មេរៀនទី ៤៩ : បន្ទាត់និងប្លង់ស្របក្នុងលំហ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

វត្ថុបំណង

កំណត់និងប្រើប្រាស់លក្ខណៈបន្ទាត់ស្របក្នុងការដោះស្រាយលំហាត់ ។
កំណត់និងប្រើប្រាស់លក្ខណៈបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ ក្នុងការដោះស្រាយលំហាត់ ។

បន្ទាត់ស្របគ្នា

នៅក្នុងមេរៀនទីតាំងនៃបន្ទាត់ និងប្លង់គេបានឃើញហើយអំពីបន្ទាត់ពីរ ស្របគ្នាក្នុងប្លង់តែមួយ ។ ឧទាហរណ៍ ៖ ផ្លូវសួនច្បារចិញ្ចើមសងខាងនៃផ្លូវត្រង់មួយ \(\dots\) ជារូបភាពបន្ទាត់ពីរស្របគ្នា ។

និយមន័យ

បន្ទាត់ពីរស្របគ្នា គឺជាបន្ទាត់ពីរដែលនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយវាគ្មានចំណុចរួម ។

\[d_1 \parallel d_2 \quad{} \text{កាលណា} \quad{} \begin{cases} d_1 \subset P,\ d_2 \subset P\\ d_1 \cap d_2 = \varnothing \end{cases}\]

លក្ខណៈទី ១

តាមចំណុចមួយស្ថិតនៅក្រៅបន្ទាត់មួយ គេអាចគូសបន្ទាត់បានតែមួយគត់ កាត់តាមចំណុចនេះ ហើយស្របទៅនឹងបន្ទាត់នោះ ។

លក្ខណៈទី ២

បើបន្ទាត់ពីរស្របគ្នា ហើយបន្ទាត់ទី \(2\) ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ទី \(3\) នោះបន្ទាត់ទី \(1\) និងទី \(3\) ស្របគ្នា ៖

\[\left.\begin{aligned} d_1 &\parallel d_2\\ d_2 &\parallel d_3 \end{aligned}\right\} \Rightarrow d_1 \parallel d_3\]

ឧទាហរណ៍ ១

ដំបូលផ្ទះមួយ ៖ គេសង្កេតឃើញថា \(d_1 \parallel d_2\) និង \(d_2 \parallel d_3\) នោះ \(d_1 \parallel d_3\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

គេមានតុមួយ ៖ គេបាន \(L_1 \parallel L_2\) និង \(L_2 \parallel L_3\) នោះ \(L_1 \parallel L_3\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យបន្ទាត់ \(a \parallel b\) ដែល \(a \subset P\) និង \(b \subset Q\) ហើយ \(P \cap Q = l\) ។ បង្ហាញ \(l \parallel a\), \(l \parallel b\) ។

មើលចម្លើយ

បើ \(a\) ស្ថិតក្នុង \(Q\) ផង នោះ \(a = l\) ។ ករណីផ្សេង ៖ \(a \parallel b\) និង \(b \subset Q\) នោះ \(a \parallel Q\) ។ ដោយ \(a \subset P\) និង \(P \cap Q = l\) នោះ \(l \parallel a\) (លក្ខណៈទី ២ នៃបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់) ។ តាមលក្ខណៈទី ២ ខាងលើ \(l \parallel a\) និង \(a \parallel b\) នាំឱ្យ \(l \parallel b\) ។

លក្ខណៈទី ៣

បើបន្ទាត់ពីរស្របគ្នា គ្រប់ប្លង់ដែលកាត់បន្ទាត់ទី \(1\) ត្រូវកាត់បន្ទាត់ទី \(2\) ៖

\[\left.\begin{aligned} d &\parallel d'\\ P \cap d &= \{A\} \end{aligned}\right\} \Rightarrow \text{មានចំណុច } A' \text{ ដែល } P \cap d' = \{A'\}\]

បន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់

បន្ទាត់ \(d\) ស្របនឹងប្លង់ \(P\) នោះ គេកំណត់សរសេរ \(d \parallel P\) ។ ដូច្នេះ \(d \parallel P \Leftrightarrow d \cap P = \varnothing\) ។

និយមន័យ

បន្ទាត់មួយស្របនឹងប្លង់មួយ កាលណាវាគ្មានចំណុចរួម ។

លក្ខណៈទី ១

គ្រប់បន្ទាត់ដែលនៅក្រៅប្លង់មួយ ហើយស្របនឹងបន្ទាត់មួយនៃប្លង់ជាបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់នោះ ៖

\[\left.\begin{aligned} d &\not\subset P\\ d &\parallel d'\\ d' &\subset P \end{aligned}\right\} \Rightarrow d \parallel P\]

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ បន្ទាត់ស្រប \(d\) និង \(d'\) កំណត់បានប្លង់ \(Q\) មួយដែល \(P \cap Q = d'\) ។ ឧបមាថា \(d \cap P = \{A\}\) មានន័យថា \(A \in P\), \(A \in Q\) នោះគេបាន \(A \in d'\) (ព្រោះ \(P \cap Q = d'\)) ។ គេបាន \(d \cap d' = \{A\}\) ករណីនេះ ផ្ទុយសម្មតិកម្មដែលថា \(d \parallel d'\) ។ ដូច្នេះ \(d\) មិនអាចកាត់ប្លង់ \(P\) បានទេ ពោលគឺ \(d\) ស្របនឹងប្លង់ \(P\) ។

លក្ខណៈទី ២

បើបន្ទាត់មួយស្របនឹងប្លង់មួយ នោះគ្រប់ប្លង់ដែលកាត់តាមបន្ទាត់នេះប្រសព្វប្លង់ទី \(1\) ហើយស្របនឹងបន្ទាត់នោះ ៖

\[\left.\begin{aligned} d &\parallel P\\ d &\subset Q\\ P \cap Q &= d' \end{aligned}\right\} \Rightarrow d \parallel d'\]

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ ឧបមាថា \(d \cap d' = \{A\}\) គេបាន \(A \in d'\) ហើយ \(A \in P\) ។ ដោយ \(A \in P\) និង \(A \in d\) នោះគេបាន \(d\) ជួប \(P\) ។ ករណីនេះផ្ទុយពីសម្មតិកម្មដែលថា \(d \parallel P\) ។ ដូច្នេះ \(d \parallel d'\) (\(d\) និង \(d'\) ស្ថិតក្នុងប្លង់ \(Q\) តែមួយ) ។

លំហាត់គំរូ

គេឱ្យពីរ៉ាមីត \(SABCD\) ដែលមានបាត \(ABCD\) ជាការេ ។ ប្លង់មួយកាត់តាមបន្ទាត់ \(BC\) ហើយប្រសព្វប្លង់ \(SAD\) តាម \(IJ\) ។ កំណត់ប្រភេទចតុកោណ \(BCJI\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេមាន

\[\left.\begin{aligned} BC &\parallel AD\\ AD &\subset SAD\\ BC &\not\subset SAD \end{aligned}\right\} \Rightarrow BC \parallel SAD\]

\[\left.\begin{aligned} BC &\parallel SAD\\ SAD \cap IBCJ &= IJ \end{aligned}\right\} \Rightarrow BC \parallel IJ\]

ដូច្នេះ \(BCJI\) ជាចតុកោណព្នាយ ។

លក្ខណៈទី ៣

បើបន្ទាត់មួយស្របនឹងប្លង់ពីរប្រសព្វគ្នា នោះវាស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វរវាងប្លង់ទាំងពីរនោះ ៖

\[\left.\begin{aligned} d &\parallel P\\ d &\parallel Q\\ P \cap Q &= d' \end{aligned}\right\} \Rightarrow d \parallel d'\]

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ យក \(O \in d'\) ។ តាម \(O\) គូសបន្ទាត់ \(d'' \parallel d\) ។ គេបាន \(O \in P\) នាំឱ្យ \(d'' \subset P\) និង \(O \in Q\) នាំឱ្យ \(d'' \subset Q\) ។ នាំឱ្យ \(P \cap Q = d''\) នាំឱ្យ \(d''\) ត្រួត \(d'\) ។ ដូច្នេះ \(d \parallel d'\) ។

ប្លង់ស្របគ្នា

នៅសងខាងផ្លូវត្រង់មួយមានរបង យើងឃើញថារបងទាំងពីរនេះមិនជួបគ្នាទេ បើសិនជានៅតែមានផ្លូវបន្តទៀត ។ ដូច្នេះគេនិយាយថា ប្លង់របងទាំងពីរជាប្លង់ស្របគ្នា ។

និយមន័យ

ប្លង់ពីរស្របគ្នា កាលណាវាគ្មានចំណុចរួម ។

បើប្លង់ \(P\) ស្របនឹងប្លង់ \(Q\) នោះគេកំណត់សរសេរ \(P \parallel Q\) ។ ដូច្នេះ \(P \parallel Q \Leftrightarrow P \cap Q = \varnothing\) ។ (ប្លង់ឈរស្របគ្នា ប្លង់ដេកស្របគ្នា និងប្លង់ទ្រេតស្របគ្នា)

លក្ខណៈទី ១

តាមចំណុចមួយនៅក្រៅប្លង់ \(P\) មួយ គេអាចគូសបានប្លង់ \(Q\) តែមួយគត់ដែលស្របទៅនឹងប្លង់នោះ ។

លក្ខណៈទី ២

បើប្លង់ពីរស្របគ្នា នោះគ្រប់ប្លង់ដែលស្របនឹងប្លង់មួយ ត្រូវស្របនឹងប្លង់មួយទៀត ៖

\[\left.\begin{aligned} P &\parallel Q\\ S &\parallel Q \end{aligned}\right\} \Rightarrow P \parallel S\]

លំហាត់គំរូ ១

គេឱ្យចតុមុខ \(ABCD\) ។ \(I, J, K\) និង \(L\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃទ្រនុង \(AB\), \(BC\), \(CD\) និង \(DA\) ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(IJKL\) ជាប្រលេឡូក្រាម ។

ដំណោះស្រាយ

ក្នុងត្រីកោណ \(ABC\) មាន \(IJ\) ជាបាតមធ្យម គេបាន \(IJ \parallel AC\) ។ ក្នុងត្រីកោណ \(ACD\) មាន \(KL\) ជាបាតមធ្យម គេបាន \(KL \parallel AC\) ។ តាមលក្ខណៈទី \(2\) នៃបន្ទាត់ស្របគ្នា គេបាន ៖

\[\left.\begin{aligned} IJ &\parallel AC\\ KL &\parallel AC \end{aligned}\right\} \Rightarrow IJ \parallel KL\]

ដូចគ្នាដែរចំពោះត្រីកោណ \(ABD\) និង \(BCD\) គេបាន \(IL \parallel JK\) ។ ដូច្នេះ ចតុកោណ \(IJKL\) មានជ្រុងពីរស្របរៀងគ្នាជាប្រលេឡូក្រាម ។

លក្ខណៈទី ៣

ប្លង់ពីរស្របគ្នា ហើយកាត់ដោយប្លង់ទី \(3\) នោះបន្ទាត់ប្រសព្វជាបន្ទាត់ស្របគ្នា ។ គេបាន

\[\left.\begin{aligned} P &\parallel Q\\ R \cap P &= d_1\\ R \cap Q &= d_2 \end{aligned}\right\} \Rightarrow d_1 \parallel d_2\]

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ ឧបមាថា \(d_1\) ជួប \(d_2\) ត្រង់ \(A\) ។ គេបាន \(A \in d_1 \subset P\) នោះ \(A \in P\) ។ ម្យ៉ាងទៀត \(A \in d_2 \subset Q\) នោះ \(A \in Q\) ។ ដូច្នេះ គេបាន \(A\) ជាចំណុចរួមនៃ \(P\) និង \(Q\) ពោលគឺផ្ទុយពីសម្មតិកម្មដែលថា \(P \parallel Q\) ។ ដូច្នេះ គេបាន \(d_1 \parallel d_2\) (ព្រោះ \(d_1, d_2\) នៅក្នុងប្លង់ \(R\) តែមួយ) ។

លំហាត់គំរូ ២

ប្លង់ \(P\) និង \(Q\) ជាប្លង់ស្របគ្នា ហើយ \(d_1\) និង \(d_2\) ជាបន្ទាត់ស្របគ្នា ។ ប្លង់ \(P\) កាត់ \(d_1\) និង \(d_2\) រៀងគ្នាតាម \(A\) និង \(B\) ។ ប្លង់ \(Q\) កាត់ \(d_1\) និង \(d_2\) រៀងគ្នាតាម \(C\) និង \(D\) ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាចតុកោណ \(ABDC\) ជាប្រលេឡូក្រាម ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយបន្ទាត់ \(d_1\) និង \(d_2\) កំណត់ដោយប្លង់មួយដែលតាងដោយ \(R\) ។ គេបានប្លង់ \(R \cap P = AB\) និង \(R \cap Q = CD\) ។ តាមលក្ខណៈទី \(3\) គេបាន \(AB \parallel CD\) ។ ម្យ៉ាងទៀត \(AC \parallel BD\) (ស្ថិតលើ \(d_1 \parallel d_2\)) ។ ដូច្នេះ ចតុកោណ \(ABDC\) ជាប្រលេឡូក្រាម ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យប្លង់ពីរស្របគ្នា និងបន្ទាត់ពីរស្របគ្នា ដែលកាត់តាមប្លង់ពីរនោះ ។ បង្ហាញថាអង្កត់ពីរនៅចន្លោះប្លង់ពីរនោះជាអង្កត់ប៉ុនគ្នា ។

មើលចម្លើយ

តាមលំហាត់គំរូ ២ ចតុកោណ \(ABDC\) ជាប្រលេឡូក្រាម ដូច្នេះជ្រុងឈមប៉ុនគ្នា ៖ \(AC = BD\) ។

លក្ខណៈទី ៤

បើប្លង់ពីរស្របគ្នា នោះគ្រប់បន្ទាត់កាត់ប្លង់ទី \(1\) ត្រូវកាត់ប្លង់ទី \(2\) ៖

\[\left.\begin{aligned} P &\parallel Q\\ d \cap P &= \{A\} \end{aligned}\right\} \Rightarrow d \cap Q = \{B\}\]

លក្ខណៈទី ៥

ប្លង់ច្រើនស្របគ្នា កំណត់នៅលើខ្នាត់ពីរបានអង្កត់ត្រូវគ្នាសមាមាត្រគ្នា ។

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ គេពិនិត្យប្លង់បីស្របគ្នា \(P\), \(Q\) និង \(R\) ហើយកាត់ដោយខ្នាត់ពីរ \(\Delta\) និង \(\Delta'\) បានចំណុច \(A, B, C\) និង \(A', B', C'\) រៀងគ្នា ។ ឧបមាថាបន្ទាត់ \(\Delta_1\) ស្របទៅនឹង \(\Delta\) កាត់ប្លង់ \(P\) ត្រង់ \(A'\) ប្លង់ \(Q\) ត្រង់ \(B_1\) និងប្លង់ \(R\) ត្រង់ \(C_1\) ។ គេបាន \(AB = A'B_1\), \(BC = B_1C_1\) និង \(AC = A'C_1\) ។ បន្ទាត់ \(\Delta_1\) កាត់ \(\Delta'\) ត្រង់ចំណុច \(A'\) ហើយកំណត់បានប្លង់មួយ ប្លង់នេះកាត់ប្លង់ \(Q\) និង \(R\) តាមបន្ទាត់ \(B_1B'\) និង \(C_1C'\) រៀងគ្នា ដែល \(B_1B' \parallel C_1C'\) ។ តាមទ្រឹស្ដីបទតាលែសគេបាន \(\dfrac{A'B'}{A'B_1} = \dfrac{B'C'}{B_1C_1} = \dfrac{A'C'}{A'C_1}\) ។ ដូច្នេះគេបាន

\[\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}\]

ប្រតិបត្តិ

\(I, J, K\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងនៃ \(AE\), \(BC\), \(GH\) នៃគូប \(ABCDEFGH\) (\(ABCD\) ជាបាត ហើយ \(E, F, G, H\) នៅពីលើ \(A, B, C, D\) រៀងគ្នា) ។

បង្ហាញថាប្លង់ \(BEG \parallel\) ប្លង់ \(ACH\)
បង្ហាញថាប្លង់ \(ICH \parallel\) ប្លង់ \(KBE\)
បង្ហាញថាប្លង់ \(IJK \parallel\) ប្លង់ \(BEG\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(BCHE\) និង \(ABGH\) ជាចតុកោណកែង ដូច្នេះ \(BE \parallel CH\) និង \(BG \parallel AH\) ។ ប្លង់ \(BEG\) មានបន្ទាត់ប្រសព្វពីរស្របនឹងប្លង់ \(ACH\) ដូច្នេះ \(BEG \parallel ACH\) ។ ខ. \(BE \parallel CH\) ។ តាង \(M\) ជាកណ្ដាល \(BE\) ៖ \(IM\) និង \(HK\) ស្របនិងស្មើនឹង \(\tfrac{1}{2}AB\) ដូច្នេះ \(HIMK\) ជាប្រលេឡូក្រាម នាំឱ្យ \(HI \parallel KM\) ។ ប្លង់ \(ICH\) មានបន្ទាត់ប្រសព្វ \(CH\) និង \(HI\) ស្របនឹងប្លង់ \(KBE\) ដូច្នេះ \(ICH \parallel KBE\) ។ គ. តាង \(N\) ជាកណ្ដាល \(BG\) ៖ \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{EN}\) និង \(\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{MG}\) ដូច្នេះ \(IJ \parallel EN\) និង \(IK \parallel MG\) ដែល \(EN, MG \subset BEG\) ។ ហេតុនេះ \(IJK \parallel BEG\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម) ទំព័រ ៣០០–៣០៧។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

លំហាត់ ក. ដល់ ង. នៃគូប \(ABCDEFGH\) (\(ABCD\) ជាបាត, \(E, F, G, H\) នៅពីលើ \(A, B, C, D\) រៀងគ្នា) ចូរបញ្ជាក់ពាក្យខុសឬត្រូវ ៖ ក. បន្ទាត់ \(AG\) និង \(DF\) ស្របគ្នា ខ. បន្ទាត់ \(BF\) និង \(HD\) ស្របគ្នា គ. ត្រីកោណ \(\triangle AFH\) ជាត្រីកោណកែង ឃ. បន្ទាត់ \(AG\) ស្របនឹងប្លង់ \(CDF\) ង. ប្លង់ \(ACF\) ស្របនឹងប្លង់ \(EFH\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ខុស (\(AG\) និង \(DF\) ជាអង្កត់ទ្រូងគូប ប្រសព្វគ្នាត្រង់ផ្ចិតគូប) ខ. ត្រូវ គ. ខុស (\(AF = FH = HA\) ជាអង្កត់ទ្រូងមុខ ៖ ត្រីកោណសមង្ស) ឃ. ខុស (\(AG\) កាត់ប្លង់ \(CDEF\) ត្រង់ផ្ចិតគូប) ង. ខុស (ប្លង់ \(ACF\) កាត់ប្លង់ \(EFH\) ត្រង់ \(F\)) ។

២លំហាត់ទី ២

គេឱ្យតេត្រាអែត \(ABCD\) មួយ ។ បន្ទាត់ \(d\) មួយកាត់តាម \(A\) ស្របទៅនឹង \(BC\) និង \(d'\) ជាបន្ទាត់កាត់តាម \(D\) ស្របទៅនឹង \(AB\) ។ បង្ហាញថា \(d\) និង \(d'\) មិនស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ឧបមាថា \(d\) និង \(d'\) ស្ថិតក្នុងប្លង់ \(R\) តែមួយ ។ បើ \(d \parallel d'\) នោះ \(BC \parallel AB\) មិនពិត ។ ដូច្នេះ \(d\) និង \(d'\) ប្រសព្វគ្នា ហើយប្លង់ \(R\) ស្របនឹង \(BC\) និង \(AB\) គឺ \(R \parallel ABC\) ។ ប៉ុន្តែ \(A \in R\) និង \(A \in ABC\) នាំឱ្យ \(R = ABC\) ដូច្នេះ \(D \in ABC\) ផ្ទុយនឹង \(ABCD\) ជាតេត្រាអែត ។

៣លំហាត់ទី ៣

គេមានបន្ទាត់ពីរ \(a\) និង \(a'\) មិនស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ ។ បង្ហាញថាគ្មានបន្ទាត់ស្របគ្នាដែលកាត់តាម \(a\) និង \(a'\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

បើមានបន្ទាត់ \(b \parallel b'\) ដែល \(b\) កាត់ \(a\) និង \(a'\) ត្រង់ \(A_1, A'_1\) ហើយ \(b'\) កាត់ \(a\) និង \(a'\) ត្រង់ \(A_2, A'_2\) នោះ \(b\) និង \(b'\) កំណត់ប្លង់មួយដែលមាន \(A_1, A_2 \in a\) និង \(A'_1, A'_2 \in a'\) ។ ដូច្នេះ \(a\) និង \(a'\) ស្ថិតក្នុងប្លង់នោះ ផ្ទុយនឹងសម្មតិកម្ម ។

៤លំហាត់ទី ៤

គេមានបន្ទាត់ \(d\) និង \(d'\) ស្របគ្នានៅក្នុងប្លង់ \(P\) និង \(P'\) រៀងគ្នា ។ បន្ទាត់ \(a\) ជាប្រសព្វរវាងប្លង់ \(P\) និង \(P'\) ។ បង្ហាញថា \(a \parallel d\) និង \(a \parallel d'\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(d \parallel d'\) និង \(d' \subset P'\) នោះ \(d \parallel P'\) (បើ \(d \not\subset P'\)) ។ ដោយ \(d \subset P\) និង \(P \cap P' = a\) តាមលក្ខណៈទី ២ នៃបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ គេបាន \(a \parallel d\) ។ ហើយ \(a \parallel d\), \(d \parallel d'\) នាំឱ្យ \(a \parallel d'\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

គេឱ្យបន្ទាត់ \(a\) និង \(a'\) ស្របគ្នា នៅក្នុងប្លង់ \(P\) មួយ ។ ប្លង់ \(Q\) និង \(Q'\) កើតឡើងដោយបន្ទាត់ \(a\) និង \(a'\) ជាមួយនឹងបន្ទាត់ \(b\) រៀងគ្នា ។ បង្ហាញថា \(b\) ស្របនឹងប្លង់ \(P\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(Q \cap Q' = b\) ។ \(a \parallel a' \subset Q'\) នាំឱ្យ \(a \parallel Q'\) ហើយ \(a \subset Q\) ដូច្នេះ \(b \parallel a\) ។ ដោយ \(b \parallel a \subset P\) និង \(b \not\subset P\) នោះ \(b \parallel P\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

គេមានតេត្រាអែត \(OABC\) មួយដែលចំណុច \(M, N, P\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃជ្រុង \(OA\), \(OB\), \(OC\) ។ បង្ហាញថាប្លង់ \(ABC\) ស្របនឹងប្លង់ \(MNP\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(MN\) ជាបាតមធ្យមនៃ \(\triangle OAB\) ៖ \(MN \parallel AB\) ។ \(NP\) ជាបាតមធ្យមនៃ \(\triangle OBC\) ៖ \(NP \parallel BC\) ។ ប្លង់ \(MNP\) មានបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ \(MN\) និង \(NP\) ស្របនឹងប្លង់ \(ABC\) ដូច្នេះ \(MNP \parallel ABC\) ។

៧លំហាត់ទី ៧

គេមានតេត្រាអែត \(ABCD\) មួយដែលចំណុច \(M\) ស្ថិតនៅលើជ្រុង \(AB\) ខុសពី \(A\) និង \(B\) ។ បន្ទាត់កាត់តាមចំណុច \(M\) មួយស្របទៅនឹង \(AC\) រួចកាត់ \(BC\) ត្រង់ \(N\) ។ បន្ទាត់កាត់តាមចំណុច \(N\) ស្របទៅនឹង \(BD\) រួចកាត់ \(CD\) ត្រង់ \(P\) និងបន្ទាត់កាត់តាមចំណុច \(P\) ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ \(AC\) រួចកាត់ \(AD\) ត្រង់ \(Q\) ។ ក. បង្ហាញថា \(MNPQ\) ជាប្រលេឡូក្រាម ខ. បង្ហាញថា \(AC\) ស្របនឹងប្លង់ \(MNPQ\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(MN \parallel AC \parallel PQ\) ។ តាមទ្រឹស្ដីបទតាលែស ៖ \(\dfrac{BN}{BC} = \dfrac{BM}{BA}\), \(\dfrac{CP}{CD} = \dfrac{CN}{CB} = \dfrac{AM}{AB}\), \(\dfrac{DQ}{DA} = \dfrac{DP}{DC} = \dfrac{BM}{AB}\) ។ ដូច្នេះ \(MN = AC\cdot\dfrac{BM}{AB} = PQ\) ។ ចតុកោណ \(MNPQ\) មានជ្រុងឈម \(MN\) និង \(PQ\) ស្របនិងប៉ុនគ្នា ជាប្រលេឡូក្រាម ។ ខ. \(AC \parallel MN\) និង \(MN \subset MNPQ\) ហើយ \(AC \not\subset MNPQ\) ដូច្នេះ \(AC \parallel MNPQ\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៤៩ បន្ទាត់និងប្លង់ស្របក្នុងលំហ (វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត