មេរៀនទី ៦ : វិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យា — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

វត្ថុបំណង

កំណត់វិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យា
ការប្រើអនុមានរួមគណិតវិទ្យា
ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា ។

គោលការណ៍នៃវិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យា

គេគ្រាន់តែសង្កេតមើលឧទាហរណ៍ខ្លះៗនៃផលបូកចំនួនគត់សេស

\[\begin{aligned} &\text{ផលបូក } 1 \text{ តួតាងដោយ } P(1) = 1 = 1^2\\ &\text{ផលបូក } 2 \text{ តួតាងដោយ } P(2) = 1 + 3 = 2^2\\ &\text{ផលបូក } 3 \text{ តួតាងដោយ } P(3) = 1 + 3 + 5 = 3^2 \end{aligned}\]

គេអាចទាញបានផលបូក \(n\) តួតាងដោយ \(P(n) = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2\) ។

បន្ទាប់ពីបានរូបមន្តនេះមក គេត្រូវបញ្ជាក់ថារូបមន្ត \(P(n)\) ពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ \(n\) ។ ក្នុងករណីនេះគេផ្តើមផ្ទៀងផ្ទាត់ \(P(n)\) ដោយឱ្យ \(n = 1\) ។

បើ \(n = 1\) \(1 = 1^2\) ដូច្នេះ \(P(1)\) ពិត ។

ឧបមាថា \(P(n)\) ពិត ចំពោះតម្លៃ \(n\) ណាមួយ ។ គេត្រូវស្រាយថា \(P(n)\) ពិតនាំឱ្យបាន \(P(n+1)\) ក៏ពិតដែរ ។

បើ \(P(n)\) ពិត គេបាន \(1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2\) ។ ដើម្បីស្រាយបញ្ជាក់ថា \(P(n+1)\) ពិតលុះត្រាតែគេបាន \(P(n+1) = (n+1)^2\) ។

របៀបស្រាយបញ្ជាក់

គេដឹងថា

\[\begin{aligned} P(n+1) &= 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)\\ &\quad{} + [2(n + 1) - 1]\\ &= n^2 + (2n + 2 - 1)\\ &= n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2 \end{aligned}\]

\(P(n+1)\) ពិត ។ ដូច្នេះ \(P(n)\) ពិតចំពោះគ្រប់ \(n \in \mathbb{N}\) ។

គោលការណ៍នៃវិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យា

វិចារអនុមានរួម \(P(n)\) ជាសំណើដែលទាក់ទងនឹងចំនួនគត់ \(n\) ។ ដើម្បីស្រាយបញ្ជាក់ថា \(P(n)\) ពិតចំពោះគ្រប់ \(n \in \mathbb{N}\) គេត្រូវ

ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា \(P(n)\) ពិតចំពោះ \(n = 1\)
ឧបមាថា \(P(n)\) ពិតចំពោះតម្លៃ \(n\)
ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(P(n)\) ពិតនាំឱ្យបាន \(P(n+1)\) ពិត ។

លំហាត់គំរូ ១

ស្រាយបញ្ជាក់សមភាព \(1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \ldots + n \times (n + 1) = \dfrac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)\) ពិតចំពោះគ្រប់ \(n \in \mathbb{N}\) ដោយប្រើវិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យា ។

ដំណោះស្រាយ

ចំពោះ \(n = 1\) ៖ អង្គខាងឆ្វេង \(1 \times 2 = 2\) អង្គខាងស្តាំ \(\dfrac{1}{3} \times 1 \times (1 + 1)(1 + 2) = 2\) ។

នោះអង្គខាងឆ្វេង \(=\) អង្គខាងស្តាំ ។ ដូច្នេះ ចំពោះ \(n = 1\) សមភាពពិត ។

ឧបមាថា សមភាពពិតចំពោះ \(n = k\) គេបាន

\[\begin{gathered} 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \ldots + k \times (k + 1) = \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2)\\ (k = 1, 2, 3, \ldots) \text{ ។} \end{gathered}\]

បង្ហាញថាសមភាពពិតចំពោះ \(n = k\) នាំឱ្យបានសមភាពពិតចំពោះ \(n = k + 1\)

\[\begin{aligned} &1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \ldots + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2)\\ &= \frac{1}{3}(k + 1)(k + 2)(k + 3) \end{aligned}\]

គេមាន \(1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \ldots + k \times (k + 1) = \dfrac{1}{3}k(k + 1)(k + 2)\) ។ ថែម \((k + 1)(k + 2)\) លើអង្គទាំងពីរនៃសមីការ គេបាន

\[\begin{aligned} &1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \ldots + k \times (k + 1) + (k + 1)(k + 2)\\ &= \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)\\ &= (k + 1)(k + 2)\left(\frac{1}{3}k + 1\right)\\ &= (k + 1)(k + 2)\left(\frac{k + 3}{3}\right)\\ &= \frac{1}{3}(k + 1)(k + 2)(k + 3) \end{aligned}\]

ពិត ។ ដូច្នេះ សមភាពពិតចំពោះគ្រប់ \(n \in \mathbb{N}\) ។

ដូច្នេះ \(1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \ldots + n \times (n + 1) = \dfrac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)\) \((n = 1, 2, 3, \ldots)\) ។

លំហាត់គំរូ ២

ចំពោះ \(h > 0\) និងចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(n \ge 2\) បង្ហាញថា \((1 + h)^n > 1 + nh\) ដោយប្រើវិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យា ។

ដំណោះស្រាយ

ចំពោះ \(n = 2\) គេបាន \((1 + h)^2 = 1 + 2h + h^2 > 1 + 2h\) ព្រោះ \(h^2 > 0\) ។ ដូច្នេះ វិសមភាពនេះពិត ចំពោះ \(n = 2\) ។

ឧបមាថាវិសមភាពនេះពិត ចំពោះ \(n = k\) \((k \ge 2)\) នោះ \((1 + h)^k > 1 + kh\) ពិត ។ គេនឹងបង្ហាញថាវាពិតដល់ \(n = k + 1\) \((k \ge 2)\) គឺ

\[(1 + h)^{k+1} > 1 + (k + 1) \times h \quad{} (1) \text{ ។}\]

គេមាន \((1 + h)^k > 1 + kh\) ដោយ \(h > 0\) នោះ \(1 + h > 0\) ។ គុណអង្គទាំងពីរនៃ \((1)\) និង \(1 + h > 0\) គេបាន \((1 + h)^k(1 + h) > (1 + kh)(1 + h)\)

\[\begin{aligned} (1 + h)^{k+1} &> 1 + kh + h + kh^2\\ &= 1 + (k + 1)h + kh^2 > 1 + (k + 1)h \end{aligned}\]

ព្រោះ \(kh^2 > 0\) ។ ដូច្នេះ វិសមភាព \((1 + h)^n > 1 + nh\) ពិតចំពោះគ្រប់ \((n \ge 2)\) ។

លំហាត់គំរូ ៣

ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(n^3 + 2n\) ជាពហុគុណនៃ \(3\) ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ \(n\) ដោយប្រើវិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យា ។

ដំណោះស្រាយ

ចំពោះ \(n = 0\) គេបាន \(0\) ជាពហុគុណនៃ \(3\) ពិត ។

ឧបមាថាសមភាពពិតចំពោះចំនួនគត់ \(n = k\) គេបាន \(k^3 + 2k\) ជាពហុគុណនៃ \(3\) ពិត យើងបាន \(k^3 + 2k = 3q\), \(q\) ជាចំនួនគត់ ។

គេបង្ហាញថាវាពិតចំពោះ \(n = k + 1\) គឺ \((k + 1)^3 + 2(k + 1)\) ជាពហុគុណនៃ \(3\) ។ គេបាន

\[\begin{aligned} (k + 1)^3 + 2(k + 1) &= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2\\ &= k^3 + 3k^2 + 5k + 3\\ &= (k^3 + 2k) + 3 \times (k^2 + k + 1)\\ &= 3q + 3(k^2 + k + 1) = 3(q + k^2 + k + 1) \end{aligned}\]

មានន័យថា \((k + 1)^3 + 2(k + 1)\) ជាពហុគុណនៃ \(3\) ។

ដូច្នេះ \(n^3 + 2n\) ជាពហុគុណនៃ \(3\) ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ \(n\) ។

ប្រតិបត្តិ

ស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាព \(\left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}\right)(1 + 2 + 3 + \ldots + n) \ge n^2\) ដោយប្រើវិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យា ។
ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(2^{n+1} + 3^{2n-1}\) ជាពហុគុណនៃ \(7\) ចំពោះគ្រប់ \(n \in \mathbb{N}\) ដោយប្រើវិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យា ។
ស្រាយបញ្ជាក់សមភាព \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\) ដោយប្រើវិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យា ។

ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា

ពេលគេពន្លាតស្វ័យគុណនៃទ្វេធា គេបានពហុធា ឬស៊េរីមួយ ។ វាមិនមែនជាស៊ីតធរណីមាត្រ ឬស៊ីតនព្វន្តឡើយ តែវាមានលំនាំគំរូមួយច្បាស់លាស់ ។ ក្នុងមេរៀននេះគេនឹងសិក្សារូបមន្តពន្លាតនៃស្វ័យគុណ នៃទ្វេធាឱ្យបានឆាប់រហ័ស ។ ជាដំបូងពិនិត្យមើលពន្លាតនៃកន្សោម \((x + y)^n\) ចំពោះតម្លៃខ្លះនៃ \(n\) ។

ឧទាហរណ៍ ១

\[\begin{aligned} (x + y)^0 &= 1\\ (x + y)^1 &= 1x + 1y\\ (x + y)^2 &= 1x^2 + 2xy + 1y^2\\ (x + y)^3 &= 1x^3 + 3x^2y^1 + 3x^1y^2 + 1y^3\\ (x + y)^4 &= 1x^4 + 4x^3y^1 + 6x^2y^2 + 4x^1y^3 + 1y^4\\ (x + y)^5 &= 1x^5 + 5x^4y^1 + 10x^3y^2\\ &\quad{} + 10x^2y^3 + 5x^1y^4 + 1y^5\\ &\ \,\vdots \end{aligned}\]

ក្នុងជួរដេកនីមួយៗកើតមានលំនាំគំរូដូចៗគ្នា ។

ពីឧទាហរណ៍ខាងលើ គេសង្កេតក្នុងជួរដេកនីមួយៗនៃពន្លាតកន្សោម \((x + y)^n\) ឃើញថា ៖

ពន្លាតទ្វេធានីមួយៗជាពហុធាដែលមាន \((n + 1)\) តួ ។
ក្នុងពន្លាតទ្វេធានីមួយៗស្វ័យគុណនៃ \(x\) ចុះ \(1\) ដឺក្រេជាបន្តបន្ទាប់ និងស្វ័យគុណនៃ \(y\) កើន \(1\) ដឺក្រេជាបន្តបន្ទាប់បើគេអានពីឆ្វេងទៅស្តាំ ។
ផលបូកនៃស្វ័យគុណក្នុងតួនីមួយៗនៃពហុធាស្មើ \(n\) ។

លេខមេគុណចាប់ផ្តើមនិងចុងក្រោយគឺ \(1\) ដូចគ្នា ហើយផលបូកនៃលេខមេគុណពីរតួជាប់គ្នានៃពន្លាត \((x + y)^3\) ជាលេខមេគុណនៃពន្លាត \((x + y)^4 \ldots\) ។

\[\begin{array}{ccccccccc l} & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \quad{}\text{លេខមេគុណនៃ } (x+y)^3\\ 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \quad{}\text{លេខមេគុណនៃ } (x+y)^4 \end{array}\]

ឬលេខមេគុណនៃតួផ្សេងទៀតកំណត់បានអាស្រ័យនឹងលេខមេគុណនៃតួបន្ទាប់ខាងមុខគឺ

\[\begin{gathered} \text{លេខមេគុណនៃតួទី } k + 1\\ = \frac{(\text{លេខមេគុណនៃតួទី } k) \times (\text{ស្វ័យគុណនៃ } x \text{ ក្នុងតួទី } k)}{k} \text{ ។} \end{gathered}\]

ឧទាហរណ៍ ២

\[\begin{aligned} (x + y)^5 = 1x^5 + 5x^4y^1 + 10x^3y^2 &\\ &\quad{} + 10x^2y^3 + 5xy^4 + 1y^5 \end{aligned}\]

ដែល \(5 = \dfrac{1 \times 5}{1}\), \(10 = \dfrac{5 \times 4}{2}\), \(10 = \dfrac{10 \times 3}{3}\), \(5 = \dfrac{10 \times 2}{4}\), \(1 = \dfrac{5 \times 1}{5}\) ។

ពីឧទាហរណ៍ ១ បើគេផ្តាច់យកតែលេខមេគុណនិងតម្រៀបលេខទាំងនេះជារាងត្រីកោណ គេឃើញមានលំនាំគំរូជាច្រើន ។ គេបាន

\[\begin{array}{ccccccccccc} & & & & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 2 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \\ & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \end{array}\]

តម្រៀបលេខមេគុណទាំងនេះជារាងត្រីកោណហៅថា ត្រីកោណប៉ាស្កាល់ និងមានសារៈសំខាន់ណាស់សម្រាប់រកលេខមេគុណក្នុងពន្លាតទ្វេធា \((x + y)^n\) ដែលមានស្វ័យគុណតូចតែវាពិបាកអនុវត្តខ្លាំងណាស់ចំពោះការពន្លាតទ្វេធា \((x + y)^n\) ដែលមានស្វ័យគុណធំ ។

ចំណែកឯស៊ីត \(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots\) (ផលបូកតាមអង្កត់ទ្រេតនៃត្រីកោណប៉ាស្កាល់) ហៅថា ស៊ីត Fibonacci ។

លំហាត់គំរូ ៤

ប្រើត្រីកោណប៉ាស្កាល់ពន្លាតកន្សោម \((x + y)^5\) ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយប្រើជួរដេកទី \(5\) នៃត្រីកោណប៉ាស្កាល់ គេបានលេខមេគុណ

\[\begin{array}{ccccccccccc} & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \end{array}\]

គេបាន \((x + y)^5 = 1x^5 + 5x^4y^1 + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + 1y^5\) ។

ប្រតិបត្តិ

ប្រើត្រីកោណប៉ាស្កាល់ពន្លាតកន្សោម \((x + y)^6\) ។

មើលចម្លើយ

\((x + y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6\) ។

គេចាំបាច់កំណត់គំរូតួទូទៅនៃពន្លាត \((x + y)^n\) គឺ

\[\begin{aligned} (x + y)^n = 1x^n + ?x^{n-1}y^1 + ?x^{n-2}y^2 + \ldots &\\ &\quad{} + ?x^{n-r}y^r + \ldots + 1y^n \end{aligned}\]

\[\begin{array}{c|c} \text{តួ} & \text{លេខមេគុណ}\\ \hline 1 & 1\\[4pt] 2 & \dfrac{1 \times n}{1}\\[8pt] 3 & \dfrac{n(n - 1)}{1 \times 2}\\[6pt] \vdots & \vdots\\ (r + 1) & \dfrac{n(n - 1)(n - 2)\ldots(n - r + 1)}{1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times r}\\[6pt] \vdots & \vdots\\ (n + 1) & 1 \end{array}\]

ដូច្នេះ

\[\begin{aligned} (x + y)^n &= 1x^n + \frac{n}{1}x^{n-1}y^1 + \frac{n(n - 1)}{1 \times 2}x^{n-2}y^2 + \ldots\\ &\quad{} + \frac{n(n - 1)(n - 2)\ldots(n - r + 1)}{1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times r}x^{n-r}y^r + \ldots + 1y^n \text{ ។} \end{aligned}\]

ពីត្រីកោណប៉ាស្កាល់ គេឃើញថាលេខមេគុណនៃទ្វេធាជាចំនួនដែលរៀបឆ្លុះគ្នា ហើយគេដឹងថា

\[\begin{aligned} 1 &= \frac{n!}{n!\,0!} = {}_nC_0 = {}_nC_n\\ \frac{n}{1} &= \frac{n!}{(n - 1)!\,1!} = {}_nC_1 = {}_nC_{n-1}\\ \frac{n(n - 1)}{1 \times 2} &= \frac{n!}{(n - 2)!\,2!} = {}_nC_2 = {}_nC_{n-2}\\ \frac{n(n - 1)(n - 2)}{1 \times 2 \times 3} &= \frac{n!}{(n - 3)!\,3!} = {}_nC_3 = {}_nC_{n-3}\\ &\ \,\vdots\\ \frac{n(n - 1)(n - 2)\ldots(n - r + 1)}{1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times r} &= \frac{n!}{(n - r)!\,r!} = {}_nC_r = {}_nC_{n-r} \end{aligned}\]

ចំនួនថេរ \({}_nC_0, {}_nC_1, {}_nC_2, \ldots, {}_nC_n\) ហៅថាលេខមេគុណនៃទ្វេធា \((x + y)^n\) ។ គេបាន

\[\begin{aligned} (x + y)^n &= {}_nC_0x^n + {}_nC_1x^{n-1}y^1\\ &\quad{} + {}_nC_2x^{n-2}y^2 + \ldots\\ &\quad{} + {}_nC_rx^{n-r}y^r + \ldots + {}_nC_ny^n \end{aligned}\]

ហៅថា ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា ។

ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា

\[\begin{aligned} (x + y)^n &= \sum_{r=0}^{n} {}_nC_r\,x^{n-r}y^r\\ &= {}_nC_0\,x^n + {}_nC_1\,x^{n-1}y^1\\ &\quad{} + {}_nC_2\,x^{n-2}y^2 + \ldots + {}_nC_n\,y^n \text{ ។} \end{aligned}\]

លំហាត់គំរូ ៥

ដោយប្រើជួរដេកទី \(6\) នៃត្រីកោណប៉ាស្កាល់គណនាលេខមេគុណនៃទ្វេធា \({}_6C_0\), \({}_6C_1\), \({}_6C_2\), \({}_6C_3\), \({}_6C_4\), \({}_6C_5\), \({}_6C_6\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{array}{ccccccccccccc} & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & \\ 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1\\ {}_6C_0 & & {}_6C_1 & & {}_6C_2 & & {}_6C_3 & & {}_6C_4 & & {}_6C_5 & & {}_6C_6 \end{array}\]

ដូច្នេះ \({}_6C_0 = 1\), \({}_6C_1 = 6\), \({}_6C_2 = 15\), \({}_6C_3 = 20\), \({}_6C_4 = 15\), \({}_6C_5 = 6\), \({}_6C_6 = 1\) ។

ប្រតិបត្តិ

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទទ្វេធាចូរពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម ៖
1. \((1 + 3x)^4\)
2. \((2x - y)^5\)
3. \(\left(a + \dfrac{1}{a^2}\right)^6\)
4. \((1 + x)^n\) ។
កំណត់តួទី \(4\) នៃពន្លាតទ្វេធា \((x + y)^{13}\) ។

មើលចម្លើយ

1. \((1 + 3x)^4 = 1 + 12x + 54x^2 + 108x^3 + 81x^4\)
2. \((2x - y)^5 = 32x^5 - 80x^4y + 80x^3y^2 - 40x^2y^3 + 10xy^4 - y^5\)
3. \(\left(a + \dfrac{1}{a^2}\right)^6 = a^6 + 6a^3 + 15 + \dfrac{20}{a^3} + \dfrac{15}{a^6} + \dfrac{6}{a^9} + \dfrac{1}{a^{12}}\)
4. \((1 + x)^n = 1 + {}_nC_1\,x + {}_nC_2\,x^2 + {}_nC_3\,x^3 + \ldots + {}_nC_n\,x^n\) ។
\({}_{13}C_3\,x^{10}y^3 = 286x^{10}y^3\) ។

មេរៀនសង្ខេប ជំពូកទី ១

មេរៀនសង្ខេប

ស៊ីតនៃចំនួនពិត គឺជាអនុគមន៍លេខដែលកំណត់ពី \(\mathbb{N}\) ទៅ \(\mathbb{R}\) ។
ស៊ីតនព្វន្ត គឺជាស៊ីតនៃចំនួនពិតដែលមានតួនីមួយៗ (ក្រៅពីតួទី \(1\)) ស្មើនឹងតួមុនបន្ទាប់បូកចំនួនថេរ \(d\) មួយ (ហៅថាផលសងរួម \(d = a_{n+1} - a_n\)) ។
រូបមន្តតួទូទៅនៃស៊ីតនព្វន្ត \(a_n = a_1 + (n - 1) \times d\) ។
ផលបូក \(n\) តួនៃស៊ីតនព្វន្ត \(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \times n}{2}\) ។
ស៊ីតធរណីមាត្រ គឺជាស៊ីតចំនួនពិតដែលតួនីមួយ (ក្រៅពីតួទី \(1\)) ស្មើនឹងតួមុនបន្ទាប់គុណនឹងចំនួនថេរ \(q\) ដែល \(q \ne 0\) ។ ចំនួនថេរ \(q\) នេះហៅថាផលធៀបរួមស៊ីតធរណីមាត្រ ។
រូបមន្តតួទូទៅនៃស៊ីតធរណីមាត្រ \(a_{n+1} = a_n \times q\), \(a_n = a_1 \times q^{n-1}\) ។
ផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រ \(S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\) ដែល \(q \ne 1\) ។
ផលបូកស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួ \(S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - q}\) បើ \(|q| < 1\) ។
រូបមន្តផលបូកស៊ីតមានលំដាប់ខ្ពស់ \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n + 1)\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{1}{2}n(n + 1)\right]^2\) ។
ស៊ីត \((b_n)\) ជាផលសងតួលំដាប់ទី \(1\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ដែល \(a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k\), \(n \ge 2\) ។
ទំនាក់ទំនងកំណើនទម្រង់ \(a_{n+1} = a_n + pn\) នោះផលសងស៊ីត \((b_n)\) ដែល \(b_n = a_{n+1} - a_n = pn\) និង \(a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} pk\) ។
ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន \(S_n - S_{n-1} = a_n\) និង \(S_1 = a_1\) ។
ទំនាក់ទំនងកំណើននៃស៊ីត \((a_n)\) ទម្រង់ \(a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0\) មានសមីការសម្គាល់ \(x^2 + px + q = 0\) ដែលឫស \(\alpha\) និង \(\beta\) បំពេញលក្ខខណ្ឌ \(\alpha + \beta = -p\), \(\alpha\beta = q\) នោះគេបាន \(a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha\beta a_n = 0\) អាចបំប្លែងជា \(a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} - \alpha a_n)\), \(a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha(a_{n+1} - \beta a_n)\) ។ ទំនាក់ទំនងទាំង \(2\) នេះគឺជាស៊ីតធរណីមាត្រ ។
សំណើ \(P(n)\) ពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(n\) ហើយសំណើរខាងក្រោម \((i)\) និង \((ii)\) ពិតគឺ
\((i)\) \(P(n)\) ពិតចំពោះ \(n = 1\)
\((ii)\) ឧបមាថា \(P(n)\) ពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(n = k\) រួចបង្ហាញថា \(P(n+1)\) ពិតចំពោះគ្រប់ \(n = k + 1\) ។
ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា \((x + y)^n = \displaystyle\sum_{r=0}^{n} {}_nC_r\,x^{n-r}y^r = {}_nC_0\,x^n + {}_nC_1\,x^{n-1}y^1 + {}_nC_2\,x^{n-2}y^2 + \ldots + {}_nC_n\,y^n\) ។

លំហាត់ជំពូកទី ១

តួទី \(5\) នៃស៊ីតនព្វន្តស្មើ \(14\) និងតួទី \(12\) ស្មើ \(35\) ។ គណនាផលសងរួម តួទី \(1\) និងតួទី \(n\) ។
ផលបូកនៃ \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតមួយកំណត់ដោយ \(S_n = n^2 + n\) ។ គណនាតួទី \(5\) នៃស៊ីត និងបង្ហាញថាតួនៃស៊ីតនេះជាស៊ីតនព្វន្ត ។
តួទី \(3\) នៃស៊ីតធរណីមាត្រស្មើ \(3\) និងតួទី \(6\) ស្មើនឹង \(\dfrac{3}{8}\) ។ គណនាផលធៀបរួមតួទី \(1\) និងផលបូក \(8\) តួដំបូង ។
គណនា \(a\) ដើម្បីឱ្យបីចំនួន \((a - 3)\), \((a + 1)\) និង \((4a - 2)\) ជាបីតួតគ្នានៃស៊ីតធរណីមាត្រ ។
គេឱ្យបួនចំនួនជាស៊ីតធរណីមាត្រ ។ គណនាតួទី \(2\) និងទី \(3\) នៃស៊ីត បើគេដឹងថាតួទី \(1\) ស្មើនឹង \(6\) ហើយតួទី \(4\) ស្មើនឹង \(162\) ។
គេទិញផ្ទះមួយតម្លៃ \(30000\) ដុល្លារ ។ អ្នកទិញត្រូវបង់ប្រាក់ជា \(6\) ដំណាក់កាល ដែលបង្កើតបានជាស៊ីតធរណីមាត្រមានផលធៀបរួម \(\dfrac{9}{10}\) ។ កំណត់ប្រាក់ដែលត្រូវបង់តាមដំណាក់កាលនីមួយៗ ។
គេមានស៊ីតនព្វន្ត \((U_n)\) និង \((V_n)\) កំណត់ដោយ \(U_1 = 3\) និងផលសងរួមស្មើ \(3\) និង \(V_1 = 4\) និងផលសងរួមស្មើ \(2\) ។
1. កំណត់ \(U_n\) និង \(V_n\) ជាអនុគមន៍នៃ \(n\) ។
2. គេមានស៊ីត \((W_n)\) កំណត់ដោយ \(W_n = \dfrac{U_n}{V_n}\) ។ បង្ហាញថាស៊ីត \((W_n)\) ជាស៊ីតកើន និងកំណត់ \(n\) ដើម្បីឱ្យ \(W_n - W_{n-1} = \dfrac{1}{28}\) ។
កំណត់ផលសងរួមនិងតួទី \(1\) \(U_1\) នៃស៊ីតនព្វន្ត \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) កើននិងដឹងថា \(\begin{cases} U_1^2 + U_2^2 + U_3^2 = 98\\ U_1 - U_2 + U_3 = 4 \end{cases}\) ។ គណនា \(U_{10}\) និងផលបូក \(10\) តួដំបូងនៃស៊ីត ។
តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រស្មើ \(3\) ហើយមានផលធៀបរួម \(r\) ដែលតម្លៃដាច់ខាតនៃ \(r\) តូចជាង \(1\) ។ ផលបូក \(3\) តួដំបូងស្មើ \(\dfrac{8}{9}\) នៃផលបូក \(6\) តួដំបូង ។ គណនាផលបូកស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួ ។
1. ដោះស្រាយក្នុង \(\mathbb{R}\) សមីការ \(3x^2 - 8x + 4 = 0\) \((E)\) ។
2. គេមាន \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ជាស៊ីតធរណីមាត្រកើនដែលមាន \(U_3\) និង \(U_4\) នៃស៊ីតនេះជាចម្លើយនៃសមីការ \((E)\) ។
  1. ទាញរកផលធៀបរួមនៃស៊ីតនេះ ។
  2. គណនាតួទី \(1\) \(U_1\) នៃស៊ីត ។
សរសេរបីតួដំបូងនៃស៊ីតនព្វន្តដោយដឹងថា \(S_{10} = 210\) និង \(S_{20} = 820\) ។
គេដឹងថាផលបូកតួទី \(1\) និងតួទី \(4\) នៃស៊ីតនព្វន្តស្មើនឹង \(2\) និងផលបូកការេរបស់វាស្មើនឹង \(20\) ។ គណនាផលបូកប្រាំបីតួដំបូងនៃស៊ីត ។
គេមាន \(S_m\) និង \(S_n\) ជាផលបូក \(m\) តួដំបូង និង \(n\) តួដំបូងរៀងគ្នានៃស៊ីតនព្វន្តមួយដែល \(\dfrac{S_m}{S_n} = \dfrac{m^2}{n^2}\); \((n \ne m)\) ។ តាងតួទី \(m\) គឺ \(a_m\) និងតួទី \(n\) គឺ \(a_n\) ។ បង្ហាញថា \(\dfrac{a_m}{a_n} = \dfrac{2m - 1}{2n - 1}\) ។
គេមានស៊ីតធរណីមាត្រ \(12, 4, \dfrac{4}{3}, \ldots\) ។
1. គណនាតួទី \(10\)
2. តើចំនួន \(\dfrac{4}{729}\) ជាតួទីប៉ុន្មាននៃស៊ីត?
3. គណនាផលបូក \(20\) តួដំបូងនៃស៊ីតធរណីមាត្រ ។
គេឱ្យ \((a_n)\) ជាស៊ីតធរណីមាត្រ បើគេដឹងថា \(a_n = 2(3)^{n-1}\) ។ គណនា \(S_n\) ។
គណនាផលបូក \(1 + 2x + 3x^2 + \ldots + (n - 1)x^{n-2} + nx^{n-1}\) ។
គណនាតួទី \(1\) នៃស៊ីតធរណីមាត្រអនន្តតួដែលមាន \(q = \dfrac{3}{5}\) និង \(S_\infty = 40\) ។
គេឱ្យបីចំនួនជាស៊ីតធរណីមាត្រ ។ គណនាចំនួនទាំងនេះបើគេដឹងថាផលគុណនៃចំនួនទាំងនោះស្មើនឹង \(3375\) ហើយផលបូកវាស្មើនឹង \(93\) ។
គណនាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតនីមួយៗខាងក្រោម
1. ស៊ីត \((a_n)\) ៖ \(1, \dfrac{1}{1 + 2}, \dfrac{1}{1 + 2 + 3}, \ldots, \dfrac{1}{1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + n}\)
2. ស៊ីត \((b_n)\) ៖ \(\dfrac{1}{(1 \times 3)^2}, \dfrac{2}{(3 \times 5)^2}, \dfrac{3}{(5 \times 7)^2}, \ldots, \dfrac{n}{[(2n - 1)(2n + 1)]^2}\) ។
1. កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(1, 2, 6, 15, 31, 56, \ldots\)
2. គណនាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតនេះ ។
1. គណនា \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 1)\)
2. ដោយប្រើសំណួរ ក. គណនាផលបូក \(1 + 7 + 17 + 31 + \ldots + 799\) ។
សរសេរផលបូក \(1 + 4 + 7 + 10 + 13 + \ldots + 298\) ដោយប្រើ \(\Sigma\) ។
ដោយប្រើវិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យាស្រាយបញ្ជាក់ថា \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 2^n - 1\) ។
គេមានស៊ីត \((U_n)\) ដែល \(n\) ជាចំនួនគត់កំណត់ដោយ \(U_{n+1} = 2U_n + 1\) និង \(U_0 = 1\) ហើយស៊ីត \((V_n)\) កំណត់ដោយ \(V_n = U_n + 1\) ។
1. បង្ហាញថាស៊ីត \((V_n)\) ជាស៊ីតធរណីមាត្រ ។
2. ទាញរក \(U_n\) ជាអនុគមន៍នៃ \(n\) ។
3. សិក្សាភាពម៉ូណូតូននៃស៊ីត \((U_n)\) ។
4. ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ \(n\) គណនាផលបូក \(S_n = U_0 + U_1 + U_2 + \ldots + U_n\) ។
គេមាន \((a_n)\) កំណត់ដោយទំនាក់ទំនងកំណើន \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + n\) ។
1. តាង \(b_n = 2^na_n\) ។ កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((b_n)\) ។
2. កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ។
1. សរសេរ \((x^2 - 2y)^7\) ដោយប្រើ \(\Sigma\)
2. កំណត់តួទី \(6\) នៃពន្លាត \((x^2 - 2y)^7\) ។
បង្ហាញថាផលបូកនៃលេខមេគុណក្នុងពន្លាត \((1 + x)^n\) គឺ \(2^n\) ។
បង្ហាញថា \({}_nC_0 + {}_nC_2 + {}_nC_4 + \ldots + {}_nC_{n-1} = {}_nC_1 + {}_nC_3 + {}_nC_5 + \ldots + {}_nC_n = 2^{n-1}\) ដែល \({}_nC_0, {}_nC_1, {}_nC_2, \ldots, {}_nC_n\) ជាលេខមេគុណក្នុងពន្លាត \((1 + x)^n\) ដែល \(n\) ជាចំនួនគត់សេស ។
គេឱ្យស៊ីត \((a_n)\) មួយកំណត់ដោយ \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{\sqrt{1 + 168(a_n)^2}}\), \(n \in \mathbb{N}\) ។
1. តាង \(b_n = \dfrac{1}{(a_n)^2}\) ។ បង្ហាញថា \((b_n)\) ជាស៊ីតនព្វន្តមួយ
2. គណនា \(b_n\), \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_k\) និង \(a_n\) ជាអនុគមន៍នៃ \(n\) ។
គេឱ្យពហុធា \(f(x) = px^2 + qx\) ។
1. កំណត់តម្លៃពិតនៃ \(p\) និង \(q\) ដើម្បីឱ្យ \(f(x) = f(x - 1) + x\) គ្រប់ \(x\)
2. ទាញរកផលបូក \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \ldots\) ។
គេឱ្យស៊ីតនព្វន្តមួយ \(a_1 = \dfrac{5\pi}{3}\) និងមានផលសងរួម \(d = \dfrac{\pi}{6}\) ។
1. គណនាតួទី \(168\) នៃស៊ីតនេះ
2. តើតួទីប៉ុន្មាននៃស៊ីតនេះស្មើនឹង \(\dfrac{8\pi}{3}\) ។
គេឱ្យសមីការ \(x^2 + \alpha x + \beta\) ។ កំណត់តម្លៃ \(\alpha\) និង \(\beta\) ដើម្បីឱ្យផលបូកការេនៃឫសសមីការនេះស្មើនឹង \(14\) ហើយ \(1, \alpha, \beta\) ជាបីតួបន្តគ្នានៃស៊ីតនព្វន្តចុះជាច់ខាតមួយ ។
គេឱ្យស៊ីត \((a_n)\) មួយកំណត់ដោយ \(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = \dfrac{5a_n - 1}{a_n + 3}\) ។
1. តាង \(b_n = \dfrac{1}{a_n - 1}\) ។ បង្ហាញថា \((b_n)\) ជាស៊ីតនព្វន្តមួយ
2. សរសេរ \(b_n\) និង \(a_n\) ជាអនុគមន៍នៃ \(n\) ។
គេឱ្យស៊ីត \((a_n)\) មួយកំណត់ដោយ \(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = \sqrt[3]{2 + 3(a_n)^2}\), \(n = 1, 2, 3, \ldots\)
1. ស្រាយថា \(b_n = 1 + a_n^3\) ជាស៊ីតធរណីមាត្រ
2. សរសេរ \(b_n\) និង \(a_n\) ជាអនុគមន៍នៃ \(n\)
3. \(S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_n\) ។
គណនាផលបូក \(S_n = \dfrac{13}{10} + \dfrac{303}{100} + \dfrac{5003}{1000} + \ldots + \dfrac{(2n - 1)00\ldots003}{1000\ldots000}\) ។
គេឱ្យ \((a_n)\) កំណត់ដោយ \(\begin{cases} a_1 = a, \quad{} a_2 = b\\ a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n-2}}{2} \end{cases}\) ។
1. ស្រាយថា \(b_n = a_n - a_{n-1}\) ជាស៊ីតធរណីមាត្រ
2. សរសេរ \(a_n\) ជាអនុគមន៍នៃ \(a\), \(b\) និង \(n\) ។
គេឱ្យស៊ីត \((a_n)\) មួយកំណត់លើ \(\mathbb{N}\) ដោយ \(\begin{cases} a_1 = 5 + 3\sqrt{5}\\ a_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(a_n + \dfrac{5}{a_n}\right) \end{cases}\) ។
1. តាង \(b_n = \dfrac{a_n - \sqrt{5}}{a_n + \sqrt{5}}\) ។ សរសេរទំនាក់ទំនងរវាង \(b_{n+1}\) និង \(b_n\)
2. សរសេរ \(b_n\) និង \(a_n\) ជាអនុគមន៍នៃ \(n\)
3. បើ \(c_n = 1 + b_n\) គណនា \(P_n = c_1 \times c_2 \times c_3 \times \ldots \times c_n\) ។
គេមានស៊ីតចំនួនពិត \((a_n)\) មួយកំណត់លើ \(\mathbb{N}\) ដោយ \(\begin{cases} a_1 = \sqrt{5}\\ a_{n+1} = a_n^2 - 2 \end{cases}\) ។
1. បង្ហាញថា \(a_n > 2\), \(\forall n \in \mathbb{N}\)
2. តាង \(b_n = a_n + \sqrt{a_n^2 - 4}\) សរសេរទំនាក់ទំនងរវាង \(b_n\) និង \(b_{n+1}\)
3. សរសេរ \(a_n\) និង \(b_n\) ជាអនុគមន៍ \(n\) ។
គេមានស៊ីត \((a_n)\) មួយកំណត់លើ \(\mathbb{N}\) ដោយ \(\begin{cases} a_1 = 1\\ a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n - \dfrac{1}{3} \end{cases}\) ។
1. បង្ហាញថាគេអាចកំណត់តម្លៃ \(k\) ដើម្បីឱ្យ \(b_n = 3a_n + k\) ជាស៊ីតធរណីមាត្រមួយគ្រប់ \(\mathbb{N}\)
2. សរសេរ \(b_n\) និង \(a_n\) ជាអនុគមន៍នៃ \(n\) ចំពោះតម្លៃ \(k\) ខាងលើ ។
គេឱ្យកន្សោម \(S_n = \dfrac{1}{7} + \dfrac{2}{7^2} + \dfrac{3}{7^3} + \ldots + \dfrac{n - 1}{7^{n-1}} + \dfrac{n}{7^n}\) ។ គណនា \(S_n\) ។
គេមានស៊ីតចំនួនពិត \((a_n)\) មួយកំណត់លើ \(\mathbb{N}\) ដោយ \(\begin{cases} a_1 = \dfrac{1}{3}\\ a_{n+1} = \dfrac{1}{3}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)a_n \end{cases}\) ។
1. សរសេរ \(b_n\) ជាអនុគមន៍នៃ \(n\)
2. តាង \(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n\) ។ គណនា \(S_n - \dfrac{1}{3}S_n\) រួចទាញរក \(S_n\) ជាអនុគមន៍នៃ \(n\) ។
កំណត់តួទី \(n\), \(a_n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ខាងក្រោម ៖
1. \(\begin{cases} a_1 = 2\\ a_{n+1} = 2a_n + 2 \end{cases}\)
2. \(\begin{cases} a_1 = \dfrac{13}{2}\\ a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + 3 \end{cases}\)
3. \(\begin{cases} a_1 = 0\\ a_{n+1} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})a_n + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 1 \end{cases}\)
កំណត់តួទី \(n\), \(a_n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ខាងក្រោម ៖
1. \(\begin{cases} a_1 = 0\\ a_{n+2} = 2a_{n+1} + 3a_n \end{cases}\)
2. \(\begin{cases} a_1 = 1\\ a_{n+2} = 6a_{n+1} - 9a_n \end{cases}\)
3. \(\begin{cases} a_1 = 0, \quad{} a_2 = 1\\ a_{n+2} = \sqrt{3}a_{n+1} - 4a_n \end{cases}\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ៤៤–៥៦។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះគ្រប់ \(n \ge 1\), \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\) ដោយប្រើវិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យា ។

២លំហាត់ទី ២

បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ \(n\)

ចំនួន \(4^n + 2\) ចែកដាច់នឹង \(3\) ។
ចំនួន \(3^{n+3} - 4^{4n+2}\) ចែកដាច់នឹង \(11\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

គេមានស៊ីត \((a_n)\) ដែល \(n\) ជាចំនួនគត់កំណត់ដោយ \(a_{n+1} = \sqrt{a_n + 2}\) និង \(a_0 = 0\) ។ បង្ហាញតាមវិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យាថា

ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ \(n\), \(a_n \le 2\) ។
ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ \(n\), \(a_n \le a_{n+1}\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

បង្ហាញតាមវិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យាថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(n\) \((1 + x)^n \ge 1 + nx + \dfrac{n(n - 1)}{2}x^2\) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(x \ge 0\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទទ្វេធា ចូរពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម ៖

\((3x - 1)^4\)
\((2x + y)^6\)
\((a + b)^6\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

សរសេរពន្លាតកន្សោមខាងក្រោមដោយប្រើ \(\Sigma\) ៖

\((x - y)^5\)
\((2x + y)^6\)
\((a + b)^{12}\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៦ វិចារអនុមានរួមគណិតវិទ្យា (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត