrightarrow{AB}} \circ t_{\overrightarrow{BC}} \circ t_{\overrightarrow{CA}} = \text{Id}\) (ការបំប្លែងឯកត្តកម្ម)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំពោះគ្រប់ចំណុច \(M\) ណាមួយក្នុងប្លង់ ការបំប្លែងបណ្តាក់ \(t_{\overrightarrow{AB}} \circ t_{\overrightarrow{BC}} \circ t_{\overrightarrow{CA}}\) ផ្ដល់លទ្ធផល៖

\[\begin{aligned} (t_{\overrightarrow{AB}} \circ t_{\overrightarrow{BC}} \circ t_{\overrightarrow{CA}})(M) &= t_{\overrightarrow{AB}}\Big(t_{\overrightarrow{BC}}\big(t_{\overrightarrow{CA}}(M)\big)\Big) \\ &= M + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} \end{aligned}\]

អនុវត្តវិធានផលបូកវ៉ិចទ័រ Chasles៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} &= (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CC} = \vec{0} \end{aligned}\]

ដូច្នេះ៖

\[(t_{\overrightarrow{AB}} \circ t_{\overrightarrow{BC}} \circ t_{\overrightarrow{CA}})(M) = M + \vec{0} = M\]

ដោយសារគ្រប់ចំណុច \(M\) ទាំងអស់ត្រូវប្លែងទៅចំណុចដើមដដែល នាំឱ្យការបំប្លែងបណ្តាក់នេះគឺជាការបំប្លែងឯកត្តកម្ម (Identity transformation)៖

\[t_{\overrightarrow{AB}} \circ t_{\overrightarrow{BC}} \circ t_{\overrightarrow{CA}} = \text{Id}\]

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

គេឱ្យបន្ទាត់ \((d): y = 2x - 1\)។ រកវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u} = (a, b)\) បើដឹងថាភាពនៃ \((d)\) តាម \(t_{\vec{u}}\) គឺបន្ទាត់ \((d'): y = 2x + 5\)។ (តើមានវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) តែមួយគត់ឬទេ?)

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ \((d): y = 2x - 1\) និង \((d'): y = 2x + 5\)។

តាង \(\vec{u} = (a, b)\) ជាវ៉ិចទ័រកិល។ រូបមន្តបំប្លែងកិល៖ \(x = x' - a, y = y' - b\)។

ជំនួសចូលសមីការ \((d)\)៖

\[\begin{aligned} y' - b &= 2(x' - a) - 1 \\ y' &= 2x' - 2a + b - 1 \end{aligned}\]

ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់នេះក្លាយជា \((d'): y' = 2x' + 5\) លុះត្រាតែតួថេរស្មើគ្នា៖

\[-2a + b - 1 = 5 \iff b - 2a = 6 \iff b = 2a + 6\]

ការសន្និដ្ឋាន៖ គ្មានវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) តែមួយគត់ទេ! មានវ៉ិចទ័ររាប់មិនអស់ដែលមានទម្រង់ \(\vec{u} = (a, \, 2a + 6)\) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(a \in \mathbb{R}\)។

ឧទាហរណ៍៖

បើ \(a = 0 \implies b = 6 \implies \vec{u} = (0, 6)\)
បើ \(a = -3 \implies b = 0 \implies \vec{u} = (-3, 0)\)

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

គេឱ្យចំណុច \(A(3, 1), B(7, 4)\) និងវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (-2, 5)\)។ រកកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាល \(M'\) នៃអង្កត់ \([A'B']\) ជាភាពនៃ \([AB]\) តាម \(t_{\vec{u}}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច \(A(3, 1), B(7, 4)\) និងវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u} = (-2, 5)\)។

ចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃអង្កត់ \([AB]\) មានកូអរដោនេ៖

\[\begin{aligned} M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \, \frac{y_A + y_B}{2}\right) &= M\left(\frac{3 + 7}{2}, \, \frac{1 + 4}{2}\right) \\ &= M\left(5, \, \frac{5}{2}\right) \end{aligned}\]

ដោយសារការបំប្លែងកិលរក្សាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ នាំឱ្យចំណុចកណ្តាល \(M'\) នៃអង្កត់រូបភាព \([A'B']\) គឺជារូបភាពនៃ \(M\) តាម \(t_{\vec{u}}\)៖

\[M' = t_{\vec{u}}(M) = \left(5 + (-2), \, \frac{5}{2} + 5\right) = \left(3, \, \frac{15}{2}\right)\]

ដូចនេះ \(M'\left(3, \dfrac{15}{2}\right)\) ឬ \(M'(3, 7.5)\)។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

បង្ហាញថារូបភាពនៃប្រលេឡូក្រាមមួយតាមការបំប្លែងកិលគឺជាប្រលេឡូក្រាមមួយដែលមានផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹងប្រលេឡូក្រាមដើម។

មើលដំណោះស្រាយ

តាង \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាមមួយ នោះគេមាន \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)។

តាង \(A', B', C', D'\) ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ \(A, B, C, D\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\)។

តាមនិយមន័យការបំប្លែងកិល យើងមាន៖

\[\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB} \quad{} \text{និង} \quad{} \overrightarrow{D'C'} = \overrightarrow{DC}\]

ដោយសារ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) នាំឱ្យ \(\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{D'C'}\)។

សមភាពវ៉ិចទ័រនេះបញ្ជាក់ថា ចតុកោណ \(A'B'C'D'\) គឺជាប្រលេឡូក្រាម។

ម៉្យាងទៀត ការបំប្លែងកិលជាអ៊ីសូមេទ្រី (Isometry) ដែលរក្សាប្រវែងជ្រុង (\(A'B' = AB\)) និងកម្ពស់ត្រូវគ្នា (\(h' = h\))។

ដូចនេះ ផ្ទៃក្រឡារបស់ប្រលេឡូក្រាមរូបភាពគឺ៖

\[S_{A'B'C'D'} = \text{បាត} \times \text{កម្ពស់} = S_{ABCD}\]

ពោលគឺរូបភាពជាប្រលេឡូក្រាមដែលមានផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹងប្រលេឡូក្រាមដើម។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

គេឱ្យរង្វង់ \((C_1): x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0\)។ រកសមីការរង្វង់ \((C_2)\) ជាភាពនៃ \((C_1)\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (3, -2)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការរង្វង់ \((C_1): x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0\)។

សរសេរជាទម្រង់ស្ដង់ដាដើម្បីកំណត់ផ្ចិត និងកាំ៖

\[\begin{aligned} (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) - 4 - 4 - 1 &= 0 \\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 &= 9 \end{aligned}\]

ដូចនេះ \((C_1)\) មានផ្ចិត \(I(2, -1)\) និងកាំ \(R = \sqrt{9} = 3\)។

តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (3, -2)\)៖

ផ្ចិតថ្មី \(I'\) នៃ \((C_2)\)៖
\[I'(2 + 3, \, -1 + (-2)) = (5, -3)\]
កាំថ្មីរក្សាតម្លៃដដែល៖ \(R' = R = 3\)

សមីការរង្វង់ \((C_2)\) គឺ៖

\[(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 9\]

(ឬពន្លាត៖ \(x^2 + y^2 - 10x + 6y + 25 = 0\))។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

(PISA - ការសាងសង់ស្ពានឆ្លងកាត់ទន្លេ) ភូមិពីរ \(A\) និង \(B\) ស្ថិតនៅសងខាងនៃទន្លេមួយដែលមានច្រាំងទាំងពីរស្របគ្នា។ គេចង់សាងសង់ស្ពានមួយកែងនឹងច្រាំងទន្លេដើម្បីឱ្យចម្ងាយធ្វើដំណើរពី \(A\) ទៅកាន់ \(B\) ឆ្លងកាត់ស្ពាននោះមានប្រវែងខ្លីបំផុត។

ចូរពន្យល់ពីរបៀបកំណត់ទីតាំងស្ពានដោយប្រើការបំប្លែងកិលតាមវ៉ិចទ័រកែងនឹងច្រាំងទន្លេ។
បង្ហាញថាផ្លូវធ្វើដំណើរដែលរកឃើញពិតជាខ្លីបំផុត។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ពន្យល់ពីរបៀបកំណត់ទីតាំងស្ពានដោយប្រើការបំប្លែងកិល៖ តាងច្រាំងទន្លេទាំងពីរជាបន្ទាត់ស្របគ្នា \((b_1)\) (ខាងភូមិ \(A\)) និង \((b_2)\) (ខាងភូមិ \(B\))។

តាង \(\vec{u}\) ជាវ៉ិចទ័រដែលមានទិសកែងនឹងច្រាំងទន្លេ ចង្អុលពី \((b_1)\) ទៅ \((b_2)\) និងមានប្រវែងស្មើទទឹងទន្លេ \(w\)។

ជំហានសង់៖

កំណត់ចំណុច \(A'\) ជារូបភាពនៃភូមិ \(A\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) (\(A' = t_{\vec{u}}(A)\))។
គូសអង្កត់ត្រង់ \([A'B]\) កាត់ច្រាំងទន្លេ \((b_2)\) ត្រង់ចំណុច \(N\)។
សង់ស្ពាន \([MN]\) កែងនឹងច្រាំងទន្លេ ដោយ \(M\) ស្ថិតនៅលើច្រាំង \((b_1)\) (\(M = t_{-\vec{u}}(N)\))។

នោះទីតាំងសាងសង់ស្ពានគឺអង្កត់ \([MN]\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ. បង្ហាញថាផ្លូវធ្វើដំណើរមានប្រវែងខ្លីបំផុត៖ ប្រវែងផ្លូវធ្វើដំណើរសរុបគឺ \(L = AM + MN + NB\)។

ដោយសារ \(\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{MN} = \vec{u}\) នាំឱ្យចតុកោណ \(AMNA'\) ជាប្រលេឡូក្រាម ហេតុនេះ \(AM = A'N\)។

ជំនួសចូល៖

\[L = A'N + NB + MN = A'B + MN\]

ដោយសារទទឹងទន្លេ \(MN = w\) ថេរជានិច្ច ហើយអង្កត់ត្រង់ \([A'B]\) គឺជាគន្លងខ្លីបំផុតតភ្ជាប់រវាងពីរចំណុច \(A'\) និង \(B\) នោះប្រវែងផ្លូវសរុប \(L\) គឺខ្លីបំផុតដាច់ខាត។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

គេឱ្យបន្ទាត់ \((D): 4x + 3y - 12 = 0\)។ រកសមីការបន្ទាត់ \((D')\) ជាភាពនៃ \((D)\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (3, 4)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ \((D): 4x + 3y - 12 = 0\) និងវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u} = (3, 4)\)។

កន្សោមបំប្លែងកិល៖

\[\begin{cases} x' = x + 3 \implies x = x' - 3 \\ y' = y + 4 \implies y = y' - 4 \end{cases}\]

ជំនួស \(x\) និង \(y\) ចូលក្នុងសមីការបន្ទាត់ \((D)\)៖

\[\begin{aligned} 4(x' - 3) + 3(y' - 4) - 12 &= 0 \\ 4x' - 12 + 3y' - 12 - 12 &= 0 \\ 4x' + 3y' - 36 &= 0 \end{aligned}\]

ដូចនេះ សមីការបន្ទាត់រូបភាព \((D')\) គឺ \(4x + 3y - 36 = 0\)។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

គេឱ្យចតុកោណកែង \(ABCD\)។ តាង \(t_{\overrightarrow{AB}}\) ជាការបំប្លែងកិលតាមវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\)។

កំណត់ភាពនៃចំណុច \(A\) និងចំណុច \(D\) តាម \(t_{\overrightarrow{AB}}\)។
បង្ហាញថាភាពនៃអង្កត់ \([AD]\) គឺអង្កត់ \([BC]\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. កំណត់ភាពនៃចំណុច \(A\) និង \(D\) តាម \(t_{\overrightarrow{AB}}\)៖

ចំពោះចំណុច \(A\)៖ តាមនិយមន័យការបំប្លែងកិល \(t_{\overrightarrow{AB}}(A) = A + \overrightarrow{AB} = B\)។
ចំពោះចំណុច \(D\)៖ ក្នុងចតុកោណកែង \(ABCD\) ជ្រុងឈមស្របគ្នានិងស្មើគ្នា នាំឱ្យ \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\)។ ហេតុនេះ៖
\[t_{\overrightarrow{AB}}(D) = D + \overrightarrow{AB} = D + \overrightarrow{DC} = C\]

ខ. បង្ហាញថាភាពនៃអង្កត់ \([AD]\) គឺអង្កត់ \([BC]\)៖ ដោយសារការបំប្លែងកិលប្លែងអង្កត់ទៅជាអង្កត់ ហើយ \(t_{\overrightarrow{AB}}(A) = B\) និង \(t_{\overrightarrow{AB}}(D) = C\) នាំឱ្យរូបភាពនៃអង្កត់ \([AD]\) គឺជាអង្កត់ដែលតភ្ជាប់រវាងរូបភាពនៃចុងទាំងពីរ គឺអង្កត់ \([BC]\)។

៤០លំហាត់ទី ៤០

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\)។ សង់ត្រីកោណ \(A'B'C'\) ជាភាពនៃ \(\triangle ABC\) តាម \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) និងវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)។

របៀបសង់ត្រីកោណ \(A'B'C'\)៖

តាមចំណុច \(A\) សង់ចំណុច \(A'\) ដោយ \(\overrightarrow{AA'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) (សង់អង្កត់ \([AA'] \parallel [BC]\) និងមានប្រវែងស្មើពាក់កណ្តាល \(BC\))។
តាមចំណុច \(B\) សង់ចំណុច \(B'\) ដោយ \(\overrightarrow{BB'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) នោះ \(B'\) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុង \([BC]\)។
តាមចំណុច \(C\) សង់ចំណុច \(C'\) លើបន្លាយនៃកន្លះបន្ទាត់ \([BC)\) ដោយ \(CC' = \dfrac{1}{2}BC\)។
ភ្ជាប់ចំណុច \(A', B', C'\) បង្កើតបាន \(\triangle A'B'C'\) ដែលជាភាពនៃ \(\triangle ABC\)។

ត្រីកោណ \(A'B'C'\) ប៉ុនគ្នានឹង \(\triangle ABC\) ដើម។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៤១លំហាត់ទី ៤១

ក្នុងប្លង់កូអរដោនេ គេឱ្យចំណុច \(A(1, 2), B(3, 6)\) និង \(C(5, 2)\)។

បង្ហាញថា \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណសមបាត។
រកភាពនៃ \(\triangle ABC\) តាម \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (2, -3)\) រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថារូបភាពនៅតែជាត្រីកោណសមបាត។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បង្ហាញថា \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណសមបាត៖ ចំណុច \(A(1, 2), B(3, 6), C(5, 2)\)។ គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងបី៖

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(3 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \\ BC &= \sqrt{(5 - 3)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \\ AC &= \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{16} = 4 \end{aligned}\]

ដោយសារ \(AB = BC = \sqrt{20} \ne AC\) នាំឱ្យ \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល \(B\)។

ខ. រកភាពនៃ \(\triangle ABC\) តាម \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (2, -3)\) និងផ្ទៀងផ្ទាត់៖

\[\begin{aligned} A(1, 2) &\to A'(1 + 2, \, 2 - 3) = (3, -1) \\ B(3, 6) &\to B'(3 + 2, \, 6 - 3) = (5, 3) \\ C(5, 2) &\to C'(5 + 2, \, 2 - 3) = (7, -1) \end{aligned}\]

គណនាប្រវែងជ្រុងនៃ \(\triangle A'B'C'\)៖

\[\begin{aligned} A'B' &= \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} \\ B'C' &= \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} \end{aligned}\]

ដោយសារ \(A'B' = B'C' = \sqrt{20}\) នាំឱ្យ \(\triangle A'B'C'\) នៅតែជាត្រីកោណសមបាតកំពូល \(B'\) ដដែល។

៤២លំហាត់ទី ៤២

គេឱ្យចំណុច \(M(x, y)\) លើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ \(x^2 + y^2 = 1\)។ រកសមីការនៃខ្សែកោងដែលជាភាពនៃរង្វង់នេះតាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (h, k)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រង្វង់ត្រីកោណមាត្រមានសមីការ \(x^2 + y^2 = 1\) (ផ្ចិត \(O(0, 0)\) និងកាំ \(R = 1\))។

តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (h, k)\) យើងមានរូបមន្តបំប្លែង៖

\[\begin{cases} x' = x + h \implies x = x' - h \\ y' = y + k \implies y = y' - k \end{cases}\]

ជំនួស \(x\) និង \(y\) ចូលក្នុងសមីការរង្វង់ដើម៖

\[(x' - h)^2 + (y' - k)^2 = 1\]

ដូចនេះ សមីការនៃខ្សែកោងរូបភាពគឺ៖

\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = 1\]

នេះជារង្វង់ដែលមានផ្ចិតថ្មី \(I(h, k)\) និងកាំ \(R = 1\) ដដែល។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

បង្ហាញថា ការបំប្លែងកិលគ្មានចំណុចមិនប្រែប្រួល (Fixed point) ឡើយ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u} \ne \vec{0}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមនិយមន័យ ចំណុច \(M(x, y)\) គឺជាចំណុចមិនប្រែប្រួល (Fixed point) នៃការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) លុះត្រាតែរូបភាពរបស់វាជាចំណុចខ្លួនឯង៖

\[t_{\vec{u}}(M) = M\]

តាមនិយមន័យការបំប្លែងកិល៖

\[t_{\vec{u}}(M) = M + \vec{u}\]

នាំឱ្យសមីការក្លាយជា៖

\[M + \vec{u} = M \iff \vec{u} = \vec{0}\]

ដូចនេះ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u} \ne \vec{0}\) នោះគ្មានចំណុច \(M\) ណាអាចផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាពខាងលើបានឡើយ។

ហេតុនេះ ការបំប្លែងកិលគ្មានចំណុចមិនប្រែប្រួលឡើយនៅពេល \(\vec{u} \ne \vec{0}\)។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

គេឱ្យចំណុច \(A(-3, 2), B(1, 4)\) និង \(C(2, -1)\)។

រកកូអរដោនេនៃទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\) នៃ \(\triangle ABC\)។
រកទីប្រជុំទម្ងន់ \(G'\) នៃ \(\triangle A'B'C'\) ជាភាពនៃ \(\triangle ABC\) តាម \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (4, -2)\)។
ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា \(G' = t_{\vec{u}}(G)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច \(A(-3, 2), B(1, 4), C(2, -1)\)។

ក. រកកូអរដោនេទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\) នៃ \(\triangle ABC\)៖

\[\begin{cases} x_G = \dfrac{-3 + 1 + 2}{3} = 0 \\[6pt] y_G = \dfrac{2 + 4 + (-1)}{3} = \dfrac{5}{3} \end{cases} \implies G\left(0, \, \frac{5}{3}\right)\]

ខ. រកទីប្រជុំទម្ងន់ \(G'\) នៃ \(\triangle A'B'C'\) ជាភាពតាម \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (4, -2)\)៖

\[\begin{aligned} A(-3, 2) &\to A'(-3 + 4, \, 2 - 2) = (1, 0) \\ B(1, 4) &\to B'(1 + 4, \, 4 - 2) = (5, 2) \\ C(2, -1) &\to C'(2 + 4, \, -1 - 2) = (6, -3) \end{aligned}\]

កូអរដោនេ \(G'\) គឺ៖

\[\begin{aligned} x_{G'} &= \frac{1 + 5 + 6}{3} = 4, \quad{} y_{G'} = \frac{0 + 2 + (-3)}{3} = -\frac{1}{3} \\ &\implies G'\left(4, \, -\frac{1}{3}\right) \end{aligned}\]

គ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា \(G' = t_{\vec{u}}(G)\)៖ គណនារូបភាពនៃ \(G\) តាម \(t_{\vec{u}}\)៖

\[\begin{aligned} t_{\vec{u}}(G) &= \left(0 + 4, \, \frac{5}{3} + (-2)\right) \\ &= \left(4, \, \frac{5 - 6}{3}\right) = \left(4, \, -\frac{1}{3}\right) \end{aligned}\]

យើងឃើញថា \(t_{\vec{u}}(G) = G'\) ពិតជាត្រឹមត្រូវ។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

(PISA - ការរចនាក្បាច់ក្បឿង (Tiling/Tessellation)) ក្បាច់បុរាណខ្មែរមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការកិលបន្តបន្ទាប់គ្នានៃក្បាច់គំរូមូលដ្ឋានមួយតាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (4, 0)\) និង \(\vec{v} = (2, 3)\) (គិតជា \(\text{cm}\))។

រកទីតាំងនៃក្បាច់គំរូទី ៤ តាមទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) ចេញពីគល់ \((0, 0)\)។
គណនាផ្ទៃក្រឡានៃក្រឡាចត្រង្គដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកទីតាំងនៃក្បាច់គំរូទី ៤ តាមទិសដៅ \(\vec{u} = (4, 0)\)៖ ក្បាច់ទី ១ ស្ថិតនៅគល់ \((0, 0)\)។

ក្បាច់ទី ៤ ត្រូវនឹងការកិលបន្តបន្ទាប់ចំនួន \(3\) ដងតាមវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\)៖

\[P_4 = (0, 0) + 3\vec{u} = 3(4, 0) = (12, 0) \text{ cm}\]

ដូចនេះ ទីតាំងនៃក្បាច់គំរូទី ៤ គឺចំណុច \((12, 0)\text{ cm}\)។

ខ. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃក្រឡាចត្រង្គបង្កើតឡើងដោយ \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\)៖ ក្រឡាចត្រង្គជាប្រលេឡូក្រាមបង្កើតដោយវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (4, 0)\) និង \(\vec{v} = (2, 3)\)។

ផ្ទៃក្រឡាគណនាតាមដេទែរមីណង់នៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរ៖

\[\begin{aligned} S &= |\det(\vec{u}, \vec{v})| = |x_u y_v - x_v y_u| \\ &= |4(3) - 2(0)| = 12 \text{ cm}^2 \end{aligned}\]

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\) មានក្រាប \((C)\)។ រកសមីការក្រាប \((C')\) ជាភាពនៃ \((C)\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) ដោយ \(\vec{u} = (1, 2)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

អនុគមន៍ \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\) មានក្រាប \((C)\) និងវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u} = (1, 2)\)។

កន្សោមបំប្លែងកិល៖

\[\begin{cases} x' = x + 1 \implies x = x' - 1 \\ y' = y + 2 \implies y = y' - 2 \end{cases}\]

ជំនួស \(x\) និង \(y\) ចូលក្នុងសមីការក្រាប \((C): y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\)៖

\[\begin{aligned} y' - 2 &= \frac{2(x' - 1) + 1}{(x' - 1) - 1} \\ y' - 2 &= \frac{2x' - 2 + 1}{x' - 2} = \frac{2x' - 1}{x' - 2} \\ y' &= \frac{2x' - 1}{x' - 2} + 2 = \frac{2x' - 1 + 2(x' - 2)}{x' - 2} \\ y' &= \frac{2x' - 1 + 2x' - 4}{x' - 2} = \frac{4x' - 5}{x' - 2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ សមីការក្រាបរូបភាព \((C')\) គឺ \(y = \dfrac{4x - 5}{x - 2}\)។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

គេឱ្យចំណុច \(A(2, 5)\) និង \(B(-1, 1)\)។ រកវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u}\) បើដឹងថា \(t_{\vec{u}}(A)\) ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស \(Ox\) និង \(t_{\vec{u}}(B)\) ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស \(Oy\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងវ៉ិចទ័រកិលគឺ \(\vec{u} = (a, b)\)។

ចំណុច \(A(2, 5)\) និង \(B(-1, 1)\) មានរូបភាពរៀងគ្នាគឺ៖

\[\begin{aligned} A' &= t_{\vec{u}}(A) = (2 + a, \, 5 + b) \\ B' &= t_{\vec{u}}(B) = (-1 + a, \, 1 + b) \end{aligned}\]

តាមលក្ខខណ្ឌប្រធាន៖

\(A' \in Ox \iff y_{A'} = 0 \implies 5 + b = 0 \implies b = -5\)
\(B' \in Oy \iff x_{B'} = 0 \implies -1 + a = 0 \implies a = 1\)

ដូចនេះ វ៉ិចទ័រកិលគឺ \(\vec{u} = (1, -5)\)។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

គេឱ្យបន្ទាត់បីកាត់គ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយ \(O\)។ បង្ហាញថាភាពនៃបន្ទាត់ទាំងបីតាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) ក៏កាត់គ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយ \(O'\) ដែរ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងបន្ទាត់ទាំងបីគឺ \((d_1), (d_2), (d_3)\) កាត់គ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយ \(O\)។

តាមនិយមន័យ ចំណុច \(O\) ជាចំណុចរួមនៃបន្ទាត់ទាំងបី ពោលគឺ៖

\[O \in (d_1), \quad{} O \in (d_2), \quad{} O \in (d_3)\]

តាង \(O' = t_{\vec{u}}(O)\) ជារូបភាពនៃ \(O\) តាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\)។

ដោយសារការបំប្លែងកិលរក្សាភាពជាកម្មសិទ្ធិ (Incidence property) បើចំណុច \(M\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \((d)\) នោះរូបភាព \(M'\) ត្រូវតែស្ថិតនៅលើបន្ទាត់រូបភាព \((d')\)៖

\[\begin{aligned} O \in (d_1) &\implies O' \in (d_1') \\ O \in (d_2) &\implies O' \in (d_2') \\ O \in (d_3) &\implies O' \in (d_3') \end{aligned}\]

សមភាពខាងលើបង្ហាញថា ចំណុច \(O'\) គឺជាចំណុចរួមនៃបន្ទាត់ទាំងបី \((d_1'), (d_2'), (d_3')\)។

ដូចនេះ រូបភាពនៃបន្ទាត់ទាំងបីតាមការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) ក៏កាត់គ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយ \(O'\) ដែរ។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) បើដឹងថាការបំប្លែងកិល \(t_{\vec{u}}\) ប្លែងបន្ទាត់ \((d_1): 3x - y + 2 = 0\) ទៅជា \((d_2): 3x - y - 8 = 0\) ដោយ \(\vec{u}\) មានទិសកែងនឹង \((d_1)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ \((d_1): 3x - y + 2 = 0\) មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ \(\vec{n} = (3, -1)\)។

ដោយសារវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{u}\) មានទិសកែងនឹងបន្ទាត់ \((d_1)\) នោះ \(\vec{u}\) ត្រូវតែស្របនឹង \(\vec{n}\) ពោលគឺមានទម្រង់៖

\[\vec{u} = k\vec{n} = (3k, \, -k) \quad{} (k \in \mathbb{R})\]

ជ្រើសរើសចំណុច \(A(0, 2)\) លើបន្ទាត់ \((d_1)\) (ព្រោះ \(3(0) - 2 + 2 = 0\))។

រូបភាពនៃ \(A\) តាម \(t_{\vec{u}}\) គឺ \(A'(3k, \, 2 - k)\) ត្រូវស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \((d_2): 3x - y - 8 = 0\)៖

\[\begin{aligned} 3(3k) - (2 - k) - 8 &= 0 \\ 9k - 2 + k - 8 &= 0 \\ 10k - 10 &= 0 \implies k = 1 \end{aligned}\]

ជំនួស \(k = 1\) ចូលទម្រង់វ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\)៖

\[\vec{u} = (3(1), \, -1(1)) = (3, -1)\]

ដូចនេះ វ៉ិចទ័រកិលគឺ \(\vec{u} = (3, -1)\)។

៥០លំហាត់ទី ៥០

(PISA - ចលនាគំនូរជីវចល Computer Graphics) ក្នុងកម្មវិធីក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ តួអង្គមួយមានទីតាំងកំណត់ដោយចំណុចកំពូល \(P_1(10, 20), P_2(30, 20), P_3(20, 40)\)។ ចលនារបស់តួអង្គត្រូវបានកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{v}(t) = (5t, 2t)\) ដែល \(t\) ជាវិនាទី។

រកកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងបីនៅខណៈ \(t = 3\) វិនាទី ។
គណនាចម្ងាយដែលតួអង្គផ្លាស់ទីបានក្នុងរយៈពេល ៣ វិនាទីនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងបីនៅខណៈ \(t = 3\) វិនាទី ៖ នៅខណៈ \(t = 3\text{ s}\) វ៉ិចទ័រកិលគឺ៖

\[\vec{v}(3) = (5(3), \, 2(3)) = (15, 6)\]

រូបភាពនៃកំពូលទាំងបីតាម \(t_{\vec{v}(3)}\) គឺ៖

\[\begin{aligned} P_1(10, 20) &\to P_1'(10 + 15, \, 20 + 6) = (25, 26) \\ P_2(30, 20) &\to P_2'(30 + 15, \, 20 + 6) = (45, 26) \\ P_3(20, 40) &\to P_3'(20 + 15, \, 40 + 6) = (35, 46) \end{aligned}\]

ខ. គណនាចម្ងាយដែលតួអង្គផ្លាស់ទីបានក្នុងរយៈពេល ៣ វិនាទី៖ ចម្ងាយផ្លាស់ទីស្មើនឹងប្រវែង (ណ័រម) នៃវ៉ិចទ័រកិល \(\vec{v}(3)\)៖

\[\begin{aligned} d &= \|\vec{v}(3)\| = \sqrt{15^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{261} = 3\sqrt{29} \approx 16.16 \text{ ឯកតាប្រវែង} \end{aligned}\]

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ៩ ការបំប្លែងរូបក្នុងប្លង់ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត