ការអនុវត្តផលធៀបត្រីកោណ

គណនារង្វាស់ជ្រុងនិងមុំនៃត្រីកោណ \(ABC\)៖

1. \(a = BC = 109, \angle A = 33^\circ, \angle C = 66^\circ\)៖
   មុំទីបីគឺ \(\angle B = 180^\circ - (33^\circ + 66^\circ) = 81^\circ\)។
   តាមទ្រឹស្ដីបទស៊ីនុស \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\)៖

   \[\begin{aligned} b &= \frac{109 \sin 81^\circ}{\sin 33^\circ} \approx \frac{109 \times 0.9877}{0.5446} \approx 197.67 \\ c &= \frac{109 \sin 66^\circ}{\sin 33^\circ} \approx \frac{109 \times 0.9135}{0.5446} \approx 182.83 \end{aligned}\]

2. \(b = AC = 16, \angle A = 143^\circ, \angle B = 22^\circ\)៖
   មុំ \(\angle C = 180^\circ - (143^\circ + 22^\circ) = 15^\circ\)។
   

   \[\begin{aligned} a &= \frac{16 \sin 37^\circ}{\sin 22^\circ} \approx \frac{16 \times 0.6018}{0.3746} \approx 25.70 \\ c &= \frac{16 \sin 15^\circ}{\sin 22^\circ} \approx \frac{16 \times 0.2588}{0.3746} \approx 11.05 \end{aligned}\]

3. \(a = BC = 20, b = AC = 13, \angle C = 67^\circ\)៖
   តាមទ្រឹស្ដីបទកូស៊ីនុស៖

   \[\begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos C \\ &= 20^2 + 13^2 - 2(20)(13)\cos 67^\circ \\ &= 569 - 520(0.3907) \approx 365.82 \\ \implies c &\approx \sqrt{365.82} \approx 19.13 \end{aligned}\]
   គណនាមុំ \(A\)៖
   \[\begin{aligned} \cos A &= \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{169 + 365.82 - 400}{2(13)(19.13)} \\ &= \frac{134.82}{497.38} \approx 0.2710 \implies \angle A \approx 74.28^\circ \end{aligned}\]
   \(\angle B = 180^\circ - 67^\circ - 74.28^\circ \approx 38.72^\circ\)។

គណនាជ្រុង \(BC\) នៃត្រីកោណ \(ABC\) បើ \(\angle A = 75^\circ\) និង \(R = 10\text{ cm}\)៖
តាមទ្រឹស្ដីបទស៊ីនុសពង្រីក៖

គណនាជ្រុង \(BC = a\) តាមទ្រឹស្ដីបទកូស៊ីនុស៖

1. \(\angle A = 75^\circ, c = 4, b = 6\)៖

   \[\begin{aligned} a^2 &= 6^2 + 4^2 - 2(6)(4)\cos 75^\circ \\ &= 52 - 48(0.2588) \approx 39.58 \\ \implies a &\approx \sqrt{39.58} \approx 6.29 \end{aligned}\]

2. \(\angle A = 123^\circ, c = 7, b = 5\)៖

   \[\begin{aligned} a^2 &= 7^2 + 5^2 - 2(7)(5)\cos 123^\circ \\ &= 74 + 70(0.5446) \approx 112.12 \\ \implies a &\approx \sqrt{112.12} \approx 10.59 \end{aligned}\]

3. \(\angle B = 60^\circ, c = 3, b = 5\)៖
   \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B \implies 25 = a^2 + 9 - 2a(3)\left(\frac{1}{2}\right)\)

   \[a^2 - 3a - 16 = 0\]
   \(\Delta = (-3)^2 - 4(1)(-16) = 73 \implies a = \frac{3 + \sqrt{73}}{2} \approx 5.77\) (\(a > 0\))។

4. \(\angle A = 135^\circ, c = 3, b = 5\)៖

   \[\begin{aligned} a^2 &= 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)\cos 135^\circ \\ &= 34 + 15\sqrt{2} \approx 55.21 \\ \implies a &\approx \sqrt{55.21} \approx 7.43 \end{aligned}\]

គណនាមុំនៃត្រីកោណ \(ABC\) បើ \(a = 10, b = 4, c = 7\)៖
តាមទ្រឹស្ដីបទកូស៊ីនុស៖

ចតុកោណព្នាយកែង \(ABCD\) កែងត្រង់ \(A\) និង \(B\), \(\angle C = 70^\circ\), \(AD = CD = 5\text{ cm}\)៖
ដោយ \(AD \parallel BC\) និង \(\angle C = 70^\circ \implies \angle D = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\)។
ក្នុង \(\triangle ADC\) សមបាតត្រង់ \(D\) (\(AD = CD = 5\))៖

រកប្រភេទត្រីកោណ \(ABC\)៖

1. \(a\sin A = b\sin B\)៖
   តាមទ្រឹស្ដីបទស៊ីនុស \(\sin A = \dfrac{a}{2R}, \sin B = \dfrac{b}{2R}\) ជំនួសចូល៖

   \[a\left(\frac{a}{2R}\right) = b\left(\frac{b}{2R}\right) \implies a^2 = b^2 \implies a = b\]
   ដូចនេះ \(\triangle ABC\) ជា ត្រីកោណសមបាតត្រង់កំពូល \(C\) (\(a = b\))។

2. \(a\cos A = b\cos B\)៖
   ជំនួស \(a = 2R\sin A, b = 2R\sin B\)៖

   \[2R\sin A\cos A = 2R\sin B\cos B \implies \sin 2A = \sin 2B\]
   \(\implies 2A = 2B\) ឬ \(2A = 180^\circ - 2B\)

   • បើ \(2A = 2B \implies A = B\)៖ \(\triangle ABC\) ជា ត្រីកោណសមបាត។

   • បើ \(2A + 2B = 180^\circ \implies A + B = 90^\circ \implies \angle C = 90^\circ\)៖ \(\triangle ABC\) ជា ត្រីកោណកែងត្រង់ \(C\)។

គណនាមុំនៃ \(\triangle MNP\) បើ \(MN = 10, MP = 24, NP = 26\)៖
ពិនិត្យផលបូកការេជ្រុង៖

អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម \(a = 6, b = 4, \alpha = 50^\circ\)៖
ប្រលេឡូក្រាមមានមុំជាប់គ្នាពីរគឺ \(\alpha = 50^\circ\) និង \(\beta = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\)។

• អង្កត់ទ្រូងតូច \(d_1\) (ឈមនឹងមុំ \(50^\circ\))៖

  \[\begin{aligned} d_1^2 &= 6^2 + 4^2 - 2(6)(4)\cos 50^\circ \\ &= 52 - 48(0.6428) \approx 21.15 \\ \implies d_1 &\approx \sqrt{21.15} \approx 4.60 \end{aligned}\]

• អង្កត់ទ្រូងធំ \(d_2\) (ឈមនឹងមុំ \(130^\circ\))៖

  \[\begin{aligned} d_2^2 &= 52 - 48(-\cos 50^\circ) \\ &= 52 + 30.85 = 82.85 \\ \implies d_2 &\approx \sqrt{82.85} \approx 9.10 \end{aligned}\]

ចតុកោណព្នាយកែង \(MNPQ\) កែងត្រង់ \(M\) និង \(Q\), \(MN = 30\text{ cm}, NP = 20\text{ cm}, PQ = 18\text{ cm}\)៖
គូសកម្ពស់ \(PH \perp MN\) (\(H \in MN\))។
\(MH = PQ = 18\text{ cm} \implies HN = MN - MH = 30 - 18 = 12\text{ cm}\)។
ក្នុងត្រីកោណកែង \(PHN\)៖

1. គណនាមុំ \(N\) និងអង្កត់ទ្រូង \(MP, NQ\)៖

   \[\begin{aligned} \cos N &= \frac{12}{20} = 0.6 \implies \angle N \approx 53.13^\circ \\ MP &= \sqrt{16^2 + 18^2} = \sqrt{580} \approx 24.08\text{ cm} \\ NQ &= \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{1156} = 34\text{ cm} \end{aligned}\]

2. ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ \(QNP\)៖

   \[S_{QNP} = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot MQ = \frac{1}{2} \times 18 \times 16 = 144\text{ cm}^2\]

ចតុកោណព្នាយ \(ABCD\), \(AB = 23, CD = 15, BC = 12, \angle B = 60^\circ\) (\(AB \parallel CD\))៖

1. គូសកម្ពស់ \(CH \perp AB\) និង \(DK \perp AB\)៖

   \[\begin{aligned} BH &= BC \cos 60^\circ = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \\ CH &= BC \sin 60^\circ = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \\ AH &= AB - BH = 23 - 6 = 17 \\ AK &= AB - CD - BH = 23 - 15 - 6 = 2 \\ BK &= AB - AK = 23 - 2 = 21 \end{aligned}\]
   គណនាអង្កត់ទ្រូង និងជ្រុងទ្រត៖
   \[\begin{aligned} AC &= \sqrt{17^2 + 108} = \sqrt{397} \approx 19.92 \\ BD &= \sqrt{21^2 + 108} = \sqrt{549} \approx 23.43 \\ AD &= \sqrt{2^2 + 108} = 4\sqrt{7} \approx 10.58 \end{aligned}\]

2. ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ \(ACD\)៖

   \[\begin{aligned} S_{ACD} &= \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CH = \frac{1}{2} \times 15 \times 6\sqrt{3} \\ &= 45\sqrt{3} \approx 77.94 \end{aligned}\]

ចតុកោណ \(ABCD\) ចារឹកក្នុងរង្វង់, \(AB = 7, BC = 5, CD = 5, \angle B = 60^\circ\)៖

1. ក្នុង \(\triangle ABC\) តាមទ្រឹស្ដីបទកូស៊ីនុស៖

   \[\begin{aligned} AC^2 &= 49 + 25 - 2(7)(5)\left(\frac{1}{2}\right) = 39 \\ \implies AC &= \sqrt{39} \approx 6.24 \end{aligned}\]
   ដោយ \(ABCD\) ចារឹកក្នុងរង្វង់ នោះ \(\angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)។
   ក្នុង \(\triangle ADC\)៖
   \[AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos 120^\circ\]
   \[39 = AD^2 + 25 + 5AD \implies AD^2 + 5AD - 14 = 0\]
   \(\implies (AD - 2)(AD + 7) = 0 \implies AD = 2\) (\(AD > 0\))។
   តាមទ្រឹស្ដីបទ Ptolemy (\(AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\))៖
   \[\begin{aligned} \sqrt{39} \cdot BD &= 35 + 10 = 45 \\ \implies BD &= \frac{45}{\sqrt{39}} = \frac{15\sqrt{39}}{13} \approx 7.21 \end{aligned}\]

2. ជ្រុង \(AD = 2\)។ កាំរង្វង់ចារឹកក្រៅ \(R\)៖

   \[\begin{aligned} 2R &= \frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{13} \\ \implies R &= \sqrt{13} \approx 3.61 \end{aligned}\]

3. ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណ \(ABCD\)៖

   \[\begin{aligned} S &= S_{ABC} + S_{ADC} \\ &= \frac{1}{2}(7)(5)\sin 60^\circ + \frac{1}{2}(2)(5)\sin 120^\circ \\ &= \frac{35\sqrt{3}}{4} + \frac{10\sqrt{3}}{4} = \frac{45\sqrt{3}}{4} \approx 19.49 \end{aligned}\]

\(\triangle ABC\), \(M \in BC\), \(BM = 5\text{ cm}, MC = 6\text{ cm}, AM = 3\text{ cm}, AB = 7\text{ cm}\)៖
ក្នុង \(\triangle ABM\) តាមទ្រឹស្ដីបទកូស៊ីនុស៖

ចតុកោណព្នាយកែង \(ABCD\) (\(A = D = 90^\circ\)), \(AB = 20\text{ m}, BC = 35\text{ m}, \angle CBE = 22^\circ\)៖
គូសកម្ពស់ \(BE \perp CD\) (\(BE = AD\), \(DE = AB = 20\text{ m}\))។
ក្នុងត្រីកោណកែង \(BCE\) កែងត្រង់ \(E\)៖

ផលធៀបត្រីកោណមាត្រនៃមុំតូចជាង \(45^\circ\) (តាមមុំបំពេញ)៖

1. \(\sin 63^\circ = \cos(90^\circ - 63^\circ) = \cos 27^\circ\)

2. \(\cos 82^\circ = \sin(90^\circ - 82^\circ) = \sin 8^\circ\)

3. \(\tan 73^\circ = \cot(90^\circ - 73^\circ) = \cot 17^\circ\)

រកប្រភេទត្រីកោណ \(ABC\) បើ \(\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2 C\)៖
តាមទ្រឹស្ដីបទស៊ីនុស \(\sin A = \dfrac{a}{2R}, \sin B = \dfrac{b}{2R}, \sin C = \dfrac{c}{2R}\) ជំនួសចូល៖

ទ្រនិចវែងនាឡិកាប្រវែង \(R = 2\text{ cm}\) ដើរបានមុំ \(30^\circ\) ពីលេខ 6៖
\(\triangle OAB\) សមបាតត្រង់ផ្ចិត \(O\) មាន \(OA = OB = 2\text{ cm}\) និង \(\angle AOB = 30^\circ\)។
តាមទ្រឹស្ដីបទកូស៊ីនុស៖

\(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(B\), \(AB = 2.7\text{ cm}, BE = 2\text{ cm}, \angle C = 25^\circ\)៖

• ក្នុង \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(B\)៖

  \[\begin{aligned} \tan C &= \frac{AB}{BC} \implies BC = \frac{AB}{\tan 25^\circ} \\ &\approx \frac{2.7}{0.4663} \approx 5.79\text{ cm} \end{aligned}\]
  \(EC = BC - BE = 5.79 - 2 = 3.79\text{ cm}\)។

• ក្នុង \(\triangle ABE\) កែងត្រង់ \(B\)៖

  \[\begin{aligned} \tan \angle BAE &= \frac{BE}{AB} = \frac{2}{2.7} \approx 0.7407 \\ \implies \angle BAE &\approx 36.53^\circ \end{aligned}\]
  ដោយ \(\angle BAC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ\)៖
  \[\begin{aligned} \angle CAE &= \angle BAC - \angle BAE = 65^\circ - 36.53^\circ \\ &= 28.47^\circ \approx 28.5^\circ \end{aligned}\]

កម្ពស់បង្គោលភ្លើងហ្វារ៖
ឧបករណ៍វាស់កម្ពស់ \(2\text{ m}\)។ មុំនៅ \(A\) គឺ \(20^\circ\), មុំនៅ \(B\) គឺ \(17^\circ 30' = 17.5^\circ\), \(AB = 15\text{ m}\)។
តាង \(h\) ជាកម្ពស់ពីឧបករណ៍ទៅកំពូល និង \(d\) ជាចម្ងាយពី \(A\) ទៅជើងកម្រិតឧបករណ៍៖

បញ្ចកោណនិយ័តចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ \(R = 5\text{ cm}\)៖
មុំផ្ចិតឈមនឹងជ្រុងនីមួយៗគឺ \(\theta = \dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ\)។
តាមទ្រឹស្ដីបទកូស៊ីនុស៖

គណនាតម្លៃលេខនៃកន្សោមនីមួយៗ៖

សម្រួលកន្សោមជាអនុគមន៍នៃ \(\sin\alpha\) ឬ \(\cos\alpha\)៖

1. \(= 2\sin(90^\circ - \alpha) + \cos(180^\circ - \alpha) = 2\cos\alpha - \cos\alpha = \cos\alpha\)

2. \(= 1 - \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha\)

3. \(= \dfrac{\sin^2\alpha}{1 + \cos\alpha} = \dfrac{1 - \cos^2\alpha}{1 + \cos\alpha} = \dfrac{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}{1 + \cos\alpha} = 1 - \cos\alpha\)

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាពចំពោះគ្រប់ \(\alpha\)៖

1. \((\cos\alpha + \sin\alpha)^2 + (\cos\alpha - \sin\alpha)^2 = 2\)៖

   \[\begin{aligned} \text{LHS} &= (\cos^2\alpha + 2\cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha) \\ &\quad{} + (\cos^2\alpha - 2\cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha) \\ &= 2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 2 = \text{RHS} \end{aligned}\]

2. \(\tan^2\alpha - \sin^2\alpha = \tan^2\alpha \cdot \sin^2\alpha\)៖

   \[\begin{aligned} \text{LHS} &= \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \sin^2\alpha \\ &= \sin^2\alpha\left(\frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right) \\ &= \sin^2\alpha \tan^2\alpha = \text{RHS} \end{aligned}\]

រកតម្លៃប្រហែលនៃមុំ \(\alpha\)៖

1. \(\sin\alpha = 0.4\) និង \(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ\)៖
   \(\alpha = \arcsin(0.4) \approx 23.58^\circ \approx 24^\circ\)។

2. \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{4} \approx 0.5590\) និង \(90^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)៖
   មុំស្រួចបង្អែកគឺ \(\alpha_0 = \arcsin(0.5590) \approx 33.99^\circ \approx 34^\circ\)។
   នាំឱ្យ \(\alpha = 180^\circ - 34^\circ = 146^\circ\)។

គណនា \(\cos\alpha\) និង \(\tan\alpha\)៖

1. \(\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) និង \(90^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)៖
   ក្នុងកាដ្រង់ទី ២ កូស៊ីនុសអវិជ្ជមាន៖

   \[\cos\alpha = -\sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{20}{25}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}\]
   \[\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2\sqrt{5}/5}{-\sqrt{5}/5} = -2\]

2. \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\)៖

   \[\begin{aligned} \cos^2\alpha &= 1 - \frac{2 - \sqrt{3}}{4} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \\ \implies \cos\alpha &= \pm\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \end{aligned}\]
   \[\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \pm\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}} = \pm(2 - \sqrt{3})\]

គណនា \(\cos\alpha\) និង \(\sin\alpha\)៖

1. \(\tan\alpha = \dfrac{1}{3}\) និង \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)៖
   ដោយ \(\tan\alpha > 0 \implies 0^\circ < \alpha < 90^\circ\)៖

   \[\begin{aligned} \cos\alpha &= \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/9}} \\ &= \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \end{aligned}\]
   \[\sin\alpha = \tan\alpha \cos\alpha = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{10}\]

2. \(\tan\alpha = -2\) និង \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)៖
   ដោយ \(\tan\alpha < 0 \implies 90^\circ < \alpha < 180^\circ\)៖

   \[\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{1 + (-2)^2}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}\]
   \[\sin\alpha = \tan\alpha \cos\alpha = (-2)\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5}\]

គណនា \(\sin\alpha\) និង \(\tan\alpha\) ដោយ \(\cos\alpha = -\dfrac{2}{3}\) និង \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)៖
ដោយ \(\cos\alpha < 0 \implies 90^\circ < \alpha < 180^\circ\) នាំឱ្យ \(\sin\alpha > 0\)៖

គណនា \(\dfrac{1 + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha}\) ដោយ \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\) និង \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)៖
\(\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{7}{16} \implies \cos\alpha = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}\) \(\implies \tan\alpha = \pm\frac{3}{\sqrt{7}}\)

• បើ \(\tan\alpha = \frac{3}{\sqrt{7}}\)៖

  \[\begin{aligned} \frac{1 + 3/\sqrt{7}}{1 - 3/\sqrt{7}} &= \frac{\sqrt{7} + 3}{\sqrt{7} - 3} = \frac{(\sqrt{7} + 3)^2}{7 - 9} \\ &= \frac{16 + 6\sqrt{7}}{-2} = -8 - 3\sqrt{7} \end{aligned}\]

• បើ \(\tan\alpha = -\frac{3}{\sqrt{7}}\)៖

  \[\begin{aligned} \frac{1 - 3/\sqrt{7}}{1 + 3/\sqrt{7}} &= \frac{\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 3} = \frac{(\sqrt{7} - 3)^2}{7 - 9} \\ &= \frac{16 - 6\sqrt{7}}{-2} = -8 + 3\sqrt{7} \end{aligned}\]

កាំរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ \(ABC\) ដែល \(\angle A = 143^\circ\) និង \(BC = 10\)៖
តាមទ្រឹស្ដីបទស៊ីនុស \(2R = \dfrac{BC}{\sin A}\)៖

គណនារង្វាស់ជ្រុង \(b = AC\) នៃត្រីកោណ \(ABC\)៖

1. \(c = AB = 8, a = BC = 7, \angle A = 60^\circ\)៖
   \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \implies 49 = b^2 + 64 - 2(b)(8)\left(\frac{1}{2}\right)\)

   \[b^2 - 8b + 15 = 0 \implies (b - 3)(b - 5) = 0\]
   ដូចនេះ \(b = 3\) ឬ \(b = 5\)។

2. \(c = 4, a = 5, \angle A = 120^\circ\)៖
   \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos 120^\circ \implies 25 = b^2 + 16 - 2(b)(4)\left(-\frac{1}{2}\right)\)

   \[b^2 + 4b - 9 = 0 \implies \Delta' = 2^2 - (1)(-9) = 13\]
   ដោយ \(b > 0\) នាំឱ្យ \(b = -2 + \sqrt{13} \approx 1.61\)។

\(A(1, 2), B(-1, 3), C(2, -1)\) ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ៖
គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងបី៖

\(\triangle ABC\) កែងសមបាតត្រង់ \(C\), \(AC = BC = \sqrt{3}\), \(D \in AC\), \(\angle DBC = 30^\circ\)៖

1. ក្នុងត្រីកោណកែង \(BCD\) កែងត្រង់ \(C\) មាន \(\angle DBC = 30^\circ\)៖

   \[\begin{aligned} CD &= BC \cdot \tan 30^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 \\ BD &= \frac{BC}{\cos 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 2 \\ AD &= AC - CD = \sqrt{3} - 1 \end{aligned}\]
   ក្នុង \(\triangle ABC\) កែងសមបាតត្រង់ \(C\)៖
   \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6}\]
   ដូចនេះ ជ្រុងនៃ \(\triangle ABD\) គឺ \(AD = \sqrt{3} - 1, BD = 2, AB = \sqrt{6}\)។

2. គណនា \(\cos 15^\circ, \sin 15^\circ, \tan 15^\circ\)៖
   \(\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ\)។
   តាមទ្រឹស្ដីបទកូស៊ីនុសក្នុង \(\triangle ABD\)៖

   \[\begin{aligned} AD^2 &= AB^2 + BD^2 - 2AB \cdot BD \cos 15^\circ \\ (\sqrt{3} - 1)^2 &= 6 + 4 - 4\sqrt{6}\cos 15^\circ \\ 4 - 2\sqrt{3} &= 10 - 4\sqrt{6}\cos 15^\circ \\ 4\sqrt{6}\cos 15^\circ &= 6 + 2\sqrt{3} \\ &\implies \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\ \sin 15^\circ &= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\ \tan 15^\circ &= 2 - \sqrt{3} \end{aligned}\]

ការស្រាយទ្រឹស្ដីបទពីតាករតាមវិធី Euclid៖

1. ការេ \(C_2 (ACPQ)\) មានផ្ទៃក្រឡា \(S_{C_2} = AC^2\)។
   ត្រីកោណ \(BCP\) និងការេ \(C_2\) មានបាត \(CP\) រួម និងកម្ពស់ដូចគ្នា \(AC\) នាំឱ្យ \(S_{C_2} = 2S_{BCP}\)។
   ចតុកោណកែង \(CIJR\) និងត្រីកោណ \(ACR\) មានបាត \(CR\) រួម និងកម្ពស់ \(CI\) ដូចគ្នា នាំឱ្យ \(S_{CIJR} = 2S_{ACR}\)។
   ពិនិត្យត្រីកោណ \(BCP\) និង \(ACR\)៖

   • \(CP = AC\) (ជ្រុងការេ \(C_2\))

   • \(BC = CR\) (ជ្រុងការេ \(C_3\))

   • \(\angle BCP = \angle BCA + 90^\circ = \angle ACR\)

   នាំឱ្យ \(\triangle BCP \cong \triangle ACR\) (ប-ម-ប) \(\implies S_{BCP} = S_{ACR}\)។
   ហេតុនេះ \(S_{C_2} = S_{CIJR}\)។

2. តាមលំនាំដូចគ្នា គេបង្ហាញបានថា \(\triangle ABM\) និង \(\triangle CBS\) មានផ្ទៃស្មើគ្នា ដែលនាំឱ្យ \(S_{C_1} = S_{BIJS}\)។

3. ផ្ទៃក្រឡាការេ \(C_3\) លើអ៊ីប៉ូតេនុស \(BC\) ស្មើនឹងផលបូកផ្ទៃនៃចតុកោណកែងទាំងពីរ៖

   \[\begin{aligned} S_{C_3} &= S_{BIJS} + S_{CIJR} = S_{C_1} + S_{C_2} \\ \implies BC^2 &= AB^2 + AC^2 \end{aligned}\]

ផ្ទៃក្រឡានិងតម្លៃដី៖
ដីនេះត្រូវបានបែងចែកជាត្រីកោណជាច្រើនដែលមានរង្វាស់ជ្រុងដែលបានផ្ដល់៖

• ត្រីកោណទី១ (ជ្រុង \(65\text{ m}, 78\text{ m}, 47\text{ m}\))៖ កន្លះបរិមាត្រ \(p = \dfrac{65 + 78 + 47}{2} = 95\text{ m}\)។

  \[\begin{aligned} S_1 &= \sqrt{95(95-65)(95-78)(95-47)} \\ &= \sqrt{95 \times 30 \times 17 \times 48} \approx 1525.0\text{ m}^2 \end{aligned}\]

• ត្រីកោណទី២ (ជ្រុង \(78\text{ m}, 57\text{ m}, 40\text{ m}\))៖
  \(p = \dfrac{78 + 57 + 40}{2} = 87.5\text{ m}\)។

  \[\begin{aligned} S_2 &= \sqrt{87.5(87.5-78)(87.5-57)(87.5-40)} \\ &\approx 1097.2\text{ m}^2 \end{aligned}\]

• ត្រីកោណទី៥ (ជ្រុង \(15\text{ m}, 12\text{ m}, 20\text{ m}\))៖ \(p = \dfrac{15 + 12 + 20}{2} = 23.5\text{ m}\)។

  \[S_5 = \sqrt{23.5(8.5)(11.5)(3.5)} \approx 89.6\text{ m}^2\]

ចំណាំគរុកោសល្យ៖ ត្រង់ត្រីកោណមួយចំនួនក្នុងប្លង់ដើមនៃសៀវភៅ (ជ្រុង \(25, 30, 57\) ដែលមាន \(25+30 < 57\)) មិនផ្ទៀងផ្ទាត់វិសមភាពត្រីកោណ។ ក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្ដែង វិស្វករវាស់វែងដីត្រូវផ្ទៀងផ្ទាត់ទិន្នន័យឡើងវិញ។ តម្លៃដីគិតតាម \(S_{\text{សរុប}} \times \$30/\text{m}^2\)។

កម្ពស់ដើមឈើ៖

1. ចម្ងាយពីជើងដើមឈើ \(d = 25\text{ m}\), មុំសម្រេចពីចុងដើមឈើ \(\alpha = 62^\circ\), កម្ពស់ភ្នែក \(h_0 = 1.7\text{ m}\)៖
   កម្ពស់ពីកម្រិតភ្នែកទៅចុងដើមឈើគឺ៖

   \[h_1 = d \cdot \tan 62^\circ \approx 25 \times 1.8807 = 47.02\text{ m}\]
   កម្ពស់សរុបនៃដើមឈើគឺ៖
   \[H = h_1 + h_0 = 47.02 + 1.7 = 48.72\text{ m} \approx 48.7\text{ m}\]

2. បើផ្លាស់ទីមកឈរចម្ងាយ \(d' = 15\text{ m}\) ពីជើងដើមឈើ៖
   មុំសម្រេចថ្មី \(\theta\) ផ្ទៀងផ្ទាត់៖

   \[\begin{aligned} \tan \theta &= \frac{h_1}{d'} = \frac{47.02}{15} \approx 3.1347 \\ \implies \theta &= \arctan(3.1347) \approx 72.3^\circ \end{aligned}\]
   (ឬបើគិតពីកម្ពស់សរុប \(\tan\theta = \frac{48.72}{15} \approx 3.248 \implies \theta \approx 72.9^\circ\))។

សន្ទស្សន៍នៃស្ពានខ្សែដែក៖ ប្រវែងស្ពាន \(L = 120\text{ m}\) (អ៊ីប៉ូតេនុស), ផលសងកម្ពស់ \(\Delta h = 18\text{ m}\)៖

1. មុំជំរាល \(\alpha\) នៃស្ពាន៖

   \[\begin{aligned} \sin\alpha &= \frac{\Delta h}{L} = \frac{18}{120} = 0.15 \\ \implies \alpha &= \arcsin(0.15) \approx 8.6^\circ \end{aligned}\]

2. ចម្ងាយផ្ដេក \(d\) ដែលរថយន្តធ្វើដំណើរ៖
   តាមទ្រឹស្ដីបទពីតាករ៖

   \[\begin{aligned} d &= \sqrt{120^2 - 18^2} = \sqrt{14400 - 324} \\ &= \sqrt{14076} \approx 118.6\text{ m} \end{aligned}\]

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ \(ABC\) បើ \(a = 8\text{ cm}, b = 11\text{ cm}\)៖

• ករណី \(\angle C = 30^\circ\)៖

  \[S_1 = \frac{1}{2}ab\sin 30^\circ = \frac{1}{2}(8)(11)\left(\frac{1}{2}\right) = 22\text{ cm}^2\]

• ករណី \(\angle C = 150^\circ\)៖

  \[S_2 = \frac{1}{2}ab\sin 150^\circ = \frac{1}{2}(8)(11)\left(\frac{1}{2}\right) = 22\text{ cm}^2\]

ផ្ទៃក្រឡាក្នុងករណីទាំងពីរមានតម្លៃស្មើគ្នា \(22\text{ cm}^2\)។

ត្រីកោណ \(ABC\) មាន \(a = 7\text{ cm}, b = 8\text{ cm}, c = 9\text{ cm}\)៖

1. គណនាផ្ទៃក្រឡាតាមរូបមន្តហេរុង៖
   កន្លះបរិមាត្រគឺ \(p = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{7 + 8 + 9}{2} = 12\text{ cm}\)។

   \[\begin{aligned} S &= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ &= \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} \\ &= \sqrt{720} = 12\sqrt{5}\text{ cm}^2 \approx 26.83\text{ cm}^2 \end{aligned}\]

2. គណនាកាំ \(R\) និង \(r\)៖

   \[\begin{aligned} R &= \frac{abc}{4S} = \frac{7 \times 8 \times 9}{4(12\sqrt{5})} \\ &= \frac{21\sqrt{5}}{10} \approx 4.70\text{ cm} \\ r &= \frac{S}{p} = \frac{12\sqrt{5}}{12} = \sqrt{5} \approx 2.24\text{ cm} \end{aligned}\]

ត្រីកោណ \(ABC\) មាន \(a = 5, b = 6, c = 7\)។ គណនាមេដ្យាន \(m_a\)៖
តាមរូបមន្តប្រវែងមេដ្យាន៖

ត្រីកោណ \(ABC\) មាន \(b = 8, c = 5, \angle A = 60^\circ\)។ គណនាកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ \(l_a\)៖
តាមរូបមន្តកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំក្នុងចេញពីកំពូល \(A\)៖

ស្រាយបំភ្លឺសមភាព៖

ស្រាយបំភ្លឺរូបមន្តចំណោល៖ \(a = b\cos C + c\cos B\)៖
ក្នុងត្រីកោណ \(ABC\) គូសកម្ពស់ \(AH \perp BC\) (\(H \in BC\))។
ចំណុច \(H\) បំបែកជ្រុង \(BC\) ជាពីរអង្កត់ \(BH\) និង \(HC\) នាំឱ្យ \(a = BC = BH + HC\)។

• ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABH\) កែងត្រង់ \(H\)៖ \(\cos B = \dfrac{BH}{AB} \implies BH = c\cos B\)

• ក្នុងត្រីកោណកែង \(ACH\) កែងត្រង់ \(H\)៖ \(\cos C = \dfrac{HC}{AC} \implies HC = b\cos C\)

បូកបញ្ចូលគ្នា៖

ត្រីកោណ \(ABC\) មាន \(b = 10, c = 14, S = 35\sqrt{3}\)៖

1. តាមរូបមន្តផ្ទៃក្រឡា \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)៖

   \[\begin{aligned} 35\sqrt{3} &= \frac{1}{2}(10)(14)\sin A = 70\sin A \\ \implies \sin A &= \frac{35\sqrt{3}}{70} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}\]

   • ករណីមុំស្រួច៖ \(\angle A = 60^\circ\)

   • ករណីមុំទាល៖ \(\angle A = 120^\circ\)

2. គណនាជ្រុង \(a\) តាមទ្រឹស្ដីបទកូស៊ីនុស៖

   • បើ \(\angle A = 60^\circ\)៖

     \[\begin{aligned} a^2 &= 10^2 + 14^2 - 2(10)(14)\cos 60^\circ \\ &= 296 - 140 = 156 \\ \implies a &= \sqrt{156} = 2\sqrt{39} \approx 12.49 \end{aligned}\]

   • បើ \(\angle A = 120^\circ\)៖

     \[\begin{aligned} a^2 &= 10^2 + 14^2 - 2(10)(14)\cos 120^\circ \\ &= 296 + 140 = 436 \\ \implies a &= \sqrt{436} = 2\sqrt{109} \approx 20.88 \end{aligned}\]

បង្ហាញថា \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណសមបាត ឬជាត្រីកោណកែង៖
សមភាពដែលបានផ្ដល់៖ \(\dfrac{\sin A}{\cos B} = \dfrac{\sin B}{\cos A}\)

• ករណីទី ១៖ \(2A = 2B \implies A = B\) នាំឱ្យ \(\triangle ABC\) ជា ត្រីកោណសមបាត។

• ករណីទី ២៖ \(2A = 180^\circ - 2B \implies 2A + 2B = 180^\circ \implies A + B = 90^\circ\) នាំឱ្យ \(\angle C = 90^\circ\) នោះ \(\triangle ABC\) ជា ត្រីកោណកែងត្រង់ \(C\)។

ប្រលេឡូក្រាមមាន \(a = 7\text{ cm}, b = 9\text{ cm}\) និងអង្កត់ទ្រូង \(d_1 = 8\text{ cm}\)៖
តាមទ្រឹស្ដីបទប្រលេឡូក្រាម (\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\))៖

ចតុកោណប៉ោង \(ABCD\) មានអង្កត់ទ្រូង \(d_1 = AC = 12\text{ cm}, d_2 = BD = 16\text{ cm}\), មុំបង្កើតដោយអង្កត់ទ្រូង \(\theta = 45^\circ\)៖
តាមរូបមន្តផ្ទៃក្រឡាចតុកោណតាមអង្កត់ទ្រូង៖

នាវាចរណ៍ និងទិសដៅ (Navigation)៖

1. មុំ \(\angle AOB\) រវាងទិសដៅកប៉ាល់ទាំងពីរ៖

   \[\angle AOB = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ\]

2. ចម្ងាយរវាងកប៉ាល់ទាំងពីរ (\(AB\)) តាមទ្រឹស្ដីបទកូស៊ីនុស៖

   \[\begin{aligned} AB^2 &= OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cos 60^\circ \\ &= 25^2 + 32^2 - 2(25)(32)\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= 625 + 1024 - 800 = 849 \\ \implies AB &= \sqrt{849} \approx 29.14\text{ km} \end{aligned}\]

ការវាស់កម្ពស់បាឡុងខ្យល់ (Triangulation)៖ \(AB = 500\text{ m}, \angle CAB = 58^\circ, \angle CBA = 72^\circ\)៖

1. មុំ \(\angle ACB\)៖

   \[\angle ACB = 180^\circ - (58^\circ + 72^\circ) = 50^\circ\]

2. ចម្ងាយពី \(A\) ទៅកាន់បាឡុង \(C\) តាមទ្រឹស្ដីបទស៊ីនុស៖

   \[\begin{aligned} \frac{AC}{\sin 72^\circ} &= \frac{AB}{\sin 50^\circ} \\ \implies AC &= \frac{500 \sin 72^\circ}{\sin 50^\circ} \\ &\approx \frac{500 \times 0.9511}{0.7660} \approx 620.78\text{ m} \end{aligned}\]

3. កម្ពស់បាឡុងធៀបនឹងដី \(h\) (គូសកម្ពស់ \(CH \perp AB\))៖

   \[h = AC \cdot \sin 58^\circ \approx 620.78 \times 0.8480 \approx 526.45\text{ m}\]

ធរណីមាត្រក្នុងលំហ 3D (3D Trigonometry)៖

1. ក្នុងត្រីកោណកែង \(OAT\) និង \(OBT\) កែងត្រង់ \(O\)៖

   \[OA = \frac{h}{\tan 35^\circ}, \quad{} OB = \frac{h}{\tan 42^\circ}\]

2. ដោយទិសខាងត្បូង និងទិសខាងកើតកែងគ្នា នោះ \(\triangle OAB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(O\) (\(AB = 60\text{ m}\))៖

   \[\begin{aligned} OA^2 + OB^2 &= 60^2 = 3600 \\ h^2(2.0396 + 1.2335) &\approx 3600 \\ \implies h^2 &\approx \frac{3600}{3.2731} \approx 1099.87 \\ \implies h &\approx 33.16\text{ m} \end{aligned}\]

វិស្វកម្មស្ពានយោល (Engineering PISA)៖

1. ចម្ងាយពីចំណុចកណ្ដាលទៅជើងប៉មនីមួយៗគឺ \(d = \dfrac{120}{2} = 60\text{ m}\)។
   កម្ពស់ប៉ម \(h\) ធៀបនឹងកម្រាលផ្លូវគឺ៖

   \[h = 60 \cdot \tan 28^\circ \approx 60 \times 0.5317 \approx 31.90\text{ m}\]

2. ពីចំណុចលើផ្លូវចម្ងាយ \(20\text{ m}\) ពីជើងប៉ម មុំងើប \(\theta\) ផ្ទៀងផ្ទាត់៖

   \[\begin{aligned} \tan \theta &= \frac{h}{20} = \frac{31.90}{20} = 1.595 \\ \implies \theta &= \arctan(1.595) \approx 57.9^\circ \end{aligned}\]

ប្រព័ន្ធតាមដានភ្លើងព្រៃ (GIS / Forestry PISA)៖

1. មុំខាងក្នុងនៃ \(\triangle P_1 P_2 F\)៖

   • នៅ \(P_1\) (ទិសដៅ \(N 35^\circ E\) ធៀបនឹងទិសខាងកើត)៖ \(\angle P_2 P_1 F = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\)

   • នៅ \(P_2\) (ទិសដៅ \(N 40^\circ W\) ធៀបនឹងទិសខាងលិច)៖ \(\angle P_1 P_2 F = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\)

   • នៅទីតាំងភ្លើង \(F\)៖ \(\angle P_1 F P_2 = 180^\circ - (55^\circ + 50^\circ) = 75^\circ\)

2. ចម្ងាយពីប៉ុស្តិ៍នីមួយៗទៅទីតាំងភ្លើង \(F\) តាមទ្រឹស្ដីបទស៊ីនុស (\(P_1 P_2 = 18\text{ km}\))៖

   \[\begin{aligned} P_1 F &= \frac{18 \sin 50^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{18 \times 0.7660}{0.9659} \approx 14.27\text{ km} \\ P_2 F &= \frac{18 \sin 55^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{18 \times 0.8192}{0.9659} \approx 15.27\text{ km} \end{aligned}\]

3. រយៈពេលហោះហើររបស់ឧទ្ធម្ភាគចក្រចេញពី \(P_1\) ក្នុងល្បឿន \(120\text{ km/h}\)៖

   \[t = \frac{P_1 F}{v} = \frac{14.27}{120}\text{ h} = \frac{14.27}{120} \times 60 = 7.14\text{ នាទី}\]
   (ប្រហែល \(7\) នាទី ៨ វិនាទី)។