ផលធៀបត្រីកោណមាត្រ

កំណត់តម្លៃផលធៀបត្រីកោណមាត្រ៖

• រូបទី 1៖ \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(C\) មានជ្រុងកែង \(AC = 12\), \(BC = 5\)។
  តាមទ្រឹស្ដីបទពីតាករ អ៊ីប៉ូតេនុសគឺ៖

  \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\]
  ចំពោះមុំស្រួច \(A\)៖
  \[\begin{aligned} \textbf{ក.}~\ \sin A &= \frac{\text{ឈម}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}} = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13} \\ \textbf{ខ.}~\ \cos A &= \frac{\text{ជាប់}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}} = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13} \\ \textbf{គ.}~\ \tan A &= \frac{\text{ឈម}}{\text{ជាប់}} = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12} \end{aligned}\]
  ចំពោះមុំស្រួច \(B\)៖
  \[\begin{aligned} \textbf{ឃ.}~\ \sin B &= \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13} \\ \textbf{ង.}~\ \cos B &= \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13} \\ \textbf{ច.}~\ \tan B &= \frac{AC}{BC} = \frac{12}{5} \end{aligned}\]

• រូបទី 2៖ \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(A\) មាន \(AC = 7\), \(AB = 24\), អ៊ីប៉ូតេនុស \(BC = 25\)។

  \[\begin{aligned} \textbf{ឃ.}~\ \sin B &= \frac{\text{ឈម}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}} = \frac{AC}{BC} = \frac{7}{25} \\ \textbf{ង.}~\ \cos B &= \frac{\text{ជាប់}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}} = \frac{AB}{BC} = \frac{24}{25} \\ \textbf{ច.}~\ \tan B &= \frac{\text{ឈម}}{\text{ជាប់}} = \frac{AC}{AB} = \frac{7}{24} \end{aligned}\]

គណនាផលធៀបត្រីកោណមាត្រ និងទាញរកមុំ \(A\)៖

• រូបទី 1៖ \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(C\) មាន \(AC = 8\), \(BC = 5\)៖

  \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{8} = 0.625\]
  នាំឱ្យ \(\angle A = \arctan(0.625) \approx 32^\circ\) (ឬ \(32^\circ 00'\))។

• រូបទី 2៖ \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(C\) មាន \(BC = 4\), អ៊ីប៉ូតេនុស \(AB = 10\)៖

  \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{10} = 0.4\]
  នាំឱ្យ \(\angle A = \arcsin(0.4) \approx 23.6^\circ\) (ឬ \(23^\circ 35'\))។

• រូបទី 3៖ \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(C\) មាន \(BC = 2\), \(AB = 5\)៖

  \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{5} = 0.4\]
  នាំឱ្យ \(\angle A = \arcsin(0.4) \approx 23.6^\circ\)។

កំណត់តម្លៃជ្រុងនិងមុំដែលនៅសល់ក្នុងត្រីកោណកែង៖

• រូបទី 1៖ \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(C\) (\(AB = 17, \angle B = 61^\circ\))៖

  \[\begin{aligned} \angle A &= 90^\circ - 61^\circ = 29^\circ \\ AC &= 17 \sin 61^\circ \approx 17 \times 0.8746 \approx 14.87\text{ cm} \\ BC &= 17 \cos 61^\circ \approx 17 \times 0.4848 \approx 8.24\text{ cm} \end{aligned}\]

• រូបទី 2៖ \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(C\) (\(BC = 7, \angle B = 44^\circ\))៖

  \[\begin{aligned} \angle A &= 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ \\ AC &= 7 \tan 44^\circ \approx 7 \times 0.9657 \approx 6.76\text{ cm} \\ AB &= \frac{7}{\cos 44^\circ} \approx \frac{7}{0.7193} \approx 9.73\text{ cm} \end{aligned}\]

• រូបទី 3៖ \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(C\) (\(AB = 14, \angle B = 28^\circ\))៖

  \[\begin{aligned} \angle A &= 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ \\ AC &= 14 \sin 28^\circ \approx 14 \times 0.4695 \approx 6.57\text{ cm} \\ BC &= 14 \cos 28^\circ \approx 14 \times 0.8829 \approx 12.36\text{ cm} \end{aligned}\]

• រូបទី 4៖ \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(C\) (\(BC = 16, \angle B = 22^\circ\))៖

  \[\begin{aligned} \angle A &= 90^\circ - 22^\circ = 68^\circ \\ AC &= 16 \tan 22^\circ \approx 16 \times 0.4040 \approx 6.46\text{ cm} \\ AB &= \frac{16}{\cos 22^\circ} \approx \frac{16}{0.9272} \approx 17.26\text{ cm} \end{aligned}\]

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\)៖

1. \(\angle B = 18^\circ, AB = 5\)៖

   \[\begin{aligned} \angle C &= 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ \\ AC &= AB \cdot \tan 18^\circ = 5 \times 0.3249 \approx 1.62 \\ BC &= \frac{AB}{\cos 18^\circ} = \frac{5}{0.9511} \approx 5.26 \end{aligned}\]

2. \(\angle B = 32^\circ, AC = 9\)៖

   \[\begin{aligned} \angle C &= 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ \\ AB &= \frac{AC}{\tan 32^\circ} = \frac{9}{0.6249} \approx 14.40 \\ BC &= \frac{AC}{\sin 32^\circ} = \frac{9}{0.5299} \approx 16.98 \end{aligned}\]

3. \(\angle B = 68^\circ, BC = 12\)៖

   \[\begin{aligned} \angle C &= 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ \\ AC &= BC \cdot \sin 68^\circ = 12 \times 0.9272 \approx 11.13 \\ AB &= BC \cdot \cos 68^\circ = 12 \times 0.3746 \approx 4.50 \end{aligned}\]

4. \(\angle C = 60^\circ, BC = 10\)៖

   \[\begin{aligned} \angle B &= 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \\ AB &= BC \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \\ AC &= BC \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \end{aligned}\]

\(AH\) ជាកម្ពស់នៃ \(\triangle ARC\) ដែល \(HR = 2\text{ cm}\), \(AC = 4\text{ cm}\), \(\angle R = 40^\circ\)៖

1. ក្នុងត្រីកោណកែង \(AHR\) កែងត្រង់ \(H\)៖

   \[\begin{aligned} \tan R &= \frac{AH}{HR} \implies AH = HR \cdot \tan 40^\circ \\ &= 2 \times 0.8391 \approx 1.68\text{ cm} \end{aligned}\]
   ក្នុងត្រីកោណកែង \(AHC\) កែងត្រង់ \(H\)៖
   \[\sin C = \frac{AH}{AC} = \frac{1.678}{4} \approx 0.4195\]
   នាំឱ្យ \(\angle C = \arcsin(0.4195) \approx 24.8^\circ\) (ឬប្រហែល \(25^\circ\))។

2. តាមទ្រឹស្ដីបទពីតាករក្នុងត្រីកោណកែង \(AHC\)៖

   \[\begin{aligned} HC &= \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{4^2 - 1.678^2} \\ &= \sqrt{16 - 2.816} = \sqrt{13.184} \approx 3.63\text{ cm} \end{aligned}\]

\(BK\) ជាកម្ពស់នៃត្រីកោណ \(BTS\) ដែល \(\angle BTS = 120^\circ, KT = 2\text{ cm}, TS = 6.5\text{ cm}\)៖

1. មុំ \(\angle BTK\) និង \(\angle BTS\) ជាមុំជាប់បន្ថែមគ្នា៖

   \[\angle BTK = 180^\circ - \angle BTS = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\]

2. ក្នុងត្រីកោណកែង \(BKT\) កែងត្រង់ \(K\)៖

   \[BK = KT \cdot \tan 60^\circ = 2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \approx 3.46\text{ cm}\]
   ប្រវែង \(KS = KT + TS = 2 + 6.5 = 8.5\text{ cm}\)។
   ក្នុងត្រីកោណកែង \(BKS\) កែងត្រង់ \(K\)៖
   \[\begin{aligned} BS &= \sqrt{BK^2 + KS^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 8.5^2} \\ &= \sqrt{12 + 72.25} = \sqrt{84.25} \approx 9.18\text{ cm} \end{aligned}\]
   គណនាមុំ \(S\)៖
   \[\tan S = \frac{BK}{KS} = \frac{3.464}{8.5} \approx 0.4075 \implies \angle S \approx 22.2^\circ\]

ស្រាយបំភ្លឺសមភាព៖

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមនីមួយៗ៖

1. \(\dfrac{\sin 45^\circ}{\cos 30^\circ + \sin 60^\circ}\)៖

   \[= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}\]

2. \(\tan 45^\circ + \tan 30^\circ \tan 60^\circ\)៖

   \[= 1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)(\sqrt{3}) = 1 + 1 = 2\]

3. \(\dfrac{\sin 65^\circ}{\cos 25^\circ}\)៖
   ដោយ \(65^\circ + 25^\circ = 90^\circ\) ជាមុំបំពេញគ្នា នោះ \(\sin 65^\circ = \cos 25^\circ\)៖

   \[\frac{\sin 65^\circ}{\cos 25^\circ} = \frac{\cos 25^\circ}{\cos 25^\circ} = 1\]

4. \(\tan 75^\circ \tan 15^\circ\)៖
   ដោយ \(75^\circ + 15^\circ = 90^\circ\) នោះ \(\tan 75^\circ = \cot 15^\circ = \dfrac{1}{\tan 15^\circ}\)៖

   \[\tan 75^\circ \tan 15^\circ = \frac{1}{\tan 15^\circ} \cdot \tan 15^\circ = 1\]

សម្រួលកន្សោម \(B = \cos(180^\circ - \alpha) - \sin(180^\circ - \alpha) + \cos(90^\circ - \alpha)\)៖
តាមរូបមន្តមុំបន្ថែម និងមុំបំពេញ៖

រកតម្លៃផលធៀបត្រីកោណមាត្រ៖

1. \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) និង \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)៖
   \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \implies \cos\alpha = \pm\frac{1}{2}\)

   • បើ \(\alpha = 60^\circ\) (មុំស្រួច)៖ \(\cos\alpha = \frac{1}{2}, \ \tan\alpha = \sqrt{3}\)

   • បើ \(\alpha = 120^\circ\) (មុំទាល)៖ \(\cos\alpha = -\frac{1}{2}, \ \tan\alpha = -\sqrt{3}\)

2. \(\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}\) និង \(90^\circ \le \alpha \le 180^\circ\) (កាដ្រង់ទី ២)៖
   ក្នុងកាដ្រង់ទី ២ ស៊ីនុសវិជ្ជមាន៖

   \[\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}\]
   \[\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}\]

3. \(\tan\alpha = 2\) និង \(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ\) (កាដ្រង់ទី ១)៖
   \(1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} \implies \cos^2\alpha = \dfrac{1}{1 + 4} = \dfrac{1}{5} \implies \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

   \[\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\]

4. \(\tan\alpha = -\dfrac{1}{2}\) និង \(90^\circ \le \alpha \le 180^\circ\) (កាដ្រង់ទី ២)៖
   ក្នុងកាដ្រង់ទី ២ កូស៊ីនុសអវិជ្ជមាន៖

   \[\begin{aligned} \cos\alpha &= -\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\alpha}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + 1/4}} \\ &= -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \\ \sin\alpha &= \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) = \frac{\sqrt{5}}{5} \end{aligned}\]

កម្ពស់អគារ៖

1. តាង \(h\) ជាកម្ពស់សរុបនៃអគារ និង \(h_1\) ជាកម្ពស់ពីកម្រិតភ្នែកសុភាទៅកំពូលអគារ នោះ \(h_1 = h - 1.6\)។
   ក្នុងត្រីកោណកែងដែលបង្កើតឡើងដោយភ្នែក កំពូល និងកម្រិតផ្ដេក៖

   \[\tan 56^\circ = \frac{h - 1.6}{30}\]

2. គណនាកម្ពស់អគារ៖

   \[\begin{aligned} h - 1.6 &= 30 \tan 56^\circ \approx 44.48\text{ m} \\ \implies h &= 44.48 + 1.6 \approx 46.1\text{ m} \end{aligned}\]
   ដូចនេះ កម្ពស់អគារគឺប្រហែល \(46.1\text{ m}\)។

ការដើរតាមជំរាល៖ មុំជំរាល \(\alpha = 12^\circ\), ចម្ងាយដើរតាមផ្លូវ \(s = 200\text{ m}\) (អ៊ីប៉ូតេនុស)៖

1. កម្ពស់ដែលសិស្សឡើងបាន (ជ្រុងឈម)៖

   \[h = s \cdot \sin 12^\circ \approx 200 \times 0.2079 = 41.58\text{ m}\]

2. ចម្ងាយផ្ដេកដែលដើរបាន (ជ្រុងជាប់)៖

   \[d = s \cdot \cos 12^\circ \approx 200 \times 0.9781 = 195.62\text{ m}\]

ក្នុងត្រីកោណកែងមានជ្រុងកែង \(a = 6\text{ cm}\) និង \(b = 8\text{ cm}\)៖
តាមទ្រឹស្ដីបទពីតាករ អ៊ីប៉ូតេនុសគឺ៖

• ចំពោះមុំស្រួច \(A\) ឈមនឹងជ្រុង \(6\text{ cm}\)៖
  \(\sin A = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\), \(\cos A = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\), \(\tan A = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)

• ចំពោះមុំស្រួច \(B\) ឈមនឹងជ្រុង \(8\text{ cm}\)៖
  \(\sin B = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\), \(\cos B = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\), \(\tan B = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)

គេឱ្យ \(\theta\) ជាមុំស្រួច និង \(\sin\theta = \dfrac{5}{13}\)៖
តាមរូបមន្តគ្រឹះ \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) ដោយ \(\theta\) ជាមុំស្រួច (\(\cos\theta > 0\))៖

គេឱ្យ \(\theta\) ជាមុំស្រួច និង \(\cos\theta = \dfrac{8}{17}\)៖
ដោយ \(\theta\) ជាមុំស្រួច (\(\sin\theta > 0\))៖

គេឱ្យ \(\theta\) ជាមុំស្រួច និង \(\tan\theta = \dfrac{15}{8}\)៖
តាមរូបមន្ត \(1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\)៖

គេឱ្យ \(\alpha\) ជាមុំស្រួច និង \(\sin\alpha = \dfrac{2}{3}\)៖
គណនាតម្លៃពិតប្រាកដនៃ \(\cos\alpha\)៖

គេឱ្យ \(\alpha\) ជាមុំស្រួច និង \(\tan\alpha = \sqrt{2}\)៖
តាមរូបមន្ត \(1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}\)៖

គណនាតម្លៃកន្សោម \(A = \sin^2 25^\circ + \sin^2 65^\circ + \cos^2 35^\circ + \cos^2 55^\circ\)៖
ដោយ \(25^\circ + 65^\circ = 90^\circ\) នោះ \(\sin 65^\circ = \cos 25^\circ\) នាំឱ្យ \(\sin^2 65^\circ = \cos^2 25^\circ\)។
ដោយ \(35^\circ + 55^\circ = 90^\circ\) នោះ \(\cos 55^\circ = \sin 35^\circ\) នាំឱ្យ \(\cos^2 55^\circ = \sin^2 35^\circ\)។
ជំនួសចូលកន្សោម \(A\)៖

គណនាតម្លៃកន្សោម \(B = \cos^2 15^\circ + \cos^2 75^\circ + \tan 20^\circ \tan 70^\circ\)៖
ដោយ \(15^\circ + 75^\circ = 90^\circ\) នោះ \(\cos 75^\circ = \sin 15^\circ\) នាំឱ្យ \(\cos^2 75^\circ = \sin^2 15^\circ\)។
ដោយ \(20^\circ + 70^\circ = 90^\circ\) នោះ \(\tan 70^\circ = \cot 20^\circ = \dfrac{1}{\tan 20^\circ}\)។
ជំនួសចូលកន្សោម \(B\)៖

គណនាតម្លៃកន្សោម \(C = \dfrac{\sin 38^\circ}{\cos 52^\circ} + \dfrac{\cos 19^\circ}{\sin 71^\circ} - 2\tan 45^\circ\)៖
ដោយ \(38^\circ + 52^\circ = 90^\circ \implies \sin 38^\circ = \cos 52^\circ \implies \dfrac{\sin 38^\circ}{\cos 52^\circ} = 1\)។
ដោយ \(19^\circ + 71^\circ = 90^\circ \implies \cos 19^\circ = \sin 71^\circ \implies \dfrac{\cos 19^\circ}{\sin 71^\circ} = 1\)។
និង \(\tan 45^\circ = 1\)។
ជំនួសចូល៖

ស្រាយបំភ្លឺសមភាពត្រីកោណមាត្រ៖

ស្រាយបំភ្លឺសមភាព៖

ស្រាយបំភ្លឺសមភាព៖

ស្រាយបំភ្លឺសមភាព៖

ស្រាយបំភ្លឺសមភាព៖

ស្រាយបំភ្លឺសមភាព៖

គេឱ្យ \(\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{7}{5}\)។ គណនាតម្លៃនៃផលគុណ \(P = \sin\alpha \cos\alpha\)៖
លើកអង្គទាំងពីរនៃសមភាពជាការេ៖

គេឱ្យ \(\sin\alpha - \cos\alpha = \dfrac{1}{3}\)។ គណនាតម្លៃនៃ \(Q = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha\)៖
លើកជាការេដើម្បីរកផលគុណ \(\sin\alpha\cos\alpha\)៖

គេឱ្យ \(\tan\alpha = 3\)។ គណនា \(E = \dfrac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{4\sin\alpha - 5\cos\alpha}\)៖
ដោយចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(\cos\alpha \neq 0\) យើងបាន៖

គេឱ្យ \(\tan\alpha = 2\)។ គណនា៖

គណនាតម្លៃពិតប្រាកដនៃផលធៀបត្រីកោណមាត្រនៃមុំពិសេស៖

1. មុំ \(120^\circ = 180^\circ - 60^\circ\)៖

   \[\begin{aligned} \sin 120^\circ &= \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos 120^\circ &= -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \\ \tan 120^\circ &= -\tan 60^\circ = -\sqrt{3} \end{aligned}\]

2. មុំ \(135^\circ = 180^\circ - 45^\circ\)៖

   \[\begin{aligned} \sin 135^\circ &= \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos 135^\circ &= -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \tan 135^\circ &= -\tan 45^\circ = -1 \end{aligned}\]

3. មុំ \(150^\circ = 180^\circ - 30^\circ\)៖

   \[\begin{aligned} \sin 150^\circ &= \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \\ \cos 150^\circ &= -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan 150^\circ &= -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned}\]

គណនាតម្លៃកន្សោម \(M = 2\sin 30^\circ + 4\cos 60^\circ - \sqrt{3}\tan 60^\circ + \sin 90^\circ\)៖
ជំនួសតម្លៃមុំពិសេស៖ \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}, \ \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}, \ \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \ \sin 90^\circ = 1\)។

គណនាតម្លៃកន្សោម \(N = \sin^2 30^\circ + \cos^2 45^\circ + \tan^2 60^\circ - \cos^2 90^\circ\)៖
ជំនួសតម្លៃមុំពិសេស៖ \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}, \ \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \ \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \ \cos 90^\circ = 0\)។

គណនាតម្លៃកន្សោម \(P = \dfrac{\sin 150^\circ + \cos 120^\circ}{\tan 135^\circ + \sin 90^\circ + 1}\)៖
គណនាភាគយក៖

គណនាតម្លៃផលបូក \(S = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ\)៖
ដោយប្រើរូបមន្តមុំបន្ថែម \(\cos(180^\circ - x) = -\cos x\) យើងបាន \(\cos x + \cos(180^\circ - x) = 0\)។
ផ្គុំតួជាគូៗ៖

កំណត់តម្លៃនៃមុំ \(\alpha\) ដែល \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)៖

1. \(\sin\alpha = \dfrac{1}{2} \implies \alpha = 30^\circ\) ឬ \(\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\)

2. \(\cos\alpha = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \implies \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)

3. \(\tan\alpha = -1 \implies \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)

4. \(\sin\alpha = 0 \implies \alpha = 0^\circ\) ឬ \(\alpha = 180^\circ\)

ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រចំពោះ \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)៖

1. \(2\sin\alpha - 1 = 0 \implies \sin\alpha = \dfrac{1}{2}\)៖
   ដូចនេះ \(\alpha = 30^\circ\) ឬ \(\alpha = 150^\circ\)។

2. \(2\cos\alpha + \sqrt{3} = 0 \implies \cos\alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)៖
   ដូចនេះ \(\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\)។

3. \(\sqrt{3}\tan\alpha + 1 = 0 \implies \tan\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)៖
   ដូចនេះ \(\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\)។

4. \(4\cos^2\alpha - 1 = 0 \implies \cos^2\alpha = \dfrac{1}{4} \implies \cos\alpha = \pm\dfrac{1}{2}\)៖

   • បើ \(\cos\alpha = \frac{1}{2} \implies \alpha = 60^\circ\)

   • បើ \(\cos\alpha = -\frac{1}{2} \implies \alpha = 120^\circ\)

   ដូចនេះ \(\alpha \in \{60^\circ, 120^\circ\}\)។

កំណត់សញ្ញានៃកន្សោមនីមួយៗ៖

1. \(\sin 115^\circ \cdot \cos 115^\circ\)៖
   ដោយ \(90^\circ < 115^\circ < 180^\circ\) នោះ \(\sin 115^\circ > 0\) និង \(\cos 115^\circ < 0\)។
   ដូច្នេះ ផលគុណមានតម្លៃ អវិជ្ជមាន (\(< 0\))។

2. \(\cos 140^\circ \cdot \tan 140^\circ\)៖
   ដោយ \(\cos 140^\circ < 0\) និង \(\tan 140^\circ < 0\) នោះផលគុណមានតម្លៃ វិជ្ជមាន (\(> 0\))។
   (ឬដោយ \(\cos 140^\circ \cdot \tan 140^\circ = \sin 140^\circ > 0\))។

3. \(\sin 90^\circ - \cos 90^\circ = 1 - 0 = 1 > 0\) ៖ មានតម្លៃ វិជ្ជមាន។

4. \(\cos 120^\circ + \sin 30^\circ = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0\) ៖ មានតម្លៃ សូន្យ។

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) មាន \(\angle B = 30^\circ\) និងអ៊ីប៉ូតេនុស \(BC = 12\text{ cm}\)៖
មុំស្រួចមួយទៀតគឺ៖

ត្រីកោណសមបាត \(ABC\) មាន \(AB = AC = 10\text{ cm}\) និងបាត \(BC = 12\text{ cm}\)៖
គូសកម្ពស់ \(AH \perp BC\) (\(H \in BC\))។ ដោយ \(\triangle ABC\) សមបាត នោះ \(H\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(BC\) នាំឱ្យ \(BH = HC = \dfrac{12}{2} = 6\text{ cm}\)។
ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABH\) កែងត្រង់ \(H\)៖

• ផលធៀបត្រីកោណមាត្រនៃមុំបាត \(B\)៖

  \[\begin{aligned} \sin B &= \frac{AH}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8 \\ \cos B &= \frac{BH}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6 \\ \tan B &= \frac{AH}{BH} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \end{aligned}\]

• ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ \(ABC\)៖

  \[S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48\text{ cm}^2\]

ចតុកោណស្មើ \(ABCD\) មានជ្រុង \(a = 8\text{ cm}\) និង \(\angle A = 60^\circ\)៖
អង្កត់ទ្រូងកាត់គ្នាត្រង់ចំណុចកណ្ដាល \(O\) និងកែងគ្នា។
\(\triangle ABD\) សមបាតមាន \(AB = AD\) និង \(\angle A = 60^\circ\) នាំឱ្យ \(\triangle ABD\) ជាត្រីកោណសម័ង្ស \(\implies BD = 8\text{ cm}\)។
ក្នុងត្រីកោណកែង \(OAB\) កែងត្រង់ \(O\) មាន \(\angle OAB = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ\)៖

ជណ្ដើរផ្អែកនឹងជញ្ជាំង៖ ប្រវែងជណ្ដើរ \(L = 6\text{ m}\) (អ៊ីប៉ូតេនុស), មុំបាត \(\theta = 65^\circ\)៖

1. កម្ពស់ចុងលើជណ្ដើរលើជញ្ជាំង (ជ្រុងឈម)៖

   \[h = L \cdot \sin 65^\circ \approx 6 \times 0.9063 \approx 5.44\text{ m}\]

2. ចម្ងាយពីជើងជណ្ដើរទៅជញ្ជាំង (ជ្រុងជាប់)៖

   \[d = L \cdot \cos 65^\circ \approx 6 \times 0.4226 \approx 2.54\text{ m}\]

បង្គោលអង់តែន៖ ស្រមោល \(d = 42\text{ m}\), មុំផ្គុំនៃព្រះអាទិត្យ \(\alpha = 38^\circ\)៖
កម្ពស់បង្គោលអង់តែន \(h\) ផ្ទៀងផ្ទាត់៖

ចម្ងាយពីច្រាំងចោទទៅទូក៖ កម្ពស់ច្រាំង \(H = 80\text{ m}\), មុំស្រុត \(\alpha = 24^\circ\)៖
មុំស្រុតស្មើនឹងមុំងើបពីទូកទៅកំពូលច្រាំង (មុំឆ្លាស់ក្នុង)៖

ចម្ងាយរវាងកប៉ាល់ទាំងពីរ៖ កំពូលបង្គោលភ្លើងកម្ពស់ \(H = 50\text{ m}\), មុំស្រុតទៅកប៉ាល់ទាំងពីរគឺ \(30^\circ\) និង \(45^\circ\)៖

• ចម្ងាយពីជើងបង្គោលភ្លើងទៅកប៉ាល់ជិត៖

  \[d_1 = \frac{50}{\tan 45^\circ} = \frac{50}{1} = 50\text{ m}\]

• ចម្ងាយពីជើងបង្គោលភ្លើងទៅកប៉ាល់ឆ្ងាយ៖

  \[d_2 = \frac{50}{\tan 30^\circ} = \frac{50}{1/\sqrt{3}} = 50\sqrt{3} \approx 86.60\text{ m}\]

• ចម្ងាយរវាងកប៉ាល់ទាំងពីរ (នៅលើខ្សែបន្ទាត់តែមួយទិសដៅតែមួយ)៖

  \[\begin{aligned} \Delta d &= d_2 - d_1 = 50\sqrt{3} - 50 \\ &= 50(\sqrt{3} - 1) \approx 36.60\text{ m} \end{aligned}\]

(ចំណាំ៖ ប្រសិនបើកប៉ាល់ទាំងពីរស្ថិតនៅសងខាងជើងបង្គោលភ្លើង ចម្ងាយរវាងពួកវាគឺ \(d_1 + d_2 = 50 + 50\sqrt{3} \approx 136.60\text{ m}\))។

កម្ពស់ខ្លែង៖ ខ្សែខ្លែង \(L = 85\text{ m}\), មុំងើប \(\alpha = 52^\circ\), កម្ពស់ដៃ \(h_0 = 1.2\text{ m}\)៖
កម្ពស់ខ្លែងធៀបនឹងកម្រិតដៃកាន់ខ្សែគឺ៖

កម្ពស់ដើមឈើកាលមិនទាន់បាក់៖ ចុងឈើប៉ះដីមុំ \(30^\circ\) និងមានចម្ងាយ \(9\text{ m}\) ពីគល់ឈើ៖

• កម្ពស់គល់ឈើដែលនៅសល់ (ជ្រុងឈម)៖

  \[y = 9 \cdot \tan 30^\circ = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\text{ m} \approx 5.20\text{ m}\]

• ប្រវែងកំណាត់ដើមឈើដែលបាក់ធ្លាក់ (អ៊ីប៉ូតេនុស)៖

  \[z = \frac{9}{\cos 30^\circ} = \frac{9}{\sqrt{3}/2} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}\text{ m} \approx 10.39\text{ m}\]

• កម្ពស់ដើមឈើដើមទាំងមូល៖

  \[H = y + z = 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\text{ m} \approx 15.59\text{ m}\]

ការរចនាផ្លូវជម្រាលសម្រាប់ជនមានពិការភាព (PISA)៖
បទដ្ឋានសំណង់កំណត់ \(\tan 4.76^\circ \approx \dfrac{1}{12}\), កម្ពស់ត្រូវឡើង \(h = 1.5\text{ m}\)៖

1. ប្រវែងដីផ្ដេកអប្បបរមា \(x\)៖

   \[\begin{aligned} \tan 4.76^\circ &= \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\tan 4.76^\circ} \\ &= \frac{1.5}{1/12} = 1.5 \times 12 = 18\text{ m} \end{aligned}\]

2. ប្រវែងផ្ទៃផ្លូវជម្រាលពិតប្រាកដ \(L\)៖
   តាមទ្រឹស្ដីបទពីតាករ៖

   \[\begin{aligned} L &= \sqrt{x^2 + h^2} = \sqrt{18^2 + 1.5^2} \\ &= \sqrt{324 + 2.25} = \sqrt{326.25} \approx 18.06\text{ m} \end{aligned}\]
   (ឬតាមផលធៀប \(L = \dfrac{h}{\sin 4.76^\circ} \approx \dfrac{1.5}{0.0829} \approx 18.08\text{ m}\))។

ការវាស់កម្ពស់ប្រាសាទបុរាណ (STEM/PISA)៖
ឧបករណ៍វាស់កម្ពស់ \(h_0 = 1.5\text{ m}\)។ នៅ \(A\) មុំងើប \(32^\circ\), នៅ \(B\) មុំងើប \(48^\circ\), ចម្ងាយ \(AB = 35\text{ m}\)។

1. តាង \(h\) ជាកម្ពស់ពីកម្រិតឧបករណ៍វាស់ទៅកំពូលប្រាសាទ និង \(x\) ជាចម្ងាយផ្ដេកពីចំណុច \(B\) ទៅប្រាសាទ៖

   • ពីចំណុច \(B\)៖ \(\tan 48^\circ = \dfrac{h}{x} \implies h = x\tan 48^\circ\)

   • ពីចំណុច \(A\)៖ \(\tan 32^\circ = \dfrac{h}{x + 35} \implies h = (x + 35)\tan 32^\circ\)

   ប្រព័ន្ធសមីការត្រីកោណមាត្រគឺ៖

   \[\begin{cases} h = x\tan 48^\circ \\ h = (x + 35)\tan 32^\circ \end{cases}\]

2. គណនាកម្ពស់សរុបនៃប្រាសាទ៖
   ផ្ទឹមសមីការទាំងពីរ៖

   \[\begin{aligned} x\tan 48^\circ &= (x + 35)\tan 32^\circ \\ x(\tan 48^\circ - \tan 32^\circ) &= 35\tan 32^\circ \\ x &= \frac{35\tan 32^\circ}{\tan 48^\circ - \tan 32^\circ} \end{aligned}\]
   ជំនួសតម្លៃ \(\tan 48^\circ \approx 1.1106\) និង \(\tan 32^\circ \approx 0.6249\)៖
   \[x = \frac{35 \times 0.6249}{1.1106 - 0.6249} = \frac{21.8715}{0.4857} \approx 45.03\text{ m}\]
   កម្ពស់ \(h\) គឺ៖
   \[h = 45.03 \times 1.1106 \approx 50.01\text{ m}\]
   កម្ពស់សរុបនៃប្រាសាទធៀបនឹងផ្ទៃដីគឺ៖
   \[H = h + h_0 = 50.01 + 1.5 = 51.51\text{ m} \approx 51.5\text{ m}\]