បន្ទាត់ និងអង្កត់ពិសេសក្នុងត្រីកោណ

កូអរដោនេ \(G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\) ៖

• a. \(G\left(\frac{0+6+0}{3}, \frac{0+0+6}{3}\right) = (2, 2)\)

• b. \(G\left(\frac{-5+0+2}{3}, \frac{0+4+0}{3}\right) = (-1, \frac{4}{3})\)

• c. \(G\left(\frac{-6-4-2}{3}, \frac{6+0+6}{3}\right) = (-4, 4)\)

• d. \(G\left(\frac{-3+0+3}{3}, \frac{3+0+3}{3}\right) = (0, 2)\)

• a. \(G\left(\frac{-7-8+0}{3}, \frac{-6+0+0}{3}\right) = (-5, -2)\)

• b. \(G\left(\frac{2-10+1}{3}, \frac{-6-6+0}{3}\right) = \left(-\frac{7}{3}, -4\right)\)

• c. \(G\left(\frac{0+1-2}{3}, \frac{0+3+0}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, 1\right)\)

• d. \(G\left(\frac{3-5+0}{3}, \frac{4+0+0}{3}\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)\)

• a. \(AG = \frac{2}{3}(15) = 10\text{ cm}\), \(GM = \frac{1}{3}(15) = 5\text{ cm}\)

• b. \(GM = \frac{1}{2}AG = 5\text{ cm}\), \(AM = 10 + 5 = 15\text{ cm}\)

• c. \(AG = 2(3.5) = 7\text{ cm}\), \(AM = 3(3.5) = 10.5\text{ cm}\)

• a. \(NG = 2GE \iff 3x - 1 = 2(x + 2) \iff 3x - 1 = 2x + 4 \implies x = 5\)

• b. \(GE = 5 + 2 = 7\), \(NG = 14 \implies NE = 21\text{ cm}\)

\(BD = 3GD \iff 5x = 3(2x - 3) \iff 5x = 6x - 9 \implies x = 9\)។

\(CG = 2GD \iff 4x - 6 = 2(x + 1) \iff 4x - 6 = 2x + 2 \implies 2x = 8 \implies x = 4\)។ \(GD = 5 \implies CD = 3(5) = 15\text{ cm}\)។

\(\Delta ABC\) សមបាត \(\implies AH\) ជាកម្ពស់ផង និងជាមេដ្យានផង។ ប្រសព្វនៃមេដ្យាន \(AH\) និង \(BM\) គឺជាទីប្រជុំទម្ងន់ \(P\)។ បន្ទាត់ \(CP\) កាត់តាមទីប្រជុំទម្ងន់ នាំឱ្យ \(CP\) ជាមេដ្យានទី ៣ \(\implies CP\) កាត់ \(AB\) ត្រង់ចំណុចកណ្តាល។

ក្នុង \(\Delta ABC\) ៖ \(AJ\) និង \(CI\) ជាមេដ្យាន \(\implies\) ប្រសព្វរបស់វាជាទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\) នៃ \(\Delta ABC\)។ មេដ្យានទីបីគូសពី \(B\) កាត់តាមចំណុចកណ្តាល \(O\) នៃ \(AC\) ដែល \(BO\) ស្ថិតនៅលើអង្កត់ទ្រូង \(BD\)។ ដូចនេះ \(AJ\) និង \(CI\) ជួបគ្នាលើ \(BD\)។

ក្នុង \(\Delta AEC\) ៖ \(O\) ជាកណ្តាល \(AC \implies EO\) ជាមេដ្យាន។ ដោយ \(B\) ជាកណ្តាល \(DE\) និង \(OB = \frac{1}{2}BD \implies EB = 2BO \implies EB = \frac{2}{3}EO\)។ ដូចនេះ \(B\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃ \(\Delta AEC\)។

\(P\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃ \(\Delta ABD \implies AP = \frac{2}{3}AO = \frac{1}{3}AC\)។ \(Q\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃ \(\Delta CBD \implies CQ = \frac{2}{3}CO = \frac{1}{3}AC\)។ \(\implies PQ = AC - AP - CQ = \frac{1}{3}AC\)។ ដូចនេះ \(AP = PQ = QC = \frac{1}{3}AC\)។

\(IP \bot AB, IQ \bot AC\) និង \(\angle A = 90^\circ \implies APIQ\) ជាចតុកោណកែង។ ម៉្យាងទៀត \(IP = IQ = r\) (កាំរង្វង់) នាំឱ្យ \(APIQ\) ជាការេ។

ក្នុង \(\Delta ABC\) ៖ \(AE \bot BC\) និង \(BE \bot AC \implies E\) ជាអរតូសង់។ កម្ពស់ទីបីគូសពី \(C\) ត្រូវកាត់តាម \(E \implies CE \bot AB\)។ ដោយ \(AB \parallel CD \implies CE \bot CD\) នាំឱ្យ \(\Delta CDE\) កែងត្រង់ \(C\)។

• a. អុីប៉ូតេនុស \(BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}\)។ ផ្ចិត \(O\) ជាចំណុចកណ្តាល \(BC\), កាំ \(R = \frac{BC}{2} = 5\text{ cm}\)។

• b. \(r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2\text{ cm}\)។

• a. \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\text{ cm}\)

• b. \(R = \frac{2}{3}h = 4\sqrt{3}\text{ cm}\), \(r = \frac{1}{3}h = 2\sqrt{3}\text{ cm}\)

ចម្ងាយពី \(G\) ទៅជ្រុងនីមួយៗស្មើ \(\frac{1}{3}\) នៃកម្ពស់ត្រីកោណធំ ៖ \(S_{\Delta GAB} = \frac{1}{2}AB \times \frac{h_c}{3} = \frac{1}{3}S_{\Delta ABC}\)។ ដូចគ្នា ៖ \(S_{\Delta GAB} = S_{\Delta GBC} = S_{\Delta GCA} = \frac{1}{3}S_{\Delta ABC}\)។

ត្រីកោណទាំង ៣ ក្នុងលំហាត់ ១៥ ត្រូវពុះជាពីរដោយមេដ្យាននីមួយៗដែលមានបាតស្មើគ្នា និងកម្ពស់រួម \(\implies\) ត្រីកោណតូចៗទាំង ៦ មានផ្ទៃស្មើ \(\frac{1}{6}S\) ទាំងអស់។

• a. \(M(2, -1), N(5, 1), P(-1, 3)\)

• b. \(G\left(\frac{2-4+8}{3}, \frac{5+1-3}{3}\right) = (2, 1)\)

• c. \(G_{\Delta MNP}\left(\frac{2+5-1}{3}, \frac{-1+1+3}{3}\right) = (2, 1) = G\) (ត្រួតស៊ីគ្នា)

• a. \(H\) ជាអរតូសង់ \(\implies AH\) ជាកម្ពស់ទីបី \(\implies AH \bot BC\)។

• b. ចតុកោណ \(BCDE\) ចារឹកក្នុងរង្វង់ \(\implies \angle ADE = \angle ABC\) (មុំក្រៅស្មើនឹងមុំឈមក្នុង)។

\(\angle BHC = 180^\circ - \angle A\)។ ឆ្លុះធៀប \(BC \implies \angle BA'C = \angle BHC = 180^\circ - \angle A\)។ \(\angle BA'C + \angle A = 180^\circ \implies A'\) ស្ថិតនៅលើរង្វង់ចារឹកក្រៅ \(\Delta ABC\)។

មុំផ្ចិតស្មើពីរដងនៃមុំចារឹកក្នុងស្កាត់ធ្នូជាមួយគ្នា ៖ \(\angle BOC = 2\angle BAC = 2\angle A\)។

\(\angle BIC = 180^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}\)។

\(\angle BI_a C = 180^\circ - \frac{180^\circ - \angle B + 180^\circ - \angle C}{2} = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}\)។

\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)។ \(BD = \frac{2}{5}(15) = 6\text{ cm}\) និង \(CD = \frac{3}{5}(15) = 9\text{ cm}\)។

\(BC = 15\text{ cm}\)។ \(\frac{BD}{CD} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \implies BD = \frac{45}{7}\text{ cm}, CD = \frac{60}{7}\text{ cm}\)។ \(AD = \frac{2bc \cos(\angle A/2)}{b+c} = \frac{2(9)(12)\frac{\sqrt{2}}{2}}{21} = \frac{36\sqrt{2}}{7}\text{ cm}\)។

\(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = (\vec{MG}+\vec{GA}) + (\vec{MG}+\vec{GB}) + (\vec{MG}+\vec{GC}) = 3\vec{MG} + (\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}) = 3\vec{MG}\)។

• a. \(BH = 5\text{ cm} \implies AH = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\text{ cm}\)

• b. \(AG = \frac{2}{3}(12) = 8\text{ cm}\), \(GH = 4\text{ cm}\)។ \(GB = GC = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}\text{ cm}\)

\(S = \frac{1}{2}(10)(12) = 60\text{ cm}^2\)។ \(p = \frac{13+13+10}{2} = 18\text{ cm}\)។ \(r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\text{ cm}\)។ \(R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \times 13 \times 10}{4(60)} = \frac{169}{24}\text{ cm}\)។

\(\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})\)។ បូកទាំងបី ៖ \(\vec{AM} + \vec{BN} + \vec{CP} = \frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA} + \vec{AC}+\vec{BA}+\vec{CB}) = \vec{0}\)។

• បូកវិសមភាពត្រីកោណនៃមេដ្យាន ៖ \(m_a < \frac{b+c}{2} \dots \implies m_a+m_b+m_c < a+b+c\)។

• ក្នុង \(\Delta GBC\) ៖ \(GB + GC > BC \iff \frac{2}{3}(m_b + m_c) > a \dots \implies m_a+m_b+m_c > \frac{3}{4}(a+b+c)\)។

• a. \(\frac{AD}{AB} = \frac{AG}{AA'} = \frac{2}{3}\) និង \(\frac{DE}{BC} = \frac{2}{3}\)

• b. \(\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta ABC}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\)

\(BM^2 = c^2 + \frac{b^2}{4}\), \(CN^2 = b^2 + \frac{c^2}{4}\)។ \(BM^2 + CN^2 = \frac{5}{4}(b^2 + c^2) = \frac{5}{4}BC^2 \iff 4(BM^2 + CN^2) = 5BC^2\)។

គូសអង្កត់ផ្ចិត \(AD'\) នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ \(\implies BH \parallel CD'\) និង \(CH \parallel BD' \implies BD'CH\) ជាប្រលេឡូក្រាម \(\implies M\) កណ្តាល \(HD'\) \(\implies OM\) ជាបាតមធ្យមនៃ \(\Delta AHD' \implies AH = 2OM\)។

\(\Delta AGH \sim \Delta MGO\) (\(AH \parallel OM\)) ផលធៀប \(\frac{AH}{OM} = 2 \implies \frac{HG}{GO} = 2\) និង \(H, G, O\) កូលីនេអ៊ែរគ្នា។

ក្នុងត្រីកោណសមបាត កម្ពស់គូសពីកំពូលជាមេដ្យាន មេដ្យាទ័រ និងបន្ទាត់ពុះ នាំឱ្យចំណុចពិសេសទាំង ៤ ត្រូវស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះទាំងអស់។

បន្ទាត់ពុះជាកម្ពស់ \(\implies\) ពីរត្រីកោណកែងប៉ុនគ្នា (ម.ជ.ម) \(\implies\) ជ្រុងពីរស្មើគ្នា \(\implies\) សមបាត។

មេដ្យានជាកម្ពស់ \(\implies\) ពីរត្រីកោណកែងប៉ុនគ្នា (ជ.ម.ជ) \(\implies\) ជ្រុងពីរស្មើគ្នា \(\implies\) សមបាត។

មេដ្យានជាបន្ទាត់ពុះ តាមទ្រឹស្ដីបទបន្ទាត់ពុះ \(\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{DC} = 1 \implies AB = AC\) (សមបាត)។

\(\Delta BDC \cong \Delta CEB\) (អ.ជ) \(\implies \angle B = \angle C \implies\) សមបាត។

\(GB = GC \implies \Delta GBC\) សមបាត \(\implies \Delta BNC \cong \Delta CMB \implies \angle B = \angle C \implies\) សមបាត។

តាមទ្រឹស្ដីបទស្តៃន័រ-ឡេមូស បើបន្ទាត់ពុះក្នុងពីរស្មើគ្នា នោះត្រីកោណនោះត្រូវតែជាត្រីកោណសមបាត (ស្រាយតាមវិធីទាញរកទំនាស់)។

\(p = 12, S = 12\sqrt{5}\) ៖ \(r = \frac{S}{p} = \sqrt{5}\text{ cm}\)។ \(R = \frac{abc}{4S} = \frac{7 \times 8 \times 9}{4(12\sqrt{5})} = \frac{21\sqrt{5}}{10}\text{ cm}\)។

\(PA^2 + PB^2 + PC^2 = 3PG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 \ge GA^2 + GB^2 + GC^2\)។ តូចបំផុតកាលណា \(PG = 0 \iff P \equiv G\)។

ប្រើផលធៀបផ្ទៃត្រីកោណកាត់តាម \(G\) បូកចូលគ្នាបាន \(\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = 3\)។

\(S = \frac{1}{2}a h_a \implies \frac{1}{h_a} = \frac{a}{2S}\)។ \(\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} = \frac{a+b+c}{2S} = \frac{2p}{2S} = \frac{p}{S} = \frac{1}{r}\)។

\(r = \frac{b+c-a}{2}\) និង \(R = \frac{a}{2} \implies 2(R+r) = a + (b+c-a) = b+c = AB+AC\)។

\(S_{\text{រង្វង់}} = \pi R^2\)។ ជ្រុងសម័ង្ស \(a = R\sqrt{3} \implies S_{\Delta} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2\)។ \(S = R^2\left(\pi - \frac{3\sqrt{3}}{4}\right)\)។

\(M\) កណ្តាល \(CD\) និង \(O\) កណ្តាល \(AC \implies K\) ជាប្រសព្វមេដ្យាន \(\implies K\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់ \(\Delta ACD\) \(\implies DK = \frac{2}{3}DO = \frac{1}{3}BD \implies \frac{DK}{DB} = \frac{1}{3}\)។

\(\vec{GA'} + \vec{GB'} + \vec{GC'} = \vec{0}\) តាមសមាមាត្រ \(\frac{1}{3}\) នាំឱ្យ \(G\) ក៏ជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃ \(\Delta A'B'C'\)។

ចតុកោណ \(AEHF\) មាន \(\angle AEH = \angle AFH = 90^\circ \implies \angle EHF = 180^\circ - \angle A\)។ ដោយ \(\angle BHC = \angle EHF\) (ទល់កំពូល) \(\implies \angle BHC + \angle A = 180^\circ\)។

\(\angle A_1 B_1 H = \angle A_1 C_1 H = \dots\) បង្ហាញថា \(HA_1, HB_1, HC_1\) ជាបន្ទាត់ពុះមុំនៃ \(\Delta A_1 B_1 C_1 \implies H\) ជាផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្នុង។