មេរៀនទី ១ : ស៊ីតចំនួនពិត — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

វត្ថុបំណង

បង្ហាញសញ្ញាណស៊ីតចំនួនពិត ស៊ីតរាប់អស់ និងស៊ីតអនន្តតួ
សរសេរតួនៃស៊ីតនិងកំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត
បង្ហាញថាស៊ីតមួយជាស៊ីតកើនឬស៊ីតចុះ
បង្ហាញស៊ីតម៉ូណូតូន ។

សញ្ញាណស៊ីត

ឧទាហរណ៍ ១

គេមានចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\) ។
គេមានចំនួនគត់គូ \(2, 4, 6, 8, 10, \ldots\) ។
គេមានចំនួនគត់សេសតូចជាង \(16\) គឺ \(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\) ។
គេមានចំនួនសនិទាន \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}\) ។

ចំនួនដែលរៀបតាមលំដាប់នេះហៅថា ស៊ីតនៃចំនួនពិត ។ ស៊ីតនៃចំនួនពិត \(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\) ហៅថា ស៊ីតអនន្តតួ ។ ស៊ីតអនន្តតួ គឺជាស៊ីតដែលមានចំនួនតួច្រើនរាប់មិនអស់ ។

ម្យ៉ាងទៀត ស៊ីតនៃចំនួនពិត \(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\) និងស៊ីតនៃចំនួនសនិទាន \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}\) ហៅថា ស៊ីតរាប់អស់ ។ ស៊ីតរាប់អស់គឺជាស៊ីតដែលគេរាប់ចំនួនតួបាន ។ ក្នុងស៊ីតរាប់អស់គេអាចស្គាល់ចំនួនតួនិងតួចុងក្រោយនៃស៊ីត ។

ឧទាហរណ៍ ២

គេមានអនុគមន៍ \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}\), \(n \mapsto f(n) = 2n + 1\) គេសង្កេតឃើញថា

\[\begin{aligned} &\text{បើ } n = 1 \text{ នោះ } f(1) = 2 \times 1 + 1 = 3\\ &\text{បើ } n = 2 \text{ នោះ } f(2) = 2 \times 2 + 1 = 5\\ &\text{បើ } n = 3 \text{ នោះ } f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7\\ &\text{បើ } n = 4 \text{ នោះ } f(4) = 2 \times 4 + 1 = 9\\ &\ldots\ldots \end{aligned}\]

គេបានចំនួនរៀបតាមលំដាប់ \(3, 5, 7, 9, \ldots\) បង្កើតបានជាស៊ីតនៃចំនួនពិត ។ ចំនួននីមួយៗនៃស៊ីតហៅថា តួ ។ ចំនួន \(3\) ហៅថាតួទី \(1\), \(5\) តួទី \(2\), \(7\) តួទី \(3\) …រៀងគ្នា ។

និយមន័យ

ស៊ីតចំនួនពិតគឺជាអនុគមន៍លេខដែលកំណត់ពី \(\mathbb{N}\) ទៅ \(\mathbb{R}\) ។

ជាទូទៅគេប្រើអក្សរ \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\) សម្រាប់តាងឱ្យតួនៃស៊ីតដែល \(a_1\) ជាតួទី \(1\), \(a_2\) ជាតួទី \(2\), \(\ldots\), \(a_n\) ជាតួទី \(n\) ។

គេតាងស៊ីតនោះដោយនិមិត្តសញ្ញា \((a_n)\) ដែល \(n \in \mathbb{N}\), \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\) ។

លំហាត់គំរូ ១

បំពេញតួនៃស៊ីតខាងក្រោមនេះឱ្យបានបីតួទៀត

\(1, 5, 9, \ldots\)
\(1, 8, 27, \ldots\)

ដំណោះស្រាយ

\(1, 5, 9, 13, 17, 21\)
\(1, 8, 27, 64, 125, 216\) ។

លំហាត់គំរូ ២

សរសេរគ្រប់តួនៃស៊ីតរាប់អស់ \(a_n = \dfrac{(-1)^{n+1}}{n+1}\), \(1 \le n \le 5\) ។

ដំណោះស្រាយ

ជំនួសចំនួនគត់ធម្មជាតិពី \(1\) ដល់ \(5\) ក្នុង \(a_n\) ។ គេបាន

\[\begin{gathered} a_1 = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2},\\ a_2 = \frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3},\\ a_3 = \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4},\\ a_4 = \frac{(-1)^5}{5} = -\frac{1}{5} \end{gathered}\]

\[a_5 = \frac{(-1)^6}{6} = \frac{1}{6}\]

ដូច្នេះប្រាំតួនៃស៊ីតគឺ \(\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{5}, \frac{1}{6}\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យស៊ីត \(3, 8, 15, \ldots\) ។ បន្តសរសេរស៊ីតនេះឱ្យបានបីតួទៀត ។
សរសេរតួនៃស៊ីត \((a_n)\) កំណត់ដោយ \(a_n = \dfrac{1}{n+2}\) ដែល \(1 \le n \le 4\) ។
សរសេរតួនៃស៊ីតតាមលំដាប់តគ្នា \(a_n = 2 + \dfrac{1}{2^n}\) ដែល \(n \in \mathbb{N}\) ។

មើលចម្លើយ

\(24, 35, 48\)
\(\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}\)
\(\frac{5}{2}, \frac{9}{4}, \frac{17}{8}, \ldots, 2 + \frac{1}{2^n}\) ។

តួទី \(n\) នៃស៊ីត

ឧទាហរណ៍ ១

គេឱ្យស៊ីតចំនួនគត់ \(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\) ដែលតួចុងក្រោយរបស់វាតាងដោយ \(n\) ។ ក្នុងករណីគេថា \(a_1 = 1\) ជាតួទី \(1\), \(a_2 = 2\) ជាតួទី \(2\), \(a_3 = 3\) ជាតួទី \(3\), \(\ldots\), \(a_n = n\) ជាតួទី \(n\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

ចំពោះស៊ីតនៃចំនួន \(2, 4, 6, 8, 10, \ldots\) ។ គេឃើញថា

\[\begin{gathered} a_1 = 2 = 2 \times 1, \quad{} a_2 = 4 = 2 \times 2,\\ a_3 = 6 = 2 \times 3,\\ a_4 = 8 = 2 \times 4,\ \ldots,\ a_n = 2 \times n \end{gathered}\]

ដូច្នេះ គេបានតួទី \(n\) នៃស៊ីតគឺ \(a_n = 2 \times n\) ។

តាមឧទាហរណ៍ខាងលើ បើគេស្គាល់តួដំបូង និងតួបន្តបន្ទាប់នៃស៊ីត ដើម្បីសរសេររូបមន្តតួទី \(n\) នៃស៊ីតគេពិនិត្យមើលតួនីមួយៗនៃស៊ីត រួចរកមើលលំនាំគំរូរបស់វា ។ តួនីមួយៗជាអនុគមន៍នៃចំនួនតួ ។ តួទី \(1\) ត្រូវនឹង \(n = 1\) តួទី \(2\) ត្រូវនឹង \(n = 2\), \(\ldots\), តួទី \(n\) ត្រូវនឹង \(n = n\) ។

លំហាត់គំរូ ១

កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(3, 5, 7, 11, \ldots\) ចំពោះគ្រប់ \(n \in \mathbb{N}\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេសង្កេតឃើញថា

\[\begin{aligned} a_1 &= 3 = 2 \times 1 + 1\\ a_2 &= 5 = 2 \times 2 + 1\\ a_3 &= 7 = 2 \times 3 + 1\\ a_4 &= 9 = 2 \times 4 + 1\\ a_5 &= 11 = 2 \times 5 + 1\\ &\ \,\vdots\\ a_n &= 2n + 1 \end{aligned}\]

ដូច្នេះគេបានតួទី \(n\) នៃស៊ីត \(a_n = 2n + 1\) ។

លំហាត់គំរូ ២

បាល់មួយត្រូវបានទម្លាក់ពីកម្ពស់ \(6\text{ m}\) ។ ដោយដឹងថា បាល់នោះធ្លាក់ដល់ដីតែងតែលោតឡើងលើវិញបាន \(\frac{2}{3}\) នៃកម្ពស់ដែលបាល់នោះធ្លាក់ចុះ ។ ចូរកំណត់កម្ពស់ នៃបាល់ជាបន្តបន្ទាប់ដោយសរសេរជាស៊ីតមួយ រួចកំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីតនេះ ។

ដំណោះស្រាយ

លើកដំបូងបាល់ធ្លាក់ពីកម្ពស់ \(6\text{ m}\) ដូចបង្ហាញក្នុងរូប រួចលោតឡើងលើវិញបាន \(\frac{2}{3}\) នៃ \(6\text{ m}\) ឬ \(6\left(\frac{2}{3}\right)\text{ m}\) មានកម្ពស់ \(4\text{ m}\) ។ លើកទី \(2\) បាល់ធ្លាក់ពីកម្ពស់ \(6\left(\frac{2}{3}\right)\text{ m}\) ហើយលោតឡើងលើវិញបាន \(6\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)\) ឬ \(6\left(\frac{2}{3}\right)^2\) ។

ដូច្នេះ កម្ពស់បាល់ជាបន្តបន្ទាប់គឺ

\[6 \times \left(\frac{2}{3}\right)^1,\ 6 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2,\ 6 \times \left(\frac{2}{3}\right)^3,\ 6 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4,\ \ldots\]

ហើយតួទី \(n\) គឺ \(a_n = 6 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\) ។

ប្រតិបត្តិ

កំណត់តួទី \(n\) ចំពោះ គ្រប់ \(n \in \mathbb{N}\) នៃស៊ីតខាងក្រោម ៖

\(-1, 2, 7, 14, 23, \ldots\)
\(\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots\) ។

មើលចម្លើយ

\(a_n = n^2 - 2\)
\(a_n = \dfrac{n+1}{n+2}\) ។

អថេរភាពនៃស៊ីត

ស៊ីតកើន ស៊ីតចុះ

ឧទាហរណ៍ ១

គេឱ្យស៊ីត \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ដែល \(a_n = n\) ។

គេបានតួនៃស៊ីតគឺ \(1, 2, 3, 4, \ldots, n\) ។ តាមលំដាប់តួនៃស៊ីត គេសង្កេតឃើញថា \(1 < 2 < 3 < 4 < 5 < \ldots\) ឬ \(a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n < a_{n+1} < \ldots\) នោះគេបានស៊ីត \((a_n)\) ហៅថាស៊ីតកើនដាច់ខាត ។

ឧទាហរណ៍ ២

គេឱ្យស៊ីត \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ដែលមានតួ \(1, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots\) ឬ \(a_1 \le a_2 \le a_3 \le \ldots \le a_n \le a_{n+1} \le \ldots\) នោះគេបានស៊ីត \((a_n)\) ហៅថាស៊ីតកើន ។

ឧទាហរណ៍ ៣

គេឱ្យស៊ីត \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ដែល \(a_n = \dfrac{1}{n}\) ។

គេបានតួនៃស៊ីតគឺ \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots\) ។ តាមលំដាប់តួនៃស៊ីត គេសង្កេតឃើញថា \(1 > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4} > \frac{1}{5}, \ldots\) ឬ \(a_1 > a_2 > a_3 > \ldots > a_n > a_{n+1} > \ldots\) ឬ \(a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \ldots \ge a_n \ge a_{n+1} \ge \ldots\) នោះគេបានស៊ីត \((a_n)\) ហៅថាស៊ីតចុះ ។

និយមន័យ

ស៊ីត \((a_n)\) ជាស៊ីតកើន លុះត្រាតែចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(n \in \mathbb{N}\), \(a_{n+1} \ge a_n\) ។
ស៊ីត \((a_n)\) ជាស៊ីតចុះ លុះត្រាតែចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(n \in \mathbb{N}\), \(a_{n+1} \le a_n\) ។

លំហាត់គំរូ

បង្ហាញថាស៊ីត \((a_n)\) ដែល \(a_n = 3n + 1\) ជាស៊ីតកើន ។
បង្ហាញថាស៊ីត \((b_n)\) ដែល \(b_n = 12 - 2n\) ជាស៊ីតចុះ ។

ដំណោះស្រាយ

គេមាន \(a_n = 3n + 1\), \(a_{n+1} = 3(n+1) + 1 = 3n + 4\)
នោះគេបាន \(a_{n+1} - a_n = 3n + 4 - (3n + 1) = 3 > 0\) នាំឱ្យ \(a_{n+1} > a_n\) ។
ដូច្នេះ ស៊ីត \((a_n)\) ដែល \(a_n = 3n + 1\) ជាស៊ីតកើន ។
គេមាន \(b_n = 12 - 2n\), \(b_{n+1} = 12 - 2(n+1) = 10 - 2n\)
នោះគេបាន \(b_{n+1} - b_n = 10 - 2n - (12 - 2n) = -2 < 0\) នាំឱ្យ \(b_{n+1} < b_n\) ។
ដូច្នេះ ស៊ីត \((b_n)\) ដែល \(b_n = 12 - 2n\) ជាស៊ីតចុះ ។

ប្រតិបត្តិ

តើស៊ីតខាងក្រោមមួយណាជាស៊ីតកើន មួយណាជាស៊ីតចុះ ។

ស៊ីត \((a_n)_{n \ge 5}\) ដែល \(a_n = \dfrac{3n}{2}\)
ស៊ីត \((a_n)_{n \ge 3}\) ដែល \(a_n = \dfrac{2}{n}\) ។

មើលចម្លើយ

ស៊ីត \((a_n)\) ជាស៊ីតកើន
ស៊ីត \((a_n)\) ជាស៊ីតចុះ ។

ស៊ីតម៉ូណូតូន

ឧទាហរណ៍ ១

គេឱ្យស៊ីត \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ដែល \(a_n = \dfrac{n}{n+1}\) ។

គេបានតួនៃស៊ីតគឺ \(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots\) ។ តាមលំដាប់តួនៃស៊ីត គេសង្កេតឃើញថា \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{4}{5} < \ldots\) ឬ \(a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < \ldots < a_n < a_{n+1} < \ldots\) ។

ដូច្នេះ ស៊ីត \((a_n)\) ជាស៊ីតកើន នោះគេថាស៊ីត \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) នេះជាស៊ីតម៉ូណូតូន ។

ឧទាហរណ៍ ២

គេឱ្យស៊ីត \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ដែល \(a_n = 1 + \dfrac{1}{n}\) ។

គេបានតួនៃស៊ីតគឺ \(2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \ldots\) ។ តាមលំដាប់តួនៃស៊ីត គេសង្កេតឃើញថា \(2 > \frac{3}{2} > \frac{4}{3} > \frac{5}{4} > \ldots\) ឬ \(a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > \ldots > a_n > a_{n+1} > \ldots\) ។

ដូច្នេះ ស៊ីត \((a_n)\) ជាស៊ីតចុះ នោះគេថាស៊ីតនេះជា ស៊ីតម៉ូណូតូន ។

និយមន័យ

ស៊ីត \((a_n)\) ជាស៊ីតម៉ូណូតូន កាលណាស៊ីត \((a_n)\) ជាស៊ីតកើនឬជាស៊ីតចុះ ។

លំហាត់គំរូ

បង្ហាញថាស៊ីត \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ជាស៊ីតម៉ូណូតូន \(a_n = \dfrac{n}{n+1}\) ។

ដំណោះស្រាយ

របៀបទី ១ ៖ គេមាន \(a_n = \dfrac{n}{n+1}\) គេបាន \(a_{n+1} = \dfrac{n+1}{(n+1)+1} = \dfrac{n+1}{n+2}\) ។

ចំពោះ \(\forall n \ge 1\) គេបាន

\[\begin{aligned} a_{n+1} - a_n &= \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)}\\ &= \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0 \end{aligned}\]

នោះ \(a_{n+1} > a_n\) ដូច្នេះ ស៊ីត \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ជាស៊ីតម៉ូណូតូន ។

របៀបទី ២ ៖ ដោយ \(a_n = \dfrac{n}{n+1} > 0\), \(\forall n \in \mathbb{N}\) គេបាន

\[a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2} > 0,\quad{} \forall n \in \mathbb{N}\]

\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{n+1}{n+2}}{\dfrac{n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2} \times \frac{n+1}{n} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 2n} > 1\]

ព្រោះ \(\forall n \ge 1\) ឬ \(n^2 + 2n + 1 > n^2 + 2n\) នោះ \(a_{n+1} > a_n\) ។

ដូច្នេះ ស៊ីត \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ជាស៊ីតម៉ូណូតូន ។

ប្រតិបត្តិ

តើស៊ីតខាងក្រោម ស៊ីតណាជាស៊ីតម៉ូណូតូន ។

\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots\)
\(a_n = \dfrac{2^n}{n}\), \(n \ge 1\)
\(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \ldots, (-1)^{n+1}\frac{1}{n}, \ldots\)

មើលចម្លើយ

\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots\) ជាស៊ីតម៉ូណូតូន
\((a_n)\) ជាស៊ីតម៉ូណូតូន
\(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \ldots, (-1)^{n+1} \times \frac{1}{n}\) មិនមែនជាស៊ីតម៉ូណូតូន ។