កន្សោមពីជគណិត

កំណត់ឯកធា ៖

• \(5x^2y\) ៖ ជាឯកធា, មេគុណ \(5\), ដឺក្រេ \(3\)

• \(-\dfrac{3}{4}a^3b^4\) ៖ ជាឯកធា, មេគុណ \(-\dfrac{3}{4}\), ដឺក្រេ \(7\)

• \(2x+3\) ៖ មិនមែន (ជាពហុធា)

• \(\dfrac{7}{x^2} = 7x^{-2}\) ៖ មិនមែន (និទស្សន្តអវិជ្ជមាន)

• \(\sqrt{5}mn^2\) ៖ ជាឯកធា, មេគុណ \(\sqrt{5}\), ដឺក្រេ \(3\)

• \(4x^{-3}\) ៖ មិនមែន

• \(2027\) ៖ ជាឯកធា (ចំនួនថេរ), មេគុណ \(2027\), ដឺក្រេ \(0\)

គណនាផលបូក ដកឯកធា ៖

• a. \((7 - 12 + 8)xy^2 = 3xy^2\)

• b. \((-4 + 9 - 15)a^3b = -10a^3b\)

• c. \(\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}\right)x^2y^2 = \left(\dfrac{3+4-5}{6}\right)x^2y^2 = \dfrac{1}{3}x^2y^2\)

• d. \((3.5 - 1.2 - 4.8)mn^3 = -2.5mn^3\)

គណនាផលគុណឯកធា ៖

• a. \([4 \times (-3)]a^{2+4}b^{3+5} = -12a^6b^8\)

• b. \(\left(-\dfrac{2}{5} \times \dfrac{15}{4}\right)x^{3+2}y^{1+4} = -\dfrac{3}{2}x^5y^5\)

• c. \((\sqrt{3} \times 2\sqrt{3})x^{2+1}y^{1+3}z^{1+2} = 6x^3y^4z^3\)

• d. \([(-2) \times 3 \times (-4)]a^{2+1+3}b^{1+2+3} = 24a^6b^6\)

គណនាផលចែកឯកធា ៖

• a. \(\dfrac{36}{-9}x^{5-2}y^{4-3}z^{2-1} = -4x^3yz\)

• b. \(\dfrac{-48}{16}a^{7-4}b^{5-5}c^{3-1} = -3a^3c^2\)

• c. \(\left(\dfrac{3}{4} \div -\dfrac{9}{8}\right)m^{6-2}n^{4-3} = -\dfrac{2}{3}m^4n\)

• d. \(\dfrac{36x^4y^6}{12x^3y^4} = 3xy^2\)

សម្រួលកន្សោមស្វ័យគុណ ៖

• a. \(A = (-3)^3 (x^2)^3 (y^3)^3 = -27x^6y^9\)

• b. \(B = [16a^{12}b^8] \times [9a^2b^6] = 144a^{14}b^{14}\)

រៀបពហុធា \(P(x)\) ៖

• a. លំដាប់ចុះ ៖ \(-7x^4 + 4x^3 + 5x^2 - 2x + 3\)

• b. លំដាប់កើន ៖ \(3 - 2x + 5x^2 + 4x^3 - 7x^4\)

គណនាពហុធា ៖

• a. \(A + B = (4-3)x^3 + (-2+5)x^2 + (5-8)x + (-7+2) = x^3 + 3x^2 - 3x - 5\)

• b. \(A - B = (4+3)x^3 + (-2-5)x^2 + (5+8)x + (-7-2) = 7x^3 - 7x^2 + 13x - 9\)

• c. \(B - A = -(A - B) = -7x^3 + 7x^2 - 13x + 9\)

គណនា ៖

• a. \(M+N+P = (2+1-3)x^2 + (-3+2+1)xy + (1-3+2)y^2 = 0\)

• b. \(2M - 3N + P = 2(2x^2-3xy+y^2) - 3(x^2+2xy-3y^2) + (-3x^2+xy+2y^2) = (4-3-3)x^2 + (-6-6+1)xy + (2+9+2)y^2 = -2x^2 - 11xy + 13y^2\)

គុណឯកធានឹងពហុធា ៖

• a. \(6x^5 - 12x^4 + 15x^3 - 3x^2\)

• b. \(-6a^3b^3 + 10a^2b^4 - 8a^2b^3 + 14ab^2\)

គុណទ្វេធានឹងទ្វេធា ៖

• a. \(6x^2 - 8x + 9x - 12 = 6x^2 + x - 12\)

• b. \(15a^2 - 20ab - 6ab + 8b^2 = 15a^2 - 26ab + 8b^2\)

គុណពហុធា ៖

• a. \((x-2)(x^2+2x+4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8\)

• b. \(2x(3x^2-2x+5) - 3(3x^2-2x+5) = 6x^3 - 4x^2 + 10x - 9x^2 + 6x - 15 = 6x^3 - 13x^2 + 16x - 15\)

ចែកពហុធានឹងឯកធា ៖

• a. \(\dfrac{15x^4}{5x^2} - \dfrac{25x^3}{5x^2} + \dfrac{10x^2}{5x^2} = 3x^2 - 5x + 2\)

• b. \(\dfrac{12a^3b^2}{-6ab^2} - \dfrac{18a^2b^3}{-6ab^2} + \dfrac{6ab^2}{-6ab^2} = -2a^2 + 3ab - 1\)

ពន្លាត \((a+b)^2\) ៖

• a. \(x^2 + 10x + 25\)

• b. \(4x^2 + 12x + 9\)

• c. \(9a^2 + 24ab + 16b^2\)

• d. \(x^4 + 4x^2 + 4\)

ពន្លាត \((a-b)^2\) ៖

• a. \(x^2 - 14x + 49\)

• b. \(9x^2 - 12x + 4\)

• c. \(16a^2 - 40ab + 25b^2\)

• d. \(4x^4 - 12x^2 + 9\)

ពន្លាត \((a-b)(a+b)\) ៖

• a. \(x^2 - 36\)

• b. \(4x^2 - 25\)

• c. \(9a^2 - 49b^2\)

• d. \(x^4 - 16\)

គណនារហ័ស ៖

• a. \(102^2 = (100+2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404\)

• b. \(98^2 = (100-2)^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604\)

• c. \(105 \times 95 = (100+5)(100-5) = 10000 - 25 = 9975\)

• d. \(201 \times 199 = (200+1)(200-1) = 40000 - 1 = 39999\)

ពន្លាតគូប ៖

• a. \(x^3 + 3(x^2)(3) + 3(x)(9) + 27 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27\)

• b. \(8x^3 - 3(4x^2)(1) + 3(2x)(1) - 1 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1\)

• c. \(a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3\)

• d. \(27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3\)

ពន្លាតផលបូក-ដកគូប ៖

• a. \(x^3 + 4^3 = x^3 + 64\)

• b. \((2a)^3 - 3^3 = 8a^3 - 27\)

សម្រួលកន្សោម ៖

• a. \((x^2+6x+9) + (x^2-6x+9) = 2x^2 + 18\)

• b. \((4x^2+4x+1) - (4x^2-4x+1) = 8x\)

• c. \((x^3+6x^2+12x+8) - (x^3-6x^2+12x-8) = 12x^2 + 16\)

• d. \((x^2-1)(x^2+1)(x^4+1) = (x^4-1)(x^4+1) = x^8 - 1\)

ទាញកត្តារួម ៖

• a. \(3x(2x^2 - 3x + 4)\)

• b. \(5a^2b^2(3b - 5a + 2)\)

• c. \((a - 2b)(3x + 5y)\)

• d. \(2(x + y)(a - 2b + 3c)\)

ផ្តុំតួ ៖

• a. \(a(x - y) + b(x - y) = (x - y)(a + b)\)

• b. \(x^2(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)\)

• c. \(2x(x + 2y) - 3(x + 2y) = (x + 2y)(2x - 3)\)

• d. \(b(a - 5) + 3(a - 5) = (a - 5)(b + 3)\)

ប្រើ \(a^2 - b^2\) ៖

• a. \((x - 7)(x + 7)\)

• b. \((2x - 9)(2x + 9)\)

• c. \((5a - 4b)(5a + 4b)\)

• d. \((1 - 8y)(1 + 8y)\)

ប្រើ \(a^2 - b^2\) ៖

• a. \((x+3-4)(x+3+4) = (x - 1)(x + 7)\)

• b. \([(2x-1)-(x+2)][(2x-1)+(x+2)] = (x - 3)(3x + 1)\)

• c. \([3(a-b)-2(a+b)][3(a-b)+2(a+b)] = (a - 5b)(5a - b)\)

• d. \((x^2 - 9)(x^2 + 9) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)\)

ការេប្រាកដ ៖

• a. \((x + 5)^2\)

• b. \((2x - 3)^2\)

• c. \((3a + 4b)^2\)

• d. \((5x - 2y)^2\)

ផលបូក-ដកគូប ៖

• a. \((x + 4)(x^2 - 4x + 16)\)

• b. \((2a - 3)(4a^2 + 6a + 9)\)

• c. \((3x + 5y)(9x^2 - 15xy + 25y^2)\)

• d. \((10 - ab)(100 + 10ab + a^2b^2)\)

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

• a. \(x^2 + 3x + 5x + 15 = (x + 3)(x + 5)\)

• b. \(x^2 - 4x - 5x + 20 = (x - 4)(x - 5)\)

• c. \(x^2 + 6x - 4x - 24 = (x + 6)(x - 4)\)

• d. \(x^2 - 7x + 4x - 28 = (x - 7)(x + 4)\)

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

• a. \(2x^2 + 6x + x + 3 = 2x(x+3) + (x+3) = (x + 3)(2x + 1)\)

• b. \(3x^2 - 6x - 2x + 4 = 3x(x-2) - 2(x-2) = (x - 2)(3x - 2)\)

• c. \(6x^2 + 10x - 3x - 5 = 2x(3x+5) - (3x+5) = (3x + 5)(2x - 1)\)

• d. \(4x^2 - 12x - x + 3 = 4x(x-3) - (x-3) = (x - 3)(4x - 1)\)

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

• a. \(x^2(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x^2 - 4) = (x - 3)(x - 2)(x + 2)\)

• b. \(x^2(x + 4) - 9(x + 4) = (x + 4)(x^2 - 9) = (x + 4)(x - 3)(x + 3)\)

បង្កើតការេប្រាកដ ៖

• a. \((x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)\)

• b. \((x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)\)

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

• a. \((x - y)^2 - z^2 = (x - y - z)(x - y + z)\)

• b. \(a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - (b - c)^2 = [a - (b - c)][a + (b - c)] = (a - b + c)(a + b - c)\)

គណនាតម្លៃលេខ ៖

• a. \((73 - 27)(73 + 27) = 46 \times 100 = 4600\)

• b. \((87 + 13)^2 = 100^2 = 10000\)

• c. \((105 - 5)^2 = 100^2 = 10000\)

• d. \(\dfrac{(75-25)(75+25)}{(65-35)(65+35)} = \dfrac{50 \times 100}{30 \times 100} = \dfrac{5}{3}\)

កន្សោម \(P = (x - 2)^3\)។ ចំពោះ \(x = 102\) ៖

បើ \(x+y=7, xy=10\) ៖

• a. \(x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 49 - 20 = 29\)

• b. \(x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = 7(29 - 10) = 7 \times 19 = 133\)

• c. \((x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 49 - 40 = 9\)

បើ \(a-b=5, ab=6\) ៖

• a. \(a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab = 25 + 12 = 37\)

• b. \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 5(37 + 6) = 5 \times 43 = 215\)

បើ \(x + \dfrac{1}{x} = 4\) ៖

• a. \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = 16 - 2 = 14\)

• b. \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(x^2 - 1 + \dfrac{1}{x^2}\right) = 4(14 - 1) = 52\)

បើ \(x - \dfrac{1}{x} = 3\) ៖

• a. \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2 + 2 = 9 + 2 = 11\)

• b. \(x^3 - \dfrac{1}{x^3} = \left(x-\dfrac{1}{x}\right)\left(x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2}\right) = 3(11 + 1) = 36\)

ពន្លាតអង្គទាំងពីរ ៖

ផ្តុំតួ ៖ \([n(n+3)][(n+1)(n+2)] + 1 = (n^2+3n)(n^2+3n+2) + 1\)។
តាង \(t = n^2+3n\) ៖ \(t(t+2) + 1 = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2 = [n(n+3) + 1]^2\) ដែលជាការេប្រាកដ។

តាមរូបមន្ត ៖ \(a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)\)។
ដោយ \(a+b+c = 0\) នាំឱ្យ \(a^3+b^3+c^3 - 3abc = 0 \implies a^3+b^3+c^3 = 3abc\)។

ផ្តុំជាគូៗ ៖

\(A = (x - 3)^2 + 5\)។ ដោយ \((x-3)^2 \ge 0\) នោះ \(A \ge 5\)។ តម្លៃតូចបំផុតនៃ \(A\) គឺ \(5\) កាលណា \(x = 3\)។

\(B = -(x^2 - 8x + 16) + 6 = -(x - 4)^2 + 6\)។
ដោយ \(-(x-4)^2 \le 0\) នោះ \(B \le 6\)។ តម្លៃធំបំផុតនៃ \(B\) គឺ \(6\) កាលណា \(x = 4\)។

វិមាត្រចតុកោណកែង ៖

• a. បរិមាត្រ ៖ \(P = 2[(2x+5) + (x+3)] = 2(3x+8) = 6x + 16\text{ cm}\)

• b. ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = (2x+5)(x+3) = 2x^2 + 11x + 15\text{ cm}^2\)

បន្ទះដែកការេ ៖

• a. ផ្ទៃក្រឡាដែលនៅសល់ ៖ \(S = a^2 - 4b^2\text{ cm}^2\)

• b. ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖ \(S = (a - 2b)(a + 2b)\)

គូបមានទ្រនុង \((x+2)\) ៖

• a. ផ្ទៃក្រឡាខាង ៖ \(S_{lat} = 4(x+2)^2 = 4x^2 + 16x + 16\text{ cm}^2\)

• b. មាឌ ៖ \(V = (x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\text{ cm}^3\)

ដោះស្រាយសមីការ ៖

• a. \((x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3\) ឬ \(x = -3\)

• b. \((x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2\) ឬ \(x = 3\)

ដោះស្រាយសមីការ ៖

• a. \([(2x-3)-(x+1)][(2x-3)+(x+1)] = 0 \iff (x-4)(3x-2) = 0 \implies x = 4\) ឬ \(x = \dfrac{2}{3}\)

• b. \(x(x^2-4) = 0 \iff x(x-2)(x+2) = 0 \implies x = 0, 2, -2\)

\(xy + 2x - 3y = 11 \iff x(y+2) - 3(y+2) - 6 = 11 \iff (x-3)(y+2) = 17\)។
ដោយ \(17\) ជាចំនួនបឋម កត្តាអាចជា \((\pm 1, \pm 17)\) ឬ \((\pm 17, \pm 1)\) ៖

• \(x-3=1, y+2=17 \implies (4, 15)\)

• \(x-3=17, y+2=1 \implies (20, -1)\)

• \(x-3=-1, y+2=-17 \implies (2, -19)\)

• \(x-3=-17, y+2=-1 \implies (-14, -3)\)

\(A = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)\)។
កន្សោមនេះជាផលគុណនៃបីចំនួនគត់តៗគ្នា។ ក្នុងបីចំនួនគត់តគ្នា តែងតែមានមួយតួចែកដាច់នឹង \(2\) និងមួយតួចែកដាច់នឹង \(3\)។ ដូច្នេះផលគុណចែកដាច់នឹង \(2 \times 3 = 6\) ជានិច្ច។

តម្រូវភាគបែងរួម \((x-y)(y-z)(z-x)\) ៖