មេរៀនទី ១៨ : អនុវត្តន៍នៃដេរីវេ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

វត្ថុបំណង

រកសមីការនៃបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាបតាងអនុគមន៍នៅត្រង់ចំណុចមួយ
សិក្សាទិសដៅអថេរភាពនៃអនុគមន៍ទៅតាមសញ្ញានៃដេរីវេ
រកតម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមាធៀបនៃអនុគមន៍
ដោះស្រាយចំណោទតម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមា
រកចំណុចរបត់នៃក្រាបតាងអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី \(3\)
រកល្បឿននៃចលនាដោយប្រើដេរីវេនៃអនុគមន៍ចម្ងាយចរ ។

ក្នុងមេរៀននេះ គេនឹងសិក្សាពីការអនុវត្តនៃដេរីវេចំពោះការដោះស្រាយចំណោទបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាបតាងអនុគមន៍ចំណុចមួយ ការសិក្សាទិសដៅអថេរភាពនៃអនុគមន៍ ការគណនាតម្លៃអតិបរមា តម្លៃអប្បបរមា ការរកចំណុចរបត់នៃខ្សែកោង និងការរកល្បឿននៃចលនាមួយ ។

បន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាបតាងអនុគមន៍

គេមានចំណុច \(M(x_0, f(x_0))\) និង \(N(x, f(x))\) នៅលើក្រាបតាងអនុគមន៍ \(f\) ។ ខ្នាត់ \(MN\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\) ។ បើចំណុច \(N\) ផ្លាស់ទីលើក្រាប ហើយខិតជិត \(M\) នោះខ្នាត់ \(MN\) ងាកទៅរកទីតាំងលីមីត \((MT)\) ដែលហៅថាបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាបតាងអនុគមន៍ \(f\) ត្រង់ចំណុច \(M(x_0, f(x_0))\) ។

ក្នុងករណីនេះ មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះ \((MT)\) គឺជាលីមីតនៃមេគុណប្រាប់ទិសរបស់ខ្នាត់ \(MN\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(x_0\) គឺ

\[\begin{gathered} m = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \quad{} \text{ឬ}\\ m = f'(x_0) \text{ ។} \end{gathered}\]

ជាទូទៅ

មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាបតាងអនុគមន៍ \(f\) នៅត្រង់ \(x_0\) ជាដេរីវេ \(f\) នៅត្រង់ \(x_0\) គឺ \(m = f'(x_0)\) ។

ដោយបន្ទាត់ប៉ះ \(MT\) កាត់តាមចំណុច \(M(x_0, y_0)\) និងមានមេគុណប្រាប់ទិស \(f'(x_0)\) នោះបន្ទាត់ប៉ះ \(MT\) មានសមីការ

\[\begin{gathered} y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \quad{} \text{ឬ}\\ y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0 \text{ ។} \end{gathered}\]

លំហាត់គំរូ

អនុគមន៍ \(f(x) = x^3 - x^2 + 2\) មានក្រាប \(C\) ។

រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប \(C\) ត្រង់ចំណុច \(A(1, 2)\) ។
បន្ទាត់ \(L\) មានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(5\) ហើយប៉ះនឹងក្រាប \(C\) ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុចប៉ះរវាង \(L\) និង \(C\) ហើយរកសមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់នោះ ។

ដំណោះស្រាយ

គេមាន \(x_0 = 1\), \(y_0 = 2\) ។ \(f'(x) = 3x^2 - 2x\) នោះ \(f'(x_0) = f'(1) = 3\times 1^2 - 2\times 1 = 1\) ។ បន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប \(C\) ត្រង់ \(A(1, 2)\) មានសមីការ \(y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\) ឬ \(y - 2 = 1(x - 1)\) ។ ដូច្នេះ \(y = x + 1\) ។
តាង \((a, b)\) ជាកូអរដោនេនៃចំណុចប៉ះ ។ បន្ទាត់ប៉ះ \(L\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(f'(a) = 5\) និង \(f'(a) = 3a^2 - 2a\) ។ គេបាន \(3a^2 - 2a = 5\) ឬ \(3a^2 - 2a - 5 = 0\) មានឫស \(a_1 = -1\), \(a_2 = \dfrac{5}{3}\) ។

ចំពោះ \(a = -1\) នោះ \(b = (-1)^3 - (-1)^2 + 2 = 0\) ។ ចំពោះ \(a = \dfrac{5}{3}\) នោះ \(b = \left(\dfrac{5}{3}\right)^3 - \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 + 2 = \dfrac{104}{27}\) ។ ដូច្នេះមានចំណុចប៉ះពីរ \((-1, 0)\) និង \(\left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{104}{27}\right)\) ។

បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុច \((-1, 0)\) មានសមីការ \(L_1 : y - 0 = 5(x - (-1))\) ឬ \(y = 5x + 5\) ។

បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុច \(\left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{104}{27}\right)\) មានសមីការ \(L_2 : y - \dfrac{104}{27} = 5\left(x - \dfrac{5}{3}\right)\) ឬ \(y = 5x - \dfrac{121}{27}\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាបតាង \(y = -x^2 + x + 3\) ត្រង់ \(x = 2\) ។
រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាបតាង \(y = -x^3 + 3x + 4\) ហើយស្របនឹងបន្ទាត់មានសមីការ \(y = 3x\) ។
រកសមីការបន្ទាត់ \(D\) ដែលប៉ះនឹងក្រាប \(C : y = x^3 - 4x\) ត្រង់ចំណុច \(A(1, -3)\) ។ ទាញរកកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វមួយទៀតរវាងបន្ទាត់ \(D\) និងក្រាប \(C\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(y = -3x + 7\) ខ. \(y = 3x + 4\) គ. \(D : y = -x - 2\) និងចំណុចប្រសព្វគឺ \((1, -3)\), \((-2, 0)\) ។

ទិសដៅអថេរភាពនៃអនុគមន៍

ក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងលើកយកមកសិក្សាពីវិធីងាយៗ សម្រាប់បញ្ជាក់ថាអនុគមន៍មួយកើន ឬចុះនៅក្នុងចន្លោះណាខ្លះ ។

អនុគមន៍កើន-អនុគមន៍ចុះ

\(f\) ជាអនុគមន៍កើននៅលើចន្លោះ \(I\) មួយ កាលណា \(\forall x_1, x_2 \in I\), \(x_1 < x_2\) នាំឱ្យ \(f(x_1) < f(x_2)\) ។
\(f\) ជាអនុគមន៍ចុះនៅលើចន្លោះ \(I\) មួយ កាលណា \(\forall x_1, x_2 \in I\), \(x_1 < x_2\) នាំឱ្យ \(f(x_1) > f(x_2)\) ។

លំហាត់គំរូ

បង្ហាញថាអនុគមន៍ \(f(x) = x^2\) កើនចំពោះ \(x > 0\) ហើយចុះចំពោះ \(x < 0\) ។

ដំណោះស្រាយ

ចំពោះ \(0 < x_1 < x_2\) គេបាន \(f(x_2) - f(x_1) = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1) > 0\) ។ \(f(x_2) - f(x_1) > 0\) នាំឱ្យ \(f(x_1) < f(x_2)\) ។ ដូច្នេះ \(f\) ជាអនុគមន៍កើនចំពោះ \(x > 0\) ។

ចំពោះ \(x_1 < x_2 < 0\) គេបាន \(f(x_2) - f(x_1) = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1) < 0\) ។ \(f(x_2) - f(x_1) < 0\) នាំឱ្យ \(f(x_1) > f(x_2)\) ។ ដូច្នេះ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះចំពោះ \(x < 0\) ។

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញថា \(y = x^3\) ជាអនុគមន៍កើនជានិច្ច ។
តើអនុគមន៍ \(y = 1 - x^2\) ជាអនុគមន៍កើនឬចុះ ចំពោះ \(x > 0\) ។

មើលចម្លើយ

ក. ចំពោះ \(x_1 < x_2\) ៖ \(x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)\left[\left(x_2 + \dfrac{x_1}{2}\right)^2 + \dfrac{3x_1^2}{4}\right] > 0\) ខ. \(y = 1 - x^2\) ជាអនុគមន៍ចុះ ចំពោះ \(x > 0\) ។

ដេរីវេនិងទិសដៅអថេរភាពនៃអនុគមន៍

បើគេពិនិត្យមើលក្រាប \((C_1)\) តាងអនុគមន៍ \(f\) ដែលកើននៅលើចន្លោះ \((a, b)\) នោះគេសង្កេតឃើញថា បន្ទាត់ប៉ះទាំងអស់នឹងក្រាបមានមេគុណប្រាប់ទិសវិជ្ជមាន គឺមានន័យថា \(f'(x) > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in (a, b)\) ។ តាមរបៀបដូចគ្នាដែរ បន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប \((C_2)\) តាងអនុគមន៍ចុះមានមេគុណប្រាប់ទិសអវិជ្ជមាន គឺបានន័យថា \(f'(x) < 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in (a, b)\) ។

ជាទូទៅ

\(f\) ជាអនុគមន៍កើននៅលើចន្លោះ \((a, b)\) លុះត្រាតែ \(f'(x) > 0\) គ្រប់ \(x \in (a, b)\) ។
\(f\) ជាអនុគមន៍ចុះនៅលើចន្លោះ \((a, b)\) លុះត្រាតែ \(f'(x) < 0\) គ្រប់ \(x \in (a, b)\) ។
\(f\) ជាអនុគមន៍ថេរនៅលើចន្លោះ \((a, b)\) លុះត្រាតែ \(f'(x) = 0\) គ្រប់ \(x \in (a, b)\) ។

លំហាត់គំរូ ១

កំណត់ចន្លោះដែលអនុគមន៍ \(f(x) = 4x^3 + 5x - 9\) ជាអនុគមន៍កើន ។

ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី \(1\) ៖ រកដេរីវេ \(f'(x)\) គេបាន \(f'(x) = 12x^2 + 5\) ។

ជំហានទី \(2\) ៖ សិក្សាសញ្ញានៃ \(f'(x)\) ។ ដោយ \(12x^2 \ge 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) នោះ \(f'(x) = 12x^2 + 5 > 0\) គ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ។ ដូច្នេះ \(f\) ជាអនុគមន៍កើននៅលើ \(\mathbb{R}\) ។

លំហាត់គំរូ ២

កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យ \(f(x) = (m - 1)x^2 + m^2 + m + 1\) ជាអនុគមន៍ចុះចំពោះ \(x > 0\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(f'(x) = 2(m - 1)x\) ។ ដើម្បីឱ្យ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះ ចំពោះ \(x > 0\) លុះត្រាតែ \(f'(x) < 0\) ចំពោះ \(x > 0\) \(\Rightarrow 2(m - 1)x < 0\) តែ \(x > 0\) \(\Rightarrow m - 1 < 0\) នោះ \(m < 1\) ។ ដូច្នេះ \(m \in (-\infty, 1)\) ។

ប្រតិបត្តិ

កំណត់ចន្លោះដែល \(f(x) = -x^3 + x^2 + 5x - 6\) ជាអនុគមន៍កើនឬចុះ ។
រកតម្លៃ \(a\) ដើម្បីឱ្យ \(g(x) = x^3 + ax^2 + \dfrac{1}{3}x - 4\) ជាអនុគមន៍កើនជានិច្ច ។

មើលចម្លើយ

ក. បើ \(x \in (-\infty, -1) \cup \left(\dfrac{5}{3}, +\infty\right)\), \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះ ។ បើ \(x \in \left(-1, \dfrac{5}{3}\right)\), \(f\) ជាអនុគមន៍កើន ។ ខ. \(a \in (-1, 1)\) ។

អតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀបនៃអនុគមន៍

អតិបរមាធៀប អប្បបរមាធៀប និងដេរីវេទី 1

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2\) ។ គេបាន \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\) ។ បើ \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 0\) នោះ \(x = 1\), \(x = 3\) ។

តាមតារាងខាងលើ គេបាន \(f(1) = 2\) ជាតម្លៃអតិបរមាធៀបនៃ \(f\) ត្រង់ \(x = 1\) ហើយ \(f(3) = -2\) ជាតម្លៃអប្បបរមាធៀបនៃ \(f\) ត្រង់ \(x = 3\) ។

ជាទូទៅ

\(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x_0\) កាលណា \(f'(x) > 0\) ចំពោះ \(x < x_0\), \(f'(x_0) = 0\) និង \(f'(x) < 0\) ចំពោះ \(x > x_0\) ។ \(f(x_0)\) ជាតម្លៃអតិបរមាធៀប ។
\(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x_0\) កាលណា \(f'(x) < 0\) ចំពោះ \(x < x_0\), \(f'(x_0) = 0\) និង \(f'(x) > 0\) ចំពោះ \(x > x_0\) ។ \(f(x_0)\) ជាតម្លៃអប្បបរមាធៀប ។

លំហាត់គំរូ ១

បង្ហាញថាអនុគមន៍ \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1\) មានអតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀប ហើយគណនាតម្លៃទាំងពីរនោះ ។

ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី \(1\) ៖ រកដេរីវេ \(f'(x) = -3x^2 + 6x\) ។

ជំហានទី \(2\) ៖ សិក្សាសញ្ញានៃ \(f'(x)\) ។ បើ \(f'(x) = -3x^2 + 6x = 0\) ឬ \(3x(-x + 2) = 0\) នោះ \(x = 0\) ឬ \(x = 2\) ។

ជំហានទី \(3\) ៖ បកស្រាយពីការប្ដូរសញ្ញានៃ \(f'(x)\) និងគណនាតម្លៃបរមា ។ តាមតារាងសញ្ញា \(f'(x) = 0\) ត្រង់ \(x = 0\) ហើយ \(f'(x)\) ដូរសញ្ញាពី \(-\) ទៅ \(+\) ។ ដូច្នេះ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 0\) ហើយមានតម្លៃអប្បបរមាធៀបគឺ \(f(0) = 1\) ។

ម្យ៉ាងទៀត \(f'(x) = 0\) ត្រង់ \(x = 2\) ហើយ \(f'(x)\) ដូរសញ្ញាពី \(+\) ទៅ \(-\) ។ ដូច្នេះ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) ហើយតម្លៃអតិបរមាគឺ \(f(2) = 5\) ។

លំហាត់គំរូ ២

រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យ \(y = x^3 + 3mx^2 - mx + 1\) មានអតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀប ។

ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី \(1\) ៖ រកដេរីវេ \(y' = 3x^2 + 6mx - m\) ។

ជំហានទី \(2\) ៖ ដាក់លក្ខខណ្ឌដើម្បីឱ្យអនុគមន៍មានអតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀប ។ អនុគមន៍មានអតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀប លុះត្រាតែសមីការ \(y' = 0\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនពិត ។ សមីការ \(3x^2 + 6mx - m = 0\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនពិត លុះត្រាតែ \(\Delta' = 9m^2 + 3m = 3m(3m + 1) > 0\) ។ បើ \(3m(3m + 1) = 0\) នោះ \(m = 0\) ឬ \(m = -\dfrac{1}{3}\) ។

ដូច្នេះ \(m \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{3}\right) \cup (0, +\infty)\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកតម្លៃ \(k\) ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ \(y = \dfrac{1}{3}x^3 + kx^2 + (2k + 3)x\) គ្មានបរមាធៀប ។

មើលចម្លើយ

\(k \in [-1, 3]\) ។

អតិបរមាធៀប អប្បបរមាធៀប និងដេរីវេទី 2

តាមក្រាបទី \(1\) អនុគមន៍ \(f\) មានអតិបរមាធៀបនៅត្រង់ចំណុចដែលក្រាបមានបន្ទាត់ប៉ះជាបន្ទាត់ដេក ហើយបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចផ្សេងទៀតនៃក្រាបដែលនៅជិតនោះ មានមេគុណប្រាប់ទិសថយចុះ គឺបានន័យថា \(f'(x)\) ជាអនុគមន៍ចុះ ហើយ \(f''(x) < 0\) ។

តាមក្រាបទី \(2\) អនុគមន៍ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបនៅត្រង់ចំណុចដែលក្រាបមានបន្ទាត់ប៉ះជាបន្ទាត់ដេក ហើយបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចផ្សេងទៀតនៃក្រាបដែលនៅជិតនោះ មានមេគុណប្រាប់ទិសកើនឡើង គឺបានន័យថា \(f'(x)\) ជាអនុគមន៍កើន ហើយ \(f''(x) > 0\) ។

ជាទូទៅ

អនុគមន៍ \(y = f(x)\) មានដេរីវេពីរដងលើចន្លោះមួយដែលមាន \(x_0\) ។

\(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x_0\) កាលណា \(f'(x_0) = 0\) និង \(f''(x_0) < 0\) ។
\(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x_0\) កាលណា \(f'(x_0) = 0\) និង \(f''(x_0) > 0\) ។

សម្គាល់

បើ \(f''(x_0) = 0\) នោះគេត្រូវត្រឡប់ទៅសិក្សាសញ្ញានៃដេរីវេទី \(1\) វិញ ដើម្បីឈានទៅរកតម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមាធៀប ។

លំហាត់គំរូ

រកតម្លៃអតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀបនៃ \(f(x) = x^3 - 12x^2\) ។

ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី \(1\) ៖ រកដេរីវេ \(f'(x) = 3x^2 - 24x\) ។

ជំហានទី \(2\) ៖ រកឫសនៃសមីការ \(f'(x) = 3x^2 - 24x = 0\) ឬ \(3x(x - 8) = 0\) នោះ \(x = 0\) ឬ \(x = 8\) ។

ជំហានទី \(3\) ៖ រកដេរីវេ \(f''(x) = 6x - 24\) ។

ចំពោះ \(x = 0\) គេបាន \(f''(0) = -24 < 0\) ហើយ \(y = f(0) = 0\) ។ ដូច្នេះ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 0\) ហើយតម្លៃអតិបរមាធៀប \(f(0) = 0\) ។

ចំពោះ \(x = 8\) គេបាន \(f''(8) = 24 > 0\) ហើយ \(y = f(8) = -256\) ។ ដូច្នេះ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 8\) ហើយតម្លៃអប្បបរមាធៀប \(f(8) = -256\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកតម្លៃអតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀបនៃ \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2\) ។

មើលចម្លើយ

តម្លៃអតិបរមាធៀបគឺគ្មាន និងតម្លៃអប្បបរមាធៀបគឺ \(f(3) = -25\) ។

តម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមា

វិធីរកអតិបរមានិងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ក្នុងការដោះស្រាយចំណោទបញ្ហាក្នុងជីវភាពប្រចាំថ្ងៃ ដែលទាក់ទងនឹងតម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមា ។

លំហាត់គំរូ

គេយកក្រដាសក្រាស់មួយផ្ទាំងរាងជាការេ ដែលមានប្រវែងជ្រុងស្មើ \(10\) cm មកធ្វើជាប្រអប់មួយដែលគ្មានគម្រប ។ គេកាត់យកចេញនូវការេតូចៗបួនដែលមានប្រវែងជ្រុង \(x\) (cm) ដូចគ្នាពីផ្នែកកំពូលទាំងបួននៃផ្ទាំងក្រដាស ហើយបត់ផ្នែកដែលនៅសល់ឱ្យបានជាប្រអប់មួយមានរាងជាប្រលេពីប៉ែតកែង ដែលមានបាតជាការេ ។ រកប្រវែងជ្រុង \(x\) នៃការេដែលត្រូវកាត់យកចេញ ដើម្បីឱ្យប្រអប់មានមាឌធំបំផុត ។ រកមាឌធំបំផុតនោះ ។

រកប្រវែងជ្រុង \(x\) និងមាឌធំបំផុតនៃប្រអប់ ។ លក្ខខណ្ឌ \(x > 0\) និង \(10 - 2x > 0\) នោះ \(0 < x < 5\) ។ មាឌនៃប្រអប់ \(=\) ក្រឡាផ្ទៃបាត \(\times\) កម្ពស់ ៖

\[\begin{gathered} f(x) = (10 - 2x)^2\times x = 4x^3 - 40x^2 + 100x,\\ 0 < x < 5 \end{gathered}\]

\(f'(x) = 12x^2 - 80x + 100\) ។ \(f'(x) = 0\) លុះត្រាតែ \(12x^2 - 80x + 100 = 0\) ឬ \(3x^2 - 20x + 25 = 0\) ។ \(\Delta = 20^2 - 4(3)(25) = 100 = 10^2\) នោះ \(x_1 = \dfrac{20 - 10}{6} = \dfrac{5}{3}\) ឬ \(x_2 = \dfrac{20 + 10}{6} = 5\) ។

\(f\) មានអតិបរមាត្រង់ \(x = \dfrac{5}{3}\) ហើយ \(f\left(\dfrac{5}{3}\right) = \left(10 - 2\times\dfrac{5}{3}\right)^2\times\dfrac{5}{3} = \dfrac{2000}{27}\) ។

ដូច្នេះ ប្រអប់មានមាឌធំបំផុត កាលណាគេយក \(x = \dfrac{5}{3}\) cm និងប្រអប់មានមាឌធំបំផុតគឺ \(\dfrac{2000}{27}\) cm\(^3\) ។

ប្រតិបត្តិ

ស៊ីឡាំងមួយចារឹកក្នុងស្វ៊ែកាំ \(R\) ។ ក. រកកម្ពស់នៃស៊ីឡាំងដើម្បីឱ្យស៊ីឡាំងមានមាឌធំបំផុត ។ ខ. រកមាឌធំបំផុតនៃស៊ីឡាំង ។

មើលចម្លើយ

ក. កម្ពស់នៃស៊ីឡាំង \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R\) ខ. \(\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\pi R^3\) ។

ចំណុចរបត់នៃខ្សែកោង

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = x^3 - 3x^2\) ។

ដេរីវេទី \(1\) ៖ \(f'(x) = 3x^2 - 6x\) ។ បើ \(f'(x) = 0\) នោះ \(3x(x - 2) = 0\) ហើយ \(x = 0\) ឬ \(x = 2\) ។ ចំពោះ \(x = 0 \Rightarrow f(0) = 0\) និងចំពោះ \(x = 2 \Rightarrow f(2) = -4\) ។
ដេរីវេទី \(2\) ៖ \(f''(x) = 6x - 6\) ។ បើ \(f''(x) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1\), \(y = 1^3 - 3(1)^2 = -2\) ។

តារាងសញ្ញា \(f''(x)\) និងតារាងអថេរភាព ៖

តាមក្រាប គេសង្កេតឃើញថាខ្សែកោងប្ដូរពីប៉ោងទៅផតត្រង់ចំណុច \(I(1, -2)\) ដែលហៅថាចំណុចរបត់នៃខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ \(f\) ។

ជាទូទៅ

ចំណុច \(I(x_0, y_0)\) ជាចំណុចរបត់នៃខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ កាលណាខ្សែកោងប៉ោងឬផតនៅលើ \([a, x_0]\) ហើយផតឬប៉ោងលើ \([x_0, b]\) ។ របៀបរកចំណុចរបត់នៃខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ \(f\) ៖

ជំហានទី \(1\) ៖ រក \(f''(x)\) ។
ជំហានទី \(2\) ៖ ដោះស្រាយសមីការ \(f''(x) = 0\) ។
ជំហានទី \(3\) ៖ សិក្សាសញ្ញានៃ \(f''(x)\) ។ បើ \(f''(x)\) ដូរសញ្ញានៅសងខាង \(x_0\) នោះខ្សែកោងមានចំណុចរបត់ \(I(x_0, f(x_0))\) ។ បើ \(f''(x)\) មិនដូរសញ្ញា នោះខ្សែកោងគ្មានចំណុចរបត់ទេ ។

សម្គាល់

ចំណុច \(I(x_0, y_0)\) ជាចំណុចរបត់ លុះត្រាតែ \(f(x_0) = y_0\) និង \(f''(x_0) = 0\) (ហើយ \(f''\) ដូរសញ្ញានៅសងខាង \(x_0\)) ។

លំហាត់គំរូ

រកចំណុចរបត់នៃខ្សែកោងតាង \(y = x^3 - 3x + 1\) ។

ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី \(1\) ៖ \(y' = 3x^2 - 3\), \(y'' = 6x\) ។ ជំហានទី \(2\) ៖ \(y'' = 6x = 0\) នោះ \(x = 0\) ។ ជំហានទី \(3\) ៖ សិក្សាសញ្ញានៃ \(y'' = 6x\) ៖

\(y''\) ប្ដូរសញ្ញានៅសងខាង \(x = 0\) ។ ចំពោះ \(x = 0\), \(y = y(0) = 1\) ។ ដូច្នេះ ចំណុច \(I(0, 1)\) ជាចំណុចរបត់នៃខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ ។

ប្រតិបត្តិ

រកចំណុចរបត់នៃខ្សែកោងតាង \(y = x^4 - 6x^2\) ។
តើក្រាបតាង \(y = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - 1\) មានចំណុចរបត់ឬទេ?

មើលចម្លើយ

ក. \(y'' = 12x^2 - 12 = 0\) នាំឱ្យ \(x = \pm 1\) ។ ចំណុចរបត់គឺ \((-1, -5)\) និង \((1, -5)\) ខ. \(y'' = 3x^2 - 2x + 1 > 0\) ជានិច្ច ដូច្នេះគ្មានចំណុចរបត់ទេ ។

ល្បឿននៃចលនាត្រង់

ចំណុចមួយផ្លាស់ទីនៅលើបន្ទាត់ \(L\) មួយ ។ បើគេយក \(x\) ជាចម្ងាយចរនៃ \(M\) បន្ទាប់ពី \(t\) វិនាទី ក្រោយមកនោះ គេបាន \(x\) ជាអនុគមន៍នៃ \(t\) ហើយតាងដោយ \(x = f(t)\) ។

ល្បឿនមធ្យមនៃ \(M\) ពីខណៈ \(t\) ទៅ \(t + \Delta t\) កំណត់ដោយ \(\dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}\) ។ បើ \(\Delta t \to 0\) នោះគេតាង

\[V = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}\]

គេបាន \(V = \dfrac{dx}{dt} = f'(t)\) ហៅថាល្បឿននៃ \(M\) នៅខណៈ \(t\) ។

លំហាត់គំរូ

ចំណុច \(M\) មួយផ្លាស់ទីនៅលើបន្ទាត់ចំនួនចេញពីគល់អ័ក្ស ។ ចំណុច \(M\) មានចម្ងាយចរ \(x = t^3 - 6t^2 + 9t + 10\) នៅខណៈ \(t\) វិនាទីក្រោយមក ។

រកល្បឿននៃចំណុច \(M\) នៅខណៈ \(\dfrac{1}{2}\) វិនាទីនិងនៅខណៈ \(2\) វិនាទីក្រោយមក ។
តើនៅខណៈណាដែលចំណុច \(M\) ប្ដូរទិសដៅលើកដំបូងគេ ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(V\) ជាល្បឿននៃ \(M\) បន្ទាប់ពី \(t\) វិនាទីក្រោយមក គេបាន \(V = \dfrac{dx}{dt} = (t^3 - 6t^2 + 9t + 10)' = 3t^2 - 12t + 9\) ។

នៅខណៈ \(t = \dfrac{1}{2}\,s\) គេបាន \(V\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - 12\left(\dfrac{1}{2}\right) + 9 = \dfrac{15}{4}\) ។ នៅខណៈ \(t = 2\,s\) គេបាន \(V(2) = 3\times 2^2 - 12\times 2 + 9 = -3\) ។
ចំណុច \(M\) ប្ដូរទិសដៅ កាលណាល្បឿន \(V\) ប្ដូរសញ្ញា ។ បើ \(V = 3t^2 - 12t + 9 = 0\) នោះ \(t = 1\) ឬ \(t = 3\) ។

តាមតារាងសញ្ញាល្បឿន \(V\) ប្ដូរសញ្ញាលើកទី \(1\) ត្រង់ខណៈ \(t = 1\,s\) ។ ដូច្នេះ ចំណុច \(M\) ប្ដូរទិសដៅលើកដំបូងគេត្រង់ខណៈ \(t = 1\,s\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេបោះបាល់មួយពីផ្ទៃដីឡើងទៅលើតាមទិសឈរដោយមានល្បឿនដើម \(v_0 = 19.6\,m/s\) ។ ក្នុងរយៈពេល \(t\) វិនាទីក្រោយមក បាល់ស្ថិតនៅកម្ពស់ \(S = -4.9t^2 + 19.6t\) ពីផ្ទៃដី ។

រកល្បឿននៃបាល់ បន្ទាប់ពី \(1\) វិនាទីក្រោយពីការបោះ ។
រករយៈពេលដែលបាល់ស្ថិតនៅកម្ពស់ខ្ពស់បំផុត ហើយរកកម្ពស់នោះ ។
រករយៈពេលដែលបាល់ស្ថិតនៅក្នុងលំហអាកាស ។
រកចម្ងាយចរសរុបដែលបាល់បានផ្លាស់ទី ។

មើលចម្លើយ

ក. \(v(1) = 9.8\,m/s\) ខ. \(t = 2\,s\), \(S = 19.6\,m\) គ. \(0 < t < 4\,s\) ឃ. \(39.2\,m\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ២២–៣៥។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

រកតម្លៃ \(f'(-3)\), \(f'(0)\) និង \(f'(2)\) ដោយប្រើក្រាបតាងអនុគមន៍ \(f\) ។ (បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(x = -3\) កាត់តាមចំណុច \((-5, 0)\) និងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(x = 2\) កាត់តាមចំណុច \((4, 0)\) ។)

មើលដំណោះស្រាយ

\(f'(-3) = \dfrac{3 - 0}{-3 - (-5)} = \dfrac{3}{2}\), \(f'(0) = 0\) (បន្ទាត់ប៉ះដេក), \(f'(2) = \dfrac{0 - 3}{4 - 2} = -\dfrac{3}{2}\) ។

២លំហាត់ទី ២

អនុគមន៍ \(f(x) = 2x^3 - 16x + 11\) មានក្រាប \(C\) ។

រកសមីការបន្ទាត់ \(L\) ដែលប៉ះក្រាប \(C\) ត្រង់ចំណុច \(A(2, -5)\) ។
រកសមីការបន្ទាត់ដែលមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(-10\) ហើយប៉ះនឹងក្រាប \(C\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(L : y = 8x - 21\) ខ. \(y = -10x + 7\) (ប៉ះត្រង់ \((1, -3)\)) និង \(y = -10x + 15\) (ប៉ះត្រង់ \((-1, 25)\)) ។

៣លំហាត់ទី ៣

អនុគមន៍ \(f(x) = 4x^3 + 9x^2 - 30x + 1\) មានក្រាប \(C\) ។

រកកូអរដោនេនៃគ្រប់ចំណុចប៉ះនៃក្រាប \(C\) ដែលមានបន្ទាត់ប៉ះជាបន្ទាត់ដេក ។
រកសមីការនៃបន្ទាត់ប៉ះទាំងនោះ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(f'(x) = 6(2x + 5)(x - 1) = 0\) ៖ ចំណុចប៉ះ \((1, -16)\) និង \(\left(-\dfrac{5}{2}, \dfrac{279}{4}\right)\) ខ. \(y = -16\) និង \(y = \dfrac{279}{4}\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

អនុគមន៍ \(y = 3x^2 - 4x + 1\) កំណត់នៅលើ \(\mathbb{R}\) និងមានក្រាប \(C\) ។

រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹង \(C\) ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ \(y = -\dfrac{x}{5} + 2\) ។
រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹង \(C\) ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ \(y = x + 5\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(y = 5x - \dfrac{23}{4}\) ខ. \(y = x - \dfrac{13}{12}\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

អនុគមន៍ \(f(x) = x^3 - 3x\) កំណត់នៅលើ \(\mathbb{R}\) និងមានក្រាប \(C\) ។

រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប \(C\) ត្រង់ចំណុច \(A\) ដែលមានអាប់ស៊ីស \(a\) ។
បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(A\) កាត់ក្រាប \(C\) ម្ដងទៀតត្រង់ \(B\) ។ រកអាប់ស៊ីសនៃ \(B\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(y = (3a^2 - 3)x - 2a^3\) ខ. \(x^3 - 3x - (3a^2 - 3)x + 2a^3 = (x - a)^2(x + 2a) = 0\) ដូច្នេះអាប់ស៊ីសនៃ \(B\) គឺ \(-2a\) \((a \ne 0)\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

សិក្សាទិសដៅអថេរភាព រកអតិបរមា និងអប្បបរមា ហើយសង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍នីមួយៗដូចខាងក្រោម ៖

\(y = -x^3 + 3x^2 + 4\)
\(y = x(x - 3)^2\)
\(y = -x^2(x - 1)^2\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ចុះលើ \((-\infty, 0)\) និង \((2, +\infty)\), កើនលើ \((0, 2)\) ៖ អប្បបរមាធៀប \(y(0) = 4\), អតិបរមាធៀប \(y(2) = 8\) ។

ខ. \(y' = 3(x - 1)(x - 3)\) ៖ កើនលើ \((-\infty, 1)\) និង \((3, +\infty)\), ចុះលើ \((1, 3)\) ៖ អតិបរមាធៀប \(y(1) = 4\), អប្បបរមាធៀប \(y(3) = 0\) ។

គ. \(y' = -2x(x - 1)(2x - 1)\) ៖ កើនលើ \((-\infty, 0)\) និង \(\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\), ចុះលើ \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\) និង \((1, +\infty)\) ៖ អតិបរមាធៀប \(y(0) = y(1) = 0\), អប្បបរមាធៀប \(y\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{16}\) ។

៧លំហាត់ទី ៧

អនុគមន៍ \(f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3bx + 2\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 1\) និងមានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) ។

រកតម្លៃនៃចំនួនពិត \(a\) និង \(b\) ។
រកផលដករវាងតម្លៃអតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀបនៃ \(f\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(a = -\dfrac{3}{2}\), \(b = 2\) ខ. \(f(1) - f(2) = \dfrac{9}{2} - 4 = \dfrac{1}{2}\) ។

៨លំហាត់ទី ៨

អនុគមន៍ \(f(x) = x^4 + 29\) និង \(g(x) = 4x^3\) មានក្រាប \(C_1\) និង \(C_2\) ។ បន្ទាត់ \(D\) ស្របអ័ក្សអរដោនេ កាត់ក្រាប \(C_1\) និង \(C_2\) រៀងគ្នាត្រង់ \(A\) និង \(B\) ។ រកប្រវែងអប្បបរមានៃអង្កត់ \([AB]\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(AB = x^4 - 4x^3 + 29\) មានអប្បបរមាត្រង់ \(x = 3\) ។ ប្រវែងអប្បបរមា \(AB = 2\) ។

៩លំហាត់ទី ៩

បន្ទះស័ង្កសីរាងត្រីកោណសម័ង្សមួយមានជ្រុងប្រវែង \(a\) ។ គេកាត់យកចេញពីផ្នែកត្រង់កំពូលទាំងបីនូវចតុកោណប៉ុនៗគ្នា (ជ្រុងប្រវែង \(x\) តាមជ្រុងត្រីកោណ និងមានមុំកែងពីរ) ។ គេបត់ផ្នែកនៅសល់ឱ្យបានជាប្រអប់មួយដែលមានរាងជាព្រីសត្រីមុខនិយ័ត ហើយគ្មានគម្រប ។ រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យប្រអប់មានមាឌធំបំផុត ។

មើលដំណោះស្រាយ

កម្ពស់ប្រអប់ \(h = \dfrac{x}{\sqrt{3}}\) និងជ្រុងបាត \(a - 2x\) ។ មាឌ \(V = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(a - 2x)^2\cdot\dfrac{x}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{4}x(a - 2x)^2\), \(0 < x < \dfrac{a}{2}\) ។ \(V' = \dfrac{1}{4}(a - 2x)(a - 6x) = 0\) នាំឱ្យ \(x = \dfrac{a}{6}\) ។ មាឌធំបំផុត \(V = \dfrac{a^3}{54}\) ។

១០លំហាត់ទី ១០

ថ្មមួយដុំបានធ្លាក់ពីកម្ពស់ \(88.2\) ម៉ែត្រតាមទិសឈរសំដៅមកផ្ទៃដី ។ ក្នុងរយៈពេល \(t\) វិនាទីក្រោយមក ដុំថ្មនោះធ្លាក់បានចម្ងាយ \(9.8t^2\) ម៉ែត្រ ។

តើក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានវិនាទីក្រោយមកទើបដុំថ្មធ្លាក់ប៉ះផ្ទៃដី ។
រកល្បឿនធ្លាក់នៃដុំថ្មនៅខណៈ \(2\) វិនាទីដំបូង ។
រកល្បឿនធ្លាក់នៃដុំថ្មនៅពេលធ្លាក់ប៉ះផ្ទៃដី ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(9.8t^2 = 88.2\) នាំឱ្យ \(t = 3\) វិនាទី ខ. \(v = 19.6t\), \(v(2) = 39.2\,m/s\) គ. \(v(3) = 58.8\,m/s\) ។

១១លំហាត់ទី ១១

គេបាញ់វត្ថុមួយតាមទិសឈរពីផ្ទៃដីសំដៅទៅលើអាកាស ដោយមានល្បឿនដើម \(V_0 = 39.2\,m\cdot s^{-1}\) ហើយមានចម្ងាយចរ \(S = -4.9t^2 + 39.2t\) គិតជាម៉ែត្រពីផ្ទៃដីបន្ទាប់ពី \(t\) វិនាទីក្រោយមក ។

រកល្បឿននៃវត្ថុនៅខណៈ \(t\) បន្ទាប់ពីការបាញ់
តើនៅពេលណាដែលវត្ថុស្ថិតនៅកម្ពស់ខ្ពស់បំផុត ។ រកកម្ពស់នោះ ។
រករយៈពេលដែលវត្ថុស្ថិតក្នុងលំហអាកាស ។
រកចម្ងាយចរសរុបនៃវត្ថុ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(V = -9.8t + 39.2\) ខ. \(t = 4\,s\), កម្ពស់ \(78.4\,m\) គ. \(0 < t < 8\,s\) ឃ. \(156.8\,m\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១៨ អនុវត្តន៍នៃដេរីវេ (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត