មេរៀនទី ៣ : ទំហំសមាមាត្រ និងភាគរយ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៨

ប្រវត្តិនៃសមាមាត្រ ផលធៀបមាស និងភាគរយ

សមាមាត្រ និងភាគរយ (Proportions and Percentages) គឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះដ៏សំខាន់បំផុតនៃគណិតវិទ្យាអនុវត្ត ដែលមនុស្សជាតិបានប្រើប្រាស់តាំងពីរាប់ពាន់ឆ្នាំមុនមកម្ល៉េះ ៖

អឺគ្លីដ (Euclid, ប្រហែល ៣០០ មុន គ.ស.)៖ នៅក្នុងស្នាដៃឯក "Elements" (ក្បួនទី ៥) គណិតវិទូក្រិក Euclid បានរៀបចំប្រព័ន្ធទ្រឹស្ដីសមាមាត្រទូទៅយ៉ាងល្អិតល្អន់បំផុត ដែលអាចអនុវត្តបានទាំងលើចំនួនគត់ និងលើរង្វាស់ប្រវែងធរណីមាត្រ។
ផលធៀបមាស (Golden Ratio, $\Phi \approx 1.618$)៖ ត្រូវបានរកឃើញ និងចាត់ទុកថាជាផលធៀបដ៏ពិសិដ្ឋនៃធម្មជាតិ និងសិល្បៈ។ ជនជាតិក្រិកបុរាណបានប្រើផលធៀបនេះក្នុងការសង់ប្រាសាទ Parthenon។ ដូចគ្នានេះដែរ ក្នុងការសាងសង់ប្រាសាទ អង្គរវត្ត បុព្វបុរសខ្មែរបានប្រើប្រាស់ប្រព័ន្ធសមាមាត្រ និងផលធៀបនៃរង្វាស់ (ហត្ថ ព្យាម) យ៉ាងអស្ចារ្យ ដែលធ្វើឱ្យតួប្រាសាទទាំងមូលមានតុល្យភាព និងភាពរុងរឿងឥតខ្ចោះ។
ប្រភពនៃពាក្យ «ភាគរយ» (Percent)៖ ពាក្យនេះមានប្រភពមកពីភាសាឡាតាំង "Per Centum" ដែលមានន័យថា «ក្នុងមួយរយ»។ នៅសម័យរ៉ូម៉ាំង អធិរាជ Augustus បានយកពន្ធ $\frac{1}{100}$ លើទំនិញដែលដាក់លក់ក្នុងការដេញថ្លៃ។
ការវិវត្តនៃសញ្ញា $\%$ ៖ និមិត្តសញ្ញា $\%$ បានវិវត្តបន្តិចម្តងៗនៅប្រទេសអ៊ីតាលីក្នុងសតវត្សទី ១៥ ពីការសរសេរកាត់ពាក្យ "per cento" ទៅជា "p 100" បន្ទាប់មកជា $\frac{p}{c^{\circ}}$ និងចុងក្រោយក្លាយជាសញ្ញា $\%$ ដូចសព្វថ្ងៃ។
ការអនុវត្តជាក់ស្ដែង៖ ក្នុងយុគសម័យទំនើប សមាមាត្រ និងភាគរយជាភាសាប្រចាំថ្ងៃនៃសេដ្ឋកិច្ច ធនាគារ (អត្រាការប្រាក់ អតិផរណា) ការលក់ដូរ (ការបញ្ចុះតម្លៃ ប្រាក់ចំណេញ ពន្ធអាករ) វិទ្យាសាស្ត្រវេជ្ជសាស្ត្រ (កំហាប់ថ្នាំ) និងការវិភាគទិន្នន័យ។

ផលធៀប និងសមាមាត្រ

ផលធៀប (Ratio)

ផលធៀប

ផលធៀប នៃពីរចំនួន $a$ និង $b$ ($b \ne 0$) គឺជាប្រមាណវិធីចែករវាង $a$ និង $b$ ដែលកំណត់សរសេរដោយ ៖

\[\frac{a}{b} \quad{}\text{ឬ}\quad{} a : b\]

(អានថា «$a$ ធៀបនឹង $b$»)។ ចំនួន $a$ ហៅថា តួទីមួយ (Antecedent) និង $b$ ហៅថា តួទីពីរ (Consequent)។

លក្ខណៈសំខាន់ ៖ ផលធៀបនៃពីររង្វាស់បរិមាណ ត្រូវតែមាន ឯកតាដូចគ្នា។
ឧទាហរណ៍ ៖ ផលធៀបរវាង $50\,\text{cm}$ និង $2\,\text{m}$ ត្រូវបំប្លែង $2\,\text{m} = 200\,\text{cm}$ នាំឱ្យផលធៀបគឺ $\dfrac{50}{200} = \dfrac{1}{4} = 1:4$។

សមាមាត្រ (Proportion)

សមាមាត្រ

សមាមាត្រ គឺជាសមភាពរវាងពីរផលធៀប ៖

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad{}\text{ឬ}\quad{} a : b = c : d\]

(អានថា «$a$ ធៀបនឹង $b$ ស្មើ $c$ ធៀបនឹង $d$»)។

$a$ និង $d$ ហៅថា តួចុង (Extremes)
$b$ និង $c$ ហៅថា តួមធ្យម (Means)

លក្ខណៈគ្រឹះនៃសមាមាត្រ

ក្នុងគ្រប់សមាមាត្រ ផលគុណតួចុងស្មើនឹងផលគុណតួមធ្យមជានិច្ច ៖

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \times d = b \times c \quad{} (b, d \ne 0)\]

លក្ខណៈនៃផលធៀបស្មើគ្នា

បើ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ នោះគេបាន ៖

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d} \quad{} (b+d \ne 0, b-d \ne 0)\]

ជាទូទៅ បើ $\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}$ នោះ ៖

\[\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = \frac{a + b + c}{x + y + z}\]

ឧទាហរណ៍

ចែកប្រាក់ចំនួន $240\,000$ រៀល ឱ្យទៅមនុស្សពីរនាក់តាមផលធៀប $3 : 5$។ រកចំណែកប្រាក់របស់មនុស្សម្នាក់ៗ។

ដំណោះស្រាយ

តាង $x$ និង $y$ ជាចំណែកប្រាក់របស់មនុស្សទីមួយ និងទីពីរ (គិតជារៀល)។
តាមបម្រាប់ ៖ $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5}$ និង $x + y = 240\,000$។
អនុវត្តលក្ខណៈផលធៀបស្មើគ្នា ៖

\[\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{x + y}{3 + 5} = \frac{240\,000}{8} = 30\,000\]

ចំណែកមនុស្សទីមួយ ៖ $x = 3 \times 30\,000 = 90\,000$ រៀល
ចំណែកមនុស្សទីពីរ ៖ $y = 5 \times 30\,000 = 150\,000$ រៀល

ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ $90\,000 + 150\,000 = 240\,000$ រៀល (ពិត)។

ចែកតាមសមាមាត្រ

ចែកប្រាក់ $360\,000$ រៀល ឱ្យកូន ៣ នាក់ តាមសមាមាត្រនៃអាយុ $2 : 3 : 4$។ រកចំនួនប្រាក់ដែលកូនម្នាក់ៗទទួលបាន។

ទំហំសមាមាត្រស្រប និងទំហំសមាមាត្រច្រាស

ទំហំសមាមាត្រស្រប (Direct Proportion)

សមាមាត្រស្រប

ពីរទំហំ $x$ និង $y$ ជា ទំហំសមាមាត្រស្រប នឹងគ្នា កាលណាផលធៀបរវាងតម្លៃពីរស្របគ្នានៃទំហំទាំងពីរមានតម្លៃថេរ $k$ ($k \ne 0$) ៖

\[\frac{y}{x} = k \quad{}\iff\quad{} y = kx\]

ចំនួន $k$ ហៅថា មេគុណសមាមាត្រស្រប (Constant of Proportionality)។

លក្ខណៈ ៖ កាលណាទំហំ $x$ កើនឡើង (ឬថយចុះ) ប៉ុន្មានដង នោះទំហំ $y$ ក៏កើនឡើង (ឬថយចុះ) ប៉ុណ្ណោះដងដែរ។
ចំពោះតម្លៃស្របគ្នាពីរគូ $(x_1, y_1)$ និង $(x_2, y_2)$ គេបានសមាមាត្រ ៖

\[\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \quad{}\iff\quad{} \frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2}\]

ឧទាហរណ៍

បើទិញសៀវភៅ ៤ ក្បាល អស់ថ្លៃ $12\,000$ រៀល។ តើទិញសៀវភៅ ៩ ក្បាលប្រភេទដដែលនេះ ត្រូវអស់ប្រាក់ប៉ុន្មានរៀល?

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនសៀវភៅ និងតម្លៃប្រាក់ជាទំហំសមាមាត្រស្រប។
តាង $x$ ជាតម្លៃប្រាក់សម្រាប់សៀវភៅ ៩ ក្បាល។ គេបានសមាមាត្រ ៖

\[\frac{12\,000}{4} = \frac{x}{9} \implies 3\,000 = \frac{x}{9} \implies x = 3\,000 \times 9 = 27\,000\text{ រៀល}\]

ដូចនេះ ទិញសៀវភៅ ៩ ក្បាល អស់ប្រាក់ $27\,000$ រៀល។

ទំហំសមាមាត្រច្រាស (Inverse Proportion)

សមាមាត្រច្រាស

ពីរទំហំ $x$ និង $y$ ជា ទំហំសមាមាត្រច្រាស នឹងគ្នា កាលណាផលគុណរវាងតម្លៃពីរស្របគ្នានៃទំហំទាំងពីរមានតម្លៃថេរ $k$ ($k \ne 0$) ៖

\[x \times y = k \quad{}\iff\quad{} y = \frac{k}{x}\]

ចំនួន $k$ ហៅថា មេគុណសមាមាត្រច្រាស។

លក្ខណៈ ៖ កាលណាទំហំ $x$ កើនឡើង ប៉ុន្មានដង នោះទំហំ $y$ បែរជាថយចុះ ប៉ុណ្ណោះដងវិញ។
ចំពោះតម្លៃស្របគ្នាពីរគូ $(x_1, y_1)$ និង $(x_2, y_2)$ គេបានសមភាព ៖

\[x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 \quad{}\iff\quad{} \frac{y_1}{y_2} = \frac{x_2}{x_1}\]

ឧទាហរណ៍

កម្មករ $6$ នាក់ធ្វើការងារមួយហើយក្នុងរយៈពេល $10$ ថ្ងៃ។ បើគេបន្ថែមកម្លាំងកម្មករឱ្យដល់ $15$ នាក់ តើការងារនោះនឹងរួចរាល់ក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានថ្ងៃ (ដោយសន្មតថាកម្មករម្នាក់ៗមានផលិតភាពស្មើគ្នា)?

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនកម្មករ និងចំនួនថ្ងៃធ្វើការជាទំហំសមាមាត្រច្រាស (កម្មករកាន់តែច្រើន រយៈពេលកាន់តែតិច)។
តាង $t$ ជាចំនួនថ្ងៃដែលកម្មករ ១៥ នាក់ត្រូវការ។ គេបាន ៖

\[15 \times t = 6 \times 10 \implies 15t = 60 \implies t = \frac{60}{15} = 4\text{ ថ្ងៃ}\]

ដូចនេះ កម្មករ ១៥ នាក់ធ្វើការងារនោះហើយក្នុងរយៈពេល $4$ ថ្ងៃ។

សមាមាត្រស្រប និងច្រាស

រថយន្តមួយបើកបរដោយល្បឿនថេរ ចម្ងាយ $180\,\text{km}$ ប្រើសាំងអស់ $15\,\text{L}$។ តើបើកបរចម្ងាយ $300\,\text{km}$ ត្រូវប្រើសាំងប៉ុន្មានលីត្រ?
បំពង់ទឹក ៤ ដូចគ្នា បង្ហូរទឹកពេញអាងមួយក្នុងរយៈពេល $6$ ម៉ោង។ បើប្រើបំពង់ទឹក ៨ បែបនោះ តើត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានម៉ោង?

ភាគរយ និងការអនុវត្តក្នុងជីវភាពរស់នៅ

សញ្ញាណនៃភាគរយ

ភាគរយ គឺជាផលធៀបដែលមានភាគបែងស្មើ $100$។ និមិត្តសញ្ញាភាគរយគឺ $\%$។

\[x\% = \frac{x}{100} = x \times 0.01\]

បំប្លែងប្រភាគជាភាគរយ ៖ គុណនឹង $100\%$។ ឧទាហរណ៍ ៖ $\dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{5} \times 100\% = 60\%$។
រក $x\%$ នៃបរិមាណ $A$ ៖ តម្លៃ $= A \times \dfrac{x}{100}$។
រកភាគរយនៃ $A$ ធៀបនឹង $B$ ៖ ភាគរយ $= \dfrac{A}{B} \times 100\%$។

ការបញ្ចុះតម្លៃ ប្រាក់ចំណេញ និងប្រាក់ខាត

រូបមន្តពាណិជ្ជកម្មគន្លឹះ

ប្រាក់ចំណេញ (Profit) ៖ ចំណេញ $ = $ ថ្លៃលក់ $ - $ ថ្លៃដើម
\[\%\text{ចំណេញ} = \frac{\text{ប្រាក់ចំណេញ}}{\text{ថ្លៃដើម}} \times 100\%\]
ប្រាក់ខាត (Loss) ៖ ខាត $ = $ ថ្លៃដើម $ - $ ថ្លៃលក់
\[\%\text{ខាត} = \frac{\text{ប្រាក់ខាត}}{\text{ថ្លៃដើម}} \times 100\%\]
ការបញ្ចុះតម្លៃ (Discount) ៖ ប្រាក់បញ្ចុះ $ = $ ថ្លៃដើមកំណត់ $ \times \%$ បញ្ចុះ
\[\text{ថ្លៃលក់ជាក់ស្ដែង} = \text{ថ្លៃដើមកំណត់} - \text{ប្រាក់បញ្ចុះ}\]

ឧទាហរណ៍

ទូរទស្សន៍មួយគ្រឿងមានតម្លៃដើមកំណត់ $400$ ដុល្លារ។ ហាងបានប្រកាសលក់បញ្ចុះតម្លៃ $15\%$។

តើអ្នកទិញទទួលបានការបញ្ចុះតម្លៃប៉ុន្មានដុល្លារ?
តើអ្នកទិញត្រូវបង់ប្រាក់ថ្លៃទូរទស្សន៍ប៉ុន្មានដុល្លារ?

ដំណោះស្រាយ

ប្រាក់បញ្ចុះតម្លៃគឺ ៖ $400 \times 15\% = 400 \times \dfrac{15}{100} = 60$ ដុល្លារ។
ប្រាក់ដែលត្រូវបង់ជាក់ស្ដែងគឺ ៖ $400 - 60 = 340$ ដុល្លារ។

ការប្រាក់សាមញ្ញ (Simple Interest)

រូបមន្តការប្រាក់សាមញ្ញ

ការប្រាក់សាមញ្ញ $I$ គណនាតាមរូបមន្ត ៖

\[I = \frac{P \times R \times T}{100}\]

$P$ ៖ ប្រាក់ដើម (Principal)
$R$ ៖ អត្រាការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំគិតជា $\%$ (Annual Interest Rate)
$T$ ៖ រយៈពេលគិតជាឆ្នាំ (Time in years)
$I$ ៖ ប្រាក់ការទទួលបាន (Interest)
ប្រាក់សរុបចុងគ្រា $A = P + I$

ឧទាហរណ៍

លោកសុខបានផ្ញើប្រាក់សន្សំនៅធនាគារចំនួន $5\,000$ ដុល្លារ ដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់សាមញ្ញ $6\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ។ រកប្រាក់ការ និងប្រាក់សរុបបន្ទាប់ពីផ្ញើរយៈពេល $3$ ឆ្នាំ។

ដំណោះស្រាយ

ប្រាក់ការទទួលបាន ៖
\[I = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{5000 \times 6 \times 3}{100} = 900\text{ ដុល្លារ}\]
ប្រាក់សរុបចុងគ្រា ៖
\[A = P + I = 5000 + 900 = 5\,900\text{ ដុល្លារ}\]

ការប្រាក់សាមញ្ញ

អ្នកស្រីចិន្តាបានខ្ចីប្រាក់ចំនួន $2\,000$ ដុល្លារពីគ្រឹះស្ថានមីក្រូហិរញ្ញវត្ថុមួយ ដោយអត្រាការប្រាក់ $9\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ សម្រាប់រយៈពេល $18$ ខែ ($1.5$ ឆ្នាំ)។ គណនាប្រាក់ការ និងប្រាក់សរុបដែលគាត់ត្រូវសង។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

សម្រួលផលធៀបខាងក្រោមឱ្យទៅជាផលធៀបសាមញ្ញបំផុត ៖

$24 : 36$
$45 : 75$
$128 : 96$

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលផលធៀប ៖

a. $24 : 36 = (24 \div 12) : (36 \div 12) = 2 : 3$
b. $45 : 75 = (45 \div 15) : (75 \div 15) = 3 : 5$
c. $128 : 96 = (128 \div 32) : (96 \div 32) = 4 : 3$

២លំហាត់ទី ២

សម្រួលផលធៀបដែលមានចំនួនទសភាគ និងប្រភាគ ៖

$1.5 : 2.5$
$\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{9}$
$0.75 : 1\dfrac{1}{2}$

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលផលធៀប ៖

a. $1.5 : 2.5 = 15 : 25 = 3 : 5$
b. $\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{2} = 3 : 2$
c. $0.75 : 1.5 = 75 : 150 = 1 : 2$

៣លំហាត់ទី ៣

សម្រួលផលធៀបដែលមានឯកតារង្វាស់ ៖

$45\,\text{cm} : 1.5\,\text{m}$
$250\,\text{g} : 1.5\,\text{kg}$
$40\,\text{mn} : 2\,\text{h}$

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលផលធៀបរង្វាស់ ៖

a. $45\,\text{cm} : 150\,\text{cm} = 45 : 150 = 3 : 10$
b. $250\,\text{g} : 1500\,\text{g} = 250 : 1500 = 1 : 6$
c. $40\,\text{mn} : 120\,\text{mn} = 40 : 120 = 1 : 3$

៤លំហាត់ទី ៤

សម្រួលផលធៀប ៣ តួ ៖

$12 : 18 : 30$
$\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{4}$

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលផលធៀប ៣ តួ ៖

a. $12 : 18 : 30 = (12\div 6) : (18\div 6) : (30\div 6) = 2 : 3 : 5$
b. គុណនឹង $12$ (PPCM នៃ 2, 3, 4) ៖
\[\left(\frac{1}{2} \times 12\right) : \left(\frac{1}{3} \times 12\right) : \left(\frac{1}{4} \times 12\right) = 6 : 4 : 3\]

៥លំហាត់ទី ៥

រកតម្លៃនៃ $x$ ក្នុងសមាមាត្រខាងក្រោម ៖

$\dfrac{x}{15} = \dfrac{8}{20}$
$\dfrac{14}{x} = \dfrac{21}{18}$
$x : 9 = 28 : 36$

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃនៃ $x$ ៖

a. $x = \dfrac{15 \times 8}{20} = 6$
b. $x = \dfrac{14 \times 18}{21} = 12$
c. $x = \dfrac{9 \times 28}{36} = 7$

៦លំហាត់ទី ៦

រកតម្លៃនៃ $x$ ក្នុងសមាមាត្រ ៖

$\dfrac{2x + 1}{5} = \dfrac{9}{15}$
$\dfrac{4}{x - 3} = \dfrac{2}{7}$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមាមាត្រ ៖

a. $\dfrac{2x+1}{5} = \dfrac{3}{5} \implies 2x+1 = 3 \implies 2x = 2 \implies x = 1$
b. $2(x-3) = 28 \implies x-3 = 14 \implies x = 17$

៧លំហាត់ទី ៧

រកតម្លៃនៃ $x$ និង $y$ បើ $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{7}$ និង $x + y = 60$។

មើលដំណោះស្រាយ

រក $x$ និង $y$ ៖

\[\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = \frac{x+y}{3+7} = \frac{60}{10} = 6\]

$x = 3 \times 6 = 18$ , $y = 7 \times 6 = 42$។

៨លំហាត់ទី ៨

រកតម្លៃនៃ $a$ និង $b$ បើ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{8}$ និង $b - a = 24$។

មើលដំណោះស្រាយ

រក $a$ និង $b$ ៖

\[\frac{a}{5} = \frac{b}{8} = \frac{b-a}{8-5} = \frac{24}{3} = 8\]

$a = 5 \times 8 = 40$ , $b = 8 \times 8 = 64$។

៩លំហាត់ទី ៩

រកតម្លៃ $a, b, c$ បើ $a : b : c = 3 : 4 : 5$ និង $a + b + c = 180$។

មើលដំណោះស្រាយ

រក $a, b, c$ ៖

\[\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{a+b+c}{3+4+5} = \frac{180}{12} = 15\]

$a = 45 , b = 60 , c = 75$។

១០លំហាត់ទី ១០

រកតម្លៃ $x, y, z$ បើ $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{8}$ និង $2x + y - z = 15$។

មើលដំណោះស្រាយ

រក $x, y, z$ ៖ តាង $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{8} = k \implies x = 2k, y = 5k, z = 8k$។
ជំនួសចូល ៖ $2(2k) + 5k - 8k = 15 \implies 4k + 5k - 8k = 15 \implies k = 15$។
$x = 30 , y = 75 , z = 120$។

១១លំហាត់ទី ១១

ដីឡូតិ៍មួយរាងចតុកោណកែងមានផលធៀបរវាងបណ្ដោយ និងទទឹងស្មើ $5 : 3$។ បើបរិមាត្រដីឡូតិ៍នោះស្មើ $160\,\text{m}$ ចូរគណនាបណ្ដោយ ទទឹង និងក្រឡាផ្ទៃនៃដីនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ដីឡូតិ៍ចតុកោណកែង ៖ កន្លះបរិមាត្រ ៖ $160 \div 2 = 80\,\text{m}$ ($L + l = 80$)។
$\dfrac{L}{5} = \dfrac{l}{3} = \dfrac{80}{8} = 10$។
បណ្ដោយ $L = 50\,\text{m}$ , ទទឹង $l = 30\,\text{m}$។
ក្រឡាផ្ទៃ $S = 50 \times 30 = 1500\,\text{m}^2$។

១២លំហាត់ទី ១២

ក្នុងល្បាយបេតុងមួយ គេលាយស៊ីម៉ង់ត៍ ខ្សាច់ និងគ្រួស តាមផលធៀប $1 : 2 : 3$ តាមម៉ាស។ បើគេត្រូវការបេតុងទម្ងន់ $1200\,\text{kg}$ តើត្រូវការពាក់ព័ន្ធវត្ថុធាតុនីមួយៗប៉ុន្មានគីឡូក្រាម?

មើលដំណោះស្រាយ

ល្បាយបេតុង ៖ ផលបូកភាគ ៖ $1 + 2 + 3 = 6$ ភាគ។
តម្លៃ ១ ភាគ ៖ $1200 \div 6 = 200\,\text{kg}$។

ស៊ីម៉ង់ត៍ ៖ $1 \times 200 = 200\,\text{kg}$
ខ្សាច់ ៖ $2 \times 200 = 400\,\text{kg}$
គ្រួស ៖ $3 \times 200 = 600\,\text{kg}$

១៣លំហាត់ទី ១៣

បុរសម្នាក់ចែកមរតកទឹកប្រាក់ $72\,000$ ដុល្លារ ឱ្យកូនប្រុស និងកូនស្រីតាមផលធៀប $5 : 4$។ រកប្រាក់ដែលកូនម្នាក់ៗទទួលបាន។

មើលដំណោះស្រាយ

ចែកមរតក ៖ $\dfrac{\text{ប្រុស}}{5} = \dfrac{\text{ស្រី}}{4} = \dfrac{72\,000}{9} = 8\,000$ ដុល្លារ។
កូនប្រុសទទួលបាន ៖ $5 \times 8\,000 = 40\,000$ ដុល្លារ។
កូនស្រីទទួលបាន ៖ $4 \times 8\,000 = 32\,000$ ដុល្លារ។

១៤លំហាត់ទី ១៤

ត្រីកោណមួយមានរង្វាស់ជ្រុងទាំងបីសមាមាត្រនឹង $3 : 4 : 5$។ បើបរិមាត្រត្រីកោណស្មើ $48\,\text{cm}$ ចូរគណនាប្រវែងជ្រុងនីមួយៗនៃត្រីកោណ។

មើលដំណោះស្រាយ

ជ្រុងត្រីកោណ ៖ $3k + 4k + 5k = 48 \implies 12k = 48 \implies k = 4$។
ជ្រុងទាំងបីគឺ ៖ $12\,\text{cm} , 16\,\text{cm} , 20\,\text{cm}$។

១៥លំហាត់ទី ១៥

គេដឹងថា $y$ សមាមាត្រស្របនឹង $x$។ បើ $x = 5$ គេបាន $y = 35$។

រកមេគុណសមាមាត្រ $k$ និងសរសេរសមីការតាង $y$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$។
គណនាតម្លៃ $y$ ពេល $x = 12$។
គណនាតម្លៃ $x$ ពេល $y = 84$។

មើលដំណោះស្រាយ

សមាមាត្រស្រប ៖

a. $k = \dfrac{y}{x} = \dfrac{35}{5} = 7 \implies y = 7x$
b. $x = 12 \implies y = 7 \times 12 = 84$
c. $y = 84 \implies x = \dfrac{84}{7} = 12$

១៦លំហាត់ទី ១៦

គេដឹងថា $y$ សមាមាត្រច្រាសនឹង $x$។ បើ $x = 6$ គេបាន $y = 8$។

រកមេគុណសមាមាត្រច្រាស $k$ និងសរសេរសមីការតាង $y$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$។
គណនាតម្លៃ $y$ ពេល $x = 16$។
គណនាតម្លៃ $x$ ពេល $y = 12$។

មើលដំណោះស្រាយ

សមាមាត្រច្រាស ៖

a. $k = x \times y = 6 \times 8 = 48 \implies y = \dfrac{48}{x}$
b. $x = 16 \implies y = \dfrac{48}{16} = 3$
c. $y = 12 \implies x = \dfrac{48}{12} = 4$

១៧លំហាត់ទី ១៧

តារាងខាងក្រោមបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាង $x$ និង $y$ ជាទំហំសមាមាត្រស្រប។ ចូរបំពេញចន្លោះប្រហោងក្នុងតារាង ៖

$x$	$2$	$5$	$8$	…	$15$
$y$	$8$	…	…	$44$	…

មើលដំណោះស្រាយ

បំពេញតារាងសមាមាត្រស្រប ($k = 8/2 = 4$) ៖

$x = 5 \implies y = 20$
$x = 8 \implies y = 32$
$y = 44 \implies x = 44 \div 4 = 11$
$x = 15 \implies y = 60$

១៨លំហាត់ទី ១៨

តារាងខាងក្រោមបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាង $x$ និង $y$ ជាទំហំសមាមាត្រច្រាស។ ចូរបំពេញចន្លោះប្រហោង ៖

$x$	$2$	$4$	$6$	…	$24$
$y$	$36$	…	…	$8$	…

មើលដំណោះស្រាយ

បំពេញតារាងសមាមាត្រច្រាស ($k = 2 \times 36 = 72$) ៖

$x = 4 \implies y = 72 \div 4 = 18$
$x = 6 \implies y = 72 \div 6 = 12$
$y = 8 \implies x = 72 \div 8 = 9$
$x = 24 \implies y = 72 \div 24 = 3$

១៩លំហាត់ទី ១៩

រថយន្តមួយបើកបរដោយល្បឿនថេរ ប្រើសាំង $8\,\text{L}$ សម្រាប់ចម្ងាយ $100\,\text{km}$។

តើបើកបរចម្ងាយ $350\,\text{km}$ ត្រូវប្រើសាំងប៉ុន្មានលីត្រ?
បើមានសាំងក្នុងធុង $20\,\text{L}$ តើរថយន្តអាចបើកបរបានចម្ងាយប៉ុន្មានគីឡូក្រាម?

មើលដំណោះស្រាយ

ការប្រើប្រាស់សាំង ៖

a. $\dfrac{8}{100} = \dfrac{s}{350} \implies s = \dfrac{8 \times 350}{100} = 28\,\text{L}$
b. $d = \dfrac{20 \times 100}{8} = 250\,\text{km}$

២០លំហាត់ទី ២០

កម្មករ ១២ នាក់សង់ជញ្ជាំងមួយហើយក្នុងរយៈពេល ៨ ថ្ងៃ។

បើមានកម្មករ ១៦ នាក់ តើត្រូវប្រើពេលប៉ុន្មានថ្ងៃ?
បើគេចង់សង់ជញ្ជាំងនោះឱ្យហើយក្នុងពេលត្រឹមតែ ៦ ថ្ងៃ តើគេត្រូវការពលកម្មកម្មករសរុបប៉ុន្មាននាក់?

មើលដំណោះស្រាយ

ពលកម្មកម្មករ ៖

a. $16 \times t = 12 \times 8 = 96 \implies t = \dfrac{96}{16} = 6$ ថ្ងៃ
b. $n \times 6 = 96 \implies n = \dfrac{96}{6} = 16$ នាក់

២១លំហាត់ទី ២១

ម៉ាស៊ីនបោះពុម្ព ៣ គ្រឿង បោះពុម្ពសៀវភៅបាន $450$ ក្បាលក្នុងរយៈពេល ២ ម៉ោង។ តើម៉ាស៊ីនបោះពុម្ព ៥ គ្រឿងប្រភេទដដែលនោះ អាចបោះពុម្ពសៀវភៅបានប៉ុន្មានក្បាលក្នុងរយៈពេល ៤ ម៉ោង?

មើលដំណោះស្រាយ

ម៉ាស៊ីនបោះពុម្ព ៖ ផលិតភាពម៉ាស៊ីន ១ ក្នុង ១ ម៉ោង ៖

\[\frac{450}{3 \times 2} = 75\text{ ក្បាល/ម៉ោង}\]

ម៉ាស៊ីន ៥ គ្រឿង ក្នុង ៤ ម៉ោង ៖

\[5 \times 4 \times 75 = 1500\text{ ក្បាល}\]

២២លំហាត់ទី ២២

បំពេញតារាងបំប្លែងទម្រង់ចំនួនខាងក្រោម ៖

ប្រភាគ	ចំនួនទសភាគ	ភាគរយ
$\dfrac{3}{8}$	…	…
…	$0.65$	…
…	…	$45\%$
$1\dfrac{1}{4}$	…	…

មើលដំណោះស្រាយ

បំពេញតារាង ៖

$\dfrac{3}{8} = 0.375 = 37.5\%$
$0.65 = \dfrac{65}{100} = \dfrac{13}{20} = 65\%$
$45\% = \dfrac{45}{100} = \dfrac{9}{20} = 0.45$
$1\dfrac{1}{4} = 1.25 = 125\%$

២៣លំហាត់ទី ២៣

គណនាតម្លៃ ៖

$18\%$ នៃ $250$
$35\%$ នៃ $800\,\text{m}$
$120\%$ នៃ $45\,000$ រៀល

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃភាគរយ ៖

a. $250 \times 0.18 = 45$
b. $800 \times 0.35 = 280\,\text{m}$
c. $45\,000 \times 1.2 = 54\,000$ រៀល

២៤លំហាត់ទី ២៤

រកចំនួនដើម $X$ ៖

បើ $30\%$ នៃ $X$ ស្មើ $75$
បើ $12.5\%$ នៃ $X$ ស្មើ $40$

មើលដំណោះស្រាយ

រកចំនួនដើម ៖

a. $X = 75 \div 0.3 = 250$
b. $X = 40 \div 0.125 = 320$

២៥លំហាត់ទី ២៥

រកភាគរយ ៖

តើ $25$ ជាប៉ុន្មានភាគរយនៃ $125$?
តើ $18\,\text{mn}$ ជាប៉ុន្មានភាគរយនៃ $2$ ម៉ោង?

មើលដំណោះស្រាយ

រកភាគរយ ៖

a. $\dfrac{25}{125} \times 100\% = 20\%$
b. $\dfrac{18}{120} \times 100\% = 15\%$

២៦លំហាត់ទី ២៦

ក្នុងសាលារៀនមួយមានសិស្សសរុប $800$ នាក់។ ក្នុងនោះសិស្សស្រីមានចំនួន $440$ នាក់។ គណនាភាគរយសិស្សស្រី និងភាគរយសិស្សប្រុស។

មើលដំណោះស្រាយ

ភាគរយសិស្ស ៖ សិស្សស្រី ៖ $\dfrac{440}{800} \times 100\% = 55\%$។
សិស្សប្រុស ៖ $100\% - 55\% = 45\%$។

២៧លំហាត់ទី ២៧

ក្នុងការប្រឡងមួយ មានបេក្ខជនចូលរួម $450$ នាក់ ហើយបេក្ខជនប្រឡងជាប់មាន $378$ នាក់។ គណនាភាគរយបេក្ខជនប្រឡងជាប់ និងភាគរយបេក្ខជនធ្លាក់។

មើលដំណោះស្រាយ

ភាគរយប្រឡង ៖ ជាប់ ៖ $\dfrac{378}{450} \times 100\% = 84\%$។
ធ្លាក់ ៖ $100\% - 84\% = 16\%$ (ឬ $72$ នាក់)។

២៨លំហាត់ទី ២៨

តម្លៃសាំងមួយលីត្របានឡើងថ្លៃពី $4\,000$ រៀល ដល់ $4\,600$ រៀល។ គណនាអត្រាភាគរយនៃការឡើងថ្លៃ។

មើលដំណោះស្រាយ

ភាគរយឡើងថ្លៃសាំង ៖ ប្រាក់ឡើងថ្លៃ ៖ $4600 - 4000 = 600$ រៀល។
អត្រាឡើងថ្លៃ ៖ $\dfrac{600}{4000} \times 100\% = 15\%$។

២៩លំហាត់ទី ២៩

ចំនួនប្រជាជនក្នុងឃុំមួយបានថយចុះពី $12\,000$ នាក់ មកនៅត្រឹម $11\,160$ នាក់។ គណនាអត្រាភាគរយនៃការថយចុះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ភាគរយថយចុះប្រជាជន ៖ ចំនួនថយចុះ ៖ $12\,000 - 11\,160 = 840$ នាក់។
អត្រាថយចុះ ៖ $\dfrac{840}{12\,000} \times 100\% = 7\%$។

៣០លំហាត់ទី ៣០

ទូរស័ព្ទមួយគ្រឿងមានតម្លៃកំណត់ $350$ ដុល្លារ។ ហាងបានលក់បញ្ចុះតម្លៃ $12\%$។

គណនាប្រាក់ដែលបានបញ្ចុះ។
គណនាតម្លៃលក់ជាក់ស្ដែង។

មើលដំណោះស្រាយ

បញ្ចុះតម្លៃទូរស័ព្ទ ៖

a. ប្រាក់បញ្ចុះ ៖ $350 \times 12\% = 42$ ដុល្លារ
b. តម្លៃលក់ជាក់ស្ដែង ៖ $350 - 42 = 308$ ដុល្លារ

៣១លំហាត់ទី ៣១

កុំព្យូទ័រមួយគ្រឿងលក់ក្នុងតម្លៃ $540$ ដុល្លារ បន្ទាប់ពីបានបញ្ចុះតម្លៃ $10\%$។ រកតម្លៃដើមកំណត់នៃកុំព្យូទ័រនោះមុនពេលបញ្ចុះតម្លៃ។

មើលដំណោះស្រាយ

តម្លៃដើមកុំព្យូទ័រ ៖ $540$ ដុល្លារ ត្រូវនឹង $90\%$ នៃតម្លៃដើម ៖

\[\text{តម្លៃដើម} = \frac{540}{0.9} = 600\text{ ដុល្លារ}\]

៣២លំហាត់ទី ៣២

ឈ្មួញម្នាក់ទិញម៉ូតូមកក្នុងតម្លៃ $1\,200$ ដុល្លារ រួចលក់ចេញវិញក្នុងតម្លៃ $1\,380$ ដុល្លារ។ គណនាប្រាក់ចំណេញ និងភាគរយប្រាក់ចំណេញធៀបនឹងថ្លៃដើម។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រាក់ចំណេញម៉ូតូ ៖ ប្រាក់ចំណេញ ៖ $1380 - 1200 = 180$ ដុល្លារ។
$\%$ ចំណេញ $ = \dfrac{180}{1200} \times 100\% = 15\%$។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

អាជីវករម្នាក់ទិញផ្លែឈើអស់ប្រាក់ $200\,000$ រៀល។ ដោយសារផ្លែឈើខូចគុណភាពខ្លះ គាត់លក់ចេញវិញបានប្រាក់ត្រឹមតែ $170\,000$ រៀលប៉ុណ្ណោះ។ គណនាប្រាក់ខាត និងភាគរយប្រាក់ខាត។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រាក់ខាតផ្លែឈើ ៖ ប្រាក់ខាត ៖ $200\,000 - 170\,000 = 30\,000$ រៀល។
$\%$ ខាត $ = \dfrac{30\,000}{200\,000} \times 100\% = 15\%$។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

ហាងមួយទិញទូរទឹកកកមកថ្លៃ $280$ ដុល្លារ។ តើហាងត្រូវដាក់លក់ក្នុងតម្លៃប៉ុន្មាន ដើម្បីទទួលបានប្រាក់ចំណេញ $25\%$ លើថ្លៃដើម?

មើលដំណោះស្រាយ

តម្លៃលក់ទូរទឹកកក ៖ ប្រាក់ចំណេញ ៖ $280 \times 25\% = 70$ ដុល្លារ។
តម្លៃលក់ ៖ $280 + 70 = 350$ ដុល្លារ។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

ទំនិញមួយមានតម្លៃ $80$ ដុល្លារ។ គេត្រូវបង់ពន្ធអាករលើតម្លៃបន្ថែម (VAT) $10\%$។ គណនាប្រាក់ពន្ធ និងតម្លៃសរុបដែលត្រូវទូទាត់។

មើលដំណោះស្រាយ

ពន្ធ VAT ៖ ប្រាក់ពន្ធ ៖ $80 \times 10\% = 8$ ដុល្លារ។
ប្រាក់សរុបត្រូវបង់ ៖ $80 + 8 = 88$ ដុល្លារ។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

ប្រាក់បៀវត្សរ៍បុគ្គលិកម្នាក់គឺ $400$ ដុល្លារក្នុងមួយខែ។ បន្ទាប់ពីធ្វើការបាន ១ ឆ្នាំ គាត់ទទួលបានការតម្លើងប្រាក់ខែ $8\%$។ គណនាប្រាក់បៀវត្សរ៍ថ្មីរបស់គាត់។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រាក់បៀវត្សរ៍ថ្មី ៖ ប្រាក់ឡើង ៖ $400 \times 8\% = 32$ ដុល្លារ។
ប្រាក់ខែថ្មី ៖ $400 + 32 = 432$ ដុល្លារ។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

គណនាការប្រាក់សាមញ្ញ ៖

$P = \$3000 , R = 7\% , T = 4$ ឆ្នាំ
$P = \$8000 , R = 5.5\% , T = 2.5$ ឆ្នាំ

មើលដំណោះស្រាយ

ការប្រាក់សាមញ្ញ ៖

a. $I = \dfrac{3000 \times 7 \times 4}{100} = 840$ ដុល្លារ
b. $I = \dfrac{8000 \times 5.5 \times 2.5}{100} = 1100$ ដុល្លារ

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

លោកវណ្ណាផ្ញើប្រាក់ $6\,000$ ដុល្លារនៅធនាគារក្នុងអត្រាការប្រាក់សាមញ្ញ $6.5\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ រយៈពេល ៣ ឆ្នាំ។

គណនាប្រាក់ការដែលគាត់ទទួលបាន។
គណនាប្រាក់សរុបក្នុងគណនីរបស់គាត់នៅចុងឆ្នាំទី៣។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រាក់សន្សំធនាគារ ៖

a. $I = \dfrac{6000 \times 6.5 \times 3}{100} = 1170$ ដុល្លារ
b. $A = 6000 + 1170 = 7170$ ដុល្លារ

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

អ្នកស្រីសុភាបានខ្ចីប្រាក់ចំនួន $5\,000$ ដុល្លារសម្រាប់អាជីវកម្ម ដោយត្រូវសងការប្រាក់សាមញ្ញសរុបចំនួន $1\,200$ ដុល្លារក្នុងរយៈពេល ៣ ឆ្នាំ។ គណនាអត្រាការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំ $R$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកអត្រាការប្រាក់ $R$ ៖

\[R = \frac{100 \times I}{P \times T} = \frac{100 \times 1200}{5000 \times 3} = \frac{120\,000}{15\,000} = 8\%\]

៤០លំហាត់ទី ៤០

តើត្រូវផ្ញើប្រាក់ដើម $P$ ប៉ុន្មានដុល្លារ ដើម្បីទទួលបានការប្រាក់ $450$ ដុល្លារ ក្នុងរយៈពេល ២ ឆ្នាំ តាមអត្រាការប្រាក់សាមញ្ញ $5\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ?

មើលដំណោះស្រាយ

រកប្រាក់ដើម $P$ ៖

\[P = \frac{100 \times I}{R \times T} = \frac{100 \times 450}{5 \times 2} = \frac{45\,000}{10} = 4\,500\text{ ដុល្លារ}\]

៤១លំហាត់ទី ៤១

តើត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានឆ្នាំ ដើម្បីឱ្យប្រាក់ដើម $2\,000$ ដុល្លារ កើនឡើងដល់ $2\,600$ ដុល្លារ តាមអត្រាការប្រាក់សាមញ្ញ $6\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ?

មើលដំណោះស្រាយ

រកពេលវេលា $T$ ៖ ការប្រាក់ $I = 2600 - 2000 = 600$ ដុល្លារ។

\[T = \frac{100 \times 600}{2000 \times 6} = \frac{60\,000}{12\,000} = 5\text{ ឆ្នាំ}\]

៤២លំហាត់ទី ៤២

ផ្ញើប្រាក់ដើម $10\,000$ ដុល្លារ ក្នុងរយៈពេល ៩ ខែ ($0.75$ ឆ្នាំ) ទទួលបានការប្រាក់ $600$ ដុល្លារ។ រកអត្រាការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកអត្រាការប្រាក់ $R$ ៖

\[R = \frac{100 \times 600}{10\,000 \times 0.75} = \frac{60\,000}{7\,500} = 8\%\]

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

ក្នុងសហគ្រាសមួយ មានកម្មករ ៣ នាក់ $A, B, C$ ទទួលបានប្រាក់រង្វាន់សរុប $1800$ ដុល្លារ។ ប្រាក់រង្វាន់ត្រូវបានបែងចែកតាមសមាមាត្រនៃចំនួនថ្ងៃធ្វើការ គឺ $20$ ថ្ងៃ, $22$ ថ្ងៃ និង $24$ ថ្ងៃ។ គណនាប្រាក់រង្វាន់ដែលកម្មករម្នាក់ៗទទួលបាន។

មើលដំណោះស្រាយ

ចែកប្រាក់រង្វាន់ ៖ ផលបូកថ្ងៃ ៖ $20 + 22 + 24 = 66$ ថ្ងៃ។
តម្លៃ ១ ថ្ងៃ ៖ $\dfrac{1800}{66} = \dfrac{300}{11}$ ដុល្លារ។

កម្មករ $A$ ៖ $20 \times \dfrac{300}{11} = \dfrac{6000}{11} \approx 545.45$ ដុល្លារ
កម្មករ $B$ ៖ $22 \times \dfrac{300}{11} = 600$ ដុល្លារ
កម្មករ $C$ ៖ $24 \times \dfrac{300}{11} = \dfrac{7200}{11} \approx 654.55$ ដុល្លារ

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

រកពីរចំនួនដឹងថា ផលធៀបនៃចំនួនទាំងពីរគឺ $3 : 7$ ហើយផលបូកការ៉េនៃចំនួនទាំងពីរស្មើនឹង $232$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកពីរចំនួន ៖ តាងចំនួនទាំងពីរគឺ $3k$ និង $7k$ ($k > 0$)។
$(3k)^2 + (7k)^2 = 232 \implies 9k^2 + 49k^2 = 232$

\[58k^2 = 232 \implies k^2 = 4 \implies k = 2\]

ចំនួនទាំងពីរគឺ $6$ និង $14$។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

បើ $a : b = 2 : 3$ និង $b : c = 4 : 5$ ចូររកផលធៀបបន្ត $a : b : c$។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលធៀបបន្ត ៖ $a : b = 2 : 3 = 8 : 12$។
$b : c = 4 : 5 = 12 : 15$។
ដូចនេះ $a : b : c = 8 : 12 : 15$។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

បើ $x : y = 3 : 4$ ចូរគណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖

\[E = \frac{5x - 2y}{2x + 3y}\]

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃកន្សោម ៖ ចែកភាគយក និងភាគបែងនឹង $y$ ៖

\[E = \frac{5\left(\frac{x}{y}\right) - 2}{2\left(\frac{x}{y}\right) + 3} = \frac{5\left(\frac{3}{4}\right) - 2}{2\left(\frac{3}{4}\right) + 3} = \frac{\frac{15}{4} - 2}{\frac{6}{4} + 3} = \frac{\frac{7}{4}}{\frac{18}{4}} = \frac{7}{18}\]

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

ទឹកអំបិលមួយកែវមានទម្ងន់ $300\,\text{g}$ ដែលមានកំហាប់អំបិល $5\%$។ តើគេត្រូវថែមទឹកសុទ្ធប៉ុន្មានក្រាមទៀត ដើម្បីឱ្យទឹកអំបិលនោះមានកំហាប់ចុះមកនៅត្រឹម $3\%$?

មើលដំណោះស្រាយ

ល្បាយទឹកអំបិល ៖ ទម្ងន់អំបិលសុទ្ធ ៖ $300 \times 5\% = 15\,\text{g}$។
តាង $w$ ជាទម្ងន់ទឹកសុទ្ធដែលត្រូវថែម (ក្រាម)។
កំហាប់ថ្មី ៖ $\dfrac{15}{300 + w} = \dfrac{3}{100}$

\[3(300 + w) = 1500 \implies 300 + w = 500 \implies w = 200\,\text{g}\]

ដូចនេះ ត្រូវថែមទឹកសុទ្ធ $200\,\text{g}$។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

ទឹកស្ករមួយធុងមានទម្ងន់ $200\,\text{g}$ មានកំហាប់ស្ករ $10\%$។ តើគេត្រូវបន្ថែមស្ករសុទ្ធប៉ុន្មានក្រាមទៀត ដើម្បីឱ្យកំហាប់ស្ករកើនឡើងដល់ $20\%$?

មើលដំណោះស្រាយ

ល្បាយទឹកស្ករ ៖ ទម្ងន់ស្ករដំបូង ៖ $200 \times 10\% = 20\,\text{g}$។
តាង $s$ ជាទម្ងន់ស្ករសុទ្ធត្រូវថែម ៖

\[\frac{20 + s}{200 + s} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}\]

\[5(20 + s) = 200 + s \implies 100 + 5s = 200 + s\]

\[4s = 100 \implies s = 25\,\text{g}\]

ត្រូវបន្ថែមស្ករសុទ្ធ $25\,\text{g}$។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

ទំនិញមួយត្រូវបានឡើងថ្លៃ $20\%$ រួចហើយបន្ទាប់មកត្រូវបានបញ្ចុះតម្លៃ $20\%$ វិញលើតម្លៃថ្មីនោះ។

តើតម្លៃចុងក្រោយស្មើ ធំជាង ឬតូចជាងតម្លៃដើម?
គណនាភាគរយនៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃសរុបធៀបនឹងតម្លៃដើមដំបូង។

មើលដំណោះស្រាយ

ការឡើងថ្លៃ រួចបញ្ចុះតម្លៃ ៖ តាងតម្លៃដើម $100$។
ឡើង $20\% \implies 120$។
បញ្ចុះ $20\%$ លើ $120 \implies 120 \times 0.2 = 24$។
តម្លៃចុងក្រោយ ៖ $120 - 24 = 96$។

a. តម្លៃចុងក្រោយ តូចជាង តម្លៃដើមដំបូង។
b. ការផ្លាស់ប្តូរសរុបគឺ ថយចុះ $4\%$។

៥០លំហាត់ទី ៥០

ប្រាក់បៀវត្សរ៍របស់វិស្វករម្នាក់ត្រូវបានកាត់ពន្ធតាមកម្រិត ៖

មិនគិតពន្ធចំពោះប្រាក់ចំណូលក្រោម $300$ ដុល្លារ
គិតពន្ធ $5\%$ ចំពោះចំណែកប្រាក់ចំណូលពី $300$ ដល់ $500$ ដុល្លារ
គិតពន្ធ $10\%$ ចំពោះចំណែកប្រាក់ចំណូលលើសពី $500$ ដុល្លារ

បើគាត់ទទួលបានប្រាក់បៀវត្សរ៍សរុប $800$ ដុល្លារក្នុងមួយខែ គណនាប្រាក់ពន្ធសរុបដែលគាត់ត្រូវបង់ និងប្រាក់ខែសុទ្ធដែលគាត់ទទួលបាន។

មើលដំណោះស្រាយ

ការកាត់ពន្ធប្រាក់បៀវត្សរ៍ ៖ ប្រាក់ខែសរុប $800$ ដុល្លារ ៖

ក្រោម $300$ ដុល្លារ ៖ $0$ ដុល្លារ
ពី $300$ ដល់ $500$ ដុល្លារ ($200$ ដុល្លារ) ៖ $200 \times 5\% = 10$ ដុល្លារ
លើសពី $500$ ដុល្លារ ($800 - 500 = 300$ ដុល្លារ) ៖ $300 \times 10\% = 30$ ដុល្លារ

ពន្ធសរុប ៖ $10 + 30 = 40$ ដុល្លារ។
ប្រាក់ខែសុទ្ធទទួលបាន ៖ $800 - 40 = 760$ ដុល្លារ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៣ ទំហំសមាមាត្រ និងភាគរយ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត

ប្រភាគ	ចំនួនទសភាគ	ភាគរយ
\(\dfrac{3}{8}\)	…	…
…	\(0.65\)	…
…	…	\(45\%\)
\(1\dfrac{1}{4}\)	…	…