មេរៀនទី ៣១ : ស៊ីតធរណីមាត្រ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

វត្ថុបំណង

កំណត់និយមន័យនិងផលធៀបរួមនៃស៊ីតធរណីមាត្រ
កំណត់តួទី $n$ នៃស៊ីតធរណីមាត្រ
បង្ហាញផលគុណតួស្មើចម្ងាយពីតួចុង
គណនាផលបូកតួនៃស៊ីតធរណីមាត្រ
គណនាផលបូកតួនៃស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួ ។

និយមន័យស៊ីតធរណីមាត្រ

ឧទាហរណ៍

គេមានស៊ីត $2, 6, 18, 54, 162, \ldots$ ។ គេបាន

\[\begin{aligned} a_1 &= 2\\ a_2 &= 6 = 2 \times 3 = a_1 \times 3\\ a_3 &= 18 = 6 \times 3 = a_2 \times 3\\ a_4 &= 54 = 18 \times 3 = a_3 \times 3\\ a_5 &= 162 = 54 \times 3 = a_4 \times 3 \text{ ។} \end{aligned}\]

គេសង្កេតឃើញថា តួនីមួយៗនៃស៊ីត (ក្រៅពីតួទី $1$) ស្មើនឹងតួមុនបន្ទាប់គុណនឹងចំនួនថេរមួយ (ស្មើនឹង $3$) ។ ដូច្នេះ ស៊ីត $2, 6, 18, 54, 162, \ldots$ ហៅថា ស៊ីតធរណីមាត្រ ។ ចំនួនថេរ $3$ ហៅថា ផលធៀបរួមនៃស៊ីតធរណីមាត្រ ។

និយមន័យ

ស៊ីតធរណីមាត្រ គឺជាស៊ីតនៃចំនួនពិតដែលតួនីមួយៗ (ក្រៅពីតួទី $1$) ស្មើនឹងតួមុនបន្ទាប់គុណនឹងចំនួនថេរ $q$ ដែល $q \ne 0$ ។ ចំនួនថេរ $q$ នេះ ហៅថាផលធៀបរួមនៃស៊ីតធរណីមាត្រ ។

ជាទូទៅ

ផលធៀបរួមនៃស៊ីតធរណីមាត្រ តាងដោយ $q$ ដែល $q \ne 0$ ។

\[q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = \ldots = \frac{a_{n+1}}{a_n} \text{ ។}\]

តួទី $n$ នៃស៊ីតធរណីមាត្រ

ឧទាហរណ៍

គេមានស៊ីតធរណីមាត្រ $2, 6, 18, 54, 162, \ldots$ ។ គេបាន

\[\begin{aligned} a_1 &= 2\\ a_2 &= 2 \times 3 = a_1 \times 3\\ a_3 &= 18 = 6 \times 3 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2 = 2 \times 3^{3-1}\\ a_4 &= 54 = 18 \times 3 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^3 = 2 \times 3^{4-1}\\ a_5 &= 162 = 54 \times 3 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^4 = 2 \times 3^{5-1}\\ &\ \,\vdots\\ a_n &= 2 \times \underbrace{3 \times 3 \times \ldots \times 3}_{(n-1) \text{ តួ}} = 2 \times 3^{n-1} \text{ ។} \end{aligned}\]

ជាទូទៅ

តួទី $n$ នៃស៊ីតធរណីមាត្រកំណត់ដោយ ៖ $a_n = a_1 \times q^{n-1}$ ។

លំហាត់គំរូ ១

គេមានស៊ីតធរណីមាត្រ $6, 12, 24, 48, \ldots$ ។

គណនាតួទី $14$
តើចំនួន $384$ ជាតួទីប៉ុន្មាននៃស៊ីត?

ដំណោះស្រាយ

តាងតួទីមួយ $a_1 = 6$ តួទីពីរ $a_2 = 12$ គេបានផលធៀបរួម $q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{12}{6} = 2$ ។

តួទី $14$ នៃស៊ីតត្រូវនឹង $a_{14}$ ។ តាមរូបមន្ត គេបាន $a_n = 6 \times 2^{n-1}$ នោះ $a_{14} = 6 \times 2^{13} = 6 \times 8192 = 49152$ ។ ដូច្នេះតួទី $14$ គឺ $a_{14} = 49152$ ។
តាមរូបមន្ត $a_n = a_1 \times q^{n-1}$ ដោយ $a_n = 384$ គេបាន
\[\begin{gathered} 384 = 6 \times 2^{n-1} \iff 64 = 2^{n-1}\\ \iff 2^6 = 2^{n-1} \iff 6 = n - 1 \Rightarrow n = 7 \end{gathered}\]
ដូច្នេះចំនួន $384$ ជាតួទី $7$ នៃស៊ីត ។

លំហាត់គំរូ ២

ប្រជាជននៅទីក្រុងមួយមានចំនួន $2$ លាននាក់ក្នុងឆ្នាំ $2000$ ហើយមានកំណើន $4\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ បង្ហាញថាចំនួនប្រជាជនប្រចាំឆ្នាំបង្កើតបានជាស៊ីតធរណីមាត្រ និងព្យាករទុកនូវចំនួនប្រជាជនក្នុងឆ្នាំ $2009$ ។

ដំណោះស្រាយ

តាងចំនួនប្រជាជនក្នុងឆ្នាំ $2000$ ដោយ $a_1 = 2$ លាននាក់ នោះចំនួនប្រជាជនក្នុងឆ្នាំ $2001$ នឹងមាន $2 + 2(0.04) = 2(1.04)$ លាននាក់ ។

ចំនួនប្រជាជនក្នុងឆ្នាំ $2002$ នឹងមាន $a_3 = 2(1.04)^2$ លាននាក់ ។

ចំនួនប្រជាជនក្នុងឆ្នាំ $2003$ នឹងមាន $a_4 = 2 \times (1.04)^3$ លាននាក់ ។

ចំនួនប្រជាជនប្រចាំឆ្នាំបង្កើតបានជាស៊ីតធរណីមាត្រ ។ ដូច្នេះ ចំនួនប្រជាជនក្នុងឆ្នាំ $2009$ នឹងមាន $a_{10} = 2 \times (1.04)^9 = 2\,846\,624$ នាក់ ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានស៊ីតធរណីមាត្រ $3, 12, 48, 192, \ldots$ ។
1. គណនាតួទី $9$ ។
2. តើចំនួន $12288$ ជាតួទីប៉ុន្មាននៃស៊ីត?
គ្រួសារមួយសម្រេចចិត្តបើកគណនីសន្សំប្រាក់ជាមុនសម្រាប់ការសិក្សារបស់កូនគាត់ ។ នៅពេលថ្ងៃចាប់កំណើតកូនរបស់គាត់ គាត់បានយកប្រាក់ចំនួន $100\,000$ រៀលទៅផ្ញើនៅធនាគារដោយបានទទួលអត្រាការប្រាក់សមាស $6\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ ធនាគារទូទាត់អត្រាការប្រាក់មួយឆ្នាំម្តង ។
1. កំណត់ចំនួនប្រាក់សរុបនៅរាល់ចុងឆ្នាំនីមួយៗនៃបួនឆ្នាំដំបូង និងកំណត់ចំនួនប្រាក់សរុបនៅចុងឆ្នាំទី $n$ ។
2. កំណត់ចំនួនប្រាក់សរុបនៅចុងឆ្នាំទី $21$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $a_9 = 196608$ ខ. $a_7 = 12288$ ។
ក. $a_1 = 106000$, $a_2 = 112360$, $a_3 = 119101.6$, $a_4 = 126247.696$, $a_n = 100000\left(1 + \dfrac{6}{100}\right)^n$
ខ. $a_{21} = 339956.36$ ។

ផលគុណតួស្មើចម្ងាយពីតួចុង

ឧទាហរណ៍

គេមានស៊ីតធរណីមាត្រ $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ ។ $a_1$ និង $a_6$ ហៅថាតួចុង $a_2$ និង $a_5$ ហើយ $a_3$ និង $a_4$ ហៅថាតួនៅស្មើចម្ងាយពីតួចុង ។

បង្ហាញថា $a_1 \times a_6 = a_2 \times a_5 = a_3 \times a_4$ ។

តាមរូបមន្តតួទី $n$ នៃស៊ីតធរណីមាត្រ $a_n = a_1 \times q^{n-1}$ គេបាន

\[\begin{aligned} a_1 \times a_6 &= a_1 \times a_1 \times q^{6-1} = a_1^2 \times q^5 &\quad{} (1)\\ a_2 \times a_5 &= a_1 \times q \times a_1 \times q^{5-1} = a_1^2 \times q^5 &\quad{} (2)\\ a_3 \times a_4 &= a_1 \times q^{3-1} \times a_1 \times q^{4-1} = a_1^2 \times q^5 &\quad{} (3) \end{aligned}\]

តាម $(1)$, $(2)$ និង $(3)$ គេបាន $a_1 \times a_6 = a_2 \times a_5 = a_3 \times a_4$ ។

បើ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_p, \ldots, a_{n-p+1}, \ldots, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$ ជាស៊ីតធរណីមាត្រ ។ តួ $a_1$ និង $a_n$ ជាតួចុង ហើយ $a_2$ និង $a_{n-1}$, $a_3$ និង $a_{n-2}$, $\ldots$, $a_p$ និង $a_{n-p+1}$ ជាតួស្មើចម្ងាយពីតួចុង នោះ

\[a_1 \times a_n = a_2 \times a_{n-1} = a_3 \times a_{n-2} = \ldots = a_p \times a_{n-p+1} \text{ ។}\]

ជាទូទៅ

ផលគុណតួស្មើចម្ងាយពីតួចុងស្មើនឹងផលគុណតួចុងទាំងពីរ ។ គេកំណត់សរសេរ $a_p \times a_{n-p+1} = a_1 \times a_n$ ។

ករណីពិសេស ៖ បីចំនួនតគ្នា $a, b$ និង $c$ ជាស៊ីតធរណីមាត្រសមមូល $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b} = q$ ឬ $a \times c = b^2$ ឬ ($b = \sqrt{a \times c}$ ហៅថា មធ្យមធរណីមាត្រ $a$ និង $c$) ។

លំហាត់គំរូ

គេឱ្យបីចំនួនតគ្នា $a, b$ និង $c$ ជាស៊ីតធរណីមាត្រ ។ បង្ហាញថាបីចំនួនតគ្នា $a^2, b^2$ និង $c^2$ ក៏ជាស៊ីតធរណីមាត្រដែរ ។

ដំណោះស្រាយ

បីចំនួនតគ្នា $a, b$ និង $c$ ជាស៊ីតធរណីមាត្រនោះ $b^2 = a \times c$ ។ លើកអង្គទាំងពីរជាការេ គេបាន $(b^2)^2 = (a \times c)^2 = a^2 \times c^2$ ។

ដូច្នេះ បីចំនួនតគ្នា $a^2, b^2$ និង $c^2$ ជាស៊ីតធរណីមាត្រ ។

ប្រតិបត្តិ

តើគេត្រូវបន្ថែមចំនួនប៉ុន្មានទៅលើចំនួន $3, 24, 94$ ដើម្បីឱ្យបីចំនួនតគ្នាជាស៊ីតធរណីមាត្រ?
រកមធ្យមធរណីមាត្រនៃពីរចំនួន $4$ និង $9$ ។
គេឱ្យស៊ីតធរណីមាត្រមួយដែល $a_3 = 4$ និង $a_5 = 36$ ។ គណនា $a_1$ និងផលធៀបរួម $q$ ។

មើលចម្លើយ

ចំនួនត្រូវថែម $x = 6$
$\sqrt{4 \times 9} = 6$
$q = -3$, $a_1 = \frac{4}{9}$ និង $q = 3$, $a_1 = \frac{4}{9}$ ។

ផលបូក $n$ តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រ

ឧទាហរណ៍

គណនាផលបូក $7$ តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រ $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$ ។

តាង $S$ ជាផលបូកស៊ីតធរណីមាត្រដែលមានផលធៀបរួមស្មើនឹង $2$ ។ គេបាន

\[S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 \quad{} (1)\]

គុណអង្គទាំងពីរនៃ $(1)$ នឹងផលធៀបរួមស្មើ $2$ គេបាន

\[2S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 \quad{} (2)\]

យក $(2) - (1)$ គេបាន

\[\begin{aligned} 2S - S = {}&(2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128)\\ &- (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) \end{aligned}\]

\[S = 128 - 1 = 127 \text{ ។}\]

គេអាចយកឧទាហរណ៍ខាងលើ ដើម្បីកំណត់រូបមន្តផលបូក $n$ តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រ ។ បើគេយក $S_n$ ជាផលបូក $n$ តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រដែលមានតួទីមួយ $a_1$ និងផលធៀបរួម $q$ នោះ គេបាន

\[\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n\\ S_n &= a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^{n-1} \quad{} (1) \end{aligned}\]

គុណអង្គទាំងពីរនៃ $(1)$ នឹងផលធៀបរួម $q$ គេបាន

\[qS_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \ldots + a_1 q^n \quad{} (2)\]

យក $(2) - (1)$ គេបាន

\[\begin{aligned} qS_n - S_n &= (a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \ldots + a_1 q^n)\\ &\quad{} - (a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^{n-1})\\ \iff (q - 1)S_n &= a_1 q^n - a_1 \Rightarrow (q - 1)S_n = a_1(q^n - 1) \end{aligned}\]

បើ $q \ne 1$ គេបាន $S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$ ។

ជាទូទៅ

ផលបូក $n$ តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រដែលមានតួទីមួយ $a_1$ និងផលធៀបរួម $q$ ដែល $q \ne 1$ ស្មើនឹង

\[S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} \text{ ។}\]

លំហាត់គំរូ ១

គណនាផលបូក $7$ តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រ $5 + 10 + 20 + 40 + \ldots$ ។
គណនាផលបូកតួនៃស៊ីតធរណីមាត្រ $2 + 6 + 18 + \ldots + 1458$ ។

ដំណោះស្រាយ

តាង $S = 5 + 10 + 20 + 40 + \ldots$ ជាផលបូកតួនៃស៊ីតធរណីមាត្រដែលមានតួទី $1$ គឺ $a_1 = 5$ ផលធៀបរួម $q = 2$ ។ តាមរូបមន្ត $S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$ ។ បើ $n = 7$ គេបាន
\[S_7 = \frac{5(2^7 - 1)}{2 - 1} = 5(128 - 1) = 635\]
ដូច្នេះ ផលបូក $7$ តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រគឺ $635$ ។
តាង $S = 2 + 6 + 18 + \ldots + 1458$ ដែល $a_1 = 2$, $a_n = 1458$ និងផលធៀបរួម $q = 3$ ។ តាមរូបមន្តតួទី $n$ គេបាន
\[\begin{gathered} a_n = a_1 q^{n-1},\ 1458 = 2 \times 3^{n-1},\ 729 = 3^{n-1},\\ 3^6 = 3^{n-1},\ 6 = n - 1 \Rightarrow 7 = n \end{gathered}\]
នោះ $S$ ជាផលបូក $7$ តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រ ។ តាមរូបមន្ត $S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$ គេបាន
\[S_7 = \frac{2(3^7 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(2187 - 1)}{2} = 2186\]
ដូច្នេះ $2 + 6 + 18 + \ldots + 1458 = 2186$ ។

លំហាត់គំរូ ២

ស្តេចឥណ្ឌាឈ្មោះស៊ីរ៉ាម បានបញ្ជាឱ្យជាងម្នាក់ធ្វើក្តារចត្រង្គ ហើយសន្យាថានឹងជូនរង្វាន់តាមតម្រូវការនៃជាងនោះចង់បាន ។ ពេលធ្វើរួច ជាងនោះស្នើសុំគ្រាប់ស្រូវទាំងអស់ដែលដាក់ក្នុងក្រឡាចត្រង្គទាំង ហើយរបៀបដាក់មានដូចតទៅ ៖ មួយគ្រាប់ក្នុងក្រឡាទី $1$ ពីរគ្រាប់ក្នុងក្រឡាទី $2$ បួនគ្រាប់ក្នុងក្រឡាទី $3$ ប្រាំបីគ្រាប់ក្នុងក្រឡាទី $4$, $\ldots$, ចំនួនគ្រាប់ស្រូវក្នុងក្រឡាបន្ទាប់មកស្មើនឹងចំនួនគ្រាប់ស្រូវក្រឡាមុនគុណនឹង $2$ ។ គណនាផលបូកនៃគ្រាប់ស្រូវទាំងអស់ដែលត្រូវដាក់លើក្រឡាចត្រង្គទាំង $64$ ក្រឡា ។

ដំណោះស្រាយ

តាមបម្រាប់ចំនួនគ្រាប់ស្រូវដែលដាក់លើក្រឡាចត្រង្គទាំង $64$ ក្រឡាបង្កើតបានជាស៊ីតធរណីមាត្រ $1, 2, 4, 8, \ldots$ ឬ $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \ldots$ ដែលមាន $a_1 = 1$ និងផលធៀបរួម $q = 2$ ។

តាមរូបមន្ត $S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$ គេបាន

\[S_{64} = \frac{1(2^{64} - 1)}{2 - 1} = 2^{64} - 1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615 \text{ ។}\]

ដូច្នេះចំនួនគ្រាប់ស្រូវដែលដាក់លើក្រឡាចត្រង្គទាំង $64$ ក្រឡាគឺ $18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$ គ្រាប់ ។

គ្រាប់ស្រូវចំនួន $37000$ គ្រាប់ប្រហែល $1\text{ kg}$ នោះស្រូវទម្ងន់ $1\text{ t} \approx 37000000$ គ្រាប់ ។ ដូច្នេះស្រូវដែលដាក់លើក្រឡាចត្រង្គទាំង $64$ ក្រឡាប្រហែល $4986 \times 10^8\text{ t}$ ។ គេដឹងថាទិន្នផលស្រូវប្រចាំឆ្នាំបច្ចុប្បន្នរបស់កម្ពុជាប្រហែល $5 \times 10^6\text{ t}$ ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានស៊ីតធរណីមាត្រ $6\,;\ 3\,;\ 1.5\,;\ 0.75\,;\ldots$ ។ គណនា
1. តួទី $7$
2. ផលបូក $7$ តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រ ។
គណនា $S_n = 7 + 77 + 777 + 7777 + \ldots + \underbrace{77\ldots7}_{n \text{ ដងលេខ } 7}$ ។
លោក $B$ បានដាក់ប្រាក់ $100\$$ ទៅផ្ញើក្នុងគណនីសន្សំនៃធនាគារមួយដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់សមាស $10\$$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ ធនាគារទូទាត់អត្រាការប្រាក់មួយខែម្តង ។ ប្រាក់សរុបដែលលោក $B$ ទទួលបាននៅចុងឆ្នាំទី $5$ គឺ
\[\begin{aligned} A = {}&100 \times \left(1 + \frac{0.10}{12}\right) + 100 \times \left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^2\\ &+ 100\left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^3 + \ldots + 100\left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^{60} \end{aligned}\]
។ គណនា $A$ ។
ប៉ោលមួយយោលដំបូងបានប្រវែងធ្នូ $18\text{ cm}$ និងយោលជាបន្តបន្ទាប់មកទៀត ដោយម្តងៗសល់ប្រវែងធ្នូ $95\%$ នៃប្រវែងធ្នូមុន ។
1. កំណត់ប្រវែងធ្នូបន្ទាប់ពីយោលលើកទី $10$ ។
2. ក្រោយពីយោលបាន $15$ ដង ។ កំណត់ប្រវែងធ្នូសរុបនៃការយោលនោះ ។

មើលចម្លើយ

ក. $a_7 = \dfrac{3}{32}$ ខ. $S_7 = \dfrac{381}{32}$ ។
$S_n = \dfrac{7}{81}(10^{n+1} - 9n - 10)$ ។
$A = 7808.23$ ។
ក. $a_{10} = 11.34$ ខ. $S_{15} = 193.21$ ។

ស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួ

ឧទាហរណ៍

ពិនិត្យស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួ $18 + 1.8 + 0.18 + 0.018 + 0.0018 + \ldots$ ដែលមានតួទីមួយ $a_1 = 18$ និងផលធៀបរួម $q = \dfrac{1}{10}$ ។ គេបាន

\[\begin{gathered} S_2 = 19.8,\quad{} S_3 = 19.98,\quad{} S_4 = 19.998,\quad{} S_5 = 19.9998,\\ S_6 = 19.99998,\ \ldots,\ S_n = 19.999\ldots998 \end{gathered}\]

ដូច្នេះ $S_n$ ខិតជិត $20$ កាលណា $n$ ខិតជិតអនន្ត ។

ពិនិត្យផលបូកស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួ $a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^{n-1} + \ldots$ ដែលមានតួទីមួយ $a_1$ និងផលធៀបរួម $q$ ។ គេបាន

\[\begin{aligned} S_1 &= a_1\\ S_2 &= a_1 + a_1 q\\ S_3 &= a_1 + a_1 q + a_1 q^2\\ S_4 &= a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3\\ S_5 &= a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + a_1 q^4\\ &\ \,\vdots\\ S_n &= a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \ldots + a_1 q^{n-1} \end{aligned}\]

តាមរូបមន្តគេបាន $S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} = \dfrac{a_1 q^n}{q - 1} - \dfrac{a_1}{q - 1}$, $(q \ne 1)$ ។

បើ $|q| < 1$ នោះ $q^n$ កាន់តែតូចទៅៗ កាលណាចំនួនតួ $n$ កាន់តែធំទៅៗមានន័យថា $q^n \to 0$ ពេល $n \to +\infty$ គេបាន $S_n = 0 - \dfrac{a_1}{q - 1} = \dfrac{a_1}{1 - q}$ ពេល $n \to +\infty$ ។ ដូច្នេះ $S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - q}$ ។

ជាទូទៅ

ផលបូកតួនៃស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួ $a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^{n-1} + \ldots$ ដែល $|q| < 1$ កំណត់ដោយ $S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - q}$ ។

សម្គាល់

បើ $|q| \ge 1$ នោះ $S_\infty$ មិនអាចកំណត់បាន ។

លំហាត់គំរូ ១

គណនាផលបូកតួនៃស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួ $6 + 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \ldots$ ។

ដំណោះស្រាយ

$6 + 2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \ldots$ ជាផលបូកតួនៃស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួដែលមាន $a_1 = 6$, $q = \frac{1}{3}$ ។ តាមរូបមន្ត $S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - q}$ គេបាន $S_\infty = \dfrac{6}{1 - \frac{1}{3}} = 9$ ។

លំហាត់គំរូ ២

សរសេរចំនួនទសភាគខួប $4.\overline{57}$ ជាចំនួនសនិទានដែលមានទម្រង់ $\dfrac{a}{b}$ ។

ដំណោះស្រាយ

$4.\overline{57} = 4 + 0.57 + 0.0057 + 0.000057 + \ldots$ ចាប់ពីតួទី $2$ ទៅជាផលបូកនៃស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួដែលមាន $a_1 = 0.57$, $q = \dfrac{1}{100} = 0.01$ ។ តាមរូបមន្ត $S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - q}$ គេបាន

\[4.\overline{57} = 4 + \frac{0.57}{1 - 0.01} = 4 + \frac{0.57}{0.99} = 4 + \frac{57}{99} = \frac{453}{99}\]

ដូច្នេះ $4.\overline{57} = \dfrac{453}{99}$ ។

លំហាត់គំរូ ៣

គេយោលប៉ោលមួយ (ដូចរូបខាងស្តាំ) ។ លើកដំបូងបានធ្នូមួយប្រវែង $24\text{ dm}$ បន្ទាប់មកប្រវែងធ្នូថយចុះ $20\%$ ជាបន្តបន្ទាប់ ។ កំណត់ប្រវែងគន្លងសរុបនៃលំយោលប៉ោលចាប់ពីពេលដំបូងដល់ពេលវាឈប់ ។

ដំណោះស្រាយ

គេត្រូវកំណត់ផលបូកតួនៃស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួដែលមានតួទី $1$ គឺ $a_1 = 24$ ហើយផលធៀបរួម $q = 80\%$, $|q| < 1$ ។ តាមរូបមន្តស៊ីតអនន្តតួ $S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - q}$ ឬ $S_\infty = \dfrac{24}{1 - 0.8} = 120$ ។

ដូច្នេះប្រវែងគន្លងសរុបនៃលំយោលប៉ោល ពីពេលយោលដំបូងដល់ពេលវាឈប់ស្មើនឹង $120\text{ dm}$ ។

ប្រតិបត្តិ

គណនាផលបូកស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួ $16 + 12 + 9 + \ldots$ ។
សរសេរចំនួនទសភាគខួប $0.\overline{235}$ ជាចំនួនសនិទានដែលមានទម្រង់ $\frac{a}{b}$ ។

មើលចម្លើយ

$S_\infty = 64$
$0.\overline{235} = \dfrac{235}{999}$ ។

មេរៀនសង្ខេប ជំពូកទី ១

មេរៀនសង្ខេប

ស៊ីតនៃចំនួនពិត ជាអនុគមន៍លេខដែលកំណត់ពី $\mathbb{N}$ ទៅ $\mathbb{R}$ ។
ស៊ីតនព្វន្ត ជាស៊ីតនៃចំនួនពិតដែលមានតួនីមួយៗ (ក្រៅពីតួទី $1$) ស្មើនឹងតួមុនបន្ទាប់បូកចំនួនថេរ $d$ មួយ (ហៅថាផលសងរួម $d = a_{n+1} - a_n$) ។
រូបមន្តតួទូទៅនៃស៊ីតនព្វន្ត $a_n = a_1 + (n - 1)\times d$ ។
ផលបូក $n$ តួនៃស៊ីតនព្វន្ត $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\times n}{2}$ ។
ស៊ីតធរណីមាត្រជាស៊ីតចំនួនពិតដែលតួនីមួយ (ក្រៅពីតួទី $1$) ស្មើនឹងតួមុនបន្ទាប់គុណនឹងចំនួនថេរ $q$ ដែល $q \ne 0$ ។ ចំនួនថេរ $q$ នេះហៅថាផលធៀបរួមស៊ីតធរណីមាត្រ ។
រូបមន្តតួទូទៅនៃស៊ីតធរណីមាត្រ $a_{n+1} = a_n\times q$, $a_n = a_1\times q^{n-1}$ ។
ផលបូក $n$ តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រ $S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$, $(q \ne 1)$ ។
ផលបូកស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួ $S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - q}$, $(|q| < 1)$ ។

លំហាត់ជំពូកទី ១

តួទី $5$ នៃស៊ីតនព្វន្តស្មើ $14$ និងតួទី $12$ ស្មើ $35$ ។ គណនាផលសងរួម តួទី $1$ និងតួទី $n$ ។
ផលបូកនៃ $n$ តួដំបូងនៃស៊ីតមួយកំណត់ដោយ $S_n = n^2 + n$ ។ គណនាតួទី $5$ នៃស៊ីត និងបង្ហាញថាតួនៃស៊ីតនេះជាស៊ីតនព្វន្ត ។
តួទី $3$ នៃស៊ីតធរណីមាត្រស្មើ $3$ និងតួទី $6$ ស្មើនឹង $\dfrac{3}{8}$ ។ គណនាផលធៀបរួមតួទី $1$ និងផលបូក $8$ តួដំបូង ។
គណនា $a$ ដើម្បីឱ្យបីចំនួន $(a - 3)$, $(a + 1)$ និង $(4a - 2)$ ជាបីតួតគ្នានៃស៊ីតធរណីមាត្រ ។
គេឱ្យបួនចំនួនជាស៊ីតធរណីមាត្រ ។ គណនាតួទី $2$ និងទី $3$ នៃស៊ីត បើគេដឹងថាតួទី $1$ ស្មើនឹង $6$ ហើយតួទី $4$ ស្មើនឹង $162$ ។
គេទិញផ្ទះមួយតម្លៃ $30000$ ដុល្លារ ។ អ្នកទិញត្រូវបង់ប្រាក់ជា $6$ ដំណាក់កាលដែលបង្កើតបានជាស៊ីតធរណីមាត្រមានផលធៀបរួម $\dfrac{9}{10}$ ។ កំណត់ប្រាក់ដែលត្រូវបង់តាមដំណាក់កាលនីមួយៗ ។
គេមានស៊ីតនព្វន្ត $(U_n)$ និង $(V_n)$ កំណត់ដោយ $U_1 = 3$ និងផលសងរួមស្មើ $3$ និង $V_1 = 4$ និងផលសងរួមស្មើ $2$ ។
1. កំណត់ $U_n$ និង $V_n$ ជាអនុគមន៍នៃ $n$ ។
2. គេមានស៊ីត $(W_n)$ កំណត់ដោយ $W_n = \dfrac{U_n}{V_n}$ ។ បង្ហាញថាស៊ីត $(W_n)$ ជាស៊ីតកើន និងកំណត់ $n$ ដើម្បីឱ្យ $W_n - W_{n-1} = \dfrac{1}{28}$ ។
កំណត់ផលសងរួមនិងតួទីមួយ $U_1$ នៃស៊ីតនព្វន្ត $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ កើននិងដឹងថា $\begin{cases} U_1^2 + U_2^2 + U_3^2 = 98\\ U_1 - U_2 + U_3 = 4 \end{cases}$ ។ គណនា $U_{10}$ និងផលបូក $10$ តួដំបូងនៃស៊ីត ។
តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រស្មើ $3$ ហើយមានផលធៀបរួម $r$ ដែលតម្លៃដាច់ខាតនៃ $r$ តូចជាង $1$ ។ ផលបូក $3$ តួដំបូងស្មើ $\dfrac{8}{9}$ នៃផលបូក $6$ តួដំបូង ។ គណនាផលបូកស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួ ។
1. ដោះស្រាយក្នុង $\mathbb{R}$ សមីការ $3x^2 - 8x + 4 = 0$ $(E)$ ។
2. គេមាន $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ជាស៊ីតធរណីមាត្រកើនដែលមាន $U_3$ និង $U_4$ នៃស៊ីតនេះ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ ។ ក. ទាញរកផលធៀបរួមនៃស៊ីតនេះ ។ ខ. គណនាតួទីមួយ $U_1$ នៃស៊ីត ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម) ទំព័រ ១៤–២៦។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

កំណត់ផលធៀបរួមនៃស៊ីតធរណីមាត្រ និងសរសេរបួនតួបន្ទាប់ទៀតនៃស៊ីតនីមួយៗ ។

$4, 20, 100, 500, \ldots$
$\sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, \ldots$ ។

២លំហាត់ទី ២

គេមានស៊ីតធរណីមាត្រ $2, 6, 18, 54, \ldots$ ។

គណនាតួទី $7$ ។
តើចំនួន $39366$ ជាតួទីប៉ុន្មាននៃស៊ីត?
គណនាផលបូក $15$ តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រ ។

៣លំហាត់ទី ៣

កំណត់ចំនួនតួនៃស៊ីតធរណីមាត្រខាងក្រោម ៖

$1, 2, 4, 8, \ldots, 8192$
$20, 10, 5, \frac{5}{2}, \ldots, \frac{5}{256}$ ។

៤លំហាត់ទី ៤

បង្ហាញថាស៊ីតខាងក្រោមជាស៊ីតធរណីមាត្រដែលមានតួទី $n$ កំណត់ដោយ

$a_n = 7 \times (3)^{n-1}$
$a_{n+1} = \frac{1}{8} \times (4)^n$ ។

៥លំហាត់ទី ៥

គេឱ្យ $(a_n)$ ជាស៊ីតធរណីមាត្រ បើគេដឹងថា

$a_3 = 18$, $a_7 = 1458$ ។ គណនា $q$ និង $a_{10}$ ។
$a_3 = 20$, $a_6 = 1280$ ។ គណនា $q$ និង $a_1$ ។
$a_1 = 3$, $S_3 = 21$ ។ គណនា $q$ និង $S_7$ ។

៦លំហាត់ទី ៦

គណនាផលបូកស៊ីតធរណីមាត្រខាងក្រោម ៖

$48 + 24 + 12 + \ldots + \frac{3}{8}$
$\frac{1}{3} + 1 + 3 + \ldots + 6561$
$9 - 6 + 4 - \ldots - \frac{128}{244}$
$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^4} - \frac{1}{2^5} + \ldots - \frac{1}{2^{2n-1}} + \frac{1}{3^{2n}}$ ។

៧លំហាត់ទី ៧

គណនាផលបូកស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តដែលមាន $a_2 = -9$ និង $a_5 = \dfrac{1}{3}$ ។

៨លំហាត់ទី ៨

គណនាផលធៀបរួមនៃធរណីមាត្រអនន្តដែលមាន $a_1 = 5$ និង $S_\infty = 15$ ។

៩លំហាត់ទី ៩

ផលបូកពីរតួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រស្មើនឹង $9$ និងផលបូកនៃស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួស្មើនឹង $25$ ។ គណនា $q$ និង $a_1$ បើផលធៀបរួម $q > 0$ ។

១០លំហាត់ទី ១០

សរសេរជាចំនួនសនិទានដែលមានទម្រង់ $\frac{a}{b}$ នូវចំនួនទសភាគខួបខាងក្រោម ៖

$0.\overline{7}$
$2.\overline{34}$
$0.\overline{452}$ ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៣១ ស៊ីតធរណីមាត្រ (វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត

ស៊ីតធរណីមាត្រ

និយមន័យស៊ីតធរណីមាត្រ

តួទី \(n\) នៃស៊ីតធរណីមាត្រ

ផលគុណតួស្មើចម្ងាយពីតួចុង

ផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រ

ស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួ

មេរៀនសង្ខេប ជំពូកទី ១

លំហាត់ជំពូកទី ១

ទំព័រសៀវភៅដើម

លំហាត់អនុវត្តន៍

សំណួរពហុជ្រើសរើស

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០