សមីការបន្ទាត់

គណនាមេគុណប្រាប់ទិស \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) ៖

• \(A(-2, 1), B(3, 4) \implies a = \frac{4-1}{3-(-2)} = \frac{3}{5}\)

• \(C(-4, -1), D(0, -5) \implies a = \frac{-5-(-1)}{0-(-4)} = \frac{-4}{4} = -1\)

• \(M(7, 8), N(-2, 5) \implies a = \frac{5-8}{-2-7} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}\)

• \(A(-2, 0), B(-1, 4) \implies a = \frac{4-0}{-1-(-2)} = \frac{4}{1} = 4\)

គណនាមេគុណប្រាប់ទិស ៖

• \(E(3, 1), F(5, 4) \implies a = \frac{4-1}{5-3} = \frac{3}{2}\)

• \(G(3, 0), H(-3, -6) \implies a = \frac{-6-0}{-3-3} = \frac{-6}{-6} = 1\)

• \(P(-2, 0), Q(-4, -4) \implies a = \frac{-4-0}{-4-(-2)} = \frac{-4}{-2} = 2\)

• \(M(1, 4), N(4, -2) \implies a = \frac{-2-4}{4-1} = \frac{-6}{3} = -2\)

គណនាមេគុណប្រាប់ទិស ៖

• \(A(10, -10), B(2, 5) \implies a = \frac{5-(-10)}{2-10} = \frac{15}{-8} = -\frac{15}{8}\)

• \(I(0, 4), J(-1, -2) \implies a = \frac{-2-4}{-1-0} = \frac{-6}{-1} = 6\)

សង់បន្ទាត់ និងកំណត់ចំណុចប្រសព្វ ៖

• \(y = 2x + 1\) ៖ កាត់តាម \((0, 1)\) និង \((1, 3)\)

• \(y = -3x + 1\) ៖ កាត់តាម \((0, 1)\) និង \((1, -2)\)

• \(y = 2x + 3\) ៖ កាត់តាម \((0, 3)\) និង \((-1, 1)\)

• \(y = -x + 4\) ៖ កាត់តាម \((0, 4)\) និង \((4, 0)\)

សង់បន្ទាត់ ៖

• \(y = -3x - 4\) ៖ កាត់ \((0, -4), (-1, -1)\)

• \(y = x - 2\) ៖ កាត់ \((0, -2), (2, 0)\)

• \(y = -\frac{x}{2} + 3\) ៖ កាត់ \((0, 3), (6, 0)\)

• \(y = \frac{2}{3}x - 4\) ៖ កាត់ \((0, -4), (6, 0)\)

សង់បន្ទាត់ពិសេស ៖

• \(y = -\frac{x}{2}\) ៖ កាត់គល់ \(O(0, 0)\) និង \((2, -1)\)

• \(y = 2x\) ៖ កាត់គល់ \(O(0, 0)\) និង \((1, 2)\)

• \(y = 2\) ៖ បន្ទាត់ដេកកាត់ \((0, 2)\) ស្របនឹងអ័ក្ស \(x'x\)

សមីការបន្ទាត់កាត់តាម \(A(x_0, y_0)\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a\) ៖ រូបមន្ត \(y - y_0 = a(x - x_0) \implies y = a(x - x_0) + y_0\) ៖

• \(A(1, 2), a = 3 \implies y - 2 = 3(x - 1) \implies y = 3x - 1\)

• \(A(-2, 4), a = -1 \implies y - 4 = -(x + 2) \implies y = -x + 2\)

• \(A(3, 0), a = 2 \implies y = 2(x - 3) = 2x - 6\)

• \(A(0, -5), a = -4 \implies y = -4x - 5\)

សមីការបន្ទាត់កាត់តាមពីរចំណុច ៖

• \(A(1, 1), B(3, 5) \implies a = \frac{5-1}{3-1} = 2 \implies y - 1 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 1\)

• \(C(2, -1), D(4, 3) \implies a = \frac{3+1}{4-2} = 2 \implies y + 1 = 2(x - 2) \implies y = 2x - 5\)

• \(E(-1, 3), F(2, 0) \implies a = \frac{0-3}{2+1} = -1 \implies y - 0 = -(x - 2) \implies y = -x + 2\)

បន្ទាត់ស្របគ្នា ៖ បន្ទាត់ \((d)\) ស្របនឹង \(y = 3x - 2\) នាំឱ្យ \(a = 3\)។ ដោយកាត់តាម \(A(2, 1)\) នោះ ៖ \(y - 1 = 3(x - 2) \implies y = 3x - 5\)។

បន្ទាត់កែងគ្នា ៖ បន្ទាត់ \((d)\) កែងនឹង \(y = 2x + 4\) នាំឱ្យ \(a = -\frac{1}{2}\)។ ដោយកាត់តាម \(A(4, -1)\) នោះ ៖ \(y - (-1) = -\frac{1}{2}(x - 4) \implies y + 1 = -\frac{1}{2}x + 2 \implies y = -\frac{1}{2}x + 1\)។

រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ ៖ \(\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -x + 5 \end{cases} \implies 2x - 1 = -x + 5 \implies 3x = 6 \implies x = 2\)។ ជំនួស \(x = 2\) នាំឱ្យ \(y = 2(2) - 1 = 3\)។ ចំណុចប្រសព្វគឺ \(I(2, 3)\)។

បង្ហាញបន្ទាត់កែងគ្នា ៖ \((d_1): y = 3x + 1\) មាន \(a_1 = 3\)។ \((d_2): x + 3y - 6 = 0 \implies y = -\frac{1}{3}x + 2\) មាន \(a_2 = -\frac{1}{3}\)។ ដោយ \(a_1 \times a_2 = 3 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\) នោះ \((d_1) \perp (d_2)\)។

បង្ហាញបន្ទាត់ស្របគ្នា ៖ \((d_1): 2x - y + 3 = 0 \implies y = 2x + 3\) មាន \(a_1 = 2, b_1 = 3\)។ \((d_2): 4x - 2y - 10 = 0 \implies y = 2x - 5\) មាន \(a_2 = 2, b_2 = -5\)។ ដោយ \(a_1 = a_2 = 2\) និង \(b_1 \ne b_2\) នោះ \((d_1) \parallel (d_2)\)។

រក \(m\) ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ស្របគ្នា ៖ \((d_1): y = (2m - 1)x + 4\) និង \((d_2): y = 5x - 2\) ៖ ស្របគ្នា \(\iff 2m - 1 = 5 \implies 2m = 6 \implies m = 3\)។

រក \(m\) ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់កែងគ្នា ៖ \((d_1): y = mx + 1\) និង \((d_2): y = 4x - 3\) ៖ កែងគ្នា \(\iff m \times 4 = -1 \implies m = -\frac{1}{4}\)។

សមីការមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \([AB]\) ៖ \(A(1, 3), B(5, 7)\) ៖ ចំណុចកណ្តាល \(M(3, 5)\)។ មេគុណប្រាប់ទិស \(AB\) គឺ \(a_{AB} = \frac{7-3}{5-1} = 1\)។ មេដ្យាទ័រកែងនឹង \(AB\) នាំឱ្យ \(a = -1\)។ សមីការ ៖ \(y - 5 = -(x - 3) \implies y = -x + 8\)។

សមីការបន្ទាត់កម្ពស់ត្រីកោណ ៖ កម្ពស់គូសចេញពី \(A(2, 5)\) កែងនឹង \(BC\) ដោយ \(B(1, 1), C(4, 2)\) ៖ \(a_{BC} = \frac{2-1}{4-1} = \frac{1}{3} \implies a_h = -3\)។ សមីការ ៖ \(y - 5 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 11\)។

សមីការបន្ទាត់មេដ្យានត្រីកោណ ៖ មេដ្យានគូសចេញពី \(A(0, 4)\) ទៅកាន់ \(BC\) ដោយ \(B(-2, 0), C(4, 0)\) ៖ ចំណុចកណ្តាល \(M(1, 0)\)។ សមីការកាត់តាម \(A(0, 4)\) និង \(M(1, 0)\) ៖ \(a = \frac{0-4}{1-0} = -4 \implies y = -4x + 4\)។

ចំណុចប្រសព្វនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ ៖ បន្ទាត់ \(3x - 4y + 12 = 0\) ៖

• កាត់ \(x'x\) (\(y=0\)) ៖ \(3x + 12 = 0 \implies x = -4 \implies (-4, 0)\)

• កាត់ \(y'y\) (\(x=0\)) ៖ \(-4y + 12 = 0 \implies y = 3 \implies (0, 3)\)

ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណបង្កើតដោយបន្ទាត់ និងអ័ក្ស ៖ បន្ទាត់កាត់ \(( -4, 0)\) និង \((0, 3)\) បង្កើតបានជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(O\) ៖ \(S = \frac{1}{2} \times |-4| \times |3| = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\) ឯកតាផ្ទៃ។

ពិនិត្យចំណុចរត់ត្រង់ជួរ ៖ \(A(1, 2), B(2, 5), C(3, 8)\) ៖ \(a_{AB} = \frac{5-2}{2-1} = 3\) និង \(a_{BC} = \frac{8-5}{3-2} = 3\)។ ដោយ \(a_{AB} = a_{BC}\) នោះ \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នាលើបន្ទាត់ \(y = 3x - 1\)។

រក \(k\) ដើម្បីឱ្យចំណុចរត់ត្រង់ជួរ ៖ \(A(-1, 3), B(1, 7), C(2, k)\) ៖ \(a_{AB} = \frac{7-3}{1-(-1)} = 2 \implies \frac{k-7}{2-1} = 2 \implies k - 7 = 2 \implies k = 9\)។

សមីការបន្ទាត់ទម្រង់កាត់អ័ក្ស (Intercept Form) ៖ បន្ទាត់កាត់ \((a, 0)\) និង \((0, b)\) មានសមីការ \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)។ បើកាត់ \((3, 0)\) និង \((0, 2)\) នោះ \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1 \iff 2x + 3y - 6 = 0\)។

បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចប្រសព្វ ៖ ប្រសព្វនៃ \(x + y = 3\) និង \(x - y = 1\) គឺ \(I(2, 1)\)។ បន្ទាត់កាត់តាម \(I(2, 1)\) និងមាន \(a = -2\) គឺ ៖ \(y - 1 = -2(x - 2) \implies y = -2x + 5\)។

មុំទិសនៃបន្ទាត់ ៖ \(a = \tan \alpha\)។ បើ \(\alpha = 45^\circ\) នោះ \(a = 1\) (បន្ទាត់ \(y = x + b\))។ បើ \(\alpha = 135^\circ\) នោះ \(a = -1\) (បន្ទាត់ \(y = -x + b\))។

បន្ទាត់កាត់តាមចំណុចមួយ និងបង្កើតមុំ \(45^\circ\) ៖ កាត់តាម \(A(2, 3)\) មាន \(a = 1\) ៖ \(y - 3 = 1(x - 2) \implies y = x + 1\)។

សមីការបន្ទាត់ស្របនឹងអ័ក្ស \(y'y\) ៖ កាត់តាម \(A(-5, 7)\) និងស្របនឹង \(y'y\) ៖ \(x = -5\)។

សមីការបន្ទាត់ស្របនឹងអ័ក្ស \(x'x\) ៖ កាត់តាម \(A(-5, 7)\) និងស្របនឹង \(x'x\) ៖ \(y = 7\)។

បន្ទាត់ឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(x'x\) ៖ បន្ទាត់ \(y = 2x + 3\) ឆ្លុះធៀបនឹង \(x'x\) (ជំនួស \(y\) ដោយ \(-y\)) ៖ \(-y = 2x + 3 \implies y = -2x - 3\)។

បន្ទាត់ឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(y'y\) ៖ បន្ទាត់ \(y = 2x + 3\) ឆ្លុះធៀបនឹង \(y'y\) (ជំនួស \(x\) ដោយ \(-x\)) ៖ \(y = 2(-x) + 3 = -2x + 3\)។

បន្ទាត់ឆ្លុះធៀបនឹងគល់ \(O\) ៖ ជំនួស \(x\) ដោយ \(-x\) និង \(y\) ដោយ \(-y\) ៖ \(-y = 2(-x) + 3 \implies y = 2x - 3\) (ស្របនឹងបន្ទាត់ដើម)។

ចម្ងាយពីចំណុចទៅបន្ទាត់ ៖ រូបមន្ត \(d(M, \Delta) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)។ ចម្ងាយពី \(O(0, 0)\) ទៅ \(3x + 4y - 15 = 0\) គឺ ៖ \(d = \frac{|-15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{15}{5} = 3\)។

ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ស្របគ្នាពីរ ៖ \((d_1): 3x + 4y - 5 = 0\) និង \((d_2): 3x + 4y + 10 = 0\) ៖ \(d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|-5 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{5} = 3\)។

រក \(m\) ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់កាត់តាមគល់ \(O\) ៖ \((d): y = 2x + (m - 3)\) កាត់ \(O(0, 0) \iff m - 3 = 0 \implies m = 3\)។

រក \(m\) ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់កាត់តាម \(A(1, 2)\) ៖ \(2 = (m + 1)(1) - 3 \implies 2 = m - 2 \implies m = 4\)។

បន្ទាត់ពុះជ្រុងនៃមុំបង្កើតដោយបន្ទាត់ពីរកាត់គ្នា ៖ សមីការបន្ទាត់ពុះមុំនៃ \(y = x\) និង \(y = -x\) គឺអ័ក្ស \(x'x\) (\(y = 0\)) និងអ័ក្ស \(y'y\) (\(x = 0\))។

រកកូអរដោនេចំណោលកែងនៃចំណុចលើបន្ទាត់ ៖ ចំណោលកែងនៃ \(P(1, 4)\) លើបន្ទាត់ \(y = x\) គឺ \(H\left(\frac{1+4}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = H(2.5, 2.5)\)។

ចំណុចឆ្លុះនៃចំណុចធៀបនឹងបន្ទាត់ ៖ ចំណុចឆ្លុះនៃ \(P(1, 4)\) ធៀបនឹង \(y = x\) គឺ \(P'(4, 1)\)។

បន្ទាត់កាត់តាមចំណុចថេរ ៖ \((d): y = mx - 2m + 3 \iff y - 3 = m(x - 2)\)។ បន្ទាត់នេះតែងតែកាត់តាមចំណុចថេរ \(A(2, 3)\) គ្រប់តម្លៃ \(m\)។

ប្រព័ន្ធបន្ទាត់ស្របគ្នា (ចង្កោមបន្ទាត់) ៖ \(y = 2x + k\) តាងឱ្យចង្កោមបន្ទាត់ស្របគ្នាទាំងអស់ដែលមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(2\)។

សមីការបន្ទាត់ដែលបិទបាំងផ្ទៃការេ ៖ បន្ទាត់ \(x = 0, x = 4, y = 0, y = 4\) បង្កើតបានជាការេដែលមានផ្ទៃ \(16\)។

បង្ហាញបន្ទាត់ ៣ ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយ (Concurrent lines) ៖ \((d_1): x + y = 3, (d_2): 2x - y = 0, (d_3): 3x + y = 5\) ៖ ប្រសព្វ \((d_1)\) និង \((d_2)\) គឺ \((1, 2)\)។ ជំនួសក្នុង \((d_3)\) ៖ \(3(1) + 2 = 5\) (ពិត) នាំឱ្យបន្ទាត់ទាំង ៣ ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \((1, 2)\)។

រក \(m\) ដើម្បីឱ្យ ៣ បន្ទាត់ប្រសព្វត្រង់ចំណុចតែមួយ ៖ ពីលំហាត់ ៤២ បើ \((d_3)\) មានសមីការ \(mx + y = 4\) នោះ \(m(1) + 2 = 4 \implies m = 2\)។

បន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ផ្ចិត \(O(0, 0)\) ៖ បន្ទាត់ \(x = 5\) និង \(y = 5\) ប៉ះរង្វង់ \(x^2 + y^2 = 25\)។

សមីការបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ \(x^2 + y^2 = R^2\) ត្រង់ \(M(x_0, y_0)\) ៖ រូបមន្ត ៖ \(xx_0 + yy_0 = R^2\)។ ចំពោះ \(M(3, 4)\) លើ \(x^2 + y^2 = 25\) ៖ \(3x + 4y = 25\)។

មុំរវាងបន្ទាត់ពីរ ៖ \(\tan \theta = \left|\frac{a_1 - a_2}{1 + a_1 a_2}\right|\)។ បើ \(a_1 a_2 = -1\) នោះ \(\theta = 90^\circ\) (កែងគ្នា)។

គណនាមុំរវាង \(y = 2x + 1\) និង \(y = 3x - 4\) ៖ \(\tan \theta = \left|\frac{2 - 3}{1 + 6}\right| = \frac{1}{7} \implies \theta \approx 8.13^\circ\)។

បន្ទាត់អាំងតេក្រាល និងរូបវិទ្យា ៖ សមីការចលនាត្រង់ស្មើ \(s(t) = vt + s_0\) គឺជាសមីការបន្ទាត់ដែលមេគុណប្រាប់ទិសតាងឱ្យល្បឿន \(v\)។

បន្ទាត់តម្រែតម្រង់ (Linear Regression Line) ៖ ក្នុងស្ថិតិ បន្ទាត់តម្រែតម្រង់ \(y = ax + b\) ត្រូវបានប្រើដើម្បីទស្សន៍ទាយនិន្នាការទិន្នន័យ។

ការអនុវត្តសមីការបន្ទាត់ក្នុងការចំណាយ និងប្រាក់ចំណេញ ៖ ថ្លៃដើម \(C(x) = 5x + 200\) និងចំណូល \(R(x) = 15x\)។ ចំណុចរួចដើម (Break-even point) ៖ \(15x = 5x + 200 \implies 10x = 200 \implies x = 20\) ផលិតផល។