មេរៀនទី ១៨ : សូលីត — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៩

ប្រវត្តិ

ប្រវត្តិធរណីមាត្រសូលីត និង Archimedes ការសិក្សាអំពីសូលីតធរណីមាត្រ (Solid Geometry) គឺជាកំពូលនៃធរណីមាត្របុរាណ។ គណិតវិទូក្រិកដ៏មហិមា Archimedes នៃស៊ីរ៉ាគូស (c. 287–212 មុន គ.ស) ត្រូវបានចាត់ទុកជាបិតានៃការគណនាផ្ទៃ និងមាឌនៃសូលីតកោង។

ស្នាដៃដ៏ល្បីល្បាញបំផុតរបស់លោកគឺគម្ពីរ On the Sphere and Cylinder ដែលលោកបានស្រាយបញ្ជាក់ថា មាឌ និងផ្ទៃក្រឡានៃស្វ៊ែរ តែងតែស្មើនឹង $\frac{2}{3}$ នៃមាឌ និងផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់នៃស៊ីឡាំងចារឹកក្រៅស្វ៊ែរនោះជានិច្ច។ Archimedes ចាត់ទុករបកគំហើញនេះជាសមិទ្ធផលខ្ពស់បំផុតក្នុងជីវិតរបស់លោក រហូតដល់បានផ្តាំផ្ញើឱ្យគេឆ្លាក់រូបចម្លាក់ស្វ៊ែរក្នុងស៊ីឡាំងនៅលើផ្នូររបស់លោក។

ពីរ៉ាមីត និងកោណ

ពីរ៉ាមីតនិយ័ត

ពីរ៉ាមីតនិយ័ត

ពីរ៉ាមីតនិយ័ត ជាពីរ៉ាមីតដែលមានបាតជាពហុកោណនិយ័ត ហើយកំពូលរបស់វាធ្លាក់ចំផ្ចិតនៃបាត។

ផ្ទៃក្រឡា និងមាឌនៃពីរ៉ាមីត

ចំពោះពីរ៉ាមីតនិយ័តដែលមានបរិមាត្របាត $p$, ផ្ទៃបាត $S_B$, កម្ពស់ $h$ និងអាប៉ូតែម $a$ ៖

ផ្ទៃក្រឡាខាង ៖ $S_L = \dfrac{1}{2} p a$
ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ ៖ $S_T = S_B + S_L$
មាឌ ៖ $V = \dfrac{1}{3} S_B h$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

កោណបរិវត្ត

កោណ

កោណ ជាសូលីតដែលកើតឡើងពីការបង្វិលត្រីកោណកែងមួយជុំវិញជ្រុងជាប់មុំកែងមួយរបស់វា។

ផ្ទៃក្រឡា និងមាឌនៃកោណ

ចំពោះកោណដែលមានកាំបាត $R$, កម្ពស់ $h$ និងជនេត្រ $a$ ៖

ទំនាក់ទំនងវិមាត្រ ៖ $a^2 = R^2 + h^2$
ផ្ទៃក្រឡាបាត ៖ $S_B = \pi R^2$
ផ្ទៃក្រឡាខាង ៖ $S_L = \pi R a$
ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ ៖ $S_T = \pi R(R + a)$
មាឌ ៖ $V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

កោណមួយមានកាំបាត $R = 3\,\text{cm}$ និងកម្ពស់ $h = 4\,\text{cm}$។ គណនាជនេត្រ ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ និងមាឌ។

ដំណោះស្រាយ

ជនេត្រ ៖ $a = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{cm}$
ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ ៖ $S_T = \pi R(R+a) = \pi \times 3(3+5) = 24\pi\,\text{cm}^2$
មាឌ ៖ $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{1}{3}\pi (3^2)(4) = 12\pi\,\text{cm}^3$

ប្រតិបត្តិ

ពីរ៉ាមីតនិយ័តមួយមានបាតជាការេជ្រុង $6\,\text{cm}$ និងកម្ពស់ $4\,\text{cm}$។ គណនាអាប៉ូតែម ផ្ទៃក្រឡាខាង និងមាឌ។

ស្វ៊ែរ និងប៊ូល

ស្វ៊ែរ និងប៊ូល

ស្វ៊ែរ ជាផ្ទៃកោងបិទជិតដែលគ្រប់ចំណុចនៅលើផ្ទៃរបស់វាមានចម្ងាយស្មើគ្នានឹង $R$ ពីចំណុចនឹងមួយហៅថាផ្ចិត $O$។ ប៊ូល ជាសូលីតដែលខណ្ឌដោយស្វ៊ែរ (រាប់បញ្ចូលទាំងផ្ទៃ និងផ្នែកខាងក្នុង)។

ផ្ទៃក្រឡា និងមាឌនៃស្វ៊ែរ

ចំពោះស្វ៊ែរកាំ $R$ និងអង្កត់ផ្ចិត $D = 2R$ ៖

ផ្ទៃក្រឡាស្វ៊ែរ ៖
\[S = 4\pi R^2 = \pi D^2\]
មាឌប៊ូល ៖
\[V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{1}{6}\pi D^3\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

គណនាផ្ទៃក្រឡា និងមាឌប៊ូលដែលមានកាំ $R = 6\,\text{cm}$។

ដំណោះស្រាយ

ផ្ទៃក្រឡា ៖ $S = 4\pi R^2 = 4\pi (6^2) = 144\pi\,\text{cm}^2$
មាឌ ៖ $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi (6^3) = 288\pi\,\text{cm}^3$

ប្រតិបត្តិ

ស្វ៊ែរមួយមានផ្ទៃក្រឡា $100\pi\,\text{cm}^2$។ គណនាកាំ $R$ និងមាឌនៃប៊ូលនោះ។

ផលធៀបផ្ទៃក្រឡា និងផលធៀបមាឌនៃសូលីតដូចគ្នា

សូលីតដូចគ្នា

កាលណាសូលីតពីរដូចគ្នាតាមផលធៀបវិមាត្រ $k = \dfrac{l'}{l}$ ៖

ផលធៀបបរិមាត្រ ឬធាតុលីនេអ៊ែរត្រូវគ្នាគឺ ៖ $\dfrac{p'}{p} = k$
ផលធៀបរវាងផ្ទៃក្រឡាត្រូវគ្នាគឺ ៖ $\dfrac{S'}{S} = k^2$
ផលធៀបរវាងមាឌត្រូវគ្នាគឺ ៖ $\dfrac{V'}{V} = k^3$

ឧទាហរណ៍

សូលីតពីរដូចគ្នាមានផលធៀបវិមាត្រ $k = \dfrac{1}{3}$។ បើសូលីតធំមានមាឌ $270\,\text{cm}^3$ រកមាឌសូលីតតូច។

ដំណោះស្រាយ

ផលធៀបមាឌនៃសូលីតទាំងពីរ ៖ $\dfrac{V'}{V} = k^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}$
មាឌនៃសូលីតតូច ៖ $V' = \dfrac{1}{27} \times 270 = 10\,\text{cm}^3$

ប្រតិបត្តិ

គូបពីរមានផលធៀបផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ស្មើ $\dfrac{4}{9}$។ គណនាផលធៀបជ្រុង និងផលធៀបមាឌនៃគូបទាំងពីរ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គណនាផ្ទៃក្រឡាខាង ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ និងមាឌនៃពីរ៉ាមីតបាតការេដែលមានជ្រុងបាត $a = 6\,\text{cm}$ និងអាប៉ូតែម $5\,\text{cm}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ពីរ៉ាមីតបាតការេមាន $a = 6\,\text{cm}$, អាប៉ូតែម $a_p = 5\,\text{cm}$ ៖

បរិមាត្របាត ៖ $p = 4 \times 6 = 24\,\text{cm}$
ផ្ទៃក្រឡាខាង ៖ $S_L = \dfrac{1}{2} p a_p = \dfrac{1}{2} \times 24 \times 5 = 60\,\text{cm}^2$
ផ្ទៃក្រឡាបាត ៖ $S_B = 6^2 = 36\,\text{cm}^2$
ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ ៖ $S_T = 36 + 60 = 96\,\text{cm}^2$
កម្ពស់ ៖ $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\,\text{cm}$
មាឌ ៖ $V = \dfrac{1}{3} S_B h = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 4 = 48\,\text{cm}^3$

២លំហាត់ទី ២

គណនាផ្ទៃក្រឡាខាង ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ និងមាឌនៃកោណដែលមានកាំ $R = 6\,\text{cm}$ និងកម្ពស់ $h = 8\,\text{cm}$។

មើលដំណោះស្រាយ

កោណមាន $R = 6\,\text{cm}, h = 8\,\text{cm}$ ៖

ជនេត្រ ៖ $a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}$
ផ្ទៃក្រឡាខាង ៖ $S_L = \pi R a = \pi \times 6 \times 10 = 60\pi\,\text{cm}^2$
ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ ៖ $S_T = \pi R(R+a) = \pi \times 6(6+10) = 96\pi\,\text{cm}^2$
មាឌ ៖ $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 6^2 \times 8 = 96\pi\,\text{cm}^3$

៣លំហាត់ទី ៣

គណនាផ្ទៃក្រឡា និងមាឌនៃស្វ៊ែរដែលមានកាំ ៖ ក) $R = 3\,\text{cm}$, ខ) $R = 6\,\text{cm}$, គ) $R = 1.5\,\text{dm}$, ឃ) $R = 7\,\text{m}$។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផ្ទៃក្រឡា $S = 4\pi R^2$ និងមាឌ $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ ៖

ក) $R = 3\,\text{cm} \implies S = 36\pi\,\text{cm}^2, V = 36\pi\,\text{cm}^3$
ខ) $R = 6\,\text{cm} \implies S = 144\pi\,\text{cm}^2, V = 288\pi\,\text{cm}^3$
គ) $R = 1.5\,\text{dm} \implies S = 9\pi\,\text{dm}^2, V = 4.5\pi\,\text{dm}^3$
ឃ) $R = 7\,\text{m} \implies S = 196\pi\,\text{m}^2, V = \dfrac{1372}{3}\pi\,\text{m}^3$

៤លំហាត់ទី ៤

ស្វ៊ែរមួយមានផ្ទៃក្រឡា $64\pi\,\text{cm}^2$។ គណនាកាំ $R$ និងមាឌនៃប៊ូលនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេមាន $S = 4\pi R^2 = 64\pi \implies R^2 = 16 \implies R = 4\,\text{cm}$។ មាឌនៃប៊ូលគឺ ៖

\[V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi (4)^3 = \dfrac{256}{3}\pi\,\text{cm}^3\]

៥លំហាត់ទី ៥

ប៊ូលមួយមានមាឌ $288\pi\,\text{cm}^3$។ គណនាកាំ $R$ និងផ្ទៃក្រឡាស្វ៊ែរ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេមាន $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = 288\pi \implies R^3 = 216 \implies R = 6\,\text{cm}$។ ផ្ទៃក្រឡាស្វ៊ែរគឺ ៖

\[S = 4\pi R^2 = 4\pi (6)^2 = 144\pi\,\text{cm}^2\]

៦លំហាត់ទី ៦

កោណមួយមានកម្ពស់ $24\,\text{cm}$ និងមាឌ $800\pi\,\text{cm}^3$។ គណនាកាំបាត និងផ្ទៃក្រឡាខាងនៃកោណ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេមាន $h = 24\,\text{cm}$ និង $V = 800\pi\,\text{cm}^3$ ៖

\[\begin{aligned} V &= \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{1}{3}\pi R^2 (24) = 8\pi R^2 \\ 8\pi R^2 &= 800\pi \implies R^2 = 100 \implies R = 10\,\text{cm} \end{aligned}\]

ជនេត្រ ៖ $a = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100+576} = \sqrt{676} = 26\,\text{cm}$។ ផ្ទៃខាង ៖ $S_L = \pi R a = \pi \times 10 \times 26 = 260\pi\,\text{cm}^2$។

៧លំហាត់ទី ៧

ស៊ីឡាំងមួយមានកាំបាត $R = 5\,\text{cm}$ និងកម្ពស់ $h = 12\,\text{cm}$។ គណនាផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ និងមាឌ។

មើលដំណោះស្រាយ

ស៊ីឡាំងមាន $R = 5\,\text{cm}, h = 12\,\text{cm}$ ៖

ផ្ទៃក្រឡាខាង ៖ $S_L = 2\pi Rh = 2\pi \times 5 \times 12 = 120\pi\,\text{cm}^2$
ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ ៖ $S_T = 2\pi R(R+h) = 2\pi \times 5(5+12) = 170\pi\,\text{cm}^2$
មាឌ ៖ $V = \pi R^2 h = \pi \times 5^2 \times 12 = 300\pi\,\text{cm}^3$

៨លំហាត់ទី ៨

គេដាក់កោណមួយដែលមានកាំ $R = 5\,\text{cm}, h = 12\,\text{cm}$ ចូលក្នុងស៊ីឡាំងដែលមានវិមាត្រដូចគ្នា។ គណនាមាឌចន្លោះទទេរវាងសូលីតទាំងពីរ។

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌស៊ីឡាំងគឺ $V_{\text{cyl}} = \pi R^2 h = 300\pi\,\text{cm}^3$។ មាឌកោណគឺ $V_{\text{cone}} = \dfrac{1}{3} V_{\text{cyl}} = 100\pi\,\text{cm}^3$។ មាឌចន្លោះទទេរវាងសូលីតទាំងពីរគឺ ៖

\[\Delta V = V_{\text{cyl}} - V_{\text{cone}} = 300\pi - 100\pi = 200\pi\,\text{cm}^3\]

៩លំហាត់ទី ៩

កន្លះស្វ៊ែរមួយមានកាំ $R = 6\,\text{cm}$។ គណនាផ្ទៃក្រឡាខាង ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ និងមាឌនៃកន្លះប៊ូល។

មើលដំណោះស្រាយ

កន្លះស្វ៊ែរកាំ $R = 6\,\text{cm}$ ៖

ផ្ទៃក្រឡាខាង (ផ្ទៃកោង) ៖ $S_L = 2\pi R^2 = 2\pi \times 36 = 72\pi\,\text{cm}^2$
ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ ៖ $S_T = 3\pi R^2 = 3\pi \times 36 = 108\pi\,\text{cm}^2$
មាឌ ៖ $V = \dfrac{2}{3}\pi R^3 = \dfrac{2}{3}\pi \times 216 = 144\pi\,\text{cm}^3$

១០លំហាត់ទី ១០

សូលីតមួយផ្សំឡើងពីកោណ និងកន្លះស្វ៊ែរដែលមានបាតរួមគ្នាកាំ $R = 3\,\text{cm}$ និងកោណមានកម្ពស់ $h = 4\,\text{cm}$។ គណនាផ្ទៃក្រឡា និងមាឌសរុបនៃសូលីត។

មើលដំណោះស្រាយ

សូលីតផ្សំពីកោណ និងកន្លះស្វ៊ែរកាំ $R = 3\,\text{cm}, h = 4\,\text{cm}$ ៖ ជនេត្រកោណ ៖ $a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{cm}$។ ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ ៖

\[\begin{aligned} S &= S_{L,\text{cone}} + S_{L,\text{hemi}} = \pi R a + 2\pi R^2 \\ &= \pi(3)(5) + 2\pi(9) = 15\pi + 18\pi = 33\pi\,\text{cm}^2 \end{aligned}\]

មាឌសរុប ៖

\[\begin{aligned} V &= V_{\text{cone}} + V_{\text{hemi}} = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h + \dfrac{2}{3}\pi R^3 \\ &= \dfrac{1}{3}\pi(9)(4) + \dfrac{2}{3}\pi(27) = 12\pi + 18\pi = 30\pi\,\text{cm}^3 \end{aligned}\]

១១លំហាត់ទី ១១

សរសេររូបមន្តផ្ទៃក្រឡា និងមាឌនៃសូលីតដែលផ្សំឡើងពីស៊ីឡាំងកណ្តាល និងកន្លះស្វ៊ែរពីរសងខាង។

មើលដំណោះស្រាយ

សូលីតរាងត្រសក់ (ស៊ីឡាំងកណ្តាល និងកន្លះស្វ៊ែរពីរសងខាងកាំ $R$) ៖ ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ស្មើផ្ទៃខាងស៊ីឡាំងបូកផ្ទៃស្វ៊ែរពេញ ៖ $S = 2\pi Rh + 4\pi R^2$។ មាឌទាំងអស់ស្មើមាឌស៊ីឡាំងបូកមាឌប៊ូលពេញ ៖ $V = \pi R^2 h + \dfrac{4}{3}\pi R^3$។

១២លំហាត់ទី ១២

ពីរ៉ាមីតនិយ័តបាតការេមានជ្រុងបាត $8\,\text{cm}$ និងកម្ពស់ $3\,\text{cm}$។ គណនាប្រវែងអាប៉ូតែម និងផ្ទៃក្រឡាខាង។

មើលដំណោះស្រាយ

ពីរ៉ាមីតបាតការេជ្រុង $8\,\text{cm}, h = 3\,\text{cm}$ ៖ ចម្ងាយពីផ្ចិតបាតទៅជ្រុងគឺ $\dfrac{8}{2} = 4\,\text{cm}$។ អាប៉ូតែម ៖ $a = \sqrt{h^2 + 4^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{cm}$។ បរិមាត្របាត ៖ $p = 4 \times 8 = 32\,\text{cm}$។ ផ្ទៃខាង ៖ $S_L = \dfrac{1}{2} p a = \dfrac{1}{2} \times 32 \times 5 = 80\,\text{cm}^2$។

១៣លំហាត់ទី ១៣

គេកាត់កោណមួយដោយប្លង់ស្របនឹងបាតត្រង់ចំណុចកណ្តាលកម្ពស់។ បង្ហាញថាផ្ទៃកោណតូចស្មើ $\frac{1}{4}$ នៃផ្ទៃកោណធំ និងមាឌកោណតូចស្មើ $\frac{1}{8}$ នៃមាឌកោណធំ។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលធៀបដំណូចគឺ $k = \dfrac{h'}{h} = \dfrac{1}{2}$។ ផលធៀបផ្ទៃក្រឡា ៖ $\dfrac{S'}{S} = k^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$។ ផលធៀបមាឌ ៖ $\dfrac{V'}{V} = k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$។

១៤លំហាត់ទី ១៤

ពីលំហាត់ ១៣ គណនាមាឌនៃកំណាត់កោណបើកោណធំមានមាឌ $240\,\text{cm}^3$។

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌកោណតូចគឺ $V' = \dfrac{1}{8} V = \dfrac{1}{8} \times 240 = 30\,\text{cm}^3$។ មាឌនៃកំណាត់កោណគឺ ៖

\[V_{\text{frustum}} = V - V' = 240 - 30 = 210\,\text{cm}^3\]

១៥លំហាត់ទី ១៥

ពីរ៉ាមីតកាត់ (Frustum of pyramid) មានបាតធំជាការេជ្រុង $10\,\text{cm}$, បាតតូចជាការេជ្រុង $4\,\text{cm}$ និងកម្ពស់ $6\,\text{cm}$។ គណនាមាឌនៃកំណាត់ពីរ៉ាមីត។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណាត់ពីរ៉ាមីតបាតការេ $a_1 = 10\,\text{cm}, a_2 = 4\,\text{cm}, h = 6\,\text{cm}$ ៖ ផ្ទៃបាត ៖ $S_1 = 10^2 = 100\,\text{cm}^2, S_2 = 4^2 = 16\,\text{cm}^2$។ រូបមន្តមាឌ ៖

\[\begin{aligned} V &= \dfrac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) \\ &= \dfrac{1}{3}(6)(100 + \sqrt{1600} + 16) = 2(156) = 312\,\text{cm}^3 \end{aligned}\]

១៦លំហាត់ទី ១៦

សូលីតពីរដូចគ្នាមានផលធៀបវិមាត្រ $k = \frac{2}{3}$។ បើសូលីតតូចមានផ្ទៃក្រឡា $36\,\text{cm}^2$ គណនាផ្ទៃក្រឡាសូលីតធំ។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលធៀបវិមាត្រគឺ $k = \dfrac{2}{3} \implies \dfrac{S_1}{S_2} = k^2 = \dfrac{4}{9}$។

\[S_2 = \dfrac{9}{4} S_1 = \dfrac{9}{4} \times 36 = 81\,\text{cm}^2\]

ដូចនេះ ផ្ទៃក្រឡាសូលីតធំគឺ $81\,\text{cm}^2$។

១៧លំហាត់ទី ១៧

ពីលំហាត់ ១៦ បើសូលីតធំមានមាឌ $135\,\text{cm}^3$ គណនាមាឌសូលីតតូច។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលធៀបមាឌគឺ $\dfrac{V_1}{V_2} = k^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$។

\[V_1 = \dfrac{8}{27} V_2 = \dfrac{8}{27} \times 135 = 8 \times 5 = 40\,\text{cm}^3\]

ដូចនេះ មាឌសូលីតតូចគឺ $40\,\text{cm}^3$។

១៨លំហាត់ទី ១៨

គូបពីរមានផលធៀបផ្ទៃក្រឡាស្មើ $\frac{16}{25}$។ គណនាផលធៀបជ្រុង និងផលធៀបមាឌនៃគូបទាំងពីរ។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលធៀបផ្ទៃក្រឡា $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{16}{25} \implies k = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}$។ ផលធៀបជ្រុងគឺ $\dfrac{4}{5}$។ ផលធៀបមាឌគឺ $\dfrac{V_1}{V_2} = k^3 = \left(\dfrac{4}{5}\right)^3 = \dfrac{64}{125}$។

១៩លំហាត់ទី ១៩

ពីលំហាត់ ១៨ បើគូបតូចមានម៉ាស $32\,\text{g}$ គណនាម៉ាសគូបធំ (ធ្វើពីសារធាតុតែមួយ)។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោយវត្ថុធាតុដូចគ្នា ដង់ស៊ីតេស្មើគ្នា នាំឱ្យផលធៀបម៉ាសស្មើនឹងផលធៀបមាឌ ៖

\[\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{64}{125} \implies m_2 = \dfrac{125}{64} \times 32 = \dfrac{125}{2} = 62.5\,\text{g}\]

២០លំហាត់ទី ២០

ផ្លែឪឡឹកតូចពីរមានតម្លៃស្មើផ្លែឪឡឹកធំមួយ។ កាំផ្លែតូចស្មើ $\frac{1}{2}$ នៃកាំផ្លែធំ។ តើទិញមួយណាបានចំណេញជាង?

មើលដំណោះស្រាយ

កាំឪឡឹកតូច $R_1 = \dfrac{1}{2} R_2$ នាំឱ្យមាឌឪឡឹកតូចគឺ ៖ $V_1 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 V_2 = \dfrac{1}{8} V_2$។ ឪឡឹកតូចពីរមានមាឌសរុបគឺ $2 \times \dfrac{1}{8} V_2 = \dfrac{1}{4} V_2$។ ដោយតម្លៃស្មើនឹងឪឡឹកធំមួយដែលមានមាឌ $V_2$ អ្នកទិញត្រូវរើស ឪឡឹកធំមួយ ទើបចំណេញជាងឆ្ងាយ (បានសាច់ច្រើនជាង ៤ ដង)។

២១លំហាត់ទី ២១

ម៉ាស៊ីនបោកខោអាវស៊ីឡាំងពីរ វិមាត្រតូចស្មើ $\frac{9}{10}$ នៃវិមាត្រធំ តម្លៃម៉ាស៊ីនតូចស្មើ $\frac{7}{10}$ នៃម៉ាស៊ីនធំ។ គណនាផលធៀបសមត្ថភាព និងប្រៀបធៀបចំណេញ។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលធៀបវិមាត្រគឺ $k = \dfrac{9}{10} \implies$ ផលធៀបមាឌ (ចំណុះ) គឺ $k^3 = \left(\dfrac{9}{10}\right)^3 = 0.729 = 72.9\%$។ ផលធៀបតម្លៃគឺ $\dfrac{7}{10} = 0.70 = 70\%$។ ចំណុះធ្លាក់ចុះមក $72.9\%$ តែតម្លៃថយមក $70\%$ ដូច្នេះម៉ាស៊ីនតូចមានតម្លៃធូរថ្លៃជាងបន្តិចធៀបនឹងសមត្ថភាព។

២២លំហាត់ទី ២២

គូបមួយមានជ្រុង $2a$។ ក្នុងគូបនោះមានស៊ីឡាំងកាំ $a$ កម្ពស់ $2a$។ គណនាផលធៀបមាឌស៊ីឡាំងទៅមាឌគូប។

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌគូប ៖ $V_{\text{cube}} = (2a)^3 = 8a^3$។ មាឌស៊ីឡាំងកាំ $a$ កម្ពស់ $2a$ ៖ $V_{\text{cyl}} = \pi a^2 (2a) = 2\pi a^3$។ ផលធៀបមាឌ ៖

\[\dfrac{V_{\text{cyl}}}{V_{\text{cube}}} = \dfrac{2\pi a^3}{8a^3} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0.785\]

២៣លំហាត់ទី ២៣

ក្នុងកោណកាំ $R$ កម្ពស់ $h$ មានស៊ីឡាំងកាំ $\frac{R}{2}$ ចារឹកក្នុង។ គណនាកម្ពស់ និងមាឌស៊ីឡាំងជាអនុគមន៍នៃ $R, h$។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមត្រីកោណដូចគ្នាក្នុងមុខកាត់ ៖ $\dfrac{h - h_{\text{cyl}}}{h} = \dfrac{R/2}{R} = \dfrac{1}{2} \implies h_{\text{cyl}} = \dfrac{h}{2}$។ មាឌស៊ីឡាំងគឺ ៖

\[V = \pi \left(\dfrac{R}{2}\right)^2 \left(\dfrac{h}{2}\right) = \dfrac{\pi R^2 h}{8}\]

២៤លំហាត់ទី ២៤

ដុំដែកមានរាងជាគូបជ្រុង $6\,\text{cm}$ ត្រូវបានគេយកទៅស្លរំលាយធ្វើជាគ្រាប់ឃ្លីស្វ៊ែរកាំ $1\,\text{cm}$។ រកចំនួនគ្រាប់ឃ្លីអតិបរមាដែលអាចធ្វើបាន (យក $\pi = 3$)។

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌគូបគឺ $V_{\text{cube}} = 6^3 = 216\,\text{cm}^3$។ មាឌគ្រាប់ឃ្លីស្វ៊ែរកាំ $1\,\text{cm}$ យក $\pi = 3$ គឺ ៖ $V_{\text{sphere}} = \dfrac{4}{3}(3)(1)^3 = 4\,\text{cm}^3$។ ចំនួនគ្រាប់ឃ្លីអតិបរមាគឺ ៖

\[N = \dfrac{216}{4} = 54 \text{ គ្រាប់}\]

២៥លំហាត់ទី ២៥

ធុងស៊ីឡាំងកាំ $10\,\text{cm}$ មានទឹក។ គេទម្លាក់ដុំដែកស្វ៊ែរកាំ $6\,\text{cm}$ ចូល។ តើទឹកក្នុងធុងកើនឡើងកម្ពស់ប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌស្វ៊ែរកាំ $6\,\text{cm}$ គឺ $V = \dfrac{4}{3}\pi (6)^3 = 288\pi\,\text{cm}^3$។ តាង $x$ ជាកម្ពស់ទឹកកើនឡើងក្នុងធុងស៊ីឡាំងកាំ $10\,\text{cm}$ ៖

\[\pi (10)^2 x = 288\pi \implies 100x = 288 \implies x = 2.88\,\text{cm}\]

២៦លំហាត់ទី ២៦

គណនាកម្ពស់កោណដែលមានមាឌស្មើនឹងមាឌស្វ៊ែរកាំ $R$ ដោយដឹងថាកោណមានកាំបាត $R$ ដែរ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេមាន $V_{\text{cone}} = V_{\text{sphere}} \implies \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{4}{3}\pi R^3$។ សម្រួល $\dfrac{1}{3}\pi R^2$ សងខាង គេបាន ៖

\[h = 4R\]

ដូចនេះ កម្ពស់កោណត្រូវស្មើនឹង $4$ ដងនៃកាំស្វ៊ែរ។

២៧លំហាត់ទី ២៧

គណនាកាំស្វ៊ែរដែលមានមាឌស្មើនឹងមាឌស៊ីឡាំងកាំ $R$ កម្ពស់ $h = 2R$។

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌស៊ីឡាំងគឺ $V_{\text{cyl}} = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3$។ តាង $R_s$ ជាកាំស្វ៊ែរ ៖

\[\dfrac{4}{3}\pi R_s^3 = 2\pi R^3 \implies R_s^3 = \dfrac{3}{2} R^3 \implies R_s = R \sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}\]

២៨លំហាត់ទី ២៨

គណនាផ្ទៃក្រឡាខាងនៃកោណដែលមានមុំបើកនៃផ្ទៃលាតស្មើ $120^\circ$ និងកាំផ្ទៃលាត $L = 9\,\text{cm}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ផ្ទៃក្រឡាខាងនៃកោណស្មើនឹងផ្ទៃផ្លិតរង្វង់លាត ៖

\[\begin{aligned} S_L &= \dfrac{\theta}{360^\circ} \times \pi L^2 = \dfrac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi (9)^2 \\ &= \dfrac{1}{3} \times 81\pi = 27\pi\,\text{cm}^2 \end{aligned}\]

២៩លំហាត់ទី ២៩

កោណមួយបានមកពីការមូរផ្លិតរង្វង់ដែលមានមុំផ្ចិត $216^\circ$ និងកាំ $10\,\text{cm}$។ គណនាកាំបាត កម្ពស់ និងមាឌនៃកោណ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រវែងធ្នូនៃផ្លិតរង្វង់ស្មើនឹងបរិមាត្របាតកោណ ៖ $2\pi R = \dfrac{216^\circ}{360^\circ} \times 2\pi (10) \implies R = \dfrac{3}{5} \times 10 = 6\,\text{cm}$។ ជនេត្រ $a = 10\,\text{cm}$។ កម្ពស់ ៖ $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\,\text{cm}$។ មាឌ ៖ $V = \dfrac{1}{3}\pi (6)^2 (8) = 96\pi\,\text{cm}^3$។

៣០លំហាត់ទី ៣០

ពីរ៉ាមីតចតុមុខទៀងទាត់ (Regular Tetrahedron) មានជ្រុង $a$។ គណនាកម្ពស់ ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ និងមាឌ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចតុមុខទៀងទាត់ជ្រុង $a$ ៖

កម្ពស់ ៖ $h = a\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ ៖ $S_T = 4 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2\right) = a^2\sqrt{3}$
មាឌ ៖ $V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$

៣១លំហាត់ទី ៣១

គូបមួយមានមាឌ $125\,\text{cm}^3$។ គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូងធំនៃគូប និងផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់។

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌគូបគឺ $a^3 = 125 \implies a = 5\,\text{cm}$។ អង្កត់ទ្រូងធំ ៖ $d = a\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\,\text{cm}$។ ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ ៖ $S_T = 6a^2 = 6 \times 25 = 150\,\text{cm}^2$។

៣២លំហាត់ទី ៣២

ប្រលេពីប៉ែតកែងមួយមានវិមាត្រ $3\,\text{cm}, 4\,\text{cm}, 12\,\text{cm}$។ គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូង ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ និងមាឌ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រលេពីប៉ែតកែងវិមាត្រ $3, 4, 12\,\text{cm}$ ៖

អង្កត់ទ្រូង ៖ $d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}$
ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ ៖ $S_T = 2(3 \times 4 + 4 \times 12 + 3 \times 12) = 2(12 + 48 + 36) = 192\,\text{cm}^2$
មាឌ ៖ $V = 3 \times 4 \times 12 = 144\,\text{cm}^3$

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

ស្វ៊ែរមួយចារឹកក្រៅគូបជ្រុង $a$។ គណនាកាំស្វ៊ែរ និងផលធៀបមាឌស្វ៊ែរទៅមាឌគូប។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្វ៊ែរចារឹកក្រៅគូបជ្រុង $a$ មានអង្កត់ផ្ចិតស្មើនឹងអង្កត់ទ្រូងគូប ៖ $2R = a\sqrt{3} \implies R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$។ មាឌស្វ៊ែរ ៖ $V_s = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \dfrac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2}$។ ផលធៀបមាឌ ៖ $\dfrac{V_s}{V_c} = \dfrac{\pi\sqrt{3}}{2} \approx 2.72$។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

ស្វ៊ែរមួយចារឹកក្នុងគូបជ្រុង $a$។ គណនាកាំស្វ៊ែរ និងផលធៀបមាឌគូបទៅមាឌស្វ៊ែរ។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្វ៊ែរចារឹកក្នុងគូបជ្រុង $a$ មានអង្កត់ផ្ចិតស្មើជ្រុងគូប ៖ $2R = a \implies R = \dfrac{a}{2}$។ មាឌស្វ៊ែរ ៖ $V_s = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3 = \dfrac{\pi a^3}{6}$។ ផលធៀបមាឌ ៖ $\dfrac{V_c}{V_s} = \dfrac{a^3}{\pi a^3 / 6} = \dfrac{6}{\pi} \approx 1.91$។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

គេមានកែវទឹកពីរាងកោណកម្ពស់ $12\,\text{cm}$ ចាក់ទឹកចូលដល់កម្ពស់ $6\,\text{cm}$។ តើបរិមាណទឹកស្មើនឹងប៉ុន្មានភាគរយនៃចំណុះកែវ?

មើលដំណោះស្រាយ

ផលធៀបកម្ពស់ទឹកគឺ $k = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$។ ផលធៀបមាឌទឹកទៅចំណុះកែវគឺ $k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} = 12.5\%$។ ដូចនេះ ទឹកមានបរិមាណត្រឹមតែ $12.5\%$ នៃចំណុះកែវប៉ុណ្ណោះ។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

បង្ហាញថារូបមន្តមាឌកំណាត់កោណគឺ $V = \frac{1}{3}\pi h(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងកោណធំមានកម្ពស់ $H$ និងកោណតូចមានកម្ពស់ $H-h$។ តាមផលធៀបដំណូច $\dfrac{H-h}{H} = \dfrac{R_2}{R_1} \implies H = \dfrac{h R_1}{R_1 - R_2}$។ មាឌកំណាត់កោណគឺ $V = V_1 - V_2 = \dfrac{1}{3}\pi R_1^2 H - \dfrac{1}{3}\pi R_2^2(H-h)$។ ជំនួស $H$ រួចបង្រួម គេទាញបានរូបមន្ត ៖

\[V = \dfrac{1}{3}\pi h (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)\]

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

អនុវត្តរូបមន្តគណនាមាឌកំណាត់កោណដែលមាន $R_1 = 6\,\text{cm}, R_2 = 3\,\text{cm}, h = 4\,\text{cm}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ជំនួស $R_1 = 6, R_2 = 3, h = 4$ ក្នុងរូបមន្ត ៖

\[\begin{aligned} V &= \dfrac{1}{3}\pi(4)(6^2 + 6 \times 3 + 3^2) \\ &= \dfrac{4\pi}{3}(63) = 84\pi\,\text{cm}^3 \end{aligned}\]

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

បង្ហាញថារូបមន្តមាឌកំណាត់ពីរ៉ាមីតគឺ $V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្រាយបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នានឹងកំណាត់កោណដោយប្រើផលធៀបដំណូចនៃពីរ៉ាមីតកាត់ ៖ $V = \dfrac{1}{3} H S_1 - \dfrac{1}{3}(H-h)S_2$។ ដោយ $\dfrac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}} = \dfrac{H-h}{H}$ គេទាញបានរូបមន្ត ៖

\[V = \dfrac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\]

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

ពីរ៉ាមីតកាត់បាតការេមានជ្រុងបាត $a = 8\,\text{cm}, b = 2\,\text{cm}, h = 6\,\text{cm}$។ គណនាមាឌ។

មើលដំណោះស្រាយ

$S_1 = 8^2 = 64\,\text{cm}^2, S_2 = 2^2 = 4\,\text{cm}^2, h = 6\,\text{cm}$ ៖

\[\begin{aligned} V &= \dfrac{1}{3}(6)(64 + \sqrt{64 \times 4} + 4) \\ &= 2(64 + 16 + 4) = 2(84) = 168\,\text{cm}^3 \end{aligned}\]

៤០លំហាត់ទី ៤០

ស្វ៊ែរមួយមានមាឌកើនឡើង $8$ ដង។ តើផ្ទៃក្រឡារបស់វាកើនឡើងប៉ុន្មានដង?

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌកើនឡើង $8$ ដង $\implies k^3 = 8 \implies k = 2$ (កាំកើនឡើង $2$ ដង)។ កំណើនផ្ទៃក្រឡាគឺ ៖

\[k^2 = 2^2 = 4 \text{ ដង}\]

៤១លំហាត់ទី ៤១

បាល់ទាត់មួយមានបរិមាត្ររង្វង់ធំ $C = 68\,\text{cm}$។ គណនាកាំ ផ្ទៃក្រឡា និងមាឌនៃបាល់ទាត់ (យក $\pi = 3.14$)។

មើលដំណោះស្រាយ

បរិមាត្ររង្វង់ធំ $C = 2\pi R = 68\,\text{cm} \implies R = \dfrac{68}{2 \times 3.14} \approx 10.83\,\text{cm}$។

ផ្ទៃក្រឡា ៖ $S = 4\pi R^2 \approx 4(3.14)(10.83)^2 \approx 1473\,\text{cm}^2$
មាឌ ៖ $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \approx \dfrac{4}{3}(3.14)(10.83)^3 \approx 5318\,\text{cm}^3$

៤២លំហាត់ទី ៤២

ដំបូលវិមានមួយមានរាងកន្លះស្វ៊ែរអង្កត់ផ្ចិត $14\,\text{m}$។ គណនាផ្ទៃក្រឡាក្រាលក្បឿង និងថ្លៃក្រាលបើ $1\,\text{m}^2$ តម្លៃ $25\$$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដំបូលកន្លះស្វ៊ែរមានកាំ $R = \dfrac{14}{2} = 7\,\text{m}$។ ផ្ទៃកោងកន្លះស្វ៊ែរ ៖ $S = 2\pi R^2 = 2 \times \dfrac{22}{7} \times 7^2 = 308\,\text{m}^2$។ តម្លៃសរុប ៖ $308 \times 25\$ = 7700\$$។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

ធុងប្រេងរាងស៊ីឡាំងដេកមានកាំ $1\,\text{m}$ និងបណ្តោយ $4\,\text{m}$។ គណនាចំណុះធុងគិតជាលីត្រ ($1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{L}$)。

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌធុងស៊ីឡាំង ៖ $V = \pi R^2 h = \pi (1)^2 (4) = 4\pi\,\text{m}^3 \approx 12.566\,\text{m}^3$។ ចំណុះគិតជាលីត្រ ៖

\[12.566 \times 1000 = 12566\,\text{L}\]

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

ទៀនរាងកោណកាំ $3\,\text{cm}$ កម្ពស់ $10\,\text{cm}$ ឆេះអស់ក្នុងល្បឿន $2\,\text{cm}^3$ ក្នុងមួយនាទី។ តើទៀនឆេះអស់ក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មាននាទី?

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌទៀនរាងកោណ ៖ $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{1}{3}\pi (3)^2 (10) = 30\pi \approx 94.25\,\text{cm}^3$។ រយៈពេលឆេះអស់ ៖

\[t = \dfrac{94.25}{2} \approx 47.12 \text{ នាទី} \approx 47 \text{ នាទី } 7 \text{ វិនាទី}\]

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

គ្រាប់កាំភ្លើងធំធ្វើពីដែកមានអង្កត់ផ្ចិត $12\,\text{cm}$ និងដង់ស៊ីតេ $7.8\,\text{g/cm}^3$។ គណនាម៉ាសគ្រាប់កាំភ្លើងគិតជាគីឡូក្រាម។

មើលដំណោះស្រាយ

កាំគ្រាប់កាំភ្លើង $R = 6\,\text{cm}$។ មាឌ ៖ $V = \dfrac{4}{3}\pi (6)^3 = 288\pi \approx 904.78\,\text{cm}^3$។ ម៉ាស ៖ $m = 904.78 \times 7.8 \approx 7057\,\text{g} \approx 7.06\,\text{kg}$។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

ស្រាយបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ Archimedes ៖ ផលធៀបមាឌ និងផ្ទៃក្រឡារវាងស្វ៊ែរ និងស៊ីឡាំងចារឹកក្រៅស្មើនឹង $\frac{2}{3}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្វ៊ែរកាំ $R$ និងស៊ីឡាំងចារឹកក្រៅ (កាំ $R$, កម្ពស់ $2R$) ៖

$\dfrac{V_s}{V_c} = \dfrac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\pi R^2(2R)} = \dfrac{\frac{4}{3}}{2} = \dfrac{2}{3}$
$\dfrac{S_s}{S_{T,c}} = \dfrac{4\pi R^2}{2\pi R(2R) + 2\pi R^2} = \dfrac{4\pi R^2}{6\pi R^2} = \dfrac{2}{3}$

នេះជាទ្រឹស្តីបទដ៏ល្បីល្បាញរបស់ Archimedes។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

បង្ហាញថាចំពោះកោណសម័ង្ស (មានជនេត្រស្មើអង្កត់ផ្ចិតបាត $a = 2R$) ផ្ទៃក្រឡាខាងស្មើពីរដងនៃផ្ទៃក្រឡាបាត។

មើលដំណោះស្រាយ

កោណសម័ង្សមានជនេត្រ $a = 2R$ ៖ ផ្ទៃក្រឡាខាង ៖ $S_L = \pi R a = \pi R (2R) = 2\pi R^2$។ ផ្ទៃក្រឡាបាត ៖ $S_B = \pi R^2$។ ដូច្នេះ $S_L = 2 S_B$ (ផ្ទៃខាងស្មើពីរដងផ្ទៃបាត)។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

ពន្យល់គោលការណ៍ Cavalieri និងការអនុវត្តក្នុងការទាញរករូបមន្តមាឌពីរ៉ាមីត និងស្វ៊ែរ។

មើលដំណោះស្រាយ

គោលការណ៍ Cavalieri ចែងថាសូលីតពីរដែលមានកម្ពស់ស្មើគ្នា និងមានផ្ទៃមុខកាត់ស្របស្មើគ្នានៅគ្រប់កម្ពស់ មានមាឌស្មើគ្នា។ គោលការណ៍នេះអនុញ្ញាតឱ្យគណនាមាឌពីរ៉ាមីតទ្រេតស្មើពីរ៉ាមីតត្រង់ និងគណនាមាឌកន្លះស្វ៊ែរដោយប្រៀបធៀបជាមួយស៊ីឡាំងដែលដកកោណចេញ។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

គណនាផលធៀបផ្ទៃក្រឡា និងផលធៀបមាឌនៃផែនដី និងព្រះចន្ទ (កាំព្រះចន្ទប្រហែល $\frac{1}{4}$ នៃកាំផែនដី)។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលធៀបកាំ $\dfrac{R_M}{R_E} \approx \dfrac{1}{4}$ នាំឱ្យ ៖

ផលធៀបផ្ទៃក្រឡា ៖ $\left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{16}$ (ផ្ទៃព្រះចន្ទប្រហែល $\frac{1}{16}$ នៃផែនដី)
ផលធៀបមាឌ ៖ $\left(\dfrac{1}{4}\right)^3 = \dfrac{1}{64}$ (មាឌព្រះចន្ទប្រហែល $\frac{1}{64}$ នៃផែនដី)

៥០លំហាត់ទី ៥០

សង្ខេបប្រព័ន្ធរូបមន្តផ្ទៃក្រឡា និងមាឌនៃសូលីតធរណីមាត្រគ្រឹះទាំងអស់ (ព្រីស, ស៊ីឡាំង, ពីរ៉ាមីត, កោណ, ស្វ៊ែរ)។

មើលដំណោះស្រាយ

សង្ខេបប្រព័ន្ធរូបមន្តសូលីតគ្រឹះ ៖

ព្រីស ៖ $S_L = ph, \quad{} V = S_B h$
ស៊ីឡាំង ៖ $S_L = 2\pi Rh, \quad{} V = \pi R^2 h$
ពីរ៉ាមីត ៖ $S_L = \frac{1}{2} p a_p, \quad{} V = \frac{1}{3} S_B h$
កោណ ៖ $S_L = \pi R a, \quad{} V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$
ស្វ៊ែរ ៖ $S = 4\pi R^2, \quad{} V = \frac{4}{3}\pi R^3$

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១៨ សូលីត — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត