KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១២
  3. មេរៀនទី ១១
១១
ជំពូកទី ៣ ដេរីវេ · មេរៀនទី ១១ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១២

អនុវត្តន៍ផ្សេងទៀត និងការសិក្សាអនុគមន៍

ដេរីវេ៦ ផ្នែកសំណួរពហុជ្រើសរើស ៥០

ឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងការគណនាតម្លៃប្រហែល

និយមន័យឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ឧបមាថា \(y = f(x)\) ជាអនុគមន៍មានដេរីវេលើចន្លោះ \(I\) ហើយ \(x \in I\)។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែល

  • ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអថេរឯករាជ្យ \(x\)៖ គឺ \(dx = \Delta x\)។

  • ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ \(y\) ត្រង់ \(x\)៖ គឺតាងដោយ \(dy\) ឬ \(df(x)\) ហើយកំណត់ដោយ៖

    \[dy = f'(x) \cdot \Delta x = f'(x)dx\]

ការគណនាតម្លៃប្រហែលលីនេអ៊ែរ (Linear Approximation)

កាលណា \(\Delta x\) មានតម្លៃកៀកនឹងសូន្យ (\(\Delta x \to 0\)) នោះកំណើននៃអនុគមន៍ \(\Delta y\) មានតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនឹងឌីផេរ៉ង់ស្យែល \(dy\)៖

\[\Delta y \approx dy \iff f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0)\Delta x\]

ជាទូទៅ

រូបមន្តតម្លៃប្រហែល៖

\[f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x\]

សម្រាយបញ្ជាក់៖ តាមនិយមន័យដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f\) ត្រង់ចំណុច \(x_0\) គេមាន៖

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\]
តាមនិយមន័យលីមីត កាលណា \(\Delta x \to 0\) ផលធៀប \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) ខុសគ្នាពី \(f'(x_0)\) ដោយបរិមាណអនន្តតូច \(\alpha(\Delta x)\) មួយ ពោលគឺ៖
\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) + \alpha(\Delta x) \quad{} \text{ដែល } \lim_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) = 0\]
គុណអង្គទាំងពីរនឹង \(\Delta x\) គេបានកំណើននៃអនុគមន៍៖
\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + \alpha(\Delta x)\Delta x\]
ដោយសារឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺ \(dy = f'(x_0)\Delta x\) នោះ \(\Delta y = dy + \alpha(\Delta x)\Delta x\)។ នៅពេល \(\Delta x\) មានតម្លៃតូចបំផុតកៀកនឹងសូន្យ (\(\Delta x \to 0\)) នោះផលគុណ \(\alpha(\Delta x)\Delta x\) ជាអនន្តតូចលំដាប់ខ្ពស់ធៀបនឹង \(\Delta x\) ដែលមានតម្លៃតូចស្ទើរតែស្មើសូន្យ អាចចោលបាន។ នាំឱ្យគេបានតម្លៃប្រហែល \(\Delta y \approx dy\)៖
\[f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0)\Delta x \iff f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x \quad{} \blacksquare\]

កំហុសលម្អៀងធៀប និងភាគរយ (Relative & Percentage Errors)

បើ \(x\) ត្រូវបានវាស់វែងដោយមានកំហុសអតិបរមា \(dx\) (ឬ \(\Delta x\)) នោះ៖

  • កំហុសដាច់ខាត (Absolute Error)៖ \(|\Delta y| \approx |dy| = |f'(x)dx|\)

  • កំហុសធៀប (Relative Error)៖ \(\dfrac{|\Delta y|}{|y|} \approx \dfrac{|dy|}{|y|} = \dfrac{|f'(x)dx|}{|f(x)|}\)

  • កំហុសជាភាគរយ (Percentage Error)៖ \(\dfrac{|dy|}{|y|} \times 100\%\)

ឧទាហរណ៍

ប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហែលនៃ \(\sqrt{26}\) និង \(\sqrt[3]{28}\)។

ដំណោះស្រាយ

  1. ចំពោះ \(\sqrt{26}\)៖ តាង \(f(x) = \sqrt{x} \implies f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)។ ជ្រើសរើស \(x_0 = 25\) និង \(\Delta x = 1\) (\(26 = 25 + 1\))។ គេបាន \(f(25) = \sqrt{25} = 5\) និង \(f'(25) = \dfrac{1}{2\sqrt{25}} = \dfrac{1}{10} = 0.1\)។ តាមរូបមន្ត៖

    \[\sqrt{26} = f(25+1) \approx f(25) + f'(25) \cdot (1) = 5 + 0.1(1) = 5.1\]

  2. ចំពោះ \(\sqrt[3]{28}\)៖ តាង \(f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \implies f'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)។ ជ្រើសរើស \(x_0 = 27\) និង \(\Delta x = 1\) (\(28 = 27 + 1\))។ គេបាន \(f(27) = \sqrt[3]{27} = 3\) និង \(f'(27) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{27^2}} = \dfrac{1}{3 \times 9} = \dfrac{1}{27} \approx 0.037\)។ តាមរូបមន្ត៖

    \[\sqrt[3]{28} \approx 3 + \dfrac{1}{27} \approx 3.037\]

វិសមភាពកំណើនមានកំណត់ (Finite Increment Inequality)

ជាទូទៅ

បើអនុគមន៍ \(f\) ជាប់លើចន្លោះបិទ \([a, b]\) មានដេរីវេលើចន្លោះបើក \((a, b)\) ហើយមានពីរចំនួនពិត \(m\) និង \(M\) ដែល \(m \le f'(x) \le M\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in (a, b)\) នោះ៖

\[m(b - a) \le f(b) - f(a) \le M(b - a)\]

ជាពិសេស បើគ្រប់ \(x \in (a, b), |f'(x)| \le M\) នោះ \(|f(b) - f(a)| \le M |b - a|\)។

សម្រាយបញ្ជាក់៖ ដោយសារអនុគមន៍ \(f\) ជាប់លើ \([a, b]\) និងមានដេរីវេលើ \((a, b)\) តាមទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យម (MVT) មានចំនួនពិត \(c \in (a, b)\) មួយដែល៖

\[\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \iff f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)\]
តាមបម្រាប់ \(m \le f'(x) \le M\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in (a, b)\) ហេតុនេះវិសមភាពនេះក៏ពិតចំពោះ \(x = c \in (a, b)\) ដែរ ពោលគឺ៖
\[m \le f'(c) \le M\]
ដោយសារ \(a < b \implies b - a > 0\) គុណអង្គទាំងបីនៃវិសមភាពនឹង \((b - a)\) (សញ្ញាវិសមភាពមិនប្រែប្រួល) គេបាន៖
\[m(b - a) \le f'(c)(b - a) \le M(b - a)\]
ជំនួស \(f'(c)(b - a) = f(b) - f(a)\) ចូល គេទាញបានវិសមភាពកំណើនមានកំណត់៖
\[m(b - a) \le f(b) - f(a) \le M(b - a)\]
ចំពោះករណីពិសេស៖ បើ \(|f'(x)| \le M \iff -M \le f'(x) \le M\) នោះតាមលទ្ធផលខាងលើ៖
\[-M(b - a) \le f(b) - f(a) \le M(b - a) \iff |f(b) - f(a)| \le M|b - a| \quad{} \blacksquare\]

ឧទាហរណ៍

បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(x > 0\) គេបាន \(\sin x \le x\) និង \(\dfrac{x}{1+x} \le \ln(1+x) \le x\)។

ដំណោះស្រាយ

  1. ពិនិត្យអនុគមន៍ \(f(t) = \sin t\) លើ \([0, x]\) (\(x > 0\))។ អនុគមន៍ \(f\) ជាប់លើ \([0, x]\) និងមានដេរីវេ \(f'(t) = \cos t\)។ ដោយ \(\cos t \le 1\) គ្រប់ \(t\) នោះតាមវិសមភាពកំណើនមានកំណត់៖

    \[f(x) - f(0) \le 1 \cdot (x - 0) \iff \sin x - 0 \le x \iff \sin x \le x\]

  2. ពិនិត្យ \(g(t) = \ln(1+t)\) លើ \([0, x]\) (\(x > 0\))។ ដេរីវេគឺ \(g'(t) = \dfrac{1}{1+t}\)។ ចំពោះគ្រប់ \(t \in [0, x]\) គេបាន \(0 \le t \le x \iff 1 \le 1+t \le 1+x \iff \dfrac{1}{1+x} \le g'(t) \le 1\)។ តាមវិសមភាពកំណើនមានកំណត់៖

    \[\dfrac{1}{1+x}(x - 0) \le g(x) - g(0) \le 1(x - 0) \iff \dfrac{x}{1+x} \le \ln(1+x) \le x\]

អនុវត្តន៍ក្នុងសេដ្ឋកិច្ច និងពាណិជ្ជកម្ម

ក្នុងការវិភាគសេដ្ឋកិច្ច ដេរីវេត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយដើម្បីគណនាតម្លៃ «ម៉ាជីណល (Marginal)» ដែលតំណាងឱ្យអត្រាបម្រែបម្រួលនៃថ្លៃដើម ចំណូល ឬប្រាក់ចំណេញ ធៀបនឹងបរិមាណផលិតផល \(x\)។

ទស្សនទានគ្រឹះនៃពាក្យ «ម៉ាជីណល (Marginal)»

ក្នុងសេដ្ឋកិច្ចវិទ្យា ពាក្យថា «ម៉ាជីណល (Marginal)» សំដៅលើ «ការបន្ថែម ១ ឯកតាទៀត»៖

  • ក្នុងជីវិតជាក់ស្ដែង បរិមាណផលិតផល \(x\) ត្រូវបានផលិតជាចំនួនគត់ (\(x \in \mathbb{N}\) ដូចជា \(1, 2, 3, \dots\) គ្រឿង)។

  • ប្រសិនបើក្រុមហ៊ុនផលិតបាន \(x\) គ្រឿងរួចហើយ ហើយចង់ផលិតបន្ថែម ១ គ្រឿងទៀត (គឺគ្រឿងទី \(x+1\)) នោះការប្រែប្រួលថ្លៃដើមពិតប្រាកដគឺ៖

    \[\Delta C = C(x+1) - C(x)\]

  • តាមរូបមន្តតម្លៃប្រហែលនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល កាលណា \(\Delta x = 1\) (តូចធៀបនឹងផលិតផលសរុបរាប់រយរាប់ពាន់គ្រឿង) គេបាន៖

    \[\Delta C \approx dC = C'(x)\Delta x = C'(x) \cdot 1 = C'(x)\]

សេចក្តីសន្និដ្ឋានសំខាន់

តម្លៃដេរីវេ \(C'(x_0)\) គឺជាការប៉ាន់ស្មានដ៏ល្អបំផុត និងរហ័សបំផុតនៃថ្លៃដើមក្នុងការផលិតទំនិញ ១ ឯកតាបន្ថែមទៀត (គឺឯកតាទី \(x_0+1\))។ ដូចគ្នាដែរ ចំពោះចំណូលម៉ាជីណល \(R'(x_0)\) និងប្រាក់ចំណេញម៉ាជីណល \(P'(x_0)\)។

និយមន័យអនុគមន៍សេដ្ឋកិច្ចគ្រឹះ

  • អនុគមន៍ថ្លៃដើមសរុប \(C(x)\) (Total Cost)៖ ជាប្រាក់ចំណាយសរុបដើម្បីផលិតទំនិញចំនួន \(x\) ឯកតា។ ជាទូទៅ វាផ្សំឡើងពីពីរផ្នែក៖

    \[C(x) = FC + VC(x)\]
    ដែល \(FC = C(0)\) ជាថ្លៃដើមថេរ (Fixed Cost ដូចជា ថ្លៃជួលទីតាំង ថ្លៃម៉ាស៊ីន) និង \(VC(x)\) ជាថ្លៃដើមប្រែប្រួល (Variable Cost ដូចជា ថ្លៃវត្ថុធាតុដើម ពលកម្ម)។

  • អនុគមន៍ថ្លៃដើមម៉ាជីណល \(C'(x)\) (Marginal Cost)៖ ជាអត្រាបម្រែបម្រួលនៃថ្លៃដើមធៀបនឹងបរិមាណផលិតផល \(x\)។ តម្លៃ \(C'(x_0)\) ជាការប៉ាន់ស្មាននៃថ្លៃដើមផលិតទំនិញឯកតាទី \((x_0+1)\)។

  • អនុគមន៍ថ្លៃដើមមធ្យម \(\overline{C}(x)\) (Average Cost)៖ ជាថ្លៃដើមជាមធ្យមក្នុងមួយឯកតា៖

    \[\overline{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}\]
    ថ្លៃដើមមធ្យមមានកម្រិតអប្បបរមាត្រង់ចំណុចដែល \(C'(x) = \overline{C}(x)\) (ថ្លៃដើមម៉ាជីណល ស្មើ ថ្លៃដើមមធ្យម)។

  • អនុគមន៍ចំណូលសរុប \(R(x)\) (Total Revenue)៖ ជាប្រាក់ចំណូលសរុបពីការលក់ទំនិញ \(x\) ឯកតា៖

    \[R(x) = x \cdot p(x)\]
    ដែល \(p(x)\) ជាថ្លៃលក់ក្នុងមួយឯកតា (ហៅថា អនុគមន៍តម្រូវការ Demand Function)។

  • អនុគមន៍ចំណូលម៉ាជីណល \(R'(x)\) (Marginal Revenue)៖ ជាការប៉ាន់ស្មានប្រាក់ចំណូលបន្ថែមដែលទទួលបានពីការលក់ទំនិញឯកតាទី \((x_0+1)\)៖

    \[R(x_0+1) - R(x_0) \approx R'(x_0)\]

  • អនុគមន៍ប្រាក់ចំណេញ \(P(x)\) (Profit)៖

    \[P(x) = R(x) - C(x)\]
    ប្រាក់ចំណេញទទួលបានអតិបរមាកាលណា \(P'(x) = 0 \iff R'(x) = C'(x)\) (ចំណូលម៉ាជីណល ស្មើ ថ្លៃដើមម៉ាជីណល) និង \(P''(x) < 0\)។

ការបកស្រាយលម្អិតលើទ្រឹស្ដីសំខាន់ៗ

១. ហេតុអ្វីថ្លៃដើមមធ្យម \(\overline{C}(x)\) អប្បបរមាត្រង់ \(C'(x) = \overline{C}(x)\)?

  • សម្រាយបញ្ជាក់តាមគណិតវិទ្យា៖ តាមរូបមន្តដេរីវេផលចែក គេបាន៖

    \[\overline{C}'(x) = \left(\dfrac{C(x)}{x}\right)' = \dfrac{C'(x)\cdot x - C(x)\cdot 1}{x^2} = \dfrac{C'(x) - \dfrac{C(x)}{x}}{x} = \dfrac{C'(x) - \overline{C}(x)}{x}\]
    ដើម្បីឱ្យ \(\overline{C}(x)\) មានបរមា (អប្បបរមា) គេត្រូវឱ្យ \(\overline{C}'(x) = 0\) នាំឱ្យ៖
    \[C'(x) - \overline{C}(x) = 0 \iff C'(x) = \overline{C}(x)\]

  • ន័យវិចារណញាណសេដ្ឋកិច្ច (Economic Intuition)៖

    • ប្រសិនបើ \(C'(x) < \overline{C}(x)\) (ផលិតផលថ្មីចំណាយតិចជាងមធ្យម) \(\implies\) ថ្លៃដើមមធ្យមនឹងធ្លាក់ចុះ (\(\overline{C}(x)\) ចុះ)។

    • ប្រសិនបើ \(C'(x) > \overline{C}(x)\) (ផលិតផលថ្មីចំណាយច្រើនជាងមធ្យម) \(\implies\) ថ្លៃដើមមធ្យមនឹងកើនឡើង (\(\overline{C}(x)\) កើន)។

    • ដូចនេះ ថ្លៃដើមមធ្យមធ្លាក់ដល់កម្រិតទាបបំផុត (អប្បបរមា) ចំពេលដែល \(C'(x) = \overline{C}(x)\)។

២. ន័យសេដ្ឋកិច្ចនៃលក្ខខណ្ឌចំណេញអតិបរមា \(R'(x) = C'(x)\)

  • ប្រសិនបើ \(R'(x) > C'(x)\) ៖ ការលក់ ១ គ្រឿងទៀតបានចំណូលច្រើនជាងថ្លៃដើមផលិត \(\implies\) ក្រុមហ៊ុនគួរតែបន្តផលិតបន្ថែមដើម្បីបង្កើនប្រាក់ចំណេញ។

  • ប្រសិនបើ \(R'(x) < C'(x)\) ៖ ការផលិត ១ គ្រឿងទៀតចំណាយថ្លៃដើមលើសប្រាក់ចំណូល \(\implies\) គ្រឿងនោះនាំឱ្យខាត ក្រុមហ៊ុនត្រូវកាត់បន្ថយការផលិត។

  • ដូចនេះ ប្រាក់ចំណេញកើនឡើងដល់កម្រិតខ្ពស់បំផុត (អតិបរមា) នៅត្រង់ចំណុចតុល្យភាព \(R'(x) = C'(x)\)។

ប្រៀបធៀបថ្លៃដើមពិត និងថ្លៃដើមម៉ាជីណល

ក្រុមហ៊ុនមួយមានអនុគមន៍ថ្លៃដើមសរុប \(C(x) = 500 + 10x + 0.05x^2\) (គិតជាដុល្លារ)។

  1. រកអនុគមន៍ថ្លៃដើមម៉ាជីណល \(C'(x)\)។

  2. បើបច្ចុប្បន្នផលិតបាន \(x = 100\) គ្រឿង ចូរប្រើថ្លៃដើមម៉ាជីណលដើម្បីប៉ាន់ស្មានថ្លៃដើមក្នុងការផលិតគ្រឿងទី \(101\)។

  3. គណនាថ្លៃដើមពិតប្រាកដក្នុងការផលិតគ្រឿងទី \(101\) រួចប្រៀបធៀបលទ្ធផលទាំងពីរ។

ដំណោះស្រាយ

  1. អនុគមន៍ថ្លៃដើមម៉ាជីណល៖ \(C'(x) = (500 + 10x + 0.05x^2)' = 10 + 0.1x\)។

  2. ការប៉ាន់ស្មានថ្លៃដើមនៃគ្រឿងទី \(101\) តាមដេរីវេ (ត្រង់ \(x = 100\))៖

    \[C'(100) = 10 + 0.1(100) = 10 + 10 = \$20\]
    ដូច្នេះ ការផលិតគ្រឿងទី \(101\) ចំណាយប្រហែល \(\$20\)។

  3. ថ្លៃដើមពិតប្រាកដក្នុងការផលិតគ្រឿងទី \(101\)៖

    • ថ្លៃដើមផលិត \(100\) គ្រឿង៖ \(C(100) = 500 + 10(100) + 0.05(100)^2 = 500 + 1000 + 500 = \$2000\)។

    • ថ្លៃដើមផលិត \(101\) គ្រឿង៖ \(C(101) = 500 + 10(101) + 0.05(101)^2 = 500 + 1010 + 510.05 = \$2020.05\)។

    • ថ្លៃដើមពិតនៃគ្រឿងទី \(101\) គឺ៖

      \[\Delta C = C(101) - C(100) = 2020.05 - 2000 = \$20.05\]

    ការប្រៀបធៀប៖ តម្លៃពិតប្រាកដគឺ \(\$20.05\) រីឯតម្លៃប៉ាន់ស្មានតាមដេរីវេគឺ \(\$20.00\) ដោយមានកំហុសខុសគ្នាត្រឹមតែ \(\$0.05\) (០.២៥%) ប៉ុណ្ណោះ។ នេះបង្ហាញថា ថ្លៃដើមម៉ាជីណលផ្តល់នូវការប៉ាន់ស្មានយ៉ាងរហ័ស និងសុក្រឹតខ្ពស់។

ការរកប្រាក់ចំណេញអតិបរមា

រោងចក្រមួយចំណាយប្រាក់សរុបក្នុងការផលិតទំនិញ \(x\) គ្រឿងតាមសមីការ \(C(x) = 1000 + 20x + 0.1x^2\) (ពាន់រៀល) ហើយលក់ចេញវិញក្នុងតម្លៃមួយគ្រឿង \(p(x) = 80 - 0.1x\) (ពាន់រៀល)។

  1. កំណត់អនុគមន៍ចំណូល \(R(x)\) និងអនុគមន៍ប្រាក់ចំណេញ \(P(x)\)។

  2. កំណត់បរិមាណទំនិញ \(x\) ដែលត្រូវផលិតដើម្បីឱ្យប្រាក់ចំណេញទទួលបានអតិបរមា។

ដំណោះស្រាយ

  1. ចំណូលសរុប៖ \(R(x) = x \cdot p(x) = x(80 - 0.1x) = 80x - 0.1x^2\)។ ប្រាក់ចំណេញ៖ \(P(x) = R(x) - C(x) = (80x - 0.1x^2) - (1000 + 20x + 0.1x^2) = -0.2x^2 + 60x - 1000\)។

  2. ដេរីវេទីមួយនៃប្រាក់ចំណេញ៖ \(P'(x) = -0.4x + 60\)។ ឱ្យ \(P'(x) = 0 \iff -0.4x + 60 = 0 \implies x = \dfrac{60}{0.4} = 150\) គ្រឿង។ ដេរីវេទីពីរ៖ \(P''(x) = -0.4 < 0 \implies\) ប្រាក់ចំណេញទទួលបានអតិបរមាត្រង់ \(x = 150\) គ្រឿង។ ប្រាក់ចំណេញអតិបរមានោះគឺ \(P(150) = -0.2(150)^2 + 60(150) - 1000 = -4500 + 9000 - 1000 = 3500\) ពាន់រៀល (៣.៥ លានរៀល)។

អាស៊ីមតូតនៃខ្សែកោង និងចំណុចឆ្លុះ

អាស៊ីមតូតឈរ អាស៊ីមតូតដេក និងអាស៊ីមតូតទ្រេត

  • អាស៊ីមតូតឈរ (Vertical Asymptote)៖ បន្ទាត់ \(x = x_0\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប \(y = f(x)\) កាលណា \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty\) ឬ \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty\)។

  • អាស៊ីមតូតដេក (Horizontal Asymptote)៖ បន្ទាត់ \(y = y_0\) ជាអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប \(y = f(x)\) កាលណា \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0\) ឬ \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0\)។

  • អាស៊ីមតូតទ្រេត (Oblique / Slant Asymptote)៖ បន្ទាត់ \((d) : y = ax + b\) (\(a \neq 0\)) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប \(y = f(x)\) កាលណា \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0\)។

ផ្ចិតឆ្លុះ និងអ័ក្សឆ្លុះនៃខ្សែកោង

ជាទូទៅ

  • ផ្ចិតឆ្លុះ៖ ចំណុច \(I(a, b)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប \((C) : y = f(x)\) លុះត្រាតែចំពោះគ្រប់ \(x \in D\) គេបាន \(2a - x \in D\) និង៖

    \[f(2a - x) + f(x) = 2b\]
    (ចំពោះអនុគមន៍សនិទាន \(y = \dfrac{ax+b}{cx+d}\) ផ្ចិតឆ្លុះជាចំណុចប្រសព្វនៃអាស៊ីមតូតទាំងពីរ \(I\left(-\dfrac{d}{c}, \dfrac{a}{c}\right)\))។

  • អ័ក្សឆ្លុះ៖ បន្ទាត់ \(\Delta : x = a\) ជាអ័ក្សឆ្លុះនៃក្រាប \((C) : y = f(x)\) លុះត្រាតែចំពោះគ្រប់ \(x \in D\) គេបាន \(2a - x \in D\) និង៖

    \[f(2a - x) = f(x)\]

សម្រាយបញ្ជាក់៖

  • ១. ចំពោះផ្ចិតឆ្លុះ \(I(a, b)\)៖ យកចំណុច \(M(x, y) \in (C) \iff y = f(x)\)។ តាង \(M'(x', y')\) ជាចំណុចឆ្លុះនៃ \(M\) ធៀបនឹងផ្ចិត \(I(a, b)\)។ នោះ \(I\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \([MM']\)៖

    \[\begin{cases} \dfrac{x + x'}{2} = a \\ \dfrac{y + y'}{2} = b \end{cases} \iff \begin{cases} x' = 2a - x \\ y' = 2b - y \end{cases}\]
    ចំណុច \(I(a, b)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃ \((C)\) លុះត្រាតែគ្រប់ \(M(x, y) \in (C)\) នាំឱ្យចំណុចឆ្លុះ \(M'(x', y') \in (C)\) ដែរ៖
    \[y' = f(x') \iff 2b - y = f(2a - x) \iff 2b - f(x) = f(2a - x)\]
    \[\iff f(2a - x) + f(x) = 2b \quad{} \text{គ្រប់ } x \in D\]

  • ២. ចំពោះអ័ក្សឆ្លុះ \(\Delta : x = a\)៖ យកចំណុច \(M(x, y) \in (C) \iff y = f(x)\)។ តាង \(M'(x', y')\) ជាចំណុចឆ្លុះនៃ \(M\) ធៀបនឹងបន្ទាត់ឈរ \(x = a\)។ ដោយបន្ទាត់ឆ្លុះឈរ កូអរដោនេ \(y\) មិនប្រែប្រួល (\(y' = y\)) ហើយអាប់ស៊ីស \(a\) ជាចំណុចកណ្តាលរវាង \(x\) និង \(x'\)៖

    \[\dfrac{x + x'}{2} = a \implies x' = 2a - x \quad{} \text{និង} \quad{} y' = y\]
    បន្ទាត់ \(x = a\) ជាអ័ក្សឆ្លុះនៃ \((C)\) លុះត្រាតែគ្រប់ \(M(x, y) \in (C)\) នាំឱ្យ \(M'(x', y') \in (C)\) ដែរ៖
    \[y' = f(x') \iff y = f(2a - x) \iff f(2a - x) = f(x) \quad{} \text{គ្រប់ } x \in D \quad{} \blacksquare\]

វិធីសាស្ត្រទូទៅនៃការសិក្សា និងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍

ដើម្បីសិក្សា និងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍មួយ គេអនុវត្តតាម ៤ ជំហានជាប្រព័ន្ធ៖

  1. ដែនកំណត់៖ រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍។

  2. ទិសដៅអថេរភាព៖ - គណនាដេរីវេទីមួយ \(f'(x)\) រួចរកឫស \(f'(x) = 0\)។ - សិក្សាសញ្ញានៃ \(f'(x)\) រួចសន្និដ្ឋានពីចន្លោះកើន ចុះ និងចំណុចបរមាធៀប។ - គណនាលីមីតត្រង់ចុងដែនកំណត់ និងទាញរកសមីការអាស៊ីមតូត (ឈរ, ដេក, ទ្រេត)។ - រៀបចំ តារាងអថេរភាព ឱ្យបានច្បាស់លាស់។

  3. ចំណុចពិសេស និងចំណុចរបត់៖ - រកចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ (\(Ox: y=0\), \(Oy: x=0\))។ - រកដេរីវេទីពីរ \(f''(x)\) រកចំណុចរបត់ និងផ្ចិតឆ្លុះ (បើមាន)។

  4. សង់ក្រាប៖ គូសប្រព័ន្ធអ័ក្សកូអរដោនេ ដៅចំណុចបរមា ចំណុចរបត់ គូសបន្ទាត់អាស៊ីមតូត រួចគូសខ្សែកោងឱ្យរលូន។

ការសិក្សាអនុគមន៍សនិទាន

សិក្សាអថេរភាព និងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(f(x) = \dfrac{2x-1}{x-1}\)។

ដំណោះស្រាយ

  1. ដែនកំណត់៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\} = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\)។

  2. ទិសដៅអថេរភាព៖ - ដេរីវេ៖ \(f'(x) = \dfrac{2(x-1) - 1(2x-1)}{(x-1)^2} = \dfrac{2x-2-2x+1}{(x-1)^2} = \dfrac{-1}{(x-1)^2} < 0\) គ្រប់ \(x \neq 1\)។ នាំឱ្យ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើចន្លោះ \((-\infty, 1)\) និង \((1, +\infty)\)។ អនុគមន៍គ្មានបរមាធៀបឡើយ។ - លីមីត និងអាស៊ីមតូត៖ \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x}{x} = 2 \implies y = 2\) ជាអាស៊ីមតូតដេក។ \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \dfrac{1}{0^-} = -\infty\) និង \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \dfrac{1}{0^+} = +\infty \implies x = 1\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ។ - តារាងអថេរភាព៖

    \(x\) \(-\infty \quad{}\quad{}\quad{}\quad{}\quad{} 1\) \(1 \quad{}\quad{}\quad{}\quad{}\quad{} +\infty\)
    \(f'(x)\) \(-\) \(-\)
    \(f(x)\) \(2 \ \searrow \ -\infty\) \(+\infty \ \searrow \ 2\)

  3. ចំណុចប្រសព្វ និងផ្ចិតឆ្លុះ៖ - ប្រសព្វអ័ក្ស \(Oy\) (\(x=0\))៖ \(y = f(0) = \dfrac{-1}{-1} = 1 \implies (0, 1)\)។ - ប្រសព្វអ័ក្ស \(Ox\) (\(y=0\))៖ \(2x - 1 = 0 \implies x = \dfrac{1}{2} \implies \left(\dfrac{1}{2}, 0\right)\)។ - ផ្ចិតឆ្លុះ៖ ជាចំណុចប្រសព្វនៃអាស៊ីមតូតទាំងពីរ \(I(1, 2)\)។

  1. រកឌីផេរ៉ង់ស្យែល \(dy\) នៃអនុគមន៍ \(y = 3x^3 - 5x^2 + 2\)។

  2. រកឌីផេរ៉ង់ស្យែល \(dy\) នៃអនុគមន៍ \(y = \sqrt{4x^2 + 9}\)។

  3. រកឌីផេរ៉ង់ស្យែល \(dy\) នៃអនុគមន៍ \(y = x^2 \sin(3x)\)។

  4. រក \(dy, \Delta y\) និងកំហុសប្រហែល \(|dy - \Delta y|\) ចំពោះ \(y = x^2 + 2x\) នៅពេល \(x = 2\) និង \(\Delta x = 0.1\)។

  5. ប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហែលនៃ \(\sqrt{37}\)។

  6. ប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហែលនៃ \(\sqrt{65}\)។

  7. ប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហែលនៃ \(\sqrt[3]{26}\)។

  8. ប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហែលនៃ \(\sqrt[3]{126}\)។

  9. ប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហែលនៃ \(\sqrt{48.8}\)។

  10. ប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហែលនៃ \(\sin(31^\circ)\) ដោយដឹងថា \(1^\circ \approx 0.0175\text{ rad}\)។

  11. ប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហែលនៃ \(\tan(44^\circ)\)។

  12. ជ្រុងនៃការ៉េមួយត្រូវបានវាស់ឃើញប្រវែង \(10\text{ cm}\) ដោយមានកំហុសអតិបរមា \(0.05\text{ cm}\)។ គណនាកំហុសដាច់ខាត និងកំហុសជាភាគរយក្នុងការគណនាផ្ទៃក្រឡាការ៉េនោះ។

  13. កាំនៃស្វ៊ែរមួយត្រូវបានវាស់ឃើញ \(r = 6\text{ cm}\) ដោយមានកំហុសរង្វាស់អតិបរមា \(0.02\text{ cm}\)។ ប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើម្បីប៉ាន់ស្មានកំហុសជាភាគរយក្នុងការគណនាមាឌស្វ៊ែរ។

  14. បាឡុងស្វ៊ែរមួយរីកមាឌពេលត្រូវកម្តៅថ្ងៃ ដែលកាំរបស់វាប្រែប្រួលពី \(2\text{ m}\) ទៅ \(2.1\text{ m}\)។ ប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែលគណនាតម្លៃប្រហែលនៃកំណើនមាឌបាឡុង។

  15. បន្ទះដែកស្តើងរាងជារង្វង់កាំ \(r = 20\text{ cm}\)។ ពេលត្រូវកម្តៅ កាំរីកវែងថែម \(0.08\text{ cm}\)។ គណនាតម្លៃប្រហែលនៃកំណើនផ្ទៃក្រឡាបន្ទះដែក។

  16. អនុវត្តវិសមភាពកំណើនមានកំណត់ចំពោះ \(f(x) = \sqrt{x+2}\) លើចន្លោះ \([-1, 2]\) ដើម្បីរកតម្លៃអមនៃ \(f(2) - f(-1)\)។

  17. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ \(a, b \in \mathbb{R}\) គេបាន \(|\sin b - \sin a| \le |b - a|\)។

  18. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ \(a, b \in \mathbb{R}\) គេបាន \(|\cos b - \cos a| \le |b - a|\)។

  19. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(x > 0\) គេបាន \(\dfrac{x}{1+x} \le \ln(1+x) \le x\)។

  20. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(x > 0\) គេបាន \(e^x \ge 1 + x\)។

  21. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = \tan x\) លើ \(\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]\)។ បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ \(0 \le a < b \le \dfrac{\pi}{4}\) គេបាន \(b - a \le \tan b - \tan a \le 2(b - a)\)។

  22. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ \(x \ge 0\) គេបាន \(\sqrt{1+x} \le 1 + \dfrac{x}{2}\)។

  23. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f\) មានដេរីវេលើ \([1, 4]\) ដោយ \(2 \le f'(x) \le 5\) និង \(f(1) = 3\)។ រកតម្លៃអមនៃ \(f(4)\)។

  24. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ \(x > 0\) គេបាន \(\dfrac{x}{1+x^2} < \arctan x < x\)។

  25. ដោយប្រើវិសមភាពកំណើនមានកំណត់ ចូររកតម្លៃអមនៃ \(\sqrt{101}\)។

  26. ក្រុមហ៊ុនមួយមានអនុគមន៍ថ្លៃដើមសរុប \(C(x) = 500 + 15x + 0.05x^2\) (ពាន់រៀល)។ រកថ្លៃដើមម៉ាជីណលនៅពេលផលិតផល \(x = 100\) គ្រឿង និងប៉ាន់ស្មានថ្លៃដើមនៃផលិតផលគ្រឿងទី \(101\)។

  27. រោងចក្រមួយមានអនុគមន៍ថ្លៃដើម \(C(x) = 2400 + 28x + 0.02x^2\)។ គណនាថ្លៃដើមមធ្យម \(\overline{C}(x)\) និងរកបរិមាណផលិតផល \(x\) ដែលធ្វើឱ្យថ្លៃដើមមធ្យមមានកម្រិតអប្បបរមា។

  28. សហគ្រាសមួយផលិតទំនិញ \(x\) គ្រឿងដោយមានចំណាយ \(C(x) = 1080 + 42x + 0.3x^2\)។ កំណត់បរិមាណ \(x\) ដើម្បីឱ្យថ្លៃដើមមធ្យមអប្បបរមា។

  29. ក្រុមហ៊ុនមួយមានអនុគមន៍ចំណូលសរុប \(R(x) = 20x - \dfrac{x^2}{30}\) ម៉ឺនរៀល (\(0 \le x \le 600\))។ ប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែលប៉ាន់ស្មានកំណើនចំណូលកាលណា \(x\) កើនពី \(150\) ទៅ \(160\) គ្រឿង។

  30. ក្រុមហ៊ុនមួយមានថ្លៃដើម \(C(x) = x^2 + 20x + 1050\) និងចំណូល \(R(x) = 140x - 0.5x^2\) (ពាន់រៀល)។ កំណត់បរិមាណ \(x\) ដើម្បីទទួលបានប្រាក់ចំណេញអតិបរមា។

  31. អនុគមន៍តម្រូវការនៃផលិតផលមួយគឺ \(p = 100 - 0.2x\)។ សរសេរអនុគមន៍ចំណូល \(R(x)\) និងចំណូលម៉ាជីណល \(R'(x)\)។ រកបរិមាណ \(x\) ដែលធ្វើឱ្យចំណូលសរុបអតិបរមា។

  32. ក្រុមហ៊ុនបោះពុម្ពសៀវភៅមួយមានថ្លៃដើម \(C(x) = 0.0001x^2 + x + 465\) និងថ្លៃលក់ក្នុងមួយក្បាល \(p = 4 - 0.0002x\) (ពាន់រៀល)។ គណនាប្រាក់ចំណេញអតិបរមា និងបរិមាណសៀវភៅដែលត្រូវបោះពុម្ព។

  33. សហគ្រាសមួយផលិតសម្ភារៈ \(x\) គ្រឿងដោយមានថ្លៃដើម \(C(x) = 480 + 26x - 0.1x^2\)។ រកថ្លៃដើមម៉ាជីណលកាលណា \(x = 30, 50, 70\)។

  34. រោងចក្រមួយមានអនុគមន៍ចំណេញ \(P(x) = -0.5x^2 + 40x - 300\)។ កំណត់ចំណុចរួចខ្លួន (Break-even points) នៃរោងចក្រនោះ។

  35. ក្រុមហ៊ុនផលិតទឹកផ្លែឈើមានថ្លៃដើមថេរ (Fixed cost) ស្មើ \(5000\) ដុល្លារ និងថ្លៃដើមប្រែប្រួល \(3\) ដុល្លារក្នុងមួយដប។ តម្លៃលក់ក្នុងមួយដបគឺ \(p = 8 - 0.001x\)។ រកប្រាក់ចំណេញអតិបរមា។

  36. អនុគមន៍តម្រូវការគឺ \(x = 1000 - 50p\)។ កំណត់អនុគមន៍ចំណូលជាកន្សោមនៃ \(p\) រួចរកថ្លៃលក់ \(p\) ដែលធ្វើឱ្យចំណូលអតិបរមា។

  37. កំណត់បរិមាណផលិតផល \(x\) ដែលធ្វើឱ្យប្រាក់ចំណូលម៉ាជីណលស្មើនឹងសូន្យ ចំពោះ \(R(x) = 500x - 2x^2\)។

  38. ចំពោះ \(C(x) = 200 + 4x + 0.01x^2\) រកថ្លៃដើមពិតប្រាកដនៃការផលិតគ្រឿងទី \(51\) ហើយប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃប៉ាន់ស្មានតាមដេរីវេ \(C'(50)\)។

  39. រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និងអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប \(f(x) = \dfrac{3x-2}{2x+4}\)។

  40. រកសមីការអាស៊ីមតូតទាំងអស់នៃក្រាប \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 3}\)។

  41. រកសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 5x - 1}{x + 1}\)។

  42. រកកូអរដោនេផ្ចិតឆ្លុះ \(I\) នៃក្រាប \(y = \dfrac{4x - 1}{2x + 3}\)។

  43. បង្ហាញថាចំណុច \(I(1, 2)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប \(f(x) = \dfrac{2x+3}{x-1}\)។

  44. បង្ហាញថាបន្ទាត់ \(x = 2\) ជាអ័ក្សឆ្លុះនៃក្រាប \(f(x) = x^2 - 4x + 5\)។

  45. សិក្សាអថេរភាព និងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍សនិទាន \(f(x) = \dfrac{x-2}{x+1}\) (ស្ដង់ដាប្រឡងបាក់ឌុប)។

  46. សិក្សាអថេរភាព និងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍សនិទាន \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}\) (ស្ដង់ដាប្រឡងបាក់ឌុប)។

  47. សិក្សាអថេរភាព និងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍សនិទាន \(f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}\) (ស្ដង់ដាប្រឡងបាក់ឌុប)។

  48. សិក្សាអថេរភាព និងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍សនិទាន \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}\) (ស្ដង់ដាប្រឡងបាក់ឌុប)។

  49. កំណត់តម្លៃ \(a, b, c\) ដើម្បីឱ្យក្រាប \(y = \dfrac{ax^2+bx+c}{x-1}\) មានអាស៊ីមតូតទ្រេត \(y = 2x + 1\) និងកាត់អ័ក្ស \(Oy\) ត្រង់ \((0, -3)\)។

  50. សិក្សាអថេរភាព និងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(f(x) = \dfrac{-x^2 + 3x - 1}{x - 1}\) (ស្ដង់ដាប្រឡងបាក់ឌុប)។

ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយ

បើកមើលចម្លើយ និងដំណោះស្រាយលម្អិត
ក. ចម្លើយសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ក ខ គ ឃ ក ខ គ ឃ ក ខ
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
គ ឃ ក ខ គ ឃ ក ខ គ ឃ
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ក ខ គ ឃ ក ខ គ ឃ ក ខ
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
គ ខ ក ខ ឃ ក ខ ក គ ក
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ក ខ ខ ក ក ខ ក ខ ក គ
ខ. ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍

លំហាត់ទី ១ ៖
តាមរូបមន្ត \(dy = y' dx\) ៖

\[y' = 9x^2 - 10x\]
ដូចនេះ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺ \(dy = (9x^2 - 10x)dx\)។

លំហាត់ទី ២ ៖
ដេរីវេនៃ \(y = \sqrt{4x^2 + 9}\) គឺ ៖

\[y' = \frac{8x}{2\sqrt{4x^2 + 9}} = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 9}}\]
ដូចនេះ \(dy = \dfrac{4x}{\sqrt{4x^2 + 9}}dx\)។

លំហាត់ទី ៣ ៖ ដេរីវេនៃផលគុណ ៖

\[\begin{aligned} y' &= 2x\sin(3x) + x^2 [3\cos(3x)] \\ &= 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x) \end{aligned}\]
ដូចនេះ \(dy = [2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)]dx\)។

លំហាត់ទី ៤ ៖ គេមាន \(y = x^2 + 2x\) ៖

  • \(dy = (2x + 2)dx = 6(0.1) = 0.6\)

  • \(\Delta y = f(2.1) - f(2)\)

    \[= 8.61 - 8 = 0.61\]

  • កំហុស ៖ \(|0.61 - 0.60| = 0.01\)

លំហាត់ទី ៥ ៖ តាង \(f(x) = \sqrt{x} \implies f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)។
ជ្រើសរើស \(x_0 = 36 \implies \Delta x = 1\)។
តាមរូបមន្ត \(f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x\) ៖

\[\begin{aligned} \sqrt{37} &\approx \sqrt{36} + \frac{1}{2\sqrt{36}}(1) \\ &= 6 + \frac{1}{12} \approx 6.0833 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៦ ៖ តាង \(f(x) = \sqrt{x} \implies f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)។
ជ្រើសរើស \(x_0 = 64, \; \Delta x = 1\) ៖

\[\begin{aligned} \sqrt{65} &\approx \sqrt{64} + \frac{1}{2\sqrt{64}}(1) \\ &= 8 + \frac{1}{16} = 8.0625 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៧ ៖ តាង \(f(x) = \sqrt[3]{x} \implies f'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)។
ជ្រើសរើស \(x_0 = 27, \; \Delta x = -1\) ៖

\[\begin{aligned} \sqrt[3]{26} &\approx \sqrt[3]{27} + \frac{1}{3\sqrt[3]{27^2}}(-1) \\ &= 3 - \frac{1}{27} \approx 2.9630 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៨ ៖ តាង \(f(x) = \sqrt[3]{x} \implies f'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)។
ជ្រើសរើស \(x_0 = 125, \; \Delta x = 1\) ៖

\[\begin{aligned} \sqrt[3]{126} &\approx \sqrt[3]{125} + \frac{1}{3\sqrt[3]{125^2}}(1) \\ &= 5 + \frac{1}{75} \approx 5.0133 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៩ ៖ តាង \(f(x) = \sqrt{x}\)។ ជ្រើសរើស \(x_0 = 49, \; \Delta x = -0.2\) ៖

\[\begin{aligned} \sqrt{48.8} &\approx \sqrt{49} + \frac{1}{2\sqrt{49}}(-0.2) \\ &= 7 - \frac{1}{70} \approx 6.9857 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១០ ៖ តាង \(f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x\)។
ជ្រើសរើស \(x_0 = 30^\circ = \dfrac{\pi}{6}\text{ rad}, \; \Delta x = 1^\circ \approx 0.0175\text{ rad}\) ៖

\[\begin{aligned} \sin(31^\circ) &\approx \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)(0.0175) \\ &= 0.5 + \frac{\sqrt{3}}{2}(0.0175) \\ &\approx 0.5 + 0.0152 = 0.5152 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១១ ៖ តាង \(f(x) = \tan x \implies f'(x) = 1 + \tan^2 x\)។
ជ្រើសរើស \(x_0 = 45^\circ = \dfrac{\pi}{4}\text{ rad}, \; \Delta x = -1^\circ \approx -0.0175\text{ rad}\) ៖

\[\begin{aligned} \tan(44^\circ) &\approx \tan(45^\circ) \\ &\quad{} + (1 + \tan^2 45^\circ)(-0.0175) \\ &= 1 + 2(-0.0175) \\ &= 1 - 0.035 = 0.965 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១២ ៖ ផ្ទៃក្រឡាការ៉េ ៖ \(S = x^2 \implies dS = 2x dx\)។
ជាមួយ \(x = 10\text{ cm}\) និង \(|dx| \le 0.05\text{ cm}\) ៖

  • កំហុសដាច់ខាត ៖ \(|dS| = 2(10)(0.05) = 1\text{ cm}^2\)

  • កំហុសជាភាគរយ ៖
    \(\dfrac{|dS|}{S} = \dfrac{2|dx|}{x} = \dfrac{2(0.05)}{10} = 1\%\)

លំហាត់ទី ១៣ ៖ មាឌស្វ៊ែរ ៖ \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \implies dV = 4\pi r^2 dr\)។
កំហុសជាភាគរយក្នុងការគណនាមាឌ ៖

\[\begin{aligned} \frac{|dV|}{V} &= \frac{4\pi r^2 |dr|}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 3\frac{|dr|}{r} \\ &= 3\left(\frac{0.02}{6}\right) = 0.01 = 1\% \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១៤ ៖ មាឌបាឡុង ៖ \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \implies dV = 4\pi r^2 dr\)។
កាលណា \(r = 2\text{ m}\) និង \(\Delta r = dr = 2.1 - 2 = 0.1\text{ m}\) ៖

\[\begin{aligned} \Delta V &\approx dV = 4\pi(2^2)(0.1) \\ &= 1.6\pi \approx 5.03\text{ m}^3 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១៥ ៖ ផ្ទៃក្រឡារង្វង់ ៖ \(S = \pi r^2 \implies dS = 2\pi r dr\)។
ជាមួយ \(r = 20\text{ cm}\) និង \(dr = 0.08\text{ cm}\) ៖

\[\begin{aligned} \Delta S &\approx dS = 2\pi(20)(0.08) \\ &= 3.2\pi \approx 10.05\text{ cm}^2 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១៦ ៖ \(f(x) = \sqrt{x+2}\) លើ \([-1, 2]\) ៖
\(\dfrac{1}{4} \le f'(x) \le \dfrac{1}{2}\)។
តាមវិសមភាពកំណើនមានកំណត់ ៖

\[\begin{aligned} \frac{1}{4}(3) &\le f(2) - f(-1) \le \frac{1}{2}(3) \\ \iff \frac{3}{4} &\le f(2) - f(-1) \le \frac{3}{2} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១៧ ៖ ចំពោះ \(a = b\) វិសមភាពផ្ទៀងផ្ទាត់។
ចំពោះ \(a \neq b\), អនុគមន៍ \(f(x) = \sin x\) ជាប់ និងមានដេរីវេគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ដោយ \(|f'(x)| = |\cos x| \le 1\)។
តាមទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យមលើចន្លោះរវាង \(a\) និង \(b\) ៖

\[\begin{aligned} \left|\frac{\sin b - \sin a}{b - a}\right| &= |\cos c| \le 1 \\ \implies |\sin b - \sin a| &\le |b - a| \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១៨ ៖ អនុគមន៍ \(f(x) = \cos x\) មានដេរីវេ \(f'(x) = -\sin x\) ដោយ \(|f'(x)| = |-\sin x| \le 1\) គ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\)។
តាមទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យម ៖

\[\begin{aligned} \left|\frac{\cos b - \cos a}{b - a}\right| &= |-\sin c| \le 1 \\ \implies |\cos b - \cos a| &\le |b - a| \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ១៩ ៖ \(f(t) = \ln(1+t)\) លើ \([0, x]\) ៖ \(f'(t) = \dfrac{1}{1+t}\)។
ដោយ \(\dfrac{1}{1+x} \le f'(t) \le 1\) លើ \([0, x]\) ៖

\[\frac{1}{1+x}(x) \le \ln(1+x) \le 1(x)\]
\[\implies \frac{x}{1+x} \le \ln(1+x) \le x\]

លំហាត់ទី ២០ ៖ ពិនិត្យ \(f(t) = e^t\) លើ \([0, x]\) (\(x > 0\)) ៖ \(f'(t) = e^t\)។
ចំពោះ \(t \ge 0 \implies f'(t) = e^t \ge e^0 = 1\)។
តាមវិសមភាពកំណើនមានកំណត់ ៖

\[\begin{aligned} f(x) - f(0) &\ge 1(x - 0) \\ \iff e^x - 1 &\ge x \implies e^x \ge 1 + x \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២១ ៖ \(f(x) = \tan x\) លើ \([a, b] \subset [0, \pi/4]\) ៖
\(1 \le f'(x) \le 2\)។ តាមវិសមភាព ៖

\[1(b - a) \le \tan b - \tan a \le 2(b - a)\]

លំហាត់ទី ២២ ៖ ពិនិត្យ \(f(t) = \sqrt{1+t}\) លើ \([0, x]\) (\(x \ge 0\)) ៖
\(f'(t) = \dfrac{1}{2\sqrt{1+t}} \le \dfrac{1}{2}\)។ តាមវិសមភាពកំណើនមានកំណត់ ៖

\[\begin{aligned} f(x) - f(0) &\le \frac{1}{2}(x - 0) \\ \iff \sqrt{1+x} - 1 &\le \frac{x}{2} \implies \sqrt{1+x} \le 1 + \frac{x}{2} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២៣ ៖ អនុវត្តវិសមភាពកំណើនមានកំណត់លើ \([1, 4]\) ៖

\[\begin{aligned} 2(4 - 1) &\le f(4) - f(1) \le 5(4 - 1) \\ 6 &\le f(4) - 3 \le 15 \\ \iff 9 &\le f(4) \le 18 \end{aligned}\]
ដូចនេះ តម្លៃអមនៃ \(f(4)\) គឺ \(9 \le f(4) \le 18\)។

លំហាត់ទី ២៤ ៖ ពិនិត្យ \(f(t) = \arctan t\) លើ \([0, x]\) (\(x > 0\)) ៖ \(f'(t) = \dfrac{1}{1+t^2}\)។
ចំពោះ \(t \in (0, x) \implies \dfrac{1}{1+x^2} < f'(t) < 1\)។ តាម MVT ៖

\[\begin{aligned} \frac{1}{1+x^2} &< \frac{\arctan x}{x} < 1 \\ \implies \frac{x}{1+x^2} &< \arctan x < x \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២៥ ៖ ពិនិត្យ \(f(x) = \sqrt{x}\) លើ \([100, 101]\) ៖ \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)។
ចំពោះ \(x \in [100, 101] \implies \dfrac{1}{2\sqrt{101}} \le f'(x) \le \dfrac{1}{20}\)។
តាមវិសមភាពកំណើនមានកំណត់ ៖

\[\begin{aligned} \frac{1}{2\sqrt{101}} &\le \sqrt{101} - 10 \le \frac{1}{20} \\ \implies 10 &< \sqrt{101} < 10.05 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២៦ ៖ អនុគមន៍ថ្លៃដើមម៉ាជីណល ៖ \(C'(x) = 15 + 0.1x\)។
នៅពេល \(x = 100\) គ្រឿង ៖

\[C'(100) = 15 + 0.1(100) = 25\text{ ពាន់រៀល}\]
តម្លៃប៉ាន់ស្មានថ្លៃដើមនៃផលិតផលគ្រឿងទី \(101\) គឺ \(C'(100) = 25\) ពាន់រៀល (\(25\ 000\) រៀល)។

លំហាត់ទី ២៧ ៖ ថ្លៃដើមមធ្យម ៖

\[\overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{2400}{x} + 28 + 0.02x\]
ដេរីវេធៀបនឹង \(x\) ៖ \(\overline{C}'(x) = -\dfrac{2400}{x^2} + 0.02 = 0\)
\[\begin{aligned} \iff x^2 &= \frac{2400}{0.02} = 120000 \\ \implies x &= \sqrt{120000} \approx 346 \text{ គ្រឿង} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២៨ ៖ ថ្លៃដើមមធ្យម ៖ \(\overline{C}(x) = \dfrac{1080}{x} + 42 + 0.3x\)។
\(\overline{C}'(x) = -\dfrac{1080}{x^2} + 0.3 = 0 \iff x^2 = \dfrac{1080}{0.3} = 3600\)
\(\implies x = 60\) គ្រឿង។
ដូចនេះ ថ្លៃដើមមធ្យមអប្បបរមាកាលណាផលិតផលស្មើ \(60\) គ្រឿង។

លំហាត់ទី ២៩ ៖ ចំណូលម៉ាជីណល ៖ \(R'(x) = 20 - \dfrac{2x}{30} = 20 - \dfrac{x}{15}\)។
កាលណា \(x = 150\) និង \(\Delta x = 160 - 150 = 10\) គ្រឿង ៖

\[\begin{aligned} \Delta R &\approx R'(150)\Delta x \\ &= \left(20 - \frac{150}{15}\right)(10) \\ &= 10(10) = 100 \text{ ម៉ឺនរៀល} \end{aligned}\]
ដូចនេះ ចំណូលកើនឡើងប្រហែល \(100\) ម៉ឺនរៀល (\(1\ 000\ 000\) រៀល)។

លំហាត់ទី ៣០ ៖ អនុគមន៍ប្រាក់ចំណេញ ៖

\[\begin{aligned} P(x) &= R(x) - C(x) \\ &= (140x - 0.5x^2) - (x^2 + 20x + 1050) \\ &= -1.5x^2 + 120x - 1050 \end{aligned}\]
\(P'(x) = -3x + 120 = 0 \iff x = 40\) គ្រឿង។
ដោយ \(P''(x) = -3 < 0 \implies\) ចំណេញអតិបរមាពេល \(x = 40\) គ្រឿង។

លំហាត់ទី ៣១ ៖ អនុគមន៍ចំណូល ៖ \(R(x) = x \cdot p = x(100 - 0.2x) = 100x - 0.2x^2\)។
ចំណូលម៉ាជីណល ៖ \(R'(x) = 100 - 0.4x\)។
ចំណូលអតិបរមាពេល \(R'(x) = 0 \iff 100 - 0.4x = 0 \implies x = 250\) គ្រឿង។

លំហាត់ទី ៣២ ៖ អនុគមន៍ចំណេញ ៖

\[\begin{aligned} P(x) &= (4x - 0.0002x^2) \\ &\quad{} - (0.0001x^2 + x + 465) \\ &= -0.0003x^2 + 3x - 465 \end{aligned}\]
\(P'(x) = 0 \iff x = 5000\) ក្បាល។
\(P(5000) = 7035\) ពាន់រៀល។

លំហាត់ទី ៣៣ ៖ ថ្លៃដើមម៉ាជីណល ៖ \(C'(x) = 26 - 0.2x\) ៖

  • ត្រង់ \(x = 30\) ៖ \(C'(30) = 26 - 0.2(30) = 20\)

  • ត្រង់ \(x = 50\) ៖ \(C'(50) = 26 - 0.2(50) = 16\)

  • ត្រង់ \(x = 70\) ៖ \(C'(70) = 26 - 0.2(70) = 12\)

លំហាត់ទី ៣៤ ៖ ចំណុចរួចខ្លួនកើតមានពេលប្រាក់ចំណេញ \(P(x) = 0\) ៖

\[\begin{aligned} -0.5x^2 + 40x - 300 &= 0 \\ \iff x^2 - 80x + 600 &= 0 \\ \iff (x - 10)(x - 70) &= 0 \\ \iff x = 10 \text{ ឬ } x = 70 \end{aligned}\]
ដូចនេះ ចំណុចរួចខ្លួនគឺ \(x = 10\) គ្រឿង និង \(x = 70\) គ្រឿង។

លំហាត់ទី ៣៥ ៖ ថ្លៃដើម ៖ \(C(x) = 5000 + 3x\)។
ចំណូល ៖ \(R(x) = x(8 - 0.001x) = 8x - 0.001x^2\)។
ចំណេញ ៖ \(P(x) = -0.001x^2 + 5x - 5000\)។
\(P'(x) = -0.002x + 5 = 0 \iff x = 2500\) ដប។
ប្រាក់ចំណេញអតិបរមា ៖

\[\begin{aligned} P(2500) &= -0.001(2500^2) + 5(2500) - 5000 \\ &= 1250 \text{ ដុល្លារ} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៣៦ ៖ អនុគមន៍ចំណូល ៖

\[\begin{aligned} R(p) &= p \cdot x = p(1000 - 50p) \\ &= 1000p - 50p^2 \end{aligned}\]
\(R'(p) = 1000 - 100p = 0 \iff p = 10\) ដុល្លារ។
ដូចនេះ ថ្លៃលក់ដែលធ្វើឱ្យចំណូលអតិបរមាគឺ \(p = 10\)។

លំហាត់ទី ៣៧ ៖ ចំណូលម៉ាជីណល ៖ \(R'(x) = 500 - 4x\)។
ចំណូលម៉ាជីណលស្មើនឹងសូន្យ ៖

\[\begin{aligned} 500 - 4x &= 0 \iff 4x = 500 \\ &\implies x = 125 \text{ គ្រឿង} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៣៨ ៖ គេមាន \(C(x) = 200 + 4x + 0.01x^2\) ៖
- ថ្លៃដើមពិតគ្រឿងទី \(51\) ៖

\[\begin{aligned} \Delta C &= C(51) - C(50) \\ &= 430.01 - 425 = 5.01 \end{aligned}\]
- តាមដេរីវេ ៖ \(C'(50) = 4 + 1 = 5.00\)។
ភាពខុសគ្នាគឺ \(0.01\)។

លំហាត់ទី ៣៩ ៖ គេមាន \(f(x) = \dfrac{3x-2}{2x+4}\) (\(x \neq -2\)) ៖

  • \(\lim_{x \to -2} (2x+4) = 0 \implies x = -2\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ

  • \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{3x}{2x} = \dfrac{3}{2} \implies y = \dfrac{3}{2}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក

លំហាត់ទី ៤០ ៖ គេមាន \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 3} = x + \dfrac{2}{x - 3}\) (\(x \neq 3\)) ៖

  • \(\lim_{x \to 3} f(x) = \infty \implies x = 3\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ

  • \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2}{x - 3} = 0 \implies y = x\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត

លំហាត់ទី ៤១ ៖ ដោយចែកពហុធា ៖ \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 5x - 1}{x + 1} = 2x + 3 - \dfrac{4}{x + 1}\)។
ដោយ \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (2x + 3)] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{-4}{x + 1} = 0\) នោះបន្ទាត់ \(y = 2x + 3\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប។

លំហាត់ទី ៤២ ៖ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ \(2x + 3 = 0 \iff x = -\dfrac{3}{2}\)។
អាស៊ីមតូតដេក ៖ \(y = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{4x - 1}{2x + 3} = 2\)។
ផ្ចិតឆ្លុះ \(I\) ជាប្រសព្វនៃអាស៊ីមតូតទាំងពីរ ៖ \(I\left(-\dfrac{3}{2}, 2\right)\)។

លំហាត់ទី ៤៣ ៖ គេមាន \(f(x) = 2 + \dfrac{5}{x - 1}\)។
ចំពោះ \(I(1, 2)\) យើងពិនិត្យ ៖

\[\begin{aligned} f(1-h) + f(1+h) &= \left(2 - \frac{5}{h}\right) + \left(2 + \frac{5}{h}\right) \\ &= 4 = 2(2) \end{aligned}\]
ដូចនេះ \(I(1, 2)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប។

លំហាត់ទី ៤៤ ៖ ពិនិត្យ \(x = 2\) ៖

\[\begin{aligned} f(2-h) &= (2-h)^2 - 4(2-h) + 5 \\ &= h^2 + 1 \\ f(2+h) &= (2+h)^2 - 4(2+h) + 5 \\ &= h^2 + 1 \end{aligned}\]
ដោយ \(f(2-h) = f(2+h)\) នាំឱ្យ \(x = 2\) ជាអ័ក្សឆ្លុះ។

លំហាត់ទី ៤៥ ៖ \(f(x) = \dfrac{x-2}{x+1}\) ៖

  • ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\)

  • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = \dfrac{3}{(x+1)^2} > 0\) គ្រប់ \(x \neq -1\) (\(f\) កើនជានិច្ចលើចន្លោះនីមួយៗ)

  • អាស៊ីមតូត ៖ ឈរ \(x = -1\), ដេក \(y = 1\)

  • ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ \(I(-1, 1)\)

  • ប្រសព្វអ័ក្ស ៖ \(Ox : (2, 0)\) និង \(Oy : (0, -2)\)

លំហាត់ទី ៤៦ ៖ \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}\) ៖

  • ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)

  • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = \dfrac{-3}{(x-1)^2} < 0\) គ្រប់ \(x \neq 1\) (\(f\) ចុះជានិច្ចលើចន្លោះនីមួយៗ)

  • អាស៊ីមតូត ៖ ឈរ \(x = 1\), ដេក \(y = 2\)

  • ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ \(I(1, 2)\)

  • ប្រសព្វអ័ក្ស ៖ \(Ox : (-1/2, 0)\) និង \(Oy : (0, -1)\)

លំហាត់ទី ៤៧ ៖ \(f(x) = \dfrac{x^2-x+1}{x-1} = x + \dfrac{1}{x-1}\) ៖

  • ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)

  • \(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2} = 0 \iff x = 0, \; x = 2\)

  • អតិបរមាធៀប \(f(0) = -1\), អប្បបរមាធៀប \(f(2) = 3\)

  • អាស៊ីមតូត ៖ ឈរ \(x = 1\), ទ្រេត \(y = x\)

  • ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ \(I(1, 1)\)

លំហាត់ទី ៤៨ ៖ \(f(x) = \dfrac{x^2-4x+3}{x-2} = x - 2 - \dfrac{1}{x-2}\) ៖

  • ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)

  • \(f'(x) = 1 + \dfrac{1}{(x-2)^2} > 0\) គ្រប់ \(x \neq 2\) (\(f\) កើនលើចន្លោះនីមួយៗ)

  • អាស៊ីមតូត ៖ ឈរ \(x = 2\), ទ្រេត \(y = x - 2\)

  • ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ \(I(2, 0)\)

  • ប្រសព្វអ័ក្ស ៖ \(Ox : (1, 0), \; (3, 0)\) និង \(Oy : (0, -3/2)\)

លំហាត់ទី ៤៩ ៖ គេមាន \(y = ax + (b + a) + \dfrac{b + a + c}{x - 1}\)។

  • អាស៊ីមតូតទ្រេត \(y = ax + (a + b) \equiv 2x + 1\)
    \(\implies a = 2\) និង \(2 + b = 1 \implies b = -1\)

  • ក្រាបកាត់ \(Oy\) ត្រង់ \((0, -3)\)
    \(\implies \dfrac{c}{-1} = -3 \implies c = 3\)

ដូចនេះ \(a = 2, \; b = -1, \; c = 3\)។

លំហាត់ទី ៥០ ៖ \(f(x) = \dfrac{-x^2+3x-1}{x-1} = -x + 2 + \dfrac{1}{x-1}\) ៖

  • ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)

  • \(f'(x) = -1 - \dfrac{1}{(x-1)^2} < 0\) គ្រប់ \(x \neq 1\)
    (\(f\) ចុះលើចន្លោះនីមួយៗ)

  • អាស៊ីមតូត ៖ ឈរ \(x = 1\), ទ្រេត \(y = -x + 2\)

  • ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ \(I(1, 1)\)

  • ប្រសព្វអ័ក្ស ៖ \(Oy : (0, 1)\)

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១១ អនុវត្តន៍ផ្សេងទៀត និងការសិក្សាអនុគមន៍ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត