អនុគមន៍លោការីត

ក. ចម្លើយសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ)

ខ. ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍

ដំណោះស្រាយ

1. \(A = e^{\ln 7}\) ៖
   តាមរូបមន្តគ្រឹះនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីតនេពែរ \(e^{\ln u} = u\) (ចំពោះ \(u > 0\)) ៖

   \[A = e^{\ln 7} = \mathbf{7} \implies \mathbf{\boxed{A = 7}}\]

2. \(B = \ln(e^{x-2})\) ៖
   តាមរូបមន្ត \(\ln(e^u) = u\) (ចំពោះគ្រប់ \(u \in \mathbb{R}\)) ៖

   \[B = \ln(e^{x-2}) = \mathbf{x - 2} \implies \mathbf{\boxed{B = x - 2}}\]

3. \(C = \ln(e^{7x})\) ៖
   អនុវត្តរូបមន្ត \(\ln(e^u) = u\) ដោយ \(u = 7x\) ៖

   \[C = \ln(e^{7x}) = \mathbf{7x} \implies \mathbf{\boxed{C = 7x}}\]

ដំណោះស្រាយ

1. \(y = 3 - \ln x\) ៖
   ១. ដែនកំណត់ ៖ \(D = (0, +\infty)\) ។
   ២. លីមីត និងអាស៊ីមតូត ៖

   • \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} (3 - \ln x) = 3 - (-\infty) = +\infty \implies \boxed{x = 0}\) (អ័ក្ស \(Oy\)) ជាអាស៊ីមតូតឈរ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (3 - \ln x) = -\infty\) ។

   ៣. ដេរីវេ ៖ \(y' = -\dfrac{1}{x} < 0, \forall x > 0 \implies\) អនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើ \((0, +\infty)\)។
   ៤. ចំណុចប្រសព្វ ៖

   • ប្រសព្វអ័ក្ស \((Ox)\) ៖ \(3 - \ln x = 0 \iff \ln x = 3 \iff x = e^3 \approx 20.09\) ។

   • ចំណុចងាយ ៖ បើ \(x = 1 \implies y = 3\) ; បើ \(x = e \approx 2.72 \implies y = 2\) ។

   

2. \(y = \ln(x - 3)\) ៖
   ១. ដែនកំណត់ ៖ \(x - 3 > 0 \iff \boxed{D = (3, +\infty)}\) ។
   ២. លីមីត និងអាស៊ីមតូត ៖

   • \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} \ln(x - 3) = -\infty \implies \boxed{x = 3}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x - 3) = +\infty\) ។

   ៣. ដេរីវេ ៖ \(y' = \dfrac{1}{x - 3} > 0, \forall x > 3 \implies\) អនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ \((3, +\infty)\)។
   ៤. ចំណុចប្រសព្វ ៖ \(y = 0 \iff x - 3 = 1 \iff x = 4\) ។ ក្រាបកាត់អ័ក្ស \((Ox)\) ត្រង់ \((4, 0)\)។

   

3. \(y = \ln(2 + e^x)\) ៖
   ១. ដែនកំណត់ ៖ ដោយ \(e^x > 0, \forall x \in \mathbb{R} \implies 2 + e^x > 2 > 0 \implies \boxed{D = \mathbb{R}}\) ។
   ២. លីមីត និងអាស៊ីមតូត ៖

   • \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \ln(2 + e^x) = \ln(2 + 0) = \ln 2 \implies \boxed{y = \ln 2 \approx 0.69}\) ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង \(-\infty\)។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(2 + e^x) = +\infty\) ។

   • រកអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\) ៖

     \[y = \ln[e^x(1 + 2e^{-x})] = x + \ln(1 + 2e^{-x}) \implies \lim_{x \to +\infty} [y - x] = \lim_{x \to +\infty} \ln(1 + 2e^{-x}) = 0\]
     ដូចនេះ បន្ទាត់ \(\boxed{y = x}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\)។

   ៣. ដេរីវេ ៖ \(y' = \dfrac{e^x}{2 + e^x} > 0, \forall x \in \mathbb{R} \implies\) អនុគមន៍កើនជានិច្ចលើ \(\mathbb{R}\)។
   ៤. ចំណុចកាត់អ័ក្ស \(Oy\) ៖ \(x = 0 \implies y = \ln(2 + 1) = \ln 3 \approx 1.10\)។

   

ដំណោះស្រាយ

1. \(L_1 = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{-5}\ln x\) ៖
   សរសេរឡើងវិញជាផលធៀប ៖ \(L_1 = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^5}\) ។
   តាមលីមីតគ្រឹះនៃលោការីតនេពែរ \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0\) (ចំពោះ \(n > 0\)) ដោយ \(n = 5 > 0\) ៖

   \[L_1 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^5} = \mathbf{0} \implies \mathbf{\boxed{L_1 = 0}}\]

2. \(L_2 = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 + \ln x}{x^2}\) ៖
   បំបែកជាពីរប្រភាគ ៖

   \[L_2 = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{\ln x}{x^2}\right)\]
   ដោយ \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^2} = 0\) នាំឱ្យ ៖
   \[L_2 = 0 + 0 = \mathbf{0} \implies \mathbf{\boxed{L_2 = 0}}\]

3. \(L_3 = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln x\) ៖
   នេះជារូបមន្តលីមីតគ្រឹះសំខាន់នៃអនុគមន៍លោការីតនេពែរ (តាង \(t = \dfrac{1}{x} \to +\infty \implies x\ln x = -\dfrac{\ln t}{t} \to 0\)) ៖

   \[L_3 = \lim_{x \to 0^+} x\ln x = \mathbf{0} \implies \mathbf{\boxed{L_3 = 0}}\]

ដំណោះស្រាយ

1. \(y = \sqrt{x}\ln x\) (កំណត់ចំពោះ \(x > 0\)) ៖
   អនុវត្តរូបមន្តផលគុណ \((uv)' = u'v + uv'\) ៖

   \[y' = (\sqrt{x})'\ln x + \sqrt{x}(\ln x)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ln x + \sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{x} = \dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \mathbf{\boxed{\dfrac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}}}\]

2. \(y = x^3\sqrt{\ln x}\) (កំណត់ចំពោះ \(x \ge 1\)) ៖
   

   \[y' = (x^3)'\sqrt{\ln x} + x^3(\sqrt{\ln x})' = 3x^2\sqrt{\ln x} + x^3\cdot\dfrac{(\ln x)'}{2\sqrt{\ln x}} = 3x^2\sqrt{\ln x} + \dfrac{x^2}{2\sqrt{\ln x}} = \mathbf{\boxed{\dfrac{x^2(6\ln x + 1)}{2\sqrt{\ln x}}}}\]

3. \(y = \ln(x + \sqrt{1 + x^2})\) (កំណត់ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\)) ៖
   អនុវត្តរូបមន្ត \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\) ៖

   \[u' = 1 + \dfrac{2x}{2\sqrt{1 + x^2}} = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \dfrac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}\]
   \[y' = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{\dfrac{x + \sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}} = \mathbf{\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}}}\]

ដំណោះស្រាយ

1. \(y = \ln\left(\dfrac{e^x}{e^x + 1}\right)\) ៖
   ប្រើលក្ខណៈលោការីតបំប្លែងមុននឹងធ្វើដេរីវេ ៖

   \[y = \ln(e^x) - \ln(e^x + 1) = x - \ln(e^x + 1)\]
   ធ្វើដេរីវេ ៖
   \[y' = 1 - \dfrac{e^x}{e^x + 1} = \dfrac{e^x + 1 - e^x}{e^x + 1} = \mathbf{\boxed{\dfrac{1}{e^x + 1}}}\]

2. \(y = x\ln x - x\) ៖
   

   \[y' = (x)'\ln x + x(\ln x)' - (x)' = 1\cdot\ln x + x\cdot\dfrac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \mathbf{\boxed{\ln x}}\]

3. \(y = x^2\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\) (កំណត់ចំពោះ \(x \ne 0\)) ៖
   បំប្លែងកន្សោម ៖ \(\ln(x^{-2}) = -2\ln|x| \implies y = -2x^2\ln|x|\) ។
   ធ្វើដេរីវេ ៖

   \[y' = -2\left[(x^2)'\ln|x| + x^2(\ln|x|)'\right] = -2\left[2x\ln|x| + x^2\cdot\dfrac{1}{x}\right] = -2(2x\ln|x| + x) = \mathbf{\boxed{-2x(2\ln|x| + 1)}}\]

ដំណោះស្រាយ

១. ដែនកំណត់ ៖ \(\boxed{D = (0, +\infty)}\) ។
២. លីមីតចុងដែនកំណត់ ៖

• \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x - x\ln x) = 0 - 0 = \mathbf{0}\) (ក្រាបខិតជិតគល់ \(O(0,0)\))។

• \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x(2 - \ln x) = +\infty(2 - \infty) = \mathbf{-\infty}\) ។

• ពិនិត្យទិសដៅអនន្ត ៖ \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} (2 - \ln x) = -\infty \implies\) ក្រាបមានខ្នែងប៉ារ៉ាបូលបែរទៅរកអ័ក្ស \((Oy)\) ខាងក្រោម។

៣. ដេរីវេ និងទិសដៅអថេរភាព ៖

• ចំពោះ \(x \in (0, e) ៖ f'(x) > 0 \implies f\) កើន។

• ចំពោះ \(x \in (e, +\infty) ៖ f'(x) < 0 \implies f\) ចុះ។

• អតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = e\) គឺ ៖ \(f(e) = 2e - e\ln e = 2e - e = \mathbf{e} \approx 2.72\) ។ ចំណុចកំពូលគឺ \(S(e, e)\)។

៤. តារាងអថេរភាព ៖

៥. ចំណុចប្រសព្វអ័ក្ស ៖

• ប្រសព្វអ័ក្ស \((Ox)\) ៖ \(f(x) = 0 \iff x(2 - \ln x) = 0 \iff \ln x = 2 \iff x = e^2 \approx 7.39\) ។ ចំណុច \(A(e^2, 0)\)។

• បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(B(1, 2)\) ៖ \(f'(1) = 1 - 0 = 1 \implies (T) ៖ y - 2 = 1(x - 1) \iff y = x + 1\)។

៦. សង់ក្រាប \((C)\) ៖

ដំណោះស្រាយ

១. ដែនកំណត់ ៖ \(|x| > 0 \iff x \ne 0 \implies \boxed{D = \mathbb{R}^* = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)}\) ។
២. លីមីត និងអាស៊ីមតូត ៖

• \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = -2(-\infty) + 0 - 2 = +\infty \implies \boxed{x = 0}\) (អ័ក្ស \(Oy\)) ជាអាស៊ីមតូតឈរ។

• \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2(+\infty) - \infty - 2 = -\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x\left(1 - \dfrac{2\ln x}{x} - \dfrac{2}{x}\right) = +\infty(1 - 0 - 0) = +\infty\)។

៣. ដេរីវេ និងទិសដៅអថេរភាព ៖

• លើ \((-\infty, 0) ៖ x < 0\) និង \(x - 2 < 0 \implies f'(x) > 0 \implies f\) កើន។

• លើ \((0, 2) ៖ x > 0\) និង \(x - 2 < 0 \implies f'(x) < 0 \implies f\) ចុះ។

• លើ \((2, +\infty) ៖ x > 0\) និង \(x - 2 > 0 \implies f'(x) > 0 \implies f\) កើន។

• អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) គឺ ៖ \(f(2) = -2\ln 2 + 2 - 2 = -2\ln 2 \approx -1.39\) ។

៤. តារាងអថេរភាព ៖

៥. បញ្ជាក់អាប់ស៊ីសនៃចំណុចប្រសព្វ ៖

• លើ \((-1, 0) ៖ f(-1) = -2\ln 1 - 1 - 2 = -3 < 0\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty > 0 \implies \exists p \in (-1, 0)\) ដែល \(f(p) = 0\)។

• លើ \((0, 1) ៖ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty > 0\) និង \(f(1) = 0 + 1 - 2 = -1 < 0 \implies \exists q \in (0, 1)\) ដែល \(f(q) = 0\)។

• លើ \((5, 6) ៖ f(5) = -2\ln 5 + 3 \approx -2(1.609) + 3 = -0.22 < 0\) និង \(f(6) = -2\ln 6 + 4 \approx -2(1.792) + 4 = +0.42 > 0 \implies \exists r \in (5, 6)\) ដែល \(f(r) = 0\)។

៦. សង់ក្រាប \((C)\) ៖

ដំណោះស្រាយលំហាត់អនុវត្តន៍គ្រឹះបន្ថែម (លំហាត់ ៨, ៩, ១០)

ដំណោះស្រាយ

• ទិន្នន័យ ៖

  • តម្លៃទិញដំបូង ៖ \(V_0 = 250\$\)

  • អត្រារំលស់តម្លៃប្រចាំឆ្នាំ ៖ \(r = 25\% = 0.25\)

  • រយៈពេល ៖ \(t = 3\) ឆ្នាំ

• រូបមន្តរំលស់តម្លៃ (Exponential Decay) ៖

  \[V(t) = V_0(1 - r)^t\]

• គណនាតម្លៃក្រោយរយៈពេល ៣ ឆ្នាំ ៖

  \[V(3) = 250 \cdot (1 - 0.25)^3 = 250 \cdot (0.75)^3\]
  ដោយ \((0.75)^3 = 0.421875\) គេបាន ៖
  \[V(3) = 250 \times 0.421875 = 105.46875 \text{ ដុល្លារ} \approx \mathbf{105.47 \text{ ដុល្លារ}}\]

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ៖ បីឆ្នាំក្រោយ ម៉ាស៊ីនហ្វាក់នោះនឹងមានតម្លៃប្រហែល ៖

ដំណោះស្រាយ

• ទិន្នន័យ ៖

  • ចំនួនបាក់តេរីដើម ៖ \(N_0 = 9\)

  • មេគុណអត្រាកំណើន ៖ \(k = 0.872\) ក្នុងមួយថ្ងៃ

  • ច្បាប់កំណើនបាក់តេរី ៖ \(N(t) = N_0 e^{kt} = 9 e^{0.872 t}\)

  • ចំនួនបាក់តេរីគោលដៅ ៖ \(N(t) = 738\)

• ដោះស្រាយសមីការរក \(t\) ៖

  \[9 e^{0.872 t} = 738 \iff e^{0.872 t} = \frac{738}{9} = 82\]
  បំពាក់លោការីតនេពែរលើអង្គទាំងពីរ ៖
  \[0.872 t = \ln(82) \implies t = \frac{\ln(82)}{0.872}\]
  ដោយ \(\ln(82) \approx 4.406719\) គេបាន ៖
  \[t \approx \frac{4.406719}{0.872} \approx 5.053577 \text{ ថ្ងៃ} \approx \mathbf{5 \text{ ថ្ងៃ}}\]

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ៖ រយៈពេលប្រហែល ៥ ថ្ងៃ ទើបចំនួនបាក់តេរីកើនដល់ \(738\) ៖

ដំណោះស្រាយ

• ទិន្នន័យ ៖

  • ចំនួនប្រជាជនកាលពី ១០ ឆ្នាំមុន (\(t = 0\)) ៖ \(P_0 = 45\,600\) នាក់

  • ចំនួនប្រជាជនបច្ចុប្បន្ន (\(t = 10\) ឆ្នាំ) ៖ \(P(10) = 64\,800\) នាក់

• រូបមន្តកំណើនប្រចាំឆ្នាំ ៖

  \[P(t) = P_0 (1 + r)^t\]

• ដោះស្រាយសមីការរកអត្រា \(r\) ៖

  \[45\,600(1 + r)^{10} = 64\,800 \iff (1 + r)^{10} = \frac{64\,800}{45\,600} = \frac{648}{456} = \frac{27}{19}\]
  នាំឱ្យ ៖
  \[1 + r = \left(\frac{27}{19}\right)^{\frac{1}{10}} \approx (1.4210526)^{0.1} \approx 1.035783\]
  \[r \approx 1.035783 - 1 = 0.035783 = \mathbf{3.58\% \text{ ក្នុងមួយឆ្នាំ}}\]

• ចំណាំ ៖ ប្រសិនបើសន្មតតាមម៉ូដែលកំណើនអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាប់ \(P(t) = P_0 e^{kt}\) ៖

  \[e^{10k} = \frac{27}{19} \implies 10k = \ln\left(\frac{27}{19}\right) \approx 0.351398 \implies k \approx 0.03514 = \mathbf{3.51\% \text{ ក្នុងមួយឆ្នាំ}}\]

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ៖ អត្រាកំណើននៃចំនួនប្រជាជនប្រចាំឆ្នាំក្នុងទីក្រុងនេះគឺ ៖

លំហាត់អនុវត្តន៍ជំពូកទី ៤

ដំណោះស្រាយ

1. \(y = \sqrt{x^2 - 2\sqrt{x^2 - 1}} + \sqrt{x - 3 + 2\sqrt{x - 4}}\) ៖
   លក្ខខណ្ឌអត្ថិភាពនៃរ៉ាឌីកាល់ខាងក្នុង ៖

   \[\begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \iff x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \\ x - 4 \ge 0 \iff x \ge 4 \end{cases} \implies x \ge 4\]
   ពិនិត្យកន្សោមក្រោមរ៉ាឌីកាល់ធំ ៖

   • \(x^2 - 2\sqrt{x^2 - 1} = (x^2 - 1) - 2\sqrt{x^2 - 1} + 1 = (\sqrt{x^2 - 1} - 1)^2 \ge 0, \forall x \ge 4\) ។

   • \(x - 3 + 2\sqrt{x - 4} = (x - 4) + 2\sqrt{x - 4} + 1 = (\sqrt{x - 4} + 1)^2 \ge 0, \forall x \ge 4\) ។

   លក្ខខណ្ឌទាំងអស់ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះ \(x \ge 4\) ។
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = [4, +\infty)}\) ។

2. \(y = \log_2\left(\dfrac{2^{1-x} - 2x + 1}{2^x - 1}\right)\) ៖
   អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែកន្សោមក្នុងលោការីតវិជ្ជមានដាច់ខាត ៖

   \[\dfrac{2^{1-x} - 2x + 1}{2^x - 1} > 0\]
   ១. ពិនិត្យភាគបែង ៖ \(2^x - 1 = 0 \iff 2^x = 1 \iff x = 0\) ។
   - បើ \(x > 0 \implies 2^x - 1 > 0\) ។
   - បើ \(x < 0 \implies 2^x - 1 < 0\) ។
   ២. ពិនិត្យភាគយក ៖ តាង \(g(x) = 2^{1-x} - 2x + 1\) លើ \(\mathbb{R}\) ។
   \(g'(x) = -(\ln 2)2^{1-x} - 2 < 0, \forall x \implies g(x)\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើ \(\mathbb{R}\)។
   សង្កេតឃើញ \(g(1) = 2^0 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0\) នាំឱ្យ \(x = 1\) ជាឫសតែមួយគត់នៃ \(g(x) = 0\)។
   - ចំពោះ \(x < 1 \implies g(x) > 0\) ។
   - ចំពោះ \(x > 1 \implies g(x) < 0\) ។
   ៣. តារាងសញ្ញានៃផលធៀប ៖
   

   ផលធៀបវិជ្ជមានចំពោះ \(x \in (0, 1)\) ។
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = (0, 1)}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(y = \dfrac{4x - 3}{2x + 5}\) ៖
   - អាស៊ីមតូតឈរ ៖ ភាគបែង \(2x + 5 = 0 \iff x = -\dfrac{5}{2}\) ។
   ដោយ \(\displaystyle\lim_{x \to -\frac{5}{2}^\pm} \dfrac{4x - 3}{2x + 5} = \pm\infty \implies \mathbf{\boxed{x = -\dfrac{5}{2}}}\) ជាសមីការអាស៊ីមតូតឈរ។
   - អាស៊ីមតូតដេក ៖ \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{4x - 3}{2x + 5} = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{4x}{2x} = 2 \implies \mathbf{\boxed{y = 2}}\) ជាសមីការអាស៊ីមតូតដេក។

2. \(y = \dfrac{3x^2 - 7x + 15}{x - 1}\) ៖
   - អាស៊ីមតូតឈរ ៖ ភាគបែង \(x - 1 = 0 \iff x = 1\) ។
   ដោយ \(\displaystyle\lim_{x \to 1^\pm} \dfrac{3x^2 - 7x + 15}{x - 1} = \pm\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 1}}\) ជាសមីការអាស៊ីមតូតឈរ។
   - អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ ចែកពហុធាភាគយកនឹងភាគបែង ៖

   \[3x^2 - 7x + 15 = (x - 1)(3x - 4) + 11 \implies y = 3x - 4 + \dfrac{11}{x - 1}\]
   ដោយ \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [y - (3x - 4)] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{11}{x - 1} = 0 \implies \mathbf{\boxed{y = 3x - 4}}\) ជាសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេត។

3. \(y = \dfrac{2x - 1}{x^2 - 7x + 10} = \dfrac{2x - 1}{(x - 2)(x - 5)}\) ៖
   - អាស៊ីមតូតឈរ ៖ ភាគបែងមានឫសពីរគឺ \(x = 2\) និង \(x = 5\) ។
   ដោយ \(\displaystyle\lim_{x \to 2^\pm} y = \pm\infty\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 5^\pm} y = \pm\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 2 \text{ និង } x = 5}}\) ជាសមីការអាស៊ីមតូតឈរទាំងពីរ។
   - អាស៊ីមតូតដេក ៖ ដឺក្រេភាគយក (\(1\)) តូចជាងដឺក្រេភាគបែង (\(2\)) ៖

   \[\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x - 1}{x^2 - 7x + 10} = 0 \implies \mathbf{\boxed{y = 0 \text{ (អ័ក្ស } Ox \text{)}} \text{ ជាអាស៊ីមតូតដេក។}}\]

ដំណោះស្រាយ

1. រកចំនួនពិត \(a, b, c\) ៖
   ធ្វើវិធីចែកពហុធា ៖ \(x^2 + x - 1 = (x - 1)(x + 2) + 1\) ៖

   \[f(x) = x + 2 + \dfrac{1}{x - 1} \implies \mathbf{\boxed{a = 1, \quad{} b = 2, \quad{} c = 1}}\]

2. លីមីត និងអាស៊ីមតូត ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\} = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\) ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 1}}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x + 2)] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x - 1} = 0 \implies \mathbf{\boxed{y = x + 2}}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត។

3. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖
   

   \[f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 1)^2 - 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}\]
   \(f'(x) = 0 \iff x = 0\) ឬ \(x = 2\) ។

   • អតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 0\) គឺ ៖ \(f(0) = 1\) ។

   • អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) គឺ ៖ \(f(2) = 2 + 2 + 1 = 5\) ។

   

4. ស្រាយបញ្ជាក់ផ្ចិតឆ្លុះ \(I(1, 3)\) ៖
   ត្រូវស្រាយថា \(f(2(1) - x) + f(x) = 2(3) \iff f(2 - x) + f(x) = 6\) ៖

   \[f(2 - x) = (2 - x) + 2 + \dfrac{1}{(2 - x) - 1} = 4 - x - \dfrac{1}{x - 1}\]
   \[f(2 - x) + f(x) = \left(4 - x - \dfrac{1}{x - 1}\right) + \left(x + 2 + \dfrac{1}{x - 1}\right) = 6 \quad{} \text{(ពិត)}\]
   ដូចនេះ ចំណុច \(\boxed{I(1, 3)}\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប \((C)\) ។

   សង់ក្រាប \((C)\) ៖

   

5. ពិភាក្សាឫសតាមក្រាហ្វិក ៖
   សមីការ \(x^2 + (1 - m)x + m - 1 = 0 \iff x^2 + x - 1 - m(x - 1) = 0\) ។
   ចំពោះ \(x \ne 1\) ៖

   \[\dfrac{x^2 + x - 1}{x - 1} = m \iff f(x) = m\]
   ចំនួនឫសនៃសមីការគឺចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាង \((C)\) និងបន្ទាត់ដេក \(y = m\) ៖

   • បើ \(m < 1\) ៖ បន្ទាត់ \(y = m\) កាត់ \((C)\) ត្រង់ ២ ចំណុច \(\implies\) សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។

   • បើ \(m = 1\) ៖ បន្ទាត់ \(y = 1\) ប៉ះ \((C)\) ត្រង់កំពូលអតិបរមា \(\implies\) សមីការមានឫសឌុប \(x = 0\)។

   • បើ \(1 < m < 5\) ៖ បន្ទាត់ \(y = m\) មិនកាត់ \((C)\) ឡើយ \(\implies\) សមីការគ្មានឫស។

   • បើ \(m = 5\) ៖ បន្ទាត់ \(y = 5\) ប៉ះ \((C)\) ត្រង់កំពូលអប្បបរមា \(\implies\) សមីការមានឫសឌុប \(x = 2\)។

   • បើ \(m > 5\) ៖ បន្ទាត់ \(y = m\) កាត់ \((C)\) ត្រង់ ២ ចំណុច \(\implies\) សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។

ដំណោះស្រាយ

1. សិក្សាអថេរភាព និងសង់ក្រាប ៖
   ១. ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\) ។
   ២. ទម្រង់កាណូនិច ៖ \(2x^2 + x + 1 = (x + 1)(2x - 1) + 2 \implies f(x) = 2x - 1 + \dfrac{2}{x + 1}\) ។
   - អាស៊ីមតូតឈរ ៖ \(\boxed{x = -1}\) ព្រោះ \(\displaystyle\lim_{x \to -1^\pm} f(x) = \pm\infty\) ។
   - អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ \(\boxed{y = 2x - 1}\) ព្រោះ \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (2x - 1)] = 0\) ។
   ៣. ដេរីវេ ៖

   \[f'(x) = 2 - \dfrac{2}{(x + 1)^2} = \dfrac{2[(x + 1)^2 - 1]}{(x + 1)^2} = \dfrac{2x(x + 2)}{(x + 1)^2}\]
   \(f'(x) = 0 \iff x = -2\) ឬ \(x = 0\) ។

   • អតិបរមាធៀប ៖ \(f(-2) = 2(-2) - 1 + \dfrac{2}{-1} = -5 - 2 = -7\) ត្រង់ \(x = -2\)។

   • អប្បបរមាធៀប ៖ \(f(0) = -1 + 2 = 1\) ត្រង់ \(x = 0\)។

   ៤. តារាងអថេរភាព ៖

   

   ៥. សង់ក្រាប ៖ ផ្ចិតឆ្លុះ \(I(-1, -3)\) ជាចំណុចប្រសព្វអាស៊ីមតូត។

   

2. រកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃ \(E\) ៖
   តាង \(t = |\cos x|\) ។ ដោយ \(0 \le |\cos x| \le 1 \implies t \in [0, 1]\) ។
   កន្សោម \(E = \dfrac{2t^2 + t + 1}{t + 1} = f(t)\) ចំពោះ \(t \in [0, 1]\) ។
   តាមតារាងអថេរភាព លើចន្លោះ \([0, 1]\) អនុគមន៍ \(f(t)\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាត ៖

   • អប្បបរមា ៖ \(E_{\min} = f(0) = \mathbf{1}\) (កើតឡើងនៅពេល \(|\cos x| = 0 \iff x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\))។

   • អតិបរមា ៖ \(E_{\max} = f(1) = \dfrac{2(1)^2 + 1 + 1}{1 + 1} = \dfrac{4}{2} = \mathbf{2}\) (កើតឡើងនៅពេល \(|\cos x| = 1 \iff x = k\pi\))។

   ដូចនេះ \(\boxed{E_{\min} = 1}\) និង \(\boxed{E_{\max} = 2}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត ៖

   • \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{9x}{(x + 1)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{9x}{x^2} = 0 \implies \mathbf{\boxed{y = 0 \text{ (អ័ក្ស } Ox\text{)}} \text{ ជាអាស៊ីមតូតដេក។}}\)

   • \(\displaystyle\lim_{x \to -1} \dfrac{9x}{(x + 1)^2} = \dfrac{-9}{0^+} = -\infty \implies \mathbf{\boxed{x = -1}} \) ជាអាស៊ីមតូតឈរ។

2. បរមាធៀប និងតារាងអថេរភាព ៖

   \[f'(x) = \dfrac{9(x + 1)^2 - 9x\cdot 2(x + 1)}{(x + 1)^4} = \dfrac{9(x + 1)[x + 1 - 2x]}{(x + 1)^4} = \dfrac{9(1 - x)}{(x + 1)^3}\]
   \(f'(x) = 0 \iff 1 - x = 0 \iff x = 1\) ។
   តម្លៃអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 1\) គឺ ៖ \(f(1) = \dfrac{9(1)}{(1 + 1)^2} = \dfrac{9}{4} = 2.25\) ។
   

3. ចំណុចរបត់ ៖
   គណនាដេរីវេទីពីរ \(f''(x)\) ៖

   \[f''(x) = 9\cdot\dfrac{-(x + 1)^3 - (1 - x)\cdot 3(x + 1)^2}{(x + 1)^6} = 9\cdot\dfrac{-(x + 1) - 3(1 - x)}{(x + 1)^4} = \dfrac{9(2x - 4)}{(x + 1)^4} = \dfrac{18(x - 2)}{(x + 1)^4}\]
   \(f''(x) = 0 \iff x = 2\) ហើយ \(f''(x)\) ប្តូរសញ្ញាឆ្លងកាត់ \(x = 2\) (ពីអវិជ្ជមានទៅវិជ្ជមាន)។
   ទាញបាន \(x = 2\) ជាអាប់ស៊ីសចំណុចរបត់ ៖ \(f(2) = \dfrac{9(2)}{(2 + 1)^2} = \dfrac{18}{9} = 2\) ។
   ដូចនេះ ចំណុចរបត់នៃក្រាបគឺ \(\boxed{J(2, 2)}\) ។

4. គណនាតម្លៃពិសេស ៖

   • \(f(-4) = \dfrac{-36}{(-3)^2} = \mathbf{-4}\)

   • \(f(-3) = \dfrac{-27}{(-2)^2} = \mathbf{-\dfrac{27}{4} = -6.75}\)

   • \(f(-2) = \dfrac{-18}{(-1)^2} = \mathbf{-18}\)

   • \(f(3) = \dfrac{27}{4^2} = \mathbf{\dfrac{27}{16} \approx 1.69}\)

   • \(f(4) = \dfrac{36}{5^2} = \mathbf{\dfrac{36}{25} = 1.44}\)

5. សង់ក្រាប \((C)\) ៖

   

ដំណោះស្រាយ

1. លីមីត និងអាស៊ីមតូត ៖
   ភាគបែង \(x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \iff x = 1\) ឬ \(x = 3\) ។
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{1, 3\}\) ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \infty\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = \infty \implies \mathbf{\boxed{x = 1 \text{ និង } x = 3}} \) ជាអាស៊ីមតូតឈរទាំងពីរ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{x^2 - 4x}{x^2 - 4x + 3} = 1 \implies \mathbf{\boxed{y = 1}} \) ជាអាស៊ីមតូតដេក។

2. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖
   សង្កេត ៖ \(f(x) = 1 - \dfrac{3}{x^2 - 4x + 3}\) ។

   \[f'(x) = \dfrac{3(2x - 4)}{(x^2 - 4x + 3)^2} = \dfrac{6(x - 2)}{(x^2 - 4x + 3)^2}\]
   \(f'(x) = 0 \iff x = 2\) ។ តម្លៃអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) គឺ ៖ \(f(2) = \dfrac{4 - 8}{4 - 8 + 3} = \dfrac{-4}{-1} = 4\) ។
   

3. សមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(x = 4\) ៖
   \(f(4) = \dfrac{16 - 16}{16 - 16 + 3} = 0\) ។
   \(f'(4) = \dfrac{6(4 - 2)}{(16 - 16 + 3)^2} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}\) ។
   សមីការបន្ទាត់ប៉ះ ៖ \((T) ៖ y - 0 = \dfrac{4}{3}(x - 4) \iff \mathbf{\boxed{y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{16}{3}}}\) ។

4. សង់ក្រាប \((C)\) ៖ បន្ទាត់ឆ្លុះ \(x = 2\) ។

   

5. កំណត់ \(m\) តាមក្រាហ្វិក ៖
   សមីការ \((m - 1)x^2 - 4(m - 1)x + 3m = 0 \iff m(x^2 - 4x + 3) = x^2 - 4x\) ។
   ចំពោះ \(x \ne 1, 3\) ៖ \(\dfrac{x^2 - 4x}{x^2 - 4x + 3} = m \iff f(x) = m\) ។
   តាមក្រាប \((C)\) សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នាកាលណាខ្សែបន្ទាត់ \(y = m\) កាត់ \((C)\) ត្រង់ ២ ចំណុច ៖

   \[\mathbf{\boxed{m < 1 \quad{} \text{ឬ} \quad{} m > 4}}\]
   (ត្រង់ \(m = 4\) មានឫសឌុប \(x = 2\) ; លើ \([1, 4)\) គ្មានឫស)។

ដំណោះស្រាយ

1. \(y = \dfrac{e^x}{x - 1}\) (\(x \ne 1\)) ៖
   

   \[y' = \dfrac{(e^x)'(x - 1) - e^x(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \dfrac{e^x(x - 1) - e^x(1)}{(x - 1)^2} = \mathbf{\boxed{\dfrac{e^x(x - 2)}{(x - 1)^2}}}\]

2. \(y = e^{2x} - e^x\) ៖
   

   \[y' = (2x)'e^{2x} - e^x = 2e^{2x} - e^x = \mathbf{\boxed{e^x(2e^x - 1)}}\]

3. \(y = \dfrac{e^x + 1}{e^x - 1}\) (\(x \ne 0\)) ៖
   

   \[y' = \dfrac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 1)e^x}{(e^x - 1)^2} = \dfrac{e^{2x} - e^x - e^{2x} - e^x}{(e^x - 1)^2} = \mathbf{\boxed{\dfrac{-2e^x}{(e^x - 1)^2}}}\]

ដំណោះស្រាយ

1. \(y = x - 1 - \ln x\) (\(x > 0\)) ៖
   

   \[y' = 1 - \dfrac{1}{x} = \mathbf{\boxed{\dfrac{x - 1}{x}}}\]

2. \(y = \ln\left(\dfrac{x - 3}{x + 2}\right) = \ln(x - 3) - \ln(x + 2)\) (\(x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\)) ៖
   

   \[y' = \dfrac{1}{x - 3} - \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{(x + 2) - (x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} = \mathbf{\boxed{\dfrac{5}{(x - 3)(x + 2)}}}\]

3. \(y = x^2\ln x - \dfrac{x^2}{2}\) (\(x > 0\)) ៖
   

   \[y' = 2x\ln x + x^2\cdot\dfrac{1}{x} - x = 2x\ln x + x - x = \mathbf{\boxed{2x\ln x}}\]

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត ៖

   • \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (e^x - x - 1) = \lim_{x \to +\infty} e^x\left(1 - \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x}\right) = +\infty(1 - 0 - 0) = \mathbf{+\infty}\) ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (e^x - x - 1) = 0 - (-\infty) - 1 = \mathbf{+\infty}\) ។

2. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖
   \(f'(x) = e^x - 1\) ។
   \(f'(x) = 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0\) ។

   • បើ \(x < 0 \implies e^x < 1 \implies f'(x) < 0 \implies f\) ជាអនុគមន៍ចុះ ។

   • បើ \(x > 0 \implies e^x > 1 \implies f'(x) > 0 \implies f\) ជាអនុគមន៍កើន ។

   • អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 0\) គឺ ៖ \(f(0) = e^0 - 0 - 1 = \mathbf{0}\) ។

   

3. អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\) ៖
   ពិនិត្យផលដក ៖

   \[\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (-x - 1)] = \lim_{x \to -\infty} [e^x - x - 1 + x + 1] = \lim_{x \to -\infty} e^x = 0\]
   ដូចនេះ បន្ទាត់ \(\boxed{(d) ៖ y = -x - 1}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប \((C)\) ខាង \(-\infty\) ។

4. កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច \(P\) ៖
   បន្ទាត់ \(y = x\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(m = 1\) ។
   បន្ទាត់ប៉ះនឹង \((C)\) ត្រង់ \(P(x_0, y_0)\) ស្របនឹងបន្ទាត់ \(y = x\) លុះត្រាតែ ៖

   \[f'(x_0) = 1 \iff e^{x_0} - 1 = 1 \iff e^{x_0} = 2 \iff x_0 = \ln 2 \approx 0.7\]
   អរដោនេនៃចំណុច \(P\) គឺ ៖
   \[y_0 = f(\ln 2) = e^{\ln 2} - \ln 2 - 1 = 2 - \ln 2 - 1 = 1 - \ln 2 \approx 1 - 0.7 = 0.3\]
   ដូចនេះ កូអរដោនេនៃចំណុច \(P\) គឺ ៖ \(\mathbf{\boxed{P(\ln 2, 1 - \ln 2) \approx P(0.7, 0.3)}}\) ។
   សមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(P\) គឺ ៖ \(y - (1 - \ln 2) = 1(x - \ln 2) \iff \mathbf{\boxed{y = x + 1 - 2\ln 2 \approx x - 0.4}}\) ។

5. សង់ក្រាប \((C)\) បន្ទាត់ \((d)\) និងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(P\) ៖

   

ដំណោះស្រាយ

1. លីមីត និងអាស៊ីមតូតខាង \(+\infty\) ៖
   \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x - 1 + 2e^{-x}\right) = +\infty - 1 + 0 = \mathbf{+\infty}\) ។
   ពិនិត្យផលដក ៖

   \[\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x - 1)] = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{e^x} = 0\]
   ដូចនេះ បន្ទាត់ \(\boxed{(d) ៖ y = x - 1}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ \((C)\) ខាង \(+\infty\) ។

2. ទម្រង់ប្រភាគ និងលីមីតខាង \(-\infty\) ៖

   \[f(x) = x - 1 + \dfrac{2}{e^x} = \dfrac{(x - 1)e^x + 2}{e^x} = \mathbf{\boxed{\dfrac{xe^x - e^x + 2}{e^x}}}\]
   កាលណា \(x \to -\infty\) ៖ \(xe^x \to 0\) និង \(e^x \to 0\) នាំឱ្យភាគយកខិតជិត \(2 > 0\) ហើយភាគបែង \(e^x \to 0^+\) ៖
   \[\mathbf{\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = \dfrac{2}{0^+} = +\infty}}\]

3. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖
   \(f'(x) = 1 - 2e^{-x} = \dfrac{e^x - 2}{e^x}\) ។
   \(f'(x) = 0 \iff e^x = 2 \iff x = \ln 2 \approx 0.7\) ។

   • បើ \(x < \ln 2 \implies e^x < 2 \implies f'(x) < 0 \implies f\) ជាអនុគមន៍ចុះ ។

   • បើ \(x > \ln 2 \implies e^x > 2 \implies f'(x) > 0 \implies f\) ជាអនុគមន៍កើន ។

   • អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = \ln 2\) គឺ ៖

     \[f(\ln 2) = \ln 2 - 1 + \dfrac{2}{e^{\ln 2}} = \ln 2 - 1 + \dfrac{2}{2} = \mathbf{\ln 2} \approx \mathbf{0.7}\]

   

4. សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) ត្រង់ \(x = 0\) ៖

   • អរដោនេចំណុចប៉ះ ៖ \(y_0 = f(0) = 0 - 1 + \dfrac{2}{e^0} = -1 + 2 = 1 \implies A(0, 1)\) ។

   • មេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(f'(0) = 1 - 2e^0 = 1 - 2 = -1\) ។

   • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) ៖ \(y - 1 = -1(x - 0) \iff \mathbf{\boxed{(T): y = -x + 1}}\) ។

5. សង់ខ្សែកោង \((C)\) បន្ទាត់ \((T)\) និងបន្ទាត់ \((d)\) ៖

   

6. កំណត់ចំនួនឫសនៃសមីការ \(f(x) = 2\) តាមក្រាហ្វិក ៖
   ចំនួនឫសនៃសមីការ \(f(x) = 2\) គឺជាចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាងខ្សែកោង \((C)\) និងបន្ទាត់ដេក \(y = 2\) ។

   • ដោយសារតម្លៃអប្បបរមាធៀបគឺ \(f(\ln 2) = \ln 2 \approx 0.7 < 2\) ហើយ \(\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = +\infty\) នោះបន្ទាត់ \(y = 2\) កាត់ \((C)\) ត្រង់ ២ ចំណុចផ្សេងគ្នា នាំឱ្យសមីការមាន ។

   • ចំពោះឫសទីមួយ \(x_1\) ៖
     \(f(0) = 1 < 2\) និង \(f(-1) = -1 - 1 + 2e = 2e - 2 \approx 3.44 > 2\) ។
     ដោយ \(f(0) < 2 < f(-1)\) នាំឱ្យឫសទីមួយស្ថិតនៅចន្លោះ ៖

     \[\mathbf{\boxed{-1 < x_1 < 0 \quad{} (\text{ចំនួនគត់ពីរតគ្នាគឺ } -1 \text{ និង } 0)}}\]

   • ចំពោះឫសទីពីរ \(x_2\) ៖
     \(f(2) = 2 - 1 + 2e^{-2} = 1 + \frac{2}{e^2} \approx 1 + 0.27 = 1.27 < 2\) ។
     \(f(3) = 3 - 1 + 2e^{-3} = 2 + \frac{2}{e^3} > 2\) ។
     ដោយ \(f(2) < 2 < f(3)\) នាំឱ្យឫសទីពីរស្ថិតនៅចន្លោះ ៖

     \[\mathbf{\boxed{2 < x_2 < 3 \quad{} (\text{ចំនួនគត់ពីរតគ្នាគឺ } 2 \text{ និង } 3)}}\]

ដំណោះស្រាយ

១. លក្ខខណ្ឌកាត់តាមចំណុច \(A(1, 0)\) ៖
ក្រាប \((C)\) កាត់តាម \(A(1, 0) \iff f(1) = 0\) ៖

២. លក្ខខណ្ឌបន្ទាត់ប៉ះស្របនឹងបន្ទាត់ \(y = 2x\) ៖
មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ \(y = 2x\) គឺ \(k = 2\) ។
បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(A(1, 0)\) ស្របនឹងបន្ទាត់នេះ លុះត្រាតែ \(f'(1) = 2\) ។
គណនាដេរីវេ \(f'(x)\) ៖

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់ និងលីមីត ៖
   លក្ខខណ្ឌ ៖ \(\dfrac{x + 1}{x} \ne 0 \iff x \ne -1\) និង \(x \ne 0\) ៖

   \[\mathbf{\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\} = (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, +\infty)}}\]
   គណនាលីមីត ៖

   • \(\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = -1 + \ln 0^+ = -\infty \implies \mathbf{\boxed{x = -1}}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0 + \ln(+\infty) = +\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0}}\) (អ័ក្ស \(Oy\)) ជាអាស៊ីមតូតឈរ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \ln\left|\dfrac{x + 1}{x}\right| = \ln 1 = 0 \implies \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) និង \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) ។

2. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖
   \(f(x) = x + \ln|x + 1| - \ln|x|\) ៖

   \[f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x} = 1 - \dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{x^2 + x - 1}{x(x + 1)}\]
   \(f'(x) = 0 \iff x^2 + x - 1 = 0 \iff x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.62, \ x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.62\) ។
   

3. អាស៊ីមតូតទ្រេត និងទីតាំងធៀប ៖
   \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to \pm\infty} \ln\left|1 + \dfrac{1}{x}\right| = 0 \implies \mathbf{\boxed{y = x}}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត។
   ទីតាំងធៀប ៖ \(f(x) - x = \ln\left|1 + \dfrac{1}{x}\right|\) ៖

   • លើ \((-\infty, -1) \cup (0, +\infty) ៖ \dfrac{x + 1}{x} > 1 \implies \ln\left|\dfrac{x+1}{x}\right| > 0 \implies (C)\) នៅខាងលើ \((\Delta)\)។

   • លើ \((-1, 0) ៖ -1 < x < 0 \implies \left|\dfrac{x+1}{x}\right| = \dfrac{x+1}{-x}\) ។ ត្រង់ \(x = -\dfrac{1}{2}\) នោះ \(|x+1|/|x| = 1 \implies f(x) = x\) (កាត់គ្នា)។

4. បង្ហាញថា \(A\left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃ \((C)\) ៖
   ផ្ទៀងផ្ទាត់រូបមន្តផ្ចិតឆ្លុះ \(f(2a - x) + f(x) = 2b\) ដោយ \(a = -1/2, b = -1/2 \implies 2a = -1, 2b = -1\) ៖

   \[f(-1 - x) + f(x) = (-1 - x) + \ln\left|\dfrac{-x}{-1 - x}\right| + x + \ln\left|\dfrac{x + 1}{x}\right| = -1 + \ln\left(\dfrac{x}{x + 1}\cdot\dfrac{x + 1}{x}\right) = -1 + 0 = -1\]
   ដូចនេះ \(A\left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃ \((C)\) ពិតប្រាកដមែន ។

5. សមីការបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹង \((C)\) ត្រង់ \(A\) ៖
   មេគុណប្រាប់ទិសត្រង់ \(x = -\dfrac{1}{2}\) គឺ ៖

   \[f'\left(-\frac{1}{2}\right) = \dfrac{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 1}{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2} + 1\right)} = \dfrac{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1}{-\frac{1}{4}} = \dfrac{-\frac{5}{4}}{-\frac{1}{4}} = 5\]
   សមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(A\left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)\) គឺ ៖
   \[y - \left(-\frac{1}{2}\right) = 5\left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) \iff y + \frac{1}{2} = 5x + \frac{5}{2} \iff \mathbf{\boxed{(T_A): y = 5x + 2}}\]

6. សង់បន្ទាត់ \((\Delta)\) ខ្សែកោង \((C)\) និងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(A\) ៖

   

ដំណោះស្រាយ

1. សិក្សាអនុគមន៍ជំនួយ \(g(x)\) ៖
   \(g'(x) = 2x - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2x^2 - 1}{x}\) ។
   \(g'(x) = 0 \iff 2x^2 - 1 = 0 \iff x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (ព្រោះ \(x > 0\)) ។
   តម្លៃអប្បបរមាធៀប ៖ \(g\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 + \dfrac{1}{2} - \ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2}\ln 2 > 0\) ។
   ដោយតម្លៃអប្បបរមាធៀបវិជ្ជមានដាច់ខាត នាំឱ្យ ៖

   \[\mathbf{\boxed{g(x) > 0, \quad{} \forall x \in (0, +\infty)}}\]
   

2. លីមីតនៃ \(f(x)\) និងកំណត់សមីការអាស៊ីមតូតឈរ ៖

   • \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x + 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln x}{x}\right) = 0 + 1 - (+\infty) + (-\infty) = -\infty\) ។
     នាំឱ្យ បន្ទាត់ដែលមានសមីការ \(\mathbf{\boxed{x = 0}}\) (អ័ក្សអរដោនេ \(y'Oy\)) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃ \((C)\) ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x + 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln x}{x}\right) = +\infty + 1 - 0 + 0 = \mathbf{\boxed{+\infty}}\) ។

3. ទំនាក់ទំនង \(f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}\) និងតារាងអថេរភាពនៃ \(f(x)\) ៖

   \[f'(x) = 1 + \dfrac{\left(\frac{1}{x}\right)x - (-1 + \ln x)(1)}{x^2} = 1 + \dfrac{1 + 1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{x^2 + 2 - \ln x}{x^2} = \mathbf{\boxed{\dfrac{g(x)}{x^2}}}\]
   ដោយ \(g(x) > 0\) និង \(x^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) នាំឱ្យ \(f'(x) > 0, \forall x > 0\) ។
   ដូចនេះ អនុគមន៍ \(f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ \((0, +\infty)\) ។
   

4. បង្ហាញថាបន្ទាត់ \((\Delta) ៖ y = x + 1\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ \((C)\) ៖
   ពិនិត្យផលដក ៖

   \[\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x + 1)] = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x - 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x}\right) = 0 - 0 = 0\]
   ដូចនេះ បន្ទាត់ \(\mathbf{\boxed{(\Delta) ៖ y = x + 1}}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ \((C)\) ខាង \(+\infty\) ។

5. ចំណុចប្រសព្វ និងទីតាំងធៀបនៃ \((C)\) ធៀបនឹង \((\Delta)\) ៖

   • ចំណុចប្រសព្វ ៖ \(f(x) - (x + 1) = 0 \iff \dfrac{\ln x - 1}{x} = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e\) ។
     អរដោនេ ៖ \(y = e + 1\) ។ ដូចនេះ ចំណុចប្រសព្វគឺ \(\mathbf{\boxed{M(e, e + 1)}}\) ។

   • ទីតាំងធៀប ៖ ដោយ \(x > 0\) សញ្ញានៃផលដកអាស្រ័យលើ \(\ln x - 1\) ៖

     • បើ \(0 < x < e \implies \ln x - 1 < 0 \implies (C)\) ស្ថិតនៅខាងក្រោមបន្ទាត់ \((\Delta)\) ។

     • បើ \(x = e \implies (C)\) កាត់បន្ទាត់ \((\Delta)\) ត្រង់ចំណុច \(M(e, e + 1)\) ។

     • បើ \(x > e \implies \ln x - 1 > 0 \implies (C)\) ស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ \((\Delta)\) ។

6. សង់ខ្សែកោង \((C)\) និងអាស៊ីមតូត ៖

   

ដំណោះស្រាយ

តាង \(f(x) = x\ln x - 1\) កំណត់លើ \((0, +\infty)\) ។
១. ផ្ទៀងផ្ទាត់កូអរដោនេចំណុចប៉ះ ៖ \(f(1) = 1\ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1\) (ពិត ចំណុច \(A(1, -1) \in (H)\))។
២. គណនាមេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះ ៖

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់ និងលីមីត ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(\boxed{D = (0, +\infty)}\) ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{x^2} = \dfrac{-\infty}{0^+} = -\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0 \text{ (អ័ក្ស } Oy\text{)}} \text{ ជាអាស៊ីមតូតឈរ។}}\)

   • \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^2} = 0 \implies \mathbf{\boxed{y = 0 \text{ (អ័ក្ស } Ox\text{)}} \text{ ជាអាស៊ីមតូតដេក។}}\)

2. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖

   \[f'(x) = \dfrac{\left(\frac{1}{x}\right)x^2 - (\ln x)(2x)}{x^4} = \dfrac{x - 2x\ln x}{x^4} = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}\]
   \(f'(x) = 0 \iff 1 - 2\ln x = 0 \iff \ln x = \dfrac{1}{2} \iff x = e^{1/2} = \sqrt{e} \approx 1.65\) ។
   តម្លៃអតិបរមាធៀប ៖ \(f(\sqrt{e}) = \dfrac{\ln(\sqrt{e})}{(\sqrt{e})^2} = \dfrac{1/2}{e} = \dfrac{1}{2e} \approx 0.184\) ។
   

3. សមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(x = 1\) ៖
   \(f(1) = \dfrac{\ln 1}{1} = 0\) ។
   \(f'(1) = \dfrac{1 - 2\ln 1}{1^3} = 1\) ។
   សមីការបន្ទាត់ប៉ះ ៖ \((d) ៖ y - 0 = 1(x - 1) \iff \mathbf{\boxed{y = x - 1}}\) ។

4. សង់ក្រាប \((C)\) ៖

   

ដំណោះស្រាយ

1. លីមីត និងអាស៊ីមតូត ៖

   • \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1 + 2\ln x}{x^2} = \dfrac{-\infty}{0^+} = -\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0 \text{ (អ័ក្ស } Oy\text{)}} \text{ ជាអាស៊ីមតូតឈរ។}}\)

   • \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 + 2\ln x}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2\ln x}{x^2}\right) = 0 + 0 = 0 \implies \mathbf{\boxed{y = 0 \text{ (អ័ក្ស } Ox\text{)}} \text{ ជាអាស៊ីមតូតដេក។}}\)

2. ដេរីវេ និងអតិបរមា ៖

   \[f'(x) = \dfrac{\left(\frac{2}{x}\right)x^2 - (1 + 2\ln x)(2x)}{x^4} = \dfrac{2x - 2x - 4x\ln x}{x^4} = \mathbf{\boxed{\dfrac{-4\ln x}{x^3}}}\]
   \(f'(x) = 0 \iff -4\ln x = 0 \iff \ln x = 0 \iff x = 1\) ។

   • បើ \(0 < x < 1 \implies \ln x < 0 \implies f'(x) > 0 \implies f\) ជាអនុគមន៍កើន ។

   • បើ \(x > 1 \implies \ln x > 0 \implies f'(x) < 0 \implies f\) ជាអនុគមន៍ចុះ ។

   • អតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 1\) គឺ ៖ \(f(1) = \dfrac{1 + 2\ln 1}{1^2} = \mathbf{\boxed{1}}\) ។

3. តារាងអថេរភាព និងចំណុចរបត់ ៖

   

   គណនាដេរីវេទីពីរ \(f''(x)\) ៖

   \[f''(x) = \dfrac{\left(-\frac{4}{x}\right)x^3 - (-4\ln x)(3x^2)}{x^6} = \dfrac{-4x^2 + 12x^2\ln x}{x^6} = \dfrac{4(3\ln x - 1)}{x^4}\]
   \(f''(x) = 0 \iff 3\ln x - 1 = 0 \iff \ln x = \dfrac{1}{3} \iff x = e^{1/3} = \sqrt[3]{e} \approx 1.40\) ។
   \(f(\sqrt[3]{e}) = \dfrac{1 + 2(1/3)}{e^{2/3}} = \dfrac{5/3}{e^{2/3}} = \dfrac{5}{3\sqrt[3]{e^2}} \approx 0.89\) ។
   ដូចនេះ ចំណុចរបត់គឺ \(\boxed{J\left(\sqrt[3]{e}, \dfrac{5}{3\sqrt[3]{e^2}}\right) \approx J(1.40, 0.89)}\) ។

4. សមីការបន្ទាត់ \((T)\) ប៉ះក្រាប \((C)\) ត្រង់ចំណុចកាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីស ៖
   រកចំណុចប្រសព្វរវាង \((C)\) នឹងអ័ក្ស \(Ox\) ៖

   \[f(x) = 0 \iff 1 + 2\ln x = 0 \iff \ln x = -\frac{1}{2} \iff x_0 = e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.61 \implies M\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}, 0\right)\]
   មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះ ៖
   \[f'(x_0) = \dfrac{-4\ln(e^{-1/2})}{(e^{-1/2})^3} = \dfrac{-4\left(-\frac{1}{2}\right)}{e^{-3/2}} = 2e^{3/2} = 2e\sqrt{e} \approx 8.91\]
   សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) គឺ ៖
   \[y - 0 = 2e\sqrt{e}\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{e}}\right) \iff \mathbf{\boxed{(T): y = 2e\sqrt{e}\,x - 2e \approx 8.91x - 5.4}}\]

5. គណនាតម្លៃ សង់ក្រាប និងពិភាក្សាឫសតាម \(m\) ៖

   • គណនា \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\) និង \(f(2)\) ដោយយក \(\ln 2 = 0.7\) ៖

     \[f\left(\frac{1}{2}\right) = \dfrac{1 + 2\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \dfrac{1 - 2\ln 2}{\frac{1}{4}} = 4(1 - 2(0.7)) = 4(-0.4) = \mathbf{\boxed{-1.6}}\]
     \[f(2) = \dfrac{1 + 2\ln 2}{2^2} = \dfrac{1 + 2(0.7)}{4} = \dfrac{2.4}{4} = \mathbf{\boxed{0.6}}\]

   • កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យសមីការ \(\dfrac{1 + 2\ln x}{x^2} = m\) មានឫស ៖
     ចំនួនឫសនៃសមីការគឺជាចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាងខ្សែកោង \((C)\) និងបន្ទាត់ដេក \(y = m\) ។
     តាមតារាងអថេរភាព តម្លៃអតិបរមាដាច់ខាតនៃ \(f(x)\) លើ \((0, +\infty)\) គឺ \(f(1) = 1\) ហើយ \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = -\infty\) ។
     ដូច្នេះ សំណុំតម្លៃនៃអនុគមន៍គឺ \(f((0, +\infty)) = (-\infty, 1]\) ។
     ដូចនេះ សមីការមានឫសលុះត្រាតែ ៖

     \[\mathbf{\boxed{m \le 1}}\]

   

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់ និងលីមីត ៖
   លក្ខខណ្ឌ ៖ \(\dfrac{x - 1}{x} > 0 \iff \boxed{D = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)}\) ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \ln\left(\dfrac{x - 1}{x}\right) = \ln(+\infty) = +\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0}}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \ln\left(\dfrac{x - 1}{x}\right) = \ln(0^+) = -\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 1}}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\) ។

2. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖
   \(f(x) = -\dfrac{x}{2} + \ln(x - 1) - \ln x\) ចំពោះ \(x > 1\) (ឬ \(\ln(1 - x) - \ln(-x)\) ចំពោះ \(x < 0\)) ៖

   \[f'(x) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{x(x - 1)} = \dfrac{-x(x - 1) + 2}{2x(x - 1)} = \dfrac{-x^2 + x + 2}{2x(x - 1)} = \dfrac{-(x + 1)(x - 2)}{2x(x - 1)}\]
   \(f'(x) = 0 \iff x = -1\) ឬ \(x = 2\) ។

   • លើ \((-\infty, -1) ៖ f'(x) < 0 \implies f\) ចុះ។

   • លើ \((-1, 0) ៖ f'(x) > 0 \implies f\) កើន (អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = -1 ៖ f(-1) = \dfrac{1}{2} + \ln 2\))។

   • លើ \((1, 2) ៖ f'(x) > 0 \implies f\) កើន (អតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2 ៖ f(2) = -1 - \ln 2\))។

   • លើ \((2, +\infty) ៖ f'(x) < 0 \implies f\) ចុះ។

   

3. អាស៊ីមតូតទ្រេត និងទីតាំងធៀប ៖
   \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \left[f(x) - \left(-\dfrac{x}{2}\right)\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \ln\left(1 - \dfrac{1}{x}\right) = 0 \implies \mathbf{\boxed{y = -\dfrac{x}{2}}}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត។
   ទីតាំងធៀប ៖

   • \(x \in (-\infty, 0) \implies 1 - \dfrac{1}{x} > 1 \implies \ln\left(\dfrac{x-1}{x}\right) > 0 \implies (C)\) នៅខាងលើ \((\Delta)\)។

   • \(x \in (1, +\infty) \implies 1 - \dfrac{1}{x} < 1 \implies \ln\left(\dfrac{x-1}{x}\right) < 0 \implies (C)\) នៅខាងក្រោម \((\Delta)\)។

4. សង់ក្រាប \((C)\) ៖ ផ្ចិតឆ្លុះ \(I(1/2, -1/4)\)។

   

ដំណោះស្រាយ

1. លីមីត និងអាស៊ីមតូត ៖
   សរសេរ \(f(x) = x + \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{x}\) លើ \((0, +\infty)\) ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x + \dfrac{\ln x + 1}{x}\right) = \dfrac{-\infty}{0^+} = -\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0}}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ។

   • \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x + \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{x}\right) = +\infty + 0 + 0 = \mathbf{+\infty}\) ។

2. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖

   \[f'(x) = 1 + \dfrac{\left(\frac{1}{x}\right)x - \ln x(1)}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} = 1 + \dfrac{1 - \ln x - 1}{x^2} = 1 - \dfrac{\ln x}{x^2} = \dfrac{x^2 - \ln x}{x^2}\]
   ពិនិត្យភាគយក \(h(x) = x^2 - \ln x\) លើ \((0, +\infty)\) ៖
   \(h'(x) = 2x - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2x^2 - 1}{x} = 0 \iff x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) ។
   តម្លៃអប្បបរមានៃ \(h(x)\) គឺ ៖ \(h\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{1}{2} - \ln\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{1 + \ln 2}{2} > 0\) ។
   ដូចនេះ \(h(x) > 0, \forall x > 0 \implies f'(x) > 0, \forall x > 0\) ។
   អនុគមន៍ \(f\) កើនដាច់ខាតលើ \((0, +\infty)\) ។
   

3. អាស៊ីមតូតទ្រេត និងទីតាំងធៀប ៖
   \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x + 1}{x} = 0 + 0 = 0 \implies \mathbf{\boxed{(d) ៖ y = x}}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\) ។
   ទីតាំងធៀប ៖ \(f(x) - x = \dfrac{\ln x + 1}{x}\) ៖

   • \(x \in \left(0, \dfrac{1}{e}\right) \implies \ln x + 1 < 0 \implies (C)\) នៅខាងក្រោម \((d)\)។

   • \(x = \dfrac{1}{e} \implies (C)\) កាត់ \((d)\) ត្រង់ចំណុច \(\left(\dfrac{1}{e}, \dfrac{1}{e}\right)\)។

   • \(x \in \left(\dfrac{1}{e}, +\infty\right) \implies \ln x + 1 > 0 \implies (C)\) នៅខាងលើ \((d)\)។

4. សង់ក្រាប \((C)\) ៖

   

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងកំណត់សមីការអាស៊ីមតូត ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(D = (0, +\infty)\) ។

   • លីមីតត្រង់ \(0^+\) ៖

     \[\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \left(1 - \frac{2\ln x}{x}\right) = 1 - 2\lim_{x\to 0^+} \left(\frac{1}{x} \cdot \ln x\right)\]
     ដោយកាលណា \(x \to 0^+\) គេបាន \(\dfrac{1}{x} \to +\infty\) និង \(\ln x \to -\infty \implies \dfrac{\ln x}{x} \to -\infty\) ៖
     \[\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1 - 2(-\infty) = +\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0 \quad{} \text{(អ័ក្ស } Oy\text{) ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\]

   • លីមីតត្រង់ \(+\infty\) ៖ តាមរូបមន្តលីមីតគ្រឹះ \(\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\) ៖

     \[\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \left(1 - \frac{2\ln x}{x}\right) = 1 - 0 = \mathbf{1} \implies \mathbf{\boxed{y = 1 \quad{} \text{ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង } +\infty}}\]

2. គណនាដេរីវេ សិក្សាសញ្ញា និងសង់តារាងអថេរភាព ៖

   • អនុវត្តរូបមន្ត \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) ៖

     \[f'(x) = 0 - 2 \cdot \frac{(\ln x)' \cdot x - (\ln x)(x)'}{x^2} = -2 \cdot \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{2(\ln x - 1)}{x^2}\]

   • ដោយសារ \(x^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) នោះសញ្ញានៃ \(f'(x)\) អាស្រ័យលើកន្សោម \(\ln x - 1\) ៖

     \[f'(x) = 0 \iff \ln x - 1 = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e\]

     • បើ \(0 < x < e\) នោះ \(\ln x < 1 \implies f'(x) < 0\) (អនុគមន៍ចុះដាច់ខាត) ។

     • បើ \(x > e\) នោះ \(\ln x > 1 \implies f'(x) > 0\) (អនុគមន៍កើនដាច់ខាត) ។

   • អនុគមន៍ \(f\) មានតម្លៃអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = e\) គឺ ៖

     \[f(e) = 1 - \frac{2\ln e}{e} = 1 - \frac{2}{e} \approx 1 - 0.74 = \mathbf{0.26}\]

   

3. រកកូអរដោនេចំណុច \(M\) និងសមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((L)\) ៖

   • ចំណុចប្រសព្វ \(M\) រវាង \((C)\) និងអាស៊ីមតូតដេក \(y = 1\) ៖

     \[f(x) = 1 \iff 1 - \frac{2\ln x}{x} = 1 \iff \frac{2\ln x}{x} = 0 \iff \ln x = 0 \iff x = 1\]
     ដូច្នេះកូអរដោនេចំណុច \(M\) គឺ \(\mathbf{\boxed{M(1, 1)}}\) ។

   • មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(M(1, 1)\) គឺ ៖

     \[f'(1) = \frac{2(\ln 1 - 1)}{1^2} = \frac{2(0 - 1)}{1} = -2\]

   • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((L)\) ត្រង់ចំណុច \(M(1, 1)\) គឺ ៖

     \[y - y_M = f'(1)(x - x_M) \iff y - 1 = -2(x - 1) \iff \mathbf{\boxed{y = -2x + 3}}\]

4. សង់បន្ទាត់ \((L)\) និងក្រាប \((C)\) ៖

   

5. ពិភាក្សាចំនួនឫស និងគណនាផ្ទៃក្រឡា ៖

   • ពិភាក្សាចំនួនឫសនៃសមីការ \(1 - \dfrac{2\ln x}{x} = k\) តាមតម្លៃ \(k\) ៖
     ចំនួនឫសនៃសមីការជាចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប \((C)\) និងបន្ទាត់ដេក \(y = k\) ៖

     • បើ \(k < 1 - \dfrac{2}{e}\) ៖ បន្ទាត់ \(y = k\) មិនកាត់ \((C)\) ទេ \(\implies\) សមីការគ្មានឫស ។

     • បើ \(k = 1 - \dfrac{2}{e}\) ៖ បន្ទាត់ \(y = k\) ប៉ះ \((C)\) ត្រង់ចំណុចអប្បបរមា \(\implies\) សមីការមានឫសឌុប \(x = e\) ។

     • បើ \(1 - \dfrac{2}{e} < k < 1\) ៖ បន្ទាត់ \(y = k\) កាត់ \((C)\) ត្រង់ ២ ចំណុច \(\implies\) សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា ។

     • បើ \(k \geq 1\) ៖ បន្ទាត់ \(y = k\) កាត់ \((C)\) ត្រង់ ១ ចំណុចគត់ \(\implies\) សមីការមានឫសតែមួយគត់ ។

   • គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ ៖
     ចំពោះ \(x \in [1, e]\) គេមាន \(\dfrac{2\ln x}{x} \geq 0 \implies f(x) = 1 - \dfrac{2\ln x}{x} \leq 1\) ហើយ \(f(x) \geq 1 - \dfrac{2}{e} > 0\) (ក្រាបនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស) ៖

     \[S = \int_1^e f(x)\,dx = \int_1^e \left(1 - \frac{2\ln x}{x}\right) dx = \left[ x - (\ln x)^2 \right]_1^e\]
     ព្រោះ \(\left( (\ln x)^2 \right)' = 2\ln x \cdot (\ln x)' = \dfrac{2\ln x}{x}\) ។
     \[S = \left( e - (\ln e)^2 \right) - \left( 1 - (\ln 1)^2 \right) = (e - 1) - (1 - 0) = \mathbf{e - 2}\]
     ជំនួស \(e \approx 2.718\) គេបាន \(\mathbf{\boxed{S = e - 2 \approx 0.72 \text{ ឯកតាក្រឡាផ្ទៃ}}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងកំណត់សមីការអាស៊ីមតូត ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(D = (0, +\infty)\) ។

   • លីមីតត្រង់ \(0^+\) ៖ \(\lim_{x\to 0^+} \dfrac{\ln x}{x} = -\infty \implies \lim_{x\to 0^+} f(x) = -\infty\) ។
     ដូច្នេះ \(\mathbf{\boxed{x = 0 \quad{} \text{(អ័ក្ស } Oy\text{) ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\) ។

   • លីមីតត្រង់ \(+\infty\) ៖ \(\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 \implies \lim_{x\to +\infty} f(x) = 1\) ។
     ដូច្នេះ \(\mathbf{\boxed{y = 1 \quad{} \text{ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង } +\infty}}\) ។

2. គណនាដេរីវេ និងសង់តារាងអថេរភាព ៖

   • ដេរីវេ ៖

     \[f'(x) = 2 \cdot \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{2(1 - \ln x)}{x^2}\]

   • សញ្ញា ៖ \(f'(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff x = e\) ។

     • លើចន្លោះ \((0, e)\) ៖ \(1 - \ln x > 0 \implies f'(x) > 0\) (កើន) ។

     • លើចន្លោះ \((e, +\infty)\) ៖ \(1 - \ln x < 0 \implies f'(x) < 0\) (ចុះ) ។

   • អនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = e\) គឺ \(f(e) = 1 + \dfrac{2}{e} \approx 1 + 0.74 = \mathbf{1.74}\) ។

   

3. ចំណុច \(M\) និងបន្ទាត់ប៉ះ \((L)\) ៖

   • ប្រសព្វនឹង \(y = 1\) ៖ \(1 + \dfrac{2\ln x}{x} = 1 \iff \ln x = 0 \iff x = 1 \implies \mathbf{\boxed{M(1, 1)}}\) ។

   • មេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(f'(1) = \dfrac{2(1 - 0)}{1} = 2\) ។

   • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((L)\) ៖

     \[y - 1 = 2(x - 1) \iff \mathbf{\boxed{y = 2x - 1}}\]

4. សង់បន្ទាត់ \((L)\) និងក្រាប \((C)\) ៖

   

5. ពិភាក្សាចំនួនឫស និងគណនាផ្ទៃក្រឡា ៖

   • ពិភាក្សាសមីការ \(f(x) = k\) ៖

     • បើ \(k > 1 + \dfrac{2}{e}\) ៖ សមីការគ្មានឫស ។

     • បើ \(k = 1 + \dfrac{2}{e}\) ៖ សមីការមានឫសឌុប \(x = e\) ។

     • បើ \(1 < k < 1 + \dfrac{2}{e}\) ៖ សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា ។

     • បើ \(k \leq 1\) ៖ សមីការមានឫសតែមួយគត់ ។

   • គណនាផ្ទៃក្រឡាធៀបនឹងអាស៊ីមតូតដេក \(y = 1\) ចំពោះ \(x \in [1, e]\) ៖
     ដោយ \(f(x) \geq 1\) លើ \([1, e]\) ៖

     \[S = \int_1^e (f(x) - 1)\,dx = \int_1^e \frac{2\ln x}{x}\,dx = \left[ (\ln x)^2 \right]_1^e = (\ln e)^2 - (\ln 1)^2 = 1 - 0 = \mathbf{1}\]
     ដូច្នេះ \(\mathbf{\boxed{S = 1 \text{ ឯកតាក្រឡាផ្ទៃ}}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងកំណត់សមីការអាស៊ីមតូត ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(D = (0, +\infty)\) ។

   • \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} 2\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) = 2(1 - (-\infty)) = +\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0 \text{ ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} 2\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) = 2(1 - 0) = \mathbf{2} \implies \mathbf{\boxed{y = 2 \text{ ជាអាស៊ីមតូតដេក}}}\) ។

2. គណនាដេរីវេ និងសង់តារាងអថេរភាព ៖

   • \(f'(x) = -2 \cdot \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{2(\ln x - 1)}{x^2}\) ។

   • \(f'(x) = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e\) ។

   • \(f'(x) < 0\) លើ \((0, e)\) និង \(f'(x) > 0\) លើ \((e, +\infty)\) ។

   • អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = e\) គឺ \(f(e) = 2\left(1 - \dfrac{1}{e}\right) = 2 - \dfrac{2}{e} \approx 2 - 0.74 = \mathbf{1.26}\) ។

   

3. ចំណុច \(M\) និងបន្ទាត់ប៉ះ \((L)\) ៖

   • ប្រសព្វនឹង \(y = 2\) ៖ \(2\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right) = 2 \iff \ln x = 0 \iff x = 1 \implies \mathbf{\boxed{M(1, 2)}}\) ។

   • \(f'(1) = \dfrac{2(\ln 1 - 1)}{1^2} = -2\) ។

   • សមីការបន្ទាត់ \((L)\) ៖ \(y - 2 = -2(x - 1) \iff \mathbf{\boxed{y = -2x + 4}}\) ។

4. សង់បន្ទាត់ \((L)\) និងក្រាប \((C)\) ៖

   

5. ពិភាក្សាឫស និងគណនាផ្ទៃក្រឡា ៖

   • ពិភាក្សាសមីការ \(f(x) = k\) ៖

     • \(k < 2 - \dfrac{2}{e}\) ៖ គ្មានឫស ។

     • \(k = 2 - \dfrac{2}{e}\) ៖ ឫសឌុប \(x = e\) ។

     • \(2 - \dfrac{2}{e} < k < 2\) ៖ ឫសពីរផ្សេងគ្នា ។

     • \(k \geq 2\) ៖ ឫសតែមួយគត់ ។

   • ផ្ទៃក្រឡាលើ \([1, e]\) ៖

     \[S = \int_1^e 2\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) dx = \left[ 2x - (\ln x)^2 \right]_1^e = (2e - 1) - (2 - 0) = \mathbf{2e - 3}\]
     ជំនួស \(e \approx 2.718\) ៖ \(\mathbf{\boxed{S = 2e - 3 \approx 2.44 \text{ ឯកតាក្រឡាផ្ទៃ}}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. លីមីត និងអាស៊ីមតូត ៖

   • \(\lim_{x\to 0^+} \left(1 + \frac{2\ln x}{x}\right) = -\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0 \text{ ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} \left(1 + \frac{2\ln x}{x}\right) = 1 \implies \mathbf{\boxed{y = 1 \text{ ជាអាស៊ីមតូតដេក}}}\) ។

2. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖

   • \(f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x^2}\) ។ \(f'(x) = 0 \iff x = e\) ។

   • អតិបរមាធៀប ៖ \(f(e) = 1 + \dfrac{2}{e} \approx 1.74\) ។

   

3. ចំណុច \(M\) និងបន្ទាត់ប៉ះ ៖ \(f(x) = 1 \iff \ln x = 0 \iff x = 1 \implies M(1, 1)\) ។
   \(f'(1) = 2 \implies (L): y - 1 = 2(x - 1) \iff \mathbf{\boxed{y = 2x - 1}}\) ។

4. សង់ក្រាប \((C)\) និងបន្ទាត់ \((L)\) ៖

   

5. កំណត់តម្លៃ \(k\) ដើម្បីឱ្យមានឫសពីរផ្សេងគ្នា ៖
   ផ្អែកតាមតារាងអថេរភាព និងក្រាប \((C)\) បន្ទាត់ដេក \(y = k\) កាត់ក្រាប \((C)\) ត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា លុះត្រាតែ ៖

   \[\mathbf{\boxed{1 < k < 1 + \frac{2}{e}}}\]

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងកំណត់សមីការអាស៊ីមតូត ៖

   • ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺ \(D = (0, +\infty)\) ។

   • \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} 2\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) = 2(1 - (-\infty)) = +\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0 \text{ (អ័ក្ស } Oy\text{) ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} 2\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) = 2(1 - 0) = \mathbf{2} \implies \mathbf{\boxed{y = 2 \text{ ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង } +\infty}}\) ។

2. គណនាដេរីវេ និងសង់តារាងអថេរភាព ៖

   • \(f'(x) = -2 \cdot \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{2(\ln x - 1)}{x^2}\) ។

   • ដោយសារ \(x^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) ៖ \(f'(x) = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e\) ។

   • \(f'(x) < 0\) លើ \((0, e)\) និង \(f'(x) > 0\) លើ \((e, +\infty)\) ។

   • អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = e\) គឺ \(f(e) = 2\left(1 - \dfrac{1}{e}\right) = \mathbf{2 - \dfrac{2}{e}} \approx \mathbf{1.26}\) ។

   

3. ចំណុច \(M\) និងសមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((L)\) ៖

   • ប្រសព្វនឹង \(y = 2\) ៖ \(2\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right) = 2 \iff \ln x = 0 \iff x = 1 \implies \mathbf{\boxed{M(1, 2)}}\) ។

   • \(f'(1) = \dfrac{2(\ln 1 - 1)}{1^2} = -2\) ។

   • សមីការបន្ទាត់ \((L)\) ៖ \(y - 2 = -2(x - 1) \iff \mathbf{\boxed{y = -2x + 4}}\) ។

4. សង់បន្ទាត់ \((L)\) និងក្រាប \((C)\) ក្នុងតម្រុយតែមួយ ៖

   

5. កំណត់តម្លៃ \(k\) និងគណនាផ្ទៃក្រឡា ៖

   • ផ្អែកតាមតារាងអថេរភាព \(f(x) \geq 2 - \dfrac{2}{e}\) ជានិច្ច នាំឱ្យសមីការ \(2\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right) = k\) មានឫស \(\iff \mathbf{\boxed{k \geq 2 - \frac{2}{e} \approx 1.26}}\) ។

   • គណនាផ្ទៃក្រឡាលើ \([1, e]\) ៖

     \[S = \int_1^e 2\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) dx = \left[ 2x - (\ln x)^2 \right]_1^e = (2e - 1) - (2 - 0) = \mathbf{2e - 3}\]
     ជំនួស \(e \approx 2.718\) ៖ \(\mathbf{\boxed{S = 2e - 3 \approx 2.44 \text{ ឯកតាក្រឡាផ្ទៃ}}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងកំណត់សមីការអាស៊ីមតូត ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(D = (0, +\infty)\) ។

   • លីមីតត្រង់ \(0^+\) ៖

     \[\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \left(1 - \frac{\ln x}{x^3}\right) = 1 - \lim_{x\to 0^+} \left(\frac{1}{x^3} \cdot \ln x\right) = 1 - (+\infty)(-\infty) = +\infty\]
     ដូច្នេះ \(\mathbf{\boxed{x = 0 \text{ (អ័ក្ស } Oy\text{) ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\) ។

   • លីមីតត្រង់ \(+\infty\) ៖ តាមរូបមន្តលីមីតគ្រឹះ \(\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^\alpha} = 0\) (ចំពោះ \(\alpha = 3 > 0\)) ៖

     \[\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \left(1 - \frac{\ln x}{x^3}\right) = 1 - 0 = \mathbf{1} \implies \mathbf{\boxed{y = 1 \text{ ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង } +\infty}}\]

2. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖

   • អនុវត្តរូបមន្តដេរីវេផលចែក ៖

     \[f'(x) = 0 - \frac{(\ln x)' \cdot x^3 - (\ln x)(x^3)'}{(x^3)^2} = -\frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - 3x^2\ln x}{x^6} = -\frac{x^2(1 - 3\ln x)}{x^6} = \frac{3\ln x - 1}{x^4}\]

   • ដោយសារ \(x^4 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) នោះសញ្ញា \(f'(x)\) ដូចសញ្ញា \(3\ln x - 1\) ៖

     \[f'(x) = 0 \iff 3\ln x - 1 = 0 \iff \ln x = \frac{1}{3} \iff x = e^{1/3} = \sqrt[3]{e}\]

     • បើ \(0 < x < \sqrt[3]{e}\) ៖ \(3\ln x - 1 < 0 \implies f'(x) < 0\) (អនុគមន៍ចុះ) ។

     • បើ \(x > \sqrt[3]{e}\) ៖ \(3\ln x - 1 > 0 \implies f'(x) > 0\) (អនុគមន៍កើន) ។

   • ដូច្នេះ \(f\) មានតម្លៃអប្បបរមាដាច់ខាតត្រង់ \(x = \sqrt[3]{e}\) គឺ ៖

     \[f(\sqrt[3]{e}) = 1 - \frac{\ln(e^{1/3})}{(e^{1/3})^3} = 1 - \frac{\frac{1}{3}}{e} = \mathbf{1 - \frac{1}{3e}} \approx 1 - 0.12 = \mathbf{0.88}\]

   

3. ចំណុចប្រសព្វ \(M\) និងបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) ៖

   • រក \(M\) ៖ \(f(x) = 1 \iff 1 - \dfrac{\ln x}{x^3} = 1 \iff \ln x = 0 \iff x = 1 \implies \mathbf{\boxed{M(1, 1)}}\) ។

   • មេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(f'(1) = \dfrac{3\ln 1 - 1}{1^4} = \dfrac{0 - 1}{1} = -1\) ។

   • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) ត្រង់ \(M(1, 1)\) ៖

     \[y - 1 = -1(x - 1) \iff \mathbf{\boxed{y = -x + 2}}\]

4. សង់បន្ទាត់ \((T)\) ក្រាប \((C)\) និងដោះស្រាយវិសមីការ ៖

   

   • កំណត់ \(k\) ដើម្បីឱ្យ \(1 - \dfrac{\ln x}{x^3} > k\) ចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) ៖
     វិសមីការ \(f(x) > k\) ចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) មានន័យថាក្រាប \((C)\) ទាំងមូលស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ដេក \(y = k\) ។
     ដោយសារតម្លៃអប្បបរមាដាច់ខាតនៃអនុគមន៍ \(f\) គឺ \(f_{\min} = 1 - \dfrac{1}{3e}\) នោះវិសមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) លុះត្រាតែ ៖

     \[k < f_{\min} \iff \mathbf{\boxed{k < 1 - \frac{1}{3e}}}\]

ដំណោះស្រាយ

1. សិក្សាទិសដៅអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

   • អនុគមន៍មានន័យកាលណា \(1 - \dfrac{1}{x} > 0 \iff \dfrac{x-1}{x} > 0 \iff x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)\) ។ លើចន្លោះ \((1, +\infty)\) អនុគមន៍ជាប់ និងមានដេរីវេជានិច្ច ។

   • សរសេរ \(f(x) = x - 1 - 2[\ln(x-1) - \ln x]\) ៖

     \[f'(x) = 1 - 2\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{2}{x(x-1)} = \frac{x(x-1) - 2}{x(x-1)} = \frac{x^2 - x - 2}{x(x-1)}\]

   • ដោយ \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\) ហើយចំពោះ \(x > 1\) គេបាន \(x(x-1) > 0\) និង \(x + 1 > 0\) នោះ ៖

     \[f'(x) = 0 \iff x - 2 = 0 \iff x = 2\]

     • បើ \(1 < x < 2\) នោះ \(f'(x) < 0 \implies f\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាត ។

     • បើ \(x > 2\) នោះ \(f'(x) > 0 \implies f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាត ។

   • តម្លៃអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) គឺ ៖

     \[f(2) = 2 - 1 - 2\ln\left(1 - \frac{1}{2}\right) = 1 - 2\ln\left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 2\ln 2 \approx 1 + 2(0.7) = \mathbf{2.4}\]

2. គណនាលីមីត និងរកអាស៊ីមតូត ៖

   • កាលណា \(x \to 1^+\) គេបាន \(1 - \dfrac{1}{x} \to 0^+ \implies \ln\left(1 - \dfrac{1}{x}\right) \to -\infty\) ៖

     \[\lim_{x\to 1^+} f(x) = 1 - 1 - 2(-\infty) = +\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 1 \text{ ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\]

   • កាលណា \(x \to +\infty\) គេបាន \(\dfrac{1}{x} \to 0 \implies 1 - \dfrac{1}{x} \to 1 \implies \ln\left(1 - \dfrac{1}{x}\right) \to 0\) ៖

     \[\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty - 1 - 0 = +\infty\]

   • ពិនិត្យលីមីតនៃផលដក \(f(x) - (x - 1)\) ៖

     \[\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (x - 1)] = \lim_{x\to +\infty} \left[-2\ln\left(1 - \frac{1}{x}\right)\right] = -2\ln 1 = 0\]
     ដូច្នេះបន្ទាត់ \(\mathbf{\boxed{(L): y = x - 1 \text{ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង } +\infty}}\) ។

3. តារាងអថេរភាព និងសង់ក្រាប \((C)\) ៖

   
   

4. បង្ហាញថាសមីការ \(f(x) = 3\) មានឫសតែមួយគត់លើ \([2, +\infty)\) ៖

   • លើចន្លោះ \([2, +\infty)\) អនុគមន៍ \(f\) ជាប់ និងកើនដាច់ខាត ។

   • តម្លៃនៅចុងចន្លោះ ៖ \(f(2) = 1 + 2\ln 2 \approx 2.39 < 3\) និង \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty > 3\) ។

   • ដោយ \(3 \in [f(2), +\infty[\) តាមទ្រឹស្តីបទតម្លៃកណ្តាល អនុគមន៍ \(f\) បង្កើតបានជាអនុវត្តន៍មួយទល់មួយ ដូច្នេះសមីការ \(f(x) = 3\) មានឫសតែមួយគត់ \(x_0 \in [2, +\infty)\) ។

5. គណនាក្រឡាផ្ទៃ \(A\) ៖

   • ចំពោះគ្រប់ \(x \geq 2\) គេបាន \(1 - \dfrac{1}{x} < 1 \implies \ln\left(1 - \dfrac{1}{x}\right) < 0 \implies -2\ln\left(1 - \dfrac{1}{x}\right) > 0\) ដូច្នេះក្រាប \((C)\) ស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ \((L)\) ជានិច្ច ៖

     \[A = \int_2^4 [f(x) - (x - 1)]\,dx = -2 \int_2^4 \ln\left(\frac{x-1}{x}\right) dx = 2 \int_2^4 [\ln x - \ln(x-1)]\,dx\]

   • ព្រីមីទីវនៃ \(\ln u\) គឺ \(u\ln u - u\) ៖

     \[\int [\ln x - \ln(x-1)]\,dx = [x\ln x - x] - [(x-1)\ln(x-1) - (x-1)] = x\ln x - (x-1)\ln(x-1) - 1\]

   • ជំនួសព្រំដែនពី \(2\) ដល់ \(4\) ៖

     \[\begin{aligned} \left[ x\ln x - (x-1)\ln(x-1) \right]_2^4 &= (4\ln 4 - 3\ln 3) - (2\ln 2 - 1\ln 1) \\ &= (8\ln 2 - 3\ln 3) - 2\ln 2 = 6\ln 2 - 3\ln 3 \end{aligned}\]
     \[A = 2(6\ln 2 - 3\ln 3) = 12\ln 2 - 6\ln 3\]
     ជំនួស \(\ln 2 \approx 0.7, \ln 3 \approx 1.1\) ៖
     \[A = 12(0.7) - 6(1.1) = 8.4 - 6.6 = \mathbf{1.8} \implies \mathbf{\boxed{A = 1.8 \text{ ឯកតាក្រឡាផ្ទៃ}}}\]

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងរកអាស៊ីមតូតឈរ ៖

   • \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\frac{-\infty}{2} + \ln 1 = +\infty\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\frac{+\infty}{2} + \ln 1 = -\infty\) ។

   • កាលណា \(x \to 0^-\) គេបាន \(\dfrac{x-1}{x} \to \dfrac{-1}{0^-} = +\infty \implies \lim_{x\to 0^-} f(x) = 0 + \infty = +\infty\) ៖

     \[\mathbf{\boxed{x = 0 \text{ (អ័ក្ស } Oy\text{) ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\]

   • កាលណា \(x \to 1^+\) គេបាន \(\dfrac{x-1}{x} \to \dfrac{0^+}{1} = 0^+ \implies \lim_{x\to 1^+} f(x) = -\frac{1}{2} + (-\infty) = -\infty\) ៖

     \[\mathbf{\boxed{x = 1 \text{ ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\]

2. គណនាដេរីវេ តម្លៃបរមា និងតារាងអថេរភាព ៖

   • ដេរីវេនៃ \(f(x) = -\dfrac{x}{2} + \ln(x-1) - \ln x\) ៖

     \[f'(x) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{x(x-1)} = \frac{-x(x-1) + 2}{2x(x-1)} = \frac{-(x^2 - x - 2)}{2x(x-1)}\]
     \[f'(x) = \frac{-(x-2)(x+1)}{2x(x-1)}\]

   • លើដែនកំណត់ \(D\) ភាគបែង \(2x(x-1) > 0\) ជានិច្ច ដូច្នេះសញ្ញានៃ \(f'(x)\) ដូចសញ្ញាភាគយក \(-(x-2)(x+1)\) ៖

     \[f'(x) = 0 \iff x = -1 \quad{} \text{ឬ} \quad{} x = 2\]

     • ចំពោះ \(x \in (-\infty, -1)\) ៖ \(f'(x) < 0\) (ចុះ) ។

     • ចំពោះ \(x \in (-1, 0)\) ៖ \(f'(x) > 0\) (កើន) ។

     • ចំពោះ \(x \in (1, 2)\) ៖ \(f'(x) > 0\) (កើន) ។

     • ចំពោះ \(x \in (2, +\infty)\) ៖ \(f'(x) < 0\) (ចុះ) ។

   • តម្លៃបរមាធៀប ៖

     • អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = -1\) ៖ \(f(-1) = \dfrac{1}{2} + \ln\left(\dfrac{-2}{-1}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2} + \ln 2} \approx 0.5 + 0.7 = \mathbf{1.2}\) ។

     • អតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) ៖ \(f(2) = -1 + \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = \mathbf{-1 - \ln 2} \approx -1 - 0.7 = \mathbf{-1.7}\) ។

   

3. អាស៊ីមតូតទ្រេត \((L)\) ៖

   \[\lim_{x\to \pm\infty} \left[f(x) - \left(-\frac{x}{2}\right)\right] = \lim_{x\to \pm\infty} \ln\left(\frac{x-1}{x}\right) = \ln 1 = 0\]
   ដូច្នេះបន្ទាត់ \(\mathbf{\boxed{(L): y = -\frac{x}{2} \text{ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង } \pm\infty}}\) ។

4. សង់ក្រាប និងពិភាក្សាឫសអវិជ្ជមានពីរផ្សេងគ្នា ៖

   

   • ស្វែងរកតម្លៃ \(a\) ៖
     ឫសអវិជ្ជមាននៃសមីការជាអាប់ស៊ីសនៃចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប \((C)\) លើចន្លោះ \((-\infty, 0)\) ជាមួយបន្ទាត់ដេក \(y = a\) ។
     លើចន្លោះ \((-\infty, 0)\) អនុគមន៍ចុះពី \(+\infty\) ដល់តម្លៃអប្បបរមា \(\dfrac{1}{2} + \ln 2\) រួចកើនឡើងទៅ \(+\infty\) វិញ ។
     ដូច្នេះបន្ទាត់ \(y = a\) កាត់ខ្នែងខាងឆ្វេង (\(x < 0\)) ត្រង់ ២ ចំណុចផ្សេងគ្នា លុះត្រាតែ ៖

     \[\mathbf{\boxed{a > \frac{1}{2} + \ln 2 \approx 1.2}}\]

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងរកសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេត ៖

   • កាលណា \(x \to -\infty\) គេបាន \(e^x \to 0 \implies \dfrac{4e^x}{e^x+1} \to 0\) ៖

     \[\lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty - 2 + 0 = +\infty\]
     ហើយ \(\lim_{x\to -\infty} [f(x) - (-x - 2)] = \lim_{x\to -\infty} \dfrac{4e^x}{e^x+1} = 0\) ៖
     ដូច្នេះបន្ទាត់ \(\mathbf{\boxed{(d_1): y = -x - 2 \text{ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង } -\infty}}\) ។

   • កាលណា \(x \to +\infty\) គេបាន \(\dfrac{4e^x}{e^x+1} = \dfrac{4}{1 + e^{-x}} \to 4\) ៖

     \[\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty - 2 + 4 = -\infty\]
     ម៉្យាងទៀត \(f(x) - (-x + 2) = \dfrac{4e^x}{e^x+1} - 4 = \dfrac{-4}{e^x+1} \to 0\) ៖
     ដូច្នេះបន្ទាត់ \(\mathbf{\boxed{(d_2): y = -x + 2 \text{ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង } +\infty}}\) ។

2. គណនាដេរីវេ និងសង់តារាងអថេរភាព ៖

   • ដេរីវេ ៖

     \[f'(x) = -1 + \frac{4e^x(e^x+1) - 4e^x \cdot e^x}{(e^x+1)^2} = -1 + \frac{4e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{-(e^x+1)^2 + 4e^x}{(e^x+1)^2}\]
     \[f'(x) = \frac{-(e^{2x} + 2e^x + 1 - 4e^x)}{(e^x+1)^2} = \frac{-(e^{2x} - 2e^x + 1)}{(e^x+1)^2} = -\frac{(e^x - 1)^2}{(e^x+1)^2}\]

   • ដោយសារ \((e^x - 1)^2 \geq 0\) និង \((e^x+1)^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) គេទាញបាន ៖

     \[f'(x) \leq 0 \quad{} \text{ចំពោះគ្រប់ } x \in \mathbb{R}\]

   • ត្រង់ \(x = 0\) ៖ \(f'(0) = -\dfrac{(1 - 1)^2}{(1+1)^2} = \mathbf{0}\) និង \(f(0) = -0 - 2 + \dfrac{4(1)}{1+1} = -2 + 2 = \mathbf{0}\) ។

   • ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើ \(\mathbb{R}\) ។

   

3. ចំណុចរបត់ និងផ្ចិតឆ្លុះ ៖

   • ដេរីវេទីពីរ \(f''(x)\) ៖

     \[f''(x) = \left( -1 + 4e^x(e^x+1)^{-2} \right)' = 4e^x(e^x+1)^{-2} - 8e^{2x}(e^x+1)^{-3} = \frac{4e^x(1 - e^x)}{(e^x+1)^3}\]
     \(f''(x) = 0 \iff 1 - e^x = 0 \iff x = 0\) ហើយ \(f''(x)\) ប្តូរសញ្ញាពីវិជ្ជមាន (\(x < 0\)) ទៅអវិជ្ជមាន (\(x > 0\)) ត្រង់ \(x = 0\) ដូច្នេះចំណុច \(O(0, 0)\) ជាចំណុចរបត់ ។

   • ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(f(-x) + f(x)\) ៖

     \[f(-x) = x - 2 + \frac{4e^{-x}}{e^{-x}+1} = x - 2 + \frac{4}{1+e^x}\]
     \[f(-x) + f(x) = (x - 2) + (-x - 2) + \frac{4 + 4e^x}{1+e^x} = -4 + 4 = 0 = 2 \cdot 0\]
     ដូច្នេះ \(O(0, 0)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃខ្សែកោង \((C)\) ។

4. គណនា \(f(3)\) សង់ក្រាប និងដោះស្រាយវិសមីការ ៖

   • \(f(3) = -3 - 2 + \dfrac{4e^3}{e^3+1} \approx -5 + \dfrac{4(20)}{20+1} = -5 + \dfrac{80}{21} = -\dfrac{25}{21} \approx \mathbf{-1.19}\) ។

   

   • ដោះស្រាយវិសមីការ \(\dfrac{4e^x}{e^x+1} \geq x + 2\) ៖
     វិសមីការសមមូលនឹង ៖

     \[-x - 2 + \frac{4e^x}{e^x+1} \geq 0 \iff f(x) \geq 0\]
     តាមក្រាប \((C)\) និងតារាងអថេរភាព \(f(x) \geq 0\) កាលណាខ្សែកោងស្ថិតនៅខាងលើ ឬកាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីស ដែលត្រូវនឹង \(x \leq 0\) ។
     ដូច្នេះសំណុំចម្លើយនៃវិសមីការគឺ \(\mathbf{\boxed{S = (-\infty, 0]}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងរកអាស៊ីមតូតឈរ ៖

   • \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \left(-x - 4 \cdot \frac{\ln x}{x}\right) = 0 - 4(-\infty) = +\infty\) ៖

     \[\mathbf{\boxed{x = 0 \text{ (អ័ក្ស } Oy\text{) ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\]

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \left(-x - \frac{4\ln x}{x}\right) = -\infty - 0 = -\infty\) ។

2. អាស៊ីមតូតទ្រេត \((L)\) និងទីតាំងធៀប ៖

   • \(\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (-x)] = \lim_{x\to +\infty} \left(-\frac{4\ln x}{x}\right) = 0 \implies \mathbf{\boxed{(L): y = -x \text{ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង } +\infty}}\) ។

   • ពិនិត្យសញ្ញានៃ \(f(x) - (-x) = -\dfrac{4\ln x}{x}\) លើ \((0, +\infty)\) ៖

     • បើ \(0 < x < 1\) ៖ \(\ln x < 0 \implies f(x) - (-x) > 0 \implies (C)\) ស្ថិតនៅខាងលើ \((L)\) ។

     • បើ \(x = 1\) ៖ \(f(1) - (-1) = 0 \implies (C)\) កាត់ \((L)\) ត្រង់ចំណុច \((1, -1)\) ។

     • បើ \(x > 1\) ៖ \(\ln x > 0 \implies f(x) - (-x) < 0 \implies (C)\) ស្ថិតនៅខាងក្រោម \((L)\) ។

3. ដេរីវេ តារាងអថេរភាព និងបន្ទាត់ប៉ះ \((D)\) ៖

   • ដេរីវេ ៖

     \[f'(x) = -1 - 4 \cdot \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} = -1 - \frac{4(1 - \ln x)}{x^2} = \frac{-x^2 - 4 + 4\ln x}{x^2} = -\frac{x^2 + 4 - 4\ln x}{x^2}\]

   • ដោយ \(x^2 + 4 - 4\ln x > 0\) និង \(x^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) គេបាន ៖

     \[f'(x) < 0 \quad{} \text{ចំពោះគ្រប់ } x > 0 \implies f \text{ ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើ } (0, +\infty)\]

   

   • បន្ទាត់ \((D)\) ស្របនឹង \((L): y = -x\) មានន័យថាមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(-1\) ៖

     \[f'(x_A) = -1 \iff -\frac{x_A^2 + 4 - 4\ln x_A}{x_A^2} = -1 \iff 4 - 4\ln x_A = 0 \iff \ln x_A = 1 \iff x_A = e\]

   • អរដោនេ ៖ \(y_A = f(e) = -e - \dfrac{4\ln e}{e} = -e - \dfrac{4}{e} \approx -2.7 - 1.5 = \mathbf{-4.2}\) ៖

     \[\mathbf{\boxed{A\left(e, -e - \frac{4}{e}\right)}}\]

   • សមីការបន្ទាត់ \((D)\) ៖

     \[y - y_A = -1(x - x_A) \iff y - \left(-e - \frac{4}{e}\right) = -(x - e) \iff \mathbf{\boxed{y = -x - \frac{4}{e}}}\]

4. សង់ក្រាប និងគណនាតម្លៃ \(a\) ៖

   

   • គណនាតម្លៃ \(a\) ៖
     ចំពោះ \(x \in [1, a]\) (ដោយ \(a > 1\)) ក្រាប \((C)\) ស្ថិតនៅខាងក្រោម \((L)\) ៖

     \[S(a) = \int_1^a [-x - f(x)]\,dx = \int_1^a \frac{4\ln x}{x}\,dx = \left[ 2(\ln x)^2 \right]_1^a = 2(\ln a)^2 - 0 = 2(\ln a)^2\]
     \[S(a) = 2 \iff 2(\ln a)^2 = 2 \iff (\ln a)^2 = 1 \iff \ln a = 1 \quad{} (\text{ព្រោះ } a > 1) \iff \mathbf{\boxed{a = e}}\]

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងរកអាស៊ីមតូត ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(D = (0, +\infty)\) ។

   • \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \left(\frac{1}{x^2} \cdot \ln x\right) = (+\infty)(-\infty) = -\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0 \text{ ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} = 0 \implies \mathbf{\boxed{y = 0 \text{ (អ័ក្ស } Ox\text{) ជាអាស៊ីមតូតដេក}}}\) ។

2. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖

   • \(f'(x) = \dfrac{(\ln x)' \cdot x^2 - (\ln x)(x^2)'}{(x^2)^2} = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - 2x\ln x}{x^4} = \dfrac{x(1 - 2\ln x)}{x^4} = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}\) ។

   • ដោយ \(x^3 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) ៖

     \[f'(x) = 0 \iff 1 - 2\ln x = 0 \iff \ln x = \frac{1}{2} \iff x = e^{1/2} = \sqrt{e}\]

     • បើ \(0 < x < \sqrt{e}\) ៖ \(1 - 2\ln x > 0 \implies f'(x) > 0\) (កើន) ។

     • បើ \(x > \sqrt{e}\) ៖ \(1 - 2\ln x < 0 \implies f'(x) < 0\) (ចុះ) ។

   • ដូច្នេះ \(f\) មានតម្លៃអតិបរមាដាច់ខាតត្រង់ \(x = \sqrt{e}\) គឺ ៖

     \[f(\sqrt{e}) = \frac{\ln(e^{1/2})}{(\sqrt{e})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{e} = \mathbf{\frac{1}{2e}} \approx \mathbf{0.184}\]

   

3. សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((d)\) និងសង់ក្រាប ៖

   • មេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(f'(1) = \dfrac{1 - 2\ln 1}{1^3} = \dfrac{1 - 0}{1} = 1\) ។

   • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((d)\) ត្រង់ \(M(1, 0)\) ៖

     \[y - 0 = 1(x - 1) \iff \mathbf{\boxed{y = x - 1}}\]

   

ដំណោះស្រាយ

1. លីមីត និងអាស៊ីមតូត ៖

   • \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0 \text{ ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = 1 \implies \mathbf{\boxed{y = 1 \text{ ជាអាស៊ីមតូតដេក}}}\) ។

2. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖ \(f'(x) = \dfrac{2(\ln x - 1)}{x^2}\) ។ \(f'(x) = 0 \iff x = e\) ។ អប្បបរមា \(f(e) = 1 - \dfrac{2}{e} \approx 0.26\) ។

   

3. សង់ក្រាប \((C)\) ក្នុងតម្រុយតែមួយ ៖

   

4. គណនាក្រឡាផ្ទៃផ្នែកប្លង់ ៖
   ចំពោះ \(x \in [1, e]\) ក្រាប \((C)\) ស្ថិតនៅខាងក្រោមអាស៊ីមតូតដេក \(y = 1\) ៖

   \[S = \int_1^e [1 - f(x)]\,dx = \int_1^e \frac{2\ln x}{x}\,dx = \left[ (\ln x)^2 \right]_1^e = (\ln e)^2 - (\ln 1)^2 = 1 - 0 = \mathbf{1}\]
   ដូច្នេះ \(\mathbf{\boxed{S = 1 \text{ ឯកតាក្រឡាផ្ទៃ}}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងរកសមីការអាស៊ីមតូត ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(D = (0, +\infty)\) ។

   • \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = 2 + \lim_{x\to 0^+} \left(\frac{1}{x^2} \cdot \ln x\right) = 2 + (+\infty)(-\infty) = -\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0 \text{ ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = 2 + \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} = 2 + 0 = \mathbf{2} \implies \mathbf{\boxed{y = 2 \text{ ជាអាស៊ីមតូតដេក}}}\) ។

2. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖

   • \(f'(x) = 0 + \dfrac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - (\ln x)(2x)}{x^4} = \dfrac{x(1 - 2\ln x)}{x^4} = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}\) ។

   • ដោយ \(x^3 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) ៖

     \[f'(x) = 0 \iff 1 - 2\ln x = 0 \iff \ln x = \frac{1}{2} \iff x = e^{0.5} = \sqrt{e} \approx 1.65\]

     • បើ \(0 < x < e^{0.5}\) ៖ \(f'(x) > 0\) (អនុគមន៍កើន) ។

     • បើ \(x > e^{0.5}\) ៖ \(f'(x) < 0\) (អនុគមន៍ចុះ) ។

   • អតិបរមាធៀប ៖ \(f(e^{0.5}) = 2 + \dfrac{0.5}{e} = \mathbf{2 + \frac{1}{2e}} \approx 2 + 0.18 = \mathbf{2.18}\) ។

   

3. ចំណុចប្រសព្វ \(I\) និងសង់ក្រាប \((C)\) ៖

   • \(f(x) = 2 \iff 2 + \dfrac{\ln x}{x^2} = 2 \iff \ln x = 0 \iff x = 1 \implies \mathbf{\boxed{I(1, 2)}}\) ។

   

4. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ ៖
   ចំពោះ \(x \in [1, e^{0.5}]\) ក្រាប \((C)\) ស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ \(y = 2\) ៖

   \[S = \int_1^{e^{0.5}} [f(x) - 2]\,dx = \int_1^{e^{0.5}} \frac{\ln x}{x^2}\,dx\]
   អនុវត្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក ៖ តាង \(u = \ln x \implies du = \dfrac{dx}{x}\) និង \(dv = \dfrac{dx}{x^2} \implies v = -\dfrac{1}{x}\) ៖
   \[\int \frac{\ln x}{x^2}\,dx = -\frac{\ln x}{x} - \int \left(-\frac{1}{x^2}\right) dx = -\frac{\ln x + 1}{x}\]
   \[S = \left[ -\frac{\ln x + 1}{x} \right]_1^{e^{0.5}} = -\frac{0.5 + 1}{e^{0.5}} - \left(-\frac{0 + 1}{1}\right) = 1 - \frac{1.5}{e^{0.5}} \approx 1 - \frac{1.5}{1.65} = 1 - \frac{10}{11} = \frac{1}{11} \approx \mathbf{0.091}\]
   ដូច្នេះ \(\mathbf{\boxed{S = 1 - \frac{1.5}{\sqrt{e}} \approx 0.09 \text{ ឯកតាក្រឡាផ្ទៃ}}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. សិក្សាអនុគមន៍ជំនួយ \(h(x)\) ៖

   • \(h(1) = -1 + 1 - 2\ln 1 = 0 - 0 = \mathbf{0}\) ៖ \(\mathbf{\boxed{h(1) = 0}}\) ។

   • ដេរីវេ ៖ \(h'(x) = -1 - \dfrac{2}{x} = \dfrac{-x - 2}{x} = -\dfrac{x + 2}{x}\) ។

   • ចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) គេបាន \(x + 2 > 0\) និង \(x > 0 \implies h'(x) < 0\) ជានិច្ច ។
     ដូច្នេះ \(h\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើ \((0, +\infty)\) ។

   • ទាញរកសញ្ញានៃ \(h(x)\) ៖

     • បើ \(0 < x < 1\) នោះ \(h(x) > h(1) = 0 \implies h(x) > 0\) ។

     • បើ \(x > 1\) នោះ \(h(x) < h(1) = 0 \implies h(x) < 0\) ។

2. សិក្សាអនុគមន៍ \(f(x)\) ៖

   1. គណនាលីមីត ៖

      • \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \left(\frac{1}{x} + \frac{\ln x}{x^2}\right) = \lim_{x\to 0^+} \frac{x + \ln x}{x^2}\) ៖
        ដោយ \(x + \ln x \to -\infty\) និង \(x^2 \to 0^+\) នោះ \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = -\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0 \text{ ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\) ។

      • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \left(\frac{1}{x} + \frac{\ln x}{x^2}\right) = 0 + 0 = \mathbf{0} \implies \mathbf{\boxed{y = 0 \text{ ជាអាស៊ីមតូតដេក}}}\) ។

   2. គណនាដេរីវេ \(f'(x)\) ៖

      \[f'(x) = \frac{(x + \ln x)' \cdot x^2 - (x + \ln x)(x^2)'}{x^4} = \frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)x^2 - 2x(x + \ln x)}{x^4}\]
      \[f'(x) = \frac{x^2 + x - 2x^2 - 2x\ln x}{x^4} = \frac{x(-x + 1 - 2\ln x)}{x^4} = \frac{-x + 1 - 2\ln x}{x^3} = \frac{h(x)}{x^3}\]

   3. សញ្ញានៃ \(f'(x)\) ៖
      ដោយ \(x^3 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in I = (0, +\infty)\) គេទាញបាន ៖

      \[\mathbf{\boxed{f'(x) \text{ មានសញ្ញាដូច } h(x) \text{ លើចន្លោះ } I}}\]

   4. អថេរភាព និងសង់ក្រាប \((C)\) ៖

      • \(f'(x) = 0 \iff h(x) = 0 \iff x = 1\) ។

      • លើ \((0, 1)\) ៖ \(f'(x) > 0 \implies f\) កើនដាច់ខាត ។

      • លើ \((1, +\infty)\) ៖ \(f'(x) < 0 \implies f\) ចុះដាច់ខាត ។

      • អតិបរមាធៀប ៖ \(f(1) = \dfrac{1 + \ln 1}{1^2} = \mathbf{1}\) ។

      
      

ដំណោះស្រាយ

1. សិក្សាអនុគមន៍ \(g(x) = x^2 + \ln x\) ៖

   1. \(g'(x) = 2x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{2x^2 + 1}{x}\) ។ ដោយ \(x > 0 \implies g'(x) > 0\) ជានិច្ច ដូច្នេះ \(g\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ \((0, +\infty)\) ។
      គណនា \(g(1) = 1^2 + \ln 1 = 1 + 0 = \mathbf{1}\) ៖ \(\mathbf{\boxed{g(1) = 1}}\) ។

   2. ដោយ \(g\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាត ៖

      • បើ \(x \geq 1 \implies g(x) \geq g(1) \iff x^2 + \ln x \geq 1\) ។

      • បើ \(0 < x \leq 1 \implies g(x) \leq g(1) \iff x^2 + \ln x \leq 1\) ។

   3. សញ្ញានៃ \(x^2 + \ln x - 1\) ៖

      • បើ \(0 < x < 1\) នោះ \(x^2 + \ln x - 1 < 0\) (សញ្ញាដក) ។

      • បើ \(x = 1\) នោះ \(x^2 + \ln x - 1 = 0\) ។

      • បើ \(x > 1\) នោះ \(x^2 + \ln x - 1 > 0\) (សញ្ញាបូក) ។

2. សិក្សាអនុគមន៍ \(f(x) = x + 1 - \dfrac{\ln x}{x}\) ៖

   1. លីមីត ៖

      • \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0 + 1 - \lim_{x\to 0^+} \left(\frac{1}{x} \cdot \ln x\right) = 1 - (-\infty) = +\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 0 \text{ ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\) ។

      • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \left(x + 1 - \frac{\ln x}{x}\right) = +\infty + 1 - 0 = +\infty\) ។

   2. គណនាដេរីវេ ៖

      \[f'(x) = 1 + 0 - \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} = 1 - \frac{1 - \ln x}{x^2} = \frac{x^2 - 1 + \ln x}{x^2} = \mathbf{\boxed{\frac{x^2 + \ln x - 1}{x^2}}}\]

   3. សញ្ញា \(f'(x)\) និងតារាងអថេរភាព ៖ ដោយ \(x^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) នោះសញ្ញា \(f'(x)\) ដូចសញ្ញាភាគយក \(x^2 + \ln x - 1\) ៖

      • \(f'(x) = 0 \iff x = 1\) ។

      • លើ \((0, 1)\) ៖ \(f'(x) < 0 \implies f\) ចុះដាច់ខាត ។

      • លើ \((1, +\infty)\) ៖ \(f'(x) > 0 \implies f\) កើនដាច់ខាត ។

      តម្លៃអប្បបរមាធៀប ៖ \(f(1) = 1 + 1 - \dfrac{\ln 1}{1} = \mathbf{2}\) ។

      

   4. អាស៊ីមតូតទ្រេត \(\Delta\) ទីតាំងធៀប និងសង់ក្រាប ៖

      • \(\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (x + 1)] = \lim_{x\to +\infty} \left(-\frac{\ln x}{x}\right) = 0 \implies \mathbf{\boxed{\Delta: y = x + 1 \text{ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត}}}\) ។

      • ទីតាំងធៀប ៖ ពិនិត្យ \(f(x) - (x + 1) = -\dfrac{\ln x}{x}\) ៖

        • លើ \((0, 1)\) ៖ \(\ln x < 0 \implies -\dfrac{\ln x}{x} > 0 \implies (C)\) នៅខាងលើ \(\Delta\) ។

        • ត្រង់ \(x = 1\) ៖ កាត់គ្នាត្រង់ចំណុច \(\mathbf{\boxed{I(1, 2)}}\) ។

        • លើ \((1, +\infty)\) ៖ \(\ln x > 0 \implies -\dfrac{\ln x}{x} < 0 \implies (C)\) នៅខាងក្រោម \(\Delta\) ។

      

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត ៖

   • កាលណា \(x \to 1^+\) គេបាន \(\dfrac{x+1}{x-1} \to \dfrac{2}{0^+} = +\infty \implies \ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) \to +\infty\) ៖

     \[\lim_{x\to 1^+} f(x) = -1 + 4 + (+\infty) = +\infty \implies \mathbf{\boxed{x = 1 \text{ ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\]

   • កាលណា \(x \to +\infty\) គេបាន \(\dfrac{x+1}{x-1} \to 1 \implies \ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) \to 0\) ៖

     \[\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty + 4 + 0 = -\infty\]

2. គណនាដេរីវេ និងសង់តារាងអថេរភាព ៖

   • សរសេរ \(f(x) = -x + 4 + \ln(x+1) - \ln(x-1)\) ៖

     \[f'(x) = -1 + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} = -1 + \frac{(x-1) - (x+1)}{(x+1)(x-1)} = -1 - \frac{2}{x^2 - 1} = \mathbf{\boxed{-\frac{x^2 + 1}{(x+1)(x-1)}}}\]

   • ដោយសារចំពោះគ្រប់ \(x > 1\) គេបាន \(x^2 + 1 > 0\) និង \((x+1)(x-1) = x^2 - 1 > 0\) នោះ ៖

     \[f'(x) < 0 \quad{} \text{ចំពោះគ្រប់ } x \in (1, +\infty)\]
     ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើចន្លោះ \((1, +\infty)\) ។

   

3. អាស៊ីមតូតទ្រេត \(d_1\) និងទីតាំងធៀប ៖

   • \(\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (-x + 4)] = \lim_{x\to +\infty} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \ln 1 = 0 \implies \mathbf{\boxed{d_1: y = -x + 4 \text{ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត}}}\) ។

   • ចំពោះគ្រប់ \(x > 1\) គេមាន \(\dfrac{x+1}{x-1} = \dfrac{(x-1) + 2}{x-1} = 1 + \dfrac{2}{x-1} > 1\) ។

   • ដោយសារ \(\dfrac{x+1}{x-1} > 1 \implies \ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) > 0 \implies f(x) - (-x + 4) > 0\) ៖
     ដូច្នេះក្រាប \((C)\) ស្ថិតនៅខាងលើអាស៊ីមតូតទ្រេត \(d_1\) ជានិច្ច ។

4. ចំណុច \(B\) និងសមីការបន្ទាត់ប៉ះ \(d_2\) ៖

   • មេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(-\dfrac{5}{3}\) ៖

     \[f'(x_0) = -\frac{5}{3} \iff -\frac{x_0^2 + 1}{x_0^2 - 1} = -\frac{5}{3} \iff 3(x_0^2 + 1) = 5(x_0^2 - 1)\]
     \[3x_0^2 + 3 = 5x_0^2 - 5 \iff 2x_0^2 = 8 \iff x_0^2 = 4 \iff x_0 = 2 \quad{} (\text{ព្រោះ } x_0 > 1)\]

   • អរដោនេនៃ \(B\) ៖ \(y_0 = f(2) = -2 + 4 + \ln\left(\dfrac{3}{1}\right) = \mathbf{2 + \ln 3} \approx 2 + 1.1 = \mathbf{3.1}\) ៖

     \[\mathbf{\boxed{B(2, 2 + \ln 3)}}\]

   • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \(d_2\) ត្រង់ \(B\) ៖

     \[y - (2 + \ln 3) = -\frac{5}{3}(x - 2) \iff y = -\frac{5}{3}x + \frac{10}{3} + 2 + \ln 3 \iff \mathbf{\boxed{y = -\frac{5}{3}x + \frac{16}{3} + \ln 3}}\]
     (តម្លៃប្រហែល ៖ \(y \approx -1.67x + 6.43\)) ។

5. សង់ក្រាប \((C)\) អាស៊ីមតូត \(d_1\) និងបន្ទាត់ប៉ះ \(d_2\) ៖

   

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងរកអាស៊ីមតូត ៖

   • \(\lim_{x\to -\infty} \frac{e^x}{x} = \frac{0}{-\infty} = \mathbf{0} \implies \mathbf{\boxed{y = 0 \text{ (អ័ក្ស } Ox\text{) ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង } -\infty}}\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty\) (លីមីតគ្រឹះ) ។

   • \(\lim_{x\to 0^-} \frac{e^x}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty\) និង \(\lim_{x\to 0^+} \frac{e^x}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty\) ៖
     ដូច្នេះ \(\mathbf{\boxed{x = 0 \text{ (អ័ក្ស } Oy\text{) ជាអាស៊ីមតូតឈរ}}}\) ។

2. ដេរីវេ តម្លៃអប្បបរមា និងតារាងអថេរភាព ៖

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = \dfrac{(e^x)' \cdot x - e^x(x)'}{x^2} = \dfrac{e^x \cdot x - e^x}{x^2} = \dfrac{e^x(x - 1)}{x^2}\) ។

   • ដោយ \(e^x > 0\) និង \(x^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \neq 0\) នោះសញ្ញា \(f'(x)\) ដូចសញ្ញា \(x - 1\) ៖

     \[f'(x) = 0 \iff x - 1 = 0 \iff x = 1\]

     • លើ \((-\infty, 0)\) ៖ \(x - 1 < 0 \implies f'(x) < 0\) (ចុះ) ។

     • លើ \((0, 1)\) ៖ \(x - 1 < 0 \implies f'(x) < 0\) (ចុះ) ។

     • លើ \((1, +\infty)\) ៖ \(x - 1 > 0 \implies f'(x) > 0\) (កើន) ។

   • លើចន្លោះ \((0, +\infty)\) អនុគមន៍ចុះពី \(+\infty\) ដល់ \(x=1\) រួចកើនឡើងទៅ \(+\infty\) វិញ ដូច្នេះ \(f\) មានតម្លៃអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 1\) គឺ ៖

     \[f(1) = \frac{e^1}{1} = \mathbf{e} \approx \mathbf{2.72}\]

   

3. បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(x_0 = 1\) ៖
   មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះគឺ \(f'(1) = \dfrac{e^1(1 - 1)}{1^2} = 0\) ។
   សមីការបន្ទាត់ប៉ះគឺ \(y - f(1) = 0(x - 1) \iff \mathbf{\boxed{y = e}}\) ។
   ដោយសារបន្ទាត់នេះមានទម្រង់ \(y = \) ថេរ នោះវាជាបន្ទាត់ដេកស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស \((Ox)\) ។

4. សង់ក្រាប \((C)\) និងពិភាក្សាឫសសមីការ \(e^x - mx = 0\) ៖

   

   • កំណត់តម្លៃ \(m\) ៖
     សមីការ \(e^x - mx = 0\) ៖

     • បើ \(x = 0\) ៖ \(e^0 - 0 = 1 \neq 0\) ដូច្នេះ \(x = 0\) មិនមែនជាឫសឡើយ ។

     • ចំពោះ \(x \neq 0\) ៖ \(e^x - mx = 0 \iff \dfrac{e^x}{x} = m \iff f(x) = m\) ។

     ឫសនៃសមីការជាអាប់ស៊ីសនៃចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប \((C)\) និងបន្ទាត់ដេក \(y = m\) ៖

     • ចំពោះ \(x < 0\) ៖ តម្លៃនៃ \(f(x)\) ស្ថិតក្នុងចន្លោះ \((-\infty, 0)\) ដូច្នេះបន្ទាត់ \(y = m\) តែងតែកាត់ \((C)\) ត្រង់មួយចំណុចជានិច្ច កាលណា \(m < 0\) ។

     • ចំពោះ \(x > 0\) ៖ តម្លៃនៃ \(f(x)\) ស្ថិតក្នុងចន្លោះ \([e, +\infty)\) ដូច្នេះបន្ទាត់ \(y = m\) កាត់ \((C)\) កាលណា \(m \geq e\) ។

     • ចំពោះ \(0 \leq m < e\) ៖ បន្ទាត់ \(y = m\) មិនកាត់ក្រាប \((C)\) ឡើយ ។

     ដូចនេះ សមីការមានឫសលុះត្រាតែ ៖

     \[\mathbf{\boxed{m < 0 \quad{} \text{ឬ} \quad{} m \geq e \iff m \in (-\infty, 0) \cup [e, +\infty)}}\]

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងរកសមីការអាស៊ីមតូត ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R}\) ។

   • \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} (2x + 1)e^{-2x} = (-\infty)(+\infty) = -\infty\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \left(\frac{2x}{e^{2x}} + \frac{1}{e^{2x}}\right) = 0 + 0 = \mathbf{0}\) (តាមលីមីតគ្រឹះ \(\lim_{u\to +\infty} \frac{u}{e^u} = 0\)) ៖
     ដូច្នេះ \(\mathbf{\boxed{y = 0 \text{ (អ័ក្ស } Ox\text{) ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង } +\infty}}\) ។

2. ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាព ៖

   • អនុវត្តរូបមន្ត \((uv)' = u'v + uv'\) ៖

     \[f'(x) = (2x + 1)' \cdot e^{-2x} + (2x + 1)(e^{-2x})' = 2e^{-2x} + (2x + 1)(-2e^{-2x})\]
     \[f'(x) = 2e^{-2x}[1 - (2x + 1)] = 2e^{-2x}(-2x) = \mathbf{\boxed{-4x e^{-2x}}}\]

   • ដោយសារ \(e^{-2x} > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) នោះសញ្ញា \(f'(x)\) ដូចសញ្ញា \(-4x\) ៖

     \[f'(x) = 0 \iff -4x = 0 \iff x = 0\]

     • បើ \(x < 0\) ៖ \(-4x > 0 \implies f'(x) > 0\) (អនុគមន៍កើន) ។

     • បើ \(x > 0\) ៖ \(-4x < 0 \implies f'(x) < 0\) (អនុគមន៍ចុះ) ។

   • អនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាដាច់ខាតត្រង់ \(x = 0\) គឺ ៖

     \[f(0) = (2(0) + 1)e^0 = 1 \cdot 1 = \mathbf{1}\]

   

3. ចំណុចប្រសព្វ \(A\) និងសិក្សាសញ្ញានៃ \(f(x)\) ៖

   • \(f(x) = 0 \iff (2x + 1)e^{-2x} = 0 \iff 2x + 1 = 0 \iff x = -\dfrac{1}{2}\) ៖
     ដូច្នេះចំណុចប្រសព្វនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីសគឺ \(\mathbf{\boxed{A\left(-\frac{1}{2}, 0\right)}}\) ។

   • ដោយ \(e^{-2x} > 0\) ជានិច្ច នោះសញ្ញា \(f(x)\) ដូចសញ្ញា \(2x + 1\) ៖

     • បើ \(x < -\dfrac{1}{2}\) ៖ \(f(x) < 0\) (ក្រាបនៅខាងក្រោមអ័ក្ស \(Ox\)) ។

     • បើ \(x = -\dfrac{1}{2}\) ៖ \(f(x) = 0\) ។

     • បើ \(x > -\dfrac{1}{2}\) ៖ \(f(x) > 0\) (ក្រាបនៅខាងលើអ័ក្ស \(Ox\)) ។

4. សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) និងសង់ក្រាប \((C)\) ៖

   • មេគុណប្រាប់ទិសត្រង់ \(A\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)\) ៖

     \[f'\left(-\frac{1}{2}\right) = -4\left(-\frac{1}{2}\right)e^{-2(-1/2)} = 2e^1 = \mathbf{2e} \approx \mathbf{5.44}\]

   • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) ត្រង់ \(A\) ៖

     \[y - 0 = 2e\left(x + \frac{1}{2}\right) \iff \mathbf{\boxed{y = 2ex + e}}\]

   

5. កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យសមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា ៖
   សមីការ \((2x + 1)e^{-2x} = m\) មានឫសជាអាប់ស៊ីសនៃចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប \((C)\) និងបន្ទាត់ដេក \(y = m\) ៖
   តាមតារាងអថេរភាព និងក្រាប \((C)\) ៖

   • កាលណា \(x \in (-\infty, 0)\) ៖ \(f(x)\) កើនពី \(-\infty\) ដល់ \(1\) ។

   • កាលណា \(x \in (0, +\infty)\) ៖ \(f(x)\) ចុះពី \(1\) ដល់ \(0\) (មិនប៉ះ \(0\)) ។

   ដូច្នេះ បន្ទាត់ដេក \(y = m\) កាត់ខ្សែកោង \((C)\) ត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា លុះត្រាតែ \(m\) ស្ថិតនៅចន្លោះតម្លៃអប្បបរមាខាងចុង \(0\) និងតម្លៃអតិបរមា \(1\) ៖

   \[\mathbf{\boxed{0 < m < 1}}\]