វ៉ិចទ័រក្នុងលំហ

១. ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍ (មេរៀនទី ១)

ដំណោះស្រាយ

ក \(2\vec{u}+\vec{x}=3\vec{v} \implies \vec{x} = 3\vec{v} - 2\vec{u}\)
\(\vec{x} = 3(7,9,-8) - 2(4,-2,5)\)
\(= (21-8, 27+4, -24-10) = (13, 31, -34)\)
ដូចនេះ \(\boxed{\vec{x} = (13, 31, -34)}\)

ខ \(4\vec{x}-\vec{u}=3\vec{u}-4\vec{v}+2\vec{x}\)
\(\implies 2\vec{x} = 4\vec{u}-4\vec{v} \implies \vec{x} = 2(\vec{u}-\vec{v})\)
ដោយ \(\vec{u}-\vec{v} = (-3, -11, 13)\)
\(\implies \vec{x} = 2(-3, -11, 13) = (-6, -22, 26)\)
ដូចនេះ \(\boxed{\vec{x} = (-6, -22, 26)}\)

ដំណោះស្រាយ

តាង \(\vec{p} = l\vec{u} + m\vec{v} + n\vec{w}\ (l,m,n\in\mathbb{R})\)៖

បូកសមីការ \((1)+(2)+(3)\) អង្គនិងអង្គ៖

• \(l = 9 - (m+n) = 9 - 7 = 2\)

• \(m = 9 - (l+n) = 9 - 6 = 3\)

• \(n = 9 - (l+m) = 9 - 5 = 4\)

ដូចនេះ \(\boxed{\vec{p} = 2\vec{u} + 3\vec{v} + 4\vec{w} \text{ (ពិត)}}\)

ដំណោះស្រាយ

ក ទិសដៅកូស៊ីនុសនៃ \(\vec{u}=(3,-4,5)\) ៖
\(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(\cos\alpha = \frac{3}{5\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{10}\)
\(\cos\beta = \frac{-4}{5\sqrt{2}} = -\frac{2\sqrt{2}}{5}\)
\(\cos\gamma = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
ដូចនេះ \((\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = \left(\frac{3\sqrt{2}}{10}, -\frac{2\sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

ខ ទិសដៅកូស៊ីនុសនៃ \(\vec{v}=(-3,2,2\sqrt{3})\) ៖
\(\|\vec{v}\| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(\cos\alpha = -\frac{3}{5}\)
\(\cos\beta = \frac{2}{5}\)
\(\cos\gamma = \frac{2\sqrt{3}}{5}\)
ដូចនេះ \((\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = \left(-\frac{3}{5}, \frac{2}{5}, \frac{2\sqrt{3}}{5}\right)\)

ដំណោះស្រាយ

ក \(\vec{u}\parallel \vec{v} \iff \frac{3x}{2} = \frac{5}{-1} = \frac{4y-2}{5}\)

• \(\frac{3x}{2} = -5 \implies x = -\frac{10}{3}\)

• \(\frac{4y-2}{5} = -5 \implies y = -\frac{23}{4}\)

ដូចនេះ \(\boxed{x = -\frac{10}{3}, \quad{} y = -\frac{23}{4}}\)

ខ \(\vec{u}\perp \vec{w} \iff \vec{u}\cdot\vec{w} = 0\) ៖
\(2(z-1) - 1(2) + 5(z+1) = 0\)
\(\iff 7z + 1 = 0 \implies z = -\frac{1}{7}\)
ដូចនេះ \(\boxed{z = -\frac{1}{7}}\)

ដំណោះស្រាយ

វ៉ិចទ័រកែងគ្នាពីរៗ \(\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}=\vec{v}\cdot\vec{w}=0\)៖

យក \((1) - (2) \implies 2y - 3z = -10 \quad{} (4)\)
បូក \((3) + (4) \implies 4y = -12 \implies y = -3\)
ជំនួសចូល \((1)\) និង \((3)\)៖

• \(x = -18 - 2(-3) = -12\)

• \(3z = -2 - 2(-3) = 4 \implies z = \frac{4}{3}\)

ដូចនេះ \(\boxed{x = -12, \quad{} y = -3, \quad{} z = \frac{4}{3}}\)

ដំណោះស្រាយ

ដោយ \(\vec{u}-\vec{v} = (-1, 3, -1) = -\vec{w}\) នាំឱ្យបីវ៉ិចទ័រកូប្លាណែ។
គេអាចជ្រើសយក \(\vec{x}\) កូលីនេអ៊ែរនឹង \(\vec{u}\times\vec{v}\)៖

យក \(\vec{x} = -( \vec{u}\times\vec{v}) = (7, 4, 5)\)។
ដូចនេះ \(\boxed{(x_1, x_2, x_3) = (7, 4, 5)}\)
(ជាទូទៅ \(\vec{x} = (7k, 4k, 5k)\) ចំពោះគ្រប់ \(k \ne 0\))

ដំណោះស្រាយ

\(\vec{w}\cdot\vec{u}=0 \iff \vec{u}\cdot\vec{v} - k\|\vec{u}\|^2 = 0 \implies k = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|^2}\)
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 4 - 6 - 4 = -6\), \(\|\vec{u}\|^2 = 4+4+1 = 9\)
\(\implies k = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3}\)

\(\vec{w} = \vec{v} + \frac{2}{3}\vec{u} = (2, 3, -4) + \left(\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)\)
\(= \left(\frac{10}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{10}{3}\right)\)
ដូចនេះ \(\boxed{k = -\frac{2}{3}, \quad{} \vec{w} = \left(\frac{10}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{10}{3}\right)}\)

ដំណោះស្រាយ

គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណ៖

• \(AB = \sqrt{0 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

• \(BC = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

• \(AC = \sqrt{2^2 + 0 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

ដោយ \(AB = BC = AC = 2\sqrt{2}\) នាំឱ្យជ្រុងទាំងបីមានរង្វាស់ស្មើគ្នា។
ដូចនេះ \(\boxed{\triangle ABC \text{ ជាត្រីកោណសម័ង្ស (Equilateral)}}\)

ដំណោះស្រាយ

ក \(\vec{u}\cdot\vec{v} = (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1-2 = -1\)
\(\vec{v}\cdot\vec{w} = (-1)(1) = -1\)
\(\vec{w}\cdot\vec{u} = \sqrt{3}(\sqrt{3}) = 3\)
ដូចនេះ \(\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v} = -1, \;\; \vec{v}\cdot\vec{w} = -1, \;\; \vec{w}\cdot\vec{u} = 3}\)

ខ \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{13}{15}\)
\(\vec{v}\cdot\vec{w} = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{9}{10}\)
\(\vec{w}\cdot\vec{u} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}\)
ដូចនេះ \(\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{13}{15}, \;\; \vec{v}\cdot\vec{w} = \frac{9}{10}, \;\; \vec{w}\cdot\vec{u} = \frac{7}{6}}\)

លំហាត់ទី ១០

\(SABCD\) ជាពីរ៉ាមីតដែលមានបាតជាការេមានកំពូល \(S\) និង ទ្រនុងមានរង្វាស់ \(a\) ស្មើគ្នាទាំងអស់។ គណនាផលគុណស្កាលែខាងក្រោមនេះជាអនុគមន៍នៃ \(a\) ៖

1. \(\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SB}\)

2. \(\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}\)

3. \(\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AC}\)

ដំណោះស្រាយ

ក \(\triangle SAB\) សម័ង្ស \(\angle ASB=60^\circ\)៖
\(\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB} = a\cdot a\cos 60^\circ = \frac{a^2}{2}\)
ដូចនេះ \(\boxed{\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB} = \frac{a^2}{2}}\)
ខ \(ABCD\) ការេជ្រុង \(a \implies AC = a\sqrt{2}\)
\(SA^2+SC^2 = 2a^2 = AC^2 \implies \angle ASC = 90^\circ\)
ដូចនេះ \(\boxed{\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC} = 0}\)

គ បំបែក \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}\)៖
\(\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{SA}\cdot(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA})\)
\(= \overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC} - \|\overrightarrow{SA}\|^2 = 0 - a^2 = -a^2\)
ដូចនេះ \(\boxed{\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{AC} = -a^2}\)

លំហាត់ទី ១១

គេឱ្យរង្វង់ \((C)\) មានអង្កត់ផ្ចិត \([AB]\) នៅក្នុងប្លង់ \((\alpha)\)។ បន្ទាត់ \((L)\) កែងប្លង់ \((\alpha)\) ត្រង់ \(A\)។ យក \(P\in (L)\)។ បង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ \(M\in (C)\) គេបាន \(\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{MB}=0\)។

ដំណោះស្រាយ

បំបែក \(\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AM}\) គេបាន៖
\(\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MB}\)
\(\bullet\ (L)\perp (\alpha) \implies \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\)
\(\bullet\ [AB] \) អង្កត់ផ្ចិត \( \implies \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\)

ជំនួសចូល៖

មេរៀនទី ២ ៖ ផលគុណនៃពីរវ៉ិចទ័រក្នុងលំហ