មេរៀនទី ១៤ : បន្ទាត់ស្រប និងបន្ទាត់កែង — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៧

ប្រវត្តិនៃបន្ទាត់ស្រប និងស្វ័យសច្ចអឺគ្លីដ

សញ្ញាណនៃ «បន្ទាត់ស្រប» និង «បន្ទាត់កែង» គឺជាសសរទ្រូងដ៏រឹងមាំនៃធរណីមាត្រប្លង់ ដែលត្រូវបានកត់ត្រា និងរៀបចំជាប្រព័ន្ធដំបូងបង្អស់ដោយគណិតវិទូក្រិកបុរាណលោក អឺគ្លីដ (Euclid of Alexandria, ប្រហែល ៣០០ ឆ្នាំមុន គ.ស.) នៅក្នុងស្នាដៃអមតៈ «ធាតុគ្រឹះ» (Elements)។ នៅក្នុងសៀវភៅនេះ អឺគ្លីដបានលើកឡើងនូវស្វ័យសច្ចដ៏ល្បីល្បាញមួយគឺ «ស្វ័យសច្ចទី ៥» ឬស្វ័យសច្ចបន្ទាត់ស្រប ដែលចែងថា ៖ «តាមចំណុចមួយនៅក្រៅបន្ទាត់មួយ គេអាចគូសបានបន្ទាត់តែមួយគត់ដែលស្របនឹងបន្ទាត់នោះ» (ដែលក្រោយមកត្រូវបានពន្យល់យ៉ាងច្បាស់ដោយលោក John Playfair ក្នុងឆ្នាំ ១៧៩៥)។

អស់រយៈពេលជាង ២០០០ ឆ្នាំ ស្វ័យសច្ចនេះបានជំរុញឱ្យគណិតវិទូល្បីៗជាច្រើនជំនាន់ ដូចជា Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Saccheri និងក្រោយមក Gauss, Bolyai និង Lobachevsky ធ្វើការស្រាវជ្រាវយ៉ាងស៊ីជម្រៅ រហូតបង្កើតបានជា «ធរណីមាត្រមិនមែនអឺគ្លីដ» (Non-Euclidean Geometry)។ នៅក្នុងជីវភាពជាក់ស្ដែង បន្ទាត់ស្រប និងបន្ទាត់កែង ត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការស្ថាបនាស្ថាបត្យកម្មដ៏អស្ចារ្យដូចជា ប្រាសាទអង្គរវត្ត ប្រព័ន្ធផ្លូវរថភ្លើង ប្លង់ស្ថាបត្យកម្មទីក្រុង ការវាស់វែងដីធ្លី និងវិស្វកម្មសំណង់ទំនើប។

សញ្ញាណទូទៅនៃបន្ទាត់ស្រប និងបន្ទាត់កែង

នៅក្នុងធរណីមាត្រប្លង់ ទំនាក់ទំនងទីតាំងរវាងបន្ទាត់ពីរមានលក្ខណៈគ្រឹះ ៖

បន្ទាត់កែង (\(d_1 \perp d_2\)) ៖ បន្ទាត់ពីរដែលប្រសព្វគ្នាក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយបង្កើតបានជាមុំកែងមួយ (\(90^\circ\)) នាំឱ្យមុំទាំងបួនសុទ្ធតែជាមុំកែង។
បន្ទាត់ស្រប (\(d_1 \parallel d_2\)) ៖ បន្ទាត់ពីរក្នុងប្លង់តែមួយដែលគ្មានចំណុចរួមទាល់តែសោះ (\(d_1 \cap d_2 = \emptyset\)) ឬត្រួតស៊ីគ្នា។
ខ្នាត់កាត់ (Transversal) ៖ បន្ទាត់មួយដែលកាត់បន្ទាត់ពីរផ្សេងទៀតត្រង់ចំណុចពីរផ្សេងគ្នា បង្កើតបានជាមុំចំនួនប្រាំបី ដែលមានទំនាក់ទំនងធរណីមាត្រពិសេស។

បន្ទាត់កែង និងការសង់បន្ទាត់កែង

បន្ទាត់កែង និងលក្ខណៈ

បន្ទាត់កែង (Perpendicular Lines) ៖ បន្ទាត់ពីរក្នុងប្លង់មួយកែងគ្នាកាលណាវាកាត់គ្នា ហើយបង្កើតបានជាមុំកែងមួយ (\(90^\circ\))។
កាលណាបន្ទាត់ \(d\) កែងនឹង \(d'\) នោះគេបានមុំទាំងបួនដែលបង្កើតឡើងសុទ្ធតែជាមុំកែង។
និមិត្តសញ្ញា ៖ \(d \perp d'\) (អានថា \(d\) កែងនឹង \(d'\))។
ទ្រឹស្ដីបទគ្រឹះ ៖ តាមចំណុចមួយ (នៅលើបន្ទាត់ ឬក្រៅបន្ទាត់) គេអាចគូសបានបន្ទាត់តែមួយគត់ដែលកែងនឹងបន្ទាត់ដែលឱ្យ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យបន្ទាត់ \((d)\) និងចំណុច \(A\) មួយមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \((d)\)។
ក. ចូរពណ៌នាពីរបៀបសង់បន្ទាត់ \((d')\) កាត់តាម \(A\) ហើយកែងនឹង \((d)\) ដោយប្រើបន្ទាត់កែង (Eker)។
ខ. ប្រសិនបើបន្ទាត់ទាំងពីរកាត់គ្នាត្រង់ \(H\) ហើយបង្កើតបានមុំ \(\angle AHd = 90^\circ\) តើមុំបីទៀតមានរង្វាស់ប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
របៀបសង់ ៖ ដាក់ជ្រុងមុំកែងមួយនៃបន្ទាត់កែងឱ្យត្រួតស៊ីគ្នានឹងបន្ទាត់ \((d)\) រួចរុញបន្ទាត់កែងរហូតដល់ជ្រុងមុំកែងមួយទៀតប៉ះចំណុច \(A\)។ គូសបន្ទាត់តាមជ្រុងនោះ កាត់តាម \(A\) គេបានបន្ទាត់ \((d') \perp (d)\)។
ដោយមុំទាំងបួនបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់កែងពីរកាត់គ្នា នោះមុំជាប់បន្ថែម និងមុំទល់កំពូលសុទ្ធតែស្មើ \(90^\circ\)។ ដូចនេះ មុំទាំង ៣ ទៀតសុទ្ធតែមានរង្វាស់ស្មើនឹង \(90^\circ\)។

បន្ទាត់កែង និងការសង់

១. តាមចំណុច \(M\) នៅលើបន្ទាត់ \(\Delta\) តើគេអាចគូសបន្ទាត់កែងនឹង \(\Delta\) បានប៉ុន្មាន? ចុះបើ \(M\) នៅក្រៅ \(\Delta\)?
២. បន្ទាត់ \(xx'\) និង \(yy'\) កាត់គ្នាត្រង់ \(O\) ដោយ \(\angle xOy = 90^\circ\)។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ \(\angle xOy', \angle x'Oy', \angle x'Oy\)។

មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់

មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ និងលក្ខណៈ

និយមន័យ ៖ មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់មួយ គឺជាបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់នោះ ហើយកែងនឹងអង្កត់នោះ។
លក្ខណៈគ្រឹះ ៖
- គ្រប់ចំណុចនៅលើមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់មួយ មានចម្ងាយស្មើគ្នាពីចុងសងខាងនៃអង្កត់ ៖
  \[M \in (\Delta) \iff MA = MB\]
- ច្រាសមកវិញ បើចំណុច \(M\) ស្មើចម្ងាយពី \(A\) និង \(B\) (\(MA = MB\)) នោះ \(M\) ស្ថិតនៅលើមេដ្យាទ័រនៃ \([AB]\)។

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអង្កត់ \([AB] = 8\text{ cm}\) និងបន្ទាត់ \((\Delta)\) ជាមេដ្យាទ័រនៃ \([AB]\) កាត់ \([AB]\) ត្រង់ \(I\)។ ចំណុច \(M\) ស្ថិតនៅលើ \((\Delta)\) ដោយ \(MA = 5\text{ cm}\)។
ក. គណនាប្រវែង \(IA\) និង \(IB\)។
ខ. រកប្រវែង \(MB\) និងបញ្ជាក់ពីមូលហេតុ។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ដោយ \((\Delta)\) ជាមេដ្យាទ័រនៃ \([AB]\) កាត់ \([AB]\) ត្រង់ \(I\) នោះ \(I\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AB]\) ៖
នាំឱ្យ \(IA = IB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}\)។ ដូចនេះ \(\boxed{IA = IB = 4\text{ cm}}\)
ដោយ \(M\) ស្ថិតនៅលើមេដ្យាទ័រ \((\Delta)\) នៃ \([AB]\) តាមលក្ខណៈមេដ្យាទ័រ នាំឱ្យ \(M\) មានចម្ងាយស្មើគ្នាពីចុង \(A\) និង \(B\) គឺ \(MB = MA = 5\text{ cm}\)។ ដូចនេះ \(\boxed{MB = 5\text{ cm}}\)

មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់

១. ចូរប្រាប់លក្ខខណ្ឌពីរយ៉ាងដើម្បីឱ្យបន្ទាត់មួយជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់មួយ។
២. គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) មាន \(AB = AC = 7\text{ cm}\)។ តើកំពូល \(A\) ស្ថិតនៅលើមេដ្យាទ័រនៃជ្រុង \([BC]\) ដែរឬទេ? ព្រោះអ្វី?

បន្ទាត់ស្រប និងស្វ័យសច្ចអឺគ្លីដ

បន្ទាត់ស្រប និងស្វ័យសច្ចអឺគ្លីដ

បន្ទាត់ស្រប (Parallel Lines) ៖ បន្ទាត់ពីរក្នុងប្លង់តែមួយជាបន្ទាត់ស្របគ្នា កាលណាវាមិនប្រសព្វគ្នា (គ្មានចំណុចរួម) ឬត្រួតស៊ីគ្នា (\(d_1 \parallel d_2\))។
ស្វ័យសច្ចអឺគ្លីដ (Playfair’s Axiom) ៖ តាមចំណុចមួយនៅក្រៅបន្ទាត់មួយ គេអាចគូសបានបន្ទាត់តែមួយគត់ដែលស្របនឹងបន្ទាត់នោះ។
លក្ខណៈសំខាន់ៗ ៖
- ភាពឆ្លង ៖ \(d_1 \parallel d_2\) និង \(d_2 \parallel d_3 \implies d_1 \parallel d_3\) ; បើកាត់បន្ទាត់មួយ ត្រូវតែកាត់បន្ទាត់មួយទៀត។
- បើ \(d \perp d_1\) និង \(d_1 \parallel d_2 \implies d \perp d_2\) ; បើ \(d_1 \perp d\) និង \(d_2 \perp d \implies d_1 \parallel d_2\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យបន្ទាត់បី \(a, b, c\) ក្នុងប្លង់តែមួយ។
ក. បើ \(a \parallel b\) និង \(b \parallel c\) តើ \(a\) និង \(c\) មានទំនាក់ទំនងយ៉ាងដូចម្ដេច?
ខ. បើ \(a \perp c\) និង \(b \perp c\) តើ \(a\) និង \(b\) ស្របគ្នាឬទេ?
គ. បើ \(a \parallel b\) ហើយបន្ទាត់ \(d \perp a\) តើ \(d\) កែងនឹង \(b\) ដែរឬទេ?

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ក. តាមភាពឆ្លង បើ \(a \parallel b\) និង \(b \parallel c\) នោះ \(\boxed{a \parallel c}\)។ ខ. បើ \(a \perp c\) និង \(b \perp c\) នោះ \(\boxed{a \parallel b}\)។
គ. បន្ទាត់កែងនឹងបន្ទាត់មួយក្នុងចំណោមបន្ទាត់ស្របពីរ ត្រូវកែងនឹងមួយទៀត នាំឱ្យ \(\boxed{d \perp b}\)។

លក្ខណៈបន្ទាត់ស្រប

១. បន្ទាត់ \(m\) និង \(n\) ស្របគ្នា។ បន្ទាត់ \(p\) កាត់ \(m\) ត្រង់ \(A\)។ តើ \(p\) អាចស្របនឹង \(n\) បានដែរឬទេ? ព្រោះអ្វី?
២. គេឱ្យបន្ទាត់បួន \(d_1, d_2, d_3, d_4\) ដោយ \(d_1 \parallel d_2, d_2 \parallel d_3\) និង \(d_3 \perp d_4\)។ តើ \(d_1\) និង \(d_4\) មានទំនាក់ទំនងបែបណា?

មុំបង្កើតដោយបន្ទាត់ពីរ និងខ្នាត់កាត់មួយ

មុំផ្គុំដោយបន្ទាត់ពីរ និងខ្នាត់កាត់

បន្ទាត់ពីរ \(d_1, d_2\) កាត់ដោយខ្នាត់មួយ \((\Delta)\) ត្រង់ \(A, B\) បង្កើតបានមុំ ៨ ៖

មុំឆ្លាស់ក្នុង ៖ នៅខាងក្នុង និងសងខាងខ្នាត់កាត់ ៖ \((\widehat{A}_3, \widehat{B}_1)\) និង \((\widehat{A}_4, \widehat{B}_2)\)។
មុំឆ្លាស់ក្រៅ ៖ នៅខាងក្រៅ និងសងខាងខ្នាត់កាត់ ៖ \((\widehat{A}_1, \widehat{B}_3)\) និង \((\widehat{A}_2, \widehat{B}_4)\)។
មុំស្រប (ត្រូវគ្នា) ៖ មួយក្នុង មួយក្រៅ នៅម្ខាងនៃខ្នាត់ ៖ \((\widehat{A}_1, \widehat{B}_1), (\widehat{A}_2, \widehat{B}_2), (\widehat{A}_3, \widehat{B}_3), (\widehat{A}_4, \widehat{B}_4)\)។
មុំក្នុងរួមខាង ៖ នៅខាងក្នុង និងនៅម្ខាងនៃខ្នាត់កាត់ ៖ \((\widehat{A}_4, \widehat{B}_1)\) និង \((\widehat{A}_3, \widehat{B}_2)\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

ផ្អែកតាមរូបភាពខាងលើ ចូរប្រាប់ឈ្មោះ ៖
ក. គូមុំឆ្លាស់ក្នុងទាំងអស់។ ខ. គូមុំស្រប (មុំត្រូវគ្នា) ទាំងអស់។ គ. គូមុំក្នុងរួមខាងទាំងអស់។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ក. គូមុំឆ្លាស់ក្នុង ៖ \((\widehat{A}_3, \widehat{B}_1)\) និង \((\widehat{A}_4, \widehat{B}_2)\)។
ខ. គូមុំស្រប (ត្រូវគ្នា) ៖ \(\boxed{(\widehat{A}_1, \widehat{B}_1), (\widehat{A}_2, \widehat{B}_2), (\widehat{A}_3, \widehat{B}_3), (\widehat{A}_4, \widehat{B}_4)}\)។
គ. គូមុំក្នុងរួមខាង ៖ \((\widehat{A}_4, \widehat{B}_1)\) និង \((\widehat{A}_3, \widehat{B}_2)\)។

មុំផ្គុំដោយបន្ទាត់ពីរ និងខ្នាត់មួយ

១. តាមរូបខាងលើ ចូរប្រាប់គូមុំឆ្លាស់ក្រៅទាំងអស់។
២. ចូរប្រាប់គូមុំក្រៅរួមខាងទាំងអស់ ព្រមទាំងគូមុំទល់កំពូលត្រង់កំពូល \(A\)។

លក្ខណៈ និងលក្ខខណ្ឌនៃបន្ទាត់ស្រប

ទ្រឹស្ដីបទបន្ទាត់ស្រប និងខ្នាត់កាត់

លក្ខណៈ (បើ \(d_1 \parallel d_2\)) ៖ កាលណាបន្ទាត់ស្របពីរកាត់ដោយខ្នាត់មួយ នោះ ៖
- គូមុំឆ្លាស់ក្នុង ប៉ុនគ្នា ; គូមុំឆ្លាស់ក្រៅ ប៉ុនគ្នា ; គូមុំស្រប (ត្រូវគ្នា) ប៉ុនគ្នា
- គូមុំក្នុងរួមខាង បន្ថែមគ្នា (\(180^\circ\)) ; គូមុំក្រៅរួមខាង បន្ថែមគ្នា (\(180^\circ\))
លក្ខខណ្ឌបញ្ជាក់បន្ទាត់ស្រប (លក្ខណៈច្រាស) ៖ បន្ទាត់ពីរជាបន្ទាត់ស្របគ្នាកាលណាវាមានគូមុំឆ្លាស់ក្នុងប៉ុនគ្នា ឬគូមុំឆ្លាស់ក្រៅប៉ុនគ្នា ឬគូមុំស្របប៉ុនគ្នា ឬគូមុំក្នុងរួមខាងបន្ថែមគ្នា (\(180^\circ\))។
មុំមានជ្រុងស្របរៀងគ្នា (ឬកែងរៀងគ្នា) ៖ ប៉ុនគ្នាកាលណាស្រួចទាំងពីរ ឬទាលទាំងពីរ ; បន្ថែមគ្នាកាលណាមួយស្រួច មួយទាល។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យបន្ទាត់ \(d_1 \parallel d_2\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(t\) ដោយមុំស្របមួយគូមាន \(\widehat{A}_1 = 70^\circ\)។
គណនារង្វាស់មុំ ៖ \(\widehat{B}_1\) (មុំស្រប), \(\widehat{B}_2\) (មុំក្នុងរួមខាង), និង \(\widehat{B}_3\) (មុំឆ្លាស់ក្រៅ)។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ដោយ \(d_1 \parallel d_2\) នាំឱ្យ ៖
- មុំស្រប ៖ \(\widehat{B}_1 = \widehat{A}_1 = \boxed{70^\circ}\) ; មុំឆ្លាស់ក្រៅ ៖ \(\widehat{B}_3 = \widehat{A}_1 = \boxed{70^\circ}\)
- មុំក្នុងរួមខាង ៖ \(\widehat{B}_2 = 180^\circ - \widehat{A}_1 = 180^\circ - 70^\circ = \boxed{110^\circ}\)

លក្ខខណ្ឌបន្ទាត់ស្រប

១. គេឱ្យបន្ទាត់ពីរ \(a\) និង \(b\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(c\)។ ដឹងថាមុំក្នុងរួមខាងមួយគូមានរង្វាស់ \(115^\circ\) និង \(65^\circ\)។ តើ \(a \parallel b\) ដែរឬទេ? ព្រោះអ្វី?
២. មុំពីរមានជ្រុងត្រូវគ្នាស្របរៀងគ្នា ដោយមុំមួយជាមុំស្រួច \(50^\circ\) ហើយមុំមួយទៀតជាមុំទាល។ គណនារង្វាស់មុំទាលនោះ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ចូរពន្យល់ពីអត្ថន័យ និងលើកឧទាហរណ៍ជាក់ស្ដែងនៃ ៖

បន្ទាត់កែង
បន្ទាត់ស្រប
ខ្នាត់កាត់

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់កែង ៖ ជាបន្ទាត់ពីរកាត់គ្នាក្នុងប្លង់បង្កើតបានមុំ \(90^\circ\) (ឧ. ជ្រុងក្ដារខៀន)។
បន្ទាត់ស្រប ៖ ជាបន្ទាត់ពីរក្នុងប្លង់ដែលមិនប្រសព្វគ្នា (ឧ. ផ្លូវរថភ្លើង)។
ខ្នាត់កាត់ ៖ ជាបន្ទាត់កាត់បន្ទាត់ពីរឬច្រើនត្រង់ចំណុចផ្សេងគ្នា (ឧ. ធ្នឹមរបង)។

២លំហាត់ទី ២

ក្នុងបន្ទប់រៀនរបស់អ្នក ចូរចង្អុលបង្ហាញវត្ថុដែលតំណាងឱ្យ ៖

គូបន្ទាត់ស្របគ្នាចំនួន ២ គូ
គូបន្ទាត់កែងគ្នាចំនួន ២ គូ

មើលដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍ជាក់ស្ដែង ៖

២ គូបន្ទាត់ស្រប ៖ គែមលើ-ក្រោមនៃក្ដារខៀន, គែមសងខាងនៃមាត់ទ្វារ។
២ គូបន្ទាត់កែង ៖ គែមឈរនិងគែមផ្ដេកនៃក្ដារខៀន, ជើងតុនិងផ្ទៃរាបនៃតុ។

៣លំហាត់ទី ៣

បន្ទាត់ពីរ \(d_1\) និង \(d_2\) កាត់គ្នាត្រង់ \(O\) ដោយបង្កើតបានមុំមួយស្មើ \(90^\circ\) ៖

គណនារង្វាស់មុំ ៣ ផ្សេងទៀត
តើបន្ទាត់ \(d_1\) និង \(d_2\) កែងគ្នាឬទេ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មុំទល់កំពូលនឹងមុំ \(90^\circ\) គឺ \(90^\circ\)។ មុំជាប់បន្ថែម ៖ \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\)។ មុំ ៣ ទៀតសុទ្ធតែមានរង្វាស់ \(90^\circ\)។
ខ. បន្ទាត់ \(d_1\) និង \(d_2\) កែងគ្នា (\(d_1 \perp d_2\)) ព្រោះវាប្រសព្វគ្នាកំណត់បានមុំកែង \(90^\circ\)។

៤លំហាត់ទី ៤

គេឱ្យចំណុច \(A\) និងបន្ទាត់ \(\Delta\) ក្នុងប្លង់ ៖

បើ \(A \in \Delta\) តើមានបន្ទាត់កែងប៉ុន្មានកាត់តាម \(A\)?
បើ \(A \notin \Delta\) តើមានបន្ទាត់កែងប៉ុន្មានកាត់តាម \(A\)?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បើ \(A \in \Delta\) ៖ មានបន្ទាត់កែងតែមួយគត់កាត់តាម \(A\) និងកែងនឹង \(\Delta\)។
ខ. បើ \(A \notin \Delta\) ៖ មានបន្ទាត់កែងតែមួយគត់កាត់តាម \(A\) និងកែងនឹង \(\Delta\)។

៥លំហាត់ទី ៥

ចូររៀបរាប់ពីជំហានក្នុងការសង់បន្ទាត់កែងដោយប្រើបន្ទាត់កែង (Eker) ៖

កាត់តាមចំណុចនៅលើបន្ទាត់
កាត់តាមចំណុចនៅក្រៅបន្ទាត់

មើលដំណោះស្រាយ

ជំហានសង់ដោយអេកែ (Eker) ៖

\(A \in \Delta\) ៖ ដាក់គែមមុំកែងមួយនៃអេកែឱ្យត្រូវនឹង \(\Delta\) ដោយកំពូលមុំកែងចំ \(A\) រួចគូសបន្ទាត់តាមគែមមួយទៀត។
\(A \notin \Delta\) ៖ ដាក់គែមមុំកែងមួយតាម \(\Delta\) រំកិលឱ្យគែមម្ខាងទៀតចំ \(A\) រួចគូសបន្ទាត់កាត់តាម \(A\)។

៦លំហាត់ទី ៦

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) ៖

សរសេរគូជ្រុងកែងគ្នានិមិត្តសញ្ញា
គណនាផលបូករង្វាស់មុំ \(\angle B + \angle C\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. គូជ្រុងកែងគ្នា ៖ \(AB \perp AC\)
ខ. \(\angle B + \angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\)

៧លំហាត់ទី ៧

ក្នុងចតុកោណកែង \(ABCD\) ចូរប្រាប់ឈ្មោះ ៖

គូជ្រុងដែលស្របគ្នាទាំងអស់
គូជ្រុងដែលកែងគ្នាទាំងអស់

មើលដំណោះស្រាយ

ក្នុងចតុកោណកែង \(ABCD\) ៖

គូជ្រុងស្របគ្នា ៖ \(AB \parallel CD\) និង \(AD \parallel BC\)
គូជ្រុងកែងគ្នា ៖ \(AB \perp BC\), \(BC \perp CD\), \(CD \perp DA\), \(DA \perp AB\)

៨លំហាត់ទី ៨

គេឱ្យបន្ទាត់ \(a, b, c\) ក្នុងប្លង់តែមួយ ៖

បើ \(a \perp b\) និង \(b \perp c\) រកទំនាក់ទំនង \(a\) និង \(c\)
បើ \(a \parallel b\) និង \(b \perp c\) រកទំនាក់ទំនង \(a\) និង \(c\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បើ \(a \perp b\) និង \(b \perp c\) នោះ \(a \parallel c\) (បន្ទាត់ពីរកែងនឹងបន្ទាត់ទីបី ស្របគ្នា)។
ខ. បើ \(a \parallel b\) និង \(b \perp c\) នោះ \(a \perp c\) (បន្ទាត់កែងនឹងបន្ទាត់ស្របមួយ ត្រូវកែងនឹងបន្ទាត់មួយទៀត)។

៩លំហាត់ទី ៩

បន្ទាត់ \(m\) កាត់បន្ទាត់ \(n\) ត្រង់ \(P\) បង្កើតបានមុំមួយស្មើ \(45^\circ\) ៖

តើ \(m\) និង \(n\) កែងគ្នាដែរឬទេ? ព្រោះអ្វី?
គណនារង្វាស់មុំ ៣ ផ្សេងទៀត

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(m\) និង \(n\) មិនកែងគ្នាទេ ព្រោះមុំប្រសព្វស្មើ \(45^\circ \neq 90^\circ\)។
ខ. មុំទល់កំពូលគឺ \(45^\circ\); មុំជាប់បន្ថែមពីរទៀតគឺ \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)។ ដូចនេះមុំ ៣ ទៀតគឺ \(135^\circ, 45^\circ, 135^\circ\)។

១០លំហាត់ទី ១០

គេឱ្យមុំកែង \(\angle xOy = 90^\circ\) និងកន្លះបន្ទាត់ \([Oz)\) ក្នុងមុំនោះ ៖

បើ \(\angle xOz = 35^\circ\) គណនា \(\angle zOy\)
បើ \(\angle xOz = \angle zOy\) គណនា \(\angle xOz\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(\angle zOy = 90^\circ - \angle xOz = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\)
ខ. \(\angle xOz = \angle zOy \Rightarrow \angle xOz = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\)

១១លំហាត់ទី ១១

ចូរពោលនិយមន័យ និងលក្ខណៈគ្រឹះនៃមេដ្យាទ័រ ៖

និយមន័យនៃមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់
លក្ខណៈស្មើចម្ងាយពីចុងសងខាង

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់មួយ គឺជាបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់នោះ និងកែងនឹងអង្កត់នោះ។
ខ. គ្រប់ចំណុចនៅលើមេដ្យាទ័រ មានចម្ងាយស្មើគ្នាពីចុងទាំងសងខាងនៃអង្កត់នោះ (\(MA = MB\))។

១២លំហាត់ទី ១២

អង្កត់ \([AB] = 12\text{ cm}\) មាន \(\Delta\) ជាមេដ្យាទ័រកាត់ត្រង់ \(I\) ៖

គណនាប្រវែង \(IA\) និង \(IB\)
បញ្ជាក់ពីតម្លៃនៃមុំដែល \(\Delta\) បង្កើតជាមួយ \([AB]\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(I\) ជាចំណុចកណ្ដាល \(\Rightarrow IA = IB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}\)
ខ. មុំដែល \(\Delta\) បង្កើតជាមួយ \([AB]\) មានរង្វាស់ \(90^\circ\)។

១៣លំហាត់ទី ១៣

បន្ទាត់ \(d\) ជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \([MN]\)។ ចំណុច \(P \in d\) ៖

បើ \(PM = 7.5\text{ cm}\) គណនា \(PN\)
បើ \(PN = 10\text{ cm}\) គណនា \(PM\)

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច \(P\) នៅលើមេដ្យាទ័រ ៖

ក. \(PN = PM = 7.5\text{ cm}\)
ខ. \(PM = PN = 10\text{ cm}\)

១៤លំហាត់ទី ១៤

ចំណុច \(K\) មួយផ្ទៀងផ្ទាត់ \(KA = KB\) ៖

តើ \(K\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ណាធៀបនឹង \([AB]\)?
បើ \(AB = 6\text{ cm}\) និង \(KA = 5\text{ cm}\) រកប្រភេទ \(\triangle KAB\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ចំណុច \(K\) ស្ថិតនៅលើមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \([AB]\)។
ខ. ដោយ \(KA = KB = 5\text{ cm} \neq AB = 6\text{ cm}\) នាំឱ្យ \(\triangle KAB\) ជាត្រីកោណសមបាតត្រង់កំពូល \(K\)។

១៥លំហាត់ទី ១៥

គេឱ្យត្រីកោណសមបាត \(SAB\) ដែល \(SA = SB = 8\text{ cm}\) និង \(AB = 6\text{ cm}\) ៖

បង្ហាញថាកំពូល \(S\) ស្ថិតនៅលើមេដ្យាទ័រនៃ \([AB]\)
ហៅ \(H\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AB]\)។ បង្ហាញថា \(SH \perp AB\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ដោយ \(SA = SB = 8\text{ cm}\) នាំឱ្យ \(S\) ស្មើចម្ងាយពីចុង \(A, B\) ដូចនេះ \(S\) ស្ថិតនៅលើមេដ្យាទ័រនៃ \([AB]\)។
ខ. \(H\) ជាចំណុចកណ្ដាល និង \(S\) នៅលើមេដ្យាទ័រ នាំឱ្យបន្ទាត់ \(SH\) ជាមេដ្យាទ័រនៃ \([AB]\) ហេតុនេះ \(SH \perp AB\)។

១៦លំហាត់ទី ១៦

អង្កត់ \([CD] = 10\text{ cm}\) មាន \(xy\) ជាមេដ្យាទ័រកាត់ត្រង់ \(H\)។ ចំណុច \(E\) លើ \(xy\) មាន \(ED = 13\text{ cm}\) ៖

គណនាប្រវែង \(EC\)
គណនាបរិមាត្រនៃត្រីកោណ \(ECD\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(E\) លើមេដ្យាទ័រនៃ \([CD] \Rightarrow EC = ED = 13\text{ cm}\)
ខ. បរិមាត្រ \(\triangle ECD\) ៖
\(P = EC + ED + CD = 13 + 13 + 10 = 36\text{ cm}\)

១៧លំហាត់ទី ១៧

ចូររៀបរាប់ពីជំហានក្នុងការសង់មេដ្យាទ័រដោយប្រើដែកឈាន និងបន្ទាត់ត្រង់ ៖

ជំហានគូសធ្នូរង្វង់ពីចុងទាំងសងខាង
ជំហានភ្ជាប់ចំណុចប្រសព្វទាំងពីរ

មើលដំណោះស្រាយ

ជំហានសង់មេដ្យាទ័រ ៖

ក. បើកដែកឈានកាំ \(R > \frac{AB}{2}\) រួចគូសធ្នូរង្វង់ពី \(A\) និង \(B\) ទាំងសងខាងអង្កត់។
ខ. ធ្នូរង្វង់កាត់គ្នាត្រង់ពីរចំណុច \(P\) និង \(Q\)។ គូសបន្ទាត់កាត់តាម \(P\) និង \(Q\) នោះ \(PQ\) ជាមេដ្យាទ័រ។

១៨លំហាត់ទី ១៨

គេឱ្យអង្កត់ \([EF] = 8\text{ cm}\) និងចំណុចកណ្ដាល \(M\) ៖

តើចំណុច \(M\) ស្ថិតនៅលើមេដ្យាទ័រនៃ \([EF]\) ទេ?
បើគូសបន្ទាត់ \(d \perp EF\) ត្រង់ \(E\) តើ \(d\) ជាមេដ្យាទ័រទេ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បាទ/ចាស \(M\) ស្ថិតនៅលើមេដ្យាទ័រនៃ \([EF]\) ព្រោះមេដ្យាទ័រកាត់តាមចំណុចកណ្ដាល \(M\)។
ខ. ទេ \(d\) មិនមែនជាមេដ្យាទ័រទេ ព្រោះ \(d\) កែងត្រង់ \(E\) មិនមែនកាត់តាមចំណុចកណ្ដាល \(M\) ឡើយ។

១៩លំហាត់ទី ១៩

គេឱ្យអង្កត់ \([AB]\) និងបន្ទាត់ពីរ \(\Delta_1, \Delta_2\) កែងនឹង \([AB]\) ត្រង់ចំណុចកណ្ដាល \(I\) ៖

តើ \(\Delta_1\) និង \(\Delta_2\) អាចជាបន្ទាត់ពីរផ្សេងគ្នាបានទេ?
ទាញសន្និដ្ឋានអំពីចំនួនមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់មួយ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មិនអាចជាបន្ទាត់ពីរផ្សេងគ្នាទេ ព្រោះតាមចំណុច \(I\) មានបន្ទាត់កែងតែមួយគត់ទៅនឹង \([AB]\)។
ខ. អង្កត់មួយមានមេដ្យាទ័រតែមួយគត់។

២០លំហាត់ទី ២០

ចតុកោណស្មើ \(ABCD\) មានអង្កត់ទ្រូង \([AC]\) និង \([BD]\) កាត់គ្នាត្រង់ \(O\) ៖

បង្ហាញថា \(BA = BC\) និង \(DA = DC\)
ទាញបញ្ជាក់ថា \([BD]\) ជាមេដ្យាទ័រនៃ \([AC]\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ចតុកោណស្មើមានជ្រុងទាំងបួនស្មើគ្នា \(\Rightarrow BA = BC\) និង \(DA = DC\)។
ខ. \(B\) និង \(D\) ស្មើចម្ងាយពី \(A, C\) នាំឱ្យ \(B, D\) នៅលើមេដ្យាទ័រនៃ \([AC]\) ហេតុនេះ \(BD\) ជាមេដ្យាទ័រនៃ \([AC]\)។

២១លំហាត់ទី ២១

ចូរពោលស្វ័យសច្ចអឺគ្លីដ (Playfair’s Axiom) ៖

អត្ថន័យស្វ័យសច្ចអំពីបន្ទាត់ស្រប
ការអនុវត្តស្វ័យសច្ចក្នុងការគូសបន្ទាត់ស្រប

មើលដំណោះស្រាយ

ក. តាមចំណុចមួយនៅក្រៅបន្ទាត់មួយ មានបន្ទាត់តែមួយគត់ដែលស្របនឹងបន្ទាត់នោះ។
ខ. អនុវត្តក្នុងការគូសបន្ទាត់ស្របដោយប្រើបន្ទាត់កែងពីរបន្តបន្ទាប់ ឬសង់មុំឆ្លាស់ក្នុងស្មើគ្នា។

២២លំហាត់ទី ២២

គេឱ្យបន្ទាត់ \(d_1 \parallel d_2\) និង \(d_2 \parallel d_3\) ៖

ទាញបញ្ជាក់ថា \(d_1 \parallel d_3\)
បើបន្ថែមបន្ទាត់ \(d_4 \parallel d_3\) តើ \(d_1 \parallel d_4\) ដែរឬទេ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. តាមលក្ខណៈឆ្លង ៖ បន្ទាត់ពីរស្របនឹងបន្ទាត់ទីបីតែមួយ ស្របគ្នា ដូចនេះ \(d_1 \parallel d_3\)។
ខ. បាទ/ចាស ដោយ \(d_1 \parallel d_3\) និង \(d_4 \parallel d_3\) នាំឱ្យ \(d_1 \parallel d_4\)។

២៣លំហាត់ទី ២៣

គេឱ្យបន្ទាត់ \(a \parallel b\) និងបន្ទាត់ \(c \perp a\) ៖

ទាញបញ្ជាក់ថា \(c \perp b\)
តើមុំទាំងបួនដែល \(c\) បង្កើតជាមួយ \(b\) មានរង្វាស់ប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បន្ទាត់កែងនឹងបន្ទាត់ស្របមួយ ត្រូវកែងនឹងបន្ទាត់មួយទៀត នាំឱ្យ \(c \perp b\)។
ខ. មុំទាំងបួនសុទ្ធតែជាមុំកែង មានរង្វាស់ \(90^\circ\)។

២៤លំហាត់ទី ២៤

គេឱ្យបន្ទាត់ \(u \perp w\) និង \(v \perp w\) ក្នុងប្លង់តែមួយ ៖

ទាញបញ្ជាក់ថា \(u \parallel v\)
បើបន្ទាត់ \(t \perp u\) តើ \(t\) មានទំនាក់ទំនងយ៉ាងណាជាមួយ \(v\)?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បន្ទាត់ពីរកែងនឹងបន្ទាត់ទីបីតែមួយ ស្របគ្នា ដូចនេះ \(u \parallel v\)។
ខ. បើ \(t \perp u\) ហើយ \(u \parallel v\) នាំឱ្យ \(t \perp v\)។

២៥លំហាត់ទី ២៥

បន្ទាត់ \(m \parallel n\)។ បន្ទាត់ \(d\) កាត់ \(m\) ត្រង់ \(A\) ៖

បង្ហាញថា \(d\) មិនអាចស្របនឹង \(n\) បានឡើយ
ទាញបញ្ជាក់ថា \(d\) ត្រូវតែកាត់ \(n\) ត្រង់ចំណុច \(B\) មួយ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បើ \(d \parallel n\) នោះតាម \(A\) មានបន្ទាត់ពីរ \(m\) និង \(d\) ស្របនឹង \(n\) ដែលផ្ទុយពីស្វ័យសច្ចអឺគ្លីដ។ ដូចនេះ \(d\) មិនអាចស្របនឹង \(n\) បានទេ។
ខ. ដោយ \(d\) មិនស្របនឹង \(n\) ក្នុងប្លង់តែមួយ នោះ \(d\) ត្រូវតែកាត់ \(n\) ត្រង់ចំណុច \(B\) មួយ។

២៦លំហាត់ទី ២៦

គេឱ្យបន្ទាត់បី \(d_1, d_2, d_3\) ដោយ \(d_1 \parallel d_2\) ហើយ \(d_2\) កាត់ \(d_3\) ត្រង់ \(M\) ៖

តើ \(d_1\) និង \(d_3\) អាចស្របគ្នាបានទេ?
បញ្ជាក់ពីចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាង \(d_1\) និង \(d_3\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មិនអាចទេ (បើ \(d_1 \parallel d_3\) នោះ \(d_2 \parallel d_3\) ផ្ទុយពីបម្រាប់)។
ខ. \(d_1\) និង \(d_3\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ ១ ចំណុចគត់។

២៧លំហាត់ទី ២៧

បន្ទាត់បួន \(a, b, c, d\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(a \parallel b, b \perp c\) និង \(c \parallel d\) ៖

រកទំនាក់ទំនងរវាង \(a\) និង \(c\)
រកទំនាក់ទំនងរវាង \(a\) និង \(d\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(a \parallel b\) និង \(b \perp c \Rightarrow a \perp c\)
ខ. \(a \perp c\) និង \(c \parallel d \Rightarrow a \perp d\)

២៨លំហាត់ទី ២៨

ក្នុងប្លង់មួយ មានបន្ទាត់បី \(d_1, d_2, d_3\) សុទ្ធតែកែងនឹងបន្ទាត់ \(\Delta\) តែមួយ ៖

បង្ហាញថា \(d_1 \parallel d_2\) និង \(d_2 \parallel d_3\)
ទាញបញ្ជាក់ថា \(d_1 \parallel d_3\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បន្ទាត់កែងនឹង \(\Delta\) តែមួយ នាំឱ្យ \(d_1 \parallel d_2\) និង \(d_2 \parallel d_3\)។
ខ. តាមលក្ខណៈឆ្លង \(d_1 \parallel d_2\) និង \(d_2 \parallel d_3 \Rightarrow d_1 \parallel d_3\)។

២៩លំហាត់ទី ២៩

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\)។ បន្ទាត់ \(d\) កាត់តាម \(B\) ហើយស្របនឹង \(AC\) ៖

បង្ហាញថា \(d \perp AB\)
គណនារង្វាស់មុំដែល \(d\) បង្កើតជាមួយ \(AB\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(A \Rightarrow AC \perp AB\)។ ដោយ \(d \parallel AC\) នាំឱ្យ \(d \perp AB\)។
ខ. មុំដែល \(d\) បង្កើតជាមួយ \(AB\) មានរង្វាស់ \(90^\circ\)។

៣០លំហាត់ទី ៣០

បន្ទាត់ពីរ \(d_1 \parallel d_2\)។ ចំណុច \(A \in d_1\) និង \(B \in d_2\) ៖

គូស \(AH \perp d_2\) ត្រង់ \(H\) និង \(BK \perp d_1\) ត្រង់ \(K\)។ បង្ហាញថា \(AH \parallel BK\)
តើចតុកោណ \(AHBK\) ជាចតុកោណអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(AH \perp d_2\) និង \(BK \perp d_1\)។ ដោយ \(d_1 \parallel d_2\) នាំឱ្យ \(AH \perp d_1\) និង \(BK \perp d_2\)។ បន្ទាត់ទាំងពីរកែងនឹងបន្ទាត់តែមួយ នាំឱ្យ \(AH \parallel BK\)។
ខ. ចតុកោណ \(AHBK\) មានជ្រុងឈមស្របគ្នា និងមានមុំកែង ដូច្នេះវាជា ចតុកោណកែង។

៣១លំហាត់ទី ៣១

បន្ទាត់ពីរ \(d_1 \parallel d_2\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(t\)។ មុំឆ្លាស់ក្នុងមួយមានរង្វាស់ \(48^\circ\) ៖

គណនាមុំឆ្លាស់ក្នុងមួយទៀត
គណនារង្វាស់មុំ ៦ ផ្សេងទៀត

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មុំឆ្លាស់ក្នុងស្មើគ្នា នាំឱ្យមុំឆ្លាស់ក្នុងមួយទៀតស្មើ \(48^\circ\)។
ខ. មុំជាប់បន្ថែម ៖ \(180^\circ - 48^\circ = 132^\circ\)។ ក្នុងចំណោមមុំទាំង ៨ មាន ៤ មុំស្មើ \(48^\circ\) និង ៤ មុំស្មើ \(132^\circ\)។

៣២លំហាត់ទី ៣២

បន្ទាត់ \(a \parallel b\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(c\)។ មុំក្នុងរួមខាងមួយគូមានរង្វាស់ \(x\) និង \(2x\) ៖

រកតម្លៃនៃ \(x\)
គណនារង្វាស់មុំទាំងពីរនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មុំក្នុងរួមខាងបន្ថែមគ្នា ៖
\(x + 2x = 180^\circ \Rightarrow 3x = 180^\circ \Rightarrow x = 60^\circ\)
ខ. រង្វាស់មុំទាំងពីរ ៖ \(60^\circ\) និង \(2(60^\circ) = 120^\circ\)។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

បន្ទាត់ \(m \parallel n\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(p\)។ មុំឆ្លាស់ក្រៅមួយស្មើ \(135^\circ\) ៖

គណនាមុំឆ្លាស់ក្រៅមួយទៀត និងមុំស្រប
គណនាមុំក្នុងរួមខាងដែលត្រូវនឹងវា

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មុំឆ្លាស់ក្រៅមួយទៀតស្មើ \(135^\circ\)។ មុំស្របស្មើនឹងវាគឺ \(135^\circ\)។
ខ. មុំក្នុងរួមខាងបន្ថែមគ្នា ៖ \(180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\)។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

បន្ទាត់ \(d_1 \parallel d_2\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(t\)។ មុំស្របមួយគូមានរង្វាស់ \((3x - 15)^\circ\) និង \((2x + 10)^\circ\) ៖

រកតម្លៃនៃ \(x\)
គណនារង្វាស់មុំស្របនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មុំស្របស្មើគ្នា ៖
\(3x - 15 = 2x + 10 \Rightarrow x = 25^\circ\)
ខ. រង្វាស់មុំស្រប ៖ \(2(25^\circ) + 10^\circ = 60^\circ\)។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

បន្ទាត់ពីរ \(u \parallel v\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(w\)។ មុំឆ្លាស់ក្នុងមួយគូមានរង្វាស់ \((5x - 20)^\circ\) និង \((3x + 16)^\circ\) ៖

រកតម្លៃនៃ \(x\)
គណនារង្វាស់មុំឆ្លាស់ក្នុងនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មុំឆ្លាស់ក្នុងស្មើគ្នា ៖
\(5x - 20 = 3x + 16 \Rightarrow 2x = 36 \Rightarrow x = 18^\circ\)
ខ. រង្វាស់មុំ ៖ \(3(18^\circ) + 16^\circ = 70^\circ\)។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

បន្ទាត់ពីរ \(a \parallel b\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(c\)។ មុំក្នុងរួមខាងមួយគូមានរង្វាស់ \((4x + 10)^\circ\) និង \((x + 20)^\circ\) ៖

រកតម្លៃនៃ \(x\)
គណនារង្វាស់មុំនីមួយៗ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មុំក្នុងរួមខាងបន្ថែមគ្នា ៖
\((4x + 10) + (x + 20) = 180 \Rightarrow 5x + 30 = 180 \Rightarrow 5x = 150 \Rightarrow x = 30^\circ\)
ខ. មុំទីមួយ ៖ \(4(30^\circ) + 10^\circ = 130^\circ\)
មុំទីពីរ ៖ \(30^\circ + 20^\circ = 50^\circ\)

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

បន្ទាត់ \(d_1 \parallel d_2\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(t\)។ ផលដករវាងមុំក្នុងរួមខាងពីរគឺ \(40^\circ\) ៖

កំណត់ប្រព័ន្ធសមីការតាងមុំទាំងពីរ
គណនារង្វាស់មុំទាំងពីរនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ប្រព័ន្ធសមីការ ៖ \(\begin{cases} x + y = 180^\circ \\ x - y = 40^\circ \end{cases}\)
ខ. បូកអង្គនិងអង្គ ៖ \(2x = 220^\circ \Rightarrow x = 110^\circ\)
\(y = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

បន្ទាត់ពីរស្របគ្នាកាត់ដោយខ្នាត់មួយ។ មុំក្នុងរួមខាងមួយធំជាងមុំមួយទៀត ៣ ដង ៖

រកសមីការកំណត់រង្វាស់មុំ
គណនារង្វាស់មុំទាំងពីរនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. តាងមុំតូចដោយ \(x\) មុំធំគឺ \(3x\) ៖ \(x + 3x = 180^\circ \Rightarrow 4x = 180^\circ\)
ខ. \(x = 45^\circ\) និងមុំធំគឺ \(3 \times 45^\circ = 135^\circ\)។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

គេឱ្យ \(AB \parallel CD\) និងខ្នាត់ \(EF\) កាត់ \(AB\) ត្រង់ \(M\) និង \(CD\) ត្រង់ \(N\) ដោយ \(\angle AMN = 62^\circ\) ៖

គណនារង្វាស់មុំ \(\angle MND\) និង \(\angle BMN\)
គណនារង្វាស់មុំ \(\angle CNF\) និង \(\angle DNF\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(\angle MND = \angle AMN = 62^\circ\) (មុំឆ្លាស់ក្នុង)
\(\angle BMN = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ\) (មុំជាប់បន្ថែម)
ខ. \(\angle CNF = \angle MND = 62^\circ\) (មុំទល់កំពូល)
\(\angle DNF = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ\) (មុំជាប់បន្ថែម)

៤០លំហាត់ទី ៤០

បន្ទាត់ពីរស្របគ្នាកាត់ដោយខ្នាត់មួយ ៖

បង្ហាញថាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំឆ្លាស់ក្នុងមួយគូស្របគ្នា
បង្ហាញថាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំក្នុងរួមខាងមួយគូកែងគ្នា

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មុំឆ្លាស់ក្នុងស្មើគ្នា \(\alpha = \alpha'\) \(\Rightarrow\) ពុះមុំបែងចែកជា \(\frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha'}{2}\) ដែលជាមុំឆ្លាស់ក្នុងស្មើគ្នា នាំឱ្យពុះមុំស្របគ្នា។
ខ. មុំក្នុងរួមខាងមានផលបូក \(180^\circ\) \(\Rightarrow\) ផលបូកពាក់កណ្ដាលមុំគឺ \(\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ\) នាំឱ្យពុះមុំទាំងពីរកែងគ្នា (\(90^\circ\))។

៤១លំហាត់ទី ៤១

បន្ទាត់ពីរ \(d_1\) និង \(d_2\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(t\)។ ដឹងថាមុំឆ្លាស់ក្នុងមួយគូមានរង្វាស់ \(75^\circ\) ដូចគ្នា ៖

តើ \(d_1 \parallel d_2\) ដែរឬទេ? ព្រោះអ្វី?
គណនារង្វាស់មុំក្នុងរួមខាងដែលត្រូវគ្នា

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បាទ/ចាស \(d_1 \parallel d_2\) ព្រោះមុំឆ្លាស់ក្នុងស្មើគ្នា (\(75^\circ = 75^\circ\))។
ខ. មុំក្នុងរួមខាងបន្ថែមគ្នា ៖ \(180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\)។

៤២លំហាត់ទី ៤២

បន្ទាត់ \(a\) និង \(b\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(c\)។ មុំក្នុងរួមខាងមួយគូមានរង្វាស់ \(105^\circ\) និង \(75^\circ\) ៖

បញ្ជាក់ថា \(a \parallel b\)
រករង្វាស់មុំឆ្លាស់ក្រៅមួយគូ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ផលបូកមុំក្នុងរួមខាង ៖ \(105^\circ + 75^\circ = 180^\circ\) (បន្ថែមគ្នា) នាំឱ្យ \(a \parallel b\)។
ខ. មុំឆ្លាស់ក្រៅមួយគូមានរង្វាស់ស្មើគ្នា គឺ \(105^\circ\) និង \(105^\circ\)។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

បន្ទាត់ \(m\) និង \(n\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(p\)។ មុំស្របមួយគូមានរង្វាស់ \(80^\circ\) និង \(85^\circ\) ៖

តើ \(m\) និង \(n\) ស្របគ្នាដែរឬទេ? ព្រោះអ្វី?
តើត្រូវកែសម្រួលមុំមួយយ៉ាងណាដើម្បីឱ្យ \(m \parallel n\)?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ទេ \(m\) និង \(n\) មិនស្របគ្នាទេ ព្រោះមុំស្របមិនស្មើគ្នា (\(80^\circ \neq 85^\circ\))។
ខ. ត្រូវកែសម្រួលឱ្យមុំទាំងពីរស្មើគ្នា (ដូចជាទាំងពីរស្មើ \(80^\circ\) ឬ \(85^\circ\))។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) មាន \(\angle B = 60^\circ\)។ តាមកំពូល \(A\) គេគូសបន្ទាត់ \(Ax\) ៖

បើ \(\angle xAB = 60^\circ\) (ឆ្លាស់ក្នុងនឹង \(\angle B\)) បង្ហាញថា \(Ax \parallel BC\)
បើ \(\angle C = 50^\circ\) គណនា \(\angle BAC\) និង \(\angle xAC\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ដោយ \(\angle xAB = \angle B = 60^\circ\) ជាមុំឆ្លាស់ក្នុងស្មើគ្នា នាំឱ្យ \(Ax \parallel BC\)។
ខ. \(\angle BAC = 180^\circ - (60^\circ + 50^\circ) = 70^\circ\)។
\(\angle xAC = \angle C = 50^\circ\) (មុំឆ្លាស់ក្នុង)។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

មុំពីរ \(\angle xOy\) និង \(\angle x'O'y'\) មានជ្រុងត្រូវគ្នាស្របរៀងគ្នា (\(Ox \parallel O'x'\) និង \(Oy \parallel O'y'\)) ៖

បើមុំទាំងពីរជាមុំស្រួច ហើយ \(\angle xOy = 55^\circ\) គណនា \(\angle x'O'y'\)
បើមុំមួយស្រួច \(55^\circ\) ហើយមុំមួយទៀតជាមុំទាល គណនាមុំទាលនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មុំទាំងពីរជាមុំស្រួចមានជ្រុងស្របរៀងគ្នា នាំឱ្យស្មើគ្នា ៖ \(\angle x'O'y' = 55^\circ\)។
ខ. មុំមួយស្រួច និងមួយទាលបន្ថែមគ្នា ៖ \(180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\)។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

មុំពីរមានជ្រុងត្រូវគ្នាស្របរៀងគ្នា ៖

បើមុំមួយជាមុំស្រួច \(46^\circ\) ហើយមុំមួយទៀតជាមុំទាល គណនាមុំទាល
បើមុំទាំងពីរជាមុំទាល ហើយមុំមួយស្មើ \(130^\circ\) គណនាមុំមួយទៀត

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មុំស្រួច និងមុំទាលបន្ថែមគ្នា ៖ \(180^\circ - 46^\circ = 134^\circ\)។
ខ. មុំទាំងពីរជាមុំទាល នាំឱ្យស្មើគ្នា ៖ \(130^\circ\)។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

មុំពីរមានជ្រុងត្រូវគ្នាកែងរៀងគ្នា (\(Ox \perp O'x'\) និង \(Oy \perp O'y'\)) ៖

បើមុំទាំងពីរជាមុំស្រួច ហើយមុំមួយស្មើ \(68^\circ\) គណនាមុំមួយទៀត
បើមុំមួយស្រួច \(68^\circ\) ហើយមុំមួយទៀតជាមុំទាល គណនាមុំទាលនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មុំទាំងពីរជាមុំស្រួចមានជ្រុងកែងរៀងគ្នា នាំឱ្យស្មើគ្នា ៖ \(68^\circ\)។
ខ. មុំមួយស្រួច និងមួយទាលបន្ថែមគ្នា ៖ \(180^\circ - 68^\circ = 112^\circ\)។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

មុំពីរមានជ្រុងត្រូវគ្នាកែងរៀងគ្នា ដោយមុំទាំងពីរជាមុំស្រួច ៖

បើមុំទីមួយគឺ \(3x - 10^\circ\) និងមុំទីពីរគឺ \(2x + 15^\circ\) រក \(x\)
គណនារង្វាស់ពិតប្រាកដនៃមុំទាំងពីរនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មុំទាំងពីរជាមុំស្រួច នាំឱ្យស្មើគ្នា ៖
\(3x - 10 = 2x + 15 \Rightarrow x = 25^\circ\)
ខ. រង្វាស់មុំ ៖ \(2(25^\circ) + 15^\circ = 65^\circ\)។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

ចតុកោណព្នាយ \(ABCD\) មានបាត \(AB \parallel CD\) ដោយ \(\angle A = 110^\circ, \angle B = 125^\circ\) ៖

គណនារង្វាស់មុំ \(\angle D\) (មុំក្នុងរួមខាងជាមួយ \(\angle A\))
គណនារង្វាស់មុំ \(\angle C\) (មុំក្នុងរួមខាងជាមួយ \(\angle B\))

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ដោយ \(AB \parallel CD\) នាំឱ្យ \(\angle D = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)។
ខ. \(\angle C = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\)។

៥០លំហាត់ទី ៥០

គេឱ្យបន្ទាត់ស្របពីរ \(d_1 \parallel d_2\) និងចំណុច \(P\) ស្ថិតនៅចន្លោះបន្ទាត់ទាំងពីរ ៖

បើ \(\angle A = 35^\circ\) លើ \(d_1\) និង \(\angle B = 45^\circ\) លើ \(d_2\) គណនា \(\angle APB\)
បើ \(\angle APB = 90^\circ\) និង \(\angle A = 40^\circ\) គណនារង្វាស់ \(\angle B\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. គូសបន្ទាត់កាត់តាម \(P\) ស្របនឹង \(d_1, d_2\) នាំឱ្យ \(\angle APB = 35^\circ + 45^\circ = 80^\circ\)។
ខ. \(\angle APB = \angle A + \angle B \Rightarrow 90^\circ = 40^\circ + \angle B \Rightarrow \angle B = 50^\circ\)។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១៤ បន្ទាត់ស្រប និងបន្ទាត់កែង — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត