ស្វ័យគុណ (Powers or Exponents) គឺជាភាសាគណិតវិទ្យាដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុតមួយដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីកត់ត្រា និងគណនាចំនួនដែលធំមហាសាល ឬតូចល្អិតបំផុតក្នុងសកលលោក ៖
Archimedes នៃ Syracuse (២៨៧–២១២ មុន គ.ស.)៖ ក្នុងស្នាដៃដ៏ល្បីល្បាញឈ្មោះថា "The Sand Reckoner" (អ្នករាប់គ្រាប់ខ្សាច់) គណិតវិទូក្រិកបុរាណ Archimedes បានបង្កើតប្រព័ន្ធរបាប់ស្វ័យគុណនៃគោល \(10\) លើកដំបូង ដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណចំនួនគ្រាប់ខ្សាច់ដែលអាចបំពេញពិភពចក្រវាលទាំងមូល ដោយលោកបានគណនាឃើញរហូតដល់ \(10^{63}\) គ្រាប់! លោកក៏ជាមនុស្សដំបូងដែលបានរកឃើញលក្ខណៈនៃស្វ័យគុណ \(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\)។
Nicolas Chuquet (១៤៤៥–១៤៨៨)៖ គណិតវិទូជនជាតិបារាំង បានប្រើប្រាស់និទស្សន្តដើម្បីតាងស្វ័យគុណនៅក្នុងសៀវភៅ "Triparty en la science des nombres"។
René Descartes (១៥៩៦–១៦៥០)៖ គណិតវិទូ និងទស្សនវិទូជនជាតិបារាំង បានបង្កើតនិមិត្តសញ្ញានិទស្សន្តទំនើបដូចដែលយើងប្រើប្រាស់សព្វថ្ងៃ (\(a^2, a^3, x^n\)) នៅក្នុងសៀវភៅធរណីមាត្រ "La Géométrie" ក្នុងឆ្នាំ ១៦៣៧។
John Wallis (១៦១៦–១៧០៣) និង Sir Isaac Newton (១៦៤៣–១៧២៧)៖ បានពង្រីកសញ្ញាណនៃស្វ័យគុណពីនិទស្សន្តជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ទៅជានិទស្សន្តអវិជ្ជមាន (\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)) និងនិទស្សន្តជាប្រភាគ (\(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\))។
សារសំខាន់ក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រទំនើប៖ សព្វថ្ងៃនេះ ស្វ័យគុណត្រូវបានប្រើក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារវិទ្យាសាស្ត្រ (Scientific Notation) ដើម្បីវាស់ចម្ងាយពីផែនដីទៅកាន់កាឡាក់ស៊ីនានា (គិតជាឆ្នាំពន្លឺ \(9.46 \times 10^{12}\,\text{km}\)), វាស់ម៉ាសអាតូម និងទំហំវីរុស (\(10^{-9}\,\text{m}\))។
សញ្ញាណនៃស្វ័យគុណ
ស្វ័យគុណដែលមាននិទស្សន្តជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន
បើ \(a\) ជាចំនួនសនិទាន និង \(n\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន (\(n \ge 1\)) នោះ ស្វ័យគុណទី \(n\) នៃ \(a\) គឺជាផលគុណនៃ \(n\) កត្តាស្មើៗគ្នានឹង \(a\) ៖
\(a\) ហៅថា គោល (Base)
\(n\) ហៅថា និទស្សន្ត (Exponent or Index)
\(a^n\) អានថា «\(a\) ស្វ័យគុណ \(n\)» ឬ «\(a\) លើកជាស្វ័យគុណ \(n\)»
ករណីពិសេស៖
\(a^1 = a\)
\(a^2 = a \times a\) (អានថា «\(a\) ការ៉េ»)
\(a^3 = a \times a \times a\) (អានថា «\(a\) គូប»)
ចំនួនវិជ្ជមានលើកជាស្វ័យគុណគូ ឬសេស តែងតែទទួលបានលទ្ធផល វិជ្ជមាន (\(> 0\))។
ចំនួនអវិជ្ជមានលើកជាស្វ័យគុណគូ ទទួលបានលទ្ធផល វិជ្ជមាន ៖ \((-a)^{2k} > 0\)។
ឧទាហរណ៍ ៖ \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9\)ចំនួនអវិជ្ជមានលើកជាស្វ័យគុណសេស ទទួលបានលទ្ធផល អវិជ្ជមាន ៖ \((-a)^{2k+1} < 0\)។
ឧទាហរណ៍ ៖ \((-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8\)ប្រយ័ត្ន ៖ \((-a)^n \ne -a^n\) (លើកលែងតែ \(n\) ជាចំនួនសេស)។
ឧទាហរណ៍ ៖ \((-4)^2 = 16\) រីឯ \(-4^2 = -(4 \times 4) = -16\)។
ស្វ័យគុណដែលមាននិទស្សន្តសូន្យ និងអវិជ្ជមាន
ចំពោះគ្រប់ចំនួនសនិទាន \(a \ne 0\) និងគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន \(n\) ៖
ស្វ័យគុណដែលមាននិទស្សន្តសូន្យ ស្មើនឹង \(1\) ជានិច្ច ៖
\[a^0 = 1 \quad{} (a \ne 0)\]ស្វ័យគុណដែលមាននិទស្សន្តអវិជ្ជមាន គឺជាចម្រាសនៃស្វ័យគុណដែលមាននិទស្សន្តវិជ្ជមាន ៖
\[a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad{}\text{និង}\quad{} \frac{1}{a^{-n}} = a^n \quad{} (a \ne 0)\]ចំពោះប្រភាគ ៖
\[\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n} \quad{} (a \ne 0, b \ne 0)\]
គណនាតម្លៃនៃស្វ័យគុណខាងក្រោម ៖
\(2^{-3}\)
\((-5)^0 + 3^{-1}\)
\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}\)
\(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\)
\((-5)^0 + 3^{-1} = 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}\)
\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{3^2}{2^2} = \dfrac{9}{4}\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖
\(A = 4^{-2} \times 2^5 - 10^0\)
\(B = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3} + \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1} \times \dfrac{4}{5}\)
លក្ខណៈ និងរូបមន្តនៃស្វ័យគុណ
ចំពោះគ្រប់ចំនួនសនិទាន \(a, b\) និងគ្រប់ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប \(m, n\) (ដោយចៀសវាងការចែកនឹងសូន្យ) ៖
ផលគុណស្វ័យគុណគោលដូចគ្នា ៖ \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
ផលចែកស្វ័យគុណគោលដូចគ្នា ៖ \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
ស្វ័យគុណនៃស្វ័យគុណ ៖ \((a^m)^n = a^{m \times n}\)
ស្វ័យគុណនៃផលគុណ ៖ \((a \times b)^n = a^n \times b^n\)
ស្វ័យគុណនៃផលចែក ៖ \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) (\(b \ne 0\))
សរសេរកន្សោមខាងក្រោមជាទម្រង់ស្វ័យគុណសម្រួលរួច ៖
\(P = \dfrac{2^3 \times 2^5 \times (2^2)^4}{2^7 \times 2^4}\)
\(Q = \dfrac{12^4 \times 15^3}{18^3 \times 10^4}\)
- \[\begin{aligned} P &= \frac{2^{3+5} \times 2^{2 \times 4}}{2^{7+4}} = \frac{2^8 \times 2^8}{2^{11}} = \frac{2^{16}}{2^{11}} = 2^{16-11} = 2^5 = 32 \end{aligned}\]
បំបែកគោលជាកត្តាបឋម (\(12 = 2^2 \times 3\), \(15 = 3 \times 5\), \(18 = 2 \times 3^2\), \(10 = 2 \times 5\)) ៖
\[\begin{aligned} Q &= \frac{(2^2 \times 3)^4 \times (3 \times 5)^3}{(2 \times 3^2)^3 \times (2 \times 5)^4} \\ &= \frac{(2^8 \times 3^4) \times (3^3 \times 5^3)}{(2^3 \times 3^6) \times (2^4 \times 5^4)} = \frac{2^8 \times 3^7 \times 5^3}{2^7 \times 3^6 \times 5^4} \\ &= 2^{8-7} \times 3^{7-6} \times 5^{3-4} = 2^1 \times 3^1 \times 5^{-1} = \frac{6}{5} = 1.2 \end{aligned}\]
សម្រួលកន្សោមខាងក្រោម ៖
\(M = \dfrac{a^4 \cdot b^7 \cdot (a^2 b)^3}{(a \cdot b^2)^4}\)
\(N = \dfrac{25^2 \times 8^3}{10^5 \times 2^{-1}}\)
ស្វ័យគុណនៃចំនួនដប់ និងទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ
ស្វ័យគុណនៃចំនួនដប់
និទស្សន្តវិជ្ជមាន ៖ \(10^1 = 10 \;,\; 10^2 = 100 \;,\; 10^3 = 1000 \;,\dots,\; 10^n = 1\underbrace{00\dots0}_{n \text{ លេខសូន្យ}}\)
និទស្សន្តអវិជ្ជមាន ៖ \(10^{-1} = 0.1 \;,\; 10^{-2} = 0.01 \;,\; 10^{-3} = 0.001 \;,\dots,\; 10^{-n} = \underbrace{0.00\dots0}_{n \text{ ខ្ទង់ទសភាគ}}1\)
ទម្រង់ស្តង់ដារវិទ្យាសាស្ត្រ (Scientific Notation)
ទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ ឬ ទម្រង់ស្តង់ដារ នៃចំនួនមួយ គឺការសរសេរចំនួននោះក្រោមរាង ៖
សរសេរចំនួនខាងក្រោមជាទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ ៖
\(149\,600\,000\,\text{km}\) (ចម្ងាយពីផែនដីទៅព្រះអាទិត្យ)
\(0.000\,000\,025\,\text{m}\) (ទំហំនៃភាគល្អិត)
រំកិលក្បៀសទៅឆ្វេង \(8\) ខ្ទង់ ៖ \(149\,600\,000 = 1.496 \times 10^8\,\text{km}\)។
រំកិលក្បៀសទៅស្ដាំ \(8\) ខ្ទង់ ៖ \(0.000\,000\,025 = 2.5 \times 10^{-8}\,\text{m}\)។
សរសេរជាទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ \(A \times 10^n\) ៖
\(54\,000\,000\)
\(0.000\,385\)
\((3 \times 10^4) \times (5 \times 10^7)\)
\(\dfrac{8.4 \times 10^9}{2.1 \times 10^3}\)
ឫសការ៉េ និងឫសគូប
បើ \(a \ge 0\) នោះ ឫសការ៉េ នៃ \(a\) តាងដោយ \(\sqrt{a}\) គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន \(x\) ដែល \(x^2 = a\)។
\[\sqrt{a} = x \iff x^2 = a \quad{} (x \ge 0)\]ឫសគូប នៃចំនួន \(a\) តាងដោយ \(\sqrt[3]{a}\) គឺជាចំនួន \(y\) ដែល \(y^3 = a\)។
\[\sqrt[3]{a} = y \iff y^3 = a\]
ចំពោះ \(a \ge 0, b > 0\) ៖
គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖ \(E = \sqrt{144} - \sqrt[3]{-125} + \sqrt{\dfrac{49}{16}}\)។
គណនា ៖
\(F = \sqrt{81} \times \sqrt[3]{64} - \sqrt{225} \div \sqrt{25}\)
\(G = \sqrt{3^2 + 4^2} + \sqrt{13^2 - 12^2}\)
លំហាត់អនុវត្តន៍
សរសេរផលគុណខាងក្រោមជាទម្រង់ស្វ័យគុណ ៖
\(4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4\)
\((-7) \times (-7) \times (-7)\)
\(\left(\dfrac{2}{3}\right) \times \left(\dfrac{2}{3}\right) \times \left(\dfrac{2}{3}\right) \times \left(\dfrac{2}{3}\right)\)
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរជាស្វ័យគុណ ៖
a. \(4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5\)
b. \((-7) \times (-7) \times (-7) = (-7)^3\)
c. \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4\)
គណនាតម្លៃនៃស្វ័យគុណ ៖
\(3^4\)
\((-2)^6\)
\(-2^6\)
\((-5)^3\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃនៃស្វ័យគុណ ៖
a. \(3^4 = 81\)
b. \((-2)^6 = 64\)
c. \(-2^6 = -64\)
d. \((-5)^3 = -125\)
គណនាតម្លៃនៃស្វ័យគុណប្រភាគ ៖
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^5\)
\(\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3\)
\(\left(-\dfrac{2}{5}\right)^4\)
\(-\left(\dfrac{3}{2}\right)^4\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាស្វ័យគុណប្រភាគ ៖
a. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{32}\)
b. \(\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3 = -\dfrac{27}{64}\)
c. \(\left(-\dfrac{2}{5}\right)^4 = \dfrac{16}{625}\)
d. \(-\left(\dfrac{3}{2}\right)^4 = -\dfrac{81}{16}\)
គណនាតម្លៃនៃស្វ័យគុណនិទស្សន្តសូន្យ និងអវិជ្ជមាន ៖
\(7^0\)
\((-15)^0\)
\(4^{-3}\)
\((-2)^{-5}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនានិទស្សន្តសូន្យ និងអវិជ្ជមាន ៖
a. \(7^0 = 1\)
b. \((-15)^0 = 1\)
c. \(4^{-3} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}\)
d. \((-2)^{-5} = \dfrac{1}{(-2)^5} = -\dfrac{1}{32}\)
សរសេរកន្សោមខាងក្រោមដោយប្រើនិទស្សន្តវិជ្ជមាន ៖
\(x^{-4}\)
\(\dfrac{1}{y^{-6}}\)
\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-3}\)
\(\dfrac{3 x^{-2}}{y^{-5}}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរដោយនិទស្សន្តវិជ្ជមាន ៖
a. \(x^{-4} = \dfrac{1}{x^4}\)
b. \(\dfrac{1}{y^{-6}} = y^6\)
c. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-3} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^3 = \dfrac{b^3}{a^3}\)
d. \(\dfrac{3 x^{-2}}{y^{-5}} = \dfrac{3 y^5}{x^2}\)
សរសេរចំនួនខាងក្រោមជាស្វ័យគុណនៃគោល \(2\) ៖
\(16\)
\(128\)
\(\dfrac{1}{32}\)
\(\dfrac{1}{64}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរជាស្វ័យគុណគោល \(2\) ៖
a. \(16 = 2^4\)
b. \(128 = 2^7\)
c. \(\dfrac{1}{32} = 2^{-5}\)
d. \(\dfrac{1}{64} = 2^{-6}\)
សរសេរចំនួនខាងក្រោមជាស្វ័យគុណនៃគោល \(3\) ៖
\(243\)
\(729\)
\(\dfrac{1}{27}\)
\(\dfrac{1}{81}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរជាស្វ័យគុណគោល \(3\) ៖
a. \(243 = 3^5\)
b. \(729 = 3^6\)
c. \(\dfrac{1}{27} = 3^{-3}\)
d. \(\dfrac{1}{81} = 3^{-4}\)
សរសេរចំនួនខាងក្រោមជាស្វ័យគុណនៃគោល \(5\) ៖
\(125\)
\(625\)
\(\dfrac{1}{25}\)
\(0.04\)
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរជាស្វ័យគុណគោល \(5\) ៖
a. \(125 = 5^3\)
b. \(625 = 5^4\)
c. \(\dfrac{1}{25} = 5^{-2}\)
d. \(0.04 = \dfrac{4}{100} = \dfrac{1}{25} = 5^{-2}\)
គណនាផលគុណស្វ័យគុណគោលដូចគ្នា ៖
\(2^3 \times 2^4\)
\(5^7 \times 5^{-3}\)
\(x^5 \times x^8\)
\(y^{-4} \times y^9\)
មើលដំណោះស្រាយ
ផលគុណស្វ័យគុណគោលដូចគ្នា ៖
a. \(2^{3+4} = 2^7 = 128\)
b. \(5^{7-3} = 5^4 = 625\)
c. \(x^{5+8} = x^{13}\)
d. \(y^{-4+9} = y^5\)
គណនាផលចែកស្វ័យគុណគោលដូចគ្នា ៖
\(\dfrac{3^9}{3^4}\)
\(\dfrac{7^4}{7^6}\)
\(\dfrac{a^{12}}{a^5}\)
\(\dfrac{b^{-3}}{b^4}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ផលចែកស្វ័យគុណ ៖
a. \(3^{9-4} = 3^5 = 243\)
b. \(7^{4-6} = 7^{-2} = \dfrac{1}{49}\)
c. \(a^{12-5} = a^7\)
d. \(b^{-3-4} = b^{-7} = \dfrac{1}{b^7}\)
គណនាស្វ័យគុណនៃស្វ័យគុណ ៖
\((2^3)^2\)
\((3^4)^{-2}\)
\((x^5)^3\)
\((y^{-2})^{-4}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ស្វ័យគុណនៃស្វ័យគុណ ៖
a. \(2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\)
b. \(3^{4 \times (-2)} = 3^{-8} = \dfrac{1}{3^8}\)
c. \(x^{5 \times 3} = x^{15}\)
d. \(y^{(-2) \times (-4)} = y^8\)
គណនាស្វ័យគុណនៃផលគុណ និងផលចែក ៖
\((2 \times 3)^3\)
\((3x^2)^4\)
\(\left(\dfrac{2a}{b^3}\right)^3\)
\(\left(-\dfrac{3x^3}{2y^2}\right)^2\)
មើលដំណោះស្រាយ
ស្វ័យគុណនៃផលគុណ និងផលចែក ៖
a. \(6^3 = 216\)
b. \(3^4 \cdot (x^2)^4 = 81 x^8\)
c. \(\dfrac{2^3 a^3}{(b^3)^3} = \dfrac{8 a^3}{b^9}\)
d. \(\dfrac{(-3)^2 (x^3)^2}{2^2 (y^2)^2} = \dfrac{9 x^6}{4 y^4}\)
សម្រួលកន្សោមស្វ័យគុណ ៖
\(A = \dfrac{2^5 \times 2^7 \times 2^{-3}}{2^4 \times 2^2}\)
\(B = \dfrac{3^8 \times (3^2)^3}{3^5 \times 3^7}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សម្រួលកន្សោម ៖
a. \(A = \dfrac{2^{5+7-3}}{2^{4+2}} = \dfrac{2^9}{2^6} = 2^{9-6} = 2^3 = 8\)
b. \(B = \dfrac{3^8 \times 3^6}{3^{5+7}} = \dfrac{3^{14}}{3^{12}} = 3^2 = 9\)
សម្រួលកន្សោមស្វ័យគុណអញ្ញាត ៖
\(M = \dfrac{x^4 y^6 \cdot (x y^2)^3}{x^5 y^8}\)
\(N = \dfrac{(2a^2 b^3)^4}{8 a^5 b^9}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សម្រួលកន្សោមអញ្ញាត ៖
a. \(M = \dfrac{x^4 y^6 \cdot x^3 y^6}{x^5 y^8} = \dfrac{x^7 y^{12}}{x^5 y^8} = x^2 y^4\)
b. \(N = \dfrac{16 a^8 b^{12}}{8 a^5 b^9} = 2 a^{8-5} b^{12-9} = 2 a^3 b^3\)
សម្រួលកន្សោមដោយបំបែកគោលជាកត្តាបឋម ៖
\(P = \dfrac{6^4 \times 10^3}{15^2 \times 2^6}\)
\(Q = \dfrac{14^3 \times 15^4}{21^3 \times 10^3}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំបែកគោលជាកត្តាបឋម ៖
a. \(P = \dfrac{(2 \times 3)^4 \times (2 \times 5)^3}{(3 \times 5)^2 \times 2^6} = \dfrac{2^7 \times 3^4 \times 5^3}{2^6 \times 3^2 \times 5^2} = 2 \times 3^2 \times 5 = 90\)
b. \(Q = \dfrac{(2 \times 7)^3 \times (3 \times 5)^4}{(3 \times 7)^3 \times (2 \times 5)^3} = \dfrac{2^3 \times 3^4 \times 5^4 \times 7^3}{2^3 \times 3^3 \times 5^3 \times 7^3} = 3 \times 5 = 15\)
សម្រួលកន្សោម ៖
\(R = \dfrac{4^3 \times 9^2 \times 25}{6^4 \times 10^2}\)
\(S = \dfrac{8^2 \times 27^3 \times 5^4}{12^3 \times 30^2}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សម្រួលកន្សោម ៖
a. \(R = \dfrac{(2^2)^3 \times (3^2)^2 \times 5^2}{(2 \times 3)^4 \times (2 \times 5)^2} = \dfrac{2^6 \times 3^4 \times 5^2}{2^6 \times 3^4 \times 5^2} = 1\)
b. \(S = \dfrac{(2^3)^2 \times (3^3)^3 \times 5^4}{(2^2 \times 3)^3 \times (2 \times 3 \times 5)^2} = \dfrac{2^6 \times 3^9 \times 5^4}{2^8 \times 3^5 \times 5^2} = \dfrac{3^4 \times 5^2}{2^2} = \dfrac{81 \times 25}{4} = \dfrac{2025}{4}\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមលេខ ៖
\(2^4 + 3^2 - 4^2\)
\(5^2 - 2^3 \times 3 + 10^0\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាកន្សោមលេខ ៖
a. \(16 + 9 - 16 = 9\)
b. \(25 - 8 \times 3 + 1 = 25 - 24 + 1 = 2\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមលេខ ៖
\((-2)^4 - (-3)^3 + (-1)^{50}\)
\(4 \times 3^2 - 2^3 \times 5 + 6^0\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាកន្សោមលេខ ៖
a. \(16 - (-27) + 1 = 16 + 27 + 1 = 44\)
b. \(4 \times 9 - 8 \times 5 + 1 = 36 - 40 + 1 = -3\)
គណនាតម្លៃកន្សោមនិទស្សន្តអវិជ្ជមាន ៖
\(E = 2^{-1} + 3^{-1} + 6^{-1}\)
\(F = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} + \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនានិទស្សន្តអវិជ្ជមាន ៖
a. \(E = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3+2+1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\)
b. \(F = 2^2 + 3^2 + 4^2 = 4 + 9 + 16 = 29\)
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
\(G = \dfrac{2^{-2} + 3^{-1}}{2^{-1} - 3^{-2}}\)
\(H = \left( 2^0 + 2^{-1} \right) \div \left( 2^0 - 2^{-1} \right)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
a. \(G = \dfrac{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{9}} = \dfrac{\dfrac{7}{12}}{\dfrac{7}{18}} = \dfrac{7}{12} \times \dfrac{18}{7} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2} = 1.5\)
b. \(H = \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) \div \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{2} = 3\)
សរសេរចំនួនខាងក្រោមជាទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ (\(A \times 10^n\)) ៖
\(85\,000\)
\(3\,400\,000\)
\(720\,000\,000\)
\(9\,000\,000\,000\)
មើលដំណោះស្រាយ
ទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ (\(A \times 10^n\)) ៖
a. \(85\,000 = 8.5 \times 10^4\)
b. \(3\,400\,000 = 3.4 \times 10^6\)
c. \(720\,000\,000 = 7.2 \times 10^8\)
d. \(9\,000\,000\,000 = 9 \times 10^9\)
សរសេរចំនួនខាងក្រោមជាទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ (\(A \times 10^n\)) ៖
\(0.005\)
\(0.000\,64\)
\(0.000\,008\,1\)
\(0.000\,000\,045\)
មើលដំណោះស្រាយ
ទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ (\(A \times 10^n\)) ៖
a. \(0.005 = 5 \times 10^{-3}\)
b. \(0.000\,64 = 6.4 \times 10^{-4}\)
c. \(0.000\,008\,1 = 8.1 \times 10^{-6}\)
d. \(0.000\,000\,045 = 4.5 \times 10^{-8}\)
សរសេរចំនួនខាងក្រោមជាចំនួនធម្មតា (ទម្រង់ទសភាគ) ៖
\(4.2 \times 10^5\)
\(8.05 \times 10^7\)
\(3.6 \times 10^{-4}\)
\(1.25 \times 10^{-6}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរជាចំនួនទសភាគ ៖
a. \(4.2 \times 10^5 = 420\,000\)
b. \(8.05 \times 10^7 = 80\,500\,000\)
c. \(3.6 \times 10^{-4} = 0.000\,36\)
d. \(1.25 \times 10^{-6} = 0.000\,001\,25\)
គណនា និងសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ ៖
\((3.2 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^4)\)
\((4.8 \times 10^{-3}) \times (1.5 \times 10^8)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាជាទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ ៖
a. \((3.2 \times 2.5) \times 10^{5+4} = 8 \times 10^9\)
b. \((4.8 \times 1.5) \times 10^{-3+8} = 7.2 \times 10^5\)
គណនា និងសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ ៖
\(\dfrac{7.5 \times 10^8}{1.5 \times 10^3}\)
\(\dfrac{1.44 \times 10^4}{1.2 \times 10^{-2}}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាជាទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ ៖
a. \(\dfrac{7.5}{1.5} \times 10^{8-3} = 5 \times 10^5\)
b. \(\dfrac{1.44}{1.2} \times 10^{4 - (-2)} = 1.2 \times 10^6\)
គណនាផលបូក និងដកជាទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ ៖
\((4.5 \times 10^5) + (3.2 \times 10^5)\)
\((6.4 \times 10^6) - (2.1 \times 10^5)\)
មើលដំណោះស្រាយ
បូកដកជាទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ ៖
a. \((4.5 + 3.2) \times 10^5 = 7.7 \times 10^5\)
b. \((64 \times 10^5) - (2.1 \times 10^5) = 61.9 \times 10^5 = 6.19 \times 10^6\)
គណនាការ៉េ និងឫសការ៉េនៃចំនួនខាងក្រោម ៖
\(15^2\)
\(25^2\)
\(\sqrt{324}\)
\(\sqrt{400}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ការ៉េ និងឫសការ៉េ ៖
a. \(15^2 = 225\)
b. \(25^2 = 625\)
c. \(\sqrt{324} = 18\)
d. \(\sqrt{400} = 20\)
គណនាគូប និងឫសគូបនៃចំនួនខាងក្រោម ៖
\(6^3\)
\(10^3\)
\(\sqrt[3]{343}\)
\(\sqrt[3]{729}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គូប និងឫសគូប ៖
a. \(6^3 = 216\)
b. \(10^3 = 1000\)
c. \(\sqrt[3]{343} = 7\)
d. \(\sqrt[3]{729} = 9\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ ៖
\(A = \sqrt{121} + \sqrt{144} - \sqrt{169}\)
\(B = \sqrt{25 \times 36} + \sqrt[3]{8 \times 27}\)
មើលដំណោះស្រាយ
កន្សោមរ៉ាឌីកាល់ ៖
a. \(A = 11 + 12 - 13 = 10\)
b. \(B = (5 \times 6) + (2 \times 3) = 30 + 6 = 36\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ ៖
\(C = \sqrt{\dfrac{64}{225}} \times \sqrt{\dfrac{81}{16}}\)
\(D = \sqrt{0.09} + \sqrt{0.64} - \sqrt[3]{0.008}\)
មើលដំណោះស្រាយ
កន្សោមរ៉ាឌីកាល់ ៖
a. \(C = \dfrac{8}{15} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{2 \times 3}{5 \times 1} = \dfrac{6}{5} = 1.2\)
d. \(D = 0.3 + 0.8 - 0.2 = 0.9\)
គណនាតម្លៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ជាប់គ្នា ៖
\(P = \sqrt{21 + \sqrt{13 + \sqrt{7 + \sqrt{4}}}}\)
\(Q = \sqrt{40 + \sqrt{77 + \sqrt{16}}}\)
មើលដំណោះស្រាយ
រ៉ាឌីកាល់ជាប់គ្នា ៖
a. \(\sqrt{4}=2 \to \sqrt{7+2}=3 \to \sqrt{13+3}=4 \to P = \sqrt{21+4} = \sqrt{25} = 5\)
b. \(\sqrt{16}=4 \to \sqrt{77+4}=9 \to Q = \sqrt{40+9} = \sqrt{49} = 7\)
រកតម្លៃ \(x\) ពីសមីការស្វ័យគុណ ៖
\(2^x = 64\)
\(3^x = 243\)
\(5^x = 125\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការស្វ័យគុណ ៖
a. \(2^x = 2^6 \implies x = 6\)
b. \(3^x = 3^5 \implies x = 5\)
c. \(5^x = 5^3 \implies x = 3\)
រកតម្លៃ \(x\) ពីសមីការស្វ័យគុណ ៖
\(2^{x+2} = 128\)
\(3^{2x-1} = 81\)
\(7^{x-3} = 1\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការស្វ័យគុណ ៖
a. \(2^{x+2} = 2^7 \implies x+2 = 7 \implies x = 5\)
b. \(3^{2x-1} = 3^4 \implies 2x-1 = 4 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5\)
c. \(7^{x-3} = 7^0 \implies x-3 = 0 \implies x = 3\)
រកតម្លៃ \(x\) ពីសមីការស្វ័យគុណ ៖
\(4^x = 32\)
\(9^x = 27\)
\(8^{x+1} = 16\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការស្វ័យគុណ ៖
a. \((2^2)^x = 2^5 \implies 2^{2x} = 2^5 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5\)
b. \((3^2)^x = 3^3 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5\)
c. \((2^3)^{x+1} = 2^4 \implies 3(x+1) = 4 \implies 3x+3 = 4 \implies x = \dfrac{1}{3}\)
រកតម្លៃ \(x\) ពីសមីការស្វ័យគុណនិទស្សន្តអវិជ្ជមាន ៖
\(2^x = \dfrac{1}{8}\)
\(5^{x+1} = \dfrac{1}{25}\)
\(3^{-x} = 81\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
a. \(2^x = 2^{-3} \implies x = -3\)
b. \(5^{x+1} = 5^{-2} \implies x+1 = -2 \implies x = -3\)
c. \(3^{-x} = 3^4 \implies -x = 4 \implies x = -4\)
រកតម្លៃ \(x\) ពីសមីការរ៉ាឌីកាល់ ៖
\(\sqrt{x} = 9\)
\(\sqrt{x+5} = 6\)
\(\sqrt[3]{x} = -4\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការរ៉ាឌីកាល់ ៖
a. \(x = 9^2 = 81\)
b. \(x+5 = 6^2 = 36 \implies x = 31\)
c. \(x = (-4)^3 = -64\)
រកតម្លៃ \(x\) ពីសមីការ ៖ \(x^2 = 289\) (រកគ្រប់តម្លៃ \(x\))។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(x^2 = 289 \implies x = \pm \sqrt{289} = \pm 17\)។
ដូចនេះ \(x = 17\) ឬ \(x = -17\)។
រកតម្លៃ \(x\) ពីសមីការ ៖ \((x-1)^2 = 196\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \((x-1)^2 = 196 \implies x-1 = \pm 14\) ៖
\(x-1 = 14 \implies x = 15\)
\(x-1 = -14 \implies x = -13\)
ដូចនេះ \(x \in \{15, -13\}\)។
ប្រៀបធៀបគូនៃចំនួនខាងក្រោមដោយមិនគណនាតម្លៃពិត ៖
\(2^{30}\) និង \(3^{20}\)
\(5^{20}\) និង \(2^{50}\)
\(4^{15}\) និង \(8^{10}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រៀបធៀបស្វ័យគុណ ៖
a. \(2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}\) និង \(3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}\)។ ដោយ \(8 < 9\) នោះ \(2^{30} < 3^{20}\)។
b. \(5^{20} = (5^2)^{10} = 25^{10}\) និង \(2^{50} = (2^5)^{10} = 32^{10}\)។ ដោយ \(25 < 32\) នោះ \(5^{20} < 2^{50}\)។
c. \(4^{15} = (2^2)^{15} = 2^{30}\) និង \(8^{10} = (2^3)^{10} = 2^{30}\)។ ដូចនេះ \(4^{15} = 8^{10}\)។
ប្រៀបធៀប \(A = 2^{100}\) និង \(B = 3^{75}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រៀបធៀប \(A\) និង \(B\) ៖ \(A = 2^{100} = (2^4)^{25} = 16^{25}\)។
\(B = 3^{75} = (3^3)^{25} = 27^{25}\)។
ដោយ \(16 < 27\) នាំឱ្យ \(16^{25} < 27^{25}\) ដូចនេះ \(2^{100} < 3^{75}\)។
ពន្លឺធ្វើដំណើរក្នុងល្បឿនប្រមាណ \(3 \times 10^5\,\text{km/s}\)។ គណនាចម្ងាយដែលពន្លឺធ្វើដំណើរបានក្នុងរយៈពេល ១ នាទី (\(60\,\text{s}\)) ដោយសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់វិទ្យាសាស្ត្រ។
មើលដំណោះស្រាយ
ចម្ងាយធ្វើដំណើរនៃពន្លឺ ៖
ចម្ងាយពីផែនដីទៅកាន់ភពព្រះអង្គារជាមធ្យមគឺប្រហែល \(2.25 \times 10^8\,\text{km}\)។ បើយានអវកាសមួយធ្វើដំណើរក្នុងល្បឿន \(2.5 \times 10^4\,\text{km/h}\) តើត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានម៉ោងទើបទៅដល់?
មើលដំណោះស្រាយ
ពេលវេលាធ្វើដំណើរ ៖
បាក់តេរីមួយប្រភេទកើនឡើងទ្វេដងរៀងរាល់ \(30\) នាទីម្ដង។ ប្រសិនបើនៅពេលចាប់ផ្ដើមមានបាក់តេរីចំនួន \(100\) កោសិកា ៖
សរសេរកន្សោមស្វ័យគុណតាងចំនួនបាក់តេរីបន្ទាប់ពី \(n\) ម៉ោង។
រកចំនួនបាក់តេរីបន្ទាប់ពីរយៈពេល \(4\) ម៉ោង។
មើលដំណោះស្រាយ
កំណើនបាក់តេរី ៖
a. រៀងរាល់ \(1\) ម៉ោង បាក់តេរីកើនឡើងទ្វេដង ២ លើក (កត្តា \(2^2 = 4\))។ កន្សោមបន្ទាប់ពី \(n\) ម៉ោង ៖
\[N = 100 \times 2^{2n}\]b. រយៈពេល \(4\) ម៉ោង (\(n=4\)) ៖
\[N = 100 \times 2^8 = 100 \times 256 = 25\,600\text{ កោសិកា}\]
ក្រដាសមួយសន្លឹកមានកម្រាស់ \(0.1\,\text{mm}\)។ ប្រសិនបើគេបត់ក្រដាសនោះជាពីរចំនួន \(10\) ដងបន្តបន្ទាប់គ្នា តើកម្រាស់ក្រដាសបន្ទាប់ពីបត់រួចមានរង្វាស់ប៉ុន្មានមីលីម៉ែត្រ?
មើលដំណោះស្រាយ
កម្រាស់ក្រដាសបន្ទាប់ពីបត់ ១០ ដង ៖
គណនាផលបូក ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ផលបូកធរណីមាត្រ ៖ \(2S = 2 + 2^2 + \dots + 2^{11}\)។
\(2S - S = 2^{11} - 1 \implies S = 2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047\)។
គណនាផលបូក ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ផលបូកធរណីមាត្រ ៖ \(3T = 3 + 3^2 + \dots + 3^8\)។
\(3T - T = 3^8 - 1 \implies 2T = 6561 - 1 = 6560 \implies T = 3280\)។
រកលេខខ្ទង់ចុងក្រោយ (ខ្ទង់រាយ) នៃចំនួន \(2^{2027}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ខ្ទង់ចុងក្រោយនៃ \(2^{2027}\) ៖ វដ្តនៃខ្ទង់រាយនៃ \(2^n\) មាន ៤ តួ ៖ \(\{2, 4, 8, 6\}\)។
យក \(2027 \div 4 = 506\) សំណល់ \(3\)។
ដូចនេះ ខ្ទង់ចុងក្រោយនៃ \(2^{2027}\) គឺ \(8\)។
រកលេខខ្ទង់ចុងក្រោយ (ខ្ទង់រាយ) នៃចំនួន \(3^{2027} + 7^{2027}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ខ្ទង់ចុងក្រោយនៃ \(3^{2027} + 7^{2027}\) ៖
វដ្តនៃ \(3^n\) ៖ \(\{3, 9, 7, 1\}\)។ \(2027 \div 4\) សំណល់ \(3 \implies\) ខ្ទង់ចុងក្រោយគឺ \(7\)។
វដ្តនៃ \(7^n\) ៖ \(\{7, 9, 3, 1\}\)។ \(2027 \div 4\) សំណល់ \(3 \implies\) ខ្ទង់ចុងក្រោយគឺ \(3\)។
ផលបូកខ្ទង់រាយ ៖ \(7 + 3 = 10 \implies\) ខ្ទង់រាយគឺ \(0\)។
បង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(n\) កន្សោម \(A = 5^{n+2} - 5^n\) តែងតែចែកដាច់នឹង \(24\)។
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហាញភាពចែកដាច់ ៖
រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន \(n\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព ៖
មើលដំណោះស្រាយ
រក \(n\) ៖ ដាក់ \(2^{n-1}\) ជាកត្តារួម ៖
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២ ស្វ័យគុណ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី