មេរៀនសង្ខេប លីមីតនៃអនុគមន៍

លីមីតនៃអនុគមន៍

សញ្ញាណលីមីត

បើ \(x\) ខិតជិត \(a\) ហើយអនុគមន៍ខិតជិតតម្លៃ \(L\) ណាមួយនោះគេកំណត់សរសេរ \(\lim\limits_{x\to a} f(x)=L\)
មានន័យថា អនុគមន៍ \(f(x)\) មានលីមីតស្មើ \(L\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(a\) ។

យើងដឹងថា \(f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1\) ចំពោះ \(x\ne 1\) ។
កាលណា \(x\to 1\) នោះ \(f(x)\to 1+1 = 2\) ។
ដូចនេះ \(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2\) ។

និយមន័យលីមីត \(L\) កាលណា \(x\to c\)

គេថាអនុគមន៍ \(f(x)\) មានលីមីត \(L\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(c\) បើចំពោះគ្រប់ចំនួន \(\varepsilon > 0\) មានចំនួន \(\alpha > 0\) ដែល \(0 < |x-c| < \alpha\) នាំឱ្យ \(|f(x)-L| < \varepsilon\) ។ គេកំណត់សរសេរដោយ៖ \(\lim\limits_{x\to c} f(x) = L\)

ចំពោះគ្រប់ \(\varepsilon > 0\) ត្រូវរក \(\alpha > 0\) ដែល \(0<|x-1|<\alpha\) នាំឱ្យ \(|(3x+2)-5|<\varepsilon\) ។
យើងមាន \(|3x-3|<\varepsilon \Leftrightarrow 3|x-1|<\varepsilon \Leftrightarrow |x-1|<\dfrac{\varepsilon}{3}\) ។
ជ្រើសរើសយក \(\alpha = \dfrac{\varepsilon}{3}\) នោះ \(|x-1|<\alpha \Rightarrow |(3x+2)-5|<\varepsilon\) ។
ដូចនេះពិតជាបាន \(\lim\limits_{x\to 1}(3x+2) = 5\) ។

លីមីត \(+\infty\) កាលណា \(x\to a\)

បើអនុគមន៍ \(f\) ខិតទៅជិត \(+\infty\) កាលណា \(x\) ខិតទៅជិត \(a\) បើចំពោះគ្រប់ចំនួន \(M>0\) មាន \(\alpha>0\) ដែល \(0<|x-a|<\alpha\) នាំឱ្យ \(f(x)>M\) ។ គេកំណត់សរសេរដោយ \(\lim\limits_{x\to a} f(x)=+\infty\)

ចំពោះគ្រប់ \(M>0\) ត្រូវរក \(\alpha>0\) ដែល \(0<|x-2|<\alpha\) នាំឱ្យ \(\dfrac{1}{(x-2)^2}>M\) ។
តម្រូវលក្ខខណ្ឌ \(\dfrac{1}{(x-2)^2}>M \Leftrightarrow (x-2)^2<\dfrac{1}{M} \Leftrightarrow |x-2|<\dfrac{1}{\sqrt{M}}\) ។
ជ្រើសរើស \(\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{M}}\) នោះផ្ទៀងផ្ទាត់តាមនិយមន័យ។
ដូចនេះ \(\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{1}{(x-2)^2} = +\infty\) ។

លីមីត \(-\infty\) កាលណា \(x\to a\)

បើអនុគមន៍ \(f\) ខិតទៅជិត \(-\infty\) កាលណា \(x\) ខិតទៅជិត \(a\) បើចំពោះគ្រប់ចំនួន \(M>0\) មាន \(\alpha>0\) ដែល \(0<|x-a|<\alpha\) នាំឱ្យ \(f(x)<-M\) ។ គេកំណត់សរសេរដោយ \(\lim\limits_{x\to a} f(x)=-\infty\)

ចំពោះគ្រប់ \(M>0\) ត្រូវរក \(\alpha>0\) ដែល \(0<|x-1|<\alpha\) នាំឱ្យ \(\dfrac{-2}{(x-1)^2}<-M\) ។
គេមាន \(\dfrac{-2}{(x-1)^2}<-M \Leftrightarrow \dfrac{2}{(x-1)^2}>M \Leftrightarrow (x-1)^2<\dfrac{2}{M} \Leftrightarrow |x-1|<\sqrt{\dfrac{2}{M}}\) ។
ជ្រើសរើស \(\alpha = \sqrt{\dfrac{2}{M}}\) ។
ដូចនេះ \(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{-2}{(x-1)^2} = -\infty\) ។

លីមីត \(L\) កាលណា \(x\to+\infty\)

បើអនុគមន៍ \(f\) ខិតជិត \(L\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(+\infty\) បើចំពោះគ្រប់ចំនួន \(\varepsilon>0\) មាន \(N>0\) ដែល \(x>N\) នាំឱ្យ \(|f(x)-L|<\varepsilon\) ។ គេកំណត់សរសេរដោយៈ \(\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = L\)

ត្រូវរក \(N>0\) ដែល \(x>N\) នាំឱ្យ \(\left|\dfrac{2x+1}{x}-2\right|<\varepsilon\) ចំពោះគ្រប់ \(\varepsilon>0\) ។
គេមាន \(\left|2+\dfrac{1}{x}-2\right|<\varepsilon \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}<\varepsilon \Leftrightarrow x>\dfrac{1}{\varepsilon}\) (ដោយ \(x>0\)) ។
យក \(N = \dfrac{1}{\varepsilon}\) នោះវានឹងផ្ទៀងផ្ទាត់។
ដូចនេះ \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2x+1}{x} = 2\) ។

លីមីត \(L\) កាលណា \(x\to-\infty\)

បើអនុគមន៍ \(f\) ខិតជិត \(L\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(-\infty\) បើចំពោះគ្រប់ចំនួន \(\varepsilon>0\) មាន \(N>0\) ដែល \(x<-N\) នាំឱ្យ \(|f(x)-L|<\varepsilon\) ។ គេកំណត់សរសេរដោយៈ \(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = L\)

ត្រូវរក \(N>0\) ដែល \(x<-N\) នាំឱ្យ \(\left|\dfrac{x+5}{x}-1\right|<\varepsilon\) ។
គេមាន \(\left|1+\dfrac{5}{x}-1\right|<\varepsilon \Leftrightarrow \dfrac{5}{|x|}<\varepsilon \Leftrightarrow |x|>\dfrac{5}{\varepsilon}\) ។
ដោយ \(x<0\) នោះ \(x<-\dfrac{5}{\varepsilon}\) ។
យក \(N = \dfrac{5}{\varepsilon}\) ជាការស្រេច។
ដូចនេះ \(\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x+5}{x} = 1\) ។

លីមីត \(+\infty\) កាលណា \(x\to+\infty\)

បើអនុគមន៍ \(f\) ខិតជិត \(+\infty\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(+\infty\) បើចំពោះគ្រប់ចំនួន \(M>0\) មាន \(N>0\) ដែល \(x>N\) នាំឱ្យ \(f(x)>M\) ។ គេកំណត់សរសេរដោយៈ \(\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = +\infty\)

ត្រូវរក \(N>0\) ដែល \(x>N\) នាំឱ្យ \(x+2>M\) ចំពោះគ្រប់ \(M>0\) ។
គេមាន \(x+2>M \Leftrightarrow x>M-2\) ។
ប្រសិនបើ \(M>2\) យក \(N=M-2\) ។ បើ \(M\le 2\) យក \(N=1\) ជាដើម។ ជាទូទៅយក \(N=|M-2|+1\) ។
ដូចនេះ \(\lim\limits_{x\to +\infty}(x+2) = +\infty\) ។

លីមីត \(-\infty\) កាលណា \(x\to+\infty\)

បើអនុគមន៍ \(f\) ខិតជិត \(-\infty\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(+\infty\) បើចំពោះគ្រប់ចំនួន \(M>0\) មាន \(N>0\) ដែល \(x>N\) នាំឱ្យ \(f(x)<-M\) ។ គេកំណត់សរសេរដោយៈ \(\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = -\infty\)

ត្រូវរក \(N>0\) ដែល \(x>N\) នាំឱ្យ \(1-2x<-M\) ចំពោះគ្រប់ \(M>0\) ។
គេមាន \(1-2x<-M \Leftrightarrow -2x<-M-1 \Leftrightarrow x>\dfrac{M+1}{2}\) ។
យក \(N = \dfrac{M+1}{2}\) ។
ដូចនេះ \(\lim\limits_{x\to +\infty}(1-2x) = -\infty\) ។

លីមីត \(-\infty\) កាលណា \(x\to-\infty\)

បើអនុគមន៍ \(f\) ខិតជិត \(-\infty\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(-\infty\) បើចំពោះគ្រប់ចំនួន \(M>0\) មាន \(N>0\) ដែល \(x<-N\) នាំឱ្យ \(f(x)<-M\) ។ គេកំណត់សរសេរដោយៈ \(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = -\infty\)

ត្រូវរក \(N>0\) ដែល \(x<-N\) នាំឱ្យ \(2x+3<-M\) ចំពោះគ្រប់ \(M>0\) ។
គេមាន \(2x+3<-M \Leftrightarrow 2x<-M-3 \Leftrightarrow x<-\dfrac{M+3}{2}\) ។
យក \(N = \dfrac{M+3}{2}\) ។
ដូចនេះ \(\lim\limits_{x\to -\infty}(2x+3) = -\infty\) ។

លីមីត \(+\infty\) កាលណា \(x\to-\infty\)

បើអនុគមន៍ \(f\) ខិតជិត \(+\infty\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(-\infty\) បើចំពោះគ្រប់ចំនួន \(M>0\) មាន \(N>0\) ដែល \(x<-N\) នាំឱ្យ \(f(x)>M\) ។ គេកំណត់សរសេរដោយៈ \(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = +\infty\)

ត្រូវរក \(N>0\) ដែល \(x<-N\) នាំឱ្យ \(x^2>M\) ចំពោះគ្រប់ \(M>0\) ។
គេមាន \(x^2>M \Leftrightarrow |x|>\sqrt{M}\) ។
ដោយ \(x\to -\infty\) (ពោលគឺ \(x<0\)) នោះ \(-x>\sqrt{M} \Leftrightarrow x<-\sqrt{M}\) ។
យក \(N = \sqrt{M}\) ។
ដូចនេះ \(\lim\limits_{x\to -\infty} x^2 = +\infty\) ។

ប្រមាណវិធីលើលីមីត

បើ \(\lim\limits_{x\to a}f(x) = L\) និង \(\lim\limits_{x\to a}g(x) = M\) ដែល \((L, M, k, a \in \mathbb{R})\) នោះគេបានប្រមាណវិធីលើលីមីតដូចខាងក្រោម៖

1. \(\lim\limits_{x\to a} k = k\)

2. \(\lim\limits_{x\to a}[kf(x)] = k \lim\limits_{x\to a}f(x) = k \times L\) , \(k\) ជាចំនួនថេរ

3. \(\lim\limits_{x\to a}[f(x) + g(x)] = \lim\limits_{x\to a}f(x) + \lim\limits_{x\to a}g(x) = L + M\)

4. \(\lim\limits_{x\to a}[f(x) - g(x)] = \lim\limits_{x\to a}f(x) - \lim\limits_{x\to a}g(x) = L - M\)

5. \(\lim\limits_{x\to a}[f(x) g(x)] = \lim\limits_{x\to a}f(x) \times \lim\limits_{x\to a}g(x) = L \times M\)

6. \(\lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x\to a}f(x)}{\lim\limits_{x\to a}g(x)} = \dfrac{L}{M}\) , ដែល \(M \ne 0\)

7. \(\lim\limits_{x\to a}[f(x)]^n = [\lim\limits_{x\to a}f(x)]^n = L^n\) , \(n\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន

ទ្រឹស្ដីបទ

1. បើ \(P(x)\) ជាពហុធា និង \(a\) ជាចំនួនពិត នោះគេបានៈ \(\lim\limits_{x\to a} P(x) = P(a)\)

2. បើ \(Q(x)\) ជាអនុគមន៍សនិទានដែល \(Q(x) = \dfrac{p(x)}{r(x)}\) និង \(a\) ជាចំនួនពិតនោះគេបានៈ
   \(\lim\limits_{x\to a} Q(x) = Q(a) = \dfrac{p(a)}{r(a)}\) ដែល \(r(a) \ne 0\)

3. បើ \(a > 0\) និង \(n \in \mathbb{N}\) ឬ \(a \le 0\) និង \(n\) សេស គេបានៈ \(\lim\limits_{x\to a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a} = (a)^\frac{1}{n}\)

4. បើ \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = L\) ដែល \(L > 0\) និង \(n \in \mathbb{N}\) ឬ \(L \le 0\) និង \(n\) សេស គេបានៈ
   \(\lim\limits_{x\to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x\to a}f(x)} = \sqrt[n]{L} = L^{\frac{1}{n}}\)

5. បើ \(\lim\limits_{x\to a}g(x) = L\) ហើយអនុគមន៍ \(f\) ជាប់ត្រង់ \(L\) គេបានៈ
   \(\lim\limits_{x\to a} f[g(x)] = f(L)\)

6. បើ \(a\) ជាចំនួនពិតនៅក្នុងដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគេបានៈ

   1. \(\lim\limits_{x\to a}\cos x = \cos a\)

   2. \(\lim\limits_{x\to a}\sin x = \sin a\)

   3. \(\lim\limits_{x\to a}\tan x = \tan a\)

   4. \(\lim\limits_{x\to a}\cot x = \cot a\)

លីមីតខាងឆ្វេង និង ខាងស្ដាំ

1. បើអនុគមន៍ \(f(x)\) ខិតជិត \(L\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(x_0\) ពីខាងឆ្វេងនោះ \(L\) ជាលីមីតឆ្វេងនៃ \(f(x)\) ហើយគេកំណត់សរសេរដោយៈ \(\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = L\) ។

2. បើអនុគមន៍ \(f(x)\) ខិតជិត \(R\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(x_0\) ពីខាងស្ដាំនោះ \(R\) ជាលីមីតស្ដាំនៃ \(f(x)\) ហើយគេកំណត់សរសេរដោយៈ \(\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = R\) ។

3. បើអនុគមន៍ \(y = f(x)\) មានលីមីតត្រង់ \(x_0\) លុះត្រាតែលីមីតឆ្វេង ស្មើនឹង លីមីតស្ដាំ។

ឧទាហរណ៍ ១១

គេឲ្យ \(f(x)=\dfrac{|x|}{x}\) (\(x\ne 0\)) ។ សិក្សាលីមីតនៃ \(f\) ត្រង់ \(x=0\) ។ បើ \(x>0\) នោះ \(|x|=x\) នាំឱ្យ \(\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x}{x}=1\) ។
បើ \(x<0\) នោះ \(|x|=-x\) នាំឱ្យ \(\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{-x}{x}=-1\) ។
ដោយលីមីតឆ្វេង \((-1)\) ខុសពីលីមីតស្ដាំ \((1)\) ដូចនេះ \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}\) គ្មាន ។

លីមីតនៃអនុគមន៍អសនិទាន

លីមីតអនន្តនៃអនុគមន៍

ប្រមាណវិធីលើលីមីតអនន្ត និងរាងមិនកំណត់

ឧបមាថាកាលណា \(x\to a\) (ឬ \(x\to\pm\infty\)) គេមាន \(f(x)\to L\) (\(L\in\mathbb{R}\)) ឬ \(f(x)\to\pm\infty\) ហើយ \(g(x)\to M\) ឬ \(g(x)\to\pm\infty\) ។ គេបានលទ្ធផលខាងក្រោម៖

ទ្រឹស្ដីបទលីមីតគៀប និងទ្រឹស្ដីបទប្រៀបធៀប

1. ទ្រឹស្ដីបទលីមីតគៀប ៖ បើ \(g(x)\le f(x)\le h(x)\) ចំពោះគ្រប់ \(x\) ក្បែរ \(a\) (លើកលែងតែត្រង់ \(a\)) ហើយ \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=\lim\limits_{x\to a}h(x)=L\) នោះ \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L\) ។

2. ទ្រឹស្ដីបទប្រៀបធៀប ៖ បើ \(f(x)\ge g(x)\) ក្បែរ \(a\) ហើយ \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=+\infty\) នោះ \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty\) ។ បើ \(f(x)\le h(x)\) ក្បែរ \(a\) ហើយ \(\lim\limits_{x\to a}h(x)=-\infty\) នោះ \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=-\infty\) ។

ទ្រឹស្ដីបទទាំងពីរនេះនៅតែពិតកាលណា \(x\to\pm\infty\) ។

លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

លីមីតនៃអនុគមន៍អ៊ិចស្បូណង់ស្យែល

លីមីតនៃអនុគមន៍លោការីត

លីមីត និងអាស៊ីមតូតនៃខ្សែកោង

គេឲ្យខ្សែកោង \((C)\) តាងអនុគមន៍ \(y=f(x)\) ៖

1. បើ \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty\) ឬ \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty\) នោះបន្ទាត់ \(x=a\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃ \((C)\) ។

2. បើ \(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=b\) ឬ \(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=b\) (\(b\in\mathbb{R}\)) នោះបន្ទាត់ \(y=b\) ជាអាស៊ីមតូតដេកនៃ \((C)\) ។

3. បើ \(\lim\limits_{x\to +\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0\) ឬ \(\lim\limits_{x\to -\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0\) (\(a\ne 0\)) នោះបន្ទាត់ \(y=ax+b\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ \((C)\) ។ គេអាចរក \(a=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) និង \(b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-ax\right]\) ។

ឧទាហរណ៍ ១៤

រកអាស៊ីមតូតនៃខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\) ។ ដែនកំណត់ \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) ។ ដោយចែកពហុធា គេសរសេរ \(f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}\) ។
\(\bullet\) \(\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=+\infty\) និង \(\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=-\infty\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \(x=1\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។
\(\bullet\) \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}\left[f(x)-(x+1)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2}{x-1}=0\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \(y=x+1\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

ភាពជាប់នៃអនុគមន៍

ភាពជាប់ត្រង់មួយចំណុច

បើអនុគមន៍ \(y = f(x)\) ជាប់ត្រង់ចំណុច \(x = a\) លុះត្រាតែ

1. \(f(a)\) មានន័យ , (\(f(a)\) ជាចំនួនពិត)

2. \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = n \quad{} (n \in \mathbb{R})\), (មានលីមីតជាចំនួនពិត)

3. \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)\), (តម្លៃលីមីត ស្មើនឹង តម្លៃអនុគមន៍ត្រង់ \(x = a\))

សម្គាល់

ក្នុងលក្ខខណ្ឌខាងលើ៖
\(\bullet\) បើអនុគមន៍មិនបានបំពេញលក្ខខណ្ឌណាមួយ ក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌទាំង៣ ខាងលើនោះវាមិនជាប់ត្រង់ \(x = a\) ទេ បានន័យថាវាដាច់ត្រង់ \(x = a\) ។
\(\bullet\) បើអនុគមន៍ \(f(x)\) ដាច់ត្រង់ \(x = a\) នោះ \(f(a)\) មិនកំណត់ ឬ លីមីតឆ្វេងមិនស្មើលីមីតស្ដាំ ឬ \(\lim\limits_{x\to a}f(x) \ne f(a)\) ។ ក្នុងករណីនេះ គេមិនអាចគូសរូបដោយមិនលើកដៃបានទេ ។

ភាពជាប់ខាងឆ្វេង និងខាងស្ដាំ ៖ អនុគមន៍ \(f\) ជាប់ខាងស្ដាំត្រង់ \(a\) បើ \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(a)\) និងជាប់ខាងឆ្វេងត្រង់ \(a\) បើ \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=f(a)\) ។ អនុគមន៍ \(f\) ជាប់ត្រង់ \(a\) លុះត្រាតែវាជាប់ខាងឆ្វេង និងខាងស្ដាំត្រង់ \(a\) ។

ភាពដាច់ និងការបន្លាយតាមភាពជាប់

បើអនុគមន៍ \(f\) មិនកំណត់ត្រង់ \(a\) ប៉ុន្តែមានលីមីតជាចំនួនពិត \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L\) នោះអនុគមន៍

លក្ខណៈអនុគមន៍ជាប់

បើ \(a\) ជាចំនួនពិត ហើយ \(f(x)\) និង \(g(x)\) ជាប់ត្រង់ចំណុច \(x = a\) នោះគេបានៈ

1. \(f(x) + g(x)\) ជាប់ត្រង់ \(x = a\)

2. \(f(x) - g(x)\) ជាប់ត្រង់ \(x = a\)

3. \(f(x) \times g(x)\) ជាប់ត្រង់ \(x = a\)

4. \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) ជាប់ត្រង់ \(x = a\) ដែល \(g(a) \ne 0\)

5. \(cf(x)\) ជាប់ត្រង់ \(x = a\) ដែល \(c\) ជាចំនួនថេរ

6. \(\dfrac{1}{f(x)}\) ជាប់ត្រង់ \(x = a\) ដែល \(f(a) \ne 0\)

7. \([f(x)]^n\) ដែល \(n\) ជាចំនួនពិត ជាប់ត្រង់ \(x = a\) កាលណាវាកំណត់ត្រង់ \(a\) នោះ ។

ភាពជាប់នៃអនុគមន៍បណ្ដាក់

បើអនុគមន៍ \(g\) ជាប់ត្រង់ \(a\) ហើយអនុគមន៍ \(f\) ជាប់ត្រង់ \(g(a)\) នោះគេបាន អនុគមន៍បណ្ដាក់ \(f \circ g(x)\) ជាប់ត្រង់ \(a\) ។

ភាពជាប់លើចន្លោះមួយ

1. អនុគមន៍ \(f(x)\) ជាប់លើចន្លោះបើក \(]a, b[\) លុះត្រាតែ \(f(x)\) ជាប់ចំពោះគ្រប់ \(x \in ]a, b[\)

2. អនុគមន៍ \(f(x)\) ជាប់លើចន្លោះបិទ \([a, b]\) លុះត្រាតែៈ

   1. \(f(x)\) ជាប់លើចន្លោះបើក \(]a, b[\)

   2. \(f(x)\) ជាប់ឆ្វេងត្រង់ \(b\) \(\left[\lim\limits_{x\to b^-} f(x) = f(b)\right]\)

   3. \(f(x)\) ជាប់ស្ដាំត្រង់ \(a\) \(\left[\lim\limits_{x\to a^+} f(x) = f(a)\right]\)

ទ្រឹស្ដីបទតម្លៃកណ្ដាល

បើ \(f(x)\) ជាប់លើចន្លោះ \([a, b]\) ហើយ \(f(a) \cdot f(b) < 0\) នោះយ៉ាងហោចណាស់ មានចំនួន \(c \in\ ]a, b[\) មួយ ដែល \(f(c) = 0\) ។