KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀនទី ១២
១២
ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ · ជំពូកទី ៣ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ · មេរៀនទី ១២ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

សមីការនិងវិសមីការត្រីកោណមាត្រ

ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រទំព័រ ១២៨–១៤១▶ ស្លាយបង្រៀន
វត្ថុបំណង

  1. ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ

  2. ដោះស្រាយវិសមីការត្រីកោណមាត្រ ។

ចំនួនដែលមានកូស៊ីនុសដូចគ្នា

គេឱ្យពីរចំនួន \(x\) និង \(y\) ដែលមានកូស៊ីនុស \(\cos x = \cos y\) ដូចគ្នា ។ ក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រដែលមានផ្ចិត \(O\) គេមាន \(M\) និង \(N\) ជាចំណុចនៅលើរង្វង់ដែលមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{ON}) = y\) និងមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM}) = x\) ។

អាប់ស៊ីសនៃចំណុច \(N\) គឺ \(\cos y\) ។ ដោយ \(\cos x = \cos y\) នោះ ចំណុច \(M\) និង \(N\) មានអាប់ស៊ីសដូចគ្នា ។ ដូច្នេះ គេបានករណីពីរដូចខាងក្រោម ៖

  • បើ \(M\) និង \(N\) ត្រួតស៊ី នោះ \(x\) និង \(y\) ជារង្វាស់មុំតែមួយ ។ ដូច្នេះ \(x = y + 2k\pi\)  \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  • បើ \(M\) និង \(N\) ឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងអ័ក្ស \((x'x)\) នោះមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{ON})\) និងមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM})\) ជាមុំផ្ទុយគ្នា ហើយ \(-y\) ជារង្វាស់មួយនៃមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM})\) ។ ដូច្នេះ \(x = -y + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ជាទូទៅ

គេបាន (I) ពីរចំនួន \(x\) និង \(y\) មានកូស៊ីនុសដូចគ្នា \(\cos x = \cos y\) លុះត្រាតែ \(x = y + 2k\pi\) ឬ \(x = -y + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ចំនួនដែលមានស៊ីនុសដូចគ្នា

គេឱ្យពីរចំនួន \(x\) និង \(y\) មានស៊ីនុសដូចគ្នា \(\sin x = \sin y\) ។ ក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រមានផ្ចិត \(O\) ចំណុច \(M\) និង \(N\) ជានៅលើរង្វង់ដែលមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{ON}) = y\) និងមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM}) = x\) ។

\(\sin x\) ជាអរដោនេនៃចំណុច \(M\) និង \(\sin y\) ជាអរដោនេនៃចំណុច \(N\) ។ ដោយ \(\sin x = \sin y\) នោះ \(M\) និង \(N\) មានអរដោនេដូចគ្នា ។ ដូច្នេះ គេបានករណីពីរដូចខាងក្រោម ៖

  • បើ \(M\) និង \(N\) ត្រួតស៊ីគ្នា នោះ \(x = y + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  • បើ \(M\) និង \(N\) ឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងអ័ក្ស \((y'y)\) នោះមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{ON})\) និងមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM})\) ជាមុំបន្ថែមគ្នា ហើយ \(\pi - y\) ជារង្វាស់នៃមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM})\) ។ ដូច្នេះ \(x = \pi - y + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ជាទូទៅ

គេបាន (II) \(x\) និង \(y\) ពីរចំនួនពិតមានស៊ីនុសដូចគ្នា \(\sin x = \sin y\) លុះត្រាតែ \(x = y + 2k\pi\) ឬ \(x = \pi - y + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

សមីការត្រីកោណមាត្រ

ការដោះស្រាយសមីការ \(\cos x = a\)

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) ។

គេដឹងថា \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) សមីការអាចសរសេរ \(\cos x = \cos\dfrac{\pi}{3}\) តែ \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) ។

ដូច្នេះ សមីការមានចម្លើយពីរគឺ \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ \(\cos x = a\) ។ \(a\) ជាចំនួនពិតដែលគេឱ្យ ៖

  • កាលណា \(|a| > 1\) សមីការ \(\cos x = a\) គ្មានចម្លើយ ព្រោះគ្រប់ចំនួន \(x \in \mathbb{R}\), \(-1 \le \cos x \le 1\) ។

  • កាលណា \(|a| \le 1\) គេបានករណីដូចខាងក្រោម ៖

ក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រដែលមានផ្ចិត \(O\) និង \(A\) ជាចំណុចគល់នៃធ្នូ ហើយមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{ON}) = \alpha\) ដែល \(\cos\alpha = OP = a\) ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត \(a = OP = \cos(-\alpha)\) ដែល \(-\alpha\) ជារង្វាស់នៃមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM})\) ។ គេបាន

  • បើ \(a \notin [-1, 1]\) សមីការ \(\cos x = a\) គ្មានចម្លើយ ។

  • បើ \(a = 1\) ឬ \(\cos x = 1\) នោះចុងធ្នូត្រួតស៊ីគ្នានឹងចំណុច \(A\) ជាចម្លើយនៃសមីការ ។ ដូច្នេះ \(x = 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  • បើ \(a = -1\) ឬ \(\cos x = -1\) នោះចុងធ្នូត្រួតស៊ីគ្នានឹងចំណុច \(A'\) ជាចម្លើយនៃសមីការ ។ ដូច្នេះ \(x = \pi + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  • បើ \(a \in\ ]-1, 1[\) មាន \(\alpha\) តែមួយគត់ដែល \(\cos\alpha = a = \cos x\) ។

ការដោះស្រាយសមីការ \(\cos x = a\) គឺដោះស្រាយសមីការ \(\cos x = \cos\alpha\) ។ តាមលក្ខណៈ (I) គេបាន ៖

សមីការ \(\cos x = \cos\alpha\)

ចម្លើយនៃសមីការ \(\cos x = \cos\alpha\) មានពីរគឺ \(x = \alpha + 2k\pi\) ឬ \(x = -\alpha + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

សម្គាល់

  1. បើ \(a = 0\) នោះ \(\cos\alpha = 0\) ។ ចម្លើយរបស់សមីការ \(\cos x = 0\) គឺ \(x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  2. តាមលក្ខណៈមុំពីរដែលមានកូស៊ីនុសដូចគ្នា លុះត្រាតែមុំទាំងពីរស្មើគ្នា ឬផ្ទុយគ្នានោះ គេអាចដោះស្រាយសមីការ \(\cos u(x) = \cos v(x)\) សមមូល \(u(x) = \pm v(x) + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ដែល \(u(x)\) និង \(v(x)\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x\) ។

លំហាត់គំរូ ១

ដោះស្រាយសមីការ \(\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin 3x\) រួចដៅចុងធ្នូនៃចម្លើយលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ ។

ដំណោះស្រាយ

តាមធ្នូបំពេញ គេបាន \(\sin 3x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - 3x\right)\) ដូច្នេះ \(\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - 3x\right)\) នាំឱ្យ

\[\begin{gathered} x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 3x + 2k\pi \quad{} \text{ឬ}\\ x - \frac{\pi}{4} = -\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) + 2k\pi,\\ (k \in \mathbb{Z}) \end{gathered}\]
គេបាន \(4x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi\) ឬ \(-2x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\) ។ ដូច្នេះ \(x = \dfrac{3\pi}{16} + \dfrac{k\pi}{2}\) ឬ \(x = \dfrac{\pi}{8} - k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

គេអាចសរសេរ \(\dfrac{\pi}{8} - k\pi\) ទៅជា \(\dfrac{\pi}{8} + K\pi\) ដែល \(K = -k\), (\(k \in \mathbb{Z}\) ដូច្នេះ \(K \in \mathbb{Z}\)) ។

គេបាន (1) \(x = \dfrac{3\pi}{16} + k\dfrac{\pi}{2}\)

  • បើ \(k = 0\), \(x = \dfrac{3\pi}{16}\) ចុងធ្នូត្រង់ចំណុច \(M_1\)

  • បើ \(k = 1\), \(x = \dfrac{3\pi}{16} + \dfrac{\pi}{2}\) ចុងធ្នូត្រង់ចំណុច \(M'_1\)

  • បើ \(k = 2\), \(x = \dfrac{3\pi}{16} + \pi\) ចុងធ្នូត្រង់ចំណុច \(M_2\)

  • បើ \(k = 3\), \(x = \dfrac{3\pi}{16} + \dfrac{3\pi}{2}\) ចុងធ្នូត្រង់ចំណុច \(M'_2\)

  • បើ \(k = 4\), \(x = \dfrac{3\pi}{16} + 2\pi\) ចុងធ្នូត្រួតលើ \(M_1\) ។

ដូច្នេះ (1) មានសំណុំចម្លើយចុងធ្នូបួនគឺ \(M_1\), \(M'_1\), \(M_2\), \(M'_2\) ។

ចំពោះ (2) \(x = \dfrac{\pi}{8} + k\pi\)

  • បើ \(k = 0\), \(x = \dfrac{\pi}{8}\) ចុងធ្នូត្រង់ចំណុច \(N_1\)

  • បើ \(k = 1\), \(x = \dfrac{\pi}{8} + \pi\) ចុងធ្នូត្រង់ចំណុច \(N'_1\)

  • បើ \(k = 2\), \(x = \dfrac{\pi}{8} + 2\pi\) ចុងធ្នូត្រង់ចំណុច \(N_1\) ។

ដូច្នេះ (2) មានសំណុំចម្លើយចុងធ្នូពីរគឺ \(N_1\) និង \(N'_1\) ។

លំហាត់គំរូ ២

ដោះស្រាយសមីការ \(1 + 3\cos x + \cos 2x = \cos 3x + 2\sin x \cdot \sin 2x\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{aligned} &1 + 3\cos x + \cos 2x = \cos 3x + 2\sin x \cdot \sin 2x\\ &3\cos x + 2\cos^2 x = \cos 3x + \cos x - \cos 3x\\ &\text{សមមូល} \quad{} 2\cos x + 2\cos^2 x = 0\\ &2\cos x(1 + \cos x) = 0\\ &\text{សមមូល} \quad{} \cos x = 0 \ \text{ឬ} \ \cos x = -1 \end{aligned}\]
ដូច្នេះ សមីការមានឫស \(x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \(x = \pi + 2k\pi\) \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) = -1\)

  2. \(\cos\left(3x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)\)

  3. \(\cos\dfrac{\pi}{6}\cos x - \sin\dfrac{\pi}{6}\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

  4. \(\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(x = \dfrac{7\pi}{18} + \dfrac{2k\pi}{3}\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  2. \(x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi\) ឬ \(x = -\dfrac{\pi}{24} + \dfrac{k\pi}{2}\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  3. \(x = \dfrac{\pi}{12} + 2k\pi\) ឬ \(x = -\dfrac{5\pi}{12} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  4. \(x = \dfrac{5\pi}{12} + 2k\pi\) ឬ \(x = \dfrac{13\pi}{12} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ការដោះស្រាយសមីការ \(\sin x = a\)

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ។

គេដឹងថា \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) សមីការអាចសរសេរ \(\sin x = \sin\dfrac{\pi}{4}\) ។ ដូច្នេះ សមីការមានចម្លើយពីរគឺ

\[\begin{gathered} x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \ \text{ឬ} \ x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \ (k \in \mathbb{Z})\\ \text{ឬ}\\ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \ (k \in \mathbb{Z}) \text{ ។} \end{gathered}\]

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ \(\sin x = a\) ។

  • កាលណា \(|a| > 1\) សមីការ \(\sin x = a\) គ្មានចម្លើយព្រោះគ្រប់ចំនួន \(x \in \mathbb{R}\) ៖ \(-1 \le \sin x \le 1\) ។

  • កាលណា \(|a| \le 1\) គេបានករណីដូចខាងក្រោម ៖

ក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រដែលមានផ្ចិត \(O\) និង \(A\) ជាចំណុចគល់នៃធ្នូ ហើយ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM}) = \alpha\) ដែល \(\sin\alpha = OQ = a\) ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត \(OQ = \sin(\pi - \alpha) = a\) ដែល \(\pi - \alpha\) ជារង្វាស់នៃមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM'})\) ។

គេបាន

  • បើ \(a \notin [-1, 1]\) សមីការ \(\sin x = a\) គ្មានចម្លើយ ។

  • បើ \(a = 1\) ឬ \(\sin x = 1\) នោះធ្នូទាំងឡាយណាដែលមានចុងត្រង់ចំណុច \(B\) ជាចម្លើយនៃសមីការ ។ ដូច្នេះ \(\sin x = 1\) សមមូល \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  • បើ \(a = -1\) ឬ \(\sin x = -1\) នោះធ្នូទាំងឡាយដែលមានចុងត្រង់ចំណុច \(B'\) ជាចម្លើយនៃសមីការ ។ ដូច្នេះ \(\sin x = -1\) សមមូល \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  • បើ \(a \in (-1, 1)\) មាន \(\alpha\) តែមួយគត់ក្នុងចន្លោះ \(\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)\) ដែល \(\sin\alpha = a = \sin x\) ។

ដោះស្រាយសមីការ \(\sin x = a\) សមមូលនឹង \(\sin x = \sin\alpha\) ។ តាមលក្ខណៈ (II) គេបាន ៖

សមីការ \(\sin x = \sin\alpha\)

សមីការ \(\sin x = \sin\alpha\) មានចម្លើយពីរគឺ \(x = \alpha + 2k\pi\) ឬ \(x = \pi - \alpha + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

សម្គាល់

  1. បើ \(a = 0\) នោះ \(\sin x = 0\) ។ ចម្លើយរបស់សមីការគឺ \(x = k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  2. តាមលក្ខណៈមុំពីរដែលមានស៊ីនុសដូចគ្នា លុះត្រាតែមុំទាំងពីរស្មើគ្នា ឬបន្ថែមគ្នានោះ គេដោះស្រាយសមីការ \(\sin u(x) = \sin v(x)\) សមមូល \(u(x) = v(x) + 2k\pi\) ឬ \(u(x) = \pi - v(x) + 2k\pi\) \((k \in \mathbb{Z})\) ដែល \(u(x)\) និង \(v(x)\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x\) ។

លំហាត់គំរូ ៣

ដោះស្រាយ \(\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{\pi}{3} - \cos\dfrac{x}{2}\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេបាន \(\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{\pi}{3} - \cos\dfrac{x}{2}\sin\dfrac{\pi}{3} = \sin\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\) ដោយ \(\dfrac{1}{2} = \sin\dfrac{\pi}{6}\) គេបាន \(\sin\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}\) ។

សមីការមានចម្លើយពីរគឺ \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ឬ \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ។

ដូច្នេះ \(x = \pi + 4k\pi\) ឬ \(x = \dfrac{7\pi}{3} + 4k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

លំហាត់គំរូ ៤

ដោះស្រាយ \(2\sin x\cos x + \sqrt{3} - 2\cos x - \sqrt{3}\sin x = 0\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេបាន \((2\sin x\cos x - \sqrt{3}\sin x) - (2\cos x - \sqrt{3}) = 0\)

\[\begin{gathered} \sin x(2\cos x - \sqrt{3}) - (2\cos x - \sqrt{3}) = 0\\ \text{សមមូល}\\ (2\cos x - \sqrt{3})(\sin x - 1) = 0 \end{gathered}\]
គេបាន \(2\cos x - \sqrt{3} = 0\) ឬ \(\sin x - 1 = 0\) នាំឱ្យ \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ឬ \(\sin x = 1\) ។

ដូច្នេះ \(\cos x = \cos\dfrac{\pi}{6}\) នាំឱ្យ \(x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ឬ \(\sin x = 1\) នាំឱ្យ \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\) ។

ដូច្នេះ សមីការមានចម្លើយ \(x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ឬ \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1\)

  2. \(\sin 2x = \sin\left(\dfrac{\pi}{3} - x\right)\)

  3. \(2\sin x\cos x - 3\sin 2x = 0\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(x = \dfrac{\pi}{8} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  2. \(x = \dfrac{\pi}{9} + \dfrac{2k\pi}{3}\) ឬ \(x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  3. \(x = \dfrac{k\pi}{2}\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ការដោះស្រាយសមីការ \(\tan x = a\)

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ \(\tan x = -1\) ។

គេដឹងថា អនុគមន៍តង់សង់មានខួបស្មើនឹង \(\pi\) ។ ដូច្នេះគេអាចរកចំនួនពិត \(x\) មួយដែល \(\tan x = -1\) ។ ដោយសមីការសរសេរ \(\tan x = \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\) ។ ដូច្នេះសមីការមានចម្លើយ \(x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) បកស្រាយតាមក្រាបចម្លើយរបស់សមីការនេះជាអាប់ស៊ីសនៃចំណុចប្រសព្វរបស់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \tan x\) និងបន្ទាត់ដេក \(y = -1\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ \(\tan x = t\) ។

គេមានរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ \((C)\) ហើយ \((u'u)\) ជាអ័ក្សតង់សង់ដែលប៉ះរង្វង់ \((C)\) ត្រង់ \(A\) ។ នៅលើ \((u'Au)\) គេដៅចំណុច \(T\) ដោយ \(AT = t\) ។ រកធ្នូ \(\overset{\frown}{AM}\) ទាំងអស់ដែលមានតង់សង់ \(t\) ។

\(\alpha\) ជារង្វាស់មួយនៃធ្នូ \(\overset{\frown}{AM}\) ហើយចំណុច \(M\) និង \(M'\) ឆ្លុះគ្នាធៀបនឹង \(O\) ។ ធ្នូចម្លើយត្រូវមានចុងត្រង់ \(M\) និង \(M'\) ។ ធ្នូទាំងអស់ដែលមានចុង \(M\) មានរង្វាស់ \(x = \alpha + 2k\pi\) ។ ធ្នូមួយដែលមានចុង \(M'\) មានរង្វាស់ \(\pi + \alpha\) ហើយធ្នូទាំងអស់ដែលមានចុង \(M'\) មានរង្វាស់ \(x = \pi + \alpha + 2k\pi\) ឬ \(x = \alpha + (2k + 1)\pi\) ។ គេបានចម្លើយ \(x = \alpha + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ដូច្នេះ

សមីការ \(\tan x = a = \tan\alpha\) មានចម្លើយ \(x = \alpha + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

សម្គាល់

គេបាន \(\tan u(x) = \tan v(x)\) សមមូល \(u(x) = v(x) + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\) ដែល \(u\) និង \(v\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x\) ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយសមីការ \(\tan 3x = \tan\left(\dfrac{\pi}{3} - 2x\right)\) ។

គេបាន \(\tan 3x = \tan\left(\dfrac{\pi}{3} - 2x\right)\) សមមូល \(3x = \dfrac{\pi}{3} - 2x + k\pi\) សមមូល \(5x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

សមីការមានចម្លើយ \(x = \dfrac{\pi}{15} + k\dfrac{\pi}{5}\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

លំហាត់គំរូ ៥

ដោះស្រាយសមីការ \(\tan x = -0.7456\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាមតារាងត្រីកោណមាត្រ គេបាន \(\tan 36^\circ = 0.7265\) និង \(\tan 37^\circ = 0.7536\) រកមុំ \(\alpha'\) ដែល \(\tan\alpha' = 0.7456\) ។

គេបាន \(\tan 36^\circ < \tan\alpha' < \tan 37^\circ\) និង \(\tan 37^\circ - \tan 36^\circ = 0.0271\),  \(\tan\alpha' - \tan 36^\circ = 0.0191\),  \(\alpha' > 36^\circ\) ។

គេត្រូវថែមលើ \(36^\circ\) ចំនួន \(\dfrac{60' \times 0.0191}{0.0271} \approx 42'\) ។ គេបាន \(\alpha' = 36^\circ 42'\) ហើយ \(-0.7456 = \tan(-36^\circ 42')\) ។

ដូច្នេះ \(\tan x = \tan(-36^\circ 42')\) នាំឱ្យ \(x = -36^\circ 42' + 180^\circ k\) \((k \in \mathbb{Z})\) ។

លំហាត់គំរូ ៦

ដោះស្រាយសមីការ \(\dfrac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan x\tan\frac{\pi}{4}} = \sqrt{3}\) ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយ \(\dfrac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan x\tan\frac{\pi}{4}} = \tan\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)\) និង \(\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\) សមីការអាចសរសេរ

\[\begin{gathered} \tan\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) \quad{} \text{នាំឱ្យ}\\ x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + k\pi \end{gathered}\]
ដូច្នេះ \(x = -\dfrac{\pi}{12} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ជាចម្លើយរបស់សមីការ ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(\tan x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

  2. \(\tan 3x = \sqrt{3}\)

  3. \(\dfrac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \sqrt{3}\)

  4. \(\sqrt{3}\tan x = -1\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  2. \(x = \dfrac{\pi}{9} + \dfrac{k\pi}{3}\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  3. \(x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  4. \(x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ការដោះស្រាយសមីការ \(\cot x = m\)

សមីការ \(\cot x = \cot\alpha\) អាចសរសេរ \(\dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{1}{\tan\alpha}\) នាំឱ្យ \(\tan x = \tan\alpha\) ។ ដូច្នេះ គេអាចដោះស្រាយសមីការ \(\cot x = m\) ដូចសមីការ \(\tan x = t\) ខាងលើដែរ ។

ចំពោះសមីការ \(\cot u(x) = \cot v(x)\) ដូចសមីការ \(\tan u(x) = \tan v(x)\) ដែរ ។ សមីការ \(\cot u(x) = \cot v(x)\) សមមូល \(u(x) = v(x) + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ដែល \(u\) និង \(v\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x\) ។

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការ \(\cot\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\) ។

គេបាន \(\cot\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} = \cot\dfrac{\pi}{6}\) នាំឱ្យ \(2x + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ដូច្នេះ \(2x = \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{3} + k\pi\) នាំឱ្យ \(x = -\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2}\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

លំហាត់គំរូ ៧

ដោះស្រាយសមីការ \(2(\cot 2x - \cot 3x) = \tan 2x + \cot 3x\) ។

ដំណោះស្រាយ

លក្ខខណ្ឌនៃសមីការ \(\sin 2x \ne 0\), \(\sin 3x \ne 0\), \(\cos 2x \ne 0\) ។ គេបាន

\[\begin{gathered} \cot 2x - \cot 3x = \frac{\sin(3x - 2x)}{\sin 2x\sin 3x} = \frac{\sin x}{\sin 2x\sin 3x},\\ \tan 2x + \cot 3x = \frac{\sin 3x\sin 2x + \cos 3x\cos 2x}{\cos 2x\sin 3x} = \frac{\cos x}{\cos 2x\sin 3x} \end{gathered}\]
សមីការក្លាយជា
\[\begin{aligned} &\frac{2\sin x}{\sin 2x\sin 3x} = \frac{\cos x}{\cos 2x\sin 3x} \quad{} \text{សមមូល} \quad{} 2\sin x\cos 2x\\ &= \sin 2x\cos x = 2\sin x\cos^2 x\\ &2\sin x(\cos 2x - \cos^2 x) = 0 \quad{} \text{សមមូល} \quad{} -2\sin^3 x = 0 \end{aligned}\]
សមមូល \(\sin x = 0\) ។ តាមលក្ខខណ្ឌនៃសមីការ \(\sin 2x \ne 0\) នាំឱ្យ \(\sin x \ne 0\) ។ ដូច្នេះសមីការគ្មានចម្លើយ ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(\cot x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

  2. \(\cot 3x = \sqrt{3}\)

  3. \(\cot\left(\dfrac{x}{2} - 3\right) = -1\)

  4. \(3\cot x - \sqrt{3} = 0\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(x = \dfrac{2\pi}{3} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  2. \(x = \dfrac{\pi}{18} + \dfrac{k\pi}{3}\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  3. \(x = 6 + \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  4. \(x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

វិសមីការត្រីកោណមាត្រ

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយវិសមីការ \(\sin x - \dfrac{1}{2} \ge 0\) ។

វិសមីការអាចសរសេរ \(\sin x \ge \dfrac{1}{2}\) តែ \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} = \sin\dfrac{5\pi}{6}\) ។ នៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ គេមានចំណុច \(M\) និង \(M'\) ដែលធ្នូ \(\overset{\frown}{AM} = \dfrac{\pi}{6}\) និងធ្នូ \(\overset{\frown}{AM'} = \dfrac{5\pi}{6}\) ។ គេសង្កេតឃើញស៊ីនុសនៃមួយចំនួនធំជាង ឬស្មើ \(\dfrac{1}{2}\) លុះត្រាតែរូបភាពនៃចំនួននោះលើធ្នូ \(\overset{\frown}{MBM'}\) រួមទាំងចំណុច \(M\) និង \(M'\) ។

ដូច្នេះចម្លើយនៃវិសមីការ \(\sin x - \dfrac{1}{2} \ge 0\) គឺ \(\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ជាទូទៅ

  • វិសមីការ \(\sin x \le a\) គ្មានចម្លើយ កាលណា \(a < -1\) ហើយបើ \(-1 \le a \le 1\) មានចម្លើយ \(-\pi - \alpha + 2k\pi \le x \le \alpha + 2k\pi\) ។

  • វិសមីការ \(\sin x \ge a\) គ្មានចម្លើយ កាលណា \(a > 1\) ហើយបើ \(-1 \le a \le 1\) មានចម្លើយ \(\alpha + 2k\pi \le x \le \pi - \alpha + 2k\pi\) ។

(ដែល \(\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\), \(\sin\alpha = a\))

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយវិសមីការ \(2\cos x + 1 < 0\) ។ វិសមីការអាចសរសេរ \(\cos x < -\dfrac{1}{2}\) តែ \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{4\pi}{3}\) ។

នៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ គេមានចំណុច \(M\) និង \(M'\) ដែលធ្នូ \(\overset{\frown}{AM} = \dfrac{2\pi}{3}\) និងធ្នូ \(\overset{\frown}{AM'} = \dfrac{4\pi}{3}\) ។ គេសង្កេតឃើញថា កូស៊ីនុសនៃមួយចំនួនតូចជាង \(-\dfrac{1}{2}\) លុះត្រាតែរូបភាពនៃចំនួននោះលើធ្នូ \(\overset{\frown}{MA'M'}\) លើកលែងចំណុច \(M\) និង \(M'\) ។

ដូច្នេះចម្លើយនៃវិសមីការ \(2\cos x + 1 < 0\) គឺ \(\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ជាទូទៅ

  • វិសមីការ \(\cos x \le a\) គ្មានចម្លើយ កាលណា \(a < -1\) ហើយបើ \(-1 \le a \le 1\) មានចម្លើយ \(\alpha + 2k\pi \le x \le 2\pi - \alpha + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  • វិសមីការ \(\cos x \ge a\) គ្មានចម្លើយកាលណា \(a > 1\) ហើយបើ \(-1 \le a \le 1\) មានចម្លើយ \(-\alpha + 2k\pi \le x \le \alpha + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

(ដែល \(\alpha \in [0, \pi]\), \(\cos\alpha = a\))

ករណីពិសេស

វិសមីការ \(\sin x > 0\) មានចម្លើយ \(2k\pi < x < \pi + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយវិសមីការ \(\tan x \ge -1\) ។ ដោយ \(\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1 = \tan\dfrac{3\pi}{4}\) ។

នៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រគេមានចំណុច \(M\) និង \(M'\) ដែល \(\overset{\frown}{AM} = -\dfrac{\pi}{4}\), \(\overset{\frown}{AM'} = \dfrac{3\pi}{4}\) ។ គេសង្កេតឃើញថាតង់សង់នៃមួយចំនួនធំជាង ឬស្មើ \(-1\) លុះត្រាតែរូបភាពនៃចំនួននោះនៅលើធ្នូ \(\overset{\frown}{MAB}\) ឬ \(\overset{\frown}{M'A'B'}\) ។

ដូច្នេះ វិសមីការ \(\tan x \ge -1\) មានចម្លើយ \(-\dfrac{\pi}{4} + k\pi \le x < \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ជាទូទៅ

គេបាន \(\tan x \le a\) មានចម្លើយ \(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi < x \le \alpha + k\pi\) ។

\(\tan x \ge a\) មានចម្លើយ \(\alpha + k\pi \le x < \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

សម្គាល់

ដំណោះស្រាយវិសមីការ \(\cot x\) ដូចគ្នានឹងដំណោះស្រាយវិសមីការ \(\tan x\) ដែរ ។

ជាទូទៅ

ដើម្បីដោះស្រាយវិសមីការដែលមានរាង \(\sin x \ge a\), \(\cos x < a\), \(\tan x > a\), \(\cot x < a \ldots\) គេត្រូវ

  • រក \(\alpha\) ដែល \(\sin\alpha = a\), \(\cos\alpha = a\), \(\tan\alpha = a\), \(\cot\alpha = a\)

  • ដៅចុងធ្នូតាមតម្លៃ \(\alpha\) រួចបកស្រាយដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ

  • ទាញរកសំណុំចម្លើយ ។

របៀបបំប្លែងអង្គទី \(1\) នៃវិសមីការ គឺមានរបៀបដូចសមីការត្រីកោណមាត្រដែរ គេយករូបមន្តត្រីកោណមាត្រមកប្រើ ។

លំហាត់គំរូ ៨

ដោះស្រាយវិសមីការ \(\sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) > \sin x\) ។

ដំណោះស្រាយ

វិសមីការអាចសរសេរ

\[\begin{aligned} &\sin x - \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) < 0\\ &2\sin\frac{x - x + \frac{\pi}{3}}{2}\cos\frac{x + x - \frac{\pi}{3}}{2} < 0\\ &2\sin\frac{\pi}{6}\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) < 0 \quad{} \Leftrightarrow \quad{} \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) < 0\\ &\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x - \frac{\pi}{6} < \pi + \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \qquad{} \frac{2\pi}{3}\\ &\quad{} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \ (k \in \mathbb{Z}) \text{ ។} \end{aligned}\]

លំហាត់គំរូ ៩

ដោះស្រាយវិសមីការ \(2\sin^2 x + 3\sin x - 2 \ge 0\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(t = \sin x\) ។ វិសមីការអាចសរសេរ \(2t^2 + 3t - 2 \ge 0\) ឬ \((2t - 1)(t + 2) \ge 0\) ។

គេទាញ \(t \le -2\) ឬ \(t \ge \dfrac{1}{2}\) ដោយ \(-1 \le t \le 1\) យើងយកតែ \(\dfrac{1}{2} \le t \le 1\),  \(t = \sin x \ge \dfrac{1}{2}\) ។

ដោយ \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} = \sin\dfrac{5\pi}{6}\) គេបាន \(\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ជាសំណុំចម្លើយនៃវិសមីការ ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(2\cos x \ge -\sqrt{2}\)

  2. \(\cos 2x > \cos\dfrac{2\pi}{3}\)

  3. \(\sqrt{2}\cos x - 1 < 0\)

  4. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) < \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{x}{2}\right)\)

  5. \(\cot x < \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(-\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi \le x \le \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi\)

  2. \(-\dfrac{\pi}{3} + k\pi < x < \dfrac{\pi}{3} + k\pi\)

  3. \(\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \dfrac{7\pi}{4} + 2k\pi\)

  4. \(\dfrac{\pi}{3} + k\pi < x < \pi + k\pi\),  \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព
មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ១២៨–១៤១។
ទំព័រ ១២៨
ទំព័រ ១២៨
ទំព័រ ១២៩
ទំព័រ ១២៩
ទំព័រ ១៣០
ទំព័រ ១៣០
ទំព័រ ១៣១
ទំព័រ ១៣១
ទំព័រ ១៣២
ទំព័រ ១៣២
ទំព័រ ១៣៣
ទំព័រ ១៣៣
ទំព័រ ១៣៤
ទំព័រ ១៣៤
ទំព័រ ១៣៥
ទំព័រ ១៣៥
ទំព័រ ១៣៦
ទំព័រ ១៣៦
ទំព័រ ១៣៧
ទំព័រ ១៣៧
ទំព័រ ១៣៨
ទំព័រ ១៣៨
ទំព័រ ១៣៩
ទំព័រ ១៣៩
ទំព័រ ១៤០
ទំព័រ ១៤០
ទំព័រ ១៤១
ទំព័រ ១៤១

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

  2. \(\cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

  3. \(\cos\left(4x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)\)

  4. \(\cos^2 x = 1\)

  5. \(\sin\sqrt{x} = -1\)

  6. \(\cot x = 1\)

  7. \(\dfrac{1}{\cos 2x} = \sqrt{2}\)

  8. \(2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 1\)

  9. \(\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

  10. \(\tan^3\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \tan(x - 1)\)

  11. \(\cot\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) = 2\)

  12. \(\dfrac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = 5\) ។

២លំហាត់ទី ២

ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(\tan^3 3x - 2\sin^3 3x = 0\)

  2. \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt{2}\sin x\cos x\)

  3. \(\sin 2x = (\cos x - \sin x)^2\)

  4. \(\sqrt{3}\sin(x + \sin x) = \dfrac{1}{\cos x}\)

  5. \(\sin 2x + \tan x = 2\)

  6. \(\dfrac{\sqrt{3}}{\cos^2 x} = 4\tan x\)

  7. \(\dfrac{1 + \sin x}{1 + \cos x} = \dfrac{1}{2}\)

  8. \(\sin 3x + \cos 2x = 1 + 2\sin x\cos 2x\)

  9. \(\sin 2(x - \pi) - \sin(3x - \pi) = \sin x\)

  10. \(\tan x + \cot x = 2(\sin 2x + \cos 2x)\)

  11. \(\dfrac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \sqrt{3}\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(2\cos\theta \le -\sqrt{2}\)

  2. \(-\sqrt{2}\sin\theta + 1 \ge 0\)

  3. \(\sqrt{3}\tan\theta - 1 < 0\)

  4. \(\sin\left(2\theta + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)  \((-\pi \le \theta < \pi)\)

  5. \(\cos\left(\dfrac{1}{2}\theta - \dfrac{\pi}{3}\right) \le \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)  \((0 \le \theta < 2\pi)\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

រកគ្រប់មុំចន្លោះ \(0^\circ\) និង \(360^\circ\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ

  1. \(2\tan y = 5\sin y\)

  2. \(8\sin x\cos x = \sin x\)

  3. \(4\sin^2 x = 6 - 9\cos x\)

  4. \(3\cos y + \cot y = 0\)

  5. \(2\sin 2x + 1 = 0\)

  6. \(6\sin x - 8\sin^2 x = 5\cos^2 x\)

  7. \(2\cot 2x = 5\)

  8. \(3\sin y\tan y + 8 = 0\)

  9. \(3\cos^2 y = 7\sin y + 5\)

  10. \(\cot\left(\dfrac{z}{2}\right) - 2\cos\left(\dfrac{z}{2}\right) = 0\)

  11. \(\tan(x - 30^\circ)\tan 50^\circ = 0\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

គេឱ្យ \(x = 3\sin\theta - 2\cos\theta\) និង \(y = 3\cos\theta + 2\sin\theta\)

  1. រកតម្លៃនៃមុំស្រួច \(\theta\) ចំពោះ \(x = y\)

  2. បង្ហាញថា \(x^2 + y^2\) ជាចំនួនថេរចំពោះគ្រប់តម្លៃនៃ \(\theta\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) មាន \(\dfrac{\sin A + \cos B}{\sin B + \cos A} = \tan A\) ។ បង្ហាញថា \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណកែង ។

៧លំហាត់ទី ៧

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) មាន \(\dfrac{\sin C}{\sin B} = 2\cos A\) ។ រកប្រភេទនៃ \(\triangle ABC\) ។

៨លំហាត់ទី ៨

គេឱ្យ \(\triangle ABC\) មានមុំបំពេញលក្ខខណ្ឌ \(\tan B + \tan C = 2\cot\dfrac{A}{2}\) ។ បង្ហាញថា \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណសមបាត ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១២ សមីការនិងវិសមីការត្រីកោណមាត្រ (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត