សញ្ញាណនៃចំនួនអវិជ្ជមានមានប្រភពដើមតាំងពីរាប់ពាន់ឆ្នាំមុន។ ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រគណិតវិទ្យាបុរាណចិន នៅក្នុងសៀវភៅ Jiuzhang Suanshu (សៀវភៅក្បួនគណិតវិទ្យា ៩ ជំពូក រៀបរៀងនៅសតវត្សទី២ មុន គ.ស.) គណិតវិទូបុរាណបានប្រើប្រាស់បន្ទះរាប់ពណ៌ក្រហមតំណាងឱ្យចំនួនវិជ្ជមាន (ប្រាក់ចំណូល ឬទ្រព្យសម្បត្តិ) និងបន្ទះរាប់ពណ៌ខ្មៅតំណាងឱ្យចំនួនអវិជ្ជមាន (ប្រាក់ជំពាក់ ឬការខាតបង់)។
លុះមកដល់សតវត្សទី៧ នៃ គ.ស. គណិតវិទូ និងតារាវិទូជនជាតិឥណ្ឌាដ៏ល្បីល្បាញ Brahmagupta (៥៩៨–៦៦៨ នៃ គ.ស.) បានចងក្រងក្បួនគណិតវិទ្យាជាផ្លូវការនៅក្នុងសៀវភៅ Brahmasphutasiddhanta ដោយបានបង្កើតវិធាននៃប្រមាណវិធីលើចំនួនអវិជ្ជមាន និងលេខសូន្យយ៉ាងច្បាស់លាស់ ៖ «បំណុលដកនឹងសូន្យនៅតែជាបំណុល ទ្រព្យសម្បត្តិដកនឹងសូន្យនៅតែជាទ្រព្យសម្បត្តិ ហើយផលគុណនៃបំណុលពីរគឺក្លាយជាទ្រព្យសម្បត្តិ» (មានន័យថា អវិជ្ជមានគុណនឹងអវិជ្ជមាន ទទួលបានវិជ្ជមាន)។
នៅទ្វីបអឺរ៉ុប គណិតវិទូដំបូងៗបានចាត់ទុកចំនួនអវិជ្ជមានថាជា «ចំនួនមិនពិត» រហូតដល់សតវត្សទី១៧ ទើបគណិតវិទូបារាំងដ៏ល្បីល្បាញ René Descartes (១៥៩៦–១៦៥០) បានបង្កើតប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែកាត និងបង្ហាញថា ចំនួនអវិជ្ជមានគឺជាចំណុចដែលស្ថិតនៅខាងឆ្វេងនៃលេខសូន្យនៅលើបន្ទាត់ចំនួន ដែលធ្វើឱ្យចំនួនអវិជ្ជមានទទួលបានការទទួលស្គាល់ពេញលេញក្នុងពិភពវិទ្យាសាស្ត្ររហូតមកដល់សព្វថ្ងៃ។
សញ្ញាណចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប និងបន្ទាត់ចំនួន
ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប គឺជាចំនួនដែលរួមមាន ចំនួនគត់វិជ្ជមាន ចំនួនសូន្យ និងចំនួនគត់អវិជ្ជមាន។
ចំនួនគត់វិជ្ជមាន ៖ \(+1, +2, +3, +4, \dots\) (អាចសរសេរគ្មានសញ្ញា \(+\) គឺ \(1, 2, 3, 4, \dots\))
ចំនួនសូន្យ ៖ \(0\) (មិនមែនជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយក៏មិនមែនជាចំនួនអវិជ្ជមានឡើយ)
ចំនួនគត់អវិជ្ជមាន ៖ \(-1, -2, -3, -4, \dots\) (មានសញ្ញា \(-\) នៅពីមុខជានិច្ច)
សំណុំនៃចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបតាងដោយអក្សរ \(\mathbb{Z}\) (មកពីពាក្យអាល្លឺម៉ង់ Zahlen មានន័យថាចំនួន) ៖
បន្ទាត់ចំនួន គឺជាបន្ទាត់តម្រង់ទិសដែលមានចំណុចគល់ \(O\) តំណាងឱ្យលេខ \(0\) និងឯកតារង្វាស់ស្មើៗគ្នា ៖
ចំណុចដែលស្ថិតនៅខាងស្ដាំនៃគល់ \(O\) តំណាងឱ្យចំនួនគត់វិជ្ជមាន។
ចំណុចដែលស្ថិតនៅខាងឆ្វេងនៃគល់ \(O\) តំណាងឱ្យចំនួនគត់អវិជ្ជមាន។
ក្នុងចំណោមចំនួនខាងក្រោម តើចំនួនណាខ្លះជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន ចំនួនណាជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបអវិជ្ជមាន និងចំនួនណាខ្លះមិនមែនជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ៖
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន ៖ \(+15, 45\) (ចំនួនគត់ធំជាងសូន្យ)។
ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបអវិជ្ជមាន ៖ \(-8, -120\) និង \(-\frac{10}{2} = -5\)។
ចំនួនសូន្យ (\(0\)) ៖ ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ប៉ុន្តែមិនវិជ្ជមាន ហើយក៏មិនអវិជ្ជមាន។
មិនមែនជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ៖ \(-3.5\) (ចំនួនទសភាគ) និង \(\frac{7}{2} = 3.5\) (ប្រភាគមិនដាច់)។
១. ក្នុងចំណោមចំនួនខាងក្រោម ចូរញែកចំនួនគត់វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន ៖
តម្លៃដាច់ខាត និងចំនួនផ្ទុយ
តម្លៃដាច់ខាត នៃចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប \(a\) (តាងដោយ \(|a|\)) គឺជាចម្ងាយពីចំណុចតាងចំនួន \(a\) ទៅកាន់ចំណុចគល់ \(0\) នៅលើបន្ទាត់ចំនួន។ ដោយសារចម្ងាយមិនអាចអវិជ្ជមាន ដូច្នេះតម្លៃដាច់ខាតជាចំនួនមិនអវិជ្ជមានជានិច្ច ៖
ចំនួនផ្ទុយ នៃចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប \(a\) គឺជាចំនួនដែលស្ថិតនៅសងខាងនៃគល់ \(0\) និងមានចម្ងាយស្មើគ្នាពីគល់ \(0\) (មានតម្លៃដាច់ខាតស្មើគ្នា ប៉ុន្តែមានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា)។
ចំនួនផ្ទុយនៃ \(a\) គឺកំណត់សរសេរដោយ \(-(a) = -a\)
ចំនួនផ្ទុយនៃ \(-a\) គឺ \(-(-a) = a\)
ចំនួនផ្ទុយនៃ \(0\) គឺ \(0\)
ផលបូកនៃពីរចំនួនផ្ទុយគ្នា តែងតែស្មើនឹងសូន្យ ៖ \(a + (-a) = 0\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖
\(A = |-15| + |+8| - |-7|\)
\(B = -|-12| + |-3|^2 - (-5)\)
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
\(A = |-15| + |+8| - |-7| = 15 + 8 - 7 = 23 - 7 = 16\)
\(B = -|-12| + |-3|^2 - (-5) = -12 + 3^2 + 5 = -12 + 9 + 5 = 2\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖
\(|-25| + |+14|\)
\(|-18| - |-9| + |0|\)
\(-(-16) + [-(-7)]\)
\(|-6| \times |+4| - |-15|\)
ការប្រៀបធៀប និងលំដាប់នៃចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប
នៅលើបន្ទាត់ចំនួនផ្ដេក ចំនួនដែលស្ថិតនៅខាងស្ដាំ តែងតែធំជាងចំនួនដែលស្ថិតនៅខាងឆ្វេងជានិច្ច ៖
រវាងចំនួនវិជ្ជមាន និងសូន្យ ៖ គ្រប់ចំនួនវិជ្ជមានតែងតែធំជាងសូន្យ (\(a > 0\) ចំពោះ \(a > 0\))។
រវាងចំនួនអវិជ្ជមាន និងសូន្យ ៖ គ្រប់ចំនួនអវិជ្ជមានតែងតែតូចជាងសូន្យ (\(b < 0\) ចំពោះ \(b < 0\))។
រវាងចំនួនវិជ្ជមាន និងចំនួនអវិជ្ជមាន ៖ ចំនួនវិជ្ជមានតែងតែធំជាងចំនួនអវិជ្ជមានជានិច្ច។
រវាងចំនួនវិជ្ជមានពីរ ៖ ចំនួនណាដែលមានតម្លៃដាច់ខាតធំជាង ជាចំនួនធំជាង។
រវាងចំនួនអវិជ្ជមានពីរ ៖ ចំនួនណាដែលមានតម្លៃដាច់ខាតតូចជាង ជាចំនួនធំជាង (ឧទាហរណ៍ ៖ \(-3 > -8\) ពីព្រោះ \(|-3| = 3 < 8 = |-8|\))។
ប្រៀបធៀបគូចំនួនខាងក្រោមដោយប្រើសញ្ញា \(<\) ឬ \(>\) ៖
\(+7\) និង \(-12\)
\(-15\) និង \(0\)
\(-9\) និង \(-4\)
\(-25\) និង \(-30\)
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
\(+7 > -12\) (ចំនួនវិជ្ជមានធំជាងចំនួនអវិជ្ជមាន)
\(-15 < 0\) (ចំនួនអវិជ្ជមានតូចជាងសូន្យ)
\(-9 < -4\) (ព្រោះ \(|-9| = 9 > 4 = |-4|\) ដូច្នេះចំនួនអវិជ្ជមានមានតម្លៃដាច់ខាតធំ ជាចំនួនតូចជាង)
\(-25 > -30\) (ព្រោះ \(|-25| = 25 < 30 = |-30|\))
១. ប្រៀបធៀបគូចំនួនខាងក្រោម ៖
\(-14\) និង \(-20\)
\(+3\) និង \(-100\)
២. ចូររៀបចំនួនខាងក្រោមតាមលំដាប់កើន ៖ \(-12, +5, -3, 0, -18, +9, -1, +14\)។
៣. ចូររៀបចំនួនខាងក្រោមតាមលំដាប់ចុះ ៖ \(-8, -25, +17, -2, +30, 0, -15\)។
វិធីបូក និងវិធីដកចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប
បូកពីរចំនួនមានសញ្ញាដូចគ្នា ៖ គេបូកតម្លៃដាច់ខាតនៃចំនួនទាំងពីរ ហើយរក្សាសញ្ញារួមដដែល ៖
\[(+a) + (+b) = +(a + b), \qquad{} (-a) + (-b) = -(a + b)\]បូកពីរចំនួនមានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា ៖ គេយកតម្លៃដាច់ខាតធំដកតម្លៃដាច់ខាតតូច ហើយដាក់សញ្ញាតាមតួដែលមានតម្លៃដាច់ខាតធំជាង ៖
\[(-8) + (+5) = -(8 - 5) = -3, \qquad{} (+12) + (-4) = +(12 - 4) = +8\]
ដើម្បីដកចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបមួយ គេត្រូវបូកចំនួនផ្ទុយរបស់វា ៖
ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប \(a, b, c\) គេបាន ៖
លក្ខណៈត្រឡប់ ៖ \(a + b = b + a\)
លក្ខណៈផ្ដុំ ៖ \((a + b) + c = a + (b + c)\)
ធាតុណឺត ៖ \(a + 0 = 0 + a = a\) (\(0\) ជាធាតុណឺតនៃវិធីបូក)
ធាតុផ្ទុយ ៖ \(a + (-a) = (-a) + a = 0\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖
\(A = (-14) + (-26) + (+15)\)
\(B = 18 - (-12) - 25 + (-7)\)
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
\(A = [(-14) + (-26)] + 15 = -40 + 15 = -(40 - 15) = -25\)
\(B = 18 + 12 - 25 - 7 = 30 - 32 = -2\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖
\((-35) + (+18) + (-15)\)
\(42 - (-18) - (+30)\)
\((-12) - (-25) + (-13) - 8\)
\(100 - (+45) - (-25) + (-80)\)
វិធីគុណ និងវិធីចែកចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប
| ក្បួនសញ្ញានៃវិធីគុណ | ក្បួនសញ្ញានៃវិធីចែក |
|---|---|
| \((+) \times (+) = (+)\) | \((+) \div (+) = (+)\) |
| \((-) \times (-) = (+)\) | \((-) \div (-) = (+)\) |
| \((+) \times (-) = (-)\) | \((+) \div (-) = (-)\) |
| \((-) \times (+) = (-)\) | \((-) \div (+) = (-)\) |
សេចក្ដីសន្និដ្ឋាន ៖
តួពីរមានសញ្ញាដូចគ្នា គុណ ឬចែកគ្នា ទទួលបានលទ្ធផលវិជ្ជមាន (\(+\))។
តួពីរមានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា គុណ ឬចែកគ្នា ទទួលបានលទ្ធផលអវិជ្ជមាន (\(-\))។
ផលគុណដែលមានកត្តាអវិជ្ជមានចំនួនគូ ផ្ដល់លទ្ធផលវិជ្ជមាន។ បើមានកត្តាអវិជ្ជមានចំនួនសេស ផ្ដល់លទ្ធផលអវិជ្ជមាន។
បើ \(a\) ជាចំនួនវិជ្ជមាន និង \(n\) ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ ៖
\((-a)^n > 0\) (វិជ្ជមាន) បើ \(n\) ជាចំនួនគូ (ឧទាហរណ៍ ៖ \((-3)^2 = +9, \quad{} (-2)^4 = +16\))
\((-a)^n < 0\) (អវិជ្ជមាន) បើ \(n\) ជាចំនួនសេស (ឧទាហរណ៍ ៖ \((-3)^3 = -27, \quad{} (-2)^5 = -32\))
ចំណាំការប្រើវង់ក្រចក ៖ \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9\) ខុសពី \(-3^2 = -(3 \times 3) = -9\)។
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖
\(A = (-4) \times (-5) \times (-3)\)
\(B = (-72) \div (-8) + (-45) \div (+9)\)
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
\(A = [(-4) \times (-5)] \times (-3) = (+20) \times (-3) = -60\)
\(B = (+9) + (-5) = 9 - 5 = 4\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖
\((-6) \times (+8) \div (-4)\)
\((-2)^3 \times (-3)^2\)
\((-120) \div [(-3) \times (-8) \div (-6)]\)
\(-5^2 + (-5)^2 - (-2)^4\)
លំដាប់នៃប្រមាណវិធី និងការប្រើវង់ក្រចក
ដើម្បីគណនាកន្សោមលេខដែលមានប្រមាណវិធីច្រើនចម្រុះគ្នា គេត្រូវអនុវត្តតាមលំដាប់លំដោយដូចខាងក្រោម ៖
វង់ក្រចក ៖ ធ្វើប្រមាណវិធីក្នុងវង់ក្រចកមុនគេបង្អស់ ដោយចាប់ផ្ដើមពីវង់ក្រចកតូច \(( )\), បន្ទាប់មកវង់ក្រចកធំ ឬដង្កៀប \([ ]\), និងចុងក្រោយវង់ក្រចកអង្កាញ់ \(\{ \}\)។
ស្វ័យគុណ និងឫស ៖ គណនាស្វ័យគុណ និងឫសការ៉េ/គូប។
វិធីគុណ និងវិធីចែក ៖ ធ្វើប្រមាណវិធីគុណ និងចែកពីឆ្វេងទៅស្ដាំ។
វិធីបូក និងវិធីដក ៖ ធ្វើប្រមាណវិធីបូក និងដកពីឆ្វេងទៅស្ដាំជាចុងក្រោយ។
គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(E = 15 - [(-3)^2 - (4 - 7 \times 2)] \div (-3)\)។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖
\(A = 24 - 4 \times [5 - (-3)]\)
\(B = (-2) \times [18 - (6 - 10 \div 2)] + (-5)^2\)
\(C = [(-15 + 5) \div (-2)] \times [12 - (-4 \times 3)]\)
\(D = \dfrac{-18 - (-6)}{(-2) \times (-3)} + (-1)^5\)
ចំណោទអនុវត្តជាក់ស្ដែង
នៅទីក្រុងអូស្លូ (Oslo) សីតុណ្ហភាពនៅម៉ោង ៦ ព្រឹក គឺ \(-8^\circ\text{C}\)។ នៅពេលថ្ងៃត្រង់ សីតុណ្ហភាពបានកើនឡើង \(13^\circ\text{C}\) ហើយលុះដល់ពាក់កណ្ដាលអធ្រាត្រ សីតុណ្ហភាពបានធ្លាក់ចុះទៅវិញចំនួន \(9^\circ\text{C}\)។ រកសីតុណ្ហភាពនៅពាក់កណ្ដាលអធ្រាត្រ។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
សីតុណ្ហភាពនៅពេលថ្ងៃត្រង់ គឺ ៖ \((-8) + 13 = +5^\circ\text{C}\)។
សីតុណ្ហភាពនៅពាក់កណ្ដាលអធ្រាត្រ គឺ ៖ \(5 - 9 = -4^\circ\text{C}\)។
ដូចនេះ សីតុណ្ហភាពនៅពាក់កណ្ដាលអធ្រាត្រគឺ \(-4^\circ\text{C}\)។
១. មុជទឹកម្នាក់បានមុជចុះក្រោមនីវ៉ូទឹកសមុទ្រជម្រៅ \(25\text{ m}\) (តាងដោយ \(-25\))។ បន្ទាប់មក គាត់បានហែលឡើងលើវិញបាន \(12\text{ m}\) រួចមុជចុះក្រោមថែម \(8\text{ m}\) ទៀត។ តើបច្ចុប្បន្នគាត់ស្ថិតនៅជម្រៅប៉ុន្មានម៉ែត្រធៀបនឹងនីវ៉ូទឹកសមុទ្រ?
២. អាជីវករម្នាក់ខែទីមួយខាតបង់ប្រាក់ \(150\,000\) រៀល ខែទីពីរគាត់ចំណេញបាន \(400\,000\) រៀល និងខែទីបីគាត់ខាតបង់ \(120\,000\) រៀល ។ គណនាប្រាក់ចំណេញ ឬខាតសុទ្ធរបស់គាត់ក្នុងរយៈពេល ៣ ខែនេះ។
លំហាត់អនុវត្តន៍
ចូរដៅចំណុច \(A(-5), B(-2), C(0), D(+3), E(+6)\) នៅលើបន្ទាត់ចំនួនតែមួយ។
មើលដំណោះស្រាយ
ដៅចំណុច \(A(-5), B(-2), C(0), D(+3), E(+6)\) លើបន្ទាត់ចំនួន ៖
រកចំនួនផ្ទុយនៃចំនួនខាងក្រោម ៖
\(+14\)
\(-23\)
\(0\)
\(-(-8)\)
មើលដំណោះស្រាយ
រកចំនួនផ្ទុយនៃចំនួននីមួយៗ ៖
ចំនួនផ្ទុយនៃ \(+14\) គឺ \(\boxed{-14}\)
ចំនួនផ្ទុយនៃ \(-23\) គឺ \(\boxed{+23}\)
ចំនួនផ្ទុយនៃ \(0\) គឺ \(\boxed{0}\)
ចំនួនផ្ទុយនៃ \(-(-8) = +8\) គឺ \(\boxed{-8}\)
គណនាតម្លៃដាច់ខាត ៖
\(|-34|\)
\(|+45|\)
\(|-105|\)
\(-|-18|\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃដាច់ខាត ៖
\(|-34| = \mathbf{34}\)
\(|+45| = \mathbf{45}\)
\(|-105| = \mathbf{105}\)
\(-|-18| = -(18) = \mathbf{-18}\)
ប្រៀបធៀបគូចំនួនខាងក្រោមដោយប្រើសញ្ញា \(<\) ឬ \(>\) ៖
\(-12\) និង \(-18\)
\(+4\) និង \(-25\)
\(-30\) និង \(0\)
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រៀបធៀបគូចំនួនដោយប្រើ \(<\) ឬ \(>\) ៖
\(-12 > -18\) (ព្រោះ \(|-12| < |-18|\))
\(+4 > -25\) (ចំនួនវិជ្ជមានធំជាងអវិជ្ជមាន)
\(-30 < 0\) (ចំនួនអវិជ្ជមានតូចជាងសូន្យ)
ចូររៀបចំនួនខាងក្រោមតាមលំដាប់កើន ៖
មើលដំណោះស្រាយ
រៀបចំនួនតាមលំដាប់កើន (ពីតូចទៅធំ) ៖
\(\boxed{-22 < -15 < -3 < -1 < 0 < +8 < +12 < +20}\)
ចូររៀបចំនួនខាងក្រោមតាមលំដាប់ចុះ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
រៀបចំនួនតាមលំដាប់ចុះ (ពីធំទៅតូច) ៖
\(\boxed{+40 > +17 > +5 > 0 > -2 > -9 > -18 > -35}\)
រកគ្រប់ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប \(x\) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ \(-5 \le x < 3\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គ្រប់ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប \(x\) ដែល \(-5 \le x < 3\) គឺ ៖
\(\boxed{x \in \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}}\)
រកគ្រប់ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបអវិជ្ជមាន \(y\) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ \(-8 < y \le -2\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គ្រប់ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបអវិជ្ជមាន \(y\) ដែល \(-8 < y \le -2\) គឺ ៖
\(\boxed{y \in \{-7, -6, -5, -4, -3, -2\}}\)
គណនាផលបូក ៖
\((-14) + (-26)\)
\((+32) + (-18)\)
\((-45) + (+60)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលបូក ៖
\((-14) + (-26) = -(14 + 26) = \mathbf{-40}\)
\((+32) + (-18) = +(32 - 18) = \mathbf{+14}\)
\((-45) + (+60) = +(60 - 45) = \mathbf{+15}\)
គណនាផលបូក ៖
\((-125) + (+75)\)
\((-88) + (-12)\)
\((+210) + (-350)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលបូក ៖
\((-125) + (+75) = -(125 - 75) = \mathbf{-50}\)
\((-88) + (-12) = -(88 + 12) = \mathbf{-100}\)
\((+210) + (-350) = -(350 - 210) = \mathbf{-140}\)
គណនាផលដក ៖
\(18 - 25\)
\((-15) - (-9)\)
\((-30) - (+14)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលដក ៖
\(18 - 25 = 18 + (-25) = \mathbf{-7}\)
\((-15) - (-9) = -15 + 9 = \mathbf{-6}\)
\((-30) - (+14) = -30 - 14 = \mathbf{-44}\)
គណនាផលដក ៖
\(45 - (-25)\)
\((-60) - (-60)\)
\(0 - (-19)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលដក ៖
\(45 - (-25) = 45 + 25 = \mathbf{70}\)
\((-60) - (-60) = -60 + 60 = \mathbf{0}\)
\(0 - (-19) = 0 + 19 = \mathbf{19}\)
គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖
\((-8) + 12 - 15\)
\(24 - (-6) + (-18)\)
\((-35) - 15 - (-20)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាកន្សោម ៖
\((-8) + 12 - 15 = 4 - 15 = \mathbf{-11}\)
\(24 - (-6) + (-18) = 30 - 18 = \mathbf{12}\)
\((-35) - 15 - (-20) = -50 + 20 = \mathbf{-30}\)
គណនាផលគុណ ៖
\((-7) \times (+9)\)
\((-12) \times (-6)\)
\((+15) \times (-8)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលគុណ ៖
\((-7) \times (+9) = -(7 \times 9) = \mathbf{-63}\)
\((-12) \times (-6) = +(12 \times 6) = \mathbf{72}\)
\((+15) \times (-8) = -(15 \times 8) = \mathbf{-120}\)
គណនាផលគុណ ៖
\((-4) \times (-5) \times (+3)\)
\((-2) \times (-3) \times (-7)\)
\((-10) \times (+5) \times (-4)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលគុណ ៖
\((-4) \times (-5) \times (+3) = 20 \times 3 = \mathbf{60}\)
\((-2) \times (-3) \times (-7) = 6 \times (-7) = \mathbf{-42}\)
\((-10) \times (+5) \times (-4) = -50 \times (-4) = \mathbf{200}\)
គណនាផលចែក ៖
\((-72) \div (+8)\)
\((-96) \div (-12)\)
\((+144) \div (-9)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលចែក ៖
\((-72) \div (+8) = -(72 \div 8) = \mathbf{-9}\)
\((-96) \div (-12) = +(96 \div 12) = \mathbf{8}\)
\((+144) \div (-9) = -(144 \div 9) = \mathbf{-16}\)
គណនាផលចែក ៖
\((-250) \div (-25)\)
\((+400) \div (-16)\)
\((-500) \div (+20)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលចែក ៖
\((-250) \div (-25) = \mathbf{10}\)
\((+400) \div (-16) = \mathbf{-25}\)
\((-500) \div (+20) = \mathbf{-25}\)
គណនាស្វ័យគុណ ៖
\((-4)^2\)
\(-4^2\)
\((-3)^3\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាស្វ័យគុណ ៖
\((-4)^2 = (-4) \times (-4) = \mathbf{16}\)
\(-4^2 = -(4 \times 4) = \mathbf{-16}\)
\((-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = \mathbf{-27}\)
គណនាស្វ័យគុណ ៖
\((-2)^5\)
\((-1)^{50}\)
\((-1)^{77}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាស្វ័យគុណ ៖
\((-2)^5 = \mathbf{-32}\) (ស្វ័យគុណសេស)
\((-1)^{50} = \mathbf{1}\) (ស្វ័យគុណគូ)
\((-1)^{77} = \mathbf{-1}\) (ស្វ័យគុណសេស)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖
\((-3)^2 + (-2)^3\)
\(-5^2 - (-3)^2\)
\((-2)^4 \times (-1)^7\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖
\((-3)^2 + (-2)^3 = 9 + (-8) = \mathbf{1}\)
\(-5^2 - (-3)^2 = -25 - 9 = \mathbf{-34}\)
\((-2)^4 \times (-1)^7 = 16 \times (-1) = \mathbf{-16}\)
គណនាតម្លៃកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈផ្ដុំ ៖
\(A = (-25) + 38 + (-75) + 62\)
\(B = (-18) + (-45) + (+18) + (+55)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈផ្ដុំ ៖
\(A = [(-25) + (-75)] + (38 + 62) = -100 + 100 = \mathbf{0}\)
\(B = [(-18) + (+18)] + [(-45) + (+55)] = 0 + 10 = \mathbf{10}\)
គណនាតម្លៃកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈបំបែក ៖
\(C = (-15) \times 43 + (-15) \times 57\)
\(D = 28 \times (-34) - 28 \times (-14)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈបំបែក ៖
\(C = (-15) \times (43 + 57) = (-15) \times 100 = \mathbf{-1500}\)
\(D = 28 \times [(-34) - (-14)] = 28 \times (-20) = \mathbf{-560}\)
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
\(15 - 3 \times (-4) + 8\)
\((-24) \div 6 - 5 \times (-2)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
\(15 - 3 \times (-4) + 8 = 15 - (-12) + 8 = 15 + 12 + 8 = \mathbf{35}\)
\((-24) \div 6 - 5 \times (-2) = -4 - (-10) = -4 + 10 = \mathbf{6}\)
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
\(8 + 4 \times (-3)^2 - 20\)
\(100 - [(-4) \times (-5) + 10]\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
\(8 + 4 \times (-3)^2 - 20 = 8 + 4 \times 9 - 20 = 8 + 36 - 20 = \mathbf{24}\)
\(100 - [(-4) \times (-5) + 10] = 100 - [20 + 10] = 100 - 30 = \mathbf{70}\)
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
\((-18) \div [(-2) \times 3] + (-5)\)
\(35 - [14 - (8 - 12)]\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
\((-18) \div [(-2) \times 3] + (-5) = (-18) \div (-6) - 5 = 3 - 5 = \mathbf{-2}\)
\(35 - [14 - (8 - 12)] = 35 - [14 - (-4)] = 35 - 18 = \mathbf{17}\)
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
\([(-12 + 4) \times (-3)] \div (-6)\)
\(45 \div [(-3)^2] - (-2) \times (-7)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
\([(-12 + 4) \times (-3)] \div (-6) = [(-8) \times (-3)] \div (-6) = 24 \div (-6) = \mathbf{-4}\)
\(45 \div [(-3)^2] - (-2) \times (-7) = 45 \div 9 - 14 = 5 - 14 = \mathbf{-9}\)
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
\(\{[(-5) \times 4 + 6] \div (-2)\} - 8\)
\(2 \times [3 - 5 \times (4 - 7)] + (-4)^2\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
\(\{[(-5) \times 4 + 6] \div (-2)\} - 8 = \{[-20 + 6] \div (-2)\} - 8 = \{-14 \div (-2)\} - 8 = 7 - 8 = \mathbf{-1}\)
\(2 \times [3 - 5 \times (-3)] + 16 = 2 \times [3 + 15] + 16 = 2 \times 18 + 16 = 36 + 16 = \mathbf{52}\)
បំពេញចំនួនក្នុងប្រអប់ \(\Box\) ៖
\((-12) + \Box = -5\)
\(\Box - (-8) = 15\)
\((-6) \times \Box = 42\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំពេញចំនួនក្នុងប្រអប់ \(\Box\) ៖
\((-12) + \Box = -5 \implies \Box = -5 - (-12) = \mathbf{7}\)
\(\Box - (-8) = 15 \implies \Box = 15 + (-8) = \mathbf{7}\)
\((-6) \times \Box = 42 \implies \Box = 42 \div (-6) = \mathbf{-7}\)
បំពេញចំនួនក្នុងប្រអប់ \(\Box\) ៖
\(\Box \div (-4) = -9\)
\((-15) - \Box = -20\)
\(\Box + (-30) = -50\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំពេញចំនួនក្នុងប្រអប់ \(\Box\) ៖
\(\Box \div (-4) = -9 \implies \Box = (-9) \times (-4) = \mathbf{36}\)
\((-15) - \Box = -20 \implies \Box = -15 - (-20) = \mathbf{5}\)
\(\Box + (-30) = -50 \implies \Box = -50 - (-30) = \mathbf{-20}\)
គណនាប្រវែងអង្កត់លើបន្ទាត់ចំនួន (ចម្ងាយរវាងពីរចំណុច \(d(A, B) = |x_B - x_A|\)) ៖
ចំណុច \(A(-4)\) និង \(B(5)\)
ចំណុច \(C(-9)\) និង \(D(-2)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាប្រវែងអង្កត់លើបន្ទាត់ចំនួន ៖
\(d(A, B) = |5 - (-4)| = |5 + 4| = |9| = \mathbf{9\,\text{ឯកតា}}\)
\(d(C, D) = |-2 - (-9)| = |-2 + 9| = |7| = \mathbf{7\,\text{ឯកតា}}\)
គណនាប្រវែងអង្កត់ ៖
ចំណុច \(M(7)\) និង \(N(-8)\)
ចំណុច \(P(-15)\) និង \(Q(-3)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាប្រវែងអង្កត់ ៖
\(d(M, N) = |-8 - 7| = |-15| = \mathbf{15\,\text{ឯកតា}}\)
\(d(P, Q) = |-3 - (-15)| = |-3 + 15| = |12| = \mathbf{12\,\text{ឯកតា}}\)
បើ \(x = -3\) និង \(y = 4\) ចូរគណនាតម្លៃនៃ ៖
\(2x - 3y\)
\(x^2 - y^2\)
\((x + y)^3\)
មើលដំណោះស្រាយ
ចំពោះ \(x = -3\) និង \(y = 4\) ៖
\(2x - 3y = 2(-3) - 3(4) = -6 - 12 = \mathbf{-18}\)
\(x^2 - y^2 = (-3)^2 - 4^2 = 9 - 16 = \mathbf{-7}\)
\((x + y)^3 = (-3 + 4)^3 = 1^3 = \mathbf{1}\)
បើ \(a = -5, b = -2, c = 3\) ចូរគណនាតម្លៃនៃ ៖
\(ab - bc + ac\)
\(a^2 - 2bc\)
មើលដំណោះស្រាយ
ចំពោះ \(a = -5, b = -2, c = 3\) ៖
\(ab - bc + ac = (-5)(-2) - (-2)(3) + (-5)(3) = 10 - (-6) - 15 = 16 - 15 = \mathbf{1}\)
\(a^2 - 2bc = (-5)^2 - 2(-2)(3) = 25 - (-12) = 25 + 12 = \mathbf{37}\)
គណនាតម្លៃប្រភាគ ៖
\(\dfrac{-36 + 12}{-4}\)
\(\dfrac{(-8) \times (-6)}{-16}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃប្រភាគ ៖
\(\dfrac{-36 + 12}{-4} = \dfrac{-24}{-4} = \mathbf{6}\)
\(\dfrac{(-8) \times (-6)}{-16} = \dfrac{48}{-16} = \mathbf{-3}\)
គណនាតម្លៃប្រភាគ ៖
\(\dfrac{(-5)^2 - 9}{-2}\)
\(\dfrac{-48 - (-18)}{(-2) \times (-3)}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃប្រភាគ ៖
\(\dfrac{(-5)^2 - 9}{-2} = \dfrac{25 - 9}{-2} = \dfrac{16}{-2} = \mathbf{-8}\)
\(\dfrac{-48 - (-18)}{(-2) \times (-3)} = \dfrac{-30}{6} = \mathbf{-5}\)
គណនាកន្សោម ៖
\(|-15 + 7| - |-12 - (-4)|\)
\(|(-3) \times 4| + |-20 \div (-5)|\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាកន្សោម ៖
\(|-15 + 7| - |-12 - (-4)| = |-8| - |-8| = 8 - 8 = \mathbf{0}\)
\(|(-3) \times 4| + |-20 \div (-5)| = |-12| + |4| = 12 + 4 = \mathbf{16}\)
គណនាផលបូក \(S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + 99 - 100\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គណនា \(S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + 99 - 100\) ៖
ផ្ដុំជា ៥០ គូ ៖ \((1 - 2) + (3 - 4) + \dots + (99 - 100)\)
\(= \underbrace{(-1) + (-1) + \dots + (-1)}_{50\,\text{ដង}} = 50 \times (-1) = \mathbf{-50}\)
គណនាផលបូក \(T = (-1) + (-2) + (-3) + \dots + (-50)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គណនា \(T = (-1) + (-2) + (-3) + \dots + (-50)\) ៖
\(T = -(1 + 2 + 3 + \dots + 50) = -\dfrac{50 \times 51}{2} = -25 \times 51 = \mathbf{-1275}\)
រកចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប \(n\) ដែលធ្វើឱ្យ \(\dfrac{12}{n}\) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\dfrac{12}{n} \in \mathbb{Z} \iff n\) ជាតួចែករ៉ឺឡាទីបនៃ \(12\) ៖
\(\boxed{n \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\}}\) (មាន ១២ តម្លៃ)
រកគ្រប់ចំនួនគត់ \(x\) ដែល \(|x| \le 5\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គ្រប់ចំនួនគត់ \(x\) ដែល \(|x| \le 5\) គឺ ៖
\(\boxed{x \in \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}}\) (មាន ១១ តួ)
រកគ្រប់ចំនួនគត់ \(x\) ដែល \(|x - 2| = 7\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គ្រប់ចំនួនគត់ \(x\) ដែល \(|x - 2| = 7\) ៖
\(x - 2 = 7 \implies x = 7 + 2 = \mathbf{9}\)
\(x - 2 = -7 \implies x = -7 + 2 = \mathbf{-5}\)
ដូចនេះ \(\boxed{x \in \{-5, 9\}}\)
រកគ្រប់ចំនួនគត់ \(y\) ដែល \(|y + 3| \le 4\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គ្រប់ចំនួនគត់ \(y\) ដែល \(|y + 3| \le 4\) ៖
\(-4 \le y + 3 \le 4 \implies -7 \le y \le 1\)
ដូចនេះ \(\boxed{y \in \{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}}\)
ដោះស្រាយសមីការក្នុងសំណុំ \(\mathbb{Z}\) ៖
\(x + 15 = 4\)
\(x - (-9) = -12\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការក្នុងសំណុំ \(\mathbb{Z}\) ៖
\(x + 15 = 4 \implies x = 4 - 15 = \mathbf{-11}\)
\(x - (-9) = -12 \implies x + 9 = -12 \implies x = -12 - 9 = \mathbf{-21}\)
ដោះស្រាយសមីការក្នុងសំណុំ \(\mathbb{Z}\) ៖
\(-4x = 36\)
\(-7x - 5 = 16\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការក្នុងសំណុំ \(\mathbb{Z}\) ៖
\(-4x = 36 \implies x = 36 \div (-4) = \mathbf{-9}\)
\(-7x - 5 = 16 \implies -7x = 21 \implies x = 21 \div (-7) = \mathbf{-3}\)
នៅម៉ោង ៤ ទៀបភ្លឺ សីតុណ្ហភាពនៅកំពូលភ្នំមួយគឺ \(-6^\circ\text{C}\)។ លុះដល់ថ្ងៃត្រង់ សីតុណ្ហភាពឡើងបាន \(11^\circ\text{C}\) ហើយដល់យប់ធ្លាក់ចុះវិញ \(8^\circ\text{C}\)។ គណនាសីតុណ្ហភាពនៅពេលយប់។
មើលដំណោះស្រាយ
សីតុណ្ហភាពនៅពេលយប់គឺ ៖
\(T = (-6) + 11 - 8 = 5 - 8 = \mathbf{-3^\circ\text{C}}\)
យន្តហោះមួយកំពុងហោះហើរនៅកម្ពស់ \(3500\text{ m}\) ធៀបនឹងនីវ៉ូសមុទ្រ។ នៅខាងក្រោមកន្លែងដដែលនោះ នាវាមុជទឹកមួយកំពុងស្ថិតនៅជម្រៅ \(450\text{ m}\) ក្រោមនីវ៉ូសមុទ្រ (តាងដោយ \(-450\))។ គណនាគម្លាតបញ្ឈររវាងយន្តហោះ និងនាវាមុជទឹក។
មើលដំណោះស្រាយ
គម្លាតបញ្ឈររវាងយន្តហោះ និងនាវាមុជទឹកគឺ ៖
\(d = 3500 - (-450) = 3500 + 450 = \mathbf{3950\,\text{m}}\)
ក្រុមហ៊ុនមួយមានប្រវត្តិហិរញ្ញវត្ថុក្នុងរយៈពេល ៤ ត្រីមាស ៖ ត្រីមាសទី១ ចំណេញ \(+45\,000\) ដុល្លារ , ត្រីមាសទី២ ខាតបង់ \(-18\,000\) ដុល្លារ , ត្រីមាសទី៣ ខាតបង់ \(-12\,000\) ដុល្លារ , និងត្រីមាសទី៤ ចំណេញ \(+60\,000\) ដុល្លារ ។ គណនាស្ថានភាពហិរញ្ញវត្ថុសរុបប្រចាំឆ្នាំរបស់ក្រុមហ៊ុន។
មើលដំណោះស្រាយ
ស្ថានភាពហិរញ្ញវត្ថុសរុបប្រចាំឆ្នាំគឺ ៖
\(S = (+45~000) + (-18~000) + (-12~000) + (+60~000)\)
\(= 45~000 - 18~000 - 12~000 + 60~000 = \mathbf{+75~000\,\text{ដុល្លារ}}\)
(ក្រុមហ៊ុនចំណេញសុទ្ធ \(75~000\,\) ដុល្លារ )
គណិតវិទូក្រិកបុរាណ Archimedes កើតនៅឆ្នាំ \(287\) មុន គ.ស. និងបានទទួលមរណភាពនៅឆ្នាំ \(212\) មុន គ.ស.។
តាងឆ្នាំកំណើត និងឆ្នាំមរណភាពរបស់គាត់ដោយចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប។
គណនាអាយុរបស់លោក Archimedes ពេលគាត់ទទួលមរណភាព។
មើលដំណោះស្រាយ
ឆ្នាំកំណើត ៖ \(\boxed{-287}\) ; ឆ្នាំមរណភាព ៖ \(\boxed{-212}\)
អាយុរបស់ Archimedes ពេលទទួលមរណភាពគឺ ៖
\((-212) - (-287) = -212 + 287 = \mathbf{75\,\text{ឆ្នាំ}}\)
សិស្សម្នាក់ចូលរួមការប្រកួតគណិតវិទ្យាដែលមាន ៣០ សំណួរ។ វិធានការដាក់ពិន្ទុគឺ ៖ ឆ្លើយត្រូវ ១ សំណួរបាន \(+4\) ពិន្ទុ, ឆ្លើយខុស ១ សំណួរត្រូវដក \(-2\) ពិន្ទុ, និងមិនឆ្លើយបាន \(0\) ពិន្ទុ។ ប្រសិនបើសិស្សនោះឆ្លើយត្រូវ ២២ សំណួរ, មិនឆ្លើយ ៣ សំណួរ និងឆ្លើយខុសសំណួរដែលនៅសល់ តើសិស្សនោះទទួលបានពិន្ទុសរុបប៉ុន្មាន?
មើលដំណោះស្រាយ
ចំនួនសំណួរឆ្លើយខុសគឺ ៖ \(30 - 22 - 3 = 5\) សំណួរ។
ពិន្ទុសរុបដែលទទួលបានគឺ ៖
\(S = 22 \times (+4) + 5 \times (-2) + 3 \times 0 = 88 - 10 + 0 = \mathbf{78\,\text{ពិន្ទុ}}\)
កម្រងចំនួនមួយមានច្បាប់ដូចតទៅ ៖ តួបន្ទាប់ស្មើនឹងតួមុនដកនឹង \(7\)។ ប្រសិនបើតួទី១ គឺ \(15\) ៖
ចូរសរសេរ ៦ តួដំបូងនៃកម្រងចំនួននេះ។
តើតួទីប៉ុន្មានជាចំនួនអវិជ្ជមានដំបូងគេបង្អស់?
មើលដំណោះស្រាយ
ច្បាប់កម្រង ៖ តួបន្ទាប់ស្មើនឹងតួមុនដក \(7\) (\(u_1 = 15\)) ៖
៦ តួដំបូង ៖ \(\boxed{15, \; 8, \; 1, \; -6, \; -13, \; -20}\)
តួអវិជ្ជមានដំបូងគេបង្អស់គឺ \(-6\) ដែលត្រូវជា តួទី ៤។
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៣ ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី