KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀនទី ៤
៤
ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ · ជំពូកទី ១ ស៊ីតនិងអនុមានរួមគណិតវិទ្យា · មេរៀនទី ៤ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

ផលបូកតួនៃស៊ីតផ្សេងៗ

ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រទំព័រ ២៤–៣៥▶ ស្លាយបង្រៀន
វត្ថុបំណង

  1. គណនាផលបូកតួនៃស៊ីត

  2. ចេះប្រើនិមិត្តសញ្ញា \(\Sigma\) សម្រាប់ផលបូកនៃស៊ីត

  3. កំណត់តួទី \(n\) តាមផលសងស៊ីតលំដាប់ \(1\) និងលំដាប់ \(2\) ។

របៀបគណនាផលបូក

ចំពោះស៊ីតផ្សេងៗ គេពុំអាចប្រើរូបមន្តផលបូកនៃស៊ីតនព្វន្ត ឬស៊ីតធរណីមាត្រមកគណនាផលបូកវាបានឡើយ ក្នុងករណីនេះត្រូវប្រើវិធីផ្សេងៗទៅតាមទម្រង់នៃស៊ីត ។

ឧទាហរណ៍ ១

ចំពោះផលបូក \(S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2\) ។

គេអាចគណនាផលបូកនេះដោយប្រើសមភាព \((k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1\) ដោយឱ្យ \(k\) យកតម្លៃពី \(1\) ដល់ \(n\)

\[\begin{aligned} 2^3 - 1^3 &= 3 \times 1^2 + 3 \times 1 + 1\\ 3^3 - 2^3 &= 3 \times 2^2 + 3 \times 2 + 1\\ 4^3 - 3^3 &= 3 \times 3^2 + 3 \times 3 + 1\\ &\ \,\vdots\\ n^3 - (n-1)^3 &= 3 \times (n-1)^2 + 3 \times (n-1) + 1 &\quad{} (1)\\ (n+1)^3 - n^3 &= 3 \times n^2 + 3 \times n + 1 &\quad{} (2) \end{aligned}\]
បូកអង្គនិងអង្គនៃសមីការ \((1)\) និង \((2)\) គេបាន
\[\begin{aligned} (n+1)^3 - 1^3 &= 3 \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)\\ &\quad{} + 3 \times (1 + 2 + 3 + \ldots + n)\\ &\quad{} + (1 + 1 + 1 + \ldots + 1)\\ &= 3 \times S + 3 \times \frac{n(n+1)}{2} + n \text{ ។} \end{aligned}\]
គណនា \(S\) គេបាន \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

ចំពោះផលបូក \(S = \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \dfrac{1}{n \cdot (n+1)}\) ។

គេអាចគណនាផលបូកនេះដោយប្រើសមភាព \(\dfrac{1}{k \cdot (k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\) ដោយឱ្យ \(k\) យកតម្លៃពី \(1\) ដល់ \(n\)

\[\begin{aligned} \frac{1}{1 \cdot 2} &= \frac{1}{1} - \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2 \cdot 3} &= \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3 \cdot 4} &= \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\\ &\ \,\vdots\\ \frac{1}{(n-1) \cdot n} &= \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\\ \frac{1}{n \cdot (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \end{aligned}\]
បូកអង្គនិងអង្គនៃសមីការ គេបាន \(S = 1 - \dfrac{1}{n+1}\) ។

ដូច្នេះ \(\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \dfrac{1}{n \cdot (n+1)} = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}\) ។

លំហាត់គំរូ

គណនាផលបូក \(S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេអាចគណនាផលបូកនេះដោយប្រើសមភាព \((k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1\) ដោយឱ្យ \(k\) យកតម្លៃពី \(1\) ដល់ \(n\)

\[\begin{aligned} 2^4 - 1^4 &= 4 \times 1^3 + 6 \times 1^2 + 4 \times 1 + 1\\ 3^4 - 2^4 &= 4 \times 2^3 + 6 \times 2^2 + 4 \times 2 + 1\\ 4^4 - 3^4 &= 4 \times 3^3 + 6 \times 3^2 + 4 \times 3 + 1\\ &\ \,\vdots\\ n^4 - (n-1)^4 &= 4 \times (n-1)^3 + 6 \times (n-1)^2\\ &\quad{} + 4 \times (n-1) + 1\\ (n+1)^4 - n^4 &= 4 \times n^3 + 6 \times n^2 + 4 \times n + 1 \end{aligned}\]
បូកអង្គនិងអង្គនៃសមីការ គេបាន
\[\begin{aligned} (n+1)^4 - 1^4 &= 4 \times (1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3)\\ &\quad{} + 6 \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)\\ &\quad{} + 4 \times (1 + 2 + 3 + \ldots + n) + (1 + 1 + 1 + \ldots + 1)\\ &= 4S\\ &\quad{} + 6 \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)\\ &\quad{} + 4 \times (1 + 2 + 3 + \ldots + n)\\ &\quad{} + (1 + 1 + 1 + \ldots + 1) \end{aligned}\]
គណនា \(S\) គេបាន \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4} = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. គណនា \(S = 12^3 + 13^3 + 14^3 + \ldots + 50^3\) ។

  2. គណនា \(S = \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \ldots + \dfrac{1}{n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(S = 1621269\)

  2. \(S = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right)\) ។

គណនាផលបូកតាមលំនាំគំរូ

ចំពោះស៊ីតដែលមានតួជាចំនួនគត់ គេអាចគណនាផលបូកវាតាមការសង្កេតលំនាំគំរូ ។

ឧទាហរណ៍

\[\begin{aligned} 1 &= 1 = 1^2\\ 1 + 3 &= 4 = 2^2\\ 1 + 3 + 5 &= 9 = 3^2\\ 1 + 3 + 5 + 7 &= 16 = 4^2 \end{aligned}\]

ដូច្នេះ \(1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2\) ។

លំហាត់គំរូ

គណនាផលបូក \(n\) តួនៃចំនួនគូ \(S = 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{aligned} 2 &= 2 = 1 \times 2\\ 2 + 4 &= 6 = 2 \times 3\\ 2 + 4 + 6 &= 12 = 3 \times 4\\ 2 + 4 + 6 + 8 &= 20 = 4 \times 5 \end{aligned}\]

ដូច្នេះ \(2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = n \cdot (n + 1)\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យលំនាំគំរូនៃស៊ីតខាងក្រោម ៖

\[\begin{aligned} 1 &= 1\\ 1 + 7 &= 8\\ 1 + 7 + 19 &= 27\\ 1 + 7 + 19 + 37 &= 64\\ 1 + 7 + 19 + 37 + 61 &= 125 \end{aligned}\]
គណនាផលបូកនៃស៊ីតនេះដែលមាន \(10\) តួ ។

មើលចម្លើយ

\(S = 1000\) ។

និមិត្តសញ្ញា \(\Sigma\) សម្រាប់ផលបូកនៃស៊ីត

សញ្ញាណ \(\Sigma\)

ក្នុងការសរសេរផលបូកតួនៃស៊ីត \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\) គេប្រើនិមិត្តសញ្ញា \(\Sigma\) អានថា ស៊ិចម៉ា សម្រាប់តាងផលបូក \(n\) តួនៃស៊ីត ។ គេកំណត់សរសេរ

\[\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \text{ ។}\]
ក្នុងនោះ \(k\) យកតម្លៃពី \(1, 2, 3, \ldots\) រហូតដល់ \(n\) ។

ឧទាហរណ៍

\[\begin{gathered} 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \text{ ។}\\ \begin{aligned} 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 &= \sum_{k=1}^{n} k^2\\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \text{ ។} \end{aligned} \end{gathered}\]

លំហាត់គំរូ ១

សរសេរផលបូកខាងក្រោមដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា \(\Sigma\) ៖

  1. \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3\)

  2. \(2 + 4 + 6 + 8 + \ldots + 100\)

  3. \(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{50}\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\) ។

  2. \(2 + 4 + 6 + 8 + \ldots + 100 = 2 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 + \ldots + 2 \times 50\)
    ផលបូកស៊ីតនេះមានតួទូទៅ \(2n\) ហើយ \(n\) យកតម្លៃពី \(1\) ដល់ \(50\) ។ គេបាន \(2 + 4 + 6 + 8 + \ldots + 100 = \displaystyle\sum_{n=1}^{50} 2n\) ។

  3. \(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{50}\) ផលបូកស៊ីតនេះមានតួទូទៅនៃស៊ីត \(\dfrac{(-1)^n}{n}\) ចំពោះ \(n\) យកតម្លៃពី \(2\) ដល់ \(50\) ។
    គេបាន \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} + \ldots + \dfrac{1}{50} = \displaystyle\sum_{n=2}^{50} \frac{(-1)^n}{n}\) ។

លំហាត់គំរូ ២

សរសេរគ្រប់តួទាំងអស់នៃផលបូកដោយមិនប្រើនិមិត្តសញ្ញា \(\Sigma\)

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} 2\)

  2. \(\displaystyle\sum_{n=2}^{5} (2n + 1)\)

  3. \(\displaystyle\sum_{j=1}^{5} j(j+1)\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2\) ។

  2. \(\displaystyle\sum_{n=2}^{5} (2n + 1) = 5 + 7 + 9 + 11\) ។

  3. \(\displaystyle\sum_{j=1}^{5} j(j+1) = 2 + 6 + 12 + 20 + 30\) ។

ប្រតិបត្តិ

សរសេរផលបូកខាងក្រោមដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា \(\Sigma\) ៖

  1. \(2 + 5 + 8 + \ldots + (3n - 1)\)

  2. \(3 + 6 + 12 + \ldots + 3(2)^{n-1}\)

  3. \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{100}\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (3k - 1)\)

  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 3 \times 2^{k-1}\)

  3. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k}\) ។

លក្ខណៈនៃស៊ិចម៉ា

លក្ខណៈ

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c = nc\)

  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k\)

  3. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k\)

  4. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (a_k - b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n} b_k\)

  5. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k)^2 = \sum_{k=1}^{n} a_k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} a_k b_k + \sum_{k=1}^{n} b_k^2\) ។

សម្រាយបញ្ជាក់

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c = c + c + c + \ldots + c = nc\) ។

  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c a_k = c a_1 + c a_2 + c a_3 + \ldots + c a_n = c(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n) = c \sum_{k=1}^{n} a_k\) ។

  3. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + \ldots + (a_n + b_n) = (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) + (b_1 + b_2 + \ldots + b_n) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k\) ។

  4. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (a_k - b_k) = (a_1 - b_1) + (a_2 - b_2) + \ldots + (a_n - b_n) = (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) - (b_1 + b_2 + \ldots + b_n) = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n} b_k\) ។

  5. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k)^2 = \sum_{k=1}^{n} (a_k^2 + 2a_k b_k + b_k^2) = \sum_{k=1}^{n} a_k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} a_k b_k + \sum_{k=1}^{n} b_k^2\) ។

លំហាត់គំរូ

គណនា ក. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{15} (4k + 3)\) ខ. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} (k + 3)k\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{15} (4k + 3) &= \sum_{k=1}^{15} 4k\\ &\quad{} + \sum_{k=1}^{15} 3\\ &= 4\sum_{k=1}^{15} k\\ &\quad{} + \sum_{k=1}^{15} 3\\ &= 4(1 + 2 + 3 + \ldots + 15)\\ &\quad{} + 15 \times 3\\ &= 4 \times \frac{(1 + 15) \times 15}{2} + 45\\ &= 2 \times 16 \times 15 + 45 = 525 \text{ ។} \end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{20} (k + 3)k &= \sum_{k=1}^{20} (k^2 + 3k)\\ &= \sum_{k=1}^{20} k^2\\ &\quad{} + 3\sum_{k=1}^{20} k\\ &= \frac{20 \times 21 \times 41}{6} + 3\,\frac{21 \times 20}{2}\\ &= 10 \times 7 \times 41 + 3 \times 21 \times 10\\ &= 2870 + 630 = 3500 \text{ ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

គណនា

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} (3k + 1)\)

  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{7} 2^k\)

  3. \(\displaystyle\sum_{k=4}^{14} (4k - 3)\)

  4. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (3 + k)^2\)

  5. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{30} k(k+1)\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} (3k + 1) = 650\)

  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{7} 2^k = 254\)

  3. \(\displaystyle\sum_{k=4}^{14} (4k - 3) = 363\)

  4. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (3 + k)^2 = \frac{n}{6}(2n^2 + 21n + 73)\)

  5. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{30} k(k+1) = 9920\) ។

របៀបកំណត់តួទី \(n\) តាមផលសងតួនៃស៊ីត

គេអាចកំណត់តួទី \(n\) របស់ស៊ីត \((a_n)\) ដែលពុំមែនជាស៊ីតនព្វន្ត ឬជាស៊ីតធរណីមាត្រតាមរបៀបដូចខាងក្រោម ៖

ផលសងតួលំដាប់ទី ១ នៃស៊ីត

ឧទាហរណ៍ ១

កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(1, 3, 7, 13, 21, 31, \ldots\) ។

គេសង្កេតឃើញថាស៊ីតនេះមិនមែនជាស៊ីតនព្វន្ត ហើយក៏មិនមែនជាស៊ីតធរណីមាត្រ ។ នោះគេត្រូវធ្វើផលសងនៃតួបន្តបន្ទាប់គ្នានៃស៊ីត \(1, 3, 7, 13, 21, 31, \ldots\) ។ គេបានលំនាំគំរូដូចជា

\(n\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\ldots\)
ស៊ីត \((a_n)\) \(1\) \(3\) \(7\) \(13\) \(21\) \(31\ldots\)
ផលសងតួលំដាប់ទី ១ នៃស៊ីត \(2\) \(4\) \(6\) \(8\) \(10\ldots\)

ផលសងតួនៃស៊ីតអាចជួយឱ្យគេរកលំនាំគំរូ ដែលអាចកំណត់តួទូទៅនៃស៊ីតបានដូចជា

\[\begin{aligned} a_2 - a_1 &= 3 - 1 = 2 \times 1\\ a_3 - a_2 &= 7 - 3 = 4 = 2 \times 2\\ a_4 - a_3 &= 13 - 7 = 6 = 2 \times 3\\ &\ \,\vdots\\ a_{n-1} - a_{n-2} &= 2 \times (n - 2)\\ a_n - a_{n-1} &= 2 \times (n - 1) \end{aligned}\]
បូកអង្គនិងអង្គទាំងអស់ គេបាន
\[\begin{aligned} a_n - a_1 = a_n - 1 &= 2 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 + \ldots\\ &\quad{} + 2 \times (n - 2) + 2 \times (n - 1)\\ a_n &= 2 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 + \ldots\\ &\quad{} + 2 \times (n - 2) + 2 \times (n - 1)\\ &\quad{} + 1\\ &= 2 \times [1 + 2 + 3 + \ldots + (n - 2) + (n - 1)]\\ &\quad{} + 1\\ &= 2 \times \frac{[1 + (n - 1)](n - 1)}{2}\\ &\quad{} + 1\\ &= n(n - 1) + 1 = n^2 - n + 1 \end{aligned}\]
ដូច្នេះតួទី \(n\) នៃស៊ីត \(1, 3, 7, 13, 21, 31, \ldots\) កំណត់ដោយ \(a_n = n^2 - n + 1\) ។

ជាទូទៅ

គេមានស៊ីត \((a_n)\) ៖ \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\) ហើយ \(b_1 = a_2 - a_1\), \(b_2 = a_3 - a_2\), \(b_3 = a_4 - a_3\), \(\ldots\), \(b_{n-1} = a_n - a_{n-1}\) ។

ស៊ីត \((b_n)\) ៖ \(b_1, b_2, b_3, \ldots, b_{n-1}\) ហៅថាផលសងតួលំដាប់ទី \(1\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

បង្ហាញថា \(a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k\) ចំពោះ \(n \ge 2\) ។

\[\begin{cases} a_2 - a_1 = b_1\\ a_3 - a_2 = b_2\\ a_4 - a_3 = b_3\\ \quad{}\vdots\\ a_{n-1} - a_{n-2} = b_{n-2}\\ a_n - a_{n-1} = b_{n-1} \end{cases}\]
បូកអង្គនិងអង្គ គេបាន \(a_n - a_1 = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_{n-1}\) ។

ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន \(a_n = a_1 + (b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_{n-1}) = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k\) ។

ចំពោះ \(n = 1\) គេបាន \(b_{n-1} = b_0\) មិនមាន ។ ដូច្នេះ \(a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k\) ចំពោះ \(n \ge 2\) ។

ជាទូទៅ

គេមានស៊ីត \((a_n)\) និងស៊ីត \((b_n)\) ដែលកំណត់ដោយ \(b_n = a_{n+1} - a_n\), \(n = 1, 2, 3, \ldots\) តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) កំណត់ដោយ \(a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k\) ចំពោះ \(n \ge 2\) ។

លំហាត់គំរូ ១

កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(2, 4, 8, 14, 22, 32, \ldots\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(a_n\) ជាតួទី \(n\) នៃស៊ីតដែលគេឱ្យ ។ ស៊ីត \((b_n)\) ជាផលសងតួលំដាប់ទី \(1\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ដែលមានតួ \(b_n\) កំណត់ដោយ \(b_n = a_{n+1} - a_n\) ។

ស៊ីត \((b_n)\) ៖ \(2, 4, 6, 8, \ldots\) ។ ស៊ីត \((b_n)\) ជាស៊ីតនព្វន្តដែលមានតួទី \(1\) ស្មើនឹង \(2\) និងផលសងរួមស្មើនឹង \(2\) នោះ \(b_n = 2 + 2(n - 1) = 2n\) ។

ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន

\[\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k\\ &= 2 + 2 \cdot \frac{1}{2}n(n - 1) = 2 + n^2 - n = n^2 - n + 2 \end{aligned}\]
នោះ \(a_n = n^2 - n + 2\) ។ ចំពោះ \(n = 1\), \(a_1 = 1^2 - 1 + 2 = 2\) ពិត ។

ដូច្នេះស៊ីត \((a_n)\) មានតួទី \(n\) កំណត់ដោយ \(a_n = n^2 - n + 2\) ។

លំហាត់គំរូ ២

  1. កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(1, 2, 5, 10, 17, \ldots\) ។

  2. គណនាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតនេះ ។

ដំណោះស្រាយ

  1. កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ៖ \(1, 2, 5, 10, 17, \ldots\) ។ តាង \(a_n\) ជាតួទី \(n\) នៃស៊ីតដែលគេឱ្យ \((a_n)\) ។ ស៊ីត \((b_n)\) ជាផលសងតួលំដាប់ទី \(1\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ដែលមានតួ \(b_n\) កំណត់ដោយ \(b_n = a_{n+1} - a_n\) ។

    ស៊ីត \((b_n)\) ៖ \(1, 3, 5, 7, \ldots\) ។ ស៊ីត \((b_n)\) ជាស៊ីតនព្វន្តដែលមានតួទី \(1\) ស្មើនឹង \(1\) និងផលសងរួមស្មើនឹង \(2\) នោះ \(b_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1\) ។

    ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន

    \[\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k\\ &= 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1)\\ &= 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - (n - 1)\\ &= 1 + 2 \cdot \frac{1}{2}n(n - 1) - (n - 1)\\ &= 1 + n^2 - n - n + 1 = 2 - 2n + n^2 \end{aligned}\]
    នោះ \(a_n = 2 - 2n + n^2\) ។ ចំពោះ \(n = 1\) គេបាន \(a_1 = 2 - 2 + 1 = 1\) ពិត ។ ដូច្នេះ \(a_n = 2 - 2n + n^2\) ។

  2. គណនាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីត \((a_n)\) ។ តាង \(S_n\) ជាផលបូកនៃស៊ីត \((a_n)\) គឺ

    \[\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n = \sum_{k=1}^{n} (2 - 2k + k^2)\\ &= 2n - 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} k^2\\ &= 2n - 2 \cdot \frac{1}{2}n(n + 1)\\ &\quad{} + \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)\\ &= \frac{12n}{6} - \frac{6}{6}n(n + 1)\\ &\quad{} + \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)\\ &= \frac{1}{6}n(12 - 6n - 6 + 2n^2 + n + 2n + 1)\\ &= \frac{1}{6}n(7 - 3n + 2n^2) \end{aligned}\]
    ដូច្នេះ \(S_n = \dfrac{1}{6}n(2n^2 - 3n + 7)\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. ក. កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(4, 5, 7, 10, 14, \ldots\) ។
    ខ. គណនាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតនេះ ។

  2. ក. កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(3, 5, 8, 12, 17, 23, \ldots\) ។
    ខ. គណនាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតនេះ ។

មើលចម្លើយ

  1. ក. \(a_n = 4 - \dfrac{n}{2} + \dfrac{n^2}{2}\) ខ. \(S_n = \dfrac{n(23 + n^2)}{6}\) ។

  2. ក. \(a_n = 3 + \dfrac{(n - 1)(n + 2)}{2}\) ខ. \(S_n = \dfrac{n}{6}(n^2 + 3n + 14)\) ។

ផលសងតួលំដាប់ទី ២ នៃស៊ីត

បើសិនជាស៊ីត \((b_n)\) នៅតែមិនអាចកំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) បានទៀត នោះគេត្រូវធ្វើផលសងលំដាប់តួនៃស៊ីត \((b_n)\) បន្តទៀត ដែលគេហៅថា ផលសងតួលំដាប់ទី \(2\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ។

ឧទាហរណ៍

កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ៖ \(1, 2, 6, 15, 31, 56, \ldots\) ។

របៀបទី ១

\(n\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\ldots\)
ស៊ីត \((a_n)\) \(1\) \(2\) \(6\) \(15\) \(31\) \(56\ldots\)
ផលសងតួលំដាប់ទី ១ \(1\) \(4\) \(9\) \(16\) \(25\ldots\)

តាង \(a_n\) ជាតួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ។ ស៊ីត \((b_n)\) ជាផលសងតួលំដាប់ទី \(1\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ៖ \(1, 4, 9, 16, 25, \ldots\) នោះ \(b_n = n^2\) ។

ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន \(a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 1 + \frac{1}{6}(2n - 1)(n - 1)n\) នោះ \(a_n = \dfrac{1}{6}(2n - 1)(n - 1)n + 1\) ។

ចំពោះ \(n = 1\), \(a_1 = 1\) ពិត ។ ដូច្នេះ \(a_n = \dfrac{1}{6}(2n - 1)(n - 1)n + 1\) ។

របៀបទី ២

\(n\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\ldots\)
ស៊ីត \((a_n)\) \(1\) \(2\) \(6\) \(15\) \(31\) \(56\ldots\)
ផលសងតួលំដាប់ទី ១ \(1\) \(4\) \(9\) \(16\) \(25\ldots\)
ផលសងតួលំដាប់ទី ២ \(3\) \(5\) \(7\) \(9\ldots\)

តាង \(a_n\) ជាតួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ។ ស៊ីត \((b_n)\) ជាផលសងតួលំដាប់ទី \(1\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ដែលមានតួទី \(n\) នៃស៊ីតគឺ \(b_n = a_{n+1} - a_n\) ។

តាង \(c_n\) ជាផលសងតួនៃស៊ីត \((b_n)\) ហៅថា ផលសងតួលំដាប់ទី \(2\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ។ គេបានស៊ីត \((c_n)\) ៖ \(3, 5, 7, 9, \ldots\) ។ ស៊ីត \((c_n)\) ជាស៊ីតនព្វន្តដែលមានតួទី \(1\) ស្មើនឹង \(3\) និងផលសងរួមស្មើនឹង \(2\) និង \(c_n = 3 + 2(n - 1) = 2n + 1\) ។

ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន

\[\begin{aligned} b_n &= b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k\\ &= b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)\\ &= 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + (n - 1) = n + 2 \cdot \frac{1}{2}(n - 1)n\\ &= n^2 \end{aligned}\]
នោះ \(b_n = n^2\) ។ ចំពោះ \(n = 1\), \(b_1 = 1\) ពិត ។ ដូច្នេះ \(b_n = n^2\) ។

ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន \(a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 1 + \frac{1}{6}(2n - 1)(n - 1)n\) នោះ \(a_n = \dfrac{1}{6}(2n - 1)(n - 1)n + 1\) ។

ចំពោះ \(n = 1\), \(a_1 = 1\) ពិត ។ ដូច្នេះ \(a_n = \dfrac{1}{6}(2n - 1)(n - 1)n + 1\) ។

ជាទូទៅ

គេមានស៊ីត \((a_n)\) ។ ស៊ីត \((b_n)\) កំណត់ដោយ \(b_n = a_{n+1} - a_n\), \(n = 1, 2, 3, \ldots\) ហៅថាផលសងតួលំដាប់ទី \(1\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ដែលមានតួទី \(n\) កំណត់ដោយ \(a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k\) ចំពោះ \(n \ge 2\) ។

ស៊ីត \((c_n)\) ជាផលសងតួលំដាប់ទី \(2\) នៃស៊ីត \((a_n)\) គឺជាផលសងតួលំដាប់ទី \(1\) នៃស៊ីត \((b_n)\) កំណត់ដោយ \(c_n = b_{n+1} - b_n\), \(n = 1, 2, 3, \ldots\) ដែលមានតួទី \(n\) នៃស៊ីត \((b_n)\) កំណត់ដោយ \(b_n = b_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} c_k\) ចំពោះ \(n \ge 2\) ។

លំហាត់គំរូ

  1. កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(4, 18, 48, 100, 180, 294, \ldots\) ។

  2. គណនាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតនេះ ។

ដំណោះស្រាយ

  1. កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(4, 18, 48, 100, 180, 294, \ldots\) ។ តាង \(a_n\) ជាតួទី \(n\) នៃស៊ីតដែលគេឱ្យ \((a_n)\) ។

    ស៊ីត \((b_n)\) ជាផលសងតួលំដាប់ទី \(1\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ដែលមានតួ \(b_n\) នៃស៊ីតកំណត់ដោយ \(b_n = a_{n+1} - a_n\) ។ ស៊ីត \((b_n)\) ៖ \(14, 30, 52, 80, 114, \ldots\) ។

    ស៊ីត \((c_n)\) ជាផលសងតួលំដាប់ទី \(1\) នៃស៊ីត \((b_n)\) ដែលមានតួ \(c_n\) ជាតួទី \(n\) នៃស៊ីត កំណត់ដោយ \(c_n = b_{n+1} - b_n\) ។ គេបានស៊ីត \((c_n)\) ៖ \(16, 22, 28, 34, \ldots\) ។

    ស៊ីត \((c_n)\) ជាស៊ីតនព្វន្តដែលមានតួទី \(1\) ស្មើនឹង \(16\) និងផលសងរួមស្មើនឹង \(6\) ៖ \(c_n = 16 + 6(n - 1) = 16 + 6n - 6 = 6n + 10\) ។

    ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន

    \[\begin{aligned} b_n &= b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k\\ &= 14 + \sum_{k=1}^{n-1} (6k + 10)\\ &= 14 + 6\sum_{k=1}^{n-1} k + 10(n - 1)\\ &= 14 + 6 \cdot \frac{1}{2}n(n - 1) + 10(n - 1) = 3n^2 + 7n + 4 \text{ ។} \end{aligned}\]
    ចំពោះ \(n = 1\) គេបាន \(b_1 = 4 + 7 + 3 = 14\) ពិត ។ ដូច្នេះ \(b_n = 3n^2 + 7n + 4\) ។

    ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន

    \[\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k\\ &= 4 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k^2 + 7k + 4)\\ &= 4 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 7\sum_{k=1}^{n-1} k\\ &\quad{} + 4(n - 1)\\ &= 4 + 3 \cdot \frac{1}{6}n(n - 1)(2n - 1)\\ &\quad{} + 7 \cdot \frac{1}{2}(n - 1)n + 4n - 4\\ &= \frac{1}{2}(n - 1)(7n + 2n^2 - n) + 4n\\ &= (n - 1)(3n + n^2) + 4n\\ &= n^3 + 2n^2 + n \text{ ។} \end{aligned}\]
    ដូច្នេះ \(a_n = n^3 + 2n^2 + n\) ។

  2. គណនាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីត \((a_n)\) ។ តាង \(S_n\) ជាផលបូកនៃស៊ីត \((a_n)\) គឺ

    \[\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n\\ &= \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 2k^2 + k)\\ &= \sum_{k=1}^{n} k^3 + 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k\\ &= \frac{1}{4}n^2(1 + n)^2\\ &\quad{} + 2 \cdot \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) + \frac{1}{2}n(n + 1)\\ &= \frac{1}{12}n(n + 1)(3n + 3n^2 + 4 + 8n + 6)\\ &= \frac{1}{12}n(n + 1)(3n^2 + 11n + 10) \text{ ។} \end{aligned}\]
    ចំពោះ \(n = 1\), \(a_1 = 1\) ពិត ។ ដូច្នេះ \(S_n = \dfrac{1}{12}n(n + 1)(3n^2 + 11n + 10)\) ។

ប្រតិបត្តិ

កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(1, 2, 5, 12, 27, 58, 121, \ldots\) ។

មើលចម្លើយ

\(a_n = 2^n - n\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព
មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ២៤–៣៥។
ទំព័រ ២៤
ទំព័រ ២៤
ទំព័រ ២៥
ទំព័រ ២៥
ទំព័រ ២៦
ទំព័រ ២៦
ទំព័រ ២៧
ទំព័រ ២៧
ទំព័រ ២៨
ទំព័រ ២៨
ទំព័រ ២៩
ទំព័រ ២៩
ទំព័រ ៣០
ទំព័រ ៣០
ទំព័រ ៣១
ទំព័រ ៣១
ទំព័រ ៣២
ទំព័រ ៣២
ទំព័រ ៣៣
ទំព័រ ៣៣
ទំព័រ ៣៤
ទំព័រ ៣៤
ទំព័រ ៣៥
ទំព័រ ៣៥

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

សរសេរផលបូកខាងក្រោមដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា \(\Sigma\) ៖

  1. \(1 + 2 + 3 + \ldots + 100\)

  2. \(1 + 4 + 9 + 16 + \ldots + 484\)

  3. \(1 + 8 + 27 + 64 + \ldots + 3375\)

  4. \(1 \times 3 + 2 \times 4 + 3 \times 5 + \ldots + 20 \times 22\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

  1. \(1 + 2 + 3 + \ldots + 100 = \displaystyle\sum_{k=1}^{100} k\) (ផលបូកចំនួនគត់រាប់ពី \(1\) ដល់ \(100\))

  2. \(1 + 4 + 9 + 16 + \ldots + 484 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 22^2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{22} k^2\) (ព្រោះ \(484 = 22^2\))

  3. \(1 + 8 + 27 + 64 + \ldots + 3375 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 15^3 = \displaystyle\sum_{k=1}^{15} k^3\) (ព្រោះ \(3375 = 15^3\))

  4. \(1 \times 3 + 2 \times 4 + 3 \times 5 + \ldots + 20 \times 22 = \displaystyle\sum_{k=1}^{20} k(k + 2)\)

២លំហាត់ទី ២

សរសេរគ្រប់តួទាំងអស់នៃផលបូកដោយមិនប្រើនិមិត្តសញ្ញា \(\Sigma\) ៖

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} k\)

  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k^2\)

  3. \(\displaystyle\sum_{k=4}^{9} (3k - 1)\)

  4. \(\displaystyle\sum_{k=2}^{7} (-1)^k k\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\)

  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55\)

  3. \(\displaystyle\sum_{k=4}^{9} (3k - 1) = 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 = 111\)

  4. \(\displaystyle\sum_{k=2}^{7} (-1)^k k = 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 = -3\)

៣លំហាត់ទី ៣

គណនា

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{11} k^2\)

  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{24} k^2\)

  3. \(\displaystyle\sum_{k=12}^{24} k^2\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{11} k^2 = \dfrac{11(12)(23)}{6} = 11 \times 2 \times 23 = 506\)

  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{24} k^2 = \dfrac{24(25)(49)}{6} = 4 \times 25 \times 49 = 4900\)

  3. \(\displaystyle\sum_{k=12}^{24} k^2 = \sum_{k=1}^{24} k^2 - \sum_{k=1}^{11} k^2 = 4900 - 506 = 4394\)

៤លំហាត់ទី ៤

គណនា

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{24} k^3\)

  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{15} k^3\)

  3. \(\displaystyle\sum_{k=16}^{24} k^3\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{24} k^3 = \left[\dfrac{24(25)}{2}\right]^2 = (300)^2 = 90000\)

  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{15} k^3 = \left[\dfrac{15(16)}{2}\right]^2 = (120)^2 = 14400\)

  3. \(\displaystyle\sum_{k=16}^{24} k^3 = \sum_{k=1}^{24} k^3 - \sum_{k=1}^{15} k^3 = 90000 - 14400 = 75600\)

៥លំហាត់ទី ៥

  1. សម្រួលកន្សោម \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)\)

  2. ដោយប្រើចម្លើយ គណនាផលបូក \(1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \ldots + 28 \times 29\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{n(n+1)}{6}(2n + 1 + 3) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\)

  2. គណនា \(1 \times 2 + 2 \times 3 + \ldots + 28 \times 29 = \displaystyle\sum_{k=1}^{28} k(k+1) = \dfrac{28(29)(30)}{3} = 28 \times 29 \times 10 = 8120\)

៦លំហាត់ទី ៦

  1. សម្រួលកន្សោម \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)\)

  2. ដោយប្រើចម្លើយ គណនាផលបូក \(1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \ldots + 20 \times 21 \times 22\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)

    សម្រាយបញ្ជាក់៖ ប្រើរូបមន្ត \(k(k+1)(k+2) = \dfrac{k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)}{4}\)

  2. ជំនួស \(n = 20\) ៖ \(S = \dfrac{20 \times 21 \times 22 \times 23}{4} = 5 \times 21 \times 22 \times 23 = 53130\)

៧លំហាត់ទី ៧

  1. កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(1, 2, 5, 10, 17, \ldots\) ។

  2. គណនាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតនេះ ។

មើលដំណោះស្រាយ

  1. ផលសងលំដាប់ទី ១ ៖ \(b_n = a_{n+1} - a_n\) គឺ \(1, 3, 5, 7, \ldots\) ជាស៊ីតនព្វន្តដែលមាន \(b_1 = 1, d = 2 \Rightarrow b_n = 2n - 1\) ។
    ចំពោះ \(n \ge 2\) ៖ \(a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = 1 + n(n-1) - (n-1) = n^2 - 2n + 2\) ។ (ពិតចំពោះ \(n = 1\))

  2. \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 2k + 2) = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n(n+1) + 2n = \dfrac{n}{6}(2n^2 - 3n + 7)\)

៨លំហាត់ទី ៨

  1. កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(1, 5, 14, 30, 55, 91, \ldots\) ។

  2. គណនាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតនេះ ។

មើលដំណោះស្រាយ

  1. ផលសងលំដាប់ទី ១ ៖ \(4, 9, 16, 25, 36, \ldots\) មានតួទូទៅ \(b_k = (k+1)^2\) ។
    ចំពោះ \(n \ge 2\) ៖ \(a_n = 1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (k+1)^2 = 1 + \left(\sum_{j=1}^{n} j^2 - 1\right) = \sum_{j=1}^{n} j^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ។
    ដូចនេះ \(a_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ។

  2. \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \dfrac{1}{6}\sum_{k=1}^n (2k^3 + 3k^2 + k) = \dfrac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\)

៩លំហាត់ទី ៩

កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ៖ \(p, q, p, q, p, q, \ldots\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ស៊ីតនេះមានតម្លៃឆ្លាស់គ្នារវាង \(p\) (កាលណា \(n\) សេស) និង \(q\) (កាលណា \(n\) គូ) ៖

\[a_n = \frac{p + q}{2} + \frac{p - q}{2}(-1)^{n-1} \quad\text{ឬ}\quad a_n = \begin{cases} p & \text{បើ } n \text{ ជាចំនួនសេស}\\ q & \text{បើ } n \text{ ជាចំនួនគូ} \end{cases}\]

ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ ចំពោះ \(n = 1 \Rightarrow a_1 = \dfrac{p+q}{2} + \dfrac{p-q}{2} = p\), ចំពោះ \(n = 2 \Rightarrow a_2 = \dfrac{p+q}{2} - \dfrac{p-q}{2} = q\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៤ ផលបូកតួនៃស៊ីតផ្សេងៗ (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត