KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀនទី ២៨
២៨
ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ · ជំពូកទី ៨ ធរណីមាត្រក្នុងលំហ · មេរៀនទី ២៨ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

ភាពអរតូកូណាល់ក្នុងលំហ

ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រទំព័រ ១៧៨–២០០
វត្ថុបំណង

  1. កំណត់និងប្រើប្រាស់លក្ខណៈបន្ទាត់ពីរអរត្តូកូណាល់គ្នាក្នុងការដោះស្រាយលំហាត់

  2. កំណត់និងប្រើប្រាស់លក្ខណៈបន្ទាត់កែងនឹងប្លង់ក្នុងការដោះស្រាយលំហាត់

  3. កំណត់និងប្រើប្រាស់លក្ខណៈប្លង់មេដ្យាទ័រក្នុងការដោះស្រាយលំហាត់

  4. កំណត់និងប្រើប្រាស់លក្ខណៈចំណោលកែងក្នុងការដោះស្រាយលំហាត់ធរណីមាត្រ ។

រំលឹករូបមន្តផ្ទៃក្រឡានិងមាឌនៃសូលីតខ្លះៗ

តាង \(V\) ជាមាឌ \(A\) ជាផ្ទៃក្រឡាខាង \(B\) ជាផ្ទៃក្រឡាបាត \(r\) ជាកាំ និង \(h\) ជាកម្ពស់ ។

\[\begin{array}{|l|l|l|}\hline \text{សូលីត} & \text{មាឌ} & \text{ផ្ទៃក្រឡាខាង}\\ \hline \text{ប្រលេពីប៉ែតកែង} & V = a\times b\times c & A = 2c(a + b)\\[3pt] \text{ព្រីសត្រង់} & V = B\times h & A = h(a + b + c + d + e)\\[3pt] \text{ស៊ីឡាំង} & V = \pi r^2h & A = 2\pi rh\\[6pt] \text{ស្វ៊ែ} & V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 & A = 4\pi R^2\\[6pt] \text{ពីរ៉ាមីតនិយ័ត} & V = \dfrac{1}{3}Bh & \\[6pt] \text{កោណ} & V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h & A = \pi ra\\ \hline \end{array}\]
ក្នុងតារាង ៖ \(a, b, c\) ជាវិមាត្រនៃប្រលេពីប៉ែតកែង (\(c\) ជាកម្ពស់), \(a, b, c, d, e\) ជាជ្រុងនៃបាតព្រីស និង \(a\) ជាទ្រនុងខាង (ជនេត្រ) នៃកោណ ។

លំហាត់គំរូ

ប្រសិនបើផ្ទៃសរុបនៃគូបមួយស្មើនឹង \(150\ \text{m}^2\) ។ ចូររកប្រវែងទ្រនុងនិងមាឌនៃគូប ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(a\) ជាប្រវែងទ្រនុងនៃគូប ។ ផ្ទៃក្រឡានៃមុខខាងមួយស្មើនឹង \(a^2\) ។ គេបានផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃគូបនេះគឺ \(6a^2 = 150\), \(a^2 = 25\) ឬ \(a = \sqrt{25} = 5\) ។ ដូច្នេះ ប្រវែងទ្រនុងនៃគូបគឺ \(5\) m ។ មាឌគូបគឺ \(V = 5\times 5\times 5 = 125\ \text{m}^3\) ។

ប្រតិបត្តិ

ព្រីសឆមុខនិយ័តមួយ មានផ្ទៃបាតមួយស្មើ \(24\sqrt{3}\ \text{cm}^2\) ។ ប្រសិនបើមុខខាងនីមួយៗជាការេ ។ ចូររកផ្ទៃក្រឡាសរុប និងមាឌនៃព្រីសនោះ ។

មើលចម្លើយ

ផ្ទៃបាត \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2 = 24\sqrt{3} \Rightarrow x = 4\) cm (ជ្រុងបាត \(=\) កម្ពស់ \(= 4\) cm) ។ ផ្ទៃក្រឡាសរុប \(= 6\times 4^2 + 2\times 24\sqrt{3} = 96 + 48\sqrt{3} = 48(2 + \sqrt{3})\ \text{cm}^2\) ។ មាឌ \(= 24\sqrt{3}\times 4 = 96\sqrt{3}\ \text{cm}^3\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេយកបន្ទះដែកមួយរាងចតុកោណកែង \(ABDC\) (\(AB = 12\) cm, \(AC = 8\) cm) ពត់ធ្វើជាស៊ីឡាំងបរិវត្តតាមជ្រុង \(AB\) ។ ចូររកមាឌស៊ីឡាំងនេះ ។

មើលចម្លើយ

បរិមាត្របាត \(2\pi r = 12 \Rightarrow r = \dfrac{6}{\pi}\) និងកម្ពស់ \(h = 8\) ។ មាឌស៊ីឡាំង \(= \pi\left(\dfrac{6}{\pi}\right)^2\times 8 = \dfrac{288}{\pi}\ \text{cm}^3\) ។

បន្ទាត់អរត្តូកូណាល់

គេមានតុមួយ (\(CDFE\) ជាផ្ទៃតុ ហើយ \(CC'\), \(DD'\) ជាជើងតុ ដែល \(AB\) ជាឈើទ្រនាប់ស្របនឹង \(CD\)) ។ គេសង្កេតឃើញថា \(AB \parallel CD\) នោះមុំ \(\angle CDD'\) ជាមុំរវាងបន្ទាត់ \(AB\) និង \(CC'\) ។ ដោយ \(\angle CDD'\) ជាមុំកែងនោះគេថាបន្ទាត់ \(AB\) អរត្តូកូណាល់នឹង \(CC'\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(AB \perp CC'\) ។

និយមន័យ

បន្ទាត់ពីរនៅក្នុងលំហ អរត្តូកូណាល់គ្នា កាលណាមុំរវាងបន្ទាត់ទាំងពីរជាមុំកែង ។

លំហាត់គំរូ

ក្នុងគូប \(ABCDA'B'C'D'\) ៖

  • បន្ទាត់ដែលស្របនឹង \(AA'\) ហើយកាត់តាម \(B\) គឺ \(BB'\) ។ តែ \(BB'\) កែងនឹង \(BC\) ដូច្នេះ \(AA'\) អរត្តូកូណាល់នឹង \(BC\) ។

  • ដូចគ្នាដែរ \(\left.\begin{aligned} BD &\parallel B'D'\\ AC &\perp BD \end{aligned}\right\} \Rightarrow AC\) អរត្តូកូណាល់នឹង \(B'D'\) ។

សម្គាល់

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ គេមានបន្ទាត់ \(AC\) និង \(BD\) ស្ថិតក្នុងប្លង់ \(ABCD\) តែមួយ ហើយ \(AC\) កែងនឹង \(BD\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(AC \perp BD\) ។ បន្ទាត់ \(AC\) និង \(B'D'\) ស្ថិតក្នុងប្លង់ផ្សេងគ្នា ហើយ \(AC\) អរត្តូកូណាល់នឹង \(B'D'\) ។ គេកំណត់សរសេរអរត្តូកូណាល់នេះ ដោយប្រើសញ្ញា \(\perp\) ដែរគឺ \(AC \perp B'D'\) ។

វិបាក

\[\left.\begin{aligned} a &\perp d\\ a &\parallel b \end{aligned}\right\} \Rightarrow b \perp d \qquad{}\qquad{} \left.\begin{aligned} a &\perp d\\ b &\perp d\\ a, b, d &\subset P \end{aligned}\right\} \Rightarrow a \parallel b\]

ប្រតិបត្តិ

គេមានចតុមុខ \(ABCD\) ដែល \(DA\) អរត្តូកូណាល់ទៅនឹង \(BC\) ។ ដៅ \(I, J, K\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃជ្រុង \(AB\), \(BD\), \(CD\) ។

  1. បង្ហាញថា \(JK\) អរត្តូកូណាល់ទៅនឹង \(DA\) ។

  2. បង្ហាញថា \(IJ\) អរត្តូកូណាល់ទៅនឹង \(BC\) (ហើយ \(IJ \perp JK\)) ។

មើលចម្លើយ

ក. ក្នុងត្រីកោណ \(BCD\) ៖ \(JK \parallel BC\) ។ ដោយ \(BC \perp DA\) នោះ \(JK \perp DA\) ។ ខ. ក្នុងត្រីកោណ \(ABD\) ៖ \(IJ \parallel AD\) ។ ដោយ \(AD \perp BC\) នោះ \(IJ \perp BC\) ហើយដោយ \(JK \parallel BC\) នោះ \(IJ \perp JK\) ។

បន្ទាត់កែងនឹងប្លង់

ប្រសិនបើគេយកសៀវភៅមួយក្បាលដាក់បញ្ឈរពីលើប្លង់តុដេកមួយ នោះគេឃើញថា សន្លឹកសៀវភៅទាំងអស់ប្រសព្វគ្នាបានបន្ទាត់ \(AA'\) ។ គែមនៃសន្លឹកសៀវភៅស្ថិតជាប់នឹងប្លង់តុដូចជា \(AB\), \(AC\), \(\dots\) ។ ដូច្នេះនៅក្នុងប្លង់តុនេះមានបន្ទាត់ជាច្រើន \(AB\), \(AC\), \(\dots\) ដែលកែងនឹងបន្ទាត់ \(AA'\) ត្រង់ចំណុច \(A\) ។ ម្យ៉ាងទៀតបើគេយកបន្ទាត់ \(b\) មួយផ្សេង មកដាក់ដេកលើតុ នោះគេសង្កេតឃើញថា \(AA'\) អរត្តូកូណាល់នឹងបន្ទាត់ \(b\) ។

និយមន័យ

បន្ទាត់មួយកែងនឹងប្លង់មួយ កាលណាបន្ទាត់នោះអរត្តូកូណាល់នឹងគ្រប់បន្ទាត់នៅក្នុងប្លង់ ។

តាមនិយមន័យខាងលើនេះ គេអាចជ្រើសរើសយកតែបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរនៅក្នុងប្លង់នោះ គេបានទ្រឹស្ដីបទដូចខាងក្រោម ៖

ទ្រឹស្ដីបទ ១

បើបន្ទាត់មួយ អរត្តូកូណាល់នឹងបន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នានៅក្នុងប្លង់ នោះវាកែងនឹងប្លង់ ។

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ គេមានបន្ទាត់ \(a\) និង \(b\) នៅក្នុងប្លង់ \(\alpha\) ដែល \(a \cap b = \{O\}\) ហើយបន្ទាត់ \(d\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(a\) និង \(b\) ត្រង់ \(O\) ។ គេត្រូវបង្ហាញថា \(d\) កែងនឹងគ្រប់បន្ទាត់ \(c\) នៃប្លង់ \(\alpha\) ដែលកាត់តាម \(O\) ។ គូសបន្ទាត់ \(m\) មួយនៅក្នុងប្លង់ \(\alpha\) ដែលមិនកាត់តាមចំណុច \(O\) តែកាត់បន្ទាត់ \(a\), \(b\) និង \(c\) រៀងគ្នាត្រង់ចំណុច \(A\), \(B\) និង \(C\) ។ នៅលើបន្ទាត់ \(d\) ជ្រើសរើសចំណុច \(P\) មួយ រួចបន្លាយ \(PO\) ឱ្យបាន \(OQ\) ដែល \(PO = OQ\) ។ គេបានត្រីកោណកែង ៖

\[\begin{aligned} &\triangle PAO \cong \triangle QAO \Rightarrow AP = AQ && (1)\\ &\triangle PBO \cong \triangle QBO \Rightarrow BP = BQ && (2)\\ &(1), (2) \Rightarrow \triangle PAB \cong \triangle QAB \Rightarrow \angle PAB\\ &= \angle QAB && (3) \end{aligned}\]
(1) និង (3) គេមាន \(\triangle PAC \cong \triangle QAC\) នោះ \(PC = QC\) ។ គេបាន \(\triangle PCQ\) ជាត្រីកោណសមបាតដោយ \(O\) ជាចំណុចកណ្ដាល \(PQ\) នោះ \(OP \perp OC\) ពោលគឺ \(d \perp c\) ។

សម្គាល់

បើបន្ទាត់ \(d\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(a\) និង \(b\) មិននៅត្រង់ចំណុចប្រសព្វ \(O\) រវាងបន្ទាត់ទាំងពីរ ក្នុងករណីនេះគេគូសបន្ទាត់ \(d'\) មួយកាត់តាម \(O\) ដែល \(d' \parallel d\) គេបាន បើ \(d' \perp c\) នោះ \(d \perp c\) ដែរ ។

លំហាត់គំរូ

គេឱ្យប្រលេពីប៉ែតកែង \(ABCDEFGH\) (\(ABCD\) ជាបាត ដែល \(AB = a\), \(AD = b\), \(AE = c\) និង \(E, F, G, H\) នៅពីលើ \(A, B, C, D\) រៀងគ្នា) ។

  1. បង្ហាញថាបន្ទាត់ \(BC\) អរត្តូកូណាល់នឹងមុខ \(ABFE\)

  2. បង្ហាញថាមុំ \(\angle EBC\) ជាមុំកែង

  3. រកប្រវែង \(EC\) ជាអនុគមន៍នឹង \(a\), \(b\) និង \(c\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. ក្នុងចតុកោណកែង \(ABCD\) មាន \(BC \perp AB\) ។ ក្នុងចតុកោណកែង \(BCGF\) មាន \(BC \perp BF\) ។ ដូច្នេះ \(BC\) កែងនឹងប្លង់ \(ABFE\) មានន័យថា \(BC\) អរត្តូកូណាល់នឹងមុខ \(ABFE\) ។

  2. \(\left.\begin{aligned} BC &\perp ABFE\\ EB &\subset ABFE \end{aligned}\right\} \Rightarrow BC \perp EB\) ។ ដូច្នេះមុំ \(\angle EBC\) ជាមុំកែង ។

  3. តាមសំណួរ ខ ៖ \(\triangle EBC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(B\) ។ ដូច្នេះ \(EC^2 = EB^2 + BC^2 = EB^2 + b^2\) ។ ដោយ \(\triangle ABE\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\) នោះ \(EB^2 = AE^2 + AB^2 = c^2 + a^2\) ។ គេបាន \(EC^2 = a^2 + b^2 + c^2\) ។ ដូច្នេះ \(EC = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យបន្ទាត់ \(AK\) កែងទៅនឹងប្លង់ \(Q\) ត្រង់ \(K\) និងបន្ទាត់ \(d\) មួយឋិតក្នុងប្លង់ \(Q\) ប៉ុន្តែមិនកាត់តាម \(K\) ។ ដៅចំណុច \(C\) មួយនៅលើបន្ទាត់ \(d\) ដែលបន្ទាត់ \(KC\) កែងទៅនឹងបន្ទាត់ \(d\) ។ យក \(B\) ជាចំណុចមួយឋិតនៅលើបន្ទាត់ \(d\) ។

  1. បង្ហាញថា \(d\) កែងទៅនឹងប្លង់ \(AKC\)

  2. បង្ហាញថា \(\angle ACB\) ជាមុំកែង

  3. បង្ហាញថា \(AB^2 = AK^2 + KC^2 + BC^2\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(d \perp KC\) និង \(d \perp AK\) (ព្រោះ \(AK \perp Q\)) ដែល \(KC\) និង \(AK\) ប្រសព្វគ្នា ដូច្នេះ \(d \perp (AKC)\) ។ ខ. \(AC \subset (AKC)\) នាំឱ្យ \(d \perp AC\) គឺ \(\angle ACB = 90^\circ\) ។ គ. \(AB^2 = AC^2 + CB^2\) និង \(AC^2 = AK^2 + KC^2\) ដូច្នេះ \(AB^2 = AK^2 + KC^2 + BC^2\) ។

ទ្រឹស្ដីបទទី ២

  1. \(\left.\begin{aligned} a &\parallel b\\ a &\perp P \end{aligned}\right\} \Rightarrow b \perp P\)

  2. \(\left.\begin{aligned} a &\perp P\\ b &\perp P \end{aligned}\right\} \Rightarrow a \parallel b\)

  3. \(\left.\begin{aligned} a &\perp P\\ P &\parallel Q \end{aligned}\right\} \Rightarrow a \perp Q\)

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖

  1. គេឱ្យបន្ទាត់ \(a\) មួយអរត្តូកូណាល់ និងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ \(c\) និង \(d\) នៃប្លង់ \(P\) ត្រង់ \(O\) ។ បើគេមានបន្ទាត់ \(b \parallel a\) នោះគេបានអរត្តូកូណាល់នឹង \(c\) និង \(d\) ។ ដោយ \(a\) អរត្តូកូណាល់នឹងគ្រប់បន្ទាត់ក្នុងប្លង់និង \(a \parallel b\) ដូច្នេះ គេបាន \(b\) កែងនឹងប្លង់ \(P\) ។

  2. ឧបមាថាបន្ទាត់ \(b \nparallel a\) ដូច្នេះគេអាចរកបាន \(b'\) ដែល \(b' \parallel a\) ហើយ \(b'\) កាត់តាម \(B\) ។ ដោយ \(a \perp P\) និង \(b' \parallel a\) នោះ \(b' \perp P\) ។ តាមទ្រឹស្ដីបទ (ក) តាម \(B\) មានបន្ទាត់ \(b\) និង \(b'\) ដែលកែងនឹងប្លង់ \(P\) តែមួយជាករណីមិនអាចមាន ។ ដូច្នេះ គេបាន \(b \parallel a\) ។

  3. ដោយបន្ទាត់ \(a\) កែងនឹង \(P\) នោះ \(a\) អរត្តូកូណាល់នឹងគ្រប់បន្ទាត់ក្នុងប្លង់ \(P\) ។ ជ្រើសរើសបន្ទាត់ពីរ \(b\) និង \(c\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(O\) ដែលនៅក្នុងប្លង់ \(P\) ។ ដូច្នេះ \(a\) កែងនឹង \(b\) និង \(c\) ត្រង់ \(O\) ។ ម្យ៉ាងទៀត \(P \parallel Q\) នាំឱ្យមានបន្ទាត់ \(b' \parallel b\), \(c' \parallel c\) ដែល \(b' \subset Q\), \(c' \subset Q\) និង \(b' \cap c' = \{O'\}\) គេបាន \(a\) កែងនឹង \(b'\) និង \(c'\) ត្រង់ \(O'\) ។ តាមទ្រឹស្ដីបទ ១ គេបាន \(a \perp Q\) ។

លំហាត់គំរូ

គេឱ្យ \(4\) ចំណុច \(S, A, B\) និង \(C\) មិនស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ ដែល \(SA\) កែងនឹងប្លង់ \(ABC\) ។ \(BM\), \(BN\) និង \(SO\) កែងរៀងគ្នានឹង \(SC\), \(AC\) និង \(BC\) ។ \(E\), \(F\) ជាចំណុចប្រសព្វរៀងគ្នានៃ \(AO\) និង \(BN\), \(SO\) និង \(BM\) ។ បង្ហាញថា ៖

  1. \(AO\) កែងនឹង \(BC\)

  2. \(SC\) កែងនឹងប្លង់ \(BMN\)

  3. \(EF\) កែងនឹងប្លង់ \(SBC\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(SA \perp ABC\) និង \(BC \subset ABC\) នាំឱ្យ \(SA \perp BC\) ។ ដោយ \(SO \perp BC\) ផង នោះ \(BC \perp (SOA)\) ។ ហើយ \(AO \subset (SOA)\) ដូច្នេះ \(BC \perp AO\) ។

  2. \(SA \perp ABC\) និង \(BN \subset ABC\) នាំឱ្យ \(SA \perp BN\) ។ ដោយ \(BN \perp AC\) ផង នោះ \(BN \perp (SAC)\) ដូច្នេះ \(BN \perp SC\) ។ ម្យ៉ាងទៀត \(BM \perp SC\) ។ ហេតុនេះ \(SC \perp (BMN)\) ។

  3. \(E \in AO\), \(E \in BN\) និង \(F \in SO\), \(F \in BM\) នាំឱ្យ \(EF \subset (SOA)\) និង \(EF \subset (BMN)\) ។ ដោយ \(SC \perp (BMN)\) នោះ \(SC \perp EF\) (1) ។ ដោយ \(BC \perp (SOA)\) នោះ \(BC \perp EF\) (2) ។ តាម (1) និង (2) ៖ \(EF\) កែងនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ \(SC\) និង \(BC\) នៃប្លង់ \(SBC\) ដូច្នេះ \(EF \perp (SBC)\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានចតុមុខនិយ័ត \(OABC\) ។ \(H\) ជាអរត្តូសង់នៃ \(\triangle ABC\) ។ \(K, M, N\) និង \(L\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃ \(OB\), \(OC\), \(HB\) និង \(HC\) ។

  1. បង្ហាញថា \(OH \perp ABC\)

  2. បន្ទាត់ \(a\) ជាប្រសព្វនៃ \(AKN\) និង \(AML\) ។ បង្ហាញថា \(a\) កែងនឹង \(ABC\) ។

មើលចម្លើយ

ក. ក្នុងចតុមុខនិយ័ត ទ្រនុងឈម \(OA \perp BC\) ។ ដោយ \(AH \perp BC\) នោះ \(BC \perp (OAH)\) នាំឱ្យ \(BC \perp OH\) ។ ដូចគ្នា \(AC \perp OH\) ។ ដូច្នេះ \(OH \perp ABC\) ។ ខ. \(KN \parallel OH\) (បាតមធ្យមនៃ \(\triangle OBH\)) និង \(ML \parallel OH\) (បាតមធ្យមនៃ \(\triangle OCH\)) ។ ដូច្នេះ \(OH\) ស្របនឹងប្លង់ \(AKN\) និង \(AML\) ហើយ \(a \parallel OH\) ។ តាមទ្រឹស្ដីបទទី ២ (ក) \(a \perp ABC\) ។

ទ្រឹស្ដីបទបីបន្ទាត់កែង

បើបន្ទាត់ \(AB\) កែងនឹងប្លង់ \(P\) ត្រង់ \(B\) ហើយ \(BO\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(a\) នៃប្លង់ \(P\) ត្រង់ \(O\) នោះបន្ទាត់ \(AO\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(a\) ៖

\[\left.\begin{aligned} AB &\perp P\\ BO &\perp a\\ a &\subset P \end{aligned}\right\} \Rightarrow AO \perp a\]

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ \(AB \perp P\), \(a \subset P\) នាំឱ្យ \(AB \perp a\) ។ \(AB \perp a\), \(BO \perp a\) នាំឱ្យ \(a \perp (AOB)\) ។ ដោយ \(AO \subset (AOB)\) នោះ \(AO \perp a\) ។

លំហាត់គំរូ

គេមានចតុមុខនិយ័ត \(SABC\) មួយដែលមានកម្ពស់ \(SH\) ។ យក \(K\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(BC\) ។ បង្ហាញថា \(SK\) កែងនឹង \(BC\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្ដីបទបីបន្ទាត់កែង ៖ \(SH \perp ABC\), \(AK \perp BC\) (\(H \in AK\)) និង \(BC \subset ABC\) នោះ \(SK \perp BC\) ។

ទ្រឹស្ដីបទច្រាសនៃបីបន្ទាត់កែង

បើបន្ទាត់ \(AB\) កែងនឹងប្លង់ \(P\) ត្រង់ \(B\) ហើយ \(AO\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(a\) នៃប្លង់ \(P\) ត្រង់ \(O\) នោះបន្ទាត់ \(BO\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(a\) ៖

\[\left.\begin{aligned} AB &\perp P\\ AO &\perp a\\ a &\subset P \end{aligned}\right\} \Rightarrow BO \perp a\]

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ \(AB \perp P\), \(a \subset P\) នាំឱ្យ \(AB \perp a\) ។ \(AB \perp a\), \(AO \perp a\) នាំឱ្យ \(a \perp (AOB)\) ។ ដោយ \(BO \subset (AOB)\) នោះ \(BO \perp a\) ។

សម្គាល់

បន្ទាត់ \(AB\), \(AO\) និង \(a\) ដែលកែងរវាងគ្នាពីរៗ ហៅថា បីបន្ទាត់កែង ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានពីរ៉ាមីតចតុមុខនិយ័ត \(SABCD\) ដែលមានបាត \(ABCD\) ជាការេ ។ យក \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(BC\) ។

  1. បង្ហាញថា \(SM\) កែងនឹង \(BC\)

  2. ប្រសិនបើ \(SA = 20\) cm និង \(AB = 5\) cm គណនាផ្ទៃក្រឡាខាងនៃពីរ៉ាមីត ។

មើលចម្លើយ

ក. \(SB = SC\) ដូច្នេះ \(\triangle SBC\) ជាត្រីកោណសមបាត ហើយមេដ្យាន \(SM\) ក៏ជាកម្ពស់ ៖ \(SM \perp BC\) (ឬប្រើទ្រឹស្ដីបទបីបន្ទាត់កែង) ។ ខ. \(SM = \sqrt{20^2 - 2.5^2} = \dfrac{15\sqrt{7}}{2}\) ។ ផ្ទៃក្រឡាខាង \(= 4\times\dfrac{1}{2}\times 5\times\dfrac{15\sqrt{7}}{2} = 75\sqrt{7}\ \text{cm}^2\) ។

ប្លង់មេដ្យាទ័រ

គេមានពីរចំណុចផ្សេងគ្នា \(A\) និង \(B\) ហើយ \(O\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់ \(AB\) ។ បើមានប្លង់ \(P\) មួយកែងនឹង \(AB\) ត្រង់ចំណុចកណ្ដាល \(O\) នោះប្លង់ \(P\) នេះហៅថា ប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(AB\) ។

និយមន័យ

ប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់មួយគឺជាប្លង់ដែលកែងនឹងអង្កត់នោះត្រង់ចំណុចកណ្ដាល ។

ឧបមាថា ប្លង់ \(P\) ជាប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(AB\) កាត់ត្រង់ \(O\) ហើយ \(C\) ជាចំណុចមួយក្នុងប្លង់ \(P\) ។ បើគេមានចំណុច \(C'\) មួយស្ថិតនៅខាង \(A\) នោះគេបាន \(AC' < BC'\) ។ ម្យ៉ាងទៀតបើគេមានចំណុច \(C'\) មួយស្ថិតនៅខាង \(B\) នោះគេបាន \(BC' < AC'\) ។ តាមលទ្ធផលនេះបង្ហាញថា \(AC'\) មិនស្មើនឹង \(BC'\) ។ ដូច្នេះ គេបាន \(CA = CB\) ដែល \(C \in P\) ។

លក្ខណៈ

គេមានចំណុច \(A\), \(B\) ស្ថិតនៅសងខាងប្លង់ \(P\) ហើយបីចំណុចផ្សេងគ្នា \(C\), \(D\), \(E\) (មិនរត់ត្រង់គ្នា) ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ \(P\) ដែល ៖

\[\left.\begin{aligned} AC &= BC\\ AD &= BD\\ AE &= BE \end{aligned}\right\} \Leftrightarrow P \text{ ជាប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ } AB\]

លំហាត់គំរូ

ក្នុងគូប \(ABCDA'B'C'D'\) ។ ចូរកំណត់ប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \([AC]\) ។

ដំណោះស្រាយ

ក្នុងគូប \(ABCDA'B'C'D'\) គេបាន \(AB = CB\), \(AB' = CB'\), \(AD = CD\) ។ ដោយចំណុច \(B\), \(B'\) និង \(D\) មិនរត់ត្រង់គ្នា ដូច្នេះ ប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(AC\) គឺប្លង់ \(BB'D\) ។

ប្រតិបត្តិ

ដោយប្រើគូបនៃឧទាហរណ៍ខាងលើ ហើយយក \(I\), \(J\), \(K\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃទ្រនុង \(BC\), \(CD\), \(A'B'\) ។ កំណត់ប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(AC'\) ។

មើលចម្លើយ

ប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(AC'\) គឺ \(IJK\) (ព្រោះ \(IA = IC'\), \(JA = JC'\), \(KA = KC'\)) ។

ប្លង់កែង

និយមន័យ

គេថាប្លង់ \(P\) កែងនឹងប្លង់ \(Q\) កាលណាប្លង់ \(P\) មានបន្ទាត់មួយកែងនឹងប្លង់ \(Q\) ឬប្លង់ \(Q\) មានបន្ទាត់មួយកែងនឹងប្លង់ \(P\) ៖

\[\left.\begin{aligned} a &\subset P\\ a &\perp Q \end{aligned}\right\} \Rightarrow P \perp Q\]

លក្ខណៈ

\[\text{(ក)}\ \left.\begin{aligned} d &\perp P\\ d &\parallel Q \end{aligned}\right\} \Rightarrow P \perp Q \qquad{}\qquad{} \text{(ខ)}\ \left.\begin{aligned} P &\perp R\\ R &\parallel Q \end{aligned}\right\} \Rightarrow P \perp Q\]

សម្រាយបញ្ជាក់លក្ខណៈ (ក) ៖ គេមាន \(d \perp P\) និង \(d \parallel Q\) ។ នៅក្នុងប្លង់ \(Q\) មានបន្ទាត់ \(b\) ដែលស្របនឹងបន្ទាត់ \(d\) ។ តាមទ្រឹស្ដីបទ ២ (ក) នៃបន្ទាត់កែងនឹងប្លង់ ៖ \(d \parallel b\), \(d \perp P\) នាំឱ្យ \(b \perp P\) ។ ដូច្នេះ \(b \subset Q\), \(b \perp P\) នាំឱ្យ \(P \perp Q\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យ \(4\) ចំណុច \(A\), \(B\), \(C\) និង \(D\) មិនឋិតក្នុងប្លង់តែមួយដែលត្រីកោណ \(ABC\) និង \(DBC\) ជាត្រីកោណសមបាតមានបាតរួម \(BC\) ។ គូស \(BO\) កែងនឹង \(AD\) ត្រង់ \(O\) ។ យក \(M\), \(N\), \(P\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នា \(AB\), \(BD\) និង \(BC\) ។

  1. បង្ហាញថា \(BC\) កែងនឹង \(APD\) រួច \(AD\) កែងនឹង \(BCO\) ។

  2. បង្ហាញថា \(CMN\) កែងនឹង \(BCO\) រួច \(ABC\) កែងនឹង \(APD\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(AP \perp BC\) និង \(DP \perp BC\) (មេដ្យាននៃត្រីកោណសមបាត) ដូច្នេះ \(BC \perp (APD)\) ។ ហេតុនេះ \(BC \perp AD\) ហើយដោយ \(BO \perp AD\) នោះ \(AD \perp (BCO)\) ។ ខ. \(MN \parallel AD\) (បាតមធ្យមនៃ \(\triangle ABD\)) ដូច្នេះ \(MN \perp (BCO)\) ហើយប្លង់ \(CMN\) ដែលមាន \(MN\) កែងនឹង \(BCO\) ។ ម្យ៉ាងទៀត \(BC \subset ABC\) និង \(BC \perp (APD)\) ដូច្នេះ \(ABC \perp APD\) ។

មុំដែលបង្កើតឡើងដោយប្លង់ពីរ

គេជ្រើសរើសចំណុច \(O\) មួយឋិតនៅលើបន្ទាត់ \(d\) ដែលជាប្រសព្វរវាងប្លង់ \(P\) និង \(Q\) រួចគូសបន្ទាត់ \(OA\) និង \(OB\) កែងទៅនឹង \(d\) ដែលចំណុច \(A\) និង \(B\) នៅក្នុងប្លង់ \(P\) និង \(Q\) រៀងគ្នា ។ គេបានមុំ \(\angle AOB\) ជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយប្លង់ \(P\) និង \(Q\) ។

លំហាត់គំរូ

គេមានគូប \(ABCDEFGH\) មួយ (\(ABCD\) ជាបាត ហើយ \(E, F, G, H\) នៅពីលើ \(A, B, C, D\) រៀងគ្នា) ។ កំណត់មុំដែលបង្កើតឡើងដោយប្លង់ \(AFGD\) និង \(ABCD\) ។

ដំណោះស្រាយ

ប្លង់ \(ABCD\) និង \(AFGD\) ប្រសព្វគ្នាបានបន្ទាត់ \(AD\) ។ គេបាន \(BA\) កែងនឹង \(AD\) ត្រង់ \(A\) និង \(AF\) កែងនឹង \(AD\) ត្រង់ \(A\) ។ ដូច្នេះ គេបានមុំដែលបង្កើតឡើងដោយប្លង់ \(AFGD\) និង \(ABCD\) គឺជាមុំ \(\angle BAF = 45^\circ\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានចតុមុខនិយ័ត \(OABC\) មួយ និង \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាល \(BC\) ដែល \(\angle OAM = \alpha\) ។ កំណត់មុំដែលបង្កើតឡើងដោយប្លង់ \(ABC\) និង \(OBC\) ។

មើលចម្លើយ

\(AM \perp BC\) និង \(OM \perp BC\) ដូច្នេះមុំរវាងប្លង់ទាំងពីរគឺ \(\angle AMO\) ។ ដោយ \(AM = OM\) ត្រីកោណ \(OAM\) សមបាត ដូច្នេះ \(\angle AMO = 180^\circ - 2\alpha\) ។

ចំណោលកែង

តាមចំណុច \(M\) មួយមិនឋិតនៅក្នុងប្លង់ \(P\) គេអាចគូសបានបន្ទាត់តែមួយគត់កាត់តាមចំណុច \(M\) ហើយកែងនឹងប្លង់ \(P\) ។ តាងចំណុច \(M'\) ជាប្រសព្វរវាងបន្ទាត់កែង \(MM'\) នឹងប្លង់ \(P\) ដូច្នេះ គេហៅថាចំណុច \(M'\) ជាចំណោលកែងនៃ \(M\) មកលើប្លង់ \(P\) ។

សម្គាល់

  • បើ \(M \in P\) នោះ \(M'\) ត្រួតលើ \(M\) ។

  • បើ \(A'\) ជាចំណោលកែងនៃ \(A\) មកលើប្លង់ \(P\) នោះ \(AA' \perp P\) ។

គេមានប្រលេពីប៉ែតកែង \(ABCDA'B'C'D'\) ៖

  • ចំណោលកែងនៃចំណុច \(B'\) មកលើប្លង់ \(ABC\) គឺជាចំណុច \(B\) ។

  • ចំណោលកែងនៃចំណុច \(D'\) មកលើប្លង់ \(AA'B'\) គឺជាចំណុច \(A'\) ។

  • ចំណោលកែងនៃចំណុច \(O\) ដែលជាចំណុចប្រសព្វរវាង \(AC\) និង \(BD\) មកលើប្លង់ \(A'B'C'D'\) គឺជាចំណុច \(O'\) ដែលជាចំណុចប្រសព្វរវាង \(A'C'\) និង \(B'D'\) ។

និយមន័យ

ចំណោលកែងនៃចំណុចមួយមកលើប្លង់មួយ គឺជាចំណុចប្រសព្វរវាងប្លង់និងបន្ទាត់កែងដែលគូសចេញពីចំណុចនោះ ។

លក្ខណៈ

  1. ចំណោលកែងនៃចំណុចរត់ត្រង់គ្នានៅក្រៅប្លង់ \(P\) មកលើប្លង់ \(P\) គឺជាចំណុចរត់ត្រង់គ្នា ឬត្រួតស៊ីគ្នានៅក្នុងប្លង់ \(P\) ។

  2. បើ \(A'B'\) ជាចំណោលកែងនៃ \(AB\) មកលើប្លង់ \(P\) ។ គេបាន \(A'B' = AB\cos\alpha\) ដែល \(\alpha\) ជាមុំផ្គុំរវាងបន្ទាត់ \(AB\) និងប្លង់ \(P\) ។

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖

  1. គេដឹងមកហើយថាបីចំណុច \(A\), \(B\), \(C\) រត់ត្រង់គ្នា នោះវាឋិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ ។ បើបន្ទាត់ \(AB\) កែងនឹងប្លង់ \(P\) ត្រង់ចំណុច \(A'\) នោះចំណោលកែងនៃ \(A\), \(B\), \(C\) ជាចំណុច \(A'\) តែមួយ ។ បើបន្ទាត់ \(AB\) មិនកែងនឹងប្លង់ \(P\) ៖ តាង \(A'\), \(B'\), \(C'\) ជាចំណោលកែងនៃចំណុច \(A\), \(B\), \(C\) មកលើប្លង់ \(P\) រៀងគ្នា ។ គេបានបន្ទាត់ \(AA' \parallel BB'\) ហើយកំណត់បានប្លង់ \(\alpha\) មួយដែល \(P \cap \alpha = A'B'\) ។ ដោយ \(CC' \perp P\) និង \(AA' \perp P\) នោះ \(CC' \parallel AA'\) ។ ម្យ៉ាងទៀត \(C \in AB \subset \alpha\) នោះ \(C \in \alpha\) ហើយ \(CC' \subset \alpha\) មានន័យថា \(C' \in \alpha\) ។ គេបាន \(C' \in \alpha\) និង \(C' \in P\) នាំឱ្យ \(C' \in A'B'\) ។ ដូច្នេះ \(A'\), \(B'\), \(C'\) រត់ត្រង់គ្នា ។

  2. គេបាន \(AA' \perp A'B'\) ត្រង់ \(A'\) និង \(BB' \perp A'B'\) ត្រង់ \(B'\) ។ យក \(AH \perp BB'\) ត្រង់ \(H\) នោះ \(AH \parallel A'B'\) ហើយ \(AH = A'B'\) ។ ដូច្នេះ \(\angle HAB = \alpha\) ដែលជាមុំផ្គុំរវាងបន្ទាត់ \(AB\) នឹងប្លង់ \(P\) ។ ក្នុងត្រីកោណកែង \(AHB\) គេបាន \(AH = AB\cos\alpha\) ។ ដូច្នេះ \(A'B' = AB\cos\alpha\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានត្រីកោណ \(ABC\) មួយដែល \(BC\) ឋិតក្នុងប្លង់ \(P\) និងកំពូល \(A\) នៅក្រៅប្លង់ \(P\) ។ គេធ្វើចំណោលកែងនៃចំណុច \(A\) មកលើប្លង់ \(P\) បានចំណុច \(A'\) ។ ប្រសិនបើមុំផ្គុំរវាងត្រីកោណ \(ABC\) នឹងប្លង់ \(P\) ស្មើនឹង \(\alpha\) ហើយតាង \(S\) និង \(S'\) ជាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ \(ABC\) និង \(A'BC\) រៀងគ្នា ។ បង្ហាញថា \(S' = S\cos\alpha\) ។

មើលចម្លើយ

តាង \(AM\) ជាកម្ពស់នៃ \(\triangle ABC\) (\(M \in BC\)) ។ តាមទ្រឹស្ដីបទច្រាសនៃបីបន្ទាត់កែង \(A'M \perp BC\) ហើយ \(\angle AMA' = \alpha\) ។ \(S = \dfrac{1}{2}AM\times BC\), \(S' = \dfrac{1}{2}A'M\times BC\) និង \(A'M = AM\cos\alpha\) ។ ដូច្នេះ \(S' = S\cos\alpha\) ។

មេរៀនសង្ខេប ជំពូកទី ៨

មេរៀនសង្ខេប

  1. ដើម្បីតាងរូបក្នុងលំហ គេត្រូវស្គាល់ច្បាស់អំពីទ្រង់ទ្រាយដើម ។

  2. បន្ទាត់ស្របគ្នាក្នុងលំហ តាងដោយបន្ទាត់ស្របគ្នាក្នុងប្លង់ ។

  3. អង្កត់ពីរដែលមានប្រវែងស្មើគ្នានៅក្នុងលំហអាចមិនចាំបាច់តាងដោយអង្កត់ពីរដែលមានប្រវែងស្មើគ្នានៅក្នុងប្លង់ទេ ។

  4. តាមពីរចំណុចផ្សេងគ្នា គេអាចគូសបន្ទាត់ត្រង់បានតែមួយគត់ ។

  5. តាមបីចំណុចមិនស្ថិតលើបន្ទាត់តែមួយ គេអាចគូសបានប្លង់តែមួយគត់ដែលកាត់តាមបីចំណុចនោះ ។

  6. បន្ទាត់មួយ និងចំណុចមួយមិនស្ថិតលើបន្ទាត់តែមួយ កំណត់បានប្លង់មួយគត់ ។

  7. បន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នា កំណត់បានប្លង់មួយ ។

  8. បន្ទាត់ពីរស្របគ្នា កំណត់បានប្លង់មួយ ។

  9. បើបន្ទាត់មួយ និងប្លង់មួយមានចំណុចរួមពីរផ្សេងគ្នា នោះបន្ទាត់ទាំងមូលស្ថិតក្នុងប្លង់នោះ ។

  10. បើប្លង់ពីរមានចំណុចរួមមួយ វាប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់មួយដែលកាត់តាមចំណុចរួមនោះ ។

  11. បន្ទាត់អរត្តូកូណាល់ ៖ បន្ទាត់ពីរនៅក្នុងលំហអរត្តូកូណាល់ឬកែងគ្នា កាលណាមុំរវាងបន្ទាត់ទាំងពីរជាមុំកែង ។

  12. បន្ទាត់កែងនឹងប្លង់ ៖ បន្ទាត់មួយកែងនឹងប្លង់មួយ កាលណាបន្ទាត់នោះអរត្តូកូណាល់នឹងគ្រប់បន្ទាត់ក្នុងប្លង់ \(P\) ។ បើបន្ទាត់មួយ អរត្តូកូណាល់ឬកែងនឹងបន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នានៅក្នុងប្លង់ នោះវាកែងនឹងប្លង់ ។

  13. ទ្រឹស្ដីបទបីបន្ទាត់កែង ៖ បើបន្ទាត់ \(AB\) កែងនឹងប្លង់ \(P\) ត្រង់ \(B\) ហើយ \(BO\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(a\) នៃប្លង់ \(P\) ត្រង់ \(O\) នោះបន្ទាត់ \(AO\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(a\) ។ បើបន្ទាត់ \(AB\) កែងនឹងប្លង់ \(P\) ត្រង់ \(B\) ហើយ \(AO\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(a\) នៃប្លង់ \(P\) ត្រង់ \(O\) នោះបន្ទាត់ \(BO\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(a\) ។

  14. ប្លង់មេដ្យាទ័រ ៖ ប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់មួយគឺជាប្លង់ដែលកែងនឹងអង្កត់នោះ ត្រង់ចំណុចកណ្ដាល ។ គេមានចំណុច \(A\), \(B\) ស្ថិតនៅសងខាងនៃប្លង់ \(P\) ចំណុចផ្សេងគ្នា \(C\), \(D\), \(E\) ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ \(P\) ដែល \(AC = BC\), \(AD = BD\), \(AE = BE\) \(\Leftrightarrow\) \(P\) ប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(AB\) ។

  15. ប្លង់កែងនិងចំណោលកែង ៖ គេថាប្លង់ \(P\) កែងនឹងប្លង់ \(Q\) កាលណាប្លង់ \(P\) មានបន្ទាត់មួយកែងនឹងប្លង់ \(Q\) ឬប្លង់ \(Q\) មានបន្ទាត់មួយកែងនឹងប្លង់ \(P\) ។ ចំណោលកែងនៃចំណុចមួយមកលើប្លង់មួយ គឺជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់កែងដែលគូសចេញពីចំណុចនោះនឹងប្លង់ ។

លំហាត់ជំពូកទី ៨

  1. \(OABCD\) ជាពីរ៉ាមីតកំពូល \(O\) (បាត \(ABCD\)) ។ បន្ទាត់ដែលជាប្រសព្វរវាងប្លង់ \(OAB\) និង \(OCD\) កាត់ប្លង់ \(ABCD\) ត្រង់ចំណុច \(H\) ។ ចូរសង់រូបដោយបំពេញបន្ថែមតាមសម្មតិកម្មដែលបានប្រាប់ ។

  2. គេឱ្យចតុមុខ \(ABCD\) មួយ ។ \(M\), \(N\) និង \(P\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃជ្រុង \(BD\), \(DC\) និង \(CA\) ។ កំណត់ប្រសព្វរវាងប្លង់ \(MNP\) និង \(DBC\), \(DCA\), \(ABD\) ។

  3. គេឱ្យប្លង់ \(P\) ស្របនឹងប្លង់ \(Q\), \(AD \parallel BE\), \(CF \parallel BE\) ដែល \(A, B, C \in P\) និង \(D, E, F \in Q\) ។ បង្ហាញថា \(\angle BAC = \angle EDF\) ។

  4. គេមានចតុមុខ \(ABCD\) មួយ ។ \(I\) និង \(J\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃទ្រនុង \(AB\) និង \(AC\), \(K\) ស្ថិតនៅលើ \(AD\) ដែល \(AK = \dfrac{2}{3}AD\) ។ បន្ទាត់ \(JK\) និង \(CD\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(E\) បន្ទាត់ \(IK\) និង \(BD\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(F\) ។ បង្ហាញថា \(EF \parallel IJ\) ។

  5. បើ \(AB \perp BD\), \(\angle ABD = \dfrac{2}{3}x + 56\), \(\angle ABC = 2x - 10\) ។ តើ \(AB\) កែងនឹងប្លង់ \(BCD\) ឬទេ?

  6. គណនាមាឌនៃសូលីតដែលបានមកពីការបង្វិលជុំវិញបន្ទាត់ \(AB\) ក្នុងរូបនីមួយៗខាងក្រោម ៖ ក. ចតុកោណកែងដែលមានជ្រុង \(AB\), ទទឹង \(3\) cm និងអង្កត់ទ្រូង \(5\) cm ខ. ត្រីកោណកែងត្រង់ \(B\) ដែល \(\angle A = 30^\circ\) និងអ៊ីប៉ូតេនុស \(4\) cm គ. ការេ \(ADBC\) ជ្រុង \(5\) cm ដែល \(AB\) ជាអង្កត់ទ្រូង ។

  7. \(OABC\) ជាតេត្រាអែតដែលមាន \(\angle AOB\), \(\angle BOC\) និង \(\angle COA\) ជាមុំកែង ។ ក្នុងប្លង់ \(OBC\) យក \(I\) ជាចំណោលកែងនៃ \(O\) លើ \(BC\) ។ ក្នុងប្លង់ \(OAI\) យក \(H\) ជាចំណោលកែងនៃ \(O\) លើ \(AI\) ។ បង្ហាញថា ៖ ក. \(AI\) ជាកម្ពស់មួយរបស់ត្រីកោណ \(ABC\) ខ. \(OH\) កែងនឹងប្លង់ \(ABC\) ។

  8. គេមានបន្ទាត់បី \(d_1, d_2, d_3\) ដែលពីរៗមិនស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ ។ បង្ហាញថាមានបន្ទាត់មួយកាត់តាមបន្ទាត់ទាំងពីរនេះ ។

  9. គេឱ្យបន្ទាត់ \(d\) ជាបន្ទាត់ប្រសព្វរវាងប្លង់ \(P\) និងប្លង់ \(Q\) ។ យក \(A\) ជាចំណុចនៅក្នុងប្លង់ \(P\) ។ \(B\) និង \(C\) ពីរចំណុចផ្សេងគ្នានៅក្នុងប្លង់ \(Q\) ។ ឧបមាថាចំណុច \(A\), \(B\) និង \(C\) មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(d\) ។ បង្ហាញថាចំណុច \(A\), \(B\) និង \(C\) មិនរត់ត្រង់គ្នា ។

  10. គេមានតេត្រាអែត \(ABCD\) ហើយ \(I, J, K, L\) ជាចំណុចដែល \(AI = \dfrac{1}{3}AC\), \(AJ = \dfrac{1}{3}AD\), \(BK = \dfrac{2}{3}BC\), \(BL = \dfrac{2}{3}BD\) ។ ក. បង្ហាញថា ចតុកោណ \(IJLK\) ជាចតុកោណព្នាយ ខ. ចំណុច \(O\) ជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ \(KI\) និង \(LJ\) ។ បង្ហាញថាចំណុច \(A\), \(B\) និង \(O\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ ។

  11. គេឱ្យបន្ទាត់ពីរ \(AB\) និង \(CD\) មិនស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ និងចំណុច \(M\) និង \(N\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(AB\) និង \(CD\) រៀងគ្នា ដែល \(\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{NC}{ND}\) ។ បង្ហាញថា \(MN\) ស្របនឹងប្លង់មួយ ។

  12. គេឱ្យបន្ទាត់ \(AB\) នៃប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) មួយស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ \(P\) ។ តាមកំពូល \(D\) គេគូសបន្ទាត់ \(d\) ស្របនឹងប្លង់ \(P\) ។ បង្ហាញថា ៖ ក. ប្លង់ \(P\) ស្របនឹងប្លង់ដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ \(d\) និងចំណុច \(C\) ខ. \(d\) ស្របនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃប្លង់ \(P\) និងប្លង់ដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ \(d\) និងចំណុច \(B\) ។

  13. គេឱ្យ \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាមនៅក្នុងប្លង់ \(P\) មួយ ។ \(O\) ជាចំណុចស្ថិតនៅក្រៅប្លង់ \(P\) ។ ក. កំណត់ប្រសព្វរវាងប្លង់ \(OAD\) និង \(OBC\), \(OAC\) និង \(OBD\) ។ ខ. ចំណុច \(A'\) ទៅចំកណ្ដាលជ្រុង \(OA\) កំណត់ប្រសព្វរវាងប្លង់ \(A'BC\) និង \(OAD\), \(A'BC\) និង \(ODC\) ។

  14. គេឱ្យតេត្រាអែត \(ABCD\) យក \(I, J, K, L, M\) និង \(N\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃជ្រុង \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\), \(AB\) និង \(CD\) ។ ក. បង្ហាញថា \(IJLK\) និង \(MJNK\) ជាប្រលេឡូក្រាម ។ ទាញបង្ហាញថា អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមទាំងពីរនេះកាត់ត្រង់ចំណុច \(G\) មួយ ។ ខ. \(A_1\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃត្រីកោណ \(BCD\) ។ បង្ហាញថា \(ABN\), \(ACL\) និង \(ADK\) កាត់គ្នាតាមបន្ទាត់ \(AA_1\) ដែលកាត់តាម \(G\) ។

  15. គេមានគូបមួយ ដែលចំណុច \(I, J, K\) នៅលើទ្រនុងបីដែលចេញពីកំពូល \(A\) ដោយ \(AI = AJ = AK = x\) ។ ក. ប្រាប់ឈ្មោះត្រីកោណ \(IJK\) ខ. គណនាមាឌនៃ \(AIJK\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x\) ។

  16. នៅក្នុងប្លង់ \(P\) មួយមានបន្ទាត់ស្របពីរ \(d\) និង \(d'\) ។ \(A\) ជាចំណុចស្ថិតនៅក្រៅប្លង់ \(P\) ដែលចំណោលកែងរបស់វាមកលើបន្ទាត់ \(d'\) បានចំណុច \(H'\) និងមកលើ \(d\) បានចំណុច \(H\) ។ ក. បង្ហាញថា \(d\) អរត្តូកូណាល់ទៅនឹងប្លង់ \(AHH'\) ខ. បង្ហាញថា \(HH'\) កែងនឹង \(d\) គ. បើ \(K\) ជាចំណោលនៃ \(A\) មកលើបន្ទាត់ \(HH'\) បង្ហាញថា \(AK\) កែងនឹងប្លង់ \(P\) ។

  17. គេមានកែវមួយមានរាងកោន ។ គេចាក់បារតដែលមានដង់ស៊ីតេ \(13.59\) ទឹកមានដង់ស៊ីតេ \(1\) និងប្រេងមានដង់ស៊ីតេ \(0.915\) ជាបន្តបន្ទាប់គ្នា ។ អង្គធាតុរាវទាំងបីចាក់បំពេញកែវដោយមិនចូលគ្នា ដែលបង្កើតបាននូវស្រទាប់បីផ្សេងគ្នា ហើយមានកម្រាស់ស្មើៗគ្នា ។ តើម៉ាសនៃអង្គធាតុមួយណាធំជាងគេ ។

  18. រកមុំដែលបង្កើតឡើងដោយប្លង់ពីរនៃគូប \(ABCDEFGH\) ដូចខាងក្រោម ៖ ក. ប្លង់ \(AEGC\) និងប្លង់ \(AEHD\) ខ. ប្លង់ \(ABCD\) និងប្លង់ \(BFHD\) ។

  19. តើសំណើខាងក្រោមមួយណាពិត មួយណាមិនពិត ៖

    1. \(l \parallel \alpha\), \(m \parallel \alpha \Rightarrow l \parallel m\)

    2. \(l \perp \alpha\), \(m \perp \alpha \Rightarrow l \parallel m\)

    3. \(l \perp \alpha\), \(m \parallel \alpha \Rightarrow l \perp m\)

    4. \(\alpha \perp \gamma\), \(\beta \perp \gamma \Rightarrow \alpha \parallel \beta\)

    5. \(\alpha \parallel \beta\), \(\beta \parallel \gamma \Rightarrow \alpha \parallel \gamma\)

  20. កំណត់ថាតើគែមរបស់តេត្រាអែត \(ABCD\) មួយណាដែលបត់ត្រួតស៊ីគ្នាទៅវិញទៅមក ។

  21. គេឱ្យបួនចំណុច \(A, B, C, D\) ។ បើបន្ទាត់ \(AB\) និង \(CD\) មិនត្រួតស៊ីគ្នា នោះបន្ទាត់ \(AD\) និង \(BC\) មិនត្រួតស៊ីគ្នាដែរ ។ ចូរបង្ហាញ ។

  22. បើប្លង់ពីរ \(\alpha\) និង \(\beta\) ប្រសព្វគ្នាបានបន្ទាត់ \(L\) មួយ ហើយគេគូសបន្ទាត់ \(PA\) និង \(PB\) ពីរចំណុច \(P\) កែងទៅនឹងប្លង់ទាំងពីរខាងលើ ។ ចូរបង្ហាញថា បើបន្ទាត់ \(AA'\) និង \(BB'\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(L\) នោះ \(A'\) និង \(B'\) ត្រួតលើ ។

  23. បង្ហាញថា បើបន្ទាត់ \(PA\) មិននៅក្នុងប្លង់ \(\alpha\) ទៅបន្ទាត់ \(a\) នៅក្នុងប្លង់ \(\alpha\) ហើយបន្ទាត់ \(PQ\) កែងទៅនឹងបន្ទាត់ \(\alpha\) នោះបន្ទាត់ \(AQ\) កែងទៅនឹងប្លង់ \(\alpha\) ។

  24. បង្ហាញថា បើបន្ទាត់ \(PQ\) មិននៅក្នុងប្លង់ \(\alpha\) ទៅប្លង់ \(\alpha\) នៅក្នុងប្លង់ \(\alpha\) ហើយបន្ទាត់ \(PQ\) កែងទៅនឹងបន្ទាត់ \(a\) នោះបន្ទាត់ \(PA\) កែងទៅនឹងបន្ទាត់ \(a\) ។

  25. បង្ហាញថា បើបន្ទាត់ \(L\) កែងទៅនឹងបន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នានៅក្នុងប្លង់ \(P\) នោះបន្ទាត់ \(L\) កែងទៅនឹងប្លង់នោះ ។

  26. រកមុំដែលកើតឡើងដោយជ្រុងពីរនៃគូប \(ABCDEFGH\) ដូចខាងក្រោម ៖ ក. \(BC\) និង \(GH\) ខ. \(BA\) និង \(FC\) គ. \(BD\) និង \(AH\) ។

  27. តើអ្វីជាចំណុចប្រសព្វនៃប្លង់ \(MAB\), \(MBC\) និង \(MAC\)?

  28. គូសបន្ទាត់ \(PA\) ពីចំណុច \(P\) ដែលមិននៅក្នុងប្លង់ \(M\) ហើយកែងទៅនឹងបន្ទាត់ \(a\) នៅក្នុងប្លង់ \(M\) ។ នៅក្នុងស្ថានភាពនេះ បើយើងគូសបន្ទាត់ \(PQ\) ពីចំណុច \(P\) កែងទៅនឹងបន្ទាត់ \(b\) នោះបន្ទាត់ \(PQ\) កែងទៅនឹងប្លង់ \(M\) ។

  29. បង្ហាញថា បើបួនចំណុច \(A, B, C, D\) នៅក្នុងលំហដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(AB^2 + CD^2 = AC^2 + BD^2\) នោះ \(AD\) កែងនឹង \(BC\) ។

  30. គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) មួយ ហើយ \(AD\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ \(BAC\) ។ បង្ហាញថា \(AB : AC = BD : CD\) ។

  31. គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) មួយ ហើយ \(AD\) ជាមេដ្យាន ដែល \(AD = BD = CD\) ។ បង្ហាញថាត្រីកោណ \(ABC\) ជាត្រីកោណកែង ។

  32. រកចំនួនបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុច \(B\) នៃពីរ៉ាមីត \(MABCD\) (បន្ទាត់កាត់តាមកំពូលពីរនៃពីរ៉ាមីត) ។

  33. រកប្លង់ចំនួនបីដែលកាត់តាមចំណុចទាំងពីរ \(A\) និង \(B\) នៃប្រលេពីប៉ែតកែង \(ABCDA'B'C'D'\) ។

  34. ពិចារណាអំពីព្រីសរាងចតុកោណ \(ABCDEFGH\) (មុខលើ \(ABCD\) និងមុខក្រោម \(EFGH\) ដែល \(E, F, G, H\) នៅក្រោម \(A, B, C, D\) រៀងគ្នា) ដែល \(AB \ne BC \ne AE\) ។

    1. តើអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពី \(EF\) និង \(FG\)? (ក. វាស្របគ្នា ខ. វាកាត់កែង ហើយកែងគ្នា គ. ពួកវាមិនស្របឬកាត់ហើយមិនកែងគ្នា ឃ. វាមិនកាត់គ្នានិងកែងគ្នាទេ)

    2. តើអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពី \(AE\) និង \(CG\)? (ក. វាមិនកាត់គ្នានិងកែងគ្នាទេ ខ. វាកាត់កែងនិងកែងគ្នា គ. ពួកវាស្របគ្នា ឃ. វាមិនស្របឬមិនកាត់គ្នានិងកែងគ្នាទេ)

    3. តើអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពី \(BD\) និង \(DH\)? (ក. វាកាត់គ្នានិងកែងគ្នា ខ. ពួកវាមិនស្របឬកាត់កែងគ្នា គ. វាមិនកាត់គ្នានិងកែងគ្នាទេ ឃ. វាស្របគ្នា)

    4. តើអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពី \(BD\) និង \(AC\)? (ក. វាស្របគ្នា ខ. វាកាត់គ្នានិងកែងគ្នា គ. វាមិនស្របគ្នាឬកាត់គ្នា និងកែងគ្នាទេ ឃ. វាមិនកាត់គ្នានិងកែងគ្នាទេ)

  35. អ្នកមានប្រអប់ដែលមានទំហំ \(2\) ហ្វីត \(1\) ហ្វីត ទទឹង \(6\) អ៊ីង ។ តើផលិតផលប៉ុន្មានដែលសមនឹងខាងក្នុង ប្រសិនបើកញ្ចប់ផលិតផលនីមួយៗវាស់ \(3\) អ៊ីញ គុណនឹង \(6\) អ៊ីង និងកម្ពស់ \(1\) អ៊ីញ?

  36. គេឱ្យបន្ទាត់ \(L\) មួយកាត់ប្លង់ \(X\) ត្រង់ចំណុច \(A\) ។ ចូរពិនិត្យមើលប្រយោគខាងក្រោមថា តើមួយណាត្រឹមត្រូវ? ក. បន្ទាត់ស្របទៅនឹងប្លង់ ខ. បន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ គ. បន្ទាត់កាត់ប្លង់ ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព
មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ១៧៨–២០០។
ទំព័រ ១៧៨
ទំព័រ ១៧៨
ទំព័រ ១៧៩
ទំព័រ ១៧៩
ទំព័រ ១៨០
ទំព័រ ១៨០
ទំព័រ ១៨១
ទំព័រ ១៨១
ទំព័រ ១៨២
ទំព័រ ១៨២
ទំព័រ ១៨៣
ទំព័រ ១៨៣
ទំព័រ ១៨៤
ទំព័រ ១៨៤
ទំព័រ ១៨៥
ទំព័រ ១៨៥
ទំព័រ ១៨៦
ទំព័រ ១៨៦
ទំព័រ ១៨៧
ទំព័រ ១៨៧
ទំព័រ ១៨៨
ទំព័រ ១៨៨
ទំព័រ ១៨៩
ទំព័រ ១៨៩
ទំព័រ ១៩០
ទំព័រ ១៩០
ទំព័រ ១៩១
ទំព័រ ១៩១
ទំព័រ ១៩២
ទំព័រ ១៩២
ទំព័រ ១៩៣
ទំព័រ ១៩៣
ទំព័រ ១៩៤
ទំព័រ ១៩៤
ទំព័រ ១៩៥
ទំព័រ ១៩៥
ទំព័រ ១៩៦
ទំព័រ ១៩៦
ទំព័រ ១៩៧
ទំព័រ ១៩៧
ទំព័រ ១៩៨
ទំព័រ ១៩៨
ទំព័រ ១៩៩
ទំព័រ ១៩៩
ទំព័រ ២០០
ទំព័រ ២០០

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

បញ្ជាក់ ត្រូវ ឬខុស ៖ ក. នៅក្នុងលំហ បើគេមានបន្ទាត់ពីរ \(a\) និង \(a'\) អរត្តូកូណាល់ទៅនឹងបន្ទាត់ \(b\) នោះគេថា \(a \parallel a'\) ។ ខ. បន្ទាត់ \(d\) និង \(d'\) អរត្តូកូណាល់ទៅនឹងប្លង់ \(P\) មួយ នោះគេបាន \(d \parallel d'\) ។ គ. គេមានបន្ទាត់ពីរ \(a\) និង \(a'\) ។ បើ \(a\) អរត្តូកូណាល់ទៅនឹងប្លង់ \(P\) និង \(a'\) ស្របទៅនឹងប្លង់ \(P\) នោះ \(a\) អរត្តូកូណាល់ទៅនឹង \(a'\) ។ ឃ. បន្ទាត់មួយអរត្តូកូណាល់ទៅនឹងបន្ទាត់ពីរផ្សេងគ្នា ដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ \(P\) មួយ នោះវាអរត្តូកូណាល់ទៅនឹងប្លង់ ។ ង. បើគេមានបន្ទាត់ពីរ \(d\) និង \(d'\) មិនស្របគ្នា ហើយអរត្តូកូណាល់រៀងគ្នាទៅនឹងប្លង់ \(P\) និង \(P'\) នោះគេថាប្លង់ \(P\) និង \(P'\) ប្រសព្វគ្នា ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ខុស ខ. ត្រូវ គ. ត្រូវ ឃ. ខុស (បន្ទាត់ទាំងពីរត្រូវតែប្រសព្វគ្នា) ង. ត្រូវ ។

២លំហាត់ទី ២

គេមានគូប \(ABCDA'B'C'D'\) មួយដែល \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃទ្រនុង \(AB\), \(CD\), \(A'D'\), \(C'D'\) រៀងគ្នា ។ ចូរបញ្ជាក់ ត្រូវ ឬខុស ៖ ក. បន្ទាត់ \(MN \parallel PN\) ខ. បន្ទាត់ \(MN\) អរត្តូកូណាល់នឹង \(PN\) គ. បន្ទាត់ \(MN\) មិនកាត់និងមិនស្របនឹង \(PN\) ឃ. ប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(MN\) គឺជាប្លង់ \(BDA'\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ខុស ខ. ខុស គ. ខុស (\(MN\) និង \(PN\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(N\)) ឃ. ខុស (ប្លង់មេដ្យាទ័រនៃ \(MN\) កាត់តាមចំណុចកណ្ដាលនៃ \(AD\), \(BC\), \(A'D'\), \(B'C'\) ហើយស្របនឹងមុខ \(ABB'A'\)) ។ (សម្គាល់ ៖ បន្ទាត់ \(MN\) និង \(PQ\) មិនកាត់និងមិនស្របគ្នា ។)

៣លំហាត់ទី ៣

\(SABCD\) ជាពីរ៉ាមីតនិយ័តមួយដែលមានបាតជាការេ ។ ចូរបំពេញក្នុងតារាងខាងក្រោម ៖

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \text{កម្ពស់} & 1.5\ \text{m} & & 0.6\ \text{m} & \\ \hline \text{ជ្រុងការេ} & 0.5\ \text{m} & & & 3\ \text{m}\\ \hline \text{ផ្ទៃក្រឡាបាត} & & 144\ \text{dm}^2 & & \\ \hline \text{មាឌ} & & 0.624\ \text{dm}^3 & 242\ \text{m}^3 & 36\ \text{m}^3\\ \hline \end{array}\]

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រើ \(V = \dfrac{1}{3}Bh\) ៖ ជួរទី ១ ៖ \(B = 0.25\ \text{m}^2\), \(V = 0.125\ \text{m}^3\) ។ ជួរទី ២ ៖ ជ្រុង \(12\) dm, \(h = \dfrac{3\times 0.624}{144} = 0.013\) dm ។ ជួរទី ៣ ៖ \(B = \dfrac{3\times 242}{0.6} = 1210\ \text{m}^2\), ជ្រុង \(= 11\sqrt{10} \approx 34.79\) m ។ ជួរទី ៤ ៖ \(B = 9\ \text{m}^2\), \(h = \dfrac{3\times 36}{9} = 12\) m ។

៤លំហាត់ទី ៤

គេមានកោណមួយនិងប្លង់មួយកាត់តាមចំណុចកណ្ដាលនៃកម្ពស់ រួចស្របទៅនឹងប្លង់បាត ។ ចូរបំពេញចម្លើយក្នុងតារាងខាងក្រោម ៖

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline & \text{កម្ពស់} & \text{កាំនៃបាត} & \text{ជនេត្រ} & \text{ផ្ទៃក្រឡាបាត} & \text{មាឌ}\\ \hline \text{កោណមិនទាន់កាត់} & h & & a & \pi r^2 & v\\ \hline \text{កោណបានកាត់រួច} & & \dfrac{r}{2} & & & \\ \hline \end{array}\]

មើលដំណោះស្រាយ

កោណមិនទាន់កាត់ ៖ កាំបាត \(r\) ។ កោណតូចដែលបានកាត់រួច ៖ កម្ពស់ \(\dfrac{h}{2}\), កាំ \(\dfrac{r}{2}\), ជនេត្រ \(\dfrac{a}{2}\), ផ្ទៃក្រឡាបាត \(\dfrac{\pi r^2}{4}\), មាឌ \(\dfrac{v}{8}\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

គេមានចតុមុខនិយ័ត \(ABCD\) មួយ ។ បង្ហាញថាជ្រុង \(CD\) ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(AB\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(CA = CB\) និង \(DA = DB\) (គ្រប់ទ្រនុងស្មើគ្នា) ដូច្នេះ \(C\) និង \(D\) ស្ថិតក្នុងប្លង់មេដ្យាទ័រនៃ \(AB\) ។ ហេតុនេះបន្ទាត់ \(CD\) ស្ថិតក្នុងប្លង់នោះ ។

៦លំហាត់ទី ៦

បន្ទាត់ \(d\) និង \(\ell\) មិនស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ប៉ុន្តែអរត្តូកូណាល់នឹងគ្នា ។ ចំណុច \(A\) និង \(H\) ស្ថិតនៅលើ \(\ell\) និង \(d\) រៀងគ្នាដែល \(H\) ជាចំណោលកែងនៃ \(A\) មកលើ \(d\) ។ បង្ហាញថា \(d\) កែងនឹងប្លង់ដែលកំណត់ដោយ \(H\) និង \(\ell\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(d \perp \ell\) (សម្មតិកម្ម) និង \(d \perp AH\) ។ បន្ទាត់ \(\ell\) និង \(AH\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(A\) ហើយស្ថិតក្នុងប្លង់ដែលកំណត់ដោយ \(H\) និង \(\ell\) ។ ដូច្នេះ \(d\) កែងនឹងប្លង់នោះ ។

៧លំហាត់ទី ៧

គេឱ្យពីរ៉ាមីត \(SABCD\) ដែល \(ABCD\) ជាការេ និង \(SB\) កែងនឹងប្លង់ \(ABCD\) ។ ក. បង្ហាញថាបន្ទាត់ \(AD\) កែងនឹងប្លង់ \(ABS\) ខ. បើ \(AB = BS = a\) គណនា \(BD\), \(DS\), \(SA\) ជាអនុគមន៍នៃ \(a\) ។ រកមាឌនៃពីរ៉ាមីត \(SABCD\) ជាអនុគមន៍នៃ \(a\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(AD \perp AB\) និង \(AD \perp SB\) (\(SB \perp ABCD\)) ដូច្នេះ \(AD \perp (ABS)\) ។ ខ. \(BD = a\sqrt{2}\), \(DS = \sqrt{SB^2 + BD^2} = a\sqrt{3}\), \(SA = a\sqrt{2}\) ។ \(V = \dfrac{1}{3}a^2\cdot a = \dfrac{a^3}{3}\) ។

៨លំហាត់ទី ៨

គេឱ្យបន្ទាត់ \(d\) ជាប្រសព្វរវាងប្លង់ \(P\) និង \(P'\) និងចំណុច \(A\) មួយមិនស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ទាំងពីរ ។ បន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច \(A\) កែងនឹងប្លង់ \(P\) និង \(P'\) ត្រង់ \(H\) និង \(H'\) រៀងគ្នា ។ ក. បង្ហាញថា \(d\) អរត្តូកូណាល់នឹងប្លង់ \(AHH'\) ខ. តាងចំណុច \(K\) ជាប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ \(d\) និងប្លង់ \(AHH'\) ។ បង្ហាញថា \(AK\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(d\) គ. ឧបមាថា \(AH = AH'\) បង្ហាញថា \(KH = KH'\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(d \subset P\) នាំឱ្យ \(d \perp AH\) ។ \(d \subset P'\) នាំឱ្យ \(d \perp AH'\) ។ ដូច្នេះ \(d \perp (AHH')\) ។ ខ. \(AK \subset (AHH')\) នាំឱ្យ \(AK \perp d\) ។ គ. ត្រីកោណកែង \(AHK\) និង \(AH'K\) (កែងត្រង់ \(H\) និង \(H'\)) មានអ៊ីប៉ូតេនុសរួម \(AK\) និង \(AH = AH'\) ដូច្នេះ \(KH = KH'\) ។

៩លំហាត់ទី ៩

គេមានត្រីកោណកែង \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) និង \(AB = a\), \(AC = 2a\) ។ យក \(d\) ជាបន្ទាត់មួយកែងនឹងប្លង់ \(ABC\) ត្រង់ \(A\) ។ ជ្រើសរើសចំណុច \(D\) មួយនៅលើ \(d\) ដែល \(AD = 2a\) ។ ក. បង្ហាញថា \(AC\) អរត្តូកូណាល់នឹង \(BD\) និង \(AB\) អរត្តូកូណាល់នឹង \(CD\) ខ. \(I\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់ \(CD\) ។ បង្ហាញថាប្លង់ \(ABI\) ជាប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(CD\) គ. គណនាមាឌ \(ABCD\) ជាអនុគមន៍នៃ \(a\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(AC \perp AB\) និង \(AC \perp AD\) នាំឱ្យ \(AC \perp (ABD)\) ដូច្នេះ \(AC \perp BD\) ។ ដូចគ្នា \(AB \perp (ACD)\) ដូច្នេះ \(AB \perp CD\) ។ ខ. \(AC = AD = 2a\) និង \(BC = BD = a\sqrt{5}\) ហើយ \(IC = ID\) ។ ចំណុច \(A, B, I\) មិនរត់ត្រង់គ្នា ហើយស្មើចម្ងាយពី \(C\) និង \(D\) ដូច្នេះ \(ABI\) ជាប្លង់មេដ្យាទ័រនៃ \(CD\) ។ គ. \(V = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times a\times 2a\times 2a = \dfrac{2a^3}{3}\) ។

១០លំហាត់ទី ១០

រង្វង់ផ្ចិត \(O\) មួយស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ \(P\) ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត \(AB\) ។ \(C\) ជាចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ផ្សេងពីចំណុច \(A\) និង \(B\) និង \(d\) ជាបន្ទាត់កាត់តាម \(A\) ហើយអរត្តូកូណាល់នឹងប្លង់ \(P\) ។ យកចំណុច \(D\) ឋិតនៅលើបន្ទាត់ \(d\) ផ្សេងពី \(A\) ។ ក. បង្ហាញថា \(BC\) កែងនឹងប្លង់ \(ACD\) ខ. \(H\) ជាចំណុចមួយនៅលើ \(CD\) ដែល \(AH\) កែងនឹង \(CD\) ។ បង្ហាញថា \(AH\) កែងនឹង \(BCD\) គ. បង្ហាញថា \(AB^2 = AH^2 + HC^2 + CB^2\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(BC \perp AC\) (មុំចារឹកក្នុងកន្លះរង្វង់) និង \(BC \perp AD\) (\(AD \perp P\)) ដូច្នេះ \(BC \perp (ACD)\) ។ ខ. \(AH \subset (ACD)\) នាំឱ្យ \(AH \perp BC\) ហើយ \(AH \perp CD\) ដូច្នេះ \(AH \perp (BCD)\) ។ គ. \(AH \perp HB\) នាំឱ្យ \(AB^2 = AH^2 + HB^2\) ។ \(BC \perp (ACD)\) នាំឱ្យ \(BC \perp HC\) ហើយ \(HB^2 = HC^2 + CB^2\) ។ ដូច្នេះ \(AB^2 = AH^2 + HC^2 + CB^2\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២៨ ភាពអរតូកូណាល់ក្នុងលំហ (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត