មេរៀនទី ១៧ : អនុគមន៍ដឺក្រេទី 2 — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

ប្រវត្តិនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទីពីរ និងគន្លងប៉ារ៉ាបូល

អ្នកប្រាជ្ញជនជាតិអ៊ីតាលី ហ្គាលីលេ (Galileo Galilei) នៅដើមសតវត្សទី១៧ បានរកឃើញថា វត្ថុដែលចោលទៅក្នុងអាកាស (ក្រោមឥទ្ធិពលទំនាញផែនដី និងគ្មានកម្លាំងទប់ខ្យល់) ធ្វើចលនាតាមគន្លងជារាងប៉ារ៉ាបូល។ ការរកឃើញនេះ គឺជាជំហានដ៏ធំមួយក្នុងការផ្សារភ្ជាប់គណិតវិទ្យាទៅនឹងរូបវិទ្យា។ បច្ចុប្បន្ន អនុគមន៍ដឺក្រេទី ២ ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការស្វែងរកតម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមាក្នុងសេដ្ឋកិច្ច វិស្វកម្មស្ពានយោល និងការរចនាចានផ្កាយរណប។

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ?

រំលឹកចំណេះដឹងពីមុន៖
១. ការគណនាតម្លៃកន្សោមពីជគណិត
២. ការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ មានមួយអញ្ញាត
៣. ការសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី១ (បន្ទាត់ត្រង់)

អនុគមន៍ $y = ax^2$

អនុគមន៍ដឺក្រេទី 2 មានមួយអថេរគឺជាអនុគមន៍ដែលដឺក្រេនៃអថេរស្មើនឹង 2 ។

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = x^2$ ។

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = x^2$ កាត់តាមចំណុចខាងក្រោម ៖

$x$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$\frac{1}{4}$	$0$	$\frac{1}{4}$	$1$	$4$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដៅចំណុចទាំងនេះ រួចភ្ជាប់គេបានក្រាបដូចរូបខាងស្ដាំ ។

ក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងលើហៅថា " ប៉ារ៉ាបូល " ។

ចំណុច $O(0, 0)$ នៃប៉ារ៉ាបូលនេះដែលស្ថិតនៅទាបជាងគេហៅថា " កំពូល " ហើយអ័ក្សអរដោនេជា " អ័ក្សឆ្លុះ " នៃប៉ារ៉ាបូលនេះ ។ ប៉ារ៉ាបូលនេះបែរភាពផតឡើងលើ ។

សិក្សាភាពចុះ និងកើននៃអនុគមន៍ $y = x^2$ គេបាន កំណើនអថេរ $\Delta x = x_2 - x_1$ កំណើនអនុគមន៍ $\Delta f = f(x_2) - f(x_1) = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1)$ ដូច្នេះ ផលធៀប $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{(x_2 + x_1)(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = x_2 + x_1$ ។

ចំពោះគ្រប់ $x_1, x_2$ ដែល $x_1 < x_2 < 0$ គេបាន $\frac{\Delta f}{\Delta x} = x_2 + x_1 < 0$ ហើយត្រង់នឹងប៉ារ៉ាបូលចុះ ។ គេថា $f$ ជាអនុគមន៍ចុះ ចំពោះ $x < 0$ ។

ចំពោះគ្រប់ $x_1, x_2$ ដែល $0 < x_1 < x_2$ គេបាន $\frac{\Delta f}{\Delta x} = x_2 + x_1 > 0$ ហើយត្រង់នឹងប៉ារ៉ាបូលកើនឡើង ។ គេថា $f$ ជាអនុគមន៍កើន ចំពោះ $x > 0$ ។

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = -x^2$ ។

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = -x^2$ កាត់តាមចំណុចខាងក្រោម៖

$x$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$
$y$	$-4$	$-1$	$-\frac{1}{4}$	$0$	$-\frac{1}{4}$	$-1$	$-4$

ដៅចំណុចទាំងនេះរួចភ្ជាប់ គេបានក្រាបដូចខាងស្ដាំចំណុច $O(0, 0)$ នៃប៉ារ៉ាបូលនេះដែលស្ថិតនៅខ្ពស់ជាងគេក៏ហៅថា " កំពូល " ហើយអ័ក្សអរដោនេក៏ជា " អ័ក្សឆ្លុះ " នៃប៉ារ៉ាបូល ។ ប៉ារ៉ាបូលនេះបែរភាពផតចុះក្រោម ។

ជាទូទៅ

ចំពោះ $a > 0$ ប៉ារ៉ាបូល $y = ax^2$ បែរភាពផតឡើងលើ ។
ចំពោះ $a < 0$ ប៉ារ៉ាបូល $y = ax^2$ បែរភាពផតចុះក្រោម ។

១លំហាត់គំរូ ១

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = \frac{1}{2}x^2$ និង $y = 2x^2$ ។

ដំណោះស្រាយ

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = \frac{1}{2}x^2$ កាត់តាមចំណុចខាងក្រោម៖

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$y$	$8$	$2$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{2}$	$2$	$8$

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = 2x^2$ កាត់តាមចំណុចខាងក្រោម៖

$x$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{4}$	$0$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$
$y$	$8$	$2$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{2}$	$2$	$8$

គេដៅចំណុចទាំងនោះរួចភ្ជាប់ គេបានក្រាបដូចខាងស្ដាំ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

សិក្សាភាពចុះនិងកើននៃអនុគមន៍ $y = -x^2$ ។

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍
ក. $y = 2x^2$
ខ. $y = -\frac{1}{2}x^2$ ។

ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = a(x - p)^2$

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = x^2$ និង $y = (x - 2)^2$ រួចទាញសន្និដ្ឋានពីក្រាប ។

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = x^2$ ជាប៉ារ៉ាបូលកាត់តាមចំណុច

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = (x - 2)^2$ ជាប៉ារ៉ាបូលកាត់តាមចំណុច

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេដៅចំណុចទាំងនេះរួចភ្ជាប់ គេបានក្រាបដូចខាងស្ដាំ ។ តាមក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងលើគេអាចសន្និដ្ឋានបានថា ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = (x - 2)^2$ បានដោយការរំកិលក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = x^2$ ចំនួន 2 ឯកតាស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។

២លំហាត់គំរូ ២

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = x^2$ និង $y = (x + 2)^2$ រួចទាញសន្និដ្ឋានពីក្រាប ។

ដំណោះស្រាយ

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = x^2$ ជាប៉ារ៉ាបូលកាត់តាមចំណុច

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = (x + 2)^2$ ជាប៉ារ៉ាបូលកាត់តាមចំណុច

$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$
$y$	$4$	$1$	$4$	$1$	$4$

$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេដៅចំណុចទាំងនេះរួចភ្ជាប់ គេបានក្រាបដូចខាងស្ដាំ ។ តាមក្រាបនៃអនុគមន៍ គេអាចសន្និដ្ឋានបានថា ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = (x + 2)^2$ បានដោយការរំកិលក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = x^2$ ចំនួន -2 ឯកតាស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។

ជាទូទៅ

ក្រាបតាង $y = a(x - p)^2$ ជារូបកិលនៃក្រាបតាង $y = ax^2$ ចំនួន $p$ ឯកតាស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។
រំកិលទៅស្ដាំ បើ $p > 0$ ។
រំកិលទៅឆ្វេង បើ $p < 0$ ។

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោមដោយប្រើក្រាបតាង $y = 3x^2$
ក. $y = 3(x + 2)^2$
ខ. $y = 3(x - 1)^2$ ។

ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = a(x - p)^2 + q$

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = x^2$ និង $y = (x - 2)^2 + 1$ រួចទាញសន្និដ្ឋានពីក្រាប ។

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = x^2$ ជាប៉ារ៉ាបូលកាត់តាមចំណុច

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = (x - 2)^2 + 1$ ជាប៉ារ៉ាបូលកាត់តាមចំណុច

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$5$	$2$	$1$	$2$	$5$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេដៅចំណុចទាំងនេះរួចភ្ជាប់ គេបានក្រាបដូចខាងស្ដាំ ។ តាមក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងលើគេអាចសន្និដ្ឋានបានថាក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = (x - 2)^2 + 1$ បានដោយរំកិលក្រាបតាង $y = x^2$ ចំនួន 2 ឯកតាស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីសហើយបន្ទាប់មករំកិលស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេចំនួន 1 ឯកតា ។

ជាទូទៅ

ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = a(x - p)^2 + q$ គឺជាប៉ារ៉ាបូលដែលបានដោយរំកិលក្រាបតាង $y = ax^2$ ស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីសចំនួន $p$ ឯកតា ហើយស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេចំនួន $q$ ឯកតា ។
ប៉ារ៉ាបូលមានកំពូល $(p, q)$ និងអ័ក្សឆ្លុះមានសមីការ $x = p$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

១. ក. សង់ក្រាបតាង $y = \frac{1}{2}x^2$ ខ. ទាញរកក្រាបតាង $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$ ។
២. សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោម៖
ក. $y = 3(x - 4)^2 + 1$
ខ. $y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 - 1$
គ. $y = -2(x - 1)^2 + 3$ ។

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបតាង $y = x^2 - 2x - 1$ ។ គេមាន $y = x^2 - 2x - 1$ $= (x^2 - 2x + 1) - 2 = (x - 1)^2 - 2$ ។

ក្រាប $y = x^2 - 2x - 1$ ជាប៉ារ៉ាបូលបានដោយរំកិលក្រាបតាង $y = x^2$ ចំនួន 1 ឯកតាស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយរំកិលស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេចំនួន 2 ឯកតា ។ ដូច្នេះ កូអរដោនេនៃកំពូលគឺ $(1, -2)$ គេបានក្រាបដូចខាងស្ដាំ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

ក្រាបនៃ $y = ax^2 + bx + c = a\left[x + \frac{b}{2a}\right]^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = a(x - p)^2 + q$ ដែល $p = -\frac{b}{2a}$ និង $q = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$ ។
ក្រាបនៃ $y = ax^2 + bx + c$ ជាប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $\left(-\frac{b}{2a} , -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\right)$ និងអ័ក្សឆ្លុះមានសមីការ $x = -\frac{b}{2a}$ ។

ប្រតិបត្តិ

១. កំណត់កូអរដោនេនៃកំពូលនិងសមីការអ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូលខាងក្រោម ៖

ក. $y = x^2 + 2x + 3$

ខ. $y = -2x^2 + 8x + 1$ ។

២. សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

ក. $y = 5x^2 + 2x - 3$

ខ. $y = 2x - \dfrac{1}{2}x^2$ ។

តម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី 2

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ដឺក្រេទី 2 ៖ $y = x^2 - 2x + 3 = x^2 - 2x + 1 + 2 = (x - 1)^2 + 2$ ដោយ $(x - 1)^2 \geq 0$ គេបាន $y = (x - 1)^2 + 2 \geq 2$ អនុគមន៍មានតម្លៃអប្បបរមាស្មើ 2 កាលណា $x = 1$ តែគ្មានតម្លៃអតិបរមាទេ នៅលើ $\mathbb{R}$ ។

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ដឺក្រេទី 2 ៖ $y = -2x^2 + 4x + 1 = -2(x - 1)^2 + 3$ ដោយ $-2(x - 1)^2 \leq 0$ នោះ គេបាន $y = -2(x - 1)^2 + 3 \leq 3$ អនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាស្មើ 3 កាលណា $x = 1$ តែគ្មានតម្លៃអប្បបរមាទេនៅលើ $\mathbb{R}$ ។

៣លំហាត់គំរូ ៣

កំណត់តម្លៃអតិបរមានៃ $y = -2x^2 + 3x + 4$ ។

ដំណោះស្រាយ

អនុគមន៍ $y = -2x^2 + 3x + 4$ មានតម្លៃអតិបរមាស្មើ $y = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} = -\frac{3^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 4}{4(-2)} = \frac{41}{8}$ ត្រង់ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2(-2)} = \frac{3}{4}$ ។

ជាទូទៅ

តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី 2 ៖ $y = ax^2 + bx + c$ បើ $a > 0$ នោះអនុគមន៍មានតម្លៃអប្បបរមាស្មើ $y = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$ ត្រង់ $x = -\frac{b}{2a}$ ហើយអនុគមន៍គ្មានអតិបរមាទេ ។ បើ $a < 0$ នោះអនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាស្មើ $y = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$ ត្រង់ $x = -\frac{b}{2a}$ ហើយអនុគមន៍គ្មានអប្បបរមាទេ ។
ក្រាបនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី 2 ៖ $y = ax^2 + bx + c = a(x - p)^2 + q$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៤លំហាត់គំរូ ៤

កំណត់តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $y = x^2 - 2x - 2$ បើមានដែនកំណត់ $D = \{x | -1 \leq x \leq 4\}$ ។

ដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = x^2 - 2x - 2$ ក្រាបជាប៉ារ៉ាបូលកាត់តាមចំណុច

$x$	$-1$	$0$	$1$	$4$
$y$	$1$	$-2$	$-3$	$6$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមក្រាបនៃអនុគមន៍មានដែនកំណត់ $D = \{x | -1 \leq x \leq 4\}$ គេបាន $y = x^2 - 2x - 2 = (x - 1)^2 - 3$ អនុគមន៍មានតម្លៃអប្បបរមាស្មើ -3 ត្រង់ $x = 1$ ហើយអនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាស្មើ 6 ត្រង់ $x = 4$ ។

ប្រតិបត្តិ

កំណត់តម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី 2 ខាងក្រោម៖
ក. $y = x^2 - 4x \quad{} (0 \leq x \leq 3)$
ខ. $y = -x^2 + 3x \quad{} (-2 \leq x \leq 1)$ ។

មើលចម្លើយ

ក. អប្បបរមា $y = -4$ ត្រង់ $x = 2$ និងអតិបរមា $y = 0$ ត្រង់ $x = 0$
ខ. អតិបរមា $y = \frac{9}{4}$ ត្រង់ $x = \frac{3}{2}$ និងអប្បបរមា $y = -4$ ត្រង់ $x = 1$ ។

៥លំហាត់គំរូ ៥

គេសង់សួនច្បារចតុកោណកែងមួយដែលមានបរិមាត្រស្មើ $100\text{ m}$ ។ កំណត់វិមាត្រចតុកោណកែងដើម្បីឱ្យផ្ទៃក្រឡានៃសួនច្បារនេះមានតម្លៃធំបំផុត រួចគណនាផ្ទៃក្រឡានោះ ។

ដំណោះស្រាយ

កំណត់វិមាត្រចតុកោណកែង តាង $x$ ជាទទឹង នោះបណ្តោយគឺ $50 - x$ ដែល $0 < x < 50$

គេបានផ្ទៃក្រឡា $A$ នៃសួនច្បារគឺ $A = (50 - x)x$ $A = -x^2 + 50x = -(x - 25)^2 + 625$ នោះ $A$ មានតម្លៃអតិបរមាត្រង់ $x = 25$ ចំពោះ $x = 25$ នោះ $50 - x = 25$ ហើយ $A = 625$ ដូច្នេះ $A$ មានតម្លៃធំបំផុត កាលណាចតុកោណកែងមានវិមាត្រ $25\text{ m}$ , $25\text{ m}$ ។ ផ្ទៃក្រឡាធំបំផុត $A = 625\text{ m}^2$ ។

ប្រតិបត្តិ

គេកាត់ខ្សែមួយដែលមានប្រវែង $60\text{ cm}$ ជាពីរផ្នែក ហើយគេបត់ខ្សែទាំងនោះជាការេពីរ ។ តើគេត្រូវកាត់ខ្សែត្រង់ណាដើម្បីឱ្យផលបូកផ្ទៃក្រឡានៃការេទាំងពីរមានតម្លៃតូចបំផុត ។

មើលចម្លើយ

កាត់ត្រង់ចំណុចកណ្តាល ។

ការដោះស្រាយសមីការនិងវិសមីការដឺក្រេទី 2 តាមក្រាប

ការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី 2 តាមក្រាប

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី 2 ៖ $ax^2 + bx + c = 0 \quad{} (1)$ ដោយប្រើក្រាបនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី 2 ៖ $y = ax^2 + bx + c \quad{} (2)$ តាង $\Delta = b^2 - 4ac$ ជាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ (1) $y = ax^2 + bx + c = a\left[x + \frac{b}{2a}\right]^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$ $y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$ ដូច្នេះ ក្រាបនៃ (2) មានកំពូល $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$ ។ ចំពោះ $a > 0$ គេមានករណីដូចខាងក្រោម៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ	រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ	រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ
ប៉ារ៉ាបូលកាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា សមីការ (1) មានឫសពីរផ្សេងគ្នា $x_1, x_2$ ។	ប៉ារ៉ាបូលប៉ះនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ $\left(-\frac{b}{2a}, 0\right)$ សមីការ (1) មានឫសឌុប $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$ ។	ប៉ារ៉ាបូលមិនជួបអ័ក្សអាប់ស៊ីស សមីការ (1) គ្មានឫសជាចំនួនពិត ។

ចំពោះ $a < 0$ គេមានករណីដូចខាងក្រោម៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ	រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ
ប៉ារ៉ាបូលកាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា ។ សមីការ (1) មានឫសពីរផ្សេងគ្នា $x_1, x_2$ ។	ប៉ារ៉ាបូលប៉ះនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ $\left(-\frac{b}{2a}, 0\right)$ ។ សមីការ (1) មានឫសឌុប $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$ ។	ប៉ារ៉ាបូលមិនជួបអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។ សមីការ (1) គ្មានឫសជាចំនួនពិត ។

៦លំហាត់គំរូ ៦

សិក្សាចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាងប៉ារ៉ាបូលតាង $y = x^2 - 2x + k$ និងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ទៅតាមតម្លៃ $k$ ។

ដំណោះស្រាយ

តាង $\Delta$ ជាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $x^2 - 2x + k = 0$ នោះ $\frac{\Delta}{4} = 1 - k$ ។ ចំពោះ $\frac{\Delta}{4} = 1 - k > 0$ ឬ $k < 1$ នោះក្រាបកាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា ។ ចំពោះ $\frac{\Delta}{4} = 0$ ឬ $k = 1$ នោះក្រាបប៉ះជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់មួយចំណុច ។ ចំពោះ $\frac{\Delta}{4} < 0$ ឬ $k > 1$ នោះក្រាបមិនកាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសទេ ។ ដូច្នេះ ចំពោះ $k < 1$ នោះមានចំណុចប្រសព្វ 2 ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ចំពោះ $k = 1$ នោះមានចំណុចប្រសព្វ $1$ និងចំពោះ $k > 1$ នោះគ្មានចំណុចប្រសព្វ ។

ប្រតិបត្តិ

សិក្សាចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាងប៉ារ៉ាបូល តាង $y = x^2 - mx + 4$ និងអ័ក្សអាប់ស៊ីសទៅតាមតម្លៃ $m$ ។

មើលចម្លើយ

ប៉ារ៉ាបូលកាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ $2$ ចំណុច កាលណា $m < -4, 4 < m$
ប៉ារ៉ាបូលប៉ះអ័ក្សអាប់ស៊ីសពេល $m = \pm 4$ គ្មានចំណុចប្រសព្វ $-4 < m < 4$ ។

ការដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទី 2 តាមក្រាប

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទី 2 ដោយប្រើក្រាបនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី 2 : $y = ax^2 + bx + c \quad{} (1)$ ។

បើ $a > 0$ តាងឌីសគ្រីមីណង់ $\Delta = b^2 - 4ac$ ហើយ $\alpha$ និង $\beta$ ជាឫសពិតមិនស្មើគ្នា និង $\alpha < \beta$ នៃសមីការដឺក្រេទី 2 : $ax^2 + bx + c = 0 \quad{} (2)$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

បើ $\Delta > 0$ ក្រាបតាងអនុគមន៍ដឺក្រេទី 2 គឺរូប $I$ និង $II$ ។ សំណុំឫសនៃវិសមីការដឺក្រេទី 2 $ax^2 + bx + c > 0$ គឺសំណុំនៃតម្លៃ $x$ ដែល $y > 0$ នៅលើក្រាបនៃ (1) គឺ $x < \alpha$, $x > \beta$ ។ សំណុំឫសនៃវិសមីការដឺក្រេទី 2 $ax^2 + bx + c < 0$ គឺ $\alpha < x < \beta$ ។

បើ $\Delta = 0$ សមីការ (2) មានឫសឌុប $\alpha$ នោះក្រាប តាង (1) ដូចក្នុងរូប $III$ ។ សំណុំឫសនៃ $ax^2 + bx + c > 0$ ជាចំនួនពិតទាំងអស់លើកលែងតែ $\alpha$ ហើយ $ax^2 + bx + c < 0$ គ្មានឫសទេ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

បើ $\Delta < 0$ តាមក្រាបក្នុងរូប $IV$ គេបានសំណុំឫសនៃ $ax^2 + bx + c > 0$ ជាចំនួនពិតទាំងអស់ ហើយ $ax^2 + bx + c < 0$ គ្មានឫសទេ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៧លំហាត់គំរូ ៧

ដោះស្រាយវិសមីការ $x^2 - 2x - 3 > 0$ តាមក្រាប ។

ដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាបតាង $y = x^2 - 2x - 3$ មានឌីសគ្រីមីណង់ $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1(-3) = 16$ $x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 , \quad{} x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមក្រាបគេឃើញថាវិសមីការមានសំណុំចម្លើយ $x < -1$ ឬ $x > 3$ ។

៨លំហាត់គំរូ ៨

ដោះស្រាយវិសមីការ $x^2 - 2x - 3 < 0$ តាមក្រាប ។

ដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាប $y = x^2 - 2x - 3$ មានឌីសគ្រីមីណង់ $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1(-3) = 16$ $x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 , \quad{} x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមក្រាបគេឃើញថាវិសមីការមានសំណុំចម្លើយ $-1 < x < 3$ ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយវិសមីការតាមក្រាប ៖

ក. $x^2 + 4x + 1 < 0$	ខ. $3x^2 + 7x + 3 \geq 0$
គ. $-x^2 + 7x + 3 < 0$	ឃ. $x^2 - 4x + 4 \leq 0$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $-2 - \sqrt{3} < x < -2 + \sqrt{3}$	ខ. $x \leq \dfrac{-7 - \sqrt{13}}{6}$ ឬ $x \geq \dfrac{-7 + \sqrt{13}}{6}$
គ. $x < \dfrac{7 - \sqrt{61}}{2}$ ឬ $x > \dfrac{7 + \sqrt{61}}{2}$	ឃ. $x = 2$ ។

ការអនុវត្តនៃក្រាប

ឧទាហរណ៍

កំណត់តម្លៃ $k$ ដើម្បីឱ្យសមីការ $x^2 + 2(2k + 1)x + (k + 1) = 0$ មានឫសពីរផ្សេងគ្នាហើយវិជ្ជមានទាំងពីរ ។ សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា ហើយវិជ្ជមានទាំងពីរ លុះត្រាតែប៉ារ៉ាបូលតាង $y = x^2 + 2(2k + 1)x + (k + 1)$ កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ពីរចំណុចនៅខាងស្ដាំគល់តម្រុយ $O$ ។ ដោយមេគុណនៃ $x^2$ ជាចំនួនវិជ្ជមាននោះប៉ារ៉ាបូលបែរភាពផតទៅខាងលើ ។ តាង $\Delta$ ជាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $x^2 + 2(2k + 1)x + (k + 1) = 0$ នោះប៉ារ៉ាបូលមានកំពូល $\left(-2k - 1, -\frac{\Delta}{4}\right)$ ហើយប៉ារ៉ាបូលកាត់អ័ក្សអរដោនេត្រង់ $(0, k + 1)$ ។

ដូច្នេះ លក្ខខណ្ឌខាងលើសមមូលនឹង

\[\begin{cases} \frac{\Delta}{4} = -[(2k + 1)^2 - (k + 1)] < 0 & (1) \\ -2k - 1 > 0 & (2) \\ k + 1 > 0 & (3) \end{cases}\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាម (1) $-[(2k + 1)^2 - (k + 1)] < 0$ គេបាន $-4k^2 - 3k < 0 \iff 4k\left(k + \frac{3}{4}\right) > 0$ គេបាន $k < -\frac{3}{4} , \quad{} k > 0$ តាម (2) គេបាន $k < -\frac{1}{2}$ តាម (3) គេបាន $k > -1$ ។ ដូច្នេះ សំណុំនៃតម្លៃ $k$ គឺ $-1 < k < -\frac{3}{4}$ ។

ប្រតិបត្តិ

កំណត់តម្លៃ $k$ ដើម្បីឱ្យសមីការ $x^2 - kx + 4 = 0$ មានឫសទាំងពីរអវិជ្ជមាន ។

មើលចម្លើយ

$k \le -4$ (ឬ $k < -4$ បើឫសផ្សេងគ្នា) ។

ក្រាបនិងវិសមីការ

ឧទាហរណ៍

ប្រើក្រាប ដើម្បីដោះស្រាយវិសមីការ $x^2 < 2x \quad{} (1)$

ដំណោះស្រាយ

គេអាចដោះស្រាយវិសមីការ $x^2 < 2x$ តាមក្រាប តាមរបៀបដូចខាងក្រោម ៖
១. សង់ក្រាបតាង $y = x^2$ និង $y = 2x$ ក្នុងតម្រុយកូអរដោនេតែមួយ ។
២. កំណត់កូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាបទាំងពីរ ។
៣. ទាញរកសំណុំចម្លើយតាមក្រាប ។

សង់ក្រាបតាង $y = x^2 \quad{} (2)$ និង $y = 2x \quad{} (3)$ ក្រាបតាង $y = x^2$ ជាប៉ារ៉ាបូលកាត់តាមចំណុច

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

ក្រាបតាង $y = 2x$ ជាបន្ទាត់កាត់តាមគល់តម្រុយ $O$ និងចំណុច

$x$	$2$
$y$	$4$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប៉ារ៉ាបូលនិងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាត្រង់គល់ $O$ និងចំណុច $A(2, 4)$ ។ តាមក្រាបគេឃើញថា ក្រាបនៃអនុគមន៍តាង $y = x^2$ ស្ថិតនៅខាងក្រោមនៃក្រាបតាង $y = 2x$ ចំពោះ $0 < x < 2$ ។ ដូច្នេះ វិសមីការមានសំណុំចម្លើយ $x \in (0, 2)$ ។

៩លំហាត់គំរូ ៩

ដោះស្រាយវិសមីការ $|x - 2| < 3$ ។

ដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាបតាង $y = x - 2$ និង $y = 3$ សង់ក្រាបតាង $y = |x - 2| = \begin{cases} x - 2 , & \text{បើ } x \geq 2 \\ -x + 2 , & \text{បើ } x < 2 \end{cases}$

ក្រាបទាំងពីរប្រសព្វគ្នាត្រង់ពីរចំណុច $A$ និង $B$ ។ ដោយចំណុច $A(-1, 3)$ ជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ $y = -x + 2$ និង $y = 3$ ហើយចំណុច $B(5, 3)$ ជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ $y = x - 2$ និង $y = 3$ ។ តាមក្រាបគេឃើញថា ក្រាបនៃអនុគមន៍តាង $y = |x - 2|$ ស្ថិតនៅក្រោមក្រាបតាង $y = 3$ ចំពោះ $-1 < x < 5$ ដូច្នេះ វិសមីការមានសំណុំចម្លើយ $x \in (-1, 5)$ ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយវិសមីការ $|2x - 6| < 4$ ។

មើលចម្លើយ

$1 < x < 5$ ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍

$y = \frac{3}{2}x^2$
$y = -\frac{1}{3}x^2$
$y = -\frac{3}{2}x^2$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ដឺក្រេទី ២ មានទម្រង់ $y = ax^2$៖

$y = \dfrac{3}{2}x^2$៖
មាន $a = \dfrac{3}{2} > 0$ នាំឱ្យប៉ារ៉ាបូលបែរភាពប៉ោងឡើងលើ។
កំពូលត្រង់គល់តម្រុយ $O(0, 0)$ និងអ័ក្សឆ្លុះជាបន្ទាត់ $x = 0$ (អ័ក្ស $Oy$)។
តារាងតម្លៃលេខ៖

$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$

$y$ $6$ $1.5$ $0$ $1.5$ $6$
$y = -\dfrac{1}{3}x^2$៖
មាន $a = -\dfrac{1}{3} < 0$ ប៉ារ៉ាបូលបែរភាពប៉ោងចុះក្រោម កំពូល $O(0, 0)$។
$y = -\dfrac{3}{2}x^2$៖
មាន $a = -\dfrac{3}{2} < 0$ ប៉ារ៉ាបូលបែរភាពប៉ោងចុះក្រោម ស៊ីមេទ្រីនឹងក្រាប $y = \dfrac{3}{2}x^2$ ធៀបនឹងអ័ក្ស $Ox$។

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(6\)	\(1.5\)	\(0\)	\(1.5\)	\(6\)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

២លំហាត់ទី ២

រកអនុគមន៍ដឺក្រេទី 2 ដែលក្រាបបានមកដោយរំកិលក្រាបតាង $y = -3x^2$ ដែលកំពូលស្ថិតនៅលើចំណុច

$(-2, 0)$
$(0, 2)$
$(-1, 4)$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកអនុគមន៍ដឺក្រេទី ២ ដោយរំកិលក្រាប $y = -3x^2$ ឱ្យមានកំពូលត្រង់ $(h, k)$ តាមរូបមន្ត $y = -3(x - h)^2 + k$៖

កំពូល $(-2, 0)$៖
\[\begin{aligned} y &= -3(x - (-2))^2 + 0 \\ &= -3(x + 2)^2 = -3x^2 - 12x - 12 \end{aligned}\]
កំពូល $(0, 2)$៖
\[y = -3(x - 0)^2 + 2 = -3x^2 + 2\]
កំពូល $(-1, 4)$៖
\[\begin{aligned} y &= -3(x + 1)^2 + 4 \\ &= -3(x^2 + 2x + 1) + 4 = -3x^2 - 6x + 1 \end{aligned}\]

៣លំហាត់ទី ៣

សង់ក្រាបប៉ារ៉ាបូលនីមួយៗ និងរកកំពូលរបស់វានិងចំណុចប្រសព្វរវាងប៉ារ៉ាបូលជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស

$y = 3x^2 - 2x$
$y = (x + 1)(x - 3)$
$y = -2x^2 - 4x + 6$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកកំពូល និងចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស៖

$y = 3x^2 - 2x = 3\left(x^2 - \frac{2}{3}x\right) = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3}$៖
កំពូលគឺ $V\left(\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)$។
ប្រសព្វនឹងអ័ក្ស $Ox$ ($y = 0$)៖
\[\begin{aligned} 3x^2 - 2x = 0 &\iff x(3x - 2) = 0 \\ &\implies x = 0 \text{ ឬ } x = \frac{2}{3} \end{aligned}\]
ចំណុចប្រសព្វគឺ $(0, 0)$ និង $\left(\dfrac{2}{3}, 0\right)$។
$y = (x + 1)(x - 3) = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 4$៖
កំពូលគឺ $V(1, -4)$។
ប្រសព្វនឹងអ័ក្ស $Ox$ ត្រង់ $(-1, 0)$ និង $(3, 0)$។
$y = -2x^2 - 4x + 6 = -2(x^2 + 2x - 3) = -2(x + 1)^2 + 8$៖
កំពូលគឺ $V(-1, 8)$។
ប្រសព្វនឹងអ័ក្ស $Ox$ ($y = 0$)៖
\[-2(x + 3)(x - 1) = 0 \implies x = -3 \text{ ឬ } x = 1\]
ចំណុចប្រសព្វគឺ $(-3, 0)$ និង $(1, 0)$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៤លំហាត់ទី ៤

កំណត់អនុគមន៍ដែលក្រាបជាប៉ារ៉ាបូលដែលផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោម៖

កូអរដោនេនៃកំពូល $(3, -1)$ ហើយក្រាបកាត់តាមចំណុច $(6, 0)$ ។
ក្រាបកាត់តាមបីចំណុច $(-1, -3)$ , $(0, 1)$ និង $(1, 3)$ ។
ក្រាបកាត់តាមពីរចំណុច $(1, 1)$ និង $(4, 4)$ ហើយកំពូលនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់សមីការប៉ារ៉ាបូល៖

កំពូល $V(3, -1)$ និងកាត់តាម $(6, 0)$៖
សមីការមានទម្រង់ $y = a(x - 3)^2 - 1$។
ជំនួស $(6, 0)$ ចូល៖
\[0 = a(6 - 3)^2 - 1 = 9a - 1 \implies a = \frac{1}{9}\]
ដូចនេះ $y = \dfrac{1}{9}(x - 3)^2 - 1 = \dfrac{1}{9}x^2 - \dfrac{2}{3}x$។
កាត់តាម $(-1, -3), (0, 1), (1, 3)$៖
ទម្រង់ទូទៅ $y = ax^2 + bx + c$៖
- កាត់តាម $(0, 1) \implies c = 1$
- កាត់តាម $(1, 3) \implies a + b + 1 = 3 \implies a + b = 2$
- កាត់តាម $(-1, -3) \implies a - b + 1 = -3 \implies a - b = -4$
បូកសមីការទាំងពីរ៖ $2a = -2 \implies a = -1 \implies b = 3$។
ដូចនេះ $y = -x^2 + 3x + 1$។
កាត់តាម $(2, 0)$ និង $(4, 0)$ ហើយមានតម្លៃអតិបរមាស្មើ $2$៖
អ័ក្សឆ្លុះគឺ $x = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$ នាំឱ្យកំពូលគឺ $V(3, 2)$។
$y = a(x - 3)^2 + 2$។ កាត់តាម $(2, 0) \implies 0 = a(2 - 3)^2 + 2 \implies a = -2$។
ដូចនេះ $y = -2(x - 3)^2 + 2 = -2x^2 + 12x - 16$។

៥លំហាត់ទី ៥

ប៉ារ៉ាបូលខាងក្រោមមានក្រាបតាង $y = ax^2 + bx + c$ ។ កំណត់សញ្ញានៃ $a$ , $b$ , $c$ និង $\Delta = b^2 - 4ac$ ចំពោះក្រាបទាំងពីរខាងក្រោម៖ ក.

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ.

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់សញ្ញានៃ $a, b, c$ និង $\Delta$ តាមក្រាបប៉ារ៉ាបូល $y = ax^2 + bx + c$៖

ក្រាប (ក)៖
- ប៉ារ៉ាបូលបែរភាពប៉ោងឡើងលើ $\implies a > 0$
- កំពូលស្ថិតក្នុងកាដ្រង់ទី ៤ មាន $x_V = -\dfrac{b}{2a} > 0 \implies b < 0$
- ក្រាបកាត់អ័ក្ស $Oy$ ក្រោមគល់ $O$ $\implies c < 0$
- ក្រាបកាត់អ័ក្ស $Ox$ ត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា $\implies \Delta > 0$
ក្រាប (ខ)៖
- ប៉ារ៉ាបូលបែរភាពប៉ោងចុះក្រោម $\implies a < 0$
- កំពូលស្ថិតក្នុងកាដ្រង់ទី ២ មាន $x_V = -\dfrac{b}{2a} < 0 \implies b < 0$
- ក្រាបកាត់អ័ក្ស $Oy$ លើគល់ $O$ $\implies c > 0$
- ក្រាបកាត់អ័ក្ស $Ox$ ត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា $\implies \Delta > 0$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៦លំហាត់ទី ៦

កំណត់តម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមានៃអនុគមន៍បើវាមានដែនកំណត់ភ្ជាប់ខាងក្រោម ៖

$y = 3x - x^2 \quad{} (-1 \leq x \leq 2)$
$y = x^2 + 5x + 4 \quad{} (-3 \leq x \leq 0)$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមាលើដែនកំណត់ដែលបានផ្ដល់៖

$y = 3x - x^2 = -\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{9}{4}$ លើ $[-1, 2]$៖
កំពូល $x = \dfrac{3}{2} = 1.5 \in [-1, 2]$ នាំឱ្យ៖
\[y_{\max} = \frac{9}{4} = 2.25 \quad{} \left(\text{ត្រង់ } x = \frac{3}{2}\right)\]
ពិនិត្យតម្លៃនៅចុងកាត់៖
\[\begin{aligned} x = -1 &\implies y(-1) = 3(-1) - (-1)^2 = -4 \\ x = 2 &\implies y(2) = 3(2) - 2^2 = 2 \end{aligned}\]
ដូចនេះ $y_{\min} = -4$ (ត្រង់ $x = -1$)។
$y = x^2 + 5x + 4 = \left(x + \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4}$ លើ $[-3, 0]$៖
កំពូល $x = -2.5 \in [-3, 0]$ នាំឱ្យ៖
\[y_{\min} = -\frac{9}{4} = -2.25 \quad{} \left(\text{ត្រង់ } x = -\frac{5}{2}\right)\]
តម្លៃនៅចុងកាត់៖
\[\begin{aligned} x = -3 &\implies y(-3) = 9 - 15 + 4 = -2 \\ x = 0 &\implies y(0) = 4 \end{aligned}\]
ដូចនេះ $y_{\max} = 4$ (ត្រង់ $x = 0$)។

៧លំហាត់ទី ៧

កំណត់ចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាងប៉ារ៉ាបូល $y = x^2 + 2kx + 1$ និងបន្ទាត់ $y = 2x - 3$ តាមតម្លៃ $k$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាង $y = x^2 + 2kx + 1$ និង $y = 2x - 3$ តាម $k$៖
សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ៖

\[x^2 + 2kx + 1 = 2x - 3 \iff x^2 + 2(k - 1)x + 4 = 0\]

គណនាឌីសគ្រីមីណង់សង្ខេប៖

\[\Delta' = (k - 1)^2 - 4 = k^2 - 2k - 3 = (k - 3)(k + 1)\]

បើ $\Delta' > 0 \iff k \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$៖ មាន ២ ចំណុចប្រសព្វ។
បើ $\Delta' = 0 \iff k = -1$ ឬ $k = 3$៖ មាន ១ ចំណុចប្រសព្វ (បន្ទាត់ប៉ះប៉ារ៉ាបូល)។
បើ $\Delta' < 0 \iff k \in (-1, 3)$៖ គ្មានចំណុចប្រសព្វទេ។

៨លំហាត់ទី ៨

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = |x - 4|$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាប $y = |x - 4|$៖
បំបែកតម្លៃដាច់ខាត៖

\[y = \begin{cases} x - 4 & \text{បើ } x \ge 4 \\ 4 - x & \text{បើ } x < 4 \end{cases}\]

ក្រាបមានរាងអក្សរ V កំពូលត្រង់ $(4, 0)$ កាត់អ័ក្ស $Oy$ ត្រង់ $(0, 4)$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៩លំហាត់ទី ៩

គេមាន $f(x) = x^2 - 4x + 3$ និង $g(x) = (x - 2)^2 - 1$ ។

ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះ $\forall x$ , $f(x) = g(x)$
ទាញជាផលគុណកត្តានៃ $f(x)$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេមាន $f(x) = x^2 - 4x + 3$ និង $g(x) = (x - 2)^2 - 1$៖
ពន្លាតកន្សោម $g(x)$៖

\[g(x) = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3 = f(x)\]

ដូចនេះ $f(x)$ និង $g(x)$ ជា អនុគមន៍តែមួយ ហើយមានក្រាបប៉ារ៉ាបូលដូចគ្នាទាំងស្រុង ដែលមានកំពូល $V(2, -1)$ និងកាត់អ័ក្ស $Ox$ ត្រង់ $x = 1$ និង $x = 3$។

១០លំហាត់ទី ១០

ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម៖

$x^2 > 9$
$x(x - 2) < 3$
$x^2 + 5x - 6 < 0$
$2x^2 - 7x + 3 \geq 0$
$4x(x - 1) \leq 3$
$(1 - x)^2 \geq 17 - 2x$
$(x + 2)^2 < x(4 - x) + 40$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទី ២៖

$x^2 > 9 \iff x^2 - 9 > 0 \iff (x - 3)(x + 3) > 0$៖
សំណុំចម្លើយគឺ $S = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$។
$x(x - 2) < 3 \iff x^2 - 2x - 3 < 0 \iff (x - 3)(x + 1) < 0$៖
សំណុំចម្លើយគឺ $S = (-1, 3)$។
$x^2 + 5x - 6 < 0 \iff (x + 6)(x - 1) < 0$៖
សំណុំចម្លើយគឺ $S = (-6, 1)$។
$2x^2 - 7x + 3 \ge 0 \iff (2x - 1)(x - 3) \ge 0$៖
សំណុំចម្លើយគឺ $S = \left(-\infty, \dfrac{1}{2}\right] \cup [3, +\infty)$។

១១លំហាត់ទី ១១

គេមាន $f(x) = x^2 - 2x - 5$ ។

កំណត់កូអរដោនេកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូល រួចទាញជាទម្រង់ $f(x) = (x - \alpha)^2 + \beta$ ។
សង់ប៉ារ៉ាបូលក្នុងតម្រុយកូអរដោនេ រួចបញ្ជាក់កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាងប៉ារ៉ាបូល និងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។

មើលដំណោះស្រាយ

$f(x) = x^2 - 2x - 5$៖
បំប្លែងជាទម្រង់កាណូនិក៖

\[f(x) = (x^2 - 2x + 1) - 6 = (x - 1)^2 - 6\]

កំពូលនៃប៉ារ៉ាបូលគឺ $V(1, -6)$
អ័ក្សឆ្លុះជាបន្ទាត់ឈរ $x = 1$
តម្លៃអប្បបរមានៃអនុគមន៍គឺ $y_{\min} = -6$ ត្រង់ $x = 1$

១២លំហាត់ទី ១២

គេមានអនុគមន៍ $f(x) = x^2 + 3x - 1$ និង $g(x) = 4 - x^2$ ។

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ និង $g$ ក្នុងតម្រុយកូអរដោនេ ។
ដោះស្រាយសមីការ $f(x) = g(x)$ រួចបកស្រាយតាមបែបក្រាហ្វិក ។
ដោះស្រាយវិសមីការ $f(x) \leq g(x)$ តាមក្រាប ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកចំណុចប្រសព្វរវាង $f(x) = x^2 + 3x - 1$ និង $g(x) = 4 - x^2$៖
សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ៖

\[\begin{aligned} x^2 + 3x - 1 &= 4 - x^2 \\ \iff 2x^2 + 3x - 5 &= 0 \iff (x - 1)(2x + 5) = 0 \\ \implies x_1 &= 1, \quad{} x_2 = -\frac{5}{2} \end{aligned}\]

ចំពោះ $x = 1$ នោះ $y = 4 - 1^2 = 3 \implies (1, 3)$
ចំពោះ $x = -\dfrac{5}{2}$ នោះ $y = 4 - \left(-\dfrac{5}{2}\right)^2 = 4 - \dfrac{25}{4} = -\dfrac{9}{4} \implies \left(-\dfrac{5}{2}, -\dfrac{9}{4}\right)$

ចំណុចប្រសព្វគឺ $(1, 3)$ និង $\left(-\dfrac{5}{2}, -\dfrac{9}{4}\right)$។

១៣លំហាត់ទី ១៣

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = |2x - 1|$ ចំពោះ $-1 \leq x \leq 3$ ។

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ និងរកសំណុំរូបភាពតាងអនុគមន៍ $f$ ។
ដោះស្រាយសមីការ $f(x) \leq 3$ ។
សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $y = x + 1$ រួចដោះស្រាយសមីការ $|2x - 1| = x + 1$ តាមក្រាប ។

មើលដំណោះស្រាយ

$f(x) = |2x - 1|$ ចំពោះ $-1 \le x \le 3$៖
តម្លៃអប្បបរមាកើតមានត្រង់ $2x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2} \in [-1, 3]$ គឺ $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$។
តម្លៃនៅចុងកាត់៖

\[\begin{aligned} x = -1 &\implies f(-1) = |-3| = 3 \\ x = 3 &\implies f(3) = |5| = 5 \quad{} (\text{អតិបរមា}) \end{aligned}\]

ដូចនេះ សំណុំរូបភាពគឺ $R_f = [0, 5]$។

១៤លំហាត់ទី ១៤

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = 2x^2 + 12x - 3$ ។ កំណត់ចំនួនពិត $a$ , $\alpha$ , $\beta$ ដែល $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

$f(x) = 2x^2 + 12x - 3$ លើ $\mathbb{R}$៖
បំប្លែងជាទម្រង់កាណូនិក៖

\[\begin{aligned} f(x) &= 2(x^2 + 6x) - 3 = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) - 3 \\ &= 2(x + 3)^2 - 18 - 3 = 2(x + 3)^2 - 21 \end{aligned}\]

កំពូលប៉ារ៉ាបូលគឺ $V(-3, -21)$
អ័ក្សឆ្លុះគឺបន្ទាត់ $x = -3$
តម្លៃអប្បបរមាគឺ $-21$ ត្រង់ $x = -3$

១៥លំហាត់ទី ១៥

គេមានប៉ារ៉ាបូល $(P) : y = ax^2 + bx + c$ កាត់តាមចំណុច $A(-1, 0)$ , $B(1, 3)$ និង $C(3, 4)$ និងបន្ទាត់ $D : x + 2$ ។

កំណត់ចំនួនពិត $a, b$ និង $c$ រួចសង់ក្រាបតាងប៉ារ៉ាបូល ។
ដោះស្រាយវិសមីការ $-\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{7}{4} \leq x + 2$ តាមក្រាហ្វិក ។

មើលដំណោះស្រាយ

$(P) : y = ax^2 + bx + c$ កាត់តាម $A(-1, 0), B(1, 3), C(3, 4)$៖

កំណត់តម្លៃ $a, b, c$៖
ជំនួសចំណុចទាំងបីចូល៖
\[\begin{cases} a - b + c = 0 \quad{} (1) \\ a + b + c = 3 \quad{} (2) \\ 9a + 3b + c = 4 \quad{} (3) \end{cases}\]
យក $(2) - (1)$៖ $2b = 3 \implies b = \dfrac{3}{2}$។
ជំនួស $b = \dfrac{3}{2}$ ចូល $(1)$៖ $a + c = \dfrac{3}{2}$។
យក $(3) - (2)$៖ $8a + 2b = 1 \implies 8a + 3 = 1 \implies 8a = -2 \implies a = -\dfrac{1}{4}$។
$c = \dfrac{3}{2} - \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{7}{4}$។
ដូចនេះ $(P) : y = -\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x + \dfrac{7}{4}$។
រកចំណុចប្រសព្វរវាង $(P)$ និង $D : y = x + 2$៖
\[\begin{aligned} -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{7}{4} &= x + 2 \\ \iff -x^2 + 6x + 7 &= 4x + 8 \end{aligned}\]

\[\iff x^2 - 2x + 1 = 0 \iff (x - 1)^2 = 0 \implies x = 1\]
ត្រង់ $x = 1 \implies y = 1 + 2 = 3$។
ដូចនេះ បន្ទាត់ $D$ ប៉ះនឹងប៉ារ៉ាបូល $(P)$ ត្រង់ចំណុច $B(1, 3)$។

១៦លំហាត់ទី ១៦

គន្លងបាល់បោះ៖ កីឡាករម្នាក់បោះបាល់បញ្ចូលកន្ត្រក។ កម្ពស់បាល់ $h$ (គិតជាម៉ែត្រ) ធៀបនឹងដី បន្ទាប់ពីរយៈពេល $t$ វិនាទី កំណត់ដោយអនុគមន៍ $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$។

តើបាល់ឡើងដល់កម្ពស់អតិបរមានៅវិនាទីទីប៉ុន្មាន?
តើកម្ពស់អតិបរមានោះស្មើនឹងប៉ុន្មានម៉ែត្រ?

មើលដំណោះស្រាយ

គន្លងបាល់បោះ៖
សមីការកម្ពស់បាល់ជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី ២ មានទម្រង់ $h(t) = -5t^2 + v_0 t + h_0$។
កំពូលនៃប៉ារ៉ាបូលផ្ដល់កម្ពស់អតិបរមាដែលបាល់អាចឡើងដល់ខ្ពស់បំផុត ត្រង់ខណៈ $t_v = -\dfrac{v_0}{2a}$។

១៧លំហាត់ទី ១៧

ប្រាក់ចំណេញនៃរោងចក្រ៖ រោងចក្រផលិតអាវយឺតមួយរកប្រាក់ចំណេញប្រចាំថ្ងៃ $P$ (គិតជាពាន់រៀល) ជាអនុគមន៍នៃចំនួនអាវយឺត $x$ ដែលផលិតបាន ដោយសមីការ $P(x) = -2x^2 + 400x - 5000$។

តើរោងចក្រត្រូវផលិតអាវយឺតប៉ុន្មានទើបទទួលបានប្រាក់ចំណេញខ្ពស់បំផុត?
តើប្រាក់ចំណេញខ្ពស់បំផុតនោះមានចំនួនប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រាក់ចំណេញនៃរោងចក្រ៖ $P(x) = -2x^2 + 40x - 50$ (ពាន់រៀល)៖
ដោយ $a = -2 < 0$ អនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាត្រង់កំពូល៖

\[x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2(-2)} = 10\text{ (រយអាវ)}\]

ប្រាក់ចំណេញអតិបរមាគឺ៖

\[\begin{aligned} P(10) &= -2(10^2) + 40(10) - 50 \\ &= -200 + 400 - 50 = 150\text{ ពាន់រៀល} \end{aligned}\]

១៨លំហាត់ទី ១៨

រកកូអរដោនេកំពូល អ័ក្សឆ្លុះ និងសំណុំរូបភាពនៃប៉ារ៉ាបូល $y = x^2 - 6x + 8$។

មើលដំណោះស្រាយ

$y = x^2 - 6x + 8$៖
បំប្លែង៖ $y = (x - 3)^2 - 1$។

កំពូលគឺ $V(3, -1)$
អ័ក្សឆ្លុះគឺបន្ទាត់ $x = 3$
ដោយ $a = 1 > 0$ នាំឱ្យសំណុំរូបភាពគឺ $R = [-1, +\infty)$

១៩លំហាត់ទី ១៩

រកកូអរដោនេកំពូល អ័ក្សឆ្លុះ និងសំណុំរូបភាពនៃប៉ារ៉ាបូល $y = -2x^2 + 8x - 3$។

មើលដំណោះស្រាយ

$y = -2x^2 + 8x - 3$៖
បំប្លែង៖ $y = -2(x^2 - 4x) - 3 = -2(x - 2)^2 + 8 - 3 = -2(x - 2)^2 + 5$។

កំពូលគឺ $V(2, 5)$
អ័ក្សឆ្លុះគឺបន្ទាត់ $x = 2$
ដោយ $a = -2 < 0$ នាំឱ្យសំណុំរូបភាពគឺ $R = (-\infty, 5]$

២០លំហាត់ទី ២០

សរសេរអនុគមន៍ $y = 3x^2 - 12x + 7$ ជាទម្រង់ទូទៅនៃកំពូល $y = a(x - h)^2 + k$។

មើលដំណោះស្រាយ

សរសេរ $y = 3x^2 - 12x + 7$ ជាទម្រង់កំពូល $y = a(x - h)^2 + k$៖

\[\begin{aligned} y &= 3(x^2 - 4x) + 7 = 3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 7 \\ &= 3(x - 2)^2 - 12 + 7 = 3(x - 2)^2 - 5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ $y = 3(x - 2)^2 - 5$ (កំពូលគឺ $V(2, -5)$)។

២១លំហាត់ទី ២១

សរសេរអនុគមន៍ $y = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1$ ជាទម្រង់ $y = a(x - h)^2 + k$។

មើលដំណោះស្រាយ

សរសេរ $y = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1$ ជាទម្រង់ $y = a(x - h)^2 + k$៖

\[\begin{aligned} y &= -\frac{1}{2}(x^2 - 4x) + 1 = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 \\ &= -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 2 + 1 = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 3 \end{aligned}\]

២២លំហាត់ទី ២២

រកតម្លៃអប្បបរមា ឬអតិបរមានៃអនុគមន៍ $f(x) = 4x^2 - 16x + 25$ លើ $\mathbb{R}$។

មើលដំណោះស្រាយ

$f(x) = 4x^2 - 16x + 25$ លើ $\mathbb{R}$៖
$f(x) = 4(x^2 - 4x) + 25 = 4(x - 2)^2 - 16 + 25 = 4(x - 2)^2 + 9$។
ដោយ $a = 4 > 0$ នាំឱ្យអនុគមន៍មាន តម្លៃអប្បបរមាស្មើ $9$ ត្រង់ $x = 2$។

២៣លំហាត់ទី ២៣

រកតម្លៃអប្បបរមា ឬអតិបរមានៃអនុគមន៍ $g(x) = -3x^2 - 6x + 2$ លើ $\mathbb{R}$។

មើលដំណោះស្រាយ

$g(x) = -3x^2 - 6x + 2$ លើ $\mathbb{R}$៖
$g(x) = -3(x^2 + 2x) + 2 = -3(x + 1)^2 + 3 + 2 = -3(x + 1)^2 + 5$។
ដោយ $a = -3 < 0$ នាំឱ្យអនុគមន៍មាន តម្លៃអតិបរមាស្មើ $5$ ត្រង់ $x = -1$។

២៤លំហាត់ទី ២៤

រកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ $y = x^2 - 4x + 5$ លើចន្លោះ $[0, 3]$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃ $y = x^2 - 4x + 5$ លើ $[0, 3]$៖
$y = (x - 2)^2 + 1$។ កំពូល $x = 2 \in [0, 3]$ ផ្ដល់តម្លៃអប្បបរមា $y_{\min} = 1$។
តម្លៃនៅចុងកាត់៖

\[\begin{aligned} x = 0 &\implies y(0) = 5 \quad{} (\text{តម្លៃអតិបរមា}) \\ x = 3 &\implies y(3) = (3 - 2)^2 + 1 = 2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ $y_{\max} = 5$ (ត្រង់ $x = 0$) និង $y_{\min} = 1$ (ត្រង់ $x = 2$)។

២៥លំហាត់ទី ២៥

រកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ $y = x^2 - 4x + 5$ លើចន្លោះ $[3, 5]$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃ $y = x^2 - 4x + 5$ លើ $[3, 5]$៖
$y = (x - 2)^2 + 1$។ កំពូល $x = 2 \notin [3, 5]$។
ដោយ $x \ge 3 > 2$ អនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ $[3, 5]$៖

\[\begin{aligned} y_{\min} &= y(3) = (3 - 2)^2 + 1 = 2 \\ y_{\max} &= y(5) = (5 - 2)^2 + 1 = 3^2 + 1 = 10 \end{aligned}\]

២៦លំហាត់ទី ២៦

រកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ $y = -x^2 + 2x + 3$ លើចន្លោះ $[-2, 2]$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃ $y = -x^2 + 2x + 3$ លើ $[-2, 2]$៖
$y = -(x - 1)^2 + 4$។ កំពូល $x = 1 \in [-2, 2]$ ផ្ដល់តម្លៃអតិបរមា $y_{\max} = 4$។
តម្លៃនៅចុងកាត់៖

\[\begin{aligned} x = -2 &\implies y(-2) = -(-3)^2 + 4 = -5 \\ x = 2 &\implies y(2) = -(1)^2 + 4 = 3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ $y_{\max} = 4$ (ត្រង់ $x = 1$) និង $y_{\min} = -5$ (ត្រង់ $x = -2$)។

២៧លំហាត់ទី ២៧

កំណត់សមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $V(2, -3)$ ហើយកាត់តាមចំណុច $(0, 5)$។

មើលដំណោះស្រាយ

ប៉ារ៉ាបូលមានកំពូល $V(2, -3)$ ហើយកាត់តាម $(0, 5)$៖
ទម្រង់កំពូល៖ $y = a(x - 2)^2 - 3$។
កាត់តាម $(0, 5) \implies 5 = a(0 - 2)^2 - 3 \iff 4a = 8 \implies a = 2$។
ដូចនេះ $y = 2(x - 2)^2 - 3 = 2x^2 - 8x + 5$។

២៨លំហាត់ទី ២៨

កំណត់សមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានអ័ក្សឆ្លុះជាបន្ទាត់ $x = 1$, មានតម្លៃអប្បបរមាស្មើ $-4$, និងកាត់អ័ក្សអរដោនេត្រង់ $(0, -3)$។

មើលដំណោះស្រាយ

អ័ក្សឆ្លុះ $x = 1$, តម្លៃអប្បបរមា $-4$, កាត់អ័ក្ស $Oy$ ត្រង់ $(0, -1)$៖
កំពូលគឺ $V(1, -4) \implies y = a(x - 1)^2 - 4$។
កាត់តាម $(0, -1) \implies -1 = a(0 - 1)^2 - 4 \implies a = 3$។
ដូចនេះ $y = 3(x - 1)^2 - 4 = 3x^2 - 6x - 1$។

២៩លំហាត់ទី ២៩

កំណត់សមីការប៉ារ៉ាបូលដែលកាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ $x = -1$ និង $x = 5$, ហើយមានតម្លៃអតិបរមាស្មើ $9$។

មើលដំណោះស្រាយ

កាត់អ័ក្ស $Ox$ ត្រង់ $x = -1$ និង $x = 5$, តម្លៃអតិបរមាស្មើ $9$៖
អ័ក្សឆ្លុះគឺបន្ទាត់កណ្តាល $x = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2$ នាំឱ្យកំពូលគឺ $V(2, 9)$។
សមីការមានទម្រង់ $y = a(x - 2)^2 + 9$។
កាត់តាម $(5, 0) \implies 0 = a(5 - 2)^2 + 9 \iff 9a + 9 = 0 \implies a = -1$។
ដូចនេះ $y = -(x - 2)^2 + 9 = -x^2 + 4x + 5$។

៣០លំហាត់ទី ៣០

រកលក្ខខណ្ឌនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $m$ ដើម្បីឱ្យប៉ារ៉ាបូល $y = x^2 - 2mx + m + 6$ ប៉ះនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

មើលដំណោះស្រាយ

ប៉ារ៉ាបូល $y = x^2 - 2mx + m + 6$ ប៉ះនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស៖
លក្ខខណ្ឌប៉ះអ័ក្ស $Ox$ គឺ $\Delta' = 0$៖

\[\begin{aligned} \Delta' &= (-m)^2 - (m + 6) = m^2 - m - 6 \\ \Delta' = 0 &\iff (m - 3)(m + 2) = 0 \\ &\implies m = 3 \text{ ឬ } m = -2 \end{aligned}\]

៣១លំហាត់ទី ៣១

រកលក្ខខណ្ឌនៃ $m$ ដើម្បីឱ្យប៉ារ៉ាបូល $y = x^2 - (m+1)x + 4$ មិនជួបអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

មើលដំណោះស្រាយ

ប៉ារ៉ាបូល $y = x^2 - (m+1)x + 4$ មិនជួបអ័ក្សអាប់ស៊ីស៖
លក្ខខណ្ឌគ្មានចំណុចរួមជាមួយ $Ox$ គឺ $\Delta < 0$៖

\[\begin{aligned} \Delta &= (m + 1)^2 - 4(1)(4) = (m + 1)^2 - 16 < 0 \\ &\iff (m + 1 - 4)(m + 1 + 4) < 0 \\ &\iff (m - 3)(m + 5) < 0 \iff -5 < m < 3 \end{aligned}\]

៣២លំហាត់ទី ៣២

រកលក្ខខណ្ឌនៃ $m$ ដើម្បីឱ្យប៉ារ៉ាបូល $y = -x^2 + 2x + m$ កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា។

មើលដំណោះស្រាយ

ប៉ារ៉ាបូល $y = -x^2 + 2x + m$ កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា៖
លក្ខខណ្ឌកាត់ $Ox$ ត្រង់ពីរចំណុចគឺ $\Delta' > 0$៖

\[\Delta' = 1^2 - (-1)(m) = 1 + m > 0 \iff m > -1\]

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $y = x + 1$ និងប៉ារ៉ាបូល $y = x^2 - 3x + 4$។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រសព្វរវាង $y = x + 1$ និង $y = x^2 - 3x + 4$៖
សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ៖

\[\begin{aligned} x^2 - 3x + 4 = x + 1 &\iff x^2 - 4x + 3 = 0 \\ &\iff (x - 1)(x - 3) = 0 \end{aligned}\]

$x = 1 \implies y = 1 + 1 = 2 \implies (1, 2)$
$x = 3 \implies y = 3 + 1 = 4 \implies (3, 4)$

ចំណុចប្រសព្វគឺ $(1, 2)$ និង $(3, 4)$។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $y = 2x - 5$ និងប៉ារ៉ាបូល $y = -x^2 + 4x - 2$។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រសព្វរវាង $y = 2x - 5$ និង $y = -x^2 + 4x - 2$៖
សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ៖

\[\begin{aligned} -x^2 + 4x - 2 = 2x - 5 &\iff x^2 - 2x - 3 = 0 \\ &\iff (x - 3)(x + 1) = 0 \end{aligned}\]

$x = 3 \implies y = 2(3) - 5 = 1 \implies (3, 1)$
$x = -1 \implies y = 2(-1) - 5 = -7 \implies (-1, -7)$

ចំណុចប្រសព្វគឺ $(3, 1)$ និង $(-1, -7)$។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ $y = 2x + m$ ប៉ះនឹងប៉ារ៉ាបូល $y = x^2 + 4$។

មើលដំណោះស្រាយ

រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $y = 2x + m$ ប៉ះនឹង $y = x^2 + 4$៖
សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ៖

\[x^2 + 4 = 2x + m \iff x^2 - 2x + (4 - m) = 0\]

លក្ខខណ្ឌប៉ះគ្នាគឺ $\Delta' = 0$៖

\[\begin{aligned} \Delta' &= (-1)^2 - 1(4 - m) = m - 3 \\ \Delta' = 0 &\implies m - 3 = 0 \implies m = 3 \end{aligned}\]

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

ដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទីពីរ $x^2 - 5x + 6 \le 0$ តាមពីជគណិត និងតាមក្រាហ្វិក។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ $x^2 - 5x + 6 \le 0$៖

តាមពីជគណិត៖ $(x - 2)(x - 3) \le 0$។ សញ្ញាអវិជ្ជមាន ឬសូន្យស្ថិតនៅចន្លោះឫស នាំឱ្យ $2 \le x \le 3$។
តាមក្រាហ្វិក៖ ប៉ារ៉ាបូល $y = x^2 - 5x + 6$ បែរភាពប៉ោងឡើងលើ កាត់អ័ក្ស $Ox$ ត្រង់ $x = 2$ និង $x = 3$។ ផ្នែកនៃក្រាបដែលស្ថិតនៅក្រោម ឬលើអ័ក្ស $Ox$ ត្រូវនឹង $x \in [2, 3]$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

សំណុំចម្លើយគឺ $S = [2, 3]$។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

ដោះស្រាយវិសមីការ $-2x^2 + 3x + 5 > 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ $-2x^2 + 3x + 5 > 0$៖
គុណនឹង $-1$៖

\[2x^2 - 3x - 5 < 0 \iff (2x - 5)(x + 1) < 0\]

ឫសទាំងពីរគឺ $x_1 = -1, x_2 = \dfrac{5}{2}$។
កន្សោមអវិជ្ជមាននៅចន្លោះឫស៖

\[-1 < x < \frac{5}{2}\]

សំណុំចម្លើយគឺ $S = \left(-1, \dfrac{5}{2}\right)$។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

ដោះស្រាយវិសមីការ $x^2 - 6x + 9 > 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ $x^2 - 6x + 9 > 0$៖
បំប្លែងជាការេពេញលេញ៖

\[(x - 3)^2 > 0\]

ដោយការេនៃចំនួនពិតតែងតែមិនអវិជ្ជមាន $(\ge 0)$ ហើយស្មើ $0$ ត្រង់ $x = 3$ នោះវិសមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ $x \neq 3$។
សំណុំចម្លើយគឺ $S = \mathbb{R} \setminus \{3\} = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

បង្ហាញថាវិសមីការ $x^2 + 4x + 7 > 0$ ពិតចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថា $x^2 + 4x + 7 > 0$ ពិតចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$៖
បំប្លែងជាការេពេញលេញ៖

\[x^2 + 4x + 7 = (x^2 + 4x + 4) + 3 = (x + 2)^2 + 3\]

ដោយ $(x + 2)^2 \ge 0$ ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ នាំឱ្យ៖

\[(x + 2)^2 + 3 \ge 3 > 0\]

(ឬដោយ $a = 1 > 0$ និង $\Delta' = 2^2 - 7 = -3 < 0$)។
ដូចនេះ វិសមីការពិតចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$។

៤០លំហាត់ទី ៤០

រកតម្លៃនៃ $m$ ដើម្បីឱ្យវិសមីការ $x^2 - 2(m-1)x + 4 > 0$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$។

មើលដំណោះស្រាយ

រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $x^2 - 2(m-1)x + 4 > 0$ ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$៖
ដោយមេគុណ $a = 1 > 0$ លក្ខខណ្ឌដើម្បីឱ្យត្រីធាវិជ្ជមានដាច់ខាតលើ $\mathbb{R}$ គឺ $\Delta' < 0$៖

\[\begin{aligned} \Delta' < 0 &\iff (m - 1)^2 - 4 < 0 \\ &\iff (m - 3)(m + 1) < 0 \\ &\iff -1 < m < 3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ $m \in (-1, 3)$។

៤១លំហាត់ទី ៤១

រកតម្លៃនៃ $m$ ដើម្បីឱ្យវិសមីការ $-x^2 + 2mx - 3m \le 0$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$។

មើលដំណោះស្រាយ

រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $-x^2 + 2mx - 3m \le 0$ ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$៖
ដោយ $a = -1 < 0$ លក្ខខណ្ឌដើម្បីឱ្យត្រីធាអវិជ្ជមាន ឬសូន្យលើ $\mathbb{R}$ គឺ $\Delta' \le 0$៖

\[\begin{aligned} \Delta' \le 0 &\iff m^2 - (-1)(-3m) \le 0 \\ &\iff m(m - 3) \le 0 \iff 0 \le m \le 3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ $m \in [0, 3]$។

៤២លំហាត់ទី ៤២

ចតុកោណកែងមួយមានបរិមាត្រ $40\text{ m}$។ កំណត់វិមាត្រដើម្បីឱ្យផ្ទៃក្រឡារបស់វាមានតម្លៃធំបំផុត។

មើលដំណោះស្រាយ

ចតុកោណកែងមានបរិមាត្រ $40\text{ m}$៖
តាង $x$ ជាបណ្តោយ និង $y$ ជាទទឹង ($x, y > 0$) នោះ $2(x + y) = 40 \implies y = 20 - x$។
ផ្ទៃក្រឡាជាអនុគមន៍នៃ $x$៖

\[S(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x = -(x - 10)^2 + 100\]

ដោយ $a = -1 < 0$ ផ្ទៃក្រឡាអតិបរមាគឺ $S_{\max} = 100\text{ m}^2$ កើតមានត្រង់ $x = 10\text{ m}$ នាំឱ្យ $y = 10\text{ m}$ (ចតុកោណកែងក្លាយជាការេ)។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

ចំនួនពីរមានផលបូកស្មើ $24$។ រកចំនួនទាំងពីរនោះដើម្បីឱ្យផលគុណរបស់វាមានតម្លៃធំបំផុត។

មើលដំណោះស្រាយ

ពីរចំនួនមានផលបូកស្មើ $24$៖
តាងចំនួនទាំងពីរដោយ $x$ និង $24 - x$។
ផលគុណរបស់វាគឺ៖

\[P(x) = x(24 - x) = -x^2 + 24x = -(x - 12)^2 + 144\]

ផលគុណធំបំផុតគឺ $144$ កើតមានកាលណា $x = 12$ និងចំនួនមួយទៀតគឺ $24 - 12 = 12$។
ដូចនេះ ចំនួនទាំងពីរនោះគឺ $12$ និង $12$។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

ចំនួនពីរមានផលដកស្មើ $10$។ រកចំនួនទាំងពីរនោះដើម្បីឱ្យផលបូកការេរបស់វាមានតម្លៃតូចបំផុត។

មើលដំណោះស្រាយ

ពីរចំនួនមានផលដកស្មើ $10$៖
តាងចំនួនទីមួយដោយ $x$ នោះចំនួនទីពីរគឺ $x - 10$។
ផលបូកការេនៃចំនួនទាំងពីរគឺ៖

\[\begin{aligned} S(x) &= x^2 + (x - 10)^2 \\ &= 2x^2 - 20x + 100 \\ &= 2(x - 5)^2 + 50 \end{aligned}\]

ផលបូកការេតូចបំផុតគឺ $50$ កើតមានកាលណា $x = 5$ និងចំនួនទីពីរគឺ $5 - 10 = -5$។
ដូចនេះ ចំនួនទាំងពីរគឺ $5$ និង $-5$។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

កសិករម្នាក់មានរបងប្រវែង $120\text{ m}$ សម្រាប់ព័ទ្ធដីចតុកោណកែងមួយជាប់មាត់ស្ទឹងត្រង់ (មិនចាំបាច់ធ្វើរបងតាមបណ្តោយមាត់ស្ទឹងទេ)។ រកវិមាត្រដីដើម្បីឱ្យផ្ទៃក្រឡាព័ទ្ធបានធំបំផុត រួចគណនាផ្ទៃក្រឡាអតិបរមានោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

របងដីចតុកោណកែងជាប់មាត់ស្ទឹង៖
តាង $x$ ជាទទឹងដី (ជ្រុងកែងនឹងមាត់ស្ទឹងចំនួន ២) និង $y$ ជាបណ្តោយ (ជ្រុងស្របនឹងមាត់ស្ទឹងចំនួន ១)៖
ប្រវែងរបងសរុបគឺ $2x + y = 120 \implies y = 120 - 2x$។
ផ្ទៃក្រឡាដី៖

\[\begin{aligned} S(x) &= x(120 - 2x) = -2x^2 + 120x \\ &= -2(x - 30)^2 + 1800 \end{aligned}\]

ផ្ទៃក្រឡាធំបំផុតគឺ $1800\text{ m}^2$ កើតមានត្រង់ទទឹង $x = 30\text{ m}$ និងបណ្តោយ $y = 120 - 2(30) = 60\text{ m}$។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

គ្រាប់ផ្លោងមួយត្រូវបានបាញ់ឡើងលើពីកម្ពស់ $20\text{ m}$ ធៀបនឹងដី ដោយមានកម្ពស់កំណត់ដោយ $h(t) = -5t^2 + 30t + 20$ (គិតជា $\text{m}$) បន្ទាប់ពីរយៈពេល $t$ វិនាទី។

តើគ្រាប់ផ្លោងឡើងដល់កម្ពស់អតិបរមានៅវិនាទីទីប៉ុន្មាន? រកកម្ពស់អតិបរមានោះ។
តើរយៈពេលប៉ុន្មានវិនាទីទើបគ្រាប់ផ្លោងធ្លាក់មកដល់ដី?

មើលដំណោះស្រាយ

កម្ពស់គ្រាប់ផ្លោង៖ $h(t) = -5t^2 + 30t + 20$ ($t \ge 0$)៖

កម្ពស់អតិបរមាកើតមានត្រង់កំពូលប៉ារ៉ាបូល៖
\[t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2(-5)} = 3\text{ s}\]

\[\begin{aligned} h_{\max} &= h(3) = -5(3^2) + 30(3) + 20 \\ &= -45 + 90 + 20 = 65\text{ m} \end{aligned}\]
គ្រាប់ធ្លាក់ដល់ដីកាលណា $h(t) = 0$៖
\[-5t^2 + 30t + 20 = 0 \iff t^2 - 6t - 4 = 0\]
$\Delta' = 9 - (-4) = 13 \implies t = 3 + \sqrt{13} \approx 6.61\text{ s}$ ($t > 0$)។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

ហាងមួយលក់វត្ថុអនុស្សាវរីយ៍បាន $80$ គ្រឿងក្នុងមួយថ្ងៃ ក្នុងតម្លៃ $10\$$ ក្នុងមួយគ្រឿង។ រាល់ពេលដែលដំឡើងថ្លៃ $1\$$ ការលក់នឹងថយចុះ $4$ គ្រឿង។

បង្ហាញប្រាក់ចំណូលប្រចាំថ្ងៃ $R(x)$ ជាអនុគមន៍នៃការដំឡើងថ្លៃ $x$ ដុល្លារ។
តើត្រូវលក់ក្នុងតម្លៃប៉ុន្មានដើម្បីឱ្យប្រាក់ចំណូលទទួលបានអតិបរមា?

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណូលលក់វត្ថុអនុស្សាវរីយ៍៖
តាង $x$ ជាចំនួនដងនៃការតម្លើងថ្លៃ $1\$$ ($x \ge 0$)៖

តម្លៃលក់ថ្មី៖ $P(x) = 10 + x$ ($/គ្រឿង)
បរិមាណលក់បាន៖ $Q(x) = 80 - 4x$ (គ្រឿង)

ចំណូលសរុបប្រចាំថ្ងៃគឺ៖

\[\begin{aligned} R(x) &= (10 + x)(80 - 4x) \\ &= -4x^2 + 40x + 800 \\ &= -4(x^2 - 10x + 25) + 900 \\ &= -4(x - 5)^2 + 900 \end{aligned}\]

ចំណូលអតិបរមាគឺ $900\$$ កើតមានកាលណា $x = 5$ នោះតម្លៃលក់ត្រូវកំណត់គឺ $10 + 5 = 15\$$ ក្នុងមួយគ្រឿង។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

ធ្នូស្ពានមួយមានរាងជាប៉ារ៉ាបូល $y = -0.05x^2 + 1.2x$ ដែល $x$ និង $y$ គិតជាម៉ែត្រ។

គណនាប្រវែងគម្លាតជើងធ្នូស្ពាននៅកម្រិតផ្ទៃទឹក ($y = 0$)។
គណនាកម្ពស់ខ្ពស់បំផុតនៃធ្នូស្ពានធៀបនឹងផ្ទៃទឹក។

មើលដំណោះស្រាយ

ធ្នូស្ពានរាងប៉ារ៉ាបូល $y = -0.05x^2 + 1.2x$៖

ប្រវែងចន្លោះស្ពាន (ចម្ងាយរវាងជើងធ្នូទាំងសងខាង $y = 0$)៖
\[\begin{aligned} -0.05x^2 + 1.2x &= 0 \\ \iff x(-0.05x + 1.2) &= 0 \\ \implies x = 0 \text{ ឬ } x &= \frac{1.2}{0.05} = 24\text{ m} \end{aligned}\]
កម្ពស់ខ្ពស់បំផុតនៃធ្នូស្ពាន (ត្រង់ចំណុចកណ្តាល $x = 12\text{ m}$)៖
\[\begin{aligned} y(12) &= -0.05(12^2) + 1.2(12) \\ &= -7.2 + 14.4 = 7.2\text{ m} \end{aligned}\]

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

ចានឆ្លុះពន្លឺព្រះអាទិត្យ (STEM/PISA)៖ មុខកាត់នៃចានឆ្លុះប្រមូលកម្ដៅព្រះអាទិត្យមួយមានរាងជាប៉ារ៉ាបូល $y = \dfrac{1}{16}x^2$ ចំពោះ $-4 \le x \le 4$ (គិតជាម៉ែត្រ)។

គណនាទទឹងមាត់ចាន និងជម្រៅនៃចានឆ្លុះ។
កំណត់ទីតាំងចំណុចកំណុំ (Focus) ដែលកាំរស្មីព្រះអាទិត្យប្រមូលផ្តុំខ្លាំងបំផុត ($f = \dfrac{1}{4a}$)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចានឆ្លុះពន្លឺព្រះអាទិត្យ (STEM/PISA)៖
មុខកាត់ជាប៉ារ៉ាបូលមានសមីការ $y = ax^2$ ដែលមានគល់ $O(0, 0)$ ជាបាតចាន។
បើអង្កត់ផ្ចិតមាត់ចានគឺ $D$ និងជម្រៅចានគឺ $H$ នោះចានកាត់តាមចំណុច $\left(\dfrac{D}{2}, H\right)$ នាំឱ្យ៖

\[H = a\left(\frac{D}{2}\right)^2 = a \cdot \frac{D^2}{4} \implies a = \frac{4H}{D^2}\]

គន្លាតកំណុំ (ទីតាំងទទួលកម្ដៅប្រមូលផ្តុំខ្លាំងបំផុត) គឺ $f = \dfrac{1}{4a} = \dfrac{D^2}{16H}$។

៥០លំហាត់ទី ៥០

ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពចំណេញកសិកម្ម (PISA)៖ សហគមន៍កសិកម្មមួយផលិតស្រូវ ដោយមានថ្លៃដើមផលិតសរុប $C(q) = 2q^2 + 40q + 500$ (គិតជាពាន់រៀល) ចំពោះបរិមាណស្រូវ $q$ តោន។ តម្លៃលក់គឺ $120$ ពាន់រៀលក្នុងមួយតោន ($R(q) = 120q$)។

សរសេរអនុគមន៍ប្រាក់ចំណេញ $P(q) = R(q) - C(q)$។
តើត្រូវផលិតស្រូវប៉ុន្មានតោនដើម្បីទទួលបានប្រាក់ចំណេញអតិបរមា? គណនាប្រាក់ចំណេញនោះ។
រកចន្លោះបរិមាណផលិតផលដែលធានាថាមិនខាតបង់ ($P(q) \ge 0$)។

មើលដំណោះស្រាយ

ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពចំណេញកសិកម្ម (PISA)៖
ថ្លៃដើមផលិត៖ $C(q) = 2q^2 + 40q + 500$ (ពាន់រៀល)។
ចំណូលពីការលក់ក្នុងតម្លៃ $120$ ពាន់រៀល/តោន៖ $R(q) = 120q$។
ប្រាក់ចំណេញសុទ្ធគឺ $P(q) = R(q) - C(q)$៖

\[\begin{aligned} P(q) &= 120q - (2q^2 + 40q + 500) \\ &= -2q^2 + 80q - 500 \\ &= -2(q^2 - 40q + 400) + 800 - 500 \\ &= -2(q - 20)^2 + 300 \end{aligned}\]

ដោយ $a = -2 < 0$ ប្រាក់ចំណេញអតិបរមាគឺ $300$ ពាន់រៀល កើតមាននៅពេលសហគមន៍ផលិត និងលក់ស្រូវបានបរិមាណ $q = 20$ តោន។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ៦ អនុគមន៍ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត

ក. \(x^2 + 4x + 1 < 0\)	ខ. \(3x^2 + 7x + 3 \geq 0\)
គ. \(-x^2 + 7x + 3 < 0\)	ឃ. \(x^2 - 4x + 4 \leq 0\) ។

ក. \(-2 - \sqrt{3} < x < -2 + \sqrt{3}\)	ខ. \(x \leq \dfrac{-7 - \sqrt{13}}{6}\) ឬ \(x \geq \dfrac{-7 + \sqrt{13}}{6}\)
គ. \(x < \dfrac{7 - \sqrt{61}}{2}\) ឬ \(x > \dfrac{7 + \sqrt{61}}{2}\)	ឃ. \(x = 2\) ។

អនុគមន៍ដឺក្រេទី 2

អនុគមន៍ \(y = ax^2\)

ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = a(x - p)^2\)

ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = a(x - p)^2 + q\)

តម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី 2

ការដោះស្រាយសមីការនិងវិសមីការដឺក្រេទី 2 តាមក្រាប

ការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី 2 តាមក្រាប

ការដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទី 2 តាមក្រាប

ការអនុវត្តនៃក្រាប

ក្រាបនិងវិសមីការ

លំហាត់អនុវត្តន៍

សំណួរពហុជ្រើសរើស

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០