មេរៀនទី ១៨ : អនុគមន៍សនិទាននិងអសនិទាន — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

ការវិវត្តនៃអនុគមន៍សនិទាន អសនិទាន និងអាស៊ីមតូត

គំនិតនៃអនុគមន៍សនិទានដែលមានរាងអ៊ីពែបូល ត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងស៊ីជម្រៅដោយអ្នកប្រាជ្ញក្រិកបុរាណ អាប៉ូឡូនីយូស (Apollonius of Perga)។ ចំណែកឯអនុគមន៍អសនិទានដែលទាក់ទងនឹងឫស ត្រូវបានស្គាល់ចាប់តាំងពីសម័យក្រិកបុរាណ ពេលដែលគេរកឃើញថា អង្កត់ទ្រូងនៃការេមួយមានប្រវែងជាចំនួនអសនិទាន ($\sqrt{2}$)។ អនុគមន៍ទាំងនេះមានសារៈសំខាន់យ៉ាងខ្លាំងក្នុងការគណនាច្បាប់រូបវិទ្យាដូចជា ច្បាប់ប៊ូយ (Boyle’s Law) នៃសម្ពាធឧស្ម័ន និងទ្រឹស្ដីអុបទិចនៃកញ្ចក់ឡង់ទី។

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ?

រំលឹកចំណេះដឹងពីមុន៖
១. ប្រភាគពីជគណិត
២. ការគណនាកន្សោមមានរ៉ាឌីកាល់
៣. ការសង់ក្រាបក្នុងប្លង់កូអរដោនេ

អនុគមន៍សនិទាននិងក្រាប

ឧទាហរណ៍

អនុគមន៍ $y = \frac{4}{x}$, $y = \frac{1}{2x + 3}$ និង $y = \frac{3x + 4}{x - 2}$ ដែលមានភាគយក និងភាគបែងជាពហុធាអថេរ $x$ ហៅថា អនុគមន៍សនិទាននៃអថេរ $x$ ។ ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍សនិទានជាសំណុំតម្លៃអថេរដែលធ្វើឱ្យភាគបែងមានតម្លៃខុសពីសូន្យ ។

ឧទាហរណ៍

អនុគមន៍ $y = \frac{4}{x}$ មានដែនកំណត់ $D = \{x | x \neq 0\}$ អនុគមន៍ $y = \frac{1}{2x + 3}$ មានដែនកំណត់ $D = \left\{x | x \neq -\frac{3}{2}\right\}$ អនុគមន៍ $y = \frac{3x + 4}{x - 2}$ មានដែនកំណត់ $D = \{x | x \neq 2\}$ ។

ប្រតិបត្តិ

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $y = \frac{x - 1}{3 - x}$, $y = \frac{3x + 4}{x + 4}$ និង $y = -\frac{2}{x - 1}$ ។

មើលចម្លើយ

$D = \{x | x \neq 3\}$, $D = \{x | x \neq -4\}$, $D = \{x | x \neq 1\}$ ។

ក្រាបនៃ $y = \frac{a}{x}$

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបតាង $y = \frac{1}{x}$ ។ អនុគមន៍ $y = \frac{1}{x}$ មានដែនកំណត់ $\{x | x \neq 0\}$ តារាងតម្លៃលេខ

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$y$	$-\frac{1}{4}$	$-\frac{1}{2}$	$-1$	$-2$	$-4$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

គេដៅចំណុចទាំងនេះរួចភ្ជាប់ គេបានក្រាបដូចខាងក្រោម៖ សិក្សាភាពចុះនិងកើននៃអនុគមន៍ $y = \frac{1}{x}$ ។

គេបាន កំណើនអថេរ $\Delta x = x_2 - x_1$ កំណើនអនុគមន៍ $\Delta f = f(x_2) - f(x_1) = \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{-(x_2 - x_1)}{x_2 x_1}$ ដូច្នេះ គេបាន $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{1}{x_2 x_1}$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ចំពោះគ្រប់ $x_1, x_2$ ដែល $x_1 < x_2 < 0$ គេបាន $\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$ ត្រូវគ្នានឹងក្រាបចុះកាត់តែទាប ។
ចំពោះគ្រប់ $x_1, x_2$ ដែល $0 < x_1 < x_2$ គេបាន $\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$ ត្រូវគ្នានឹងក្រាបចុះកាត់តែទាប ។

នោះ $f$ ជាអនុគមន៍ចុះ ចំពោះ $x < 0$ និង $x > 0$ ។ ក្រាប $y = \frac{1}{x}$ ខិតជិតអ័ក្សអាប់ស៊ីសកាលណា $x$ ខិតជិតអនន្ត ហើយខិតជិតអ័ក្សអរដោនេកាលណា $x$ ខិតជិតសូន្យនោះអ័ក្សអាប់ស៊ីសនិងអ័ក្សអរដោនេហៅថាអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $y = \frac{1}{x}$ ។

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យ $y = \frac{a}{x}$ កំណត់លើ $\{x | x \neq 0\}$ កំណើនអថេរ $\Delta x = x_2 - x_1$ កំណើនអនុគមន៍ $\Delta f = f(x_2) - f(x_1) = \frac{a}{x_2} - \frac{a}{x_1} = \frac{-a(x_2 - x_1)}{x_2 \cdot x_1}$ គេបាន $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{a}{x_2 \cdot x_1}$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ចំពោះ $a > 0$ និង $0 < x_1 < x_2$ ឬ $x_1 < x_2 < 0$ គេបាន $\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$ នោះ $f$ ជាអនុគមន៍ចុះចំពោះ $x < 0$ និង $x > 0$ ។

ចំពោះ $a < 0$ និង $0 < x_1 < x_2$ ឬ $x_1 < x_2 < 0$ គេបាន $\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$ នោះ $f$ ជាអនុគមន៍កើន ចំពោះ $x < 0$ និង $x > 0$ ។

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = \frac{a}{x}$ ដែល $a \neq 0$ ហៅថា "អ៊ីពែបូល" ដែលមានអ័ក្សអាប់ស៊ីសនិងអ័ក្សអរដោនេជាអាស៊ីមតូត ។

១លំហាត់គំរូ ១

សង់ក្រាបអនុគមន៍ $y = \frac{1}{x}$ ហើយរកកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាបនោះ និងបន្ទាត់ $y = x$ ។

ដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាបតាង $y = \frac{1}{x}$ ។ អនុគមន៍ $y = \frac{1}{x}$ មានដែនកំណត់ $\{x | x \neq 0\}$ តារាងតម្លៃលេខ

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$y$	$-\frac{1}{4}$	$-\frac{1}{2}$	$-1$	$-2$	$-4$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

គេដៅចំណុចទាំងនេះរួចភ្ជាប់ គេបានក្រាបដូចខាងស្ដាំបន្ទាត់ $y = x$ កាត់គល់តម្រុយ $O$ និងតាមចំណុច $(1, 1)$ ។ តាមក្រាបគេបានកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វគឺ $(-1, -1)$ និង $(1, 1)$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

១. សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ ក. $y = \frac{2}{x}$ ខ. $y = -\frac{3}{x}$ ។
២. សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \frac{4}{x}$ ហើយរកកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាងខ្សែរាងនិងបន្ទាត់ $y = x$ ។

មើលចម្លើយ

$(-2, -2)$ និង $(2, 2)$ ។

ក្រាបនៃ $y = \frac{a}{x - p} + q$

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \frac{4}{x}$ និង $y = \frac{4}{x - 2} - 1$ រួចទាញសន្និដ្ឋានពីក្រាប ។ អនុគមន៍ $y = \frac{4}{x}$ មានដែនកំណត់ $\{x | x \neq 0\}$ ។ តារាងតម្លៃលេខ

$x$	$-5$	$-3$	$-1$	$1$	$3$	$5$
$y$	$-\frac{4}{5}$	$-\frac{4}{3}$	$-4$	$4$	$\frac{4}{3}$	$\frac{4}{5}$

$y = \frac{4}{x - 2} - 1$ មានដែនកំណត់ $\{x | x \neq 2\}$ តារាងតម្លៃលេខ

$x$	$-6$	$-2$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{2}$	$6$	$10$
$y$	$-\frac{3}{2}$	$-2$	$-9$	$7$	$0$	$-\frac{1}{2}$

គេដៅចំណុចទាំងនេះរួចភ្ជាប់ គេបានក្រាបដូចខាងក្រោម

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងលើ គេអាចសន្និដ្ឋានបានថាក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \frac{4}{x - 2} - 1$ បានដោយរំកិលក្រាបតាង $y = \frac{4}{x}$ ចំនួន $2$ ឯកតាស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស និង $-1$ ឯកតាស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ ។

ជាទូទៅ

ក្រាបតាង $y = \frac{a}{x - p} + q$ គឺជាអ៊ីពែបូលដែលបានមកដោយរំកិលក្រាបតាង $y = \frac{a}{x}$ ចំនួន $p$ ឯកតាស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងចំនួន $q$ ឯកតាស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ ។

អ៊ីពែបូលនេះមានអាស៊ីមតូតឈរ និងដេកដែលមានសមីការរៀងគ្នា $x = p$ និង $y = q$ ។

ប្រតិបត្តិ

១. សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ ៖

ក. $y = -\dfrac{2}{x}$	ខ. $y = -\dfrac{2}{x} + 5$
គ. $y = -\dfrac{2}{x - 2}$	ឃ. $y = -\dfrac{2}{x - 2} + 5$ ។

២. សង់ក្រាបនិងកំណត់សមីការអាស៊ីមតូតនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

ក. $y = \dfrac{2}{x - 3}$	ខ. $y = \dfrac{3}{x + 1} - 2$
គ. $y = -\dfrac{1}{x - 3} + 4$ ។

៣. $y$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។ សង់ក្រាបតាង $y$ ដែលកំណត់ដោយសមីការ ៖

ក. $(x + 1)y = -1$

ខ. $(x - 1)(y + 2) = 4$ ។

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = \frac{ax + b}{cx + d}$

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = \frac{2x + 3}{x + 1}$ ។ គេមាន $y = \frac{2x + 3}{x + 1} = \frac{1}{x + 1} + 2$ ។ សង់ក្រាបតាង $y = \frac{1}{x}$ មានដែនកំណត់ $\{x | x \neq 0\}$ តារាងតម្លៃលេខ

$x$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$
$y$	$-\frac{1}{2}$	$-1$	$-2$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$

ដូច្នេះ ក្រាបតាង $y = \frac{1}{x + 1} + 2$ បានដោយរំកិលក្រាបតាង $y = \frac{1}{x}$ ចំនួន $-1$ ឯកតាស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងចំនួន $2$ ឯកតាស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ ។

អាស៊ីមតូតឈរ $x = -1$
អាស៊ីមតូតដេក $y = 2$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបនិងកំណត់សមីការអាស៊ីមតូតនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម៖
ក. $y = \frac{3x}{x - 1}$
ខ. $y = \frac{1 - 2x}{x + 2}$
គ. $y = \frac{x - 1}{2 - x}$ ។

អនុគមន៍អសនិទានងាយនិងក្រាប

ឧទាហរណ៍

$y = \sqrt{x}$, $y = 3\sqrt{2 - x}$ និង $y = \sqrt{x^2 + 1} + 5$ ដែលជាកន្សោមមានអថេរ $x$ នៅក្រោមរ៉ាឌីកាល់ហៅថា អនុគមន៍អសនិទាននៃអថេរ $x$ ។ ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍អសនិទានគឺជាសំណុំនៃតម្លៃអថេរដែលធ្វើឱ្យកន្សោមរ៉ាឌីកាល់មានន័យ ។

ឧទាហរណ៍

អនុគមន៍ $y = \sqrt{x}$ មានដែនកំណត់ $\{x | x \geq 0\}$

អនុគមន៍ $y = 3\sqrt{2 - x}$ មានដែនកំណត់ $\{x | x \leq 2\}$
អនុគមន៍ $y = 3\sqrt{x^2 + 1} + 5$ មានដែនកំណត់ $\{x | x \in \mathbb{R}\}$ ។

ក្រាបនៃ $y = \sqrt{ax}$

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍អសនិទាន $y = \sqrt{x} , \quad{} (x \geq 0)$ ។ តារាងតម្លៃលេខ

$x$	$0$	$\frac{1}{4}$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$3$

គេដៅចំណុចទាំងនេះរួចភ្ជាប់ គេបានក្រាបដូចខាងស្ដាំ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន $y = \sqrt{x} , \quad{} (x \geq 0)$ ។ ចំណុចលើក្រាបតាង $y = \sqrt{x} \quad{} (x \geq 0)$ មានកូអរដោនេ $(x, y)$ ស្ថិតនៅលើក្រាបតាង $y^2 = x , \quad{} y \geq 0 \quad{} (1)$ ដោយប្ដូរ $x$ ជា $y$ ជា $x$ នៅក្នុង (1) គេបានសមីការ $y = x^2 , \quad{} (x \geq 0)$ ដែលជាអនុគមន៍ច្រាសនៃ (1) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដូច្នេះ ក្រាបតាង $y^2 = x$ និងក្រាបតាង $y = x^2$ ឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ។

ជាទូទៅ

ក្រាបតាង $y = \sqrt{x}$ ជារូបឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូលតាង $y = x^2$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបទៅនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ដែលត្រូវនឹង $x \geq 0$ ។

២លំហាត់គំរូ ២

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន $y = \sqrt{-2x}$ ។

ដំណោះស្រាយ

$y = \sqrt{-2x}$ សមមូល $y^2 = -2x , \quad{} x \leq 0$ ។ ប្ដូរ $x$ ជា $y$ និង $y$ ជា $x$ ចំពោះ $y^2 = -2x$ គេបាន $x^2 = -2y$ ។ ដូច្នេះ $y = -\frac{1}{2}x^2$ ជាអនុគមន៍ច្រាសនៃ $y^2 = -2x$ ។ សង់រូបឆ្លុះនៃក្រាបតាង $y = -\frac{1}{2}x^2$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ហើយយកផ្នែកត្រូវនឹង $x \leq 0$ នោះក្រាបដែលបានគឺជាក្រាបតាង $y = \sqrt{-2x}$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន $y = -\sqrt{x} \quad{} (x \geq 0)$ ។

៣លំហាត់គំរូ ៣

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន $y = \sqrt{-2x}$ ។

ដំណោះស្រាយ

អនុគមន៍ $y = \sqrt{-2x}$ មានដែនកំណត់ $\{x | x \leq 0\}$ តារាងតម្លៃលេខ

$x$	$0$	$-\frac{1}{8}$	$-\frac{1}{2}$	$-2$	$-8$
$y$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$

គេដៅចំណុចទាំងនេះរួចភ្ជាប់គេបានក្រាបដូចខាងស្ដាំ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន ក. $y = \sqrt{2x}$ ខ. $y = \sqrt{-\frac{1}{2}x}$ ។

ជាទូទៅ

ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន $y = \sqrt{ax}$ មានរាងដូចខាងក្រោម អាស្រ័យតាមសញ្ញានៃ $a$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន ៖

ក. $y = \sqrt{3}x$

ខ. $y = -\sqrt{-x}$ ។

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = \sqrt{ax + b}$

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន $y = \sqrt{2x - 4}$ ។ សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន $y = \sqrt{2x}$ ហើយរំកិលក្រាបនោះចំនួន $2$ ឯកតាស្របអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។ គេបានក្រាបតាង $y = \sqrt{2(x - 2)} = \sqrt{2x - 4}$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

ក្រាបតាង $y = \sqrt{a\left(x + \frac{b}{a}\right)} = \sqrt{a(x - p)}$ បានដោយរំកិលក្រាបតាង $y = \sqrt{ax}$ ចំនួន $p$ ឯកតាស្របអ័ក្សអាប់ស៊ីស ដែល $p = -\frac{b}{a}$ ។

៤លំហាត់គំរូ ៤

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន $y = \sqrt{2x + 5}$ ។

ដំណោះស្រាយ

ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន $y = \sqrt{2x + 5}$ អាចបំប្លែងជា $y = \sqrt{2\left(x + \frac{5}{2}\right)} = \sqrt{2\left(x - \left(-\frac{5}{2}\right)\right)}$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ក្រាបនេះបានដោយរំកិលក្រាប $y = \sqrt{2x}$ ចំនួន $-\frac{5}{2}$ ឯកតាស្របអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទានខាងក្រោម
ក. $y = \sqrt{x - 3}$
ខ. $y = \sqrt{1 - x}$
គ. $y = \sqrt{2x - 4} + 2$ ។

៥លំហាត់គំរូ ៥

កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប $y = \sqrt{2x + 5}$ និងបន្ទាត់ $y = \frac{1}{2}x$ ។

ដំណោះស្រាយ

វិធីទី 1 ៖ កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វជាចម្លើយនៃសមីការអាប់ស៊ីស $\sqrt{2x + 5} = \frac{1}{2}x \quad{} (1)$ លើកអង្គទាំងពីរនៃ (1) ជាការេ $2x + 5 = \frac{1}{4}x^2$ ឬ $x^2 - 8x - 20 = 0$ គេបាន $x = -2 , \quad{} x = 10$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ : $x = -2$ គេបាន $\sqrt{1} = -1$ មិនផ្ទៀងផ្ទាត់ $x = 10$ គេបាន $\sqrt{25} = 5$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ដូច្នេះ កូអរដោនេចំណុចប្រសព្វគឺ $(10, 5)$ ។

វិធីទី 2 : សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន $y = \sqrt{2x + 5}$ និងក្រាបតាង $y = \frac{1}{2}x$ សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន $y = \sqrt{2x + 5}$ តារាងតម្លៃលេខ

$x$	$-\frac{5}{2}$	$2$
$y$	$0$	$3$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមក្រាបគេបានកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វគឺ $(10, 5)$ ។

ប្រតិបត្តិ

កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វនៃក្រាបតាងគូអនុគមន៍ខាងក្រោម៖
ក. $\begin{cases} y = \sqrt{x - 2} \\ y = \frac{1}{3}x \end{cases}$
ខ. $\begin{cases} y = -\sqrt{x} \\ y = x - 1 \end{cases}$ ។

ក្រាបនៃអនុគមន៍ច្រាស

ឧទាហរណ៍

ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = x^2 + 1 \quad{} (x \geq 0)$ និងក្រាបអនុគមន៍ច្រាសរបស់វាគឺ $y = \sqrt{x - 1}$ គឺឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ដូចបានបង្ហាញក្នុងរូប ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

បើអនុគមន៍ $y = f(x)$ មានអនុគមន៍ច្រាស $y = g(x)$ គេបាន $b = f(a)$ សមមូល $a = g(b)$ ។ ដូច្នេះ ចំណុច $P(a, b)$ ស្ថិតនៅលើក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = f(x)$ គឺសមមូលទៅនឹងចំណុច $Q(b, a)$ ស្ថិតនៅលើក្រាបនៃអនុគមន៍ច្រាស $y = g(x)$ ។ ចំណុច $P(a, b)$ និង $Q(b, a)$ ឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

សន្និដ្ឋាន ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = f(x)$ និងក្រាបអនុគមន៍ច្រាស $y = g(x)$ របស់ $f$ ឆ្លុះគ្នាធៀបទៅនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ។

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោមនិងរកអនុគមន៍ច្រាសរបស់វា ៖
ក. $y = x^2 - 1 \quad{} (x \geq 0)$
ខ. $y = \frac{2}{x} + 1 \quad{} (x > 0)$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $y = x^2 - 1 \quad{} (x \geq 0)$
គេមាន $y = x^2 - 1 \Rightarrow x^2 = y + 1 \Rightarrow x = \sqrt{y + 1}$ (ព្រោះ $x \geq 0$)
ដូចនេះ អនុគមន៍ច្រាសគឺ $y = \sqrt{x + 1}$ សម្រាប់ $x \geq -1$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ. $y = \frac{2}{x} + 1 \quad{} (x > 0)$
គេមាន $y = \frac{2}{x} + 1 \Rightarrow y - 1 = \frac{2}{x} \Rightarrow x = \frac{2}{y - 1}$
ដូចនេះ អនុគមន៍ច្រាសគឺ $y = \frac{2}{x - 1}$ សម្រាប់ $x > 1$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៦លំហាត់គំរូ ៦

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ $y = x^2 + 1$ ដែលមានដែនកំណត់ $\{x | x \leq 0\}$ រួចរកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ច្រាសនេះ ។

ដំណោះស្រាយ

គេមាន $y = x^2 + 1 \quad{} \{x | x \leq 0\}$ ចំពោះ $x \leq 0$ គេបាន $x = -\sqrt{y - 1}$ ដូច្នេះ អនុគមន៍ច្រាសគឺ $y = -\sqrt{x - 1}$ ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ច្រាសគឺ $\{x | x \geq 1\}$ ។

ប្រតិបត្តិ

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ $y = x^2 - 2$ ដែលមានដែនកំណត់ $\{x | x \leq 0\}$ រួចរកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ច្រាសនេះ ។

មើលចម្លើយ

គេមាន $y = x^2 - 2$ ដែលមានដែនកំណត់ $\{x | x \leq 0\}$
ចំពោះ $x \leq 0$ គេបាន $x^2 = y + 2 \Rightarrow x = -\sqrt{y + 2}$
ដូច្នេះ អនុគមន៍ច្រាសគឺ $y = -\sqrt{x + 2}$
ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ច្រាសនេះគឺ $\{x | x \geq -2\}$ ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានអនុគមន៍ $f$ និង $g$ កំណត់ដោយ $f(x) = -(x + 2)^2 + 4$ និង $g(x) = \frac{2}{x - 3} + 1$ ។ សង់ខ្សែរាងតាង $f$ និង $g$ ។

មើលចម្លើយ

ក. ខ្សែរាងតាង $f(x) = -(x + 2)^2 + 4$ ៖ ជាប៉ារ៉ាបូលមានកំពូល $S(-2, 4)$ អ័ក្សឆ្លុះ $x = -2$ និងកាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ $x = -4$ និង $x = 0$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ. ខ្សែរាងតាង $g(x) = \frac{2}{x - 3} + 1$ ៖ ជាអ៊ីពែបូលដែលមានអាស៊ីមតូតឈរ $x = 3$ និងអាស៊ីមតូតដេក $y = 1$ កាត់អ័ក្សអរដោនេត្រង់ $y = \frac{1}{3}$ កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ $x = 1$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

រកអនុគមន៍ដែលក្រាបបានដោយរំកិលក្រាបតាង $y = \frac{2}{x}$

ចំនួន $-5$ ឯកតាស្របអ័ក្សអាប់ស៊ីស
ចំនួន $-4$ ឯកតាស្របអ័ក្សអរដោនេ
ចំនួន $3$ ឯកតាស្របអ័ក្សអាប់ស៊ីស និង $5$ ឯកតាស្របអ័ក្សអរដោនេ ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកអនុគមន៍ដែលបានពីការរំកិលក្រាបតាង $y = \dfrac{2}{x}$៖

រំកិល $-5$ ឯកតាស្របអ័ក្សអាប់ស៊ីស (ទៅឆ្វេង $5$ ឯកតា)៖
\[y = \frac{2}{x - (-5)} = \frac{2}{x + 5}\]
រំកិល $-4$ ឯកតាស្របអ័ក្សអរដោនេ (ចុះក្រោម $4$ ឯកតា)៖
\[y = \frac{2}{x} - 4 = \frac{2 - 4x}{x}\]
រំកិល $3$ ឯកតាស្រប $Ox$ និង $-2$ ឯកតាស្រប $Oy$៖
\[y = \frac{2}{x - 3} - 2 = \frac{2 - 2(x - 3)}{x - 3} = \frac{8 - 2x}{x - 3}\]

២លំហាត់ទី ២

សង់ក្រាបនិងកំណត់អាស៊ីមតូតនៃអនុគមន៍ ក. $y = \frac{4}{x + 3}$ ខ. $y = 4 - \frac{2}{x + 1}$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់អាស៊ីមតូត និងសង់ក្រាប៖

$y = \dfrac{4}{x + 3}$៖
- អាស៊ីមតូតឈរ៖ $x + 3 = 0 \iff x = -3$
- អាស៊ីមតូតដេក៖ $y = 0$ (អ័ក្សអាប់ស៊ីស)
- ផ្ចិតឆ្លុះ៖ $I(-3, 0)$
- ប្រសព្វអ័ក្ស $Oy$ ត្រង់ $\left(0, \dfrac{4}{3}\right)$
$y = 4 - \dfrac{2}{x + 1} = -\dfrac{2}{x + 1} + 4$៖
- អាស៊ីមតូតឈរ៖ $x + 1 = 0 \iff x = -1$
- អាស៊ីមតូតដេក៖ $y = 4$
- ផ្ចិតឆ្លុះ៖ $I(-1, 4)$
- ប្រសព្វ $Oy$ ត្រង់ $(0, 2)$; ប្រសព្វ $Ox$ ត្រង់ $\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៣លំហាត់ទី ៣

កំណត់កូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាបតាង $y = \frac{1}{x}$ និងបន្ទាត់ $y = \frac{5}{2} - x$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុចប្រសព្វរវាង $y = \dfrac{1}{x}$ និង $y = \dfrac{5}{2} - x$ ($x \neq 0$)៖
សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ៖

\[\begin{aligned} \frac{1}{x} &= \frac{5}{2} - x \\ \iff 2x^2 - 5x + 2 &= 0 \iff (2x - 1)(x - 2) = 0 \end{aligned}\]

$x_1 = \dfrac{1}{2} \implies y_1 = 2 \implies \left(\dfrac{1}{2}, 2\right)$
$x_2 = 2 \implies y_2 = \dfrac{1}{2} \implies \left(2, \dfrac{1}{2}\right)$

ចំណុចប្រសព្វគឺ $\left(\dfrac{1}{2}, 2\right)$ និង $\left(2, \dfrac{1}{2}\right)$។

៤លំហាត់ទី ៤

រកអនុគមន៍ដែលក្រាបបានដោយការបំប្លែងក្រាបតាង $y = 2\sqrt{x}$ តាមរំកិលក្រាបចំនួន 2 ឯកតាស្របអ័ក្សអាប់ស៊ីសទៅឆ្វេង ។

មើលដំណោះស្រាយ

រំកិលក្រាប $y = 2\sqrt{x}$ ចំនួន $2$ ឯកតាទៅឆ្វេងស្របអ័ក្សអាប់ស៊ីស៖
ជំនួស $x$ ដោយ $x - (-2) = x + 2$៖

\[y = 2\sqrt{x + 2}\]

ដែនកំណត់គឺ $x \ge -2$។

៥លំហាត់ទី ៥

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោម៖

$y = \sqrt{3x - 5}$
$y = -\sqrt{4 - x}$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍អសនិទាន៖

$y = \sqrt{3x - 5}$៖
- ដែនកំណត់៖ $3x - 5 \ge 0 \iff x \ge \dfrac{5}{3}$
- សំណុំរូបភាព៖ $y \ge 0$
- ចំណុចចាប់ផ្ដើម៖ $\left(\dfrac{5}{3}, 0\right)$
$y = -\sqrt{4 - x}$៖
- ដែនកំណត់៖ $4 - x \ge 0 \iff x \le 4$
- សំណុំរូបភាព៖ $y \le 0$
- ចំណុចចាប់ផ្ដើម៖ $(4, 0)$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៦លំហាត់ទី ៦

រកអនុគមន៍ច្រាសនិងរកដែនកំណត់តាងអនុគមន៍ $f(x)$ នីមួយៗខាងក្រោម៖

$f(x) = \frac{2}{3}x + 5$
$f(x) = \frac{1}{x + 2} + 1$
$f(x) = \sqrt{1 - x}$
$f(x) = -\sqrt{x + 4}$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកអនុគមន៍ច្រាស និងដែនកំណត់៖

$f(x) = \dfrac{2}{3}x + 5$៖
$y = \dfrac{2}{3}x + 5 \implies \dfrac{2}{3}x = y - 5 \implies x = \dfrac{3}{2}(y - 5)$។
ដូចនេះ $f^{-1}(x) = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{15}{2}$ មាន $D = \mathbb{R}$។
$f(x) = \dfrac{1}{x + 2} + 1$ ($x \neq -2, y \neq 1$)៖
$y - 1 = \dfrac{1}{x + 2} \implies x + 2 = \dfrac{1}{y - 1} \implies x = \dfrac{1}{y - 1} - 2$។
ដូចនេះ $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{x - 1} - 2 = \dfrac{3 - 2x}{x - 1}$ មាន $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$។
$f(x) = \sqrt{1 - x}$ ($x \le 1, y \ge 0$)៖
$y^2 = 1 - x \implies x = 1 - y^2$។
ដូចនេះ $f^{-1}(x) = 1 - x^2$ មាន $D = [0, +\infty)$។
$f(x) = -\sqrt{x + 4}$ ($x \ge -4, y \le 0$)៖
$y^2 = x + 4 \implies x = y^2 - 4$។
ដូចនេះ $f^{-1}(x) = x^2 - 4$ មាន $D = (-\infty, 0]$។

៧លំហាត់ទី ៧

កំណត់តម្លៃ $p$ និង $q$ ដែលអនុគមន៍ $y = x^2 + px + q$ មានតម្លៃអប្បបរមាត្រង់ $x = 4$ និងអនុគមន៍មានតម្លៃស្មើ $5$ ត្រង់ $x = 2$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

$y = x^2 + px + q$ មានអប្បបរមាត្រង់ $x = 4$ និង $y(2) = 5$៖

អប្បបរមាត្រង់ $x = 4 \implies -\dfrac{p}{2} = 4 \implies p = -8$
$y(2) = 5 \implies 2^2 + (-8)(2) + q = 5 \iff 4 - 16 + q = 5 \implies q = 17$

ដូចនេះ $p = -8$ និង $q = 17$។

៨លំហាត់ទី ៨

កំណត់តម្លៃ $k$ ដែលប៉ារ៉ាបូល $y = 2x^2 + kx + 4$ ប៉ះអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។

មើលដំណោះស្រាយ

$y = 2x^2 + kx + 4$ ប៉ះនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស៖
លក្ខខណ្ឌប៉ះអ័ក្ស $Ox$ គឺ $\Delta = 0$៖

\[\begin{aligned} \Delta &= k^2 - 4(2)(4) = k^2 - 32 \\ \Delta = 0 &\iff k = \pm\sqrt{32} = \pm 4\sqrt{2} \end{aligned}\]

៩លំហាត់ទី ៩

កំណត់តម្លៃ $a$ ដើម្បីឱ្យប៉ារ៉ាបូល $y = a(x - 2)^2 - 3$ ប្រសព្វអ័ក្សអាប់ស៊ីសខាងអវិជ្ជមាន ។

មើលដំណោះស្រាយ

$y = a(x - 2)^2 - 3$ ប្រសព្វអ័ក្សអាប់ស៊ីសខាងអវិជ្ជមាន៖
សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ៖ $a(x - 2)^2 - 3 = 0 \implies (x - 2)^2 = \dfrac{3}{a}$ ($a > 0$)។

\[x = 2 \pm \sqrt{\frac{3}{a}}\]

ដើម្បីឱ្យមានប្រសព្វខាងអវិជ្ជមាន ឫសតូចត្រូវតែអវិជ្ជមាន៖

\[\begin{aligned} 2 - \sqrt{\frac{3}{a}} < 0 &\iff \sqrt{\frac{3}{a}} > 2 \\ &\iff \frac{3}{a} > 4 \iff 0 < a < \frac{3}{4} \end{aligned}\]

ដូចនេះ $a \in \left(0, \dfrac{3}{4}\right)$។

១០លំហាត់ទី ១០

កំណត់សំណុំតម្លៃ $p$ ដែលសមីការ $x^2 - 2xp + p - 2 = 0$ មានឫសមួយវិជ្ជមាន និងឫសមួយទៀតអវិជ្ជមាន ។

មើលដំណោះស្រាយ

$x^2 - 2px + p - 2 = 0$ មានឫសមួយវិជ្ជមាន និងឫសមួយទៀតអវិជ្ជមាន៖
លក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់គឺ ផលគុណឫសអវិជ្ជមាន ($P = \dfrac{c}{a} < 0$)៖

\[P = p - 2 < 0 \iff p < 2\]

(ពិនិត្យ $\Delta' = p^2 - (p - 2) = p^2 - p + 2 > 0$ ពិតជានិច្ចចំពោះគ្រប់ $p$)។
ដូចនេះ សំណុំតម្លៃនៃ $p$ គឺ $p < 2$ (ឬ $p \in (-\infty, 2)$)។

១១លំហាត់ទី ១១

ក្រាបតាង $y = x^2 + 2px + q$ កាត់តាមចំណុច $(2, 1)$ និងកំពូលវានៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។ កំណត់តម្លៃ $p$ និង $q$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

$y = x^2 + 2px + q$ កាត់តាម $(2, 1)$ និងកំពូលនៅលើអ័ក្ស $Ox$៖

កំពូលនៅលើអ័ក្ស $Ox \implies \Delta' = 0 \iff p^2 - q = 0 \implies q = p^2$
ក្រាបកាត់តាម $(2, 1)$៖
\[\begin{aligned} 1 &= 2^2 + 2p(2) + p^2 \\ \iff (2 + p)^2 &= 1 \implies 2 + p = \pm 1 \end{aligned}\]

បើ $2 + p = 1 \implies p = -1 \implies q = (-1)^2 = 1$
បើ $2 + p = -1 \implies p = -3 \implies q = (-3)^2 = 9$

ដូចនេះ $(p, q) = (-1, 1)$ ឬ $(p, q) = (-3, 9)$។

១២លំហាត់ទី ១២

ចំណុច $P(x, y)$ នៅលើជ្រុង $AC$ នៃត្រីកោណ $ABC$ ដូចរូបខាងក្រោម៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃ $A$ នៃចតុកោណកែងជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។
កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច $P$ ដើម្បីឱ្យ $A$ មានតម្លៃអតិបរមារួចគណនាតម្លៃ $A$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $P(x, y)$ លើជ្រុង $AC$ នៃ $\triangle ABC$ ($A(0, 6), C(3, 0)$)៖

សមីការបន្ទាត់ $AC$៖ មេគុណប្រាប់ទិស $m = \dfrac{0 - 6}{3 - 0} = -2$ នាំឱ្យ $y = -2x + 6$ ($0 \le x \le 3$)។
ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែង៖
\[A(x) = x \cdot y = x(-2x + 6) = -2x^2 + 6x\]
កំណត់កូអរដោនេ $P$ ដើម្បីឱ្យ $A$ អតិបរមា៖
\[\begin{aligned} A(x) &= -2\left(x^2 - 3x + \frac{9}{4}\right) + \frac{9}{2} \\ &= -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + 4.5 \end{aligned}\]
ផ្ទៃក្រឡាអតិបរមាគឺ $A_{\max} = 4.5$ ឯកតាផ្ទៃ កើតមានត្រង់ $x = 1.5$ នាំឱ្យ $y = -2(1.5) + 6 = 3$។
ដូចនេះ $P(1.5, 3)$។

១៣លំហាត់ទី ១៣

កំណត់សំណុំតម្លៃ $a$ ដែលវិសមីការ $x^2 + ax + (a + 3) > 0$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

រក $a$ ដើម្បីឱ្យ $x^2 + ax + (a + 3) > 0$ ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$៖
ដោយ $a_0 = 1 > 0$ លក្ខខណ្ឌគឺ $\Delta < 0$៖

\[\begin{aligned} \Delta &= a^2 - 4(1)(a + 3) = a^2 - 4a - 12 < 0 \\ &\iff (a - 6)(a + 2) < 0 \iff -2 < a < 6 \end{aligned}\]

ដូចនេះ $a \in (-2, 6)$។

១៤លំហាត់ទី ១៤

កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប $y = \sqrt{2x - 1}$ និងបន្ទាត់ $y = x + k$ ចំពោះតម្លៃ $k = -1$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រសព្វរវាង $y = \sqrt{2x - 1}$ និង $y = x + k$ ចំពោះ $k = -1$៖
សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ៖ $\sqrt{2x - 1} = x - 1$ ($x \ge 1$)៖

\[\begin{aligned} 2x - 1 &= (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \\ &\iff x^2 - 4x + 2 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{2} \end{aligned}\]

ដោយ $x \ge 1$ នោះ $x = 2 - \sqrt{2} \approx 0.586 < 1$ មិនយក។
យក $x = 2 + \sqrt{2}$ នាំឱ្យ $y = (2 + \sqrt{2}) - 1 = 1 + \sqrt{2}$។
ចំណុចប្រសព្វគឺ $(2 + \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$។

១៥លំហាត់ទី ១៥

បំពេញគូនៃចំណុចដែលឋិតនៅលើក្រាបតាង $2x - y = -2$

$(\dots , 0)$
$(0, \dots)$
$(-2, \dots)$
$(\dots , 3)$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

បំពេញគូនៃចំណុចលើក្រាប $2x - y = -2 \iff y = 2x + 2$៖

$(\dots, 0)$៖ $y = 0 \implies 2x + 2 = 0 \implies x = -1 \implies (-1, 0)$
$(0, \dots)$៖ $x = 0 \implies y = 2 \implies (0, 2)$
$(-2, \dots)$៖ $x = -2 \implies y = 2(-2) + 2 = -2 \implies (-2, -2)$
$(\dots, 3)$៖ $y = 3 \implies 2x + 2 = 3 \implies x = \dfrac{1}{2} \implies \left(\dfrac{1}{2}, 3\right)$

១៦លំហាត់ទី ១៦

កំណត់សមីការបន្ទាត់ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌដែលឱ្យ :

បន្ទាត់កាត់តាមពីរចំណុច $(2, -3)$ និង $(-1, -5)$ ។
បន្ទាត់កាត់តាមចំណុច $(-1, 3)$ និងមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ 2 ។
បន្ទាត់ស្របនឹងអ័ក្ស $(y'y)$ កាត់ចំណុច $(2, 5)$ ។
បន្ទាត់កាត់ចំណុច $(-1, 3)$ ហើយស្របនឹងបន្ទាត់សមីការ $y = -4$ ។
បន្ទាត់កាត់ចំណុច $(1, 4)$ ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ $y = -\frac{1}{2}x + 3$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការបន្ទាត់តាមលក្ខខណ្ឌ៖

កាត់តាម $(2, -3)$ និង $(-1, -5)$៖
$m = \dfrac{-5 - (-3)}{-1 - 2} = \dfrac{2}{3} \implies y + 3 = \dfrac{2}{3}(x - 2) \implies y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{13}{3}$
កាត់តាម $(-1, 3)$ មាន $m = 2$៖
$y - 3 = 2(x + 1) \implies y = 2x + 5$
ស្របនឹង $y'y$ កាត់តាម $(2, 5)$៖ $x = 2$
កាត់តាម $(-1, 3)$ ស្របនឹង $y = -4$៖ $y = 3$
កាត់តាម $(1, 4)$ កែងនឹង $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$ ($m = 2$)៖
$y - 4 = 2(x - 1) \implies y = 2x + 2$

១៧លំហាត់ទី ១៧

ការចែករំលែកការចំណាយ៖ ក្រុមសិស្សមួយក្រុមបានជួលឡានក្រុងមួយគ្រឿងក្នុងតម្លៃ ២០០ ដុល្លារ ដើម្បីទៅដំណើរកម្សាន្ត។ ការចំណាយនេះនឹងត្រូវចែកស្មើៗគ្នាទៅសិស្សម្នាក់ៗ។

បើមានសិស្ស $x$ នាក់ចូលរួម តើអនុគមន៍ $C(x)$ ដែលតំណាងឱ្យប្រាក់ចំណាយរបស់សិស្សម្នាក់ៗ គឺអ្វី?
បើសិស្ស ៥នាក់ដកខ្លួនចេញ តើសិស្សម្នាក់ៗត្រូវបង់បន្ថែមប៉ុន្មាន? (សរសេរជាកន្សោមអនុគមន៍នៃ $x$)
បើមានសិស្ស ៤០ នាក់ តើម្នាក់ៗត្រូវបង់ប្រាក់ប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

ការចែករំលែកការចំណាយ៖ ថ្លៃជួល $200\$$៖

អនុគមន៍ប្រាក់ចំណាយរបស់សិស្សម្នាក់ៗ៖
\[C(x) = \frac{200}{x} \quad{} (\$/\text{នាក់})\]
បើសិស្ស ៥ នាក់ដកខ្លួនចេញ ប្រាក់ត្រូវបង់បន្ថែមគឺ៖
\[\Delta C = \frac{200}{x - 5} - \frac{200}{x} = \frac{1000}{x(x - 5)} \quad{} (\$)\]
បើមានសិស្ស $x = 40$ នាក់៖
\[C(40) = \frac{200}{40} = 5\$\]

១៨លំហាត់ទី ១៨

រយៈពេលធ្វើដំណើរ៖ រថយន្តមួយធ្វើដំណើរចម្ងាយ ៣០០ គីឡូម៉ែត្រ ដោយល្បឿនមធ្យម $v$ គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង។

សរសេរអនុគមន៍ $t(v)$ តំណាងឱ្យរយៈពេលដែលត្រូវចំណាយលើការធ្វើដំណើរ។
បើល្បឿនថយចុះ ២០ គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង តើត្រូវចំណាយពេលយូរជាងមុនប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

រយៈពេលធ្វើដំណើរ៖ ចម្ងាយ $d = 300\text{ km}$៖

អនុគមន៍រយៈពេលធ្វើដំណើរ៖
\[t(v) = \frac{300}{v} \quad{} (\text{ម៉ោង})\]
បើល្បឿនថយចុះ $20\text{ km/h}$ រយៈពេលបន្ថែមគឺ៖
\[\Delta t = \frac{300}{v - 20} - \frac{300}{v} = \frac{6000}{v(v - 20)} \quad{} (\text{ម៉ោង})\]

១៩លំហាត់ទី ១៩

រកដែនកំណត់ អាស៊ីមតូតឈរ អាស៊ីមតូតដេក និងផ្ចិតឆ្លុះនៃអនុគមន៍ $f(x) = \dfrac{2x+3}{x-1}$។

មើលដំណោះស្រាយ

$f(x) = \dfrac{2x + 3}{x - 1} = 2 + \dfrac{5}{x - 1}$៖

ដែនកំណត់៖ $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
អាស៊ីមតូតឈរ៖ $x = 1$
អាស៊ីមតូតដេក៖ $y = 2$
ផ្ចិតឆ្លុះ៖ $I(1, 2)$

២០លំហាត់ទី ២០

រកដែនកំណត់ អាស៊ីមតូតឈរ អាស៊ីមតូតដេក និងផ្ចិតឆ្លុះនៃអនុគមន៍ $g(x) = \dfrac{-3x+6}{x+2}$។

មើលដំណោះស្រាយ

$g(x) = \dfrac{-3x + 6}{x + 2} = -3 + \dfrac{12}{x + 2}$៖

ដែនកំណត់៖ $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$
អាស៊ីមតូតឈរ៖ $x = -2$
អាស៊ីមតូតដេក៖ $y = -3$
ផ្ចិតឆ្លុះ៖ $I(-2, -3)$

២១លំហាត់ទី ២១

សរសេរអនុគមន៍ $y = \dfrac{3x+5}{x+1}$ ជាទម្រង់កាណូនិច $y = c + \dfrac{k}{x+1}$។

មើលដំណោះស្រាយ

សរសេរ $y = \dfrac{3x + 5}{x + 1}$ ជាទម្រង់កាណូនិច៖

\[y = \frac{3(x + 1) + 2}{x + 1} = 3 + \frac{2}{x + 1}\]

២២លំហាត់ទី ២២

សរសេរអនុគមន៍ $y = \dfrac{4x-1}{2x+3}$ ជាទម្រង់កាណូនិច។

មើលដំណោះស្រាយ

សរសេរ $y = \dfrac{4x - 1}{2x + 3}$ ជាទម្រង់កាណូនិច៖

\[y = \frac{2(2x + 3) - 7}{2x + 3} = 2 - \frac{7}{2x + 3} = 2 - \frac{3.5}{x + 1.5}\]

២៣លំហាត់ទី ២៣

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \dfrac{x+2}{x-1}$ ដោយបញ្ជាក់អាស៊ីមតូត និងចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។

មើលដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាបនៃ $y = \dfrac{x + 2}{x - 1} = 1 + \dfrac{3}{x - 1}$៖

អាស៊ីមតូតឈរ៖ $x = 1$, អាស៊ីមតូតដេក៖ $y = 1$
ប្រសព្វអ័ក្ស $Ox$ ($y = 0$) ត្រង់ $(-2, 0)$
ប្រសព្វអ័ក្ស $Oy$ ($x = 0$) ត្រង់ $(0, -2)$
ផ្ចិតឆ្លុះ $I(1, 1)$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

២៤លំហាត់ទី ២៤

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប $y = \dfrac{2x-1}{x+1}$ និងអ័ក្សកូអរដោនេទាំងពីរ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រសព្វរវាង $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ នឹងអ័ក្សកូអរដោនេ៖

ប្រសព្វអ័ក្ស $Ox$ ($y = 0$)៖ $2x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2} \implies \left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$
ប្រសព្វអ័ក្ស $Oy$ ($x = 0$)៖ $y = \dfrac{-1}{1} = -1 \implies (0, -1)$

២៥លំហាត់ទី ២៥

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងអ៊ីពែបូល $y = \dfrac{4}{x}$ និងបន្ទាត់ $y = x + 3$។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រសព្វរវាង $y = \dfrac{4}{x}$ និង $y = x + 3$ ($x \neq 0$)៖

\[\begin{aligned} x + 3 = \frac{4}{x} &\iff x^2 + 3x - 4 = 0 \\ &\iff (x - 1)(x + 4) = 0 \end{aligned}\]

$x = 1 \implies y = 4 \implies (1, 4)$
$x = -4 \implies y = -1 \implies (-4, -1)$

ចំណុចប្រសព្វគឺ $(1, 4)$ និង $(-4, -1)$។

២៦លំហាត់ទី ២៦

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប $y = \dfrac{x+3}{x-1}$ និងបន្ទាត់ $y = 2x - 1$។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រសព្វរវាង $y = \dfrac{x + 3}{x - 1}$ និង $y = 2x - 1$ ($x \neq 1$)៖

\[\begin{aligned} 2x - 1 &= \frac{x + 3}{x - 1} \\ \iff (2x - 1)(x - 1) &= x + 3 \\ \iff 2x^2 - 3x + 1 &= x + 3 \\ \iff x^2 - 2x - 1 &= 0 \end{aligned}\]

$\Delta' = 1 - (-1) = 2 \implies x = 1 \pm \sqrt{2}$

$x = 1 + \sqrt{2} \implies y = 2(1 + \sqrt{2}) - 1 = 1 + 2\sqrt{2}$
$x = 1 - \sqrt{2} \implies y = 2(1 - \sqrt{2}) - 1 = 1 - 2\sqrt{2}$

ចំណុចប្រសព្វគឺ $(1 + \sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2})$ និង $(1 - \sqrt{2}, 1 - 2\sqrt{2})$។

២៧លំហាត់ទី ២៧

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍អសនិទាន $f(x) = \sqrt{3x - 6}$។

មើលដំណោះស្រាយ

$f(x) = \sqrt{3x - 6}$៖
លក្ខខណ្ឌកំណត់៖ $3x - 6 \ge 0 \iff 3x \ge 6 \iff x \ge 2$។
ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ $D = [2, +\infty)$។

២៨លំហាត់ទី ២៨

រកដែនកំណត់ និងសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ $g(x) = \sqrt{4 - 2x} + 3$។

មើលដំណោះស្រាយ

$g(x) = \sqrt{4 - 2x} + 3$៖

ដែនកំណត់៖ $4 - 2x \ge 0 \iff 2x \le 4 \iff x \le 2 \implies D = (-\infty, 2]$
សំណុំរូបភាព៖ ដោយ $\sqrt{4 - 2x} \ge 0 \implies g(x) \ge 3 \implies R = [3, +\infty)$

២៩លំហាត់ទី ២៩

រកដែនកំណត់ និងសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ $h(x) = -\sqrt{x+1} + 2$។

មើលដំណោះស្រាយ

$h(x) = -\sqrt{x + 1} + 2$៖

ដែនកំណត់៖ $x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1 \implies D = [-1, +\infty)$
សំណុំរូបភាព៖ ដោយ $-\sqrt{x + 1} \le 0 \implies h(x) \le 2 \implies R = (-\infty, 2]$

៣០លំហាត់ទី ៣០

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \sqrt{x - 2}$ ដោយទាញចេញពីក្រាប $y = \sqrt{x}$។

មើលដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាបនៃ $y = \sqrt{x - 2}$៖
ក្រាបបានមកដោយការរំកិលក្រាបគោល $y = \sqrt{x}$ ចំនួន $2$ ឯកតាទៅស្ដាំស្របនឹងអ័ក្ស $Ox$។
ចំណុចចាប់ផ្ដើមនៃក្រាបគឺ $(2, 0)$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៣១លំហាត់ទី ៣១

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \sqrt{x + 3} - 1$។

មើលដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាបនៃ $y = \sqrt{x + 3} - 1$៖
ក្រាបបានមកដោយការរំកិលក្រាប $y = \sqrt{x}$ ចំនួន $3$ ឯកតាទៅឆ្វេង និង $1$ ឯកតាចុះក្រោម។
ចំណុចចាប់ផ្ដើមនៃក្រាបគឺ $(-3, -1)$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៣២លំហាត់ទី ៣២

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប $y = \sqrt{x}$ និងបន្ទាត់ $y = x - 2$។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រសព្វរវាង $y = \sqrt{x}$ និង $y = x - 2$ ($x \ge 2$)៖

\[x - 2 = \sqrt{x} \implies (x - 2)^2 = x \iff x^2 - 5x + 4 = 0\]

$\implies x = 4$ ឬ $x = 1$ (មិនយក ព្រោះ $x \ge 2$)។
ត្រង់ $x = 4 \implies y = 2$។ ចំណុចប្រសព្វគឺ $(4, 2)$។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប $y = \sqrt{2x+3}$ និងបន្ទាត់ $y = x$។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រសព្វរវាង $y = \sqrt{2x + 3}$ និង $y = x$ ($x \ge 0$)៖

\[x = \sqrt{2x + 3} \implies x^2 = 2x + 3 \iff x^2 - 2x - 3 = 0\]

$\implies x = 3$ (ចំណែក $x = -1 < 0$ មិនយក)។
ចំណុចប្រសព្វគឺ $(3, 3)$។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

ដោះស្រាយសមីការ $\sqrt{x+5} = x - 1$ តាមពីជគណិត និងតាមក្រាហ្វិក។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការ $\sqrt{x + 5} = x - 1$៖
លក្ខខណ្ឌ៖ $x - 1 \ge 0 \iff x \ge 1$។

\[\begin{aligned} x + 5 &= (x - 1)^2 \\ \iff x^2 - 3x - 4 &= 0 \iff (x - 4)(x + 1) = 0 \end{aligned}\]

ដោយ $x \ge 1$ នាំឱ្យ $x = 4$ ($x = -1$ មិនយក)។
តាមក្រាហ្វិក៖ ក្រាប $y = \sqrt{x+5}$ និងបន្ទាត់ $y = x - 1$ កាត់គ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយគត់គឺ $(4, 3)$ ដែលមានអាប់ស៊ីស $x = 4$។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

ដោះស្រាយសមីការ $\sqrt{2x^2 - 7} = x + 1$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការ $\sqrt{2x^2 - 7} = x + 1$៖
លក្ខខណ្ឌ៖ $x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1$។

\[\begin{aligned} 2x^2 - 7 &= (x + 1)^2 \\ \iff x^2 - 2x - 8 &= 0 \iff (x - 4)(x + 2) = 0 \end{aligned}\]

ដោយ $x \ge -1$ នាំឱ្យ $x = 4$ ($x = -2$ មិនយក)។
ដូចនេះ សមីការមានឫសតែមួយគត់គឺ $x = 4$។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

ដោះស្រាយវិសមីការ $\sqrt{x+2} \le 3$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ $\sqrt{x + 2} \le 3$៖
លក្ខខណ្ឌ និងលើកជាការេ៖

\[\begin{aligned} \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ x + 2 \le 9 \end{cases} &\iff \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 7 \end{cases} \\ &\iff -2 \le x \le 7 \end{aligned}\]

សំណុំចម្លើយគឺ $S = [-2, 7]$។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

ដោះស្រាយវិសមីការ $\sqrt{2x-1} > 3$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ $\sqrt{2x - 1} > 3$៖

\[2x - 1 > 3^2 = 9 \iff 2x > 10 \iff x > 5\]

សំណុំចម្លើយគឺ $S = (5, +\infty)$។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃ $f(x) = \dfrac{x+4}{2x-3}$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃ $f(x) = \dfrac{x + 4}{2x - 3}$ ($x \neq \dfrac{3}{2}$)៖

\[\begin{aligned} y = \frac{x + 4}{2x - 3} &\implies y(2x - 3) = x + 4 \\ &\implies 2xy - 3y = x + 4 \\ &\implies x(2y - 1) = 3y + 4 \\ &\implies x = \frac{3y + 4}{2y - 1} \end{aligned}\]

ដូចនេះ $f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 4}{2x - 1}$ ចំពោះ $x \neq \dfrac{1}{2}$។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃ $g(x) = \dfrac{3x-1}{x+2}$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃ $g(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ ($x \neq -2$)៖

\[\begin{aligned} y = \frac{3x - 1}{x + 2} &\implies y(x + 2) = 3x - 1 \\ &\implies xy + 2y = 3x - 1 \\ &\implies x(y - 3) = -2y - 1 \\ &\implies x = \frac{2y + 1}{3 - y} \end{aligned}\]

ដូចនេះ $g^{-1}(x) = \dfrac{2x + 1}{3 - x}$ ចំពោះ $x \neq 3$។

៤០លំហាត់ទី ៤០

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃ $f(x) = \sqrt{x - 3} + 1$ ចំពោះ $x \ge 3$ ព្រមទាំងបញ្ជាក់ដែនកំណត់ និងសំណុំរូបភាព។

មើលដំណោះស្រាយ

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃ $f(x) = \sqrt{x - 3} + 1$ ចំពោះ $x \ge 3$ ($y \ge 1$)៖

\[\begin{aligned} y - 1 = \sqrt{x - 3} &\implies (y - 1)^2 = x - 3 \\ &\implies x = (y - 1)^2 + 3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ $f^{-1}(x) = (x - 1)^2 + 3 = x^2 - 2x + 4$។
ដែនកំណត់គឺ $D = [1, +\infty)$ និងសំណុំរូបភាពគឺ $R = [3, +\infty)$។

៤១លំហាត់ទី ៤១

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃ $h(x) = x^2 - 4x + 7$ ចំពោះ $x \ge 2$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃ $h(x) = x^2 - 4x + 7$ ចំពោះ $x \ge 2$ ($y \ge 3$)៖
បំប្លែង៖ $y = (x - 2)^2 + 3 \implies (x - 2)^2 = y - 3$។
ដោយ $x \ge 2 \implies x - 2 \ge 0$ នាំឱ្យ $x - 2 = \sqrt{y - 3} \implies x = \sqrt{y - 3} + 2$។
ដូចនេះ $h^{-1}(x) = \sqrt{x - 3} + 2$ ចំពោះ $x \ge 3$។

៤២លំហាត់ទី ៤២

គេឱ្យ $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ ដែល $ad - bc \neq 0$។ បង្ហាញថាបើ $a + d = 0$ នោះគេបាន $f(f(x)) = x$ ចំពោះគ្រប់ $x$ ក្នុងដែនកំណត់។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ដែល $ad - bc \neq 0$ និង $a + d = 0 \implies d = -a$៖
ជំនួស $d = -a$ ចូល៖

\[f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}\]

គណនា $f(f(x))$៖

\[\begin{aligned} f(f(x)) &= \frac{a\left(\dfrac{ax + b}{cx - a}\right) + b}{c\left(\dfrac{ax + b}{cx - a}\right) - a} \\ &= \frac{a(ax + b) + b(cx - a)}{c(ax + b) - a(cx - a)} \\ &= \frac{a^2 x + ab + bcx - ab}{acx + bc - acx + a^2} \\ &= \frac{(a^2 + bc)x}{a^2 + bc} = x \end{aligned}\]

(ដោយ $ad - bc = -a^2 - bc = -(a^2 + bc) \neq 0$)។
សមភាពត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងពិតប្រាកដ។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

រកតម្លៃនៃ $a$ និង $b$ ដើម្បីឱ្យក្រាបតាង $y = \dfrac{ax+1}{x+b}$ មានអាស៊ីមតូតឈរ $x = 2$ និងអាស៊ីមតូតដេក $y = 3$។

មើលដំណោះស្រាយ

$y = \dfrac{ax + 1}{x + b}$ មានអាស៊ីមតូតឈរ $x = 2$ និងអាស៊ីមតូតដេក $y = 3$៖

អាស៊ីមតូតឈរ៖ $x + b = 0 \implies x = -b = 2 \implies b = -2$
អាស៊ីមតូតដេក៖ $y = \dfrac{a}{1} = a = 3 \implies a = 3$

ដូចនេះ $a = 3$ និង $b = -2$។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

រកតម្លៃនៃ $a, b, c$ ដើម្បីឱ្យក្រាបតាង $y = \dfrac{ax+b}{x+c}$ កាត់តាមចំណុច $(0, 2)$ និងមានផ្ចិតឆ្លុះ $I(3, 4)$។

មើលដំណោះស្រាយ

$y = \dfrac{ax + b}{x + c}$ កាត់ $(0, 2)$ មានផ្ចិតឆ្លុះ $I(3, 4)$៖

អាស៊ីមតូតឈរគឺ $x = 3 \implies -c = 3 \implies c = -3$
អាស៊ីមតូតដេកគឺ $y = 4 \implies a = 4$
កាត់តាម $(0, 2)$៖ $2 = \dfrac{a(0) + b}{0 + c} = \dfrac{b}{-3} \implies b = -6$

ដូចនេះ $a = 4, b = -6, c = -3$ ($y = \dfrac{4x - 6}{x - 3}$)។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

អ៊ីពែបូល $y = \dfrac{k}{x}$ កាត់តាមចំណុច $A(2, 3)$។ រកតម្លៃ $k$ រួចគណនាតម្លៃនៃ $y$ កាលណា $x = -6$។

មើលដំណោះស្រាយ

អ៊ីពែបូល $y = \dfrac{k}{x}$ កាត់តាម $A(2, 3)$៖

\[3 = \frac{k}{2} \implies k = 6\]

អនុគមន៍គឺ $y = \dfrac{6}{x}$។
កាលណា $x = -6$ នោះ $y = \dfrac{6}{-6} = -1$។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

ច្បាប់សម្ពាធឧស្ម័ន (Boyle’s Law)៖ ក្នុងសីតុណ្ហភាពថេរ សម្ពាធ $P$ (គិតជា $\text{atm}$) និងមាឌ $V$ (គិតជាលីត្រ) នៃឧស្ម័នមួយផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនង $P = \dfrac{k}{V}$។ ដឹងថា $P = 2\text{ atm}$ ពេល $V = 5\text{ L}$៖

រកតម្លៃថេរ $k$។
គណនាសម្ពាធ $P$ ពេល $V = 2\text{ L}$។
រកបម្រែបម្រួល $P$ កាលណា $V \to 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

ច្បាប់សម្ពាធឧស្ម័ន (Boyle’s Law)៖ $P = \dfrac{k}{V}$៖
ដោយ $P = 2\text{ atm}$ ពេល $V = 5\text{ L}$ នាំឱ្យ $k = P \cdot V = 2 \times 5 = 10$។

សមីការទំនាក់ទំនង៖ $P = \dfrac{10}{V}$
ពេល $V = 2.5\text{ L}$៖ $P = \dfrac{10}{2.5} = 4\text{ atm}$
ពេល $P = 5\text{ atm}$៖ $V = \dfrac{10}{5} = 2\text{ L}$

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

ច្បាប់អូមក្នុងអគ្គិសនី (Physics STEM)៖ តាមច្បាប់អូម អាំងតង់ស៊ីតេចរន្តអគ្គិសនី $I = \dfrac{V}{R}$។ បើតង់ស្យុងថេរ $V = 120\text{ V}$៖

សង់ក្រាបតាង $I$ ជាអនុគមន៍នៃ $R$ ($R > 0$)។
បញ្ជាក់អាស៊ីមតូតឈរ និងដេក ព្រមទាំងបកស្រាយ។

មើលដំណោះស្រាយ

ច្បាប់អូមក្នុងអគ្គិសនី (Physics STEM)៖ $I = \dfrac{120}{R}$ ($R > 0$)៖

ក្រាបជាសាខាអ៊ីពែបូលក្នុងកាដ្រង់ទី ១ ($R > 0$)។
អាស៊ីមតូតឈរគឺ $R = 0$ (អ័ក្សអរដោនេ $OI$); អាស៊ីមតូតដេកគឺ $I = 0$ (អ័ក្សអាប់ស៊ីស $OR$)។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

ថ្លៃដើមជាមធ្យមនៃផលិតកម្ម (Economics PISA)៖ សហគ្រាសមួយមានចំណាយថេរ $5000\$$ និងចំណាយអថេរ $20\$$ ក្នុងមួយឯកតា។ ថ្លៃដើមជាមធ្យមកំណត់ដោយ $\bar{C}(x) = \dfrac{5000 + 20x}{x}$។

គណនា $\bar{C}(x)$ ចំពោះ $x = 100, 500, 2000$។
រកអាស៊ីមតូតដេកនៃ $\bar{C}(x)$ រួចពន្យល់ន័យ។

មើលដំណោះស្រាយ

ថ្លៃដើមជាមធ្យមនៃផលិតកម្ម (Economics PISA)៖ $\bar{C}(x) = \dfrac{5000 + 20x}{x} = 20 + \dfrac{5000}{x}$៖

គណនាថ្លៃដើមមធ្យម៖
\[\begin{aligned} x = 100 &\implies \bar{C}(100) = 20 + \frac{5000}{100} = 70\$ \\ x = 500 &\implies \bar{C}(500) = 20 + \frac{5000}{500} = 30\$ \\ x = 1000 &\implies \bar{C}(1000) = 20 + \frac{5000}{1000} = 25\$ \end{aligned}\]
កាលណាការផលិតកើនឡើងខ្លាំង ($x \to +\infty$) នោះ $\dfrac{5000}{x} \to 0$ នាំឱ្យ $\bar{C}(x) \to 20\$$ (អាស៊ីមតូតដេក)។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

កំហាប់ឱសថក្នុងឈាម (Biomedical PISA)៖ បន្ទាប់ពីចាក់ថ្នាំចូលក្នុងសរសៃឈាម កំហាប់ថ្នាំ $C(t)$ (គិតជា $\text{mg/L}$) ក្រោយពេល $t$ ម៉ោង កំណត់ដោយ $C(t) = \dfrac{4t}{t^2 + 1}$។

គណនា $C(t)$ ពេល $t = 0, 1, 2, 4\text{ h}$។
រកពេល និងកំហាប់អតិបរមា។
រកកំហាប់កាលណា $t \to +\infty$។

មើលដំណោះស្រាយ

កំហាប់ឱសថក្នុងឈាម (Biomedical PISA)៖ $C(t) = \dfrac{4t}{t^2 + 1}$ ($\text{mg/L}$)៖

គណនាកំហាប់៖
- $t = 0 \implies C(0) = 0$
- $t = 1 \implies C(1) = \dfrac{4(1)}{1^2 + 1} = 2\text{ mg/L}$
- $t = 2 \implies C(2) = \dfrac{8}{5} = 1.6\text{ mg/L}$
- $t = 4 \implies C(4) = \dfrac{16}{17} \approx 0.94\text{ mg/L}$
កំហាប់អតិបរមា៖ តាមវិសមភាពកូស៊ី $t^2 + 1 \ge 2t$ នាំឱ្យ $C(t) \le \dfrac{4t}{2t} = 2\text{ mg/L}$ កើតមាននៅពេល $t = 1$ ម៉ោង។

៥០លំហាត់ទី ៥០

រូបមន្តឡង់ទីក្នុងអុបទិច (Optics STEM)៖ ទំនាក់ទំនងរវាងចម្ងាយវត្ថុ $d_o$, ចម្ងាយរូប $d_i$ និងប្រវែងកន្លោង $f$ នៃឡង់ទីស្តើងមួយគឺ $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{d_o} + \dfrac{1}{d_i}$។ សម្រាប់ឡង់ទីកាមេរ៉ាដែលមាន $f = 50\text{ mm}$ ថេរ៖

សរសេរ $d_i$ ជាអនុគមន៍នៃ $d_o$។
រកអាស៊ីមតូតឈរនៃ $d_i(d_o)$។
រកលីមីតនៃ $d_i$ កាលណា $d_o \to +\infty$។

មើលដំណោះស្រាយ

រូបមន្តឡង់ទីក្នុងអុបទិច (Optics STEM)៖ $\dfrac{1}{50} = \dfrac{1}{d_o} + \dfrac{1}{d_i}$ ($f = 50\text{ mm}$)៖

សរសេរ $d_i$ ជាអនុគមន៍នៃ $d_o$៖
\[\begin{aligned} \frac{1}{d_i} &= \frac{1}{50} - \frac{1}{d_o} = \frac{d_o - 50}{50d_o} \\ \implies d_i &= \frac{50d_o}{d_o - 50} \quad{} (d_o > 50) \end{aligned}\]
បើ $d_o = 100\text{ mm}$ នោះ $d_i = \dfrac{50(100)}{100 - 50} = 100\text{ mm}$។
បើវត្ថុនៅឆ្ងាយខ្លាំង ($d_o \to +\infty$) នោះ $d_i \to 50\text{ mm}$ (រូបភាពធ្លាក់ចំចំណុចប្រសព្វកន្លោង)។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ៦ អនុគមន៍ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត

ក. \(y = -\dfrac{2}{x}\)	ខ. \(y = -\dfrac{2}{x} + 5\)
គ. \(y = -\dfrac{2}{x - 2}\)	ឃ. \(y = -\dfrac{2}{x - 2} + 5\) ។

អនុគមន៍សនិទាននិងអសនិទាន

អនុគមន៍សនិទាននិងក្រាប

ក្រាបនៃ \(y = \frac{a}{x}\)

ក្រាបនៃ \(y = \frac{a}{x - p} + q\)

ក្រាបតាងអនុគមន៍ \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\)

អនុគមន៍អសនិទានងាយនិងក្រាប

ក្រាបនៃ \(y = \sqrt{ax}\)

ក្រាបតាងអនុគមន៍ \(y = \sqrt{ax + b}\)

ក្រាបនៃអនុគមន៍ច្រាស

លំហាត់អនុវត្តន៍

សំណួរពហុជ្រើសរើស

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

ក. \(y = \dfrac{2}{x - 3}\)	ខ. \(y = \dfrac{3}{x + 1} - 2\)
គ. \(y = -\dfrac{1}{x - 3} + 4\) ។