«រង្វង់» (Circle) គឺជារូបធរណីមាត្រដ៏ល្អឥតខ្ចោះ និងមានភាពស៊ីមេទ្រីបំផុតនៅក្នុងធម្មជាតិ និងគណិតវិទ្យា។ ការច្នៃប្រឌិតកង់រទេះរាងរង្វង់នៅតំបន់មេសូប៉ូតាមី (ប្រហែល ៣៥០០ ឆ្នាំមុន គ.ស.) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជារបកគំហើញបច្ចេកវិទ្យាដ៏អស្ចារ្យបំផុតមួយក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រមនុស្សជាតិ ដែលបានផ្លាស់ប្ដូរការដឹកជញ្ជូន និងការអភិវឌ្ឍសង្គម។ អស់រយៈពេលរាប់ពាន់ឆ្នាំ មនុស្សបានកត់សម្គាល់ឃើញថា ផលធៀបរវាងបរិមាត្ររង្វង់ និងអង្កត់ផ្ចិតរបស់វា គឺជាចំនួនថេរមួយ ដែលក្រោយមកត្រូវបានតាងដោយអក្សរក្រិក \(\boldsymbol{\pi}\) (ពី)។ គណិតវិទូក្រិកបុរាណលោក អាស៊ីម៉ែត (Archimedes of Syracuse, ប្រហែល ២៨៧–២១២ មុន គ.ស.) បានគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃ \(\pi\) ដោយប្រើពហុកោណចារឹកក្នុង និងចារឹកក្រៅរង្វង់រហូតដល់ ៩៦ ជ្រុង (\(3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}\) ឬ \(\pi \approx 3.14\))។
នៅក្នុងវប្បធម៌ខ្មែរ រូបរង្វង់បានផ្សារភ្ជាប់យ៉ាងជិតស្និទ្ធជាមួយទស្សនវិជ្ជា និងសិល្បៈស្ថាបត្យកម្ម ដូចជា «កង់ធម្មចក្រ» (Dharmachakra) ដែលឆ្លាក់លើសិលាសម័យបុរាណ ព្រមទាំងការរៀបចំប្លង់មូលនៃកំពូលប្រាសាទ និងក្បូរក្បាច់ភ្ញីទេសភ្ញីវល្លិរាងរង្វង់មូលនៅលើផ្ដែរប្រាសាទនានា។ ក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យាទំនើប រង្វង់ជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃកង់យានយន្ត ម៉ាស៊ីនចក្រ ត្រីវិស័យ ផ្កាយរណបគោចរជុំវិញផែនដី និងប្រព័ន្ធរ៉ាដា។
នៅក្នុងធរណីមាត្រប្លង់ គេត្រូវបែងចែកឱ្យច្បាស់រវាង «រង្វង់» និង «ថាស» ៖
រង្វង់ (Circle, \(\mathcal{C}\)) ៖ ជាខ្សែកោងបិទជិតក្នុងប្លង់ ដែលគ្រប់ចំណុចរបស់វាមានចម្ងាយស្មើគ្នាពីចំណុចនឹងមួយហៅថា ផ្ចិត។ រង្វង់មានតែប្រវែងជុំវិញ (បរិមាត្រ) ប៉ុណ្ណោះ។
ថាស (Disk) ៖ ជាផ្នែកនៃប្លង់ដែលខណ្ឌដោយរង្វង់ រួមបញ្ចូលទាំងរង្វង់ព្រំប្រទល់ និងគ្រប់ចំណុចទាំងអស់នៅខាងក្នុងរង្វង់។ ថាសមានក្រឡាផ្ទៃ។
ធាតុគ្រឹះ ៖ ផ្ចិត (\(O\)), កាំ (\(R\)), អង្កត់ផ្ចិត (\(d = 2R\)), អង្កត់ធ្នូ, ធ្នូ, ចម្រៀកថាស និងបន្ទាត់ប៉ះ។
សញ្ញាណរង្វង់ និងធាតុសំខាន់ៗនៃរង្វង់
និយមន័យ ៖ រង្វង់ផ្ចិត \(O\) កាំ \(R\) តាងដោយ \(\mathcal{C}(O, R)\) គឺជាសំណុំចំណុច \(M\) ក្នុងប្លង់ដែល \(OM = R\)។
កាំ (Radius, \(R\)) ៖ អង្កត់ភ្ជាប់ពីផ្ចិតទៅចំណុចណាមួយនៅលើរង្វង់ (\(OA = R\))។
អង្កត់ផ្ចិត (Diameter, \(d\)) ៖ អង្កត់កាត់តាមផ្ចិត និងមានចុងសងខាងលើរង្វង់ (\(d = 2R\))។
អង្កត់ធ្នូ (Chord) ៖ អង្កត់ភ្ជាប់ពីរចំណុចលើរង្វង់ (\(CD\))។ អង្កត់ផ្ចិតជាអង្កត់ធ្នូវែងបំផុត។
ធ្នូ (Arc) ៖ ផ្នែកនៃរង្វង់ខណ្ឌដោយពីរចំណុច (ធ្នូតូច \(CD\) និងធ្នូធំ)។
បន្ទាត់ប៉ះ (Tangent) ៖ បន្ទាត់ដែលមានចំណុចរួមតែមួយជាមួយរង្វង់ ហើយកែងនឹងកាំត្រង់ចំណុចប៉ះ។
គេឱ្យរង្វង់ \(\mathcal{C}(O, 4.5\text{ cm})\)។
ក. គណនាប្រវែងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់នេះ។ ខ. បើ \(OP = 5\text{ cm}\) និង \(OQ = 3\text{ cm}\) កំណត់ទីតាំង \(P\) និង \(Q\) ធៀបនឹងរង្វង់។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
អង្កត់ផ្ចិតរង្វង់ ៖ \(d = 2R = 2 \times 4.5 = 9\text{ cm}\)។ ដូចនេះ \(\boxed{d = 9\text{ cm}}\)
ទីតាំងចំណុច ៖ \(OP = 5\text{ cm} > R \implies\) \(P\) នៅក្រៅរង្វង់ ; \(OQ = 3\text{ cm} < R \implies\) \(Q\) នៅខាងក្នុងរង្វង់។
១. រង្វង់មួយមានអង្កត់ផ្ចិត \(d = 15\text{ cm}\)។ គណនាកាំ \(R\) នៃរង្វង់នោះ។
២. តើអង្កត់ធ្នូដែលវែងជាងគេក្នុងរង្វង់គឺជាអ្វី? បើកាំ \(R = 6\text{ cm}\) តើអង្កត់ធ្នូនោះមានប្រវែងប៉ុន្មាន?
បរិមាត្ររង្វង់
និយមន័យ ៖ បរិមាត្ររង្វង់ (\(P\) ឬ \(C\)) គឺជាប្រវែងជុំវិញនៃរង្វង់។
រូបមន្តបរិមាត្រ ៖
\[P = 2\pi R \quad{} \text{ឬ} \quad{} P = \pi d \quad{} (\pi \approx 3.14 \text{ ឬ } \pi \approx \tfrac{22}{7})\]រូបមន្តទាញ ៖ កាំ \(R = \dfrac{P}{2\pi}\) និង អង្កត់ផ្ចិត \(d = \dfrac{P}{\pi}\)
ចម្ងាយកង់បរ ៖ កាលណាកង់រង្វង់មួយវិលបាន \(N\) ជុំ នោះចម្ងាយដែលបរបានគឺ ៖
\[S = N \times P = N \times 2\pi R\]
កង់កង់មួយមានកាំ \(R = 35\text{ cm}\) (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\))។
ក. គណនាបរិមាត្រនៃកង់កង់នោះ។
ខ. ប្រសិនបើកង់នោះវិលបាន \(500\) ជុំ តើកង់បរបានចម្ងាយប៉ុន្មានម៉ែត្រ?
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
បរិមាត្រកង់កង់ ៖ \(P = 2\pi R = 2 \times \dfrac{22}{7} \times 35 = 2 \times 22 \times 5 = 220\text{ cm} = 2.2\text{ m}\)។ ដូចនេះ \(\boxed{P = 2.2\text{ m}}\)
ចម្ងាយបរបាន ៖ \(S = N \times P = 500 \times 2.2 = 1100\text{ m}\)។ ដូចនេះ \(\boxed{S = 1100\text{ m} = 1.1\text{ km}}\)។
១. រង្វង់មួយមានបរិមាត្រ \(P = 31.4\text{ cm}\) (យក \(\pi \approx 3.14\))។ គណនាកាំ និងអង្កត់ផ្ចិត។
២. អាងទឹកមូលមួយមានអង្កត់ផ្ចិត \(d = 4.2\text{ m}\) (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\))។ គណនាប្រវែងមាត់អាងជុំវិញ។
ក្រឡាផ្ទៃថាស
ក្រឡាផ្ទៃថាស ៖ ថាសដែលមានកាំ \(R\) (ឬអង្កត់ផ្ចិត \(d = 2R\)) មានក្រឡាផ្ទៃ ៖
\[S = \pi R^2 = \dfrac{\pi d^2}{4}\]រូបមន្តទាញ ៖ កាំនៃថាសគឺ \(R = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}}\)
ក្រឡាផ្ទៃកងរង្វង់ (Annulus) ៖ ផ្ទៃដែលខណ្ឌចន្លោះរង្វង់រួមផ្ចិតពីរ (\(R > r\)) ៖
\[S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)\]
ថាសរង្វង់មួយមានអង្កត់ផ្ចិត \(d = 14\text{ cm}\) (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\))។
ក. គណនាកាំ និងក្រឡាផ្ទៃនៃថាសរង្វង់នោះ។ ខ. បើគេចោះប្រហោងមូលកាំ \(r = 3.5\text{ cm}\) ចំកណ្ដាល រកក្រឡាផ្ទៃផ្នែកនៅសល់។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
កាំថាស ៖ \(R = \dfrac{d}{2} = 7\text{ cm}\)។ ក្រឡាផ្ទៃ ៖ \(S = \pi R^2 = \dfrac{22}{7} \times 7^2 = 154\text{ cm}^2\)។ ដូចនេះ \(\boxed{S = 154\text{ cm}^2}\)
ផ្ទៃប្រហោង ៖ \(S_{\text{in}} = \dfrac{22}{7} \times 3.5^2 = 38.5\text{ cm}^2\) នាំឱ្យផ្ទៃនៅសល់ ៖ \(S' = 154 - 38.5 = 115.5\text{ cm}^2\)។ \(\boxed{S' = 115.5\text{ cm}^2}\)។
១. គណនាក្រឡាផ្ទៃថាសរង្វង់ដែលមានកាំ \(R = 10\text{ m}\) (យក \(\pi \approx 3.14\))។
២. ថាសមួយមានក្រឡាផ្ទៃ \(S = 28.26\text{ cm}^2\) (យក \(\pi \approx 3.14\))។ គណនាកាំ និងបរិមាត្រនៃថាសនោះ។
ប្រវែងធ្នូ និងបរិមាត្រចម្រៀកថាស
មុំផ្ចិត (Central Angle) ៖ ជាមុំដែលមានកំពូលត្រង់ផ្ចិតនៃរង្វង់ (\(\angle AOB = \alpha^\circ\))។
ប្រវែងធ្នូ (\(L\)) ៖ ប្រវែងធ្នូសមាមាត្រនឹងមុំផ្ចិតត្រូវគ្នា ៖
\[L = 2\pi R \times \dfrac{\alpha^\circ}{360^\circ} = \dfrac{\pi R \alpha^\circ}{180^\circ}\]បរិមាត្រចម្រៀកថាស ៖ ស្មើផលបូកប្រវែងធ្នូ និងកាំទាំងពីរ ៖
\[P_{\text{sector}} = L + 2R = \dfrac{\pi R \alpha^\circ}{180^\circ} + 2R\]
គេឱ្យរង្វង់មួយមានកាំ \(R = 12\text{ cm}\) និងមុំផ្ចិត \(\alpha = 60^\circ\) (យក \(\pi \approx 3.14\))។
ក. គណនាប្រវែងធ្នូនៃចម្រៀកថាសនេះ។ ខ. គណនាបរិមាត្រសរុបនៃចម្រៀកថាសនោះ។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ប្រវែងធ្នូ ៖ \(L = 2\pi R \times \dfrac{\alpha^\circ}{360^\circ} = 2 \times 3.14 \times 12 \times \dfrac{60^\circ}{360^\circ} = 12.56\text{ cm}\)។ ដូចនេះ \(\boxed{L = 12.56\text{ cm}}\)
បរិមាត្រចម្រៀកថាស ៖ \(P = L + 2R = 12.56 + 2(12) = 36.56\text{ cm}\)។ ដូចនេះ \(\boxed{P = 36.56\text{ cm}}\)។
១. រង្វង់កាំ \(R = 9\text{ cm}\)។ គណនាប្រវែងធ្នូត្រូវនឹងមុំផ្ចិត ៖ ក. \(\alpha = 90^\circ\) ខ. \(\alpha = 120^\circ\)។
២. ធ្នូមួយមានប្រវែង \(L = 6.28\text{ cm}\) ត្រូវនឹងមុំផ្ចិត \(45^\circ\)។ រកកាំ \(R\) នៃរង្វង់ (យក \(\pi \approx 3.14\))។
ក្រឡាផ្ទៃចម្រៀកថាស និងរូបផ្គុំ
ក្រឡាផ្ទៃចម្រៀកថាស (Sector Area) ៖ សមាមាត្រនឹងមុំផ្ចិត \(\alpha^\circ\) ៖
\[S_{\text{sec}} = \pi R^2 \times \dfrac{\alpha^\circ}{360^\circ} = \dfrac{L \times R}{2}\]ករណីពិសេស ៖
កន្លះថាស (\(\alpha = 180^\circ\)) ៖ \(S = \dfrac{\pi R^2}{2}\) | មួយភាគបួនថាស (\(\alpha = 90^\circ\)) ៖ \(S = \dfrac{\pi R^2}{4}\)
ក្រឡាផ្ទៃរូបផ្គុំ ៖ ស្មើផលបូក ឬផលដកនៃក្រឡាផ្ទៃរូបគ្រឹះ (ការ៉េ ចតុកោណកែង ត្រីកោណ ថាស)។
គេឱ្យបន្ទះឈើរាងការ៉េមួយមានជ្រុង \(a = 10\text{ cm}\)។ គេចោះកាត់ថាសរង្វង់ធំបំផុតចេញពីការ៉េនោះ (យក \(\pi \approx 3.14\))។
ក. គណនាក្រឡាផ្ទៃនៃការ៉េ និងថាសដែលចោះចេញ។ ខ. គណនាក្រឡាផ្ទៃនៃកម្ទេចឈើដែលនៅសល់។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ផ្ទៃការ៉េ ៖ \(S_{\text{sq}} = 10^2 = 100\text{ cm}^2\)។ ថាសចារឹកក្នុងមានកាំ \(R = \dfrac{a}{2} = 5\text{ cm} \implies S_{\text{disk}} = 3.14 \times 5^2 = 78.5\text{ cm}^2\)។
ផ្ទៃនៅសល់ ៖ \(S_{\text{rem}} = 100 - 78.5 = 21.5\text{ cm}^2\)។ ដូចនេះ \(\boxed{S_{\text{rem}} = 21.5\text{ cm}^2}\)។
១. ចម្រៀកថាសមួយមានកាំ \(R = 6\text{ cm}\) និងមុំផ្ចិត \(\alpha = 60^\circ\) (យក \(\pi \approx 3.14\))។ គណនាក្រឡាផ្ទៃ។
២. បង្អួចមួយមានរាងចតុកោណកែងទំហំ \(1\text{ m} \times 1.5\text{ m}\) លើដោយកន្លះថាសរង្វង់កាំ \(0.5\text{ m}\)។ គណនាផ្ទៃសរុប។
លំហាត់អនុវត្តន៍
គេឱ្យរង្វង់ \(\mathcal{C}(O, R)\) ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត \(d = 16\text{ cm}\) ៖
គណនាប្រវែងកាំ \(R\) នៃរង្វង់នេះ
រកប្រវែងអង្កត់ធ្នូដែលវែងជាងគេក្នុងរង្វង់នេះ
មើលដំណោះស្រាយ
កាំរង្វង់ ៖ \(R = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}\)
អង្កត់ធ្នូវែងជាងគេគឺអង្កត់ផ្ចិត ៖ \(d = 16\text{ cm}\)
គេឱ្យរង្វង់មួយមានផ្ចិត \(O\) និងកាំ \(R = 5\text{ cm}\) ៖
ចំណុច \(A\) មាន \(OA = 4.8\text{ cm}\) តើ \(A\) នៅឯណា?
ចំណុច \(B\) មាន \(OB = 5.2\text{ cm}\) តើ \(B\) នៅឯណា?
មើលដំណោះស្រាយ
រង្វង់កាំ \(R = 5\text{ cm}\) ៖
\(OA = 4.8\text{ cm} < R \Rightarrow A\) នៅខាងក្នុងរង្វង់។
\(OB = 5.2\text{ cm} > R \Rightarrow B\) នៅខាងក្រៅរង្វង់។
សង់រង្វង់មួយដោយប្រើដែកឈាន ៖
សង់រង្វង់ \(\mathcal{C}(O, 3\text{ cm})\) រួចគូសអង្កត់ផ្ចិត \(AB\)
គូសអង្កត់ធ្នូ \(CD = 4\text{ cm}\) មិនកាត់តាមផ្ចិត \(O\)
មើលដំណោះស្រាយ
បើកដែកឈានកាំ \(3\text{ cm}\) គូសរង្វង់ផ្ចិត \(O\)។ គូសបន្ទាត់កាត់តាម \(O\) កាត់រង្វង់ត្រង់ \(A, B\) បានអង្កត់ផ្ចិត \(AB\)។
ដៅ \(C\) លើរង្វង់ យកដែកឈានកាំ \(4\text{ cm}\) កាត់រង្វង់ត្រង់ \(D\)។ ភ្ជាប់ \(CD\)។
បន្ទាត់ \((d)\) ប៉ះរង្វង់ \(\mathcal{C}(O, 4\text{ cm})\) ត្រង់ចំណុច \(H\) ៖
បញ្ជាក់រង្វាស់មុំរវាង \((d)\) និងកាំ \(OH\)
រកចម្ងាយពីផ្ចិត \(O\) ទៅកាន់បន្ទាត់ \((d)\)
មើលដំណោះស្រាយ
បន្ទាត់ប៉ះកែងនឹងកាំត្រង់ចំណុចប៉ះ នាំឱ្យមុំស្មើ \(90^\circ\)។
ចម្ងាយពី \(O\) ទៅ \((d)\) ស្មើនឹងកាំ \(OH = 4\text{ cm}\)។
គេឱ្យរង្វង់ផ្ចិត \(O\) និងអង្កត់ធ្នូ \(AB\) មិនកាត់តាមផ្ចិត ៖
បង្ហាញថា \(\triangle OAB\) ជាត្រីកោណសមបាត
បើ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាល \(AB\) បង្ហាញថា \(OM \perp AB\)
មើលដំណោះស្រាយ
\(OA = OB = R\) នាំឱ្យ \(\triangle OAB\) ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល \(O\)។
មេដ្យាន \(OM\) ចេញពីកំពូលនៃត្រីកោណសមបាតជាកម្ពស់ នាំឱ្យ \(OM \perp AB\)។
រង្វង់ពីរប៉ះគ្នាក្រៅមានកាំ \(R_1 = 6\text{ cm}\) និង \(R_2 = 4\text{ cm}\) ៖
គណនាចម្ងាយរវាងផ្ចិតទាំងពីរ \(O_1O_2\)
រកចម្ងាយ \(O_1O_2\) បើរង្វង់ទាំងពីរប៉ះគ្នាក្នុង
មើលដំណោះស្រាយ
ប៉ះក្រៅ ៖ \(O_1O_2 = R_1 + R_2 = 6 + 4 = 10\text{ cm}\)
ប៉ះក្នុង ៖ \(O_1O_2 = R_1 - R_2 = 6 - 4 = 2\text{ cm}\)
គេមានបន្ទះក្រដាសរាងថាសមូលមួយដែលមិនស្គាល់ផ្ចិត ៖
ពណ៌នាពីរបៀបបត់ក្រដាសដើម្បីរកអង្កត់ផ្ចិត
ពណ៌នាពីរបៀបកំណត់ចំណុចផ្ចិតតាមផ្នត់បត់ពីរ
មើលដំណោះស្រាយ
បត់ក្រដាសជាពីរឱ្យគែមត្រួតស៊ីគ្នានោះបានផ្នត់បត់ជាអង្កត់ផ្ចិត។
បត់ម្ដងទៀតតាមទិសផ្សេង នោះចំណុចប្រសព្វនៃផ្នត់បត់ទាំងពីរជាផ្ចិតនៃរង្វង់។
ក្នុងរង្វង់មួយមានអង្កត់ផ្ចិត \(AB = 10\text{ cm}\) និងចំណុច \(C\) លើរង្វង់ ៖
បញ្ជាក់ប្រភេទនៃត្រីកោណ \(ABC\)
បើ \(AC = 6\text{ cm}\) គណនាប្រវែងជ្រុង \(BC\)
មើលដំណោះស្រាយ
ត្រីកោណ \(ABC\) ចារឹកក្នុងកន្លះរង្វង់ នាំឱ្យជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(C\)។
តាមពីតាករ ៖
\(BC = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}\)
គេឱ្យរង្វង់ផ្ចិត \(O\) កាំ \(R = 8\text{ cm}\) ៖
តើអង្កត់ធ្នូមួយអាចមានប្រវែង \(18\text{ cm}\) បានទេ? ព្រោះអ្វី?
រកប្រវែងអតិបរមានៃអង្កត់ធ្នូក្នុងរង្វង់នេះ
មើលដំណោះស្រាយ
មិនអាចទេ ព្រោះអង្កត់ធ្នូវែងបំផុតគឺអង្កត់ផ្ចិត \(d = 2(8) = 16\text{ cm} < 18\text{ cm}\)។
ប្រវែងអតិបរមាគឺ \(16\text{ cm}\)។
លើរង្វង់មួយ គេកំណត់ចំណុចពីរ \(A\) និង \(B\) ៖
ប្រាប់ឈ្មោះធ្នូទាំងពីរដែលកំណត់ដោយ \(A\) និង \(B\)
តើធ្នូទាំងពីរស្មើគ្នាពេលណា?
មើលដំណោះស្រាយ
ធ្នូទាំងពីរ ៖ ធ្នូតូច \(AB\) និងធ្នូធំ \(AB\)។
ធ្នូទាំងពីរស្មើគ្នា (ស្មើកន្លះរង្វង់ \(180^\circ\)) នៅពេល \([AB]\) ជាអង្កត់ផ្ចិត។
គណនាបរិមាត្ររង្វង់ (យក \(\pi \approx 3.14\)) ៖
កាំ \(R = 15\text{ cm}\)
កាំ \(R = 2.5\text{ m}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បរិមាត្ររង្វង់ (\(P = 2\pi R\)) ៖
\(P = 2 \times 3.14 \times 15 = 94.2\text{ cm}\)
\(P = 2 \times 3.14 \times 2.5 = 15.7\text{ m}\)
គណនាបរិមាត្ររង្វង់ (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\)) ៖
អង្កត់ផ្ចិត \(d = 21\text{ cm}\)
អង្កត់ផ្ចិត \(d = 28\text{ m}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បរិមាត្ររង្វង់ (\(P = \pi d\)) ៖
\(P = \frac{22}{7} \times 21 = 66\text{ cm}\)
\(P = \frac{22}{7} \times 28 = 88\text{ m}\)
រង្វង់មួយមានបរិមាត្រ \(P = 50.24\text{ cm}\) (យក \(\pi \approx 3.14\)) ៖
គណនាប្រវែងកាំ \(R\) នៃរង្វង់
គណនាប្រវែងអង្កត់ផ្ចិត \(d\) នៃរង្វង់
មើលដំណោះស្រាយ
កាំ ៖ \(R = \frac{50.24}{2 \times 3.14} = 8\text{ cm}\)
អង្កត់ផ្ចិត ៖ \(d = 2 \times 8 = 16\text{ cm}\)
កង់រថយន្តមួយមានអង្កត់ផ្ចិត \(70\text{ cm}\) (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\)) ៖
គណនាបរិមាត្រនៃកង់រថយន្តនោះ
បើកង់វិលបាន \(1000\) ជុំ រកចម្ងាយបរបានគិតជា \(\text{km}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បរិមាត្រកង់ ៖ \(P = \frac{22}{7} \times 70 = 220\text{ cm} = 2.2\text{ m}\)
ចម្ងាយ ១០០០ ជុំ ៖
\(1000 \times 2.2 = 2200\text{ m} = 2.2\text{ km}\)
អាងចិញ្ចឹមត្រីមូលមួយមានប្រវែងមាត់អាងជុំវិញ \(18.84\text{ m}\) ៖
គណនាកាំនៃអាងទឹកនោះ (យក \(\pi \approx 3.14\))
គណនាអង្កត់ផ្ចិតនៃអាងទឹកនោះ
មើលដំណោះស្រាយ
កាំ ៖ \(R = \frac{18.84}{2 \times 3.14} = 3\text{ m}\)
អង្កត់ផ្ចិត ៖ \(d = 2 \times 3 = 6\text{ m}\)
កង់ម៉ូតូមួយមានកាំ \(R = 30\text{ cm}\) ៖
គណនាបរិមាត្រកង់ (យក \(\pi \approx 3.14\))
តើកង់ត្រូវវិលប៉ុន្មានជុំដើម្បីបរបានចម្ងាយ \(1.884\text{ km}\)?
មើលដំណោះស្រាយ
បរិមាត្រកង់ ៖ \(P = 2 \times 3.14 \times 30 = 188.4\text{ cm} = 1.884\text{ m}\)
ចំនួនជុំ ៖ \(\frac{1884\text{ m}}{1.884\text{ m}} = 1000\) ជុំ
គណនាបរិមាត្រនៃកន្លះរង្វង់ (រួមទាំងអង្កត់ផ្ចិត) ៖
កាំ \(R = 7\text{ cm}\) (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\))
អង្កត់ផ្ចិត \(d = 10\text{ cm}\) (យក \(\pi \approx 3.14\))
មើលដំណោះស្រាយ
បរិមាត្រកន្លះរង្វង់ (\(P = \pi R + 2R\)) ៖
\(P = \frac{22}{7} \times 7 + 14 = 22 + 14 = 36\text{ cm}\)
\(P = \frac{3.14 \times 10}{2} + 10 = 15.7 + 10 = 25.7\text{ cm}\)
គេមានរង្វង់ពីរ ៖ រង្វង់ទី ១ មានកាំ \(4\text{ cm}\) រង្វង់ទី ២ មានកាំ \(8\text{ cm}\) ៖
គណនាបរិមាត្រនៃរង្វង់នីមួយៗ
រកផលធៀបនៃបរិមាត្ររង្វង់ទាំងពីរ
មើលដំណោះស្រាយ
\(P_1 = 2\pi(4) = 8\pi\text{ cm}\), \(P_2 = 2\pi(8) = 16\pi\text{ cm}\)
ផលធៀប ៖ \(\frac{P_1}{P_2} = \frac{8\pi}{16\pi} = \frac{1}{2}\)
ដើមឈើធំមួយដើមមានរាងមូល បុរសម្នាក់យកខ្សែវាស់ជុំវិញដើមបានប្រវែង \(2.2\text{ m}\) ៖
គណនាកាំនៃដើមឈើនោះ (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\))
គណនាអង្កត់ផ្ចិតនៃដើមឈើនោះ
មើលដំណោះស្រាយ
កាំ ៖ \(R = \frac{2.2}{2 \times \frac{22}{7}} = 0.35\text{ m} = 35\text{ cm}\)
អង្កត់ផ្ចិត ៖ \(d = 2 \times 0.35 = 0.7\text{ m} = 70\text{ cm}\)
ផ្លូវរត់ប្រណាំងមួយជុំមានរាងជារង្វង់កាំ \(50\text{ m}\) (យក \(\pi \approx 3.14\)) ៖
គណនាប្រវែងផ្លូវរត់មួយជុំ
កីឡាករម្នាក់រត់បាន ៥ ជុំ គណនាចម្ងាយសរុប
មើលដំណោះស្រាយ
១ ជុំ ៖ \(P = 2 \times 3.14 \times 50 = 314\text{ m}\)
៥ ជុំ ៖ \(5 \times 314 = 1570\text{ m}\)
គណនាក្រឡាផ្ទៃថាសរង្វង់ (យក \(\pi \approx 3.14\)) ៖
កាំ \(R = 6\text{ cm}\)
កាំ \(R = 20\text{ m}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ក្រឡាផ្ទៃថាស (\(S = \pi R^2\)) ៖
\(S = 3.14 \times 6^2 = 113.04\text{ cm}^2\)
\(S = 3.14 \times 20^2 = 1256\text{ m}^2\)
គណនាក្រឡាផ្ទៃថាសរង្វង់ (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\)) ៖
អង្កត់ផ្ចិត \(d = 14\text{ cm}\)
អង្កត់ផ្ចិត \(d = 42\text{ m}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ក្រឡាផ្ទៃថាស (\(S = \pi R^2\)) ៖
\(R = 7\text{ cm} \Rightarrow S = \frac{22}{7} \times 7^2 = 154\text{ cm}^2\)
\(R = 21\text{ m} \Rightarrow S = \frac{22}{7} \times 21^2 = 1386\text{ m}^2\)
ថាសរង្វង់មួយមានក្រឡាផ្ទៃ \(S = 78.5\text{ cm}^2\) (យក \(\pi \approx 3.14\)) ៖
គណនាកាំ \(R\) នៃថាសរង្វង់
គណនាបរិមាត្រនៃរង្វង់ព្រំប្រទល់
មើលដំណោះស្រាយ
\(R^2 = \frac{78.5}{3.14} = 25 \Rightarrow R = 5\text{ cm}\)
បរិមាត្រ ៖ \(P = 2 \times 3.14 \times 5 = 31.4\text{ cm}\)
កងរង្វង់មួយមានកាំក្រៅ \(R = 8\text{ cm}\) និងកាំក្នុង \(r = 6\text{ cm}\) ៖
គណនាក្រឡាផ្ទៃនៃថាសក្រៅ និងថាសក្នុង
គណនាក្រឡាផ្ទៃកងរង្វង់ (យក \(\pi \approx 3.14\))
មើលដំណោះស្រាយ
\(S_{\text{out}} = 3.14 \times 64 = 200.96\text{ cm}^2\)
\(S_{\text{in}} = 3.14 \times 36 = 113.04\text{ cm}^2\)ផ្ទៃកង ៖ \(200.96 - 113.04 = 87.92\text{ cm}^2\)
តុបាយមូលមួយមានអង្កត់ផ្ចិត \(1.2\text{ m}\) (យក \(\pi \approx 3.14\)) ៖
គណនាក្រឡាផ្ទៃមុខតុគិតជា \(\text{m}^2\)
បើថ្លៃវ៉ារនីស \(15\$\text{/m}^2\) រកប្រាក់ចំណាយ
មើលដំណោះស្រាយ
\(R = 0.6\text{ m} \Rightarrow S = 3.14 \times 0.6^2 = 1.1304\text{ m}^2\)
ប្រាក់ចំណាយ ៖ \(1.1304 \times 15 = 16.96\$\)
ថាសមូលពីរមានកាំ \(R_1 = 3\text{ cm}\) និង \(R_2 = 6\text{ cm}\) ៖
គណនាក្រឡាផ្ទៃនៃថាសនីមួយៗ
រកផលធៀបនៃក្រឡាផ្ទៃថាសទាំងពីរ
មើលដំណោះស្រាយ
\(S_1 = 9\pi\text{ cm}^2\) និង \(S_2 = 36\pi\text{ cm}^2\)
ផលធៀប ៖ \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{9\pi}{36\pi} = \frac{1}{4}\)
ដីសួនផ្ការាងកន្លះថាសមួយមានអង្កត់ផ្ចិត \(14\text{ m}\) (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\)) ៖
គណនាក្រឡាផ្ទៃនៃសួនផ្កានោះ
គណនាបរិមាត្រសរុបនៃសួនផ្កានោះ
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៃ ៖ \(S = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 77\text{ m}^2\)
បរិមាត្រ ៖ \(P = \frac{22}{7} \times 7 + 14 = 36\text{ m}\)
គេមានការ៉េមួយជ្រុង \(10\text{ cm}\) និងថាសកាំ \(5\text{ cm}\) ៖
គណនាក្រឡាផ្ទៃរូបទាំងពីរ (យក \(\pi \approx 3.14\))
ប្រៀបធៀបក្រឡាផ្ទៃរូបទាំងពីរ
មើលដំណោះស្រាយ
\(S_{\text{ការ៉េ}} = 10^2 = 100\text{ cm}^2\)
\(S_{\text{ថាស}} = 3.14 \times 5^2 = 78.5\text{ cm}^2\)\(S_{\text{ការ៉េ}} > S_{\text{ថាស}}\) (ធំជាង \(21.5\text{ cm}^2\))
កងរង្វង់មួយមានផ្ទៃ \(S = 66\text{ cm}^2\) និងកាំក្នុង \(r = 4\text{ cm}\) (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\)) ៖
សរសេរសមីការរកកាំក្រៅ \(R\)
គណនាប្រវែងកាំក្រៅ \(R\) នោះ
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការ ៖ \(\frac{22}{7}(R^2 - 16) = 66\)
\(R^2 - 16 = 21 \Rightarrow R = \sqrt{37} \approx 6.08\text{ cm}\)
ស្រះទឹកមូលមួយមានកាំ \(10\text{ m}\)។ គេធ្វើផ្លូវដើរទទឹង \(2\text{ m}\) ព័ទ្ធជុំវិញ ៖
រកកាំក្រៅនៃផ្លូវដើរព័ទ្ធជុំវិញស្រះ
គណនាក្រឡាផ្ទៃនៃផ្លូវដើរនោះ (យក \(\pi \approx 3.14\))
មើលដំណោះស្រាយ
កាំក្រៅ ៖ \(R = 10 + 2 = 12\text{ m}\)
ផ្ទៃផ្លូវ ៖
\(S = 3.14 \times (144 - 100) = 138.16\text{ m}^2\)
រង្វង់មួយមានកាំ \(R = 18\text{ cm}\) (យក \(\pi \approx 3.14\)) ៖
គណនាប្រវែងធ្នូត្រូវនឹងមុំផ្ចិត \(\alpha = 40^\circ\)
គណនាប្រវែងធ្នូត្រូវនឹងមុំផ្ចិត \(\alpha = 100^\circ\)
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រវែងធ្នូ (\(L = \frac{\pi R \alpha}{180}\)) ៖
\(L_1 = \frac{3.14 \times 18 \times 40}{180} = 12.56\text{ cm}\)
\(L_2 = \frac{3.14 \times 18 \times 100}{180} = 31.4\text{ cm}\)
ធ្នូមួយមានប្រវែង \(L = 15.7\text{ cm}\) ត្រូវនឹងមុំផ្ចិត \(\alpha = 90^\circ\) ៖
គណនាបរិមាត្ររង្វង់ទាំងមូល
គណនាកាំ \(R\) នៃរង្វង់នោះ (យក \(\pi \approx 3.14\))
មើលដំណោះស្រាយ
\(\alpha = 90^\circ \Rightarrow\) បរិមាត្ររង្វង់ ៖
\(P = 4 \times 15.7 = 62.8\text{ cm}\)កាំ ៖ \(R = \frac{62.8}{2 \times 3.14} = 10\text{ cm}\)
ចម្រៀកថាសមួយមានកាំ \(R = 14\text{ cm}\) និងមុំផ្ចិត \(45^\circ\) (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\)) ៖
គណនាប្រវែងធ្នូនៃចម្រៀកថាស
គណនាបរិមាត្រនៃចម្រៀកថាសនោះ
មើលដំណោះស្រាយ
ធ្នូ ៖ \(L = \frac{\frac{22}{7} \times 14 \times 45}{180} = 11\text{ cm}\)
បរិមាត្រចម្រៀក ៖ \(11 + 2(14) = 39\text{ cm}\)
ក្នុងរង្វង់កាំ \(R = 10\text{ cm}\) ធ្នូមួយមានប្រវែងស្មើកាំ \(R\) ៖
សរសេរសមីការរកមុំផ្ចិត \(\alpha^\circ\)
គណនារង្វាស់មុំផ្ចិត \(\alpha\) គិតជាដឺក្រេ
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការ ៖ \(\frac{\pi R \alpha}{180} = R \Rightarrow \frac{\pi \alpha}{180} = 1\)
\(\alpha = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ\) (១ រ៉ាដ្យង់)
ចម្រៀកថាសមួយមានបរិមាត្រ \(P = 26\text{ cm}\) និងកាំ \(R = 7\text{ cm}\) ៖
គណនាប្រវែងធ្នូនៃចម្រៀកថាស
រកមុំផ្ចិត \(\alpha^\circ\) (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\))
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រវែងធ្នូ ៖ \(L = 26 - 2(7) = 12\text{ cm}\)
\(12 = \frac{22\alpha}{180} \Rightarrow \alpha \approx 98.18^\circ\)
ត្រីកោណសម័ង្ស \(ABC\) ចារឹកក្នុងរង្វង់ផ្ចិត \(O\) ៖
គណនារង្វាស់មុំផ្ចិត \(\angle AOB\)
បើកាំ \(R = 6\text{ cm}\) គណនាប្រវែងធ្នូតូច \(AB\)
មើលដំណោះស្រាយ
\(\angle AOB = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ\)
\(L = \frac{2 \times 3.14 \times 6}{3} = 12.56\text{ cm}\)
ចតុកោណកែងមួយចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ \(R = 10\text{ cm}\) មានអង្កត់ទ្រូងកាត់គ្នាត្រង់ \(O\) ដោយបង្កើតមុំ \(60^\circ\) ៖
គណនាប្រវែងធ្នូតូចត្រូវនឹងមុំ \(60^\circ\)
គណនាប្រវែងធ្នូធំត្រូវគ្នានឹងធ្នូនោះ
មើលដំណោះស្រាយ
ធ្នូតូច (\(60^\circ\)) ៖
\(L = \frac{2 \times 3.14 \times 10 \times 60}{360} \approx 10.47\text{ cm}\)ធ្នូធំ (\(300^\circ\)) ៖ \(5 \times 10.47 \approx 52.33\text{ cm}\)
ទ្រនិចនាឡិកាវែងមានប្រវែង \(12\text{ cm}\) ៖
រកមុំដែលទ្រនិចវិលបានក្នុងរយៈពេល ២០ នាទី
គណនាចម្ងាយដែលចុងទ្រនិចចរបាន (យក \(\pi \approx 3.14\))
មើលដំណោះស្រាយ
២០ នាទី ៖ \(\alpha = \frac{20}{60} \times 360^\circ = 120^\circ\)
ចម្ងាយ ៖
\(L = \frac{2 \times 3.14 \times 12 \times 120}{360} = 25.12\text{ cm}\)
រង្វង់មួយមានកាំ \(R = 21\text{ cm}\) (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\)) ៖
គណនាប្រវែងធ្នូត្រូវនឹងមុំ \(\alpha = 120^\circ\)
គណនាបរិមាត្រចម្រៀកថាសត្រូវគ្នានោះ
មើលដំណោះស្រាយ
ធ្នូ ៖ \(L = \frac{\frac{22}{7} \times 21 \times 120}{180} = 44\text{ cm}\)
បរិមាត្រចម្រៀក ៖ \(44 + 2(21) = 86\text{ cm}\)
ធ្នូពីរនៃរង្វង់តែមួយមានមុំផ្ចិត \(30^\circ\) និង \(90^\circ\) ៖
រកផលធៀបនៃប្រវែងធ្នូទាំងពីរ
បើធ្នូតូចមានប្រវែង \(5\text{ cm}\) រកប្រវែងធ្នូធំ
មើលដំណោះស្រាយ
ផលធៀប ៖ \(\frac{L_1}{L_2} = \frac{30^\circ}{90^\circ} = \frac{1}{3}\)
ប្រវែងធ្នូធំ ៖ \(L_2 = 3 \times 5 = 15\text{ cm}\)
គណនាក្រឡាផ្ទៃចម្រៀកថាស (យក \(\pi \approx 3.14\)) ៖
កាំ \(R = 10\text{ cm}\) និងមុំ \(\alpha = 36^\circ\)
កាំ \(R = 12\text{ cm}\) និងមុំ \(\alpha = 90^\circ\)
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៃចម្រៀកថាស (\(S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}\)) ៖
\(S = \frac{3.14 \times 100 \times 36}{360} = 31.4\text{ cm}^2\)
\(S = \frac{3.14 \times 144 \times 90}{360} = 113.04\text{ cm}^2\)
គណនាក្រឡាផ្ទៃចម្រៀកថាស (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\)) ៖
កាំ \(R = 14\text{ cm}\) និងមុំ \(\alpha = 60^\circ\)
កាំ \(R = 7\text{ cm}\) និងមុំ \(\alpha = 120^\circ\)
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៃចម្រៀកថាស ៖
\(S = \frac{\frac{22}{7} \times 196 \times 60}{360} \approx 102.67\text{ cm}^2\)
\(S = \frac{\frac{22}{7} \times 49 \times 120}{360} \approx 51.33\text{ cm}^2\)
ចម្រៀកថាសមួយមានកាំ \(R = 8\text{ cm}\) និងប្រវែងធ្នូ \(L = 10\text{ cm}\) ៖
គណនាក្រឡាផ្ទៃតាមរូបមន្ត \(S = \frac{LR}{2}\)
គណនាមុំផ្ចិត \(\alpha^\circ\) នៃចម្រៀកថាសនោះ
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៃ ៖ \(S = \frac{LR}{2} = \frac{10 \times 8}{2} = 40\text{ cm}^2\)
\(\alpha = \frac{10 \times 180}{3.14 \times 8} \approx 71.66^\circ\)
កម្រាលឥដ្ឋការ៉ូការ៉េមួយជ្រុង \(20\text{ cm}\) មានចារឹកថាសមូលមួយ ៖
គណនាក្រឡាផ្ទៃថាសមូលនោះ (យក \(\pi \approx 3.14\))
គណនាក្រឡាផ្ទៃផ្នែក ៤ ជ្រុងដែលនៅសល់
មើលដំណោះស្រាយ
\(R = 10\text{ cm} \Rightarrow S_{\text{ថាស}} = 3.14 \times 100 = 314\text{ cm}^2\)
ផ្ទៃនៅសល់ ៖ \(20^2 - 314 = 86\text{ cm}^2\)
ចម្រៀកថាសមួយមានផ្ទៃ \(S = 25.12\text{ cm}^2\) និងមុំ \(\alpha = 72^\circ\) ៖
គណនាក្រឡាផ្ទៃថាសទាំងមូល (យក \(\pi \approx 3.14\))
គណនាប្រវែងកាំ \(R\) នៃថាសនោះ
មើលដំណោះស្រាយ
\(72^\circ = \frac{360^\circ}{5} \Rightarrow S_{\text{សរុប}} = 5 \times 25.12 = 125.6\text{ cm}^2\)
\(R = \sqrt{\frac{125.6}{3.14}} = \sqrt{40} \approx 6.32\text{ cm}\)
បង្អួចផ្ទះមួយរាងចតុកោណកែងទំហំ \(1.2\text{ m} \times 1.6\text{ m}\) លើដោយកន្លះថាសរង្វង់ ៖
គណនាកាំ និងផ្ទៃកន្លះថាស (យក \(\pi \approx 3.14\))
គណនាក្រឡាផ្ទៃសរុបនៃបង្អួចនោះ
មើលដំណោះស្រាយ
\(R = 0.6\text{ m} \Rightarrow S_{\text{កន្លះថាស}} = \frac{3.14 \times 0.36}{2} = 0.5652\text{ m}^2\)
ផ្ទៃសរុប ៖ \(1.2 \times 1.6 + 0.5652 = 2.4852\text{ m}^2\)
ក្នុងថាសកាំ \(R = 6\text{ cm}\) ចម្រៀកថាសមុំ \(\alpha = 90^\circ\) មានត្រីកោណកែង \(OAB\) ៖
គណនាក្រឡាផ្ទៃចម្រៀកថាស និងផ្ទៃ \(\triangle OAB\)
គណនាក្រឡាផ្ទៃកំណាត់ថាសតូច (យក \(\pi \approx 3.14\))
មើលដំណោះស្រាយ
\(S_{\text{ចម្រៀក}} = \frac{3.14 \times 36}{4} = 28.26\text{ cm}^2\)
\(S_{\triangle OAB} = \frac{6 \times 6}{2} = 18\text{ cm}^2\)ផ្ទៃកំណាត់ថាស ៖ \(28.26 - 18 = 10.26\text{ cm}^2\)
ផ្ទាំងរូបភាពរាងចតុកោណកែង \(30\text{ cm} \times 20\text{ cm}\) មានកាត់ជ្រុងទាំង ៤ ជារង្វង់មួយភាគបួនកាំ \(5\text{ cm}\) ៖
គណនាផលបូកក្រឡាផ្ទៃជ្រុងទាំង ៤ ដែលកាត់ចេញ
គណនាក្រឡាផ្ទៃនៃផ្ទាំងរូបភាពដែលនៅសល់
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៃជ្រុងកាត់ចេញ ៖ \(3.14 \times 5^2 = 78.5\text{ cm}^2\)
ផ្ទៃនៅសល់ ៖ \(30 \times 20 - 78.5 = 521.5\text{ cm}^2\)
ផ្លិតកង្ហារមួយបើកបានមុំ \(150^\circ\) និងមានប្រវែងកាំ \(24\text{ cm}\) ៖
គណនាក្រឡាផ្ទៃខ្យល់បក់របស់ផ្លិត (យក \(\pi \approx 3.14\))
គណនាបរិមាត្រនៃរាងផ្លិតនោះ
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៃផ្លិត ៖ \(\frac{3.14 \times 576 \times 150}{360} = 753.6\text{ cm}^2\)
បរិមាត្រ ៖ \(62.8 + 2(24) = 110.8\text{ cm}\)
ចម្ការមួយរាងចតុកោណកែង \(40\text{ m} \times 30\text{ m}\) មានស្រះមូលកាំ \(7\text{ m}\) ចំកណ្ដាល ៖
គណនាផ្ទៃស្រះមូល (យក \(\pi \approx \frac{22}{7}\))
គណនាផ្ទៃដីចម្ការដែលនៅសល់សម្រាប់ដាំដំណាំ
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៃស្រះ ៖ \(\frac{22}{7} \times 7^2 = 154\text{ m}^2\)
ផ្ទៃដាំដំណាំ ៖ \(40 \times 30 - 154 = 1046\text{ m}^2\)
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១៧ រង្វង់ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី