មេរៀនទី ៤៧ : រង្វាស់នៃគម្លាត — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

វត្ថុបំណង

គណនារ៉ង់និងចន្លោះអាំងទែរកាទីល
គណនាវ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល និងគំរូ ។

រ៉ង់

ឧទាហរណ៍ ១

ទិន្នន័យខាងក្រោម ជាពិន្ទុសិស្ស $5$ នាក់ ដែលគេបានជ្រើសរើសចេញពីថ្នាក់រៀនពីរ គឺថ្នាក់ $A$ និងថ្នាក់ $B$ ។
ថ្នាក់ $A$ ៖ $3, 4, 5, 6, 7$
ថ្នាក់ $B$ ៖ $1, 3, 5, 7, 9$ ។

បើគេគណនាគម្លាតរវាងពិន្ទុដែលខ្ពស់ជាងគេ និងពិន្ទុដែលទាបជាងគេ នោះគេបាន ៖ គម្លាតពិន្ទុថ្នាក់ $A$ ៖ $7 - 3 = 4$ ។ គម្លាតពិន្ទុថ្នាក់ $B$ ៖ $9 - 1 = 8$ ។

គេសង្កេតឃើញថាពិន្ទុថ្នាក់ $A$ និង $B$ មានមធ្យមស្មើនឹង $5$ ដូចគ្នា ។ ប៉ុន្តែពិន្ទុថ្នាក់ $B$ មានគម្លាតធំជាងគម្លាតពិន្ទុថ្នាក់ $A$ ។ គេថាពិន្ទុថ្នាក់ $B$ មានពង្រាយខ្លាំងជាង ។

និយមន័យ

រ៉ង់ គឺជាផលដករវាងតម្លៃទិន្នន័យដែលខ្ពស់ជាងគេ និងតម្លៃទិន្នន័យដែលទាបជាងគេ ។

ឧទាហរណ៍ ២

សង្កេតទិន្នន័យដែលជាពិន្ទុសិស្សមាន $6, 9, 11, 15, 25, 26, 27, 27, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 35, 85, 100$ ។

ទិន្នន័យនេះពង្រាយខ្សោយព្រោះយើងឃើញថាពិន្ទុមួយចំនួននៅកៀកៗគ្នា ។ ប៉ុន្តែបើគេពិនិត្យតាមរ៉ង់នោះ $100 - 6 = 94$ រ៉ង់មានតម្លៃធំបញ្ជាក់ថាពិន្ទុមានពង្រាយខ្លាំង ក្នុងករណីនេះផ្ទុយនឹងពិន្ទុពិតរបស់សិស្សដែលបានទទួល ។ ដូច្នេះ រ៉ង់មិនអាចយកជាការបាន ។

ក្នុងករណីដែលរ៉ង់មានតម្លៃធំពេក ហើយទិន្នន័យពិតមួយចំនួននៅកៀកគ្នា គេត្រូវបង្កើតគម្លាតមួយទៀតដោយកាត់ចោល $25\%$ នៃពិន្ទុទាប និង $25\%$ នៃពិន្ទុខ្ពស់ ហើយគេសិក្សាតែរ៉ង់ $50\%$ នៃពិន្ទុដែលស្ថិតនៅកណ្ដាល ។

$25\%$ នៃពិន្ទុទាបគឺ $6, 9, 11, 15$
$25\%$ នៃពិន្ទុខ្ពស់គឺ $31, 35, 85, 100$
$50\%$ នៃពិន្ទុកណ្ដាលគឺ $25, 26, 27, 27, 29, 30, 30, 30, 31$ ។

$Q_1 = \dfrac{15 + 25}{2} = 20$ និង $Q_3 = \dfrac{31 + 31}{2} = 31$ ។ គណនារ៉ង់នៃពិន្ទុកណ្ដាលនេះ គេបាន រ៉ង់ $31 - 20 = 11$ ហៅថាចន្លោះអាំងទែរកាទីល តាងដោយ $I$ ។

ចន្លោះអាំងទែរកាទីល

\[I = Q_3 - Q_1\]

ធ្វើរបៀបនេះ គេនឹងបានតម្លៃមួយដែលផ្ដល់ផលល្អក្នុងការវិភាគទិន្នន័យ ទោះបីទិន្នន័យនោះមានពង្រាយខ្លាំង ឬពង្រាយខ្សោយក៏ដោយ ។

លំហាត់គំរូ

គេបានសម្ភាសន៍សមាជិកក្រុមភ្លេងមួយក្រុម ដើម្បីចង់ដឹងថា តើសមាជិកម្នាក់ៗអាចប្រើឧបករណ៍ភ្លេងបានចំនួនប៉ុន្មាន? លទ្ធផលនៃការសម្ភាសន៍ត្រូវបានគេរៀបដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ខាងក្រោម ៖

\[\begin{array}{|l|ccccc|}\hline \text{ចំនួនឧបករណ៍ភ្លេង } x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline \text{ចំនួនសមាជិក } f & 11 & 10 & 5 & 3 & 1\\ \hline \end{array}\]

គណនារ៉ង់ និងចន្លោះអាំងទែរកាទីល ។

ដំណោះស្រាយ

រ៉ង់ $= 5 - 1 = 4$ ។ ទិន្នន័យមានបំណែងចែកប្រេកង់ ការគណនាកាទីលត្រូវបង្កើតតារាងប្រេកង់កើន ៖

\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline x & f & f^{\uparrow}\\ \hline 1 & 11 & 11\\ 2 & 10 & 21\\ 3 & 5 & 26\\ 4 & 3 & 29\\ 5 & 1 & 30\\ \hline \end{array}\]

$Q_1 =$ តម្លៃតួទី $\dfrac{1}{4}(n + 1) =$ តម្លៃតួទី $\dfrac{1}{4}(30 + 1) =$ តម្លៃតួទី $7.75$ ($n = 30$) $\Rightarrow Q_1 = 1$ ។
$Q_3 =$ តម្លៃតួទី $\dfrac{3}{4}(n + 1) =$ តម្លៃតួទី $\dfrac{3}{4}(30 + 1) =$ តម្លៃតួទី $23.25 \Rightarrow Q_3 = 3$ ។
ដូច្នេះ $I = 3 - 1 = 2$ ។

ប្រតិបត្តិ

គណនារ៉ង់និងចន្លោះអាំងទែរកាទីលនៃសំណុំទិន្នន័យខាងក្រោម ៖

$4, 2, 8, 3, 9, 11, 12, 18, 7, 3$
$\begin{array}{|c|cccccc|}\hline x & 3 & 8 & 9 & 7 & 5 & 10\\ \hline f & 5 & 7 & 3 & 9 & 4 & 2\\ \hline\end{array}$

មើលចម្លើយ

ក. រៀប ៖ $2, 3, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 18$ ។ រ៉ង់ $= 18 - 2 = 16$ ។ $Q_1 =$ តួទី $2.75$ ៖ $3$, $Q_3 =$ តួទី $8.25$ ៖ $\dfrac{11 + 12}{2} = 11.5$ ។ $I = 11.5 - 3 = 8.5$ ។ ខ. រ៉ង់ $= 10 - 3 = 7$, $n = 30$ ៖ $Q_1 =$ តួទី $7.75$ ៖ $5$, $Q_3 =$ តួទី $23.25$ ៖ $8$ ។ $I = 3$ ។

វ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដានៃស្ថិតិសកល

ឥឡូវនេះ យើងពិនិត្យមើលពង្រាយនៃចំនួនដែលនៅសងខាងតម្លៃមធ្យម សម្រាប់ទិន្នន័យខាងក្រោម ៖ គេមានសំណុំទិន្នន័យ $-193, -93, 7, 107, 207$ ដែលមានមធ្យមស្មើនឹង $7$ ។

យើងឃើញថាគម្លាតពីមធ្យមមាន $-200, -100, 0, 100$ និង $200$ ។ បើគេបូកគម្លាតទាំងអស់នេះ នោះផលបូកស្មើនឹងសូន្យ ។ លទ្ធផលស្មើនឹងសូន្យ ពុំអាចបញ្ជាក់ពីពង្រាយឡើយនៅពេលដែលគេចង់ប្រៀបធៀបរង្វាស់ពង្រាយនៃសំណុំទិន្នន័យមួយ ទៅនឹងរង្វាស់ពង្រាយនៃសំណុំទិន្នន័យមួយទៀត ។ ហេតុនេះ គេត្រូវពិនិត្យមើលការេនៃគម្លាតទាំង $5$ ខាងលើ គេបាន $(-200)^2, (-100)^2, 0^2, (100)^2$ និង $(200)^2$ ឬស្មើនឹង $40\,000$, $10\,000$, $0$, $10\,000$ និង $40\,000$ ។

បើគេយកផលបូកការេនៃគម្លាតដែលស្មើនឹង $100\,000$ ទៅចែកនឹងចំនួនគម្លាត $5$ នោះគេបានតម្លៃមួយហៅថា វ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល តម្លៃនោះគឺ $\dfrac{100\,000}{5} = 20\,000$ ។

ជាទូទៅ

វ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកលមានរូបមន្ត

\[\sigma^2 = \frac{\sum(X_i - \mu)^2}{N}\]

ដែល $\sigma^2$ តាងវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល ($\sigma$ អានថា “sigma” ស៊ិចម៉ា), $\mu$ តាងមធ្យមស្ថិតិសកល អានថា “mu” មុយ, $N$ តាងចំនួនទិន្នន័យទាំងអស់ក្នុងស្ថិតិសកល, $X_i$ តួនីមួយៗនៃទិន្នន័យក្នុងស្ថិតិសកល ។

រូបមន្តកាត់សម្រាប់វ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល ៖

\[\begin{aligned} \sigma^2 &= \frac{\sum(X_i - \mu)^2}{N} = \frac{\sum(X_i^2 - 2\mu X_i + \mu^2)}{N}\\ &= \frac{\sum X_i^2 - 2\mu\sum X_i + \sum\mu^2}{N}\\ &= \frac{\sum X_i^2}{N} - 2\mu\frac{\sum X_i}{N} + \frac{\sum\mu^2}{N} \end{aligned}\]

ដោយ $\dfrac{\sum X_i}{N} = \mu$ ហើយ $\sum\mu^2 = N\mu^2 = N\left(\dfrac{\sum X_i}{N}\right)^2$ យើងបាន ៖

\[\begin{aligned} \sigma^2 &= \frac{\sum X_i^2}{N} - 2\left(\frac{\sum X_i}{N}\right)^2 + \left(\frac{\sum X_i}{N}\right)^2\\ &= \frac{\sum X_i^2}{N} - \left(\frac{\sum X_i}{N}\right)^2 \end{aligned}\]

ដូច្នេះ

\[\sigma^2 = \frac{N\sum X_i^2 - \left(\sum X_i\right)^2}{N^2}\]

ឫសការេនៃវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកលហៅថា គម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល ។ ដូច្នេះ

\[\begin{gathered} \sigma = \sqrt{\frac{\sum(X_i - \mu)^2}{N}} \quad{} \text{ឬ}\\ \sigma = \frac{1}{N}\sqrt{N\sum X_i^2 - \left(\sum X_i\right)^2} \end{gathered}\]

លំហាត់គំរូ ១

គេមានទិន្នន័យ $7, 4, 6, 9, 12, 4, 10, 11, 15, 17, 15$ ។ គេសន្មតថាទិន្នន័យនេះជាស្ថិតិសកល ។ គណនាវ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដា ។

ដំណោះស្រាយ

តាមរូបមន្តវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល $\sigma^2 = \dfrac{\sum(X_i - \mu)^2}{N}$ ។ មធ្យមស្ថិតិសកល

\[\begin{aligned} \mu &= \frac{\sum X_i}{N}\\ &= \frac{7 + 4 + 6 + 9 + 12 + 4 + 10 + 11 + 15 + 17 + 15}{11}\\ &= \frac{110}{11} = 10 \end{aligned}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline X_i & X_i - \mu & (X_i - \mu)^2\\ \hline 7 & 7 - 10 = -3 & 9\\ 4 & 4 - 10 = -6 & 36\\ 6 & 6 - 10 = -4 & 16\\ 9 & 9 - 10 = -1 & 1\\ 12 & 12 - 10 = 2 & 4\\ 4 & 4 - 10 = -6 & 36\\ 10 & 10 - 10 = 0 & 0\\ 11 & 11 - 10 = 1 & 1\\ 15 & 15 - 10 = 5 & 25\\ 17 & 17 - 10 = 7 & 49\\ 15 & 15 - 10 = 5 & 25\\ \hline & & \sum(X_i - \mu)^2 = 202\\ \hline \end{array}\]

ដូច្នេះ វ៉ារ្យង់ $\sigma^2 = \dfrac{202}{11} \approx 18.36$ ។ គម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល $\sigma = \sqrt{18.36} \approx 4.28$ ។

ប្រើប្រាស់រូបមន្តកាត់ ៖ $\sum X_i = 7 + 4 + \dots + 15 = 110$, $\sum X_i^2 = 7^2 + 4^2 + \dots + 15^2 = 1302$, $N = 11$ ។

\[\begin{gathered} \sigma^2 = \frac{11\times 1302 - 110^2}{11^2} \approx 18.36,\\ \sigma = \sqrt{18.36} \approx 4.28 \end{gathered}\]

លំហាត់គំរូ ២

ប្រាក់ចំណូលប្រចាំសប្ដាហ៍របស់នាយករង $5$ នាក់ក្នុងក្រុមហ៊ុនមួយមាន $\$50$, $\$60$, $\$55$, $\$52$ និង $\$58$ (គេសន្មតថាទិន្នន័យជាស្ថិតិសកល) ។

គណនាវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល
គណនាគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល ។

ដំណោះស្រាយ

រូបមន្តវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល $\sigma^2 = \dfrac{\sum(X_i - \mu)^2}{N}$ ។ ក្នុងរូបមន្តនេះ យើងមិនស្គាល់មធ្យមស្ថិតិសកល $\mu$ ទេ ។ គណនា $\mu$ ៖ $\mu = \dfrac{\sum X_i}{N} = \dfrac{50 + 60 + 55 + 52 + 58}{5} = \dfrac{275}{5} = 55$ ។
\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline X_i & X_i - \mu & (X_i - \mu)^2\\ \hline 50 & 50 - 55 = -5 & 25\\ 60 & 60 - 55 = 5 & 25\\ 55 & 55 - 55 = 0 & 0\\ 52 & 52 - 55 = -3 & 9\\ 58 & 58 - 55 = 3 & 9\\ \hline & & \sum(X_i - \mu)^2 = 68\\ \hline \end{array}\]
ដូច្នេះ $\sigma^2 = \dfrac{68}{5} = 13.6$ ។
គម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកលជាឫសការេនៃវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{13.6} \approx 3.69$ ។

ប្រតិបត្តិ

ម៉ាសនៃឡាំងឥវ៉ាន់មួយចំនួន ដែលគេផ្ញើទៅប្រទេសថៃមានទម្ងន់ $98$ kg, $95$ kg, $110$ kg, $106$ kg, $103$ kg, $112$ kg, $119$ kg, $102$ kg, $92$ kg, $105$ kg, $91$ kg និង $90$ kg ។ គណនាវ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល ។

មើលចម្លើយ

$\mu \approx 101.92$, $\sigma^2 \approx 75.74$, $\sigma \approx 8.7$ ។

វ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដានៃស្ថិតិគំរូ

វ៉ារ្យង់ស្ថិតិគំរូនិងវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកលមានការខុសគ្នាបន្តិច ។ វ៉ារ្យង់គំរូ តាងដោយ

\[s^2 = \frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n - 1}\]

ដែល $s^2$ តាងវ៉ារ្យង់ស្ថិតិគំរូ, $\bar{X}$ តាងមធ្យមស្ថិតិគំរូ $\bar{X} = \dfrac{\sum X_i}{n}$, $n$ តាងចំនួនទិន្នន័យក្នុងស្ថិតិគំរូ, $X_i$ តាងតួនីមួយៗនៃទិន្នន័យក្នុងស្ថិតិគំរូ ។

រូបមន្តកាត់សម្រាប់វ៉ារ្យង់គំរូ ៖

\[\begin{aligned} s^2 &= \frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n - 1}\\ &= \frac{\sum(X_i^2 - 2\bar{X}X_i + \bar{X}^2)}{n - 1}\\ &= \frac{\sum X_i^2 - 2\bar{X}\sum X_i + \sum\bar{X}^2}{n - 1}\\ &= \frac{\sum X_i^2 - 2\cdot\frac{\sum X_i}{n}\cdot\sum X_i + \left(\frac{\sum X_i}{n}\right)^2\cdot n}{n - 1} \end{aligned}\]

(ដោយ $\bar{X} = \dfrac{\sum X_i}{n}$ មធ្យមស្ថិតិគំរូ និង $\sum\bar{X}^2 = n\bar{X}^2$)

\[\Rightarrow s^2 = \frac{n\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)^2 + \left(\sum X_i\right)^2}{n(n - 1)}\]

ដូច្នេះ

\[s^2 = \frac{n\sum X_i^2 - \left(\sum X_i\right)^2}{n(n - 1)}\]

សម្គាល់

កាលណាចំនួនទិន្នន័យក្នុងគំរូកាន់តែធំទៅៗ ពេលនោះរូបមន្តវ៉ារ្យង់គំរូកាន់តែដូចវ៉ារ្យង់សកលស្ថិតិ ។ មានន័យថា កាលណា $n$ កាន់តែធំនោះ $s^2 \to \sigma^2$ ។ គេអាចយកវ៉ារ្យង់ស្ថិតិគំរូ ដើម្បីធ្វើការប៉ាន់ស្មានវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល ។ ដូច្នេះហើយបានជាភាគបែងនៃវ៉ារ្យង់ស្ថិតិគំរូ $n(n - 1)$ ព្រោះចៀសវាងកុំឱ្យមានល្អៀងធំពេក ។

លំហាត់គំរូ

ក្នុងរោងចក្រធ្វើនំមួយ មានម៉ាស៊ីនសម្រាប់ខ្ចប់នំពីរគឺ ម៉ាស៊ីន $A$ និងម៉ាស៊ីន $B$ ។ គេជ្រើសរើសយកគំរូនំចំនួន $10$ កញ្ចប់ចេញពីលទ្ធផលនៃម៉ាស៊ីននីមួយៗ ហើយម៉ាសនំថ្លឹងបង្គត់គិតជាក្រាម ។

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ម៉ាស៊ីន } A & \text{ម៉ាស៊ីន } B\\ \hline 196 & 192\\ 198 & 194\\ 198 & 195\\ 199 & 198\\ 200 & 200\\ 200 & 201\\ 201 & 203\\ 201 & 204\\ 202 & 206\\ 205 & 207\\ \hline \end{array}\]

គណនាគម្លាតស្តង់ដានៃម៉ាសកញ្ចប់នំ ដែលយកចេញពីលទ្ធផលការងារម៉ាស៊ីននីមួយៗ
បកស្រាយចម្លើយសំណួរខាងលើ ។

ដំណោះស្រាយ

គម្លាតស្តង់ដានៃម៉ាស៊ីន $A$ និងម៉ាស៊ីន $B$ តាមរូបមន្ត $s^2 = \dfrac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n - 1}$ ។
\[\begin{aligned} \bar{X}_A &= \frac{196 + 198 + \dots + 202 + 205}{10} = \frac{2000}{10} = 200 \text{ g}\\ \bar{X}_B &= \frac{192 + 194 + \dots + 206 + 207}{10} = \frac{2000}{10} = 200 \text{ g} \end{aligned}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline X_i\,(A) & X_i - \bar{X}_A & (X_i - \bar{X}_A)^2\\ \hline 196 & -4 & 16\\ 198 & -2 & 4\\ 198 & -2 & 4\\ 199 & -1 & 1\\ 200 & 0 & 0\\ 200 & 0 & 0\\ 201 & 1 & 1\\ 201 & 1 & 1\\ 202 & 2 & 4\\ 205 & 5 & 25\\ \hline & & 56\\ \hline \end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline X_i\,(B) & X_i - \bar{X}_B & (X_i - \bar{X}_B)^2\\ \hline 192 & -8 & 64\\ 194 & -6 & 36\\ 195 & -5 & 25\\ 198 & -2 & 4\\ 200 & 0 & 0\\ 201 & 1 & 1\\ 203 & 3 & 9\\ 204 & 4 & 16\\ 206 & 6 & 36\\ 207 & 7 & 49\\ \hline & & 240\\ \hline \end{array}\]
គម្លាតស្តង់ដាសម្រាប់ម៉ាស៊ីន $A$ ៖ $s_A = \sqrt{\dfrac{\sum(X_i - \bar{X}_A)^2}{n - 1}} = \sqrt{\dfrac{56}{9}} = \sqrt{6.22} \approx 2.49$ ។
គម្លាតស្តង់ដាសម្រាប់ម៉ាស៊ីន $B$ ៖ $s_B = \sqrt{\dfrac{\sum(X_i - \bar{X}_B)^2}{n - 1}} = \sqrt{\dfrac{240}{9}} = \sqrt{26.67} \approx 5.16$ ។
ដោយម៉ាស៊ីន $A$ មានគម្លាតស្តង់ដាតូចជាងគម្លាតស្តង់ដាម៉ាស៊ីន $B$ នាំឱ្យម៉ាស៊ីន $A$ ធ្វើការបានល្អជាងម៉ាស៊ីន $B$ ។

វិធីផ្សេងដោយប្រើរូបមន្តកាត់ ៖ ម៉ាស៊ីន $A$ ៖ $\sum x_i = 2000$, $\sum x_i^2 = 400\,056$ ៖ $s_A = \sqrt{\dfrac{10\times 400\,056 - 2000^2}{10\times 9}} \approx 2.494$ ។ ម៉ាស៊ីន $B$ ៖ $\sum x_i = 2000$, $\sum x_i^2 = 400\,240$ ៖ $s_B = \sqrt{\dfrac{10\times 400\,240 - 2000^2}{10\times 9}} \approx 5.164$ ។

ប្រតិបត្តិ

អាយុកាលអគារអ្នកជំងឺតាមផ្នែកនីមួយៗក្នុងមន្ទីរពេទ្យមួយមាន $38$, $26$, $13$ និង $22$ ឆ្នាំ ។ គណនាវ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដា បើគេឧបមាថាទិន្នន័យជាស្ថិតិគំរូ ។

មើលចម្លើយ

$\bar{X} = 24.75$, $s^2 \approx 107.58$, $s \approx 10.37$ ។

វ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដាសម្រាប់ទិន្នន័យផ្ដុំជាតារាងប្រេកង់

បើទិន្នន័យ $X_1, X_2, X_3, \dots, X_n$ កើតឡើងដោយមានប្រេកង់ $f_1, f_2, f_3, \dots, f_n$ នោះវ៉ារ្យង់នៃស្ថិតិសកលមានរូបមន្ត

រូបមន្ត

\[\begin{aligned} \sigma^2 = \frac{\sum f_i(X_i - \mu)^2}{\sum f_i} \quad{} \text{ឬ} \quad{} \sigma^2 &\\ &= \frac{N\cdot\sum f_iX_m^2 - \left(\sum f_iX_m\right)^2}{N^2} \end{aligned}\]

ដែល $X_m$ ជាផ្ចិតនៃថ្នាក់ $X_m = \dfrac{X_L + X_M}{2}$ និង $N = \sum f_i$ ។ $\sigma$ ឫសការេនៃវ៉ារ្យង់ហៅថា គម្លាតស្តង់ដា គេបាន

\[\begin{gathered} \sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i(X_i - \mu)^2}{\sum f_i}}\\ \text{ឬ} \quad{} \sigma = \sqrt{\frac{N\cdot\sum f_iX_m^2 - \left(\sum f_iX_m\right)^2}{N^2}} \end{gathered}\]

សម្គាល់

ចំពោះទិន្នន័យផ្ដុំជាតារាងប្រេកង់ វ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកល និងស្ថិតិគំរូ មានរូបមន្តស្រដៀងគ្នាកំណត់ដោយ $s^2 = \dfrac{n\cdot\sum f_iX_m^2 - \left(\sum f_iX_m\right)^2}{n(n - 1)}$ ដែល $n = \sum f_i$ ។

លំហាត់គំរូ

តារាងខាងក្រោម ជាបំណែងចែកការប្រាក់ដែលអ្នកវិនិយោគចំនួន $460$ នាក់ឱ្យក្នុងមួយឆ្នាំ ។

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ការប្រាក់ (គិតជាដុល្លារ)} & \text{ចំនួនអ្នកវិនិយោគ } f_i\\ \hline 25 - 30 & 17\\ 30 - 40 & 55\\ 40 - 60 & 142\\ 60 - 80 & 153\\ 80 - 110 & 93\\ \hline \end{array}\]

គណនាគម្លាតស្តង់ដា ។

ដំណោះស្រាយ

ចំពោះទិន្នន័យដែលផ្ដុំជាថ្នាក់ ចំណុចកណ្ដាលនៃថ្នាក់តំណាងឱ្យថ្នាក់នីមួយៗ ។ ឧបមាថាទិន្នន័យជាទិន្នន័យគំរូ ។ គម្លាតស្តង់ដាគំរូ $s = \sqrt{\dfrac{n\cdot\sum f_iX_m^2 - \left(\sum f_iX_m\right)^2}{n(n - 1)}}$, $n = \sum f_i$ ។

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ការប្រាក់} & f_i & X_m & f_iX_m & X_m^2 & f_iX_m^2\\ \hline 25 - 30 & 17 & 27.5 & 467.5 & 756.25 & 12\,856.25\\ 30 - 40 & 55 & 35 & 1925 & 1225 & 67\,375\\ 40 - 60 & 142 & 50 & 7100 & 2500 & 355\,000\\ 60 - 80 & 153 & 70 & 10\,710 & 4900 & 749\,700\\ 80 - 110 & 93 & 95 & 8835 & 9025 & 839\,325\\ \hline & 460 & & 29\,037.5 & & 2\,024\,256.25\\ \hline \end{array}\]

\[\begin{aligned} s &\\ &= \sqrt{\frac{460\times 2\,024\,256.25 - 29\,037.5^2}{460\times 459}} \approx 20.41316 \end{aligned}\]

ដូច្នេះ $s \approx 20.41$ ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានបំណែងចែកប្រេកង់ខាងក្រោម ។ គណនាមធ្យម និងគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិគំរូ ។

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ថ្នាក់} & f_i\\ \hline 5 - 10 & 15\\ 10 - 15 & 72\\ 15 - 20 & 15\\ 20 - 25 & 90\\ 25 - 30 & 35\\ 30 - 35 & 8\\ \hline \end{array}\]

មើលចម្លើយ

$\bar{X} \approx 19.24$, $s \approx 6.58$ ។

មេរៀនសង្ខេប ជំពូកទី ៧

មេរៀនសង្ខេប

បើទិន្នន័យដែលបានរៀបតាមលំដាប់មានចំនួនតួស្មើនឹង $n$ នោះគេបាន ៖ កាទីលទី $1$ $Q_1 =$ តម្លៃតួទី $\dfrac{1}{4}(n + 1)$, កាទីលទី $2$ $Q_2 =$ តម្លៃតួទី $\dfrac{2}{4}(n + 1) =$ តម្លៃតួទី $\dfrac{1}{2}(n + 1)$, កាទីលទី $3$ $Q_3 =$ តម្លៃតួទី $\dfrac{3}{4}(n + 1)$ ។
បើគេតាង $D_i$ ជាទីតាំងនៃភាគដប់ នោះគេបាន $D_1, D_2, D_3, \dots, D_9$ ៖ $D_1 =$ តម្លៃតួទី $\dfrac{1}{10}(n + 1)$, $\dots$, $D_9 =$ តម្លៃតួទី $\dfrac{9}{10}(n + 1)$ ។
បើគេតាង $L_P$ ជាតម្លៃតួទីតាំងភាគរយ នោះគេបាន $L_1, L_2, \dots, L_{99}$ ។ រូបមន្តភាគរយ $L_P =$ តម្លៃតួទី $\dfrac{P}{100}(n + 1)$ ដែល $P$ ជាភាគរយដែលគេត្រូវរក ។
រង្វាស់ទីតាំងនៃទិន្នន័យផ្ដុំជាថ្នាក់ ៖ $Q_1 = L + \dfrac{\frac{1}{4}n - f^{\uparrow}}{f}\times(i)$, $Q_3 = L + \dfrac{\frac{3}{4}n - f^{\uparrow}}{f}\times(i)$, $L_P = L + \dfrac{\frac{P}{100}n - f^{\uparrow}}{f}\times(i)$ ។
រ៉ង់ គឺជាផលដករវាងតម្លៃទិន្នន័យដែលខ្ពស់ជាងគេនិងតម្លៃទិន្នន័យដែលទាបជាងគេ ។
- ចន្លោះអាំងទែរកាទីល $I = Q_3 - Q_1$
- វ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកលមានរូបមន្ត $\sigma^2 = \dfrac{\sum(X - \mu)^2}{N}$
- គម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
- វ៉ារ្យង់គំរូ តាងដោយ $s^2 = \dfrac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n - 1} = \dfrac{n\sum X_i^2 - \left(\sum X_i\right)^2}{n(n - 1)}$
- គម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិគំរូ $s = \sqrt{s^2}$ ។
ចំពោះទិន្នន័យផ្ដុំជាថ្នាក់
- ឫសការេនៃវ៉ារ្យង់ស្ថិតិសកលហៅថា គម្លាតស្តង់ដា ៖ $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum f_i(X_i - \mu)^2}{\sum f_i}} = \sqrt{\dfrac{N\cdot\sum f_iX_m^2 - \left(\sum f_iX_m\right)^2}{N^2}}$ ដែល $N = \sum f_i$
- ឫសការេនៃវ៉ារ្យង់ស្ថិតិគំរូហៅថា គម្លាតស្តង់ដា ៖ $s = \sqrt{\dfrac{\sum f_i(X_i - \bar{X})^2}{n - 1}} = \sqrt{\dfrac{n\cdot\sum f_iX_m^2 - \left(\sum f_iX_m\right)^2}{n(n - 1)}}$ ដែល $n = \sum f_i$ ។

លំហាត់ជំពូកទី ៧

គេមានសំណុំទិន្នន័យខាងក្រោម ។ គណនាកាទីលទាំងបី ភាគដប់ និង $L_{35}$ ៖
1. $4, 8, 3, 6, 7, 10, 11, 18, 15, 19, 20$
2. $\begin{array}{|c|cccccccc|}\hline x & 7 & 8 & 9 & 11 & 13 & 15 & 19 & 20\\ \hline f & 2 & 5 & 4 & 12 & 11 & 9 & 7 & 3\\ \hline\end{array}$
អ្នកទេសចរជនជាតិជប៉ុន ដែលធ្វើដំណើរតាមយន្តហោះមកព្រះរាជាណាចក្រកម្ពុជាមានអាយុ $32, 21, 60, 47, 54, 17, 72, 55, 33$ និង $41$ ឆ្នាំ ។
1. គណនារ៉ង់
2. គណនាចន្លោះអាំងទែរកាទីល
3. គណនាគម្លាតស្តង់ដា ។
ប្រាក់ចំណូលប្រចាំសប្ដាហ៍របស់នាយករង $5$ នាក់ក្នុងក្រុមហ៊ុនមួយនោះមាន $\$30$, $\$35$, $\$50$, $\$42$ និង $\$40$ ដោយគិតថាទិន្នន័យជាស្ថិតិសកល ។ ក. គណនាវ៉ារ្យង់ ខ. គណនាគម្លាតស្តង់ដា ។
ពិន្ទុនៃការធ្វើតេស្តសិស្សចំនួន $60$ នាក់លើមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យា បានបង្ហាញដូចតារាងខាងក្រោម ៖
\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ពិន្ទុ} & \text{ចំនួនសិស្ស } f\\ \hline 100 - 105 & 8\\ 105 - 110 & 13\\ 110 - 115 & 25\\ 115 - 120 & 11\\ 120 - 125 & 4\\ \hline \end{array}\]
1. គណនារ៉ង់
2. គណនា $Q_1$ និង $Q_2$
3. គណនាភាគដប់និង $L_{36}$
4. គណនាវ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិគំរូ ។
តារាងខាងក្រោម ជាបំណែងចែកប្រេកង់រយៈពេលសម្រាប់ដោះស្រាយចំណោទរបស់សិស្ស $38$ នាក់ងាយមួយ ។
\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{រយៈពេល (គិតជាវិនាទី)} & \text{ចំនួនសិស្ស } f\\ \hline 5 - 10 & 8\\ 10 - 20 & 13\\ 20 - 25 & 24\\ 25 - 40 & 11\\ 40 - 45 & 4\\ \hline \end{array}\]
1. គណនាម៉ូត
2. គណនាមធ្យម
3. គណនាគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិគំរូ ។
គេមានបំណែងចែកប្រេកង់ខាងក្រោម ៖
\[\begin{array}{|c|ccccccccccc|}\hline x_i & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 29 & 30 & 31\\ \hline f_i & 20 & 30 & 33 & 31 & 20 & 18 & 12 & 10 & 5 & 3 & 2\\ \hline \end{array}\]
ក. គណនាម៉ូត ខ. គណនាគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិគំរូ ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម) ទំព័រ ២៧៦–២៨៨។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គណនារ៉ង់និងចន្លោះអាំងទែរកាទីលនៃសំណុំទិន្នន័យខាងក្រោម ៖ ក. $5, 16, 9, 8, 6, 10, 12, 10, 8, 6$ ខ. $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline f & 5 & 2 & 7 & 9 & 4 & 10 & 5\\ \hline\end{array}$

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រៀប ៖ $5, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 16$ ។ រ៉ង់ $= 16 - 5 = 11$ ។ $Q_1 =$ តួទី $2.75$ ៖ $6$, $Q_3 =$ តួទី $8.25$ ៖ $\dfrac{10 + 12}{2} = 11$ ៖ $I = 5$ ។ ខ. $n = 42$, រ៉ង់ $= 9 - 3 = 6$ ។ $f^{\uparrow}$ ៖ $5, 7, 14, 23, 27, 37, 42$ ។ $Q_1 =$ តួទី $10.75$ ៖ $5$, $Q_3 =$ តួទី $32.25$ ៖ $8$ ៖ $I = 3$ ។

២លំហាត់ទី ២

ប្រាក់ចំណូលប្រចាំសប្ដាហ៍ (គិតជាដុល្លារ) របស់អ្នកនឹងនាំថ្នាក់កណ្ដាលក្នុងក្រុមហ៊ុនមួយមាន $52, 56, 58, 65, 68, 65, 75, 70$ ។ ដោយសន្មតថាទិន្នន័យទាំងនេះជាស្ថិតិសកល ។ ក. គណនារ៉ង់ ខ. គណនាវ៉ារ្យង់សកលស្ថិតិ និងគម្លាតស្តង់ដាស្ថិតិសកល ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រ៉ង់ $= 75 - 52 = 23$ ។ ខ. $\mu = \dfrac{509}{8} = 63.625$, $\sigma^2 \approx 52.23$, $\sigma \approx 7.23$ ។

៣លំហាត់ទី ៣

ពូសែនិងពូសុខជាឈ្មួញទិញជ្រូកដូចគ្នា ។ ឈ្មួញទាំងពីរទិញជ្រូកបានម្នាក់ $10$ ក្បាល ដែលជ្រូកនីមួយៗមានម៉ាស ៖

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ម៉ាសជ្រូកពូសែ (kg)} & \text{ម៉ាសជ្រូកពូសុខ (kg)}\\ \hline 70 & 63\\ 92 & 63\\ 102 & 65\\ 98 & 71\\ 105 & 72\\ 35 & 74\\ 39 & 40\\ 39 & 58\\ 40 & 80\\ 60 & 94\\ \hline \end{array}\]

ក. គណនាវ៉ារ្យង់ (ស្ថិតិសកល) ។ ខ. តើឈ្មួញណាមួយទិញជ្រូកបានម៉ាសស្មើសាច់ជាង?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មធ្យមទាំងពីរស្មើ $68$ kg ។ ពូសែ ៖ $\sigma^2 = 762.4$ ($\sigma \approx 27.61$) ។ ពូសុខ ៖ $\sigma^2 = 182.4$ ($\sigma \approx 13.51$) ។ ខ. ពូសុខទិញជ្រូកបានម៉ាសស្មើសាច់ជាង ព្រោះវ៉ារ្យង់តូចជាង ។

៤លំហាត់ទី ៤

គេមានទិន្នន័យ $a, b, 8, 5, 7$ (ស្ថិតិសកល) ដែលមានតម្លៃមធ្យមស្មើនឹង $6$ និងវ៉ារ្យង់ស្មើនឹង $2$ ។ គណនាតម្លៃ $a$ និង $b$ បើ $a > b$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

$\dfrac{a + b + 20}{5} = 6 \Rightarrow a + b = 10$ ។ $\dfrac{(a - 6)^2 + (b - 6)^2 + 4 + 1 + 1}{5} = 2 \Rightarrow (a - 6)^2 + (b - 6)^2 = 4$ ។ ដោយ $b - 6 = -(a - 6)$ គេបាន $2(a - 6)^2 = 4$ ។ ដូច្នេះ $a = 6 + \sqrt{2}$, $b = 6 - \sqrt{2}$ ។

៥លំហាត់ទី ៥

បំណែងចែកប្រេកង់ខាងក្រោម ជាបំណែងចែកម៉ាស (kg) ជ្រូកចំនួន $40$ ក្បាលក្នុងកសិដ្ឋានមួយ ៖

\[\begin{array}{|l|ccccc|}\hline \text{ម៉ាស (kg)} & 20 - 30 & 30 - 40 & 40 - 50 & 50 - 60 & 60 - 70\\ \hline \text{ចំនួនជ្រូក } f_i & 5 & 8 & 10 & 11 & 6\\ \hline \end{array}\]

ក. គណនារ៉ង់ ខ. គណនាមធ្យម គ. គណនាគម្លាតស្តង់ដា ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រ៉ង់ $= 70 - 20 = 50$ kg ។ ខ. $\mu = \dfrac{\sum f_iX_m}{N} = \dfrac{1850}{40} = 46.25$ kg ។ គ. $\sum f_iX_m^2 = 91\,800$ ៖ $\sigma = \sqrt{\dfrac{40\times 91\,800 - 1850^2}{40^2}} \approx 12.49$ kg (បើគិតជាស្ថិតិគំរូ $s \approx 12.65$ kg) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៤៧ រង្វាស់នៃគម្លាត (វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត