KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១២
  3. មេរៀនទី ៣២
៣២
ជំពូកទី ៩ វ៉ិចទ័រ និងធរណីមាត្រក្នុងលំហ · មេរៀនទី ៣២ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១២

ផលគុណនៃពីរវ៉ិចទ័រក្នុងលំហ

វ៉ិចទ័រ និងធរណីមាត្រក្នុងលំហ៥ ផ្នែកសំណួរពហុជ្រើសរើស ១០០

ផលគុណនៃពីរវ៉ិចទ័រក្នុងលំហ

និយមន័យ

ផលគុណនៃពីរវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{u}\left(u_x,u_y,u_z\right)\) និង \(\overrightarrow{v}\left(v_x,v_y,v_z\right)\) គឺកំណត់ដោយ

=|

lll &&
u_x & u_y & u_z
v_x&v_y&v_z

|&=

u_y&u_z
v_y&v_z

-

u_x&u_z
v_x&v_z

+

u_x&u_y
v_x&v_y

&&
&=(u_yv_z-v_yu_z)-(u_xv_z-v_xu_z) +(u_xv_y-v_xu_y)

  • \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\) អរតូកូណាល់(កែង)ទៅនឹង \(\overrightarrow{u}\) ផង និង \(\overrightarrow{v}\) ផង

  • \(\left|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right|=\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|\sin\theta\)

  • \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}= \overrightarrow{0}\) គេបាន \(\overrightarrow{u}\) និង \(\overrightarrow{v}\) ជាវ៉ិចទ័រកូលីនេអ៊ែរនឹងគ្នា (ស្របគ្នា)

  • \(A,B,C\) ជាបីចំណុចក្នុងលំហ៖

    • បើ \(\left| \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = 0\) គេបាន ចំណុច \(A,B,C\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ

    • បើ \(\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|\neq 0\) គេបាន ចំណុច \(A,B,C\) មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ

  • \(\left|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right|=\) ផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាម

  • \(\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right|=\) ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\) និង \(\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}\) ។ រកវ៉ិចទ័រ

  1. \(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\)

  2. \(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{u}\)

  3. \(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v}\)

ដំណោះស្រាយ

គេមាន \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} = (1, -2, 1)\) និង \(\overrightarrow{v} = 3\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - 2\overrightarrow{k} = (3, 1, -2)\) ៖

  1. រក \(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\) ៖

    \[\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}\overrightarrow{i} - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}\overrightarrow{j} + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\overrightarrow{k}\]
    \[= (4 - 1)\overrightarrow{i} - (-2 - 3)\overrightarrow{j} + (1 - (-6))\overrightarrow{k} = 3\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} + 7\overrightarrow{k} = (3, 5, 7)\]

  2. រក \(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{u}\) ៖
    តាមលក្ខណៈត្រឡប់នៃផលគុណវ៉ិចទ័រ យើងបាន៖

    \[\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{u} = -\left(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\right) = -(3\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} + 7\overrightarrow{k}) = -3\overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j} - 7\overrightarrow{k} = (-3, -5, -7)\]

  3. រក \(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v}\) ៖
    ផលគុណនៃវ៉ិចទ័រមួយជាមួយខ្លួនវាផ្ទាល់ តែងតែស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ៖

    \[\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} = (0, 0, 0)\]

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យ \(\overrightarrow{u}=\sqrt{2}\overrightarrow{i}+\sqrt{3}\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}\) និង \(\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\)។ គណនា \(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\) និង \(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v}\) រួចគណនា \(|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|\) និង \(|\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v}|\) រួចធ្វើសេចក្តីសន្និដ្ឋាន។

ដំណោះស្រាយ

គេមាន \(\overrightarrow{u} = (\sqrt{2}, \sqrt{3}, 2)\) និង \(\overrightarrow{v} = (-1, 1, 0)\) ៖

  • គណនា \(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\) ៖

    \[\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ \sqrt{2} & \sqrt{3} & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 2)\overrightarrow{i} - (0 - (-2))\overrightarrow{j} + (\sqrt{2} - (-\sqrt{3}))\overrightarrow{k}\]
    \[= -2\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + (\sqrt{2} + \sqrt{3})\overrightarrow{k} = (-2, -2, \sqrt{2}+\sqrt{3})\]

  • គណនា \(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v}\) ៖

    \[\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} = (0, 0, 0)\]

  • គណនា \(|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|\) ៖

    \[|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 + (2 + 2\sqrt{6} + 3)} = \sqrt{13 + 2\sqrt{6}}\]

  • គណនា \(|\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v}|\) ៖

    \[|\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v}| = |\overrightarrow{0}| = 0\]

  • សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖

    • ផលគុណនៃវ៉ិចទ័រមួយជាមួយខ្លួនវាផ្ទាល់ តែងតែស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ \(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\) និងមានម៉ូឌុលស្មើ \(0\)។

    • វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\) ជាវ៉ិចទ័រមួយដែលកែង (អរតូកូណាល់) ទៅនឹងវ៉ិចទ័រទាំងពីរ \(\overrightarrow{u}\) និង \(\overrightarrow{v}\)។

លក្ខណៈផលគុណនៃពីរវ៉ិចទ័រ

លក្ខណៈ

បើ \(\overrightarrow{u};\ \overrightarrow{v};\ \overrightarrow{w}\) ជាវ៉ិចទ័រក្នុងលំហ ហើយ \(c\in\mathbb{R}\) គេបាន៖

  • \(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=-\left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}\right)\)

  • \(\overrightarrow{u}\times\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\left(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right)+\left(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{w}\right)\)

  • \(c\left(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right)=\left(c\overrightarrow{u}\right)\times\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\times\left(c\overrightarrow{v}\right)\)

  • \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{O}=\overrightarrow{O}\times\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)

  • \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)

  • \(\overrightarrow{u}\cdot\left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right)=\left(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right)\cdot\overrightarrow{w}\)

ផលគុណចម្រុះនៃបីវ៉ិចទ័រ

ជាទូទៅ

ផលគុណចម្រុះនៃបីវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{u}\left(u_x,u_y,u_z\right);\ \overrightarrow{v}\left(v_x,v_y,v_z\right);\ \overrightarrow{w}\left(w_x,w_y,w_z\right)\) គឺជាចំនួនពិតដែលកំណត់ដោយ

\[\overrightarrow{u}\cdot\left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right)=\left|\begin{array}{ccc} u_x&u_y&u_z\\ v_x&v_y&v_z\\ w_x&w_y&w_z \end{array}\right| = u_x \begin{vmatrix} v_y & v_z \\ w_y & w_z \end{vmatrix} - u_y \begin{vmatrix} v_x & v_z \\ w_x & w_z \end{vmatrix} + u_z \begin{vmatrix} v_x & v_y \\ w_x & w_y \end{vmatrix}\]

  • បើ \(\overrightarrow{u}\cdot\left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right) = 0\) គេបាន \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) ស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ

  • បើ \(\overrightarrow{u}\cdot\left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right) \neq 0\) គេបាន \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) មិនស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយទាញបាន៖

    • មាឌប្រលេពីប៉ែតសង់លើវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) គឺ \(V=\left|\overrightarrow{u}\cdot\left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right)\right|\)

    • មាឌតេត្រាអែតគឺ \(V=\dfrac{\left|\overrightarrow{u}\cdot\left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right)\right|}{6}\) (តេត្រាអែត = ចតុមុខ)

  • ចំពោះបួនចំណុច \(A,B,C,D\) ក្នុងលំហ (មិនស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ) គេបាន៖

    • មាឌប្រលេពីប៉ែតសង់លើវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) គឺ \(V={\left|\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\right)\right|}\)

    • មាឌតេត្រាអែត \(ABCD\) គឺ \(V_{ABCD}=\dfrac{{\left|\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\right)\right|}}{6}\)

    • បើ \(B\) ជាកំពូលនៃតេត្រាអែត និងបាតជាត្រីកោណ \(ACD\) គេបាន៖

      \(V_{ABCD} = \dfrac{1}{3}\cdot S_{\Delta ACD}\cdot h \implies h=d(B,(ACD)) = \dfrac{3V_{ABCD}}{S_{\Delta ACD}} = \dfrac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\right)\right|}{\left\|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\right\|}\)

លំហាត់អនុវត្តន៍

  1. រកផលគុណនៃវ៉ិចទ័រ រួចគូសរូបតាង

    1. \(\vec{j}\times \vec{i}\)

    2. \(\vec{i}\times \vec{j}\)

    3. \(\vec{j}\times \vec{k}\)

    4. \(\vec{k}\times \vec{j}\)

    5. \(\vec{i}\times \vec{k}\)

    6. \(\vec{k}\times \vec{i}\)

    ដំណោះស្រាយ



  2. រក \(\vec{u}\times \vec{v}\) ហើយបង្ហាញថា \(\vec{u}\times \vec{v}\) អរតូកូណាល់ទៅនឹង \(\vec{u}\) ផង​ និង \(\vec{v}\) ផង ក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម៖

    1. \(\vec{u}=(2,-3,1),\vec{v}=(1,-2,1)\)

    2. \(\vec{u}=(-1,1,2),\vec{v}=(0,1,0)\)

    3. \(\vec{u}=(12,-3,0),\vec{v}=(-2,5,0)\)

    4. \(\vec{u}=(-10,0,6),\vec{v}=(7,0,0)\)

    5. \(\vec{u}=(1,1,1),\vec{v}=(2,1,-1)\)

    6. \(\vec{u}=(0,1,6),\vec{v}=(1,-2,1)\)

    ដំណោះស្រាយ



  3. រក \(\vec{u}\times \vec{v}\) ហើយបង្ហាញថា \(\vec{u}\times \vec{v}\) អរតូកូណាល់ទៅនឹង \(\vec{u}\) ផង​ និង \(\vec{v}\) ផង ក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម៖

    1. \(\vec{u}=(4,-3.5,7),\vec{v}=(-1,8,4)\)

    2. \(\vec{u}=(-8,-6,4),\vec{v}=(10,-12,-2)\)

    3. \(\vec{u}=-3\vec{i}+2\vec{j}-5\vec{k},\vec{v}=\dfrac{1}{2}\vec{i}-\dfrac{3}{4}\vec{j}+\dfrac{1}{10}\vec{k}\)

    4. \(\vec{u}=\dfrac{2}{3}\vec{k},\vec{v}=\dfrac{1}{2}\vec{i}+6\vec{j}\)

    ដំណោះស្រាយ



  4. រកផ្ទៃប្រលេឡូក្រាមដែលមានវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\) ជាជ្រុងជាប់ក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម៖

    1. \(\vec{u}=\vec{j},\vec{v}=\vec{j}+\vec{k}\)

    2. \(\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k},\vec{v}=\vec{j}+\vec{k}\)

    3. \(\vec{u}=(3,2,-1),\vec{v}=(1,2,3)\)

    4. \(\vec{u}=(2,-1,0),\vec{v}=(-1,2,0)\)

    ដំណោះស្រាយ



  5. ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំណុចខាងក្រោម ជាកំពូលរបស់ប្រលេឡូក្រាមរួចរកផ្ទៃក្រឡា៖

    1. \((1,1,1),(2,3,4),(6,5,2),(7,7,5)\)

    2. \((2,-1,1),(5,1,4),(0,1,1),(3,3,4)\)

    ដំណោះស្រាយ



  6. រកផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ ដែលមានកំពូលដូចខាងក្រោម៖

    1. \((0,0,0),(1,2,3),(-3,0,0)\)

    2. \((2,-3,4),(0,1,2),(-1,2,0)\)

    3. \((1,3,5),(3,3,0),(-2,0,5)\)

    4. \((1,2,0),(-2,1,0),(0,0,0)\)

    ដំណោះស្រាយ



  7. រក \(\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})\) ក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម៖

    1. \(\vec{u}=\vec{i},\vec{v}=\vec{j},\vec{w}=\vec{k}\)

    2. \(\vec{u}=(1,1,1),\vec{v}=(2,1,0),\vec{w}=(0,0,1)\)

    3. \(\vec{u}=(2,0,1),\vec{v}=(0,3,0),\vec{w}=(0,0,1)\)

    4. \(\vec{u}=(2,0,0),\vec{v}=(1,1,1),\vec{w}=(0,2,2)\)

    ដំណោះស្រាយ



  8. ដោយប្រើផលគុណចម្រុះនៃបីវ៉ិចទ័រក្នុងលំហ ចូរគណនាមាឌប្រលេពីប៉ែតដែលមានវ៉ិចទ័រ \(\vec{u},\vec{v}\) និង \(\vec{w}\) ជាជ្រុងជាប់ដូចខាងក្រោម៖

    1. \(\vec{u}=\vec{i}+\vec{j},\vec{v}=\vec{j}+\vec{k},\vec{w}=\vec{i}+\vec{k}\)

    2. \(\vec{u}=(1,3,1),\vec{v}=(0,5,5),\vec{w}=(4,0,4)\)

    ដំណោះស្រាយ



  9. រកមាឌប្រលេពីប៉ែតដែលមានកំពូលដូចខាងក្រោម៖

    1. \((0,0,0),(3,0,0),(0,5,1),(3,5,1),(2,0,5),(5,0,5),(2,5,6),(5,5,6)\)

    2. \((0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1),(2,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(2,2,3)\)

    ដំណោះស្រាយ



ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយ

បើកមើលចម្លើយ និងដំណោះស្រាយលម្អិត
តារាងចម្លើយសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ 100) — មេរៀនទី ២
ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ
1 ក 21 ឃ 41 ឃ 61 ឃ 81 ឃ
2 ខ 22 ក 42 ក 62 ក 82 ក
3 ខ 23 ខ 43 ខ 63 ខ 83 ខ
4 គ 24 គ 44 គ 64 គ 84 គ
5 ឃ 25 ឃ 45 ឃ 65 ឃ 85 ឃ
6 ក 26 ក 46 ក 66 ក 86 ក
7 ខ 27 ខ 47 ខ 67 ខ 87 ខ
8 គ 28 គ 48 គ 68 គ 88 គ
9 ឃ 29 ឃ 49 ឃ 69 ឃ 89 ឃ
10 ក 30 ក 50 ក 70 ក 90 ក
ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ
11 ខ 31 ឃ 51 ឃ 71 ឃ 91 ឃ
12 គ 32 ក 52 ក 72 ក 92 ក
13 ក 33 ខ 53 ខ 73 ខ 93 ខ
14 ខ 34 គ 54 គ 74 គ 94 គ
15 គ 35 ឃ 55 ឃ 75 ឃ 95 ឃ
16 ឃ 36 ក 56 ក 76 ក 96 ក
17 ក 37 ខ 57 ខ 77 ខ 97 ខ
18 ខ 38 គ 58 គ 78 គ 98 គ
19 គ 39 ឃ 59 ឃ 79 ឃ 99 ឃ
20 ឃ 40 ក 60 ក 80 ក 100 ក
២. ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍ (មេរៀនទី ២)
លំហាត់ទី ១

រកផលគុណនៃវ៉ិចទ័រ រួចគូសរូបតាង៖
ក. \(\vec{j}\times \vec{i}\) ខ. \(\vec{i}\times \vec{j}\) គ. \(\vec{j}\times \vec{k}\) ឃ. \(\vec{k}\times \vec{j}\) ង. \(\vec{i}\times \vec{k}\) ច. \(\vec{k}\times \vec{i}\)

ដំណោះស្រាយ

ក \(\vec{j}\times\vec{i} = -\vec{k}\) ខ \(\vec{i}\times\vec{j} = \vec{k}\) គ \(\vec{j}\times\vec{k} = \vec{i}\)
ឃ \(\vec{k}\times\vec{j} = -\vec{i}\) ង \(\vec{i}\times\vec{k} = -\vec{j}\) ច \(\vec{k}\times\vec{i} = \vec{j}\)

លំហាត់ទី ២

រក \(\vec{u}\times \vec{v}\) ហើយបង្ហាញថា \(\vec{u}\times \vec{v}\) អរតូកូណាល់នឹង \(\vec{u}\) ផង និង \(\vec{v}\) ផង ក្នុងករណីនីមួយៗ៖
ក. \(\vec{u}=(2,-3,1),\vec{v}=(1,-2,1)\) ឃ. \(\vec{u}=(-10,0,6),\vec{v}=(7,0,0)\)
ខ. \(\vec{u}=(-1,1,2),\vec{v}=(0,1,0)\) ង. \(\vec{u}=(1,1,1),\vec{v}=(2,1,-1)\)
គ. \(\vec{u}=(12,-3,0),\vec{v}=(-2,5,0)\) ច. \(\vec{u}=(0,1,6),\vec{v}=(1,-2,1)\)

ដំណោះស្រាយ

ក \(\vec{u}\times\vec{v} = (-3+2, -1, -4+3) = \boxed{(-1,-1,-1)}\)
\(\bullet\ (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = 0 \) និង \( (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v} = 0 \implies \perp\vec{u},\perp\vec{v}\)

ខ \(\vec{u}\times\vec{v} = (-2, 0, -1-0) = \boxed{(-2,0,-1)}\)
\(\bullet\ (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = 0 \) និង \( (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v} = 0 \implies \perp\vec{u},\perp\vec{v}\)

គ \(\vec{u}\times\vec{v} = (0, 0, 60-6) = \boxed{(0,0,54)}\)
\(\bullet\ (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = 0 \) និង \( (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v} = 0 \implies \perp\vec{u},\perp\vec{v}\)

ឃ \(\vec{u}\times\vec{v} = (0, 42, 0) = \boxed{(0,42,0)}\)
\(\bullet\ (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = 0 \) និង \( (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v} = 0 \implies \perp\vec{u},\perp\vec{v}\)

ង \(\vec{u}\times\vec{v} = (-2, 3, 1-2) = \boxed{(-2,3,-1)}\)
\(\bullet\ (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = 0 \) និង \( (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v} = 0 \implies \perp\vec{u},\perp\vec{v}\)

ច \(\vec{u}\times\vec{v} = (13, 6, -1) = \boxed{(13,6,-1)}\)
\(\bullet\ (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = 0 \) និង \( (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v} = 0 \implies \perp\vec{u},\perp\vec{v}\)

លំហាត់ទី ៣

រក \(\vec{u}\times \vec{v}\) ហើយបង្ហាញថា \(\vec{u}\times \vec{v}\) អរតូកូណាល់នឹង \(\vec{u}\) ផង និង \(\vec{v}\) ផង ក្នុងករណីនីមួយៗ៖

  1. \(\vec{u}=(4,-3.5,7),\vec{v}=(-1,8,4)\)

  2. \(\vec{u}=(-8,-6,4),\vec{v}=(10,-12,-2)\)

  3. \(\vec{u}=-3\vec{i}+2\vec{j}-5\vec{k},\vec{v}=\frac{1}{2}\vec{i}-\frac{3}{4}\vec{j}+\frac{1}{10}\vec{k}\)

  4. \(\vec{u}=\frac{2}{3}\vec{k},\vec{v}=\frac{1}{2}\vec{i}+6\vec{j}\)

ដំណោះស្រាយ

ក \(\vec{u}\times\vec{v} = (-14-56, -(16+7), 32-3.5)\)
\(= (-70, -23, 28.5)\)
\(\bullet\ (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = 0\) និង \((\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v} = 0 \implies \perp\vec{u},\perp\vec{v}\)
ដូចនេះ \(\boxed{\vec{u}\times\vec{v} = (-70, -23, 28.5)}\)

ខ \(\vec{u}\times\vec{v} = (12+48, -(16-40), 96+60)\)
\(= (60, 24, 156)\)
\(\bullet\ (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = 0\) និង \((\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v} = 0 \implies \perp\vec{u},\perp\vec{v}\)
ដូចនេះ \(\boxed{\vec{u}\times\vec{v} = (60, 24, 156)}\)

គ \(\vec{u}\times\vec{v} = \left(\frac{1}{5}-\frac{15}{4}, -\left(-\frac{3}{10}+\frac{5}{2}\right), \frac{9}{4}-1\right)\)
\(= \left(-\frac{71}{20}, -\frac{11}{5}, \frac{5}{4}\right)\)
\(\bullet\ (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = 0\) និង \((\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v} = 0 \implies \perp\vec{u},\perp\vec{v}\)
ដូចនេះ \(\boxed{\vec{u}\times\vec{v} = \left(-\frac{71}{20}, -\frac{11}{5}, \frac{5}{4}\right)}\)

ឃ \(\vec{u}=\left(0,0,\frac{2}{3}\right), \vec{v}=\left(\frac{1}{2},6,0\right)\)៖
\(\vec{u}\times\vec{v} = \left(0-4, -\left(0-\frac{1}{3}\right), 0\right) = \left(-4, \frac{1}{3}, 0\right)\)
\(\bullet\ (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = 0\) និង \((\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v} = 0 \implies \perp\vec{u},\perp\vec{v}\)
ដូចនេះ \(\boxed{\vec{u}\times\vec{v} = \left(-4, \frac{1}{3}, 0\right)}\)

លំហាត់ទី ៤

រកផ្ទៃប្រលេឡូក្រាមដែលមានវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\) ជាជ្រុងជាប់៖

  1. \(\vec{u}=\vec{j},\vec{v}=\vec{j}+\vec{k}\)

  2. \(\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k},\vec{v}=\vec{j}+\vec{k}\)

  3. \(\vec{u}=(3,2,-1),\vec{v}=(1,2,3)\)

  4. \(\vec{u}=(2,-1,0),\vec{v}=(-1,2,0)\)

ដំណោះស្រាយ

រូបមន្តផ្ទៃប្រលេឡូក្រាម \(S = \|\vec{u}\times\vec{v}\|\)៖
ក \(\vec{u}\times\vec{v} = (1, 0, 0) = \vec{i} \implies \boxed{S = \|\vec{i}\| = 1}\)
ខ \(\vec{u}\times\vec{v} = (0, -1, 1) \implies \boxed{S = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}}\)

គ \(\vec{u}\times\vec{v} = (8, -10, 4) \implies \boxed{S = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}}\)
ឃ \(\vec{u}\times\vec{v} = (0, 0, 3) \implies \boxed{S = 3\text{ (ឯកតាផ្ទៃ)}}\)

លំហាត់ទី ៥

ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំណុចខាងក្រោមជាកំពូលរបស់ប្រលេឡូក្រាម រួចរកផ្ទៃក្រឡា៖

  1. \(A(1,1,1), B(2,3,4), C(6,5,2), D(7,7,5)\)

  2. \(A(2,-1,1), B(5,1,4), C(0,1,1), D(3,3,4)\)

ដំណោះស្រាយ

ក \(\overrightarrow{AB} = (1, 2, 3)\), \(\overrightarrow{CD} = (1, 2, 3)\)
\(\implies \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \implies ABDC\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
\(\overrightarrow{AC} = (5, 4, 1) \implies \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (-10, 14, -6)\)
ដូចនេះ \(\boxed{S = \sqrt{100+196+36} = \sqrt{332} = 2\sqrt{83}}\)

ខ \(\overrightarrow{AB} = (3, 2, 3)\), \(\overrightarrow{CD} = (3, 2, 3)\)
\(\implies \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \implies ABDC\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
\(\overrightarrow{AC} = (-2, 2, 0) \implies \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (-6, -6, 10)\)
ដូចនេះ \(\boxed{S = \sqrt{36+36+100} = \sqrt{172} = 2\sqrt{43}}\)

លំហាត់ទី ៦

រកផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ ដែលមានកំពូលដូចខាងក្រោម៖

  1. \(A(0,0,0), B(1,2,3), C(-3,0,0)\)

  2. \(A(2,-3,4), B(0,1,2), C(-1,2,0)\)

  3. \(A(1,3,5), B(3,3,0), C(-2,0,5)\)

  4. \(A(1,2,0), B(-2,1,0), C(0,0,0)\)

ដំណោះស្រាយ

រូបមន្ត \(S = \frac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|\)៖
ក \(\overrightarrow{AB} = (1,2,3), \overrightarrow{AC} = (-3,0,0)\)
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (0, -9, 6) \implies \boxed{S = \frac{\sqrt{117}}{2} = \frac{3\sqrt{13}}{2}}\)
ខ \(\overrightarrow{AB} = (-2,4,-2), \overrightarrow{AC} = (-3,5,-4)\)
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (-6, -2, 2) \implies \boxed{S = \frac{\sqrt{44}}{2} = \sqrt{11}}\)

គ \(\overrightarrow{AB} = (2,0,-5), \overrightarrow{AC} = (-3,-3,0)\)
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (-15, 15, -6) \implies \boxed{S = \frac{\sqrt{486}}{2} = \frac{9\sqrt{6}}{2}}\)
ឃ \(\overrightarrow{CA} = (1,2,0), \overrightarrow{CB} = (-2,1,0)\)
\(\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB} = (0, 0, 5) \implies \boxed{S = \frac{5}{2}\text{ (ឯកតាផ្ទៃ)}}\)

លំហាត់ទី ៧

រកផលគុណចម្រុះ \(\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})\) ក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម៖

  1. \(\vec{u}=\vec{i},\vec{v}=\vec{j},\vec{w}=\vec{k}\)

  2. \(\vec{u}=(1,1,1),\vec{v}=(2,1,0),\vec{w}=(0,0,1)\)

  3. \(\vec{u}=(2,0,1),\vec{v}=(0,3,0),\vec{w}=(0,0,1)\)

  4. \(\vec{u}=(2,0,0),\vec{v}=(1,1,1),\vec{w}=(0,2,2)\)

ដំណោះស្រាយ

ក \(\vec{v}\times\vec{w} = \vec{i} \implies \boxed{\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = \vec{i}\cdot\vec{i} = 1}\)
ខ \(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 1(1) - 1(2) + 1(0) = \boxed{-1}\)

គ \(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 2(3-0) + 1(0) = \boxed{6}\)
ឃ \(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 2(2-2) = \boxed{0}\)

លំហាត់ទី ៨

ដោយប្រើផលគុណចម្រុះ ចូរគណនាមាឌប្រលេពីប៉ែតដែលមាន \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) ជាជ្រុងជាប់៖

  1. \(\vec{u}=\vec{i}+\vec{j},\vec{v}=\vec{j}+\vec{k},\vec{w}=\vec{i}+\vec{k}\)

  2. \(\vec{u}=(1,3,1),\vec{v}=(0,5,5),\vec{w}=(4,0,4)\)

ដំណោះស្រាយ

ក \(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 1(1) - 1(-1) = 2 \implies \boxed{V = 2\text{ (ឯកតាមាឌ)}}\)

ខ \(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 1(20) - 3(-20) + 1(-20) = 60 \implies \boxed{V = 60\text{ (ឯកតាមាឌ)}}\)

លំហាត់ទី ៩

រកមាឌប្រលេពីប៉ែតដែលមានកំពូលដូចខាងក្រោម៖

  1. \(A(0,0,0), B(3,0,0), C(0,5,1), D(3,5,1), E(2,0,5), F(5,0,5), G(2,5,6), H(5,5,6)\)

  2. \(A(0,0,0), B(1,1,0), C(1,0,2), D(0,1,1), E(2,1,2), F(1,1,3), G(1,2,1), H(2,2,3)\)

ដំណោះស្រាយ

ក ជ្រុងចេញពី \(A(0,0,0)\)៖ \(\vec{u}=(3,0,0), \vec{v}=(0,5,1), \vec{w}=(2,0,5)\)៖
\(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 3(25) = 75 \implies \boxed{V = 75}\)

ខ ជ្រុងចេញពី \(A(0,0,0)\)៖ \(\vec{u}=(1,1,0), \vec{v}=(1,0,2), \vec{w}=(0,1,1)\)៖
\(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 1(-2) - 1(1) = -3 \implies \boxed{V = |-3| = 3}\)

មេរៀនទី ៣ ៖ អនុវត្តន៍នៃផលគុណវ៉ិចទ័រ

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

✎ សំណួរទី ៥១–៦០

✎ សំណួរទី ៦១–៧០

✎ សំណួរទី ៧១–៨០

✎ សំណួរទី ៨១–៩០

✎ សំណួរទី ៩១–១០០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៣២ ផលគុណនៃពីរវ៉ិចទ័រក្នុងលំហ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត