មេរៀនទី ៧ : សមីការដឺក្រេទី១មានមួយអញ្ញាត — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៨

ប្រវត្តិនៃការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី ១ ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រមនុស្សជាតិ

ការស្វែងរកតម្លៃនៃ «អញ្ញាត» ឬ «ចំនួនដែលមិនស្គាល់» គឺជាកម្លាំងចលករដ៏ចំណាស់បំផុតមួយក្នុងការកកើតឡើងនៃគណិតវិទ្យា ៖

អារ្យធម៌អេហ្ស៊ីបបុរាណ (១៦៥០ មុន គ.ស.) ៖ ក្នុងក្រដាសផាពីរុសរីន (Rhind Papyrus) បញ្ហាស្វែងរកចំនួនត្រូវបានគេហៅថាបញ្ហា «Aha» (មានន័យថា «គំនរ» ឬ «បរិមាណ») ដូចជា ៖ «គំនរមួយ បូកនឹងមួយភាគប្រាំពីរនៃគំនរនោះ ស្មើនឹង ១៩»។ ជនជាតិអេហ្ស៊ីបបានបង្កើតវិធីសាស្ត្រ សន្មតខុស (Method of False Position / Regula Falsi) ដើម្បីស្វែងរកចម្លើយត្រឹមត្រូវ។
អារ្យធម៌បាប៊ីឡូន និងចិនបុរាណ ៖ ជនជាតិបាប៊ីឡូនបានកត់ត្រាការដោះស្រាយសមីការលើបន្ទះឥដ្ឋដីឥដ្ឋតាំងពី ២០០០ ឆ្នាំមុន គ.ស.។ ចំណែកគម្ពីរគណិតវិទ្យាចិនបុរាណ សិល្បៈគណិត ៩ ជំពូក (Jiuzhang Suanshu) បានបង្ហាញក្បួនដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរយ៉ាងក្បោះក្បាយ។
អាល់ខ្វារីស្មី (Al-Khwarizmi) និងប្រភពនៃពាក្យសមីការ ៖ នៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់នៅឆ្នាំ ៨២០ គណិតវិទូ Al-Khwarizmi បានបង្កើតគោលការណ៍ពីរជាមូលដ្ឋាន ៖
- Al-Jabr (ការបំពេញ ឬការប្តូរអង្គ) ៖ ការលើកតួអវិជ្ជមានពីអង្គម្ខាងទៅអង្គម្ខាងទៀតឱ្យទៅជាវិជ្ជមាន ដើម្បីរក្សាតុល្យភាពជញ្ជីង។
- Al-Muqabala (ការសម្រួលតួ) ៖ ការលុបបំបាត់តួដូចគ្នាចេញពីអង្គទាំងសងខាងនៃសមីការ។
គោលការណ៍ទាំងពីរនេះហើយដែលជាគ្រឹះនៃការដោះស្រាយសមីការរហូតមកដល់បច្ចុប្បន្ន។

សញ្ញាណ និងនិយមន័យនៃសមីការដឺក្រេទី១មានមួយអញ្ញាត

និយមន័យ

សមីការដឺក្រេទី១មានមួយអញ្ញាត

សមីការដឺក្រេទី១មានមួយអញ្ញាត គឺជាសមភាពពីជគណិតដែលមានអថេរ (ឬអញ្ញាត) តែមួយ ហើយអថេរនោះមាននិទស្សន្តស្មើ $1$។
ទម្រង់ទូទៅនៃសមីការដឺក្រេទី១មានមួយអញ្ញាតគឺ ៖

\[ax + b = 0 \quad{} (\text{ដែល } a, b \in \mathbb{R} \text{ និង } a \ne 0)\]

$x$ ហៅថា អញ្ញាត (ឬអថេរ)
$a$ ហៅថា មេគុណនៃអញ្ញាត
$b$ ហៅថា តួថេរ
កន្សោមនៅខាងឆ្វេងសញ្ញាស្មើ ហៅថា អង្គទីមួយ ហើយកន្សោមនៅខាងស្តាំ ហៅថា អង្គទីពីរ។

ឫសនៃសមីការ

ឫសនៃសមីការ

ឫស (ឬដំណោះស្រាយ) នៃសមីការ គឺជាតម្លៃលេខនៃអញ្ញាតដែលនៅពេលយកទៅជំនួសក្នុងសមីការ នាំឱ្យអង្គទាំងពីរស្មើគ្នា (សមភាពពិត)។
ការដោះស្រាយសមីការ គឺការស្វែងរកគ្រប់ឫសទាំងអស់នៃសមីការនោះ។

ឧទាហរណ៍

ផ្ទៀងផ្ទាត់ថាតើ $x = 3$ ជាឫសនៃសមីការ $2x + 5 = 11$ ឬទេ?

ដំណោះស្រាយ

ជំនួស $x = 3$ ចូលក្នុងអង្គទីមួយ ៖

\[2(3) + 5 = 6 + 5 = 11\]

ដោយអង្គទីមួយស្មើអង្គទីពីរ ($11 = 11$) ដូច្នេះ $x = 3$ ជាឫសនៃសមីការ។

លក្ខណៈសមមូល និងវិធាននៃការដោះស្រាយសមីការ

លក្ខណៈនៃសមភាព

លក្ខណៈសមមូលនៃសមីការ

វិធានបូក ឬដក ៖ បើគេបូក ឬដកចំនួនដូចគ្នាទៅលើអង្គទាំងពីរនៃសមីការ គេបានសមីការថ្មីមួយសមមូលនឹងសមីការដើម ៖
\[A = B \iff A + C = B + C \quad{};\quad{} A - C = B - C\]
វិធានផ្ទេរតួ (Transposition) ៖ គេអាចលើកតួពីអង្គម្ខាងទៅអង្គម្ខាងទៀតបាន ដោយគ្រាន់តែ ប្តូរសញ្ញានៃតួនោះ (បូកទៅជាដក, ដកទៅជាបូក)។
វិធានគុណ ឬចែក ៖ បើគេគុណ ឬចែកអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹងចំនួនខុសពីសូន្យដូចគ្នា គេបានសមីការថ្មីមួយសមមូលនឹងសមីការដើម ៖
\[A = B \iff A \times C = B \times C \quad{};\quad{} \frac{A}{C} = \frac{B}{C} \quad{} (C \ne 0)\]

ដំណោះស្រាយសមីការទម្រង់ $ax + b = 0$

ឫសនៃសមីការ $ax = c$

ចំពោះសមីការ $ax = c$ ៖

បើ $a \ne 0$ ៖ សមីការមានឫសតែមួយគត់គឺ $x = \dfrac{c}{a}$។
បើ $a = 0$ និង $c = 0$ ($0x = 0$) ៖ សមីការមាន ឫសរាប់មិនអស់ (គ្រប់ចំនួនពិតសុទ្ធតែជាឫស)។
បើ $a = 0$ និង $c \ne 0$ ($0x = c$) ៖ សមីការ គ្មានឫស (ឬគ្មានដំណោះស្រាយ)។

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

$3x - 7 = 8$
$5x + 4 = 2x - 5$

ដំណោះស្រាយ

$3x - 7 = 8 \iff 3x = 8 + 7 \iff 3x = 15 \iff x = \dfrac{15}{3} = 5$។ ដូចនេះ $x = 5$។
$5x - 2x = -5 - 4 \iff 3x = -9 \iff x = \dfrac{-9}{3} = -3$។ ដូចនេះ $x = -3$។

សមីការដែលមានវង់ក្រចក និងភាគបែងជាចំនួន

ជំហានទូទៅក្នុងការដោះស្រាយ

បំបាត់ភាគបែង ៖ រកភាគបែងរួមតូចបំផុត (LCM) រួចគុណអង្គទាំងពីរនឹង LCM នោះ។
ពន្លាតវង់ក្រចក ៖ ប្រើច្បាប់បំបែក $a(b+c) = ab + ac$។
ប្រមូលតួ ៖ លើកតួដែលមានអញ្ញាតទៅអង្គទីមួយ និងតួថេរទៅអង្គទីពីរ។
បង្រួមតួ ៖ បូកដកតួដូចគ្នាឱ្យចេញរាង $ax = c$។
ទាញរក $x$ ៖ ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $a$ គេបាន $x = \dfrac{c}{a}$។

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការ ៖ $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{4} = 1$។

ដំណោះស្រាយ

ភាគបែងរួមនៃ $3$ និង $4$ គឺ $12$។ គុណអង្គទាំងពីរនឹង $12$ ៖

\[\begin{aligned} 12 \times \frac{2x - 1}{3} - 12 \times \frac{x + 2}{4} &= 12 \times 1 \\ 4(2x - 1) - 3(x + 2) &= 12 \\ 8x - 4 - 3x - 6 &= 12 \\ 5x - 10 &= 12 \\ 5x &= 22 \implies x = \frac{22}{5} = 4.4 \end{aligned}\]

ដោះស្រាយសមីការ

ដោះស្រាយសមីការ ៖ $3(x - 2) - 2(2x + 1) = 5 - x$។

ការដោះស្រាយចំណោទដោយប្រើសមីការដឺក្រេទី១

៤ ជំហានដោះស្រាយចំណោទ

ជំហានទី ១ (ជ្រើសរើសអញ្ញាត) ៖ កំណត់បរិមាណមិនស្គាល់ដោយតាងអក្សរ $x$ (ឬអក្សរផ្សេង) ព្រមទាំងបញ្ជាក់លក្ខខណ្ឌ និងខ្នាត។
ជំហានទី ២ (បង្កើតសមីការ) ៖ បកប្រែប្រយោគភាសាពីបម្រាប់ចំណោទ ឱ្យទៅជាសមភាពពីជគណិត។
ជំហានទី ៣ (ដោះស្រាយសមីការ) ៖ អនុវត្តវិធានពីជគណិតដើម្បីស្វែងរកតម្លៃ $x$។
ជំហានទី ៤ (ផ្ទៀងផ្ទាត់ និងសន្និដ្ឋាន) ៖ ពិនិត្យមើលថាតើតម្លៃ $x$ សមស្របនឹងលក្ខខណ្ឌជាក់ស្តែងឬទេ រួចឆ្លើយសំណួរចំណោទ។

ឧទាហរណ៍

ឪពុកម្នាក់មានអាយុច្រើនជាងកូន ៣០ ឆ្នាំ។ ក្នុងរយៈពេល ៥ ឆ្នាំទៀត អាយុឪពុកនឹងស្មើបីដងនៃអាយុកូន។ រកអាយុបច្ចុប្បន្នរបស់អ្នកទាំងពីរ។

ដំណោះស្រាយ

តាង $x$ ជាអាយុបច្ចុប្បន្នរបស់កូន ($x > 0$, គិតជាឆ្នាំ)។
អាយុបច្ចុប្បន្នរបស់ឪពុកគឺ $x + 30$ ឆ្នាំ។
ក្នុងរយៈពេល ៥ ឆ្នាំទៀត ៖
- អាយុកូនគឺ $x + 5$
- អាយុឪពុកគឺ $(x + 30) + 5 = x + 35$
តាមបម្រាប់ចំណោទ ៖
\[x + 35 = 3(x + 5) \iff x + 35 = 3x + 15 \iff 3x - x = 35 - 15 \iff 2x = 20 \iff x = 10\]
ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ បច្ចុប្បន្នកូនអាយុ $10$ ឆ្នាំ ឪពុកអាយុ $10 + 30 = 40$ ឆ្នាំ។ ក្នុង ៥ ឆ្នាំទៀត កូនអាយុ $15$, ឪពុកអាយុ $45$ (ស្មើ ៣ ដងពិតប្រាកដ)។

សន្និដ្ឋាន ៖ បច្ចុប្បន្នកូនមានអាយុ $10$ ឆ្នាំ និងឪពុកមានអាយុ $40$ ឆ្នាំ។

ចំណោទជាក់ស្តែង

ផលបូកនៃបីចំនួនគត់តៗគ្នាស្មើនឹង $72$។ ចូរសរសេរសមីការ និងរកចំនួនទាំងបីនោះ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី១មូលដ្ឋាន ៖

$x + 15 = 28$
$x - 19 = -7$
$4x = -36$
$-\dfrac{x}{5} = 8$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការមូលដ្ឋាន ៖

a. $x = 28 - 15 = 13$
b. $x = -7 + 19 = 12$
c. $x = -\dfrac{36}{4} = -9$
d. $x = 8 \times (-5) = -40$

២លំហាត់ទី ២

ដោះស្រាយសមីការទម្រង់ $ax + b = c$ ៖

$3x + 5 = 26$
$7x - 9 = 40$
$-5x + 12 = -18$
$8 - 2x = 14$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការ ៖

a. $3x = 21 \implies x = 7$
b. $7x = 49 \implies x = 7$
c. $-5x = -30 \implies x = 6$
d. $-2x = 6 \implies x = -3$

៣លំហាត់ទី ៣

ដោះស្រាយសមីការដែលមានអញ្ញាតទាំងសងខាង ៖

$5x - 7 = 2x + 11$
$8x + 3 = 5x - 15$
$3x - 14 = 7x + 2$
$9 - 4x = 2x - 3$

មើលដំណោះស្រាយ

អញ្ញាតទាំងសងខាង ៖

a. $3x = 18 \implies x = 6$
b. $3x = -18 \implies x = -6$
c. $-4x = 16 \implies x = -4$
d. $-6x = -12 \implies x = 2$

៤លំហាត់ទី ៤

ដោះស្រាយសមីការដែលមានវង់ក្រចក ៖

$3(x - 4) = 15$
$4(2x + 1) = 28$
$5(x - 2) = 2(x + 7)$
$3(2x - 1) = 4(x + 2) - 1$

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការមានវង់ក្រចក ៖

a. $x - 4 = 5 \implies x = 9$
b. $2x + 1 = 7 \implies 2x = 6 \implies x = 3$
c. $5x - 10 = 2x + 14 \implies 3x = 24 \implies x = 8$
d. $6x - 3 = 4x + 7 \implies 2x = 10 \implies x = 5$

៥លំហាត់ទី ៥

ដោះស្រាយសមីការដែលមានសញ្ញាដកមុខវង់ក្រចក ៖

$7 - (2x + 3) = 10$
$5x - (3x - 4) = 12$
$2(x - 1) - (x + 3) = 4$
$3(2x - 5) - 2(3x - 1) = -13$

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការមានសញ្ញាដក ៖

a. $4 - 2x = 10 \implies -2x = 6 \implies x = -3$
b. $2x + 4 = 12 \implies 2x = 8 \implies x = 4$
c. $2x - 2 - x - 3 = 4 \implies x - 5 = 4 \implies x = 9$
d. $6x - 15 - 6x + 2 = -13 \implies -13 = -13$ (ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ $x \in \mathbb{R}$)

៦លំហាត់ទី ៦

ដោះស្រាយសមីការដែលមានទសភាគ ៖

$0.3x + 1.2 = 2.7$
$1.5x - 0.5 = 0.5x + 3.5$
$0.04x + 0.2 = 0.12x - 0.04$
$0.2(x - 3) = 0.5(x + 1) - 1.4$

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការទសភាគ (គុណនឹង $10$ ឬ $100$) ៖

a. $3x + 12 = 27 \implies 3x = 15 \implies x = 5$
b. $15x - 5 = 5x + 35 \implies 10x = 40 \implies x = 4$
c. $4x + 20 = 12x - 4 \implies 8x = 24 \implies x = 3$
d. $2(x-3) = 5(x+1) - 14 \implies 2x - 6 = 5x - 9 \implies 3x = 3 \implies x = 1$

៧លំហាត់ទី ៧

ដោះស្រាយសមីការប្រភាគសាមញ្ញ ៖

$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$
$\dfrac{x}{4} - \dfrac{x}{5} = 2$
$\dfrac{2x}{3} + \dfrac{3x}{4} = 17$
$\dfrac{5x}{6} - \dfrac{x}{2} = 4$

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការប្រភាគសាមញ្ញ ៖

a. $3x + 2x = 30 \implies 5x = 30 \implies x = 6$
b. $5x - 4x = 40 \implies x = 40$
c. $8x + 9x = 204 \implies 17x = 204 \implies x = 12$
d. $5x - 3x = 24 \implies 2x = 24 \implies x = 12$

៨លំហាត់ទី ៨

ដោះស្រាយសមីការប្រភាគដែលមានភាគយកជាកន្សោម ៖

$\dfrac{x + 2}{3} = \dfrac{x - 1}{2}$
$\dfrac{2x - 3}{5} = \dfrac{x + 4}{3}$
$\dfrac{3x + 1}{4} = \dfrac{2x - 1}{3}$
$\dfrac{5x - 2}{6} = \dfrac{2x + 3}{4}$

មើលដំណោះស្រាយ

គុណខ្វែង ៖

a. $2(x+2) = 3(x-1) \implies 2x + 4 = 3x - 3 \implies x = 7$
b. $3(2x-3) = 5(x+4) \implies 6x - 9 = 5x + 20 \implies x = 29$
c. $3(3x+1) = 4(2x-1) \implies 9x + 3 = 8x - 4 \implies x = -7$
d. $4(5x-2) = 6(2x+3) \implies 20x - 8 = 12x + 18 \implies 8x = 26 \implies x = \dfrac{13}{4}$

៩លំហាត់ទី ៩

ដោះស្រាយសមីការប្រភាគចម្រុះ ៖

$\dfrac{x - 1}{2} + \dfrac{x + 1}{3} = 5$
$\dfrac{2x + 3}{4} - \dfrac{x - 1}{3} = 2$
$\dfrac{3x - 2}{5} - \dfrac{2x - 1}{3} = \dfrac{1}{15}$
$\dfrac{x + 4}{6} - \dfrac{2x - 1}{4} = 1 - \dfrac{x}{3}$

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការប្រភាគ ៖

a. $3(x-1) + 2(x+1) = 30 \implies 5x - 1 = 30 \implies x = \dfrac{31}{5}$
b. $3(2x+3) - 4(x-1) = 24 \implies 2x + 13 = 24 \implies x = \dfrac{11}{2}$
c. $3(3x-2) - 5(2x-1) = 1 \implies -x - 1 = 1 \implies x = -2$
d. $2(x+4) - 3(2x-1) = 12 - 4x \implies -4x + 11 = 12 - 4x \implies 11 = 12$ (គ្មានឫស)

១០លំហាត់ទី ១០

ដោះស្រាយសមីការប្រភាគ ៖

$\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{x}{4} - 1\right) = \dfrac{5}{6}$
$\dfrac{2(x-1)}{3} - \dfrac{3(x+1)}{4} = \dfrac{x-5}{6}$

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការប្រភាគ ៖

a. $\dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{12} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} \implies 6x - x + 4 = 10 \implies 5x = 6 \implies x = \dfrac{6}{5}$
b. $8(x-1) - 9(x+1) = 2(x-5) \implies -x - 17 = 2x - 10 \implies 3x = -7 \implies x = -\dfrac{7}{3}$

១១លំហាត់ទី ១១

សិក្សាភាពមានឫសនៃសមីការខាងក្រោម ៖

$2(x - 1) + 3(x + 2) = 5x + 4$
$3(x - 2) - 2(x - 3) = x + 5$
$4(x + 1) - 2(2x - 1) = 6$
$\dfrac{x - 1}{2} - \dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{x + 1}{6}$

មើលដំណោះស្រាយ

សិក្សាភាពមានឫស ៖

a. $5x + 4 = 5x + 4 \implies 0x = 0$ (ឫសរាប់មិនអស់)
b. $x = x + 5 \implies 0x = 5$ (គ្មានឫស)
c. $6 = 6 \implies 0x = 0$ (ឫសរាប់មិនអស់)
d. $3(x-1) - 2(x-2) = x+1 \implies x+1 = x+1$ (ឫសរាប់មិនអស់)

១២លំហាត់ទី ១២

ដោះស្រាយសមីការដោយប្រើសមភាពសំខាន់ៗ ៖

$(x + 3)^2 - x^2 = 21$
$(x - 2)^2 - (x + 1)^2 = 9$
$(2x - 1)^2 - 4x^2 = 15$
$(x + 4)(x - 4) - x(x - 2) = 6$

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រើសមភាព ៖

a. $x^2 + 6x + 9 - x^2 = 21 \implies 6x = 12 \implies x = 2$
b. $(x^2-4x+4) - (x^2+2x+1) = 9 \implies -6x + 3 = 9 \implies x = -1$
c. $4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 = 15 \implies -4x = 14 \implies x = -\dfrac{7}{2}$
d. $x^2 - 16 - x^2 + 2x = 6 \implies 2x = 22 \implies x = 11$

១៣លំហាត់ទី ១៣

ដោះស្រាយសមីការដែលមានផលគុណកត្តាស្មើ $0$ ៖

$(x - 5)(2x + 7) = 0$
$(3x - 2)(4x + 5) = 0$
$x^2 - 16 = 0$
$4x^2 - 9 = 0$

មើលដំណោះស្រាយ

ផលគុណកត្តាស្មើ $0$ ៖

a. $x = 5$ ឬ $x = -\dfrac{7}{2}$
b. $x = \dfrac{2}{3}$ ឬ $x = -\dfrac{5}{4}$
c. $(x-4)(x+4) = 0 \implies x = \pm 4$
d. $(2x-3)(2x+3) = 0 \implies x = \pm \dfrac{3}{2}$

១៤លំហាត់ទី ១៤

ដោះស្រាយសមីការដោយដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

$x^2 - 5x = 0$
$3x^2 + 6x = 0$
$(2x - 3)^2 - (x + 1)^2 = 0$
$(3x + 2)^2 - 25 = 0$

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

a. $x(x-5) = 0 \implies x = 0$ ឬ $x = 5$
b. $3x(x+2) = 0 \implies x = 0$ ឬ $x = -2$
c. $(x-4)(3x-2) = 0 \implies x = 4$ ឬ $x = \dfrac{2}{3}$
d. $(3x+2-5)(3x+2+5) = 0 \implies (3x-3)(3x+7) = 0 \implies x = 1$ ឬ $x = -\dfrac{7}{3}$

១៥លំហាត់ទី ១៥

ដោះស្រាយសមីការដោយដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

$x^2 - 7x + 12 = 0$
$x^2 + 8x + 15 = 0$
$2x^2 + 5x + 3 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$

មើលដំណោះស្រាយ

ត្រីធាដឺក្រេទី ២ ៖

a. $(x-3)(x-4) = 0 \implies x = 3$ ឬ $x = 4$
b. $(x+3)(x+5) = 0 \implies x = -3$ ឬ $x = -5$
c. $(2x+3)(x+1) = 0 \implies x = -\dfrac{3}{2}$ ឬ $x = -1$
d. $(x-4)(x+2) = 0 \implies x = 4$ ឬ $x = -2$

១៦លំហាត់ទី ១៦

ដោះស្រាយសមីការអមដោយលក្ខខណ្ឌកំណត់ (ភាគបែងមានអថេរ) ៖

$\dfrac{3}{x - 2} = \dfrac{5}{x + 4}$
$\dfrac{2x}{x - 3} = 2 + \dfrac{6}{x - 3}$

មើលដំណោះស្រាយ

លក្ខខណ្ឌកំណត់ ៖

a. $x \ne 2, -4$ ៖ $3(x+4) = 5(x-2) \implies 3x + 12 = 5x - 10 \implies 2x = 22 \implies x = 11$
b. $x \ne 3$ ៖ $2x = 2(x-3) + 6 \implies 2x = 2x \implies 0x = 0$។ ដូច្នេះគ្រប់ $x \ne 3$

១៧លំហាត់ទី ១៧

ដោះស្រាយសមីការសនិទាន ៖

$\dfrac{x + 3}{x - 1} = \dfrac{x - 2}{x - 3}$
$\dfrac{x - 2}{x + 2} = \dfrac{x - 4}{x - 1}$

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការសនិទាន ៖

a. $x \ne 1, 3$ ៖ $(x+3)(x-3) = (x-1)(x-2) \implies x^2 - 9 = x^2 - 3x + 2 \implies 3x = 11 \implies x = \dfrac{11}{3}$
b. $x \ne -2, 1$ ៖ $(x-2)(x-1) = (x+2)(x-4) \implies x^2 - 3x + 2 = x^2 - 2x - 8 \implies x = 10$

១៨លំហាត់ទី ១៨

ដោះស្រាយសមីការសនិទាន ៖

$\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{4}{x^2 - 1}$
$\dfrac{x + 1}{x - 2} + \dfrac{x - 1}{x + 2} = \dfrac{2(x^2 + 2)}{x^2 - 4}$

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការសនិទាន ៖

a. $x \ne \pm 1$ ៖ $(x+1) - 2(x-1) = 4 \implies -x + 3 = 4 \implies x = -1$ (មិនយក)។ ដូចនេះ គ្មានឫស
b. $x \ne \pm 2$ ៖ $(x+1)(x+2) + (x-1)(x-2) = 2(x^2+2) \implies 2x^2 + 4 = 2x^2 + 4$ (ពិតចំពោះគ្រប់ $x \ne \pm 2$)

១៩លំហាត់ទី ១៩

ដោះស្រាយសមីការដែលមានតម្លៃដាច់ខាត ៖

$|x - 4| = 7$
$|2x + 3| = 9$
$|3x - 5| = 0$
$|x + 2| = -3$

មើលដំណោះស្រាយ

តម្លៃដាច់ខាត ៖

a. $x - 4 = \pm 7 \implies x = 11$ ឬ $x = -3$
b. $2x + 3 = \pm 9 \implies x = 3$ ឬ $x = -6$
c. $3x - 5 = 0 \implies x = \dfrac{5}{3}$
d. គ្មានឫស (តម្លៃដាច់ខាតមិនអាចអវិជ្ជមាន)

២០លំហាត់ទី ២០

ដោះស្រាយសមីការតម្លៃដាច់ខាត ៖

$|x - 2| = |2x + 1|$
$|3x - 4| = |x + 2|$

មើលដំណោះស្រាយ

តម្លៃដាច់ខាត ៖

a. $x - 2 = \pm (2x + 1) \implies x = -3$ ឬ $x = \dfrac{1}{3}$
b. $3x - 4 = \pm (x + 2) \implies x = 3$ ឬ $x = \dfrac{1}{2}$

២១លំហាត់ទី ២១

រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $x = 2$ ជាឫសនៃសមីការ ៖

$mx + 5 = 3x - 1$
$2(x - m) + 3(m x - 1) = 7$

មើលដំណោះស្រាយ

ជំនួស $x = 2$ ៖

a. $2m + 5 = 6 - 1 \implies 2m = 0 \implies m = 0$
b. $2(2-m) + 3(2m-1) = 7 \implies 4 - 2m + 6m - 3 = 7 \implies 4m = 6 \implies m = \dfrac{3}{2}$

២២លំហាត់ទី ២២

រកតម្លៃ $a$ ដើម្បីឱ្យសមីការខាងក្រោមគ្មានឫស ៖

$ax - 3 = 2x + 5$
$(a^2 - 1)x = a - 1$

មើលដំណោះស្រាយ

គ្មានឫស ៖

a. $(a-2)x = 8$ គ្មានឫសកាលណា $a - 2 = 0 \implies a = 2$
b. $(a-1)(a+1)x = a-1$ គ្មានឫសកាលណា $a + 1 = 0 \implies a = -1$

២៣លំហាត់ទី ២៣

រកតម្លៃ $a$ ដើម្បីឱ្យសមីការខាងក្រោមមានឫសរាប់មិនអស់ ៖

$(a - 3)x = a^2 - 9$
$(a^2 - 4)x = a + 2$

មើលដំណោះស្រាយ

ឫសរាប់មិនអស់ ៖

a. $(a-3)x = (a-3)(a+3)$ មានឫសរាប់មិនអស់កាលណា $a = 3$
b. $(a-2)(a+2)x = a+2$ មានឫសរាប់មិនអស់កាលណា $a = -2$

២៤លំហាត់ទី ២៤

ពិភាក្សាតាមតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $m$ នូវចំនួនឫសនៃសមីការ ៖

\[mx - 2 = 3x + m\]

មើលដំណោះស្រាយ

$(m-3)x = m + 2$ ៖

បើ $m \ne 3$ ៖ សមីការមានឫសតែមួយ $x = \dfrac{m+2}{m-3}$
បើ $m = 3$ ៖ $0x = 5 \implies$ សមីការគ្មានឫស

២៥លំហាត់ទី ២៥

ពិភាក្សាតាមតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $m$ នូវចំនួនឫសនៃសមីការ ៖

\[m^2 x - m = 4x + 2\]

មើលដំណោះស្រាយ

$(m^2-4)x = m + 2 \iff (m-2)(m+2)x = m+2$ ៖

បើ $m \ne \pm 2$ ៖ មានឫសតែមួយ $x = \dfrac{1}{m-2}$
បើ $m = -2$ ៖ $0x = 0 \implies$ មានឫសរាប់មិនអស់
បើ $m = 2$ ៖ $0x = 4 \implies$ គ្មានឫស

២៦លំហាត់ទី ២៦

ផលបូកនៃពីរចំនួនស្មើនឹង $84$ ហើយចំនួនមួយធំជាងចំនួនមួយទៀត $16$។ រកចំនួនទាំងពីរនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងចំនួនតូច $x$, ធំ $x + 16$ ៖
$x + (x+16) = 84 \implies 2x = 68 \implies x = 34$។
ចំនួនទាំងពីរគឺ $34$ និង $50$។

២៧លំហាត់ទី ២៧

ផលបូកនៃបីចំនួនគត់តៗគ្នាស្មើនឹង $138$។ រកចំនួនទាំងបីនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងចំនួនទាំងបី $x-1, x, x+1$ ៖
$3x = 138 \implies x = 46$។
ចំនួនទាំងបីគឺ $45, 46, 47$។

២៨លំហាត់ទី ២៨

ផលបូកនៃបួនចំនួនគត់គូតៗគ្នាស្មើនឹង $180$។ រកចំនួនទាំងបួននោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងបួនចំនួនគូ ៖ $x, x+2, x+4, x+6$ ៖
$4x + 12 = 180 \implies 4x = 168 \implies x = 42$។
ចំនួនទាំងបួនគឺ $42, 44, 46, 48$។

២៩លំហាត់ទី ២៩

ផលបូកនៃបីចំនួនគត់សេសតៗគ្នាស្មើនឹង $105$។ រកចំនួនទាំងបីនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងបីចំនួនសេស ៖ $x, x+2, x+4$ ៖
$3x + 6 = 105 \implies 3x = 99 \implies x = 33$។
ចំនួនទាំងបីគឺ $33, 35, 37$។

៣០លំហាត់ទី ៣០

រកពីរចំនួនដោយដឹងថា ផលធៀបនៃចំនួនទាំងពីរគឺ $\dfrac{3}{5}$ ហើយផលបូករបស់វាស្មើនឹង $72$។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងចំនួនទាំងពីរ $3k$ និង $5k$ ៖
$8k = 72 \implies k = 9$។
ចំនួនទាំងពីរគឺ $27$ និង $45$។

៣១លំហាត់ទី ៣១

រកពីរចំនួនដោយដឹងថា ផលធៀបនៃចំនួនទាំងពីរគឺ $\dfrac{4}{7}$ ហើយផលដករបស់វាស្មើនឹង $27$។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងចំនួនទាំងពីរ $4k$ និង $7k$ ៖
$7k - 4k = 27 \implies 3k = 27 \implies k = 9$។
ចំនួនទាំងពីរគឺ $36$ និង $63$។

៣២លំហាត់ទី ៣២

ចំនួនមួយមានពីរខ្ទង់។ ផលបូកនៃលេខទាំងពីរខ្ទង់ស្មើ $11$។ បើគេត្រឡប់លេខខ្ទង់ទាំងពីរ នោះគេទទួលបានចំនួនថ្មីមួយដែលធំជាងចំនួនដើម $45$។ រកចំនួនដើមនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងខ្ទង់ដប់ $x$, ខ្ទង់រាយ $11-x$ ៖
ចំនួនដើម $10x + (11-x) = 9x + 11$។
ចំនួនត្រឡប់ $10(11-x) + x = 110 - 9x$។
$(110 - 9x) - (9x + 11) = 45 \implies 99 - 18x = 45 \implies 18x = 54 \implies x = 3$។
ចំនួនដើមគឺ $38$។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

ចំនួនមួយមានពីរខ្ទង់។ ខ្ទង់ដប់ធំជាងពីរដងនៃខ្ទង់រាយចំនួន $1$។ បើផលបូកនៃលេខទាំងពីរខ្ទង់ស្មើ $10$ រកចំនួននោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងខ្ទង់រាយ $x$, ខ្ទង់ដប់ $2x+1$ ៖
$(2x+1) + x = 10 \implies 3x = 9 \implies x = 3$។
ខ្ទង់ដប់គឺ $7$។ ចំនួននោះគឺ $73$។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

បច្ចុប្បន្ន ឪពុកមានអាយុ $42$ ឆ្នាំ និងកូនមានអាយុ $12$ ឆ្នាំ។ តើប៉ុន្មានឆ្នាំមុន ទើបអាយុឪពុកស្មើ ៦ ដងនៃអាយុកូន?

មើលដំណោះស្រាយ

តាង $t$ ឆ្នាំមុន ៖
$42 - t = 6(12 - t) \implies 42 - t = 72 - 6t \implies 5t = 30 \implies t = 6$ ឆ្នាំមុន។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

បច្ចុប្បន្ន ម្តាយមានអាយុស្មើ ៣ ដងនៃអាយុកូនស្រី។ ក្នុងរយៈពេល ១២ ឆ្នាំទៀត ម្តាយនឹងមានអាយុស្មើ ២ ដងនៃអាយុកូនស្រី។ រកអាយុបច្ចុប្បន្នរបស់អ្នកទាំងពីរ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងកូនស្រី $x$, ម្តាយ $3x$ ៖
$3x + 12 = 2(x + 12) \implies 3x + 12 = 2x + 24 \implies x = 12$។
ម្តាយអាយុ $36$ ឆ្នាំ និងកូនស្រីអាយុ $12$ ឆ្នាំ។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

បងមានអាយុច្រើនជាងប្អូន ៥ ឆ្នាំ។ កាលពី ៤ ឆ្នាំមុន ផលបូកអាយុរបស់អ្នកទាំងពីរស្មើ $27$ ឆ្នាំ។ រកអាយុបច្ចុប្បន្នរបស់បង និងប្អូន។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងប្អូន $x$, បង $x+5$ ៖
$(x-4) + (x+5-4) = 27 \implies 2x - 3 = 27 \implies 2x = 30 \implies x = 15$។
ប្អូនអាយុ $15$ ឆ្នាំ បងអាយុ $20$ ឆ្នាំ។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

ចតុកោណកែងមួយមានបរិមាត្រ $64\text{ cm}$។ បើបណ្តោយស្មើ ៣ ដងនៃទទឹង រកវិមាត្រទាំងពីរនៃចតុកោណកែង។

មើលដំណោះស្រាយ

ទទឹង $w$, បណ្តោយ $3w$ ៖
$2(w + 3w) = 64 \implies 8w = 64 \implies w = 8\text{ cm}$។
ទទឹង $8\text{ cm}$, បណ្តោយ $24\text{ cm}$។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

ចតុកោណកែងមួយមានបណ្តោយវែងជាងទទឹង $6\text{ m}$។ បើគេបង្កើនបណ្តោយ $3\text{ m}$ និងបន្ថយទទឹង $2\text{ m}$ នោះផ្ទៃក្រឡារបស់វានៅដដែល។ រកវិមាត្រដើមនៃចតុកោណកែង។

មើលដំណោះស្រាយ

ទទឹង $x$, បណ្តោយ $x+6$ ៖
$S = x(x+6) = (x+9)(x-2) \implies x^2 + 6x = x^2 + 7x - 18 \implies x = 18\text{ m}$។
ទទឹង $18\text{ m}$, បណ្តោយ $24\text{ m}$។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

ការេមួយ និងត្រីកោណសម័ង្សមួយមានបរិមាត្រស្មើគ្នា។ ជ្រុងនៃការេខ្លីជាងជ្រុងនៃត្រីកោណ $3\text{ cm}$។ រកប្រវែងជ្រុងនៃរូបនីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងជ្រុងការេ $x$, ជ្រុងត្រីកោណ $x+3$ ៖
$4x = 3(x+3) \implies 4x = 3x + 9 \implies x = 9\text{ cm}$។
ជ្រុងការេ $9\text{ cm}$, ជ្រុងត្រីកោណ $12\text{ cm}$។

៤០លំហាត់ទី ៤០

ត្រីកោណមួយមានមុំទាំងបីផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ មុំទីពីរធំជាងមុំទីមួយ $15^\circ$ ហើយមុំទីបីធំជាងពីរដងនៃមុំទីមួយ $5^\circ$។ រករង្វាស់មុំទាំងបីនៃត្រីកោណ។

មើលដំណោះស្រាយ

មុំ $A = x$, $B = x + 15^\circ$, $C = 2x + 5^\circ$ ៖
$x + (x+15) + (2x+5) = 180^\circ \implies 4x + 20 = 180 \implies x = 40^\circ$។
មុំទាំងបីគឺ $40^\circ, 55^\circ, 85^\circ$។

៤១លំហាត់ទី ៤១

ក្នុងកាបូបមួយមានកាក់ ២០០ រៀល និង ៥០០ រៀល សរុប ៣៥ កាក់ គិតជាប្រាក់សរុប ១៣០០០ រៀល។ តើមានកាក់ប្រភេទនីមួយៗប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

តាងកាក់ ៥០០ រៀលមាន $x$, កាក់ ២០០ រៀលមាន $35-x$ ៖
$500x + 200(35-x) = 13000 \implies 300x + 7000 = 13000 \implies 300x = 6000 \implies x = 20$។
កាក់ ៥០០ រៀលមាន ២០ និងកាក់ ២០០ រៀលមាន ១៥។

៤២លំហាត់ទី ៤២

ពូសុខលក់មាន់ និងទាបានសរុប ៤៥ ក្បាល។ មាន់មួយក្បាលតម្លៃ $25000$ រៀល និងទាមួយក្បាលតម្លៃ $30000$ រៀល ។ គាត់ទទួលបានប្រាក់សរុប $1225000$ រៀល ។ រកចំនួនមាន់ និងចំនួនទាដែលបានលក់។

មើលដំណោះស្រាយ

មាន់ $x$, ទា $45-x$ ៖
$25000x + 30000(45-x) = 1225000 \implies -5000x + 1350000 = 1225000 \implies 5000x = 125000 \implies x = 25$។
មាន់ ២៥ ក្បាល និងទា ២០ ក្បាល។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

រថយន្តមួយបើកបរពីភ្នំពេញទៅកំពង់សោមចម្ងាយ $230\text{ km}$។ មួយម៉ោងដំបូងរថយន្តបើកបរដោយល្បឿន $v$ បន្ទាប់មករថយន្តបង្កើនល្បឿនថែម $10\text{ km/h}$ សម្រាប់រយៈពេល ២ ម៉ោងទៀតទើបដល់។ រកល្បឿន $v$។

មើលដំណោះស្រាយ

$v(1) + (v+10)(2) = 230 \implies 3v + 20 = 230 \implies 3v = 210 \implies v = 70\text{ km/h}$។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

អ្នកជិះកង់ម្នាក់ចេញដំណើរពី A ទៅ B ដោយល្បឿន $15\text{ km/h}$។ ២ ម៉ោងក្រោយមក អ្នកជិះម៉ូតូម្នាក់ចេញដំណើរតាមពីក្រោយដោយល្បឿន $45\text{ km/h}$។ តើអ្នកជិះម៉ូតូត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានម៉ោងដើម្បីជិះទាន់អ្នកជិះកង់?

មើលដំណោះស្រាយ

តាងពេលជិះទាន់ $t$ ម៉ោង ៖
$45t = 15(t + 2) \implies 45t = 15t + 30 \implies 30t = 30 \implies t = 1$ ម៉ោង។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

ទូកម៉ាស៊ីនមួយបើកបរបញ្ច្រាសទឹកបានចម្ងាយ $48\text{ km}$ ក្នុងរយៈពេល ៤ ម៉ោង។ បើល្បឿនខ្សែទឹកហូរគឺ $3\text{ km/h}$ រកល្បឿនពិតរបស់ទូកក្នុងទឹកនឹង។

មើលដំណោះស្រាយ

ល្បឿនបញ្ច្រាសទឹក $v - 3$ ៖
$4(v - 3) = 48 \implies v - 3 = 12 \implies v = 15\text{ km/h}$។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

ជាងម្នាក់ធ្វើការងារមួយចប់ក្នុងរយៈពេល ៦ ថ្ងៃ រីឯកូនជាងធ្វើការងារដដែលចប់ក្នុងរយៈពេល ១២ ថ្ងៃ។ បើអ្នកទាំងពីរធ្វើរួមគ្នា តើត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានថ្ងៃទើបចប់?

មើលដំណោះស្រាយ

ក្នុង ១ ថ្ងៃធ្វើបាន $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ ការងារ។
ធ្វើរួមគ្នាចប់ក្នុងរយៈពេល $4$ ថ្ងៃ។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

ទុយោទឹកពីរចាក់ទឹកចូលអាងមួយ។ ទុយោទីមួយចាក់ពេញក្នុង ៤ ម៉ោង ទុយោទីពីរចាក់ពេញក្នុង ៦ ម៉ោង។ បើបើកទុយោទាំងពីរព្រមគ្នារយៈពេល ១ ម៉ោង រួចបិទទុយោទីមួយ តើទុយោទីពីរត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានម៉ោងទៀតទើបចាក់ពេញអាង?

មើលដំណោះស្រាយ

ក្នុង ១ ម៉ោងរួមគ្នា ៖ $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12}$ អាង។
នៅសល់ $1 - \dfrac{5}{12} = \dfrac{7}{12}$ អាង។
ទុយោទីពីរចំណាយពេល ៖ $\dfrac{7/12}{1/6} = \dfrac{7}{2} = 3.5$ ម៉ោងទៀត។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

គេមានទឹកអំបិលកំហាប់ $10\%$ ចំនួន $300\text{ g}$។ តើត្រូវបន្ថែមទឹកសុទ្ធប៉ុន្មានក្រាមដើម្បីឱ្យកំហាប់ទឹកអំបិលថយចុះមកនៅត្រឹម $6\%$?

មើលដំណោះស្រាយ

ម៉ាសអំបិល ៖ $300 \times 10\% = 30\text{ g}$។
តាងទឹកថែម $x\text{ g}$ ៖
$\dfrac{30}{300+x} = 0.06 \implies 30 = 18 + 0.06x \implies 0.06x = 12 \implies x = 200\text{ g}$។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

គេមានទឹកអាស៊ីតកំហាប់ $20\%$ និងទឹកអាស៊ីតកំហាប់ $50\%$។ តើត្រូវលាយទឹកអាស៊ីតប្រភេទនីមួយៗប៉ុន្មានលីត្រ ដើម្បីទទួលបានទឹកអាស៊ីតកំហាប់ $30\%$ ចំនួន $60\text{ L}$?

មើលដំណោះស្រាយ

តាងទឹកអាស៊ីត $20\%$ ចំនួន $x\text{ L}$, ទឹកអាស៊ីត $50\%$ ចំនួន $60-x\text{ L}$ ៖
$0.2x + 0.5(60-x) = 0.3(60) \implies -0.3x + 30 = 18 \implies 0.3x = 12 \implies x = 40\text{ L}$។
យក $20\%$ ចំនួន $40\text{ L}$ និង $50\%$ ចំនួន $20\text{ L}$។

៥០លំហាត់ទី ៥០

សិស្សមួយក្រុមជួលឡានមួយជិះកម្សាន្តដោយថ្លៃឈ្នួល $120\$$។ នៅថ្ងៃចេញដំណើរមានសិស្ស ៣ នាក់ខកខានមិនបានទៅ ធ្វើឱ្យសិស្សដែលនៅសល់ម្នាក់ៗត្រូវបង់បន្ថែម $2\$$។ តើដើមឡើយមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ក្នុងក្រុម?

មើលដំណោះស្រាយ

តាងសិស្សដើម $x$ នាក់ ៖
$\dfrac{120}{x-3} - \dfrac{120}{x} = 2 \implies 120\left(\dfrac{3}{x(x-3)}\right) = 2 \implies x(x-3) = 180$។
$x^2 - 3x - 180 = 0 \iff (x-15)(x+12) = 0 \implies x = 15$ នាក់។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៧ សមីការដឺក្រេទី១មានមួយអញ្ញាត — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត

សមីការដឺក្រេទី១មានមួយអញ្ញាត

សញ្ញាណ និងនិយមន័យនៃសមីការដឺក្រេទី១មានមួយអញ្ញាត

និយមន័យ

ឫសនៃសមីការ

លក្ខណៈសមមូល និងវិធាននៃការដោះស្រាយសមីការ

លក្ខណៈនៃសមភាព

ដំណោះស្រាយសមីការទម្រង់ \(ax + b = 0\)

សមីការដែលមានវង់ក្រចក និងភាគបែងជាចំនួន

ការដោះស្រាយចំណោទដោយប្រើសមីការដឺក្រេទី១

លំហាត់អនុវត្តន៍

សំណួរពហុជ្រើសរើស

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០