មេរៀនទី ១២ : សញ្ញាណដំបូងនៃរូបធរណីមាត្រ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៧

ប្រវត្តិនៃធរណីមាត្រ និងស្វ័យសច្ចអឺគ្លីដ

ពាក្យ «ធរណីមាត្រ» ឬជាភាសាក្រិកបុរាណថា Geometria (មកពីពាក្យ Geo មានន័យថា ផែនដី/ដីធ្លី និង Metron មានន័យថា រង្វាស់រង្វាល់) បានកកើតឡើងដំបូងបំផុតនៅសម័យអរិយធម៌អេស៊ីបបុរាណ និងបាប៊ីឡូន ដោយសារតម្រូវការជាក់ស្ដែងក្នុងការវាស់វែង និងកំណត់ព្រំប្រទល់ដីស្រែចម្ការឡើងវិញ បន្ទាប់ពីទឹកទន្លេនីលជន់លិចជារៀងរាល់ឆ្នាំ។

លុះដល់សតវត្សទី ៣ មុនគ្រិស្តសករាជ គណិតវិទូក្រិកដ៏ឆ្នើមលោក Euclid of Alexandria (ប្រហែល ៣២៥–២៦៥ មុន គ.ស.) ដែលត្រូវបានពិភពលោកប្រសិទ្ធនាមថាជា «បិតានៃធរណីមាត្រ» បានប្រមូលផ្ដុំ រៀបចំ និងចងក្រងចំណេះដឹងធរណីមាត្រទាំងអស់ឱ្យក្លាយជាប្រព័ន្ធតក្កវិទ្យាដ៏រឹងមាំមួយនៅក្នុងស្នាដៃអមតៈរបស់លោកគឺសៀវភៅ Elements (Stoicheia)។ លោកបានកសាងធរណីមាត្រទាំងមូលឡើង ដោយផ្ដើមចេញពីសញ្ញាណគ្រឹះឥតកម្រិត (ចំណុច បន្ទាត់ និងប្លង់) និងស្វ័យសច្ច ៥ យ៉ាង (Five Postulates) ដែលបានក្លាយជាមូលដ្ឋានគ្រឹះដ៏សំខាន់បំផុតនៃវិទ្យាសាស្ត្រ ស្ថាបត្យកម្ម និងបច្ចេកវិទ្យាទំនើប។

សញ្ញាណទូទៅ និងរូបធរណីមាត្រគ្រឹះ

ក្នុងធរណីមាត្រ រូបធរណីមាត្រទាំងអស់ត្រូវបានចាត់ថ្នាក់តាមចំនួនវិមាត្រ ៖

សូន្យវិមាត្រ (0D) ៖ ចំណុច (Point) — គ្មានប្រវែង គ្មានទទឹង និងគ្មានកម្ពស់ (គ្មានវិមាត្រ)។
មួយវិមាត្រ (1D) ៖ បន្ទាត់ (Line), កន្លះបន្ទាត់ (Ray), អង្កត់ (Segment) — មានតែវិមាត្រមួយគត់គឺប្រវែង (បណ្ដោយ)។
ពីរវិមាត្រ (2D) ៖ ប្លង់ (Plane), ពហុកោណ, រង្វង់ — មានវិមាត្រពីរគឺបណ្ដោយ និងទទឹង (មានក្រឡាផ្ទៃ)។
បីវិមាត្រ (3D) ៖ សូលីត (Solids) — មានវិមាត្របីគឺបណ្ដោយ ទទឹង និងកម្ពស់ (មានមាឌ) ដូចជា គូប ប្រលេពីប៉ែតកែង ស៊ីឡាំង ស្វ៊ែរ កោន និងពីរ៉ាមីត។

សញ្ញាណនៃរូបធរណីមាត្រ និងវិមាត្រ

រូបធរណីមាត្រក្នុងលំហ និងវិមាត្រ

ការសិក្សាធរណីមាត្រ គឺសិក្សាពីរូបរាង ទំហំ ទីតាំង និងលក្ខណៈនៃវត្ថុជុំវិញខ្លួនយើង។
រូបសូលីត (Solids) ៖ ជារូបធរណីមាត្រក្នុងលំហដែលមានវិមាត្របី (បណ្ដោយ ទទឹង កម្ពស់) ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

ចូរប្រាប់ឈ្មោះវិមាត្រ និងប្រភេទរូបធរណីមាត្រនៃវត្ថុជាក់ស្ដែងខាងក្រោម ៖
ក. ប្រអប់ដីស ខ. សន្លឹកក្រដាសកត់ត្រា គ. ខ្សែអំបោះលាតសន្ធឹងត្រង់

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

ប្រអប់ដីស ៖ ជារូបសូលីត (៣ វិមាត្រ) មានបណ្ដោយ ទទឹង និងកម្ពស់ (រាងប្រលេពីប៉ែតកែង)។
សន្លឹកក្រដាស ៖ ផ្ដល់នូវសញ្ញាណនៃរូបប្លង់ (២ វិមាត្រ) មានបណ្ដោយ និងទទឹង។
ខ្សែអំបោះត្រង់ ៖ ផ្ដល់នូវសញ្ញាណនៃអង្កត់ ឬបន្ទាត់ (១ វិមាត្រ) មានតែប្រវែងប៉ុណ្ណោះ។

ការកំណត់វិមាត្រ

១. ចូរឱ្យឧទាហរណ៍ជាក់ស្ដែងចំនួន ២ ផ្សេងគ្នាពីវត្ថុដែលមានរាង ៖
ក. រូបសូលីត ៣ វិមាត្រ ខ. រូបប្លង់ ២ វិមាត្រ គ. ភាវៈ ១ វិមាត្រ
២. តើចំណុចដែលខ្មៅដៃចុចលើក្រដាសមានវិមាត្រដែរឬទេ? ព្រោះអ្វី?

ចំណុច និងបន្ទាត់

ចំណុច បន្ទាត់ និងចំណុចរត់ត្រង់ជួរគ្នា

ចំណុច (Point) ៖ តាងដោយអក្សរធំ \(A, B, C, \dots\)។ ស្នាមចុចប៊ិច ឬផ្កាយលើមេឃជាសញ្ញាណនៃចំណុច។ ចំណុចគ្មានវិមាត្រទេ។
បន្ទាត់ (Line) ៖ គ្មានកម្រាស់ គ្មានទទឹង គ្មានព្រំដែនឡើយ (លាតសន្ធឹងសងខាងគ្មានទីបញ្ចប់)។ តាងដោយអក្សរតូច \(d, \Delta\) ឬឈ្មោះពីរចំណុច \((AB)\)។
ស្វ័យសច្ចគ្រឹះ ៖ តាមមួយចំណុច គេអាចគូសបន្ទាត់បានច្រើនរាប់មិនអស់។ តាមពីរចំណុចផ្សេងគ្នា គេអាចគូសបានបន្ទាត់តែមួយគត់។
ទំនាក់ទំនងចំណុច និងបន្ទាត់ ៖ \(A \in d\) (\(A\) ស្ថិតនៅលើ \(d\)), \(C \notin d\) (\(C\) មិននៅលើ \(d\))។
ចំណុចរត់ត្រង់ជួរគ្នា (Collinear) ៖ ចំណុចទាំងឡាយដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យ ៣ ចំណុច \(A, B, C\) មិនរត់ត្រង់ជួរគ្នា។
ក. គូសបន្ទាត់ទាំងអស់ដែលកាត់តាមពីរៗចំណុចនៃចំណុចទាំងបីនោះ។
ខ. តើគេទទួលបានបន្ទាត់ចំនួនប៉ុន្មាន? ចូរសរសេរឈ្មោះបន្ទាត់ទាំងនោះ។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
តាមពីរចំណុចផ្សេងគ្នាកំណត់បានបន្ទាត់មួយគត់។ បន្ទាត់កាត់តាមពីរៗចំណុចនៃ \(A, B, C\) គឺ ៖ \((AB), (BC)\), និង \((AC)\)។
ដូចនេះ គេទទួលបានបន្ទាត់ចំនួន \(3\) គឺ \((AB), (BC), (AC)\) ដែលបង្កើតបានជាត្រីកោណ \(ABC\)

ចំណុច និងបន្ទាត់

១. គេឱ្យ ៤ ចំណុច \(M, N, P, Q\) ក្នុងប្លង់ ដែលគ្មាន ៣ ចំណុចណារត់ត្រង់ជួរគ្នាឡើយ។
តើគេអាចគូសបន្ទាត់បានចំនួនប៉ុន្មានដែលកាត់តាមពីរៗចំណុចនោះ? ចូរសរសេរឈ្មោះបន្ទាត់ទាំងនោះ។
២. បន្ទាត់ពីរផ្សេងគ្នាអាចប្រសព្វគ្នាបានច្រើនបំផុតត្រង់ប៉ុន្មានចំណុច?

កន្លះបន្ទាត់ និងកន្លះបន្ទាត់ឈម

កន្លះបន្ទាត់ និងកន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នា

កន្លះបន្ទាត់ (Ray / Half-line) ៖ ចំណុច \(O\) មួយនៅលើបន្ទាត់ \(xy\) ចែកបន្ទាត់នោះជាពីរផ្នែក។ ផ្នែកនីមួយៗរួមទាំងចំណុច \(O\) ហៅថា កន្លះបន្ទាត់ (គល់ \(O\) ត្រូវសរសេរមុន ៖ កន្លះបន្ទាត់ \(Ox\) ឬ \([Ox)\))។
កន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នា (Opposite Rays) ៖ កន្លះបន្ទាត់ពីរដែលមានគល់រួម \(O\) ហើយផ្ដុំគ្នាបានជាបន្ទាត់ត្រង់តែមួយ (ឧទាហរណ៍ ៖ \(Ox\) និង \(Oy\))។

ឧទាហរណ៍

លើបន្ទាត់មួយ មានចំណុចបី \(A, B, C\) តម្រៀបតាមលំដាប់ពីឆ្វេងទៅស្ដាំ។
ក. ចូររកគូកន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នាដែលមានគល់ត្រង់ \(B\)។
ខ. តើកន្លះបន្ទាត់ \(BA\) និង \(BC\) ឈមគ្នាឬទេ? គ. តើកន្លះបន្ទាត់ \(AB\) និង \(AC\) ដូចគ្នាដែរឬទេ?

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
គូកន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នាដែលមានគល់ត្រង់ \(B\) គឺ កន្លះបន្ទាត់ \(BA\) និងកន្លះបន្ទាត់ \(BC\)។
កន្លះបន្ទាត់ \(BA\) និង \(BC\) មានគល់រួម \(B\) និងទិសដៅផ្ទុយគ្នា ដូចនេះវាជា កន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នា។
កន្លះបន្ទាត់ \(AB\) និង \(AC\) មានគល់រួម \(A\) និងទិសដៅតែមួយ ដូចនេះ វាជាកន្លះបន្ទាត់តែមួយ (ត្រួតស៊ីគ្នា)។

កន្លះបន្ទាត់

១. លើបន្ទាត់ \(xy\) គេដៅចំណុច \(M\) និង \(N\) (\(M\) នៅខាងឆ្វេង \(N\))។
ក. រាប់ឈ្មោះកន្លះបន្ទាត់ទាំងអស់ក្នុងរូប។ ខ. រកគូកន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នាគល់ \(M\) និងគល់ \(N\)។
២. តើកន្លះបន្ទាត់ \(MN\) និងកន្លះបន្ទាត់ \(NM\) ជាកន្លះបន្ទាត់ដូចគ្នាឬទេ? ព្រោះអ្វី?

ប្លង់ និងទីតាំងធរណីមាត្រក្នុងប្លង់

ប្លង់ និងលក្ខណៈធរណីមាត្រ

ប្លង់ (Plane) ៖ ផ្ទៃរាបស្មើជុំវិញខ្លួនយើង (ដូចជាផ្ទៃក្ដារខៀន ផ្ទៃតុរាបស្មើ ផ្ទៃទឹកស្ងប់) ផ្ដល់នូវសញ្ញាណនៃប្លង់។ ប្លង់គ្មានកម្រាស់ និងគ្មានព្រំដែនកំណត់ឡើយ (លាតសន្ធឹងគ្រប់ទិសទី)។
ការកំណត់ប្លង់ ៖ តាមបីចំណុចមិនរត់ត្រង់ជួរគ្នា កំណត់បានប្លង់តែមួយគត់។ ប្លង់តាងដោយ \((P), (Q), (\alpha), \dots\)
លក្ខណៈបន្ទាត់ និងប្លង់ ៖ បើបន្ទាត់ \((d)\) មានពីរចំណុចផ្សេងគ្នា \(A, B\) ស្ថិតក្នុងប្លង់ \((P)\) នោះគ្រប់ចំណុចនៃបន្ទាត់ \((d)\) សុទ្ធតែស្ថិតក្នុងប្លង់ \((P)\) ៖ \(A, B \in (P) \implies (d) \subset (P)\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

ហេតុអ្វីបានជាតុជើងបីតែងតែមានលំនឹងល្អលើផ្ទៃឥដ្ឋ ទោះបីផ្ទៃឥដ្ឋមិនសូវរាបស្មើក៏ដោយ?
បើបន្ទាត់ពីរ \((d_1)\) និង \((d_2)\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(O\) តើវាអាចកំណត់បានប្លង់មួយដែរឬទេ?

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

ចុងជើងតុទាំងបីផ្ដល់នូវ ៣ ចំណុចមិនរត់ត្រង់ជួរគ្នា។ តាមធរណីមាត្រ តាម ៣ ចំណុចមិនរត់ត្រង់ជួរគ្នា កំណត់បានប្លង់តែមួយគត់ជានិច្ច ហេតុនេះជើងតុទាំងបីតែងតែប៉ះផ្ទៃរាបស្មើព្រមគ្នា ធ្វើឱ្យមានលំនឹងជានិច្ច។
បន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(O\) ៖ យក \(A \in (d_1)\) និង \(B \in (d_2)\) (\(A, B \neq O\))។ ចំណុច \(O, A, B\) ជាបីចំណុចមិនរត់ត្រង់ជួរគ្នា ហេតុនេះកំណត់បានប្លង់តែមួយគត់។

ប្លង់

១. តើគេអាចកំណត់ប្លង់មួយបានតាមវិធីណាខ្លះ? ចូររៀបរាប់យ៉ាងតិច ២ ករណី។
២. ពិនិត្យប្រអប់រាងប្រលេពីប៉ែតកែង ៖ ចូរប្រាប់ឈ្មោះប្លង់ពីរដែលស្របគ្នា និងប្លង់ពីរដែលកាត់គ្នា។

អង្កត់ និងចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់

អង្កត់ ប្រវែង និងចំណុចកណ្ដាល

អង្កត់ (Line Segment) ៖ ផ្នែកនៃបន្ទាត់ខណ្ឌដោយពីរចំណុច \(A\) និង \(B\) ហៅថា អង្កត់ \(AB\) ឬ \([AB]\)។ \(A, B\) ហៅថា ចំណុចចុង។
ប្រវែងអង្កត់ ៖ គឺជារង្វាស់ប្រវែងរវាងចុងទាំងពីរ (ជាចំនួនវិជ្ជមានជានិច្ច គិតជា \(\text{cm}, \text{m}, \dots\))។
ផលបូកអង្កត់ ៖ បើចំណុច \(B\) ស្ថិតនៅចន្លោះ \(A\) និង \(C\) លើបន្ទាត់តែមួយ នោះ ៖
\[AB + BC = AC \qquad{} \text{និង} \qquad{} AC - AB = BC\]
ចំណុចកណ្ដាល (Midpoint) ៖ ចំណុច \(M\) ហៅថាចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់ \([AB]\) លុះត្រាតែ \(M\) នៅចន្លោះ \(A, B\) ហើយចែកអង្កត់ជាពីរស្មើគ្នា ៖ \(MA = MB = \frac{AB}{2}\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអង្កត់ \(AB = 12\text{ cm}\)។

\(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AB]\)។ គណនាប្រវែង \(AM\)។
\(C\) ជាចំណុចនៅលើ \([AB]\) ដោយ \(AC = 4\text{ cm}\)។ គណនាប្រវែង \(CB\) និង \(MC\)។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

ដោយ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AB]\) នោះ ៖ \(AM = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}\)។ ដូចនេះ \(\boxed{AM = 6\text{ cm}}\)
ដោយ \(C \in [AB]\) នោះ \(AC + CB = AB \implies CB = AB - AC = 12 - 4 = 8\text{ cm}\)។
ដោយ \(AC = 4\text{ cm} < AM = 6\text{ cm}\) នោះ \(C\) នៅចន្លោះ \(A\) និង \(M\) ៖
\(MC = AM - AC = 6 - 4 = 2\text{ cm}\)។ ដូចនេះ \(\boxed{CB = 8\text{ cm}, \quad{} MC = 2\text{ cm}}\)

អង្កត់ និងចំណុចកណ្ដាល

១. លើបន្ទាត់មួយមានចំណុច \(A, B, C\) តាមលំដាប់ដោយ \(AB = 5\text{ cm}\) និង \(BC = 7\text{ cm}\)។ គណនា \(AC\)។
២. គេឱ្យ \(I\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([PQ] = 16\text{ cm}\) និង \(K\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([PI]\)។ គណនាប្រវែង \(PK\) និង \(KQ\)។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ពិនិត្យរូបបន្ទាត់ \((L)\) ដែលមានចំណុច \(A, B, C, D \in (L)\) និង \(E, F \notin (L)\)។ ចូរប្រើសញ្ញា \(\in\) ឬ \(\notin\) បំពេញចន្លោះ ៖

\(A \dots (L)\)
\(B \dots (L)\)
\(C \dots (L)\)
\(D \dots (L)\)
\(E \dots (L)\)
\(F \dots (L)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រើសញ្ញា \(\in\) ឬ \(\notin\) ៖

\(A \in (L)\)
\(B \in (L)\)
\(C \in (L)\)
\(D \in (L)\)
\(E \notin (L)\)
\(F \notin (L)\)

២លំហាត់ទី ២

តើគេអាចគូសបន្ទាត់បានចំនួនប៉ុន្មានដែលកាត់តាម ៖

មួយចំណុច \(M\)
ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា \(A\) និង \(B\)
បីចំណុចរត់ត្រង់ជួរគ្នា \(A, B, C\)
បីចំណុចមិនរត់ត្រង់ជួរគ្នា

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនបន្ទាត់ដែលអាចគូសបាន ៖

តាមមួយចំណុច ៖ មានច្រើនរាប់មិនអស់
តាមពីរចំណុចផ្សេងគ្នា ៖ មានតែ \(1\) គត់
តាម ៣ ចំណុចរត់ត្រង់ជួរ ៖ មានតែ \(1\) គត់
តាម ៣ ចំណុចមិនរត់ត្រង់ជួរ ៖ គ្មានបន្ទាត់ណាកាត់តាមទាំង ៣ ចំណុចព្រមគ្នាទេ

៣លំហាត់ទី ៣

គេឱ្យ ៤ ចំណុច \(A, B, C, D\) ក្នុងប្លង់ ដែលគ្មាន ៣ ចំណុចណារត់ត្រង់ជួរគ្នាឡើយ។

គូសបន្ទាត់ទាំងអស់ដែលកាត់តាមពីរៗចំណុចនៃចំណុចទាំងនោះ។
តើគេទទួលបានបន្ទាត់ចំនួនប៉ុន្មាន? ចូរសរសេរឈ្មោះបន្ទាត់ទាំងនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

៤ ចំណុច \(A, B, C, D\) គ្មាន ៣ ចំណុចរត់ត្រង់ជួរ ៖ គេអាចគូសបន្ទាត់ភ្ជាប់រវាងពីរៗចំណុចបានទាំងអស់។

៤លំហាត់ទី ៤

ចូរផ្ដល់ឧទាហរណ៍ជាក់ស្ដែងនៅជុំវិញខ្លួនអ្នកចំនួន ២ ពី ៖

សញ្ញាណនៃចំណុច
សញ្ញាណនៃបន្ទាត់
សញ្ញាណនៃអង្កត់
សញ្ញាណនៃប្លង់

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ទាំងអស់កាត់តាមពីរៗចំណុច ៖ មានបន្ទាត់ \((AB), (AC), (AD), (BC), (BD), (CD)\)។

៥លំហាត់ទី ៥

បន្ទាត់ពីរ \((d_1)\) និង \((d_2)\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(O\)។ បន្ទាត់ \((d_3)\) កាត់ \((d_1)\) ត្រង់ \(A\) និងកាត់ \((d_2)\) ត្រង់ \(B\) (\(A, B \neq O\))។ ចូរគូសរូប និងរាប់ចំនួនចំណុចប្រសព្វទាំងអស់។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនបន្ទាត់ទទួលបាន ៖ ចំនួនបន្ទាត់សរុបគឺ \(6\) បន្ទាត់ ៖ \((AB), (AC), (AD), (BC), (BD), (CD)\)។

៦លំហាត់ទី ៦

កំណត់ថាតើល្បះខាងក្រោម «ត្រូវ» ឬ «ខុស» ៖

តាមពីរចំណុចគេអាចគូសបានបន្ទាត់ច្រើន
ចំណុចគ្មានវិមាត្រទេ
បន្ទាត់មានកម្រាស់ស្ដើង
ប្លង់គ្មានព្រំដែនកំណត់ឡើយ

មើលដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍ជាក់ស្ដែង ៖

ចំណុច ៖ ចុងម្ជុល, ផ្កាយលើមេឃ
បន្ទាត់ ៖ គែមបន្ទាត់ត្រង់, ខ្សែភ្លើងតឹង
អង្កត់ ៖ គែមសៀវភៅ, កំណាត់ឈើបន្ទាត់
ប្លង់ ៖ ផ្ទៃតុរាបស្មើ, ផ្ទៃក្ដារខៀន

៧លំហាត់ទី ៧

គេមាន ៣ ចំណុច \(P, Q, R\) រត់ត្រង់ជួរគ្នាតាមលំដាប់នោះ។ ចូរសរសេរឈ្មោះទាំងអស់ដែលអាចតំណាងឱ្យបន្ទាត់នេះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនចំណុចប្រសព្វសរុប ៖

\((d_1)\) និង \((d_2)\) ប្រសព្វត្រង់ \(O\)
\((d_3)\) កាត់ \((d_1)\) ត្រង់ \(A\) និងកាត់ \((d_2)\) ត្រង់ \(B\)
ចំនួនចំណុចប្រសព្វសរុបគឺ \(3\) (\(O, A, B\))

៨លំហាត់ទី ៨

គេឱ្យបន្ទាត់ \((d)\) មួយ។ ដៅចំណុច \(A, B \in (d)\) និង \(C, D \notin (d)\)។ គូសបន្ទាត់ដែលកាត់តាម \(C\) និង \(A\); \(D\) និង \(B\)។ រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទាំងពីរនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ «ត្រូវ» ឬ «ខុស» ៖

តាមពីរចំណុចគូសបានបន្ទាត់ច្រើន ៖ ខុស
ចំណុចគ្មានវិមាត្រទេ ៖ ត្រូវ
បន្ទាត់មានកម្រាស់ស្ដើង ៖ ខុស
ប្លង់គ្មានព្រំដែនកំណត់ ៖ ត្រូវ

៩លំហាត់ទី ៩

បន្ទាត់បីកាត់គ្នាពីរៗ។ តើអាចបង្កើតបានចំណុចប្រសព្វចំនួនប៉ុន្មាន? ចូរគូសរូបបង្ហាញករណីនីមួយៗ (ករណីប្រសព្វត្រង់ ១ ចំណុច និងប្រសព្វត្រង់ ៣ ចំណុច)។

មើលដំណោះស្រាយ

ឈ្មោះតំណាងឱ្យបន្ទាត់ ៖ ព្រោះ \(P, Q, R\) រត់ត្រង់ជួរ នាំឱ្យឈ្មោះបន្ទាត់គឺ ៖ \((PQ), (QR), (PR), (QP), (RQ), (RP)\)។

១០លំហាត់ទី ១០

គេឱ្យ ៥ ចំណុចក្នុងប្លង់ ដែលគ្មាន ៣ ចំណុចណារត់ត្រង់ជួរគ្នា។ គណនាចំនួនបន្ទាត់ទាំងអស់ដែលកាត់តាមពីរៗចំណុចនៃចំណុចទាំង ៥ នោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុចប្រសព្វ ៖ បន្ទាត់ \((CA)\) និង \((DB)\) កាត់គ្នាបង្កើតបាន \(1\) ចំណុចប្រសព្វ (បើវាមិនស្របគ្នា)។

១១លំហាត់ទី ១១

លើបន្ទាត់ \(xy\) គេដៅចំណុច \(O\) មួយ។

ប្រាប់ឈ្មោះកន្លះបន្ទាត់ទាំងអស់ដែលមានគល់ត្រង់ \(O\)។
តើកន្លះបន្ទាត់ទាំងពីរនោះមានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងដូចម្ដេច?

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់បីកាត់គ្នាពីរៗ ៖

ករណី ១ ៖ កាត់គ្នាត្រង់ \(1\) ចំណុចរួម (បន្ទាត់ប្រសព្វត្រង់ចំណុចតែមួយ)
ករណី ២ ៖ បង្កើតបាន \(3\) ចំណុចប្រសព្វ (រាងជាត្រីកោណ)

១២លំហាត់ទី ១២

លើបន្ទាត់មួយ គេដៅពីរចំណុច \(A\) និង \(B\)។

រាប់ឈ្មោះកន្លះបន្ទាត់ទាំងអស់ដែលមានក្នុងរូប។
តើកន្លះបន្ទាត់ \(AB\) និងកន្លះបន្ទាត់ \(BA\) ដូចគ្នាឬទេ? ពន្យល់។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនបន្ទាត់កាត់តាមពីរៗចំណុច (៥ ចំណុច) ៖

\[N = \frac{5 \times (5 - 1)}{2} = 10\text{ បន្ទាត់}\]

១៣លំហាត់ទី ១៣

គេឱ្យចំណុច \(M\) នៅលើបន្ទាត់ \(AB\) ដោយ \(M\) នៅចន្លោះ \(A\) និង \(B\)។ ចូរប្រាប់ឈ្មោះគូកន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នាដែលមានគល់ត្រង់ \(M\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ដៅចំណុច \(O\) លើបន្ទាត់ \(xy\) ៖ ចំណុច \(O\) ចែកបន្ទាត់ \(xy\) ជាពីរកន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នា។

១៤លំហាត់ទី ១៤

គូសកន្លះបន្ទាត់ពីរ \(Ox\) និង \(Oy\) មិនឈមគ្នា។ លើ \(Ox\) ដៅចំណុច \(A\) និងលើ \(Oy\) ដៅចំណុច \(B\) (\(A, B \neq O\))។ គូសអង្កត់ \(AB\)។

មើលដំណោះស្រាយ

កន្លះបន្ទាត់គល់ \(O\) ៖ មានពីរកន្លះបន្ទាត់គឺ ៖ កន្លះបន្ទាត់ \(Ox\) និងកន្លះបន្ទាត់ \(Oy\)។

១៥លំហាត់ទី ១៥

ពិនិត្យបន្ទាត់ \(xy\) ដែលមានចំណុច \(A, B, C\) តាមលំដាប់ពីឆ្វេងទៅស្ដាំ។ ចូររក ៖

គូកន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នាគល់ \(B\)
កន្លះបន្ទាត់ត្រួតស៊ីគ្នានឹង \(BA\)
កន្លះបន្ទាត់ត្រួតស៊ីគ្នានឹង \(BC\)
កន្លះបន្ទាត់ដែលមានទិសដៅដូចគ្នា

មើលដំណោះស្រាយ

ទំនាក់ទំនងរវាងកន្លះបន្ទាត់ទាំងពីរ ៖ កន្លះបន្ទាត់ \(Ox\) និងកន្លះបន្ទាត់ \(Oy\) ជា កន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នា។

១៦លំហាត់ទី ១៦

តើកន្លះបន្ទាត់ពីរ \(Ax\) និង \(Ay\) ជាកន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នា ក្នុងលក្ខខណ្ឌណា?

មើលដំណោះស្រាយ

លើបន្ទាត់ដៅពីរចំណុច \(A\) និង \(B\) ៖ បន្ទាត់ត្រូវបានបែងចែកដោយចំណុចទាំងពីរ។

១៧លំហាត់ទី ១៧

លើបន្ទាត់មួយមាន ៣ ចំណុច \(A, B, C\)។ តើមានកន្លះបន្ទាត់ចំនួនប៉ុន្មានដែលទទួលស្គាល់ចំណុចទាំងបីនេះជាគល់?

មើលដំណោះស្រាយ

រាប់ឈ្មោះកន្លះបន្ទាត់ ៖ មាន \(4\) កន្លះបន្ទាត់ ៖ គល់ \(A\) មាន \(Ax, AB\) និងគល់ \(B\) មាន \(BA, By\)។

១៨លំហាត់ទី ១៨

ចូរប្រាប់ភាពខុសគ្នារវាង ៖

បន្ទាត់ \((AB)\) និងអង្កត់ \([AB]\)
កន្លះបន្ទាត់ \([AB)\) និងកន្លះបន្ទាត់ \([BA)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រៀបធៀប \([AB)\) និង \([BA)\) ៖ កន្លះបន្ទាត់ទាំងពីរ មិនដូចគ្នាទេ ព្រោះវាមានគល់ខុសគ្នា (\(A\) និង \(B\)) និងមានទិសដៅផ្ទុយគ្នា។

១៩លំហាត់ទី ១៩

គូសប្លង់ \((P)\) មួយ និងបន្ទាត់ \((d)\) កាត់ប្លង់ \((P)\) ត្រង់ \(M\)។ ដៅចំណុច \(A \in (d)\) (\(A \neq M\))។ តើចំណុច \(A\) ស្ថិតក្នុងប្លង់ \((P)\) ដែរឬទេ?

មើលដំណោះស្រាយ

កន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នាគល់ \(M\) ៖ កន្លះបន្ទាត់ \(MA\) និងកន្លះបន្ទាត់ \(MB\) ជាគូកន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នា។

២០លំហាត់ទី ២០

គេឱ្យពីរចំណុច \(A\) និង \(B\) ស្ថិតក្នុងប្លង់ \((P)\)។ តើបន្ទាត់ \((AB)\) ទាំងមូលមានទីតាំងយ៉ាងណាចំពោះប្លង់ \((P)\)?

មើលដំណោះស្រាយ

គូស \(Ox, Oy\) មិនឈមគ្នា ៖ ដៅ \(A \in Ox, B \in Oy\) រួចគូសអង្កត់ \([AB]\) នោះបង្កើតបានជាត្រីកោណ \(OAB\)។

២១លំហាត់ទី ២១

គូសអង្កត់ \(AB = 6\text{ cm}\) និងដៅចំណុចកណ្ដាល \(M\) នៃអង្កត់នោះ។ គណនាប្រវែង \(AM\) និង \(MB\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ពិនិត្យបន្ទាត់ \(xy\) មាន \(A, B, C\) ៖

គូកន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នាគល់ \(B\) ៖ \(BA\) និង \(BC\)
ត្រួតស៊ីនឹង \(BA\) ៖ កន្លះបន្ទាត់ \(Bx\)
ត្រួតស៊ីនឹង \(BC\) ៖ កន្លះបន្ទាត់ \(By\)
ទិសដៅដូចគ្នា ៖ \(Ax\) និង \(Bx\) (ឬ \(By\) និង \(Cy\))

២២លំហាត់ទី ២២

លើបន្ទាត់មួយ គេដៅចំណុច \(A, B, C\) តាមលំដាប់ដោយ \(AB = 4.5\text{ cm}\) និង \(BC = 3.5\text{ cm}\)។ គណនាប្រវែង \(AC\)។

មើលដំណោះស្រាយ

លក្ខខណ្ឌ \(Ax\) និង \(Ay\) ជាកន្លះបន្ទាត់ឈម ៖ លុះត្រាតែ \(A, x, y\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា ហើយ \(A\) ស្ថិតនៅចន្លោះចំណុចលើកន្លះបន្ទាត់ទាំងពីរ (បង្កើតបានបន្ទាត់ត្រង់ \(xy\))។

២៣លំហាត់ទី ២៣

គេឱ្យចំណុច \(B\) នៅចន្លោះ \(A\) និង \(C\)។ បើ \(AC = 12\text{ cm}\) និង \(AB = 5.8\text{ cm}\) គណនាប្រវែង \(BC\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនកន្លះបន្ទាត់ (៣ ចំណុច) ៖ ចំណុចនីមួយៗជាគល់នៃកន្លះបន្ទាត់ ២ នាំឱ្យ ៖

\[3 \times 2 = 6\text{ កន្លះបន្ទាត់}\]

២៤លំហាត់ទី ២៤

គេឱ្យ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់ \([PQ]\)។ បើ \(PM = 7.2\text{ cm}\) ចូរគណនាប្រវែង \(PQ\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ភាពខុសគ្នា ៖

បន្ទាត់ \((AB)\) គ្មានព្រំដែនសងខាង រីឯអង្កត់ \([AB]\) មានប្រវែងកំណត់ដោយចុង \(A\) និង \(B\)
កន្លះបន្ទាត់ \([AB)\) មានគល់ \(A\), រីឯ \([BA)\) មានគល់ \(B\)

២៥លំហាត់ទី ២៥

លើបន្ទាត់មួយ គេដៅ ៤ ចំណុច \(A, B, C, D\) តាមលំដាប់ដោយ \(AB = 3\text{ cm}, BC = 5\text{ cm}, CD = 4\text{ cm}\)។ គណនា ៖

\(AC\)
\(BD\)
\(AD\)

មើលដំណោះស្រាយ

ពិនិត្យទីតាំងចំណុច \(A\) ៖ ព្រោះបន្ទាត់ \((d)\) កាត់ប្លង់ \((P)\) ត្រង់តែមួយចំណុច \(M\) ហើយ \(A \neq M\) នាំឱ្យ \(A \notin (P)\) (មិនស្ថិតក្នុងប្លង់ \(P\))។

២៦លំហាត់ទី ២៦

គេឱ្យអង្កត់ \(AB = 10\text{ cm}\)។ ចំណុច \(M \in [AB]\) ដែល \(AM = 2MB\)។ គណនាប្រវែង \(AM\) និង \(MB\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ទីតាំងបន្ទាត់ \((AB)\) ចំពោះប្លង់ \((P)\) ៖ ព្រោះ \(A, B \in (P)\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \((AB)\) ទាំងមូលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ \((P)\) ជានិច្ច ៖ \((AB) \subset (P)\)។

២៧លំហាត់ទី ២៧

គេឱ្យអង្កត់ \(MN = 18\text{ cm}\)។ ចំណុច \(I \in [MN]\) ដោយ \(MI = \frac{1}{3}MN\)។ គណនាប្រវែង \(MI\) និង \(IN\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រវែង \(AM\) និង \(MB\) ៖ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AB] = 6\text{ cm}\) ៖

\[AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}\]

២៨លំហាត់ទី ២៨

គេឱ្យ \(A, B, C\) ជាបីចំណុចលើបន្ទាត់តែមួយដោយ \(AB = 8\text{ cm}\) និង \(AC = 14\text{ cm}\)។ រកប្រវែង \(BC\) ក្នុងករណី ៖

ចំណុច \(B\) ស្ថិតនៅចន្លោះ \(A\) និង \(C\)
ចំណុច \(A\) ស្ថិតនៅចន្លោះ \(B\) និង \(C\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រវែង \(AC\) ៖ ព្រោះ \(B\) នៅចន្លោះ \(A\) និង \(C\) នាំឱ្យ ៖

\[AC = AB + BC = 4.5 + 3.5 = 8\text{ cm}\]

២៩លំហាត់ទី ២៩

គេឱ្យ \(AB = 16\text{ cm}\)។ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AB]\) ហើយ \(N\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AM]\)។ គណនាប្រវែង \(AN, NM\) និង \(NB\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រវែង \(BC\) ៖ ព្រោះ \(B\) នៅចន្លោះ \(A\) និង \(C\) នាំឱ្យ ៖

\[BC = AC - AB = 12 - 5.8 = 6.2\text{ cm}\]

៣០លំហាត់ទី ៣០

គេឱ្យអង្កត់ \(AB\) និងចំណុច \(M, N \in [AB]\) ដោយ \(AM = NB = 3\text{ cm}\)។ បង្ហាញថា \(AN = MB\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រវែង \(PQ\) ៖ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([PQ]\) នាំឱ្យ ៖

\[PQ = 2 \times PM = 2 \times 7.2 = 14.4\text{ cm}\]

៣១លំហាត់ទី ៣១

គេឱ្យ \(I\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AB]\) ដែល \(AB = 14\text{ cm}\)។ លើកន្លះបន្ទាត់ \(AB\) ដៅចំណុច \(C\) ដោយ \(BC = 4\text{ cm}\) (\(B\) នៅចន្លោះ \(I\) និង \(C\))។ គណនាប្រវែង \(IC\) និង \(AC\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រវែងអង្កត់ ៖

\(AC = AB + BC = 3 + 5 = 8\text{ cm}\)
\(BD = BC + CD = 5 + 4 = 9\text{ cm}\)
\(AD = AB + BC + CD = 3 + 5 + 4 = 12\text{ cm}\)

៣២លំហាត់ទី ៣២

គេឱ្យ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AB]\)។ \(C\) ជាចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់ \((AB)\) ខាងក្រៅអង្កត់ \([AB]\) (ខាង \(B\))។ បង្ហាញថា \(MC = \frac{AC + BC}{2}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនា \(AM\) និង \(MB\) ៖ \(AM + MB = AB \iff 2MB + MB = 10\) ៖

\[3MB = 10 \Rightarrow MB = \frac{10}{3}\text{ cm}, \quad{} AM = \frac{20}{3}\text{ cm}\]

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

គេឱ្យ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AB]\)។ \(D\) ជាចំណុចមួយនៅលើអង្កត់ \([AB]\) (\(D \neq M\))។ បង្ហាញថា \(MD = \frac{|AD - BD|}{2}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនា \(MI\) និង \(IN\) ៖

\(MI = \frac{1}{3} \times 18 = 6\text{ cm}\)
\(IN = MN - MI = 18 - 6 = 12\text{ cm}\)

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

គេឱ្យអង្កត់ \(AB = 24\text{ cm}\)។ ចំណុច \(C\) ចែកអង្កត់ \(AB\) តាមផលធៀប \(\frac{CA}{CB} = \frac{1}{3}\)។ គណនាប្រវែង \(CA\) និង \(CB\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនា \(BC\) តាមករណីទីតាំង ៖ ពិនិត្យករណីទីតាំងនៃចំណុច \(A, B, C\)។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

គេឱ្យ \(A, B, C, D\) លើបន្ទាត់តែមួយតាមលំដាប់ដោយ \(AB = CD\)។ បង្ហាញថា \(AC = BD\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ករណី \(B\) នៅចន្លោះ \(A\) និង \(C\) ៖

\[BC = AC - AB = 14 - 8 = 6\text{ cm}\]

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

លើបន្ទាត់ \(d\) គេដៅចំណុច \(O, A, B\) តាមលំដាប់ដោយ \(OA = 4\text{ cm}, OB = 10\text{ cm}\)។ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([OA]\) និង \(N\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AB]\)។ គណនាប្រវែង \(MN\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ករណី \(A\) នៅចន្លោះ \(B\) និង \(C\) ៖

\[BC = BA + AC = 8 + 14 = 22\text{ cm}\]

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

គេឱ្យ ៣ ចំណុច \(A, B, C\) លើបន្ទាត់តែមួយដោយ \(AB = 6\text{ cm}, BC = 8\text{ cm}\) (\(B\) នៅចន្លោះ \(A\) និង \(C\))។ គណនាចម្ងាយរវាងចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AB]\) និងចំណុចកណ្ដាលនៃ \([BC]\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនា \(AN, NM, NB\) (\(AB = 16\text{ cm}\)) ៖

\(M\) កណ្ដាល \([AB] \Rightarrow AM = MB = 8\text{ cm}\)
\(N\) កណ្ដាល \([AM] \Rightarrow AN = NM = 4\text{ cm}\)
\(NB = NM + MB = 4 + 8 = 12\text{ cm}\)

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

គេឱ្យអង្កត់ \(AB = a\)។ \(M_1\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AB]\), \(M_2\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AM_1]\), \(M_3\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \([AM_2]\)។ គណនា \(AM_3\) ជាអនុគមន៍នៃ \(a\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថា \(AN = MB\) ៖

\[\begin{aligned} AN &= AM + MN = 3 + MN \\ MB &= MN + NB = MN + 3 \end{aligned}\]

នាំឱ្យ \(AN = MB\)។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

លើបន្ទាត់មួយមាន ៥ ចំណុច \(A, B, C, D, E\) តម្រៀបគ្នាដោយចម្ងាយរវាងពីរចំណុចជាប់គ្នាស្មើ \(3\text{ cm}\)។ រកចម្ងាយ ៖

\(AE\)
\(AD\)
ចម្ងាយពីចំណុចកណ្ដាល \([AB]\) ទៅចំណុចកណ្ដាល \([DE]\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនា \(IC\) និង \(AC\) ៖ \(I\) កណ្ដាល \([AB] \Rightarrow IB = 7\text{ cm}\) ៖

\(IC = IB + BC = 7 + 4 = 11\text{ cm}\)
\(AC = AB + BC = 14 + 4 = 18\text{ cm}\)

៤០លំហាត់ទី ៤០

បង្ហាញថាបើ ៣ ចំណុច \(A, B, C\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(AB + BC = AC\) នោះចំណុច \(B\) ត្រូវតែស្ថិតនៅលើអង្កត់ \([AC]\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញ \(MC = \frac{AC + BC}{2}\) ៖ \(AC = MC + MA = MC + MB\) និង \(BC = MC - MB\) ៖

\[AC + BC = 2MC \Rightarrow MC = \frac{AC + BC}{2}\]

៤១លំហាត់ទី ៤១

បង្គោលភ្លើង ៦ ដើមត្រូវបានដាំតាមបណ្ដោយផ្លូវត្រង់មួយដោយគម្លាតពីបង្គោលមួយទៅមួយស្មើគ្នា \(25\text{ m}\)។ រកចម្ងាយពីបង្គោលទី១ ដល់បង្គោលទី៦។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញ \(MD = \frac{|AD - BD|}{2}\) ៖ \(AD = AM + MD = \frac{AB}{2} + MD\) និង \(BD = \frac{AB}{2} - MD\) ៖

\[AD - BD = 2MD \Rightarrow MD = \frac{|AD - BD|}{2}\]

៤២លំហាត់ទី ៤២

ខ្សែលួសមួយខ្សែប្រវែង \(1.2\text{ m}\) ត្រូវបានកាត់ជា ៤ កំណាត់ស្មើៗគ្នា។ រកប្រវែងកំណាត់នីមួយៗគិតជា \(\text{cm}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនា \(CA\) និង \(CB\) ៖ \(CA + CB = 24\) និង \(CB = 3CA\) ៖

\[4CA = 24 \Rightarrow CA = 6\text{ cm}, \quad{} CB = 18\text{ cm}\]

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

ជាងឈើម្នាក់ចង់កាត់បន្ទះឈើប្រវែង \(3.6\text{ m}\) ជា ៣ ផ្នែកតាមផលធៀប \(1:2:3\)។ គណនាប្រវែងផ្នែកនីមួយៗគិតជាសង់ទីម៉ែត្រ។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថា \(AC = BD\) ៖

\[\begin{aligned} AC &= AB + BC \\ BD &= BC + CD = BC + AB = AC \end{aligned}\]

ដូចនេះ \(AC = BD\)។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

សួនផ្កាមួយមានរាងចតុកោណកែង \(ABCD\)។ ចូររាប់ចំនួនជ្រុង និងអង្កត់ទ្រូងទាំងអស់នៃសួននោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រវែង \(MN\) ៖ \(AB = OB - OA = 10 - 4 = 6\text{ cm}\) ៖

\(MA = 4 \div 2 = 2\text{ cm}\)
\(AN = 6 \div 2 = 3\text{ cm}\)
\(MN = MA + AN = 2 + 3 = 5\text{ cm}\)

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

ពិនិត្យប្រលេពីប៉ែតកែង \(ABCD.EFGH\) ៖

រាប់ចំនួនកំពូល មុខ និងទ្រនុងនៃប្រលេពីប៉ែតកែងនោះ។
ប្រាប់ឈ្មោះមុខពីរដែលស្របគ្នា និងមុខពីរដែលកាត់គ្នា។
ប្រាប់ឈ្មោះទ្រនុងពីរដែលស្របគ្នា និងទ្រនុងពីរដែលកាត់គ្នា។

មើលដំណោះស្រាយ

ចម្ងាយរវាងចំណុចកណ្ដាលទាំងពីរ ៖

\[d = \frac{AB}{2} + \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} + \frac{8}{2} = 3 + 4 = 7\text{ cm}\]

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

គូបមួយមានរង្វាស់ទ្រនុងនីមួយៗ \(5\text{ cm}\)។ គណនាផលបូកប្រវែងទ្រនុងទាំងអស់នៃគូបនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនា \(AM_3\) ជាអនុគមន៍នៃ \(a\) ៖

\[AM_1 = \frac{a}{2}, \quad{} AM_2 = \frac{a}{4}, \quad{} AM_3 = \frac{a}{8}\]

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

ក្នុងបន្ទប់រៀនមួយ តើផ្ទៃណាខ្លះដែលផ្ដល់នូវរូបភាពប្លង់ស្របគ្នា? តើផ្ទៃណាខ្លះផ្ដល់នូវរូបភាពប្លង់កែងគ្នា?

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាចម្ងាយ (គម្លាត \(3\text{ cm}\)) ៖

\(AE = 4 \times 3 = 12\text{ cm}\)
\(AD = 3 \times 3 = 9\text{ cm}\)
ចម្ងាយកណ្ដាល \([AB]\) ទៅកណ្ដាល \([DE]\) ៖
\(1.5 + 3 + 3 + 1.5 = 9\text{ cm}\)

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

ពីងពាងមួយវារលើបន្ទាត់ត្រង់ពីចំណុច \(A\) ទៅ \(B\) ចម្ងាយ \(60\text{ cm}\)។ បន្ទាប់មកវាវារត្រឡប់ក្រោយវិញតាមបន្ទាត់ដដែលបាន \(25\text{ cm}\) ដល់ចំណុច \(C\)។ រកចម្ងាយពី \(A\) ទៅ \(C\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញ \(B \in [AC]\) ៖ តាមវិសមភាពត្រីកោណ \(AC \le AB + BC\)។ សមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែ \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា ហើយ \(B\) នៅចន្លោះ \(A\) និង \(C\) ពោលគឺ \(B \in [AC]\)។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

ដើមឈើ ៤ ដើម \(A, B, C, D\) ដាំត្រង់ជួរគ្នាលើទំនប់ទឹកមួយ។ ចម្ងាយ \(AB = 12\text{ m}, BC = 18\text{ m}, CD = 15\text{ m}\)។ គេដាំដើមឈើថ្មីមួយទៀត \(M\) ចំកណ្ដាល \(A\) និង \(D\)។ រកចម្ងាយពី \(M\) ទៅដើមឈើនីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចម្ងាយពីបង្គោលទី១ ដល់ទី៦ ៖ មាន \(5\) ចន្លោះគម្លាត ៖

\[d = 5 \times 25 = 125\text{ m}\]

៥០លំហាត់ទី ៥០

កសិករម្នាក់មានដីចម្ការរាងត្រីកោណ \(ABC\)។ គាត់ចង់ដាំបង្គោលរបងត្រង់ចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុងនីមួយៗ។ បើជ្រុងទាំងបីមានប្រវែង \(30\text{ m}, 40\text{ m}, 50\text{ m}\) រកបរិមាត្រនៃត្រីកោណដែលភ្ជាប់ដោយបង្គោលកណ្ដាលទាំងបីនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រវែងកំណាត់នីមួយៗ ៖ \(1.2\text{ m} = 120\text{ cm}\) ៖

\[120 \div 4 = 30\text{ cm}\]

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១២ សញ្ញាណដំបូងនៃរូបធរណីមាត្រ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត