សមីការរង្វង់

សរសេរសមីការស្តង់ដានៃរង្វង់ \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\) ៖
ក.  \(I(0, 0), R = 5 \implies x^2 + y^2 = 5^2 \iff x^2 + y^2 = 25\)
ខ.  \(I(2, 3), R = 4 \implies (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16\)
គ.  \(I(-3, 1), R = \sqrt{7} \implies (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 7\)
ឃ.  \(I(-4, -2), R = 6 \implies (x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 36\)។

រង្វង់មានផ្ចិត \(I(4, -2)\) និងកាត់តាមគល់ \(O(0, 0)\) ៖
កាំរង្វង់គឺ \(R = IO\) ៖
\(R^2 = IO^2 = (0 - 4)^2 + (0 - (-2))^2 = (-4)^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20\)
សមីការស្តង់ដាគឺ ៖
\((x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 20\)។

កំណត់កូអរដោនេផ្ចិត \(I(a, b)\) និងកាំ \(R\) ៖
ក.  \((x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 36 \implies I(1, 5), \quad{} R = \sqrt{36} = 6\)
ខ.  \((x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 25 \implies I(-4, 2), \quad{} R = \sqrt{25} = 5\)
គ.  \(x^2 + (y + 3)^2 = 18 \implies I(0, -3), \quad{} R = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
ឃ.  \((x - 3)^2 + y^2 = 12 \implies I(3, 0), \quad{} R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)។

រង្វង់មានផ្ចិត \(I(1, -2)\) និងកាត់តាម \(A(4, 2)\) ៖
កាំ \(R = IA\) ៖
\(R^2 = (4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\)។

រង្វង់មានអង្កត់ផ្ចិត \(AB\) ដោយ \(A(1, 2)\) និង \(B(5, 6)\) ៖
- ផ្ចិត \(I\) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AB\) ៖
\(x_I = \dfrac{1 + 5}{2} = 3, \quad{} y_I = \dfrac{2 + 6}{2} = 4 \implies I(3, 4)\)
- កាំ \(R = \dfrac{AB}{2}\) ៖
\(R^2 = IA^2 = (1 - 3)^2 + (2 - 4)^2 = (-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8\)
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 8\)។

រង្វង់មានអង្កត់ផ្ចិត \(CD\) ដោយ \(C(-3, 4)\) និង \(D(3, -4)\) ៖
- ផ្ចិត \(I\) ៖
\(x_I = \dfrac{-3 + 3}{2} = 0, \quad{} y_I = \dfrac{4 - 4}{2} = 0 \implies I(0, 0)\)
- កាំ \(R\) ៖
\(R^2 = OC^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\(x^2 + y^2 = 25\)។

បំប្លែងសមីការទូទៅជាទម្រង់ស្តង់ដា រួចកំណត់ផ្ចិត និងកាំ ៖
ក.  \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0\)
\(\iff (x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + 4 = 0\)
\(\iff (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 \implies I(2, 3), R = 3\)
ខ.  \(x^2 + y^2 + 6x - 2y - 6 = 0\)
\(\iff (x + 3)^2 - 9 + (y - 1)^2 - 1 - 6 = 0\)
\(\iff (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 16 \implies I(-3, 1), R = 4\)
គ.  \(x^2 + y^2 - 8x + 10y + 5 = 0\)
\(\iff (x - 4)^2 - 16 + (y + 5)^2 - 25 + 5 = 0\)
\(\iff (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 36 \implies I(4, -5), R = 6\)
ឃ.  \(x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0\)
\(\iff (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 - 11 = 0\)
\(\iff (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16 \implies I(1, -2), R = 4\)។

កំណត់ផ្ចិត និងកាំនៃ \(2x^2 + 2y^2 - 6x + 8y - 1 = 0\) ៖
ចែកសមីការទាំងមូលនឹង \(2\) ៖
\(x^2 + y^2 - 3x + 4y - \dfrac{1}{2} = 0\)
\(\iff \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4} + (y + 2)^2 - 4 - \dfrac{1}{2} = 0\)
\(\iff \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 + (y + 2)^2 = \dfrac{9}{4} + 4 + \dfrac{2}{4} = \dfrac{27}{4}\)
ដូចនេះ ផ្ចិតគឺ \(I\left(\dfrac{3}{2}, -2\right)\) និងកាំ \(R = \sqrt{\dfrac{27}{4}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)។

ពិនិត្យប្រភេទនៃសំណុំចំណុច ៖
ក.  \(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0\)
\(\iff (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1 + 4 - 5 = 0\)
សមីការស្មើ \(0\) នាំឱ្យសំណុំចំណុចជា ចំណុចតែមួយ \(I(1, -2)\) (រង្វង់កាំសូន្យ)។
ខ.  \(x^2 + y^2 + 4x - 2y + 10 = 0\)
\(\iff (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 + 1 - 10 = -5 < 0\)
ផលបូកការ៉េមិនអាចអវិជ្ជមាន នាំឱ្យសំណុំនេះជា សំណុំទទេ (\(\emptyset\))។
គ.  \(x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0\)
\(\iff (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 + 16 = 25 > 0\)
សមីការតំណាងឱ្យ រង្វង់ពិតប្រាកដ ផ្ចិត \(I(3, -4)\) និងកាំ \(R = 5\)។
ឃ.  \(x^2 + y^2 + 2x + 2y + 4 = 0\)
\(\iff (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1 + 1 - 4 = -2 < 0\)
សមីការតំណាងឱ្យ សំណុំទទេ (\(\emptyset\))។

កំណត់ \(m\) ដើម្បីឱ្យសមីការជារង្វង់កាំ \(R = 1\) ៖
\(x^2 + y^2 - 2mx + 4y + m^2 + 3 = 0\)
\(\iff (x - m)^2 - m^2 + (y + 2)^2 - 4 + m^2 + 3 = 0\)
\(\iff (x - m)^2 + (y + 2)^2 - 1 = 0\)
\(\iff (x - m)^2 + (y + 2)^2 = 1\)
ដោយសារអង្គខាងស្តាំស្មើ \(1 = R^2\) រួចជាស្រេច នាំឱ្យសមីការនេះជារង្វង់កាំ \(R = 1\) ចំពោះ គ្រប់តម្លៃចំនួនពិត \(m \in \mathbb{R}\)។

កំណត់ \(m\) ដើម្បីឱ្យសមីការតំណាងឱ្យរង្វង់ពិតប្រាកដ ៖
\(x^2 + y^2 + 4x - 6y + m = 0\)
\(\iff (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 + 9 - m = 13 - m\)
សមីការតំណាងឱ្យរង្វង់ពិតប្រាកដលុះត្រាតែ \(R^2 > 0\) ៖
\(13 - m > 0 \iff m < 13\)។
ដូចនេះ \(m \in (-\infty, 13)\)។

កំណត់ទីតាំងនៃចំណុចធៀបនឹង \((C): x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0\) ៖
ទម្រង់ស្តង់ដា ៖ \((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5\) (ផ្ចិត \(I(2, 1)\), \(R^2 = 5\))។
តាង \(f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 2y\) ៖

• \(A(1, 2) \implies f(1, 2) = 1 + 4 - 4 - 4 = -3 < 0 \implies A\) នៅខាងក្នុងរង្វង់

• \(B(0, 5) \implies f(0, 5) = 0 + 25 - 0 - 10 = 15 > 0 \implies B\) នៅខាងក្រៅរង្វង់

• \(C(4, 1) \implies f(4, 1) = 16 + 1 - 16 - 2 = -1 < 0 \implies C\) នៅខាងក្នុងរង្វង់។

រង្វង់មានផ្ចិត \(I(2, 3)\) ប៉ះនឹងអ័ក្ស \(Ox\) ៖
ចម្ងាយពីផ្ចិត \(I\) ទៅអ័ក្ស \(Ox\) គឺ \(d = |y_I| = |3| = 3\)។
ដោយសាររង្វង់ប៉ះនឹង \(Ox\) នាំឱ្យកាំ \(R = d = 3\) ៖
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9\)។

រង្វង់មានផ្ចិត \(I(-3, 4)\) ប៉ះនឹងអ័ក្ស \(Oy\) ៖
កាំ \(R = d(I, Oy) = |x_I| = |-3| = 3\) ៖
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\((x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 9\)។

រង្វង់ប៉ះនឹងអ័ក្សទាំងពីរក្នុងចតុកោណភាគទី ១ មានកាំ \(R = 3\) ៖
ក្នុងចតុកោណភាគទី ១ ផ្ចិតរង្វង់មានកូអរដោនេគឺ \(I(R, R) = I(3, 3)\) ៖
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\((x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 9\)។

រង្វង់កាត់តាម \(O(0, 0)\) ស្ទាក់បានអង្កត់ \(6\) លើ \(Ox\) និង \(8\) លើ \(Oy\) ៖
រង្វង់កាត់តាម \(O(0, 0)\), \(A(6, 0)\) និង \(B(0, 8)\)។
ដោយ \(\angle AOB = 90^\circ\) នោះ \(AB\) គឺជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ ៖
- ផ្ចិត \(I\) ៖ \(x_I = \dfrac{6 + 0}{2} = 3, \quad{} y_I = \dfrac{0 + 8}{2} = 4 \implies I(3, 4)\)
- កាំ \(R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{\sqrt{6^2 + 8^2}}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\)
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25\)។

រង្វង់កាត់តាមបីចំណុច \(O(0, 0)\), \(A(4, 0)\) និង \(B(0, 6)\) ៖
ត្រីកោណ \(OAB\) កែងត្រង់ \(O\) នាំឱ្យ \(AB\) ជាអង្កត់ផ្ចិត ៖
- ផ្ចិត \(I\left(\dfrac{4 + 0}{2}, \dfrac{0 + 6}{2}\right) = I(2, 3)\)
- កាំ \(R^2 = 2^2 + 3^2 = 13\)
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13\) (ឬ \(x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0\))។

រង្វង់កាត់តាម \(A(1, 1)\), \(B(2, 4)\) និង \(C(5, 3)\) ៖
សមីការទូទៅ ៖ \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)
ជំនួសចំណុចទាំងបី ៖
\(\begin{cases} D + E + F = -2 \quad{} (1) \\ 2D + 4E + F = -20 \quad{} (2) \\ 5D + 3E + F = -34 \quad{} (3) \end{cases}\)
- យក \((2) - (1) \implies D + 3E = -18 \quad{} (4)\)
- យក \((3) - (1) \implies 4D + 2E = -32 \iff 2D + E = -16 \quad{} (5)\)
គុណ \((5)\) នឹង \(3\) រួចដក \((4)\) ៖
\(5D = -30 \iff D = -6\)
ជំនួស \(D = -6\) ចូល \((5)\) ៖ \(E = -16 - 2(-6) = -4\)
ជំនួសចូល \((1)\) ៖ \(F = -2 - (-6) - (-4) = 8\)
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\(x^2 + y^2 - 6x - 4y + 8 = 0 \iff (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5\)
(ផ្ចិត \(I(3, 2)\), កាំ \(R = \sqrt{5}\))។

រង្វង់កាត់តាម \(P(0, 1)\), \(Q(2, 3)\) និង \(R(4, 1)\) ៖
ចំណុច \(P(0, 1)\) និង \(R(4, 1)\) មានអរដោនេ \(y = 1\) ស្មើគ្នា។
មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(PR\) គឺជាបន្ទាត់ឈរ \(x = 2\) នាំឱ្យអាប់ស៊ីសផ្ចិតគឺ \(x_I = 2\)។
តាងផ្ចិត \(I(2, y)\)។ ដោយ \(IP^2 = IQ^2\) ៖
\((2 - 0)^2 + (y - 1)^2 = (2 - 2)^2 + (y - 3)^2\)
\(\iff 4 + y^2 - 2y + 1 = y^2 - 6y + 9 \iff 4y = 4 \iff y = 1\)
ដូចនេះ ផ្ចិតគឺ \(I(2, 1)\) និងកាំ \(R = IP = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2\) ៖
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4\)។

រង្វង់មានផ្ចិត \(I(2, -1)\) ប៉ះនឹង \((d): 3x + 4y - 12 = 0\) ៖
កាំរង្វង់ \(R\) ស្មើនឹងចម្ងាយពីផ្ចិត \(I\) ទៅបន្ទាត់ប៉ះ \((d)\) ៖
\(R = \dfrac{|3(2) + 4(-1) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|6 - 4 - 12|}{5} = \dfrac{|-10|}{5} = 2\)
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4\)។

រង្វង់មានផ្ចិត \(I(-1, 3)\) ប៉ះនឹង \((d): 5x - 12y + 2 = 0\) ៖
កាំ \(R = \dfrac{|5(-1) - 12(3) + 2|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \dfrac{|-5 - 36 + 2|}{13} = \dfrac{|-39|}{13} = 3\)
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\((x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 9\)។

ទីតាំងធៀបរវាង \((d): x - y + 1 = 0\) និង \((C): x^2 + y^2 = 5\) ៖
រង្វង់មានផ្ចិត \(O(0, 0)\) និងកាំ \(R = \sqrt{5} \approx 2.24\)។
ចម្ងាយពីផ្ចិត \(O\) ទៅបន្ទាត់ \((d)\) ៖
\(d = \dfrac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.71\)
ដោយសារ \(d = \dfrac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{5} = R\) នោះបន្ទាត់ \((d)\) កាត់រង្វង់ត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា។

ទីតាំងធៀបរវាង \((d): 3x + 4y - 25 = 0\) និង \((C): x^2 + y^2 = 25\) ៖
រង្វង់មានផ្ចិត \(O(0, 0)\) និងកាំ \(R = 5\)។
ចម្ងាយពី \(O\) ទៅ \((d)\) ៖
\(d = \dfrac{|-25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{25}{5} = 5\)
ដោយសារ \(d = R = 5\) នោះបន្ទាត់ \((d)\) ប៉ះនឹងរង្វង់ \((C)\)។

ទីតាំងធៀបរវាង \((d): 2x + y - 8 = 0\) និង \((C): x^2 + y^2 = 4\) ៖
រង្វង់មានផ្ចិត \(O(0, 0)\) និងកាំ \(R = 2\)។
ចម្ងាយពី \(O\) ទៅ \((d)\) ៖
\(d = \dfrac{|-8|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \dfrac{8}{\sqrt{5}} \approx 3.58\)
ដោយសារ \(d > R = 2\) នោះបន្ទាត់ \((d)\) នៅក្រៅរង្វង់ (គ្មានចំណុចរួម)។

រកចំណុចប្រសព្វរវាង \(x^2 + y^2 = 10\) និង \(x + y = 4\) ៖
ពីបន្ទាត់ទាញបាន ៖ \(y = 4 - x\)
ជំនួសចូលសមីការរង្វង់ ៖
\(x^2 + (4 - x)^2 = 10 \iff x^2 + 16 - 8x + x^2 = 10\)
\(\iff 2x^2 - 8x + 6 = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0\)
\(\iff (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x_1 = 1, \quad{} x_2 = 3\)
- បើ \(x = 1 \implies y = 4 - 1 = 3 \implies (1, 3)\)
- បើ \(x = 3 \implies y = 4 - 3 = 1 \implies (3, 1)\)
ដូចនេះ ចំណុចប្រសព្វទាំងពីរគឺ \((1, 3)\) និង \((3, 1)\)។

គណនាប្រវែងខ្សែធ្នូស្ទាក់ដោយ \((C): x^2 + y^2 = 25\) លើ \((d): x - y - 1 = 0\) ៖
រង្វង់មាន \(O(0, 0)\) និងកាំ \(R = 5\)។
ចម្ងាយពីផ្ចិតទៅបន្ទាត់ ៖ \(d = \dfrac{|-1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
រូបមន្តប្រវែងខ្សែធ្នូ ៖ \(L = 2\sqrt{R^2 - d^2}\)
\(L = 2\sqrt{25 - \dfrac{1}{2}} = 2\sqrt{\dfrac{49}{2}} = 2 \times \dfrac{7}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2}\) ឯកតាប្រវែង។

បន្ទាត់ប៉ះនឹងរង្វង់ \(x^2 + y^2 = 25\) ត្រង់ \(M_0(3, 4)\) ៖
រូបមន្តបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(M_0(x_0, y_0)\) គឺ \(x_0 x + y_0 y = R^2\) ៖
\(3x + 4y = 25\) (ឬ \(3x + 4y - 25 = 0\))។

បន្ទាត់ប៉ះនឹង \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\) ត្រង់ \(M_0(4, 6)\) ៖
រូបមន្ត ៖ \((x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = R^2\)
\((4 - 1)(x - 1) + (6 - 2)(y - 2) = 25\)
\(\iff 3(x - 1) + 4(y - 2) = 25\)
\(\iff 3x - 3 + 4y - 8 = 25 \iff 3x + 4y - 36 = 0\)។

បន្ទាត់ប៉ះនឹង \(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0\) ត្រង់ \(M_0(6, 2)\) ៖
ទម្រង់ស្តង់ដា ៖ \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25\) (\(I(2, -1), R^2 = 25\))
សមីការបន្ទាត់ប៉ះ ៖
\((6 - 2)(x - 2) + (2 - (-1))(y + 1) = 25\)
\(\iff 4(x - 2) + 3(y + 1) = 25\)
\(\iff 4x - 8 + 3y + 3 = 25 \iff 4x + 3y - 30 = 0\)។

បន្ទាត់ប៉ះនឹង \(x^2 + y^2 = 10\) គូសចេញពីចំណុចក្រៅ \(P(4, 2)\) ៖
បន្ទាត់កាត់តាម \(P(4, 2)\) ៖ \(y - 2 = m(x - 4) \iff mx - y + (2 - 4m) = 0\)
លក្ខខណ្ឌប៉ះ ៖ \(d(O, (d)) = R = \sqrt{10}\)
\(\dfrac{|2 - 4m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{10} \iff (2 - 4m)^2 = 10(m^2 + 1)\)
\(\iff 4 - 16m + 16m^2 = 10m^2 + 10\)
\(\iff 6m^2 - 16m - 6 = 0 \iff 3m^2 - 8m - 3 = 0\)
\(\iff (3m + 1)(m - 3) = 0 \implies m_1 = 3, \quad{} m_2 = -\dfrac{1}{3}\)
- ចំពោះ \(m = 3\) ៖ \(3x - y + (2 - 12) = 0 \iff 3x - y - 10 = 0\)
- ចំពោះ \(m = -\dfrac{1}{3}\) ៖ \(-\dfrac{1}{3}x - y + \left(2 + \dfrac{4}{3}\right) = 0 \iff x + 3y - 10 = 0\)។

សមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹង \(x^2 + y^2 = 4\) ដែលមាន \(m = 2\) ៖
រូបមន្តបន្ទាត់ប៉ះដឹងមេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(y = mx \pm R\sqrt{1 + m^2}\)
ដោយ \(R = 2, m = 2\) ៖
\(y = 2x \pm 2\sqrt{1 + 2^2} = 2x \pm 2\sqrt{5}\)
ដូចនេះ សមីការទាំងពីរគឺ \(y = 2x + 2\sqrt{5}\) និង \(y = 2x - 2\sqrt{5}\)។

បន្ទាត់ប៉ះនឹង \((x - 2)^2 + y^2 = 5\) ស្របនឹង \((d): 2x - y + 1 = 0\) ៖
រង្វង់មានផ្ចិត \(I(2, 0)\) និងកាំ \(R = \sqrt{5}\)។
បន្ទាត់ស្របមានរាង ៖ \(2x - y + C = 0\)
លក្ខខណ្ឌប៉ះ ៖ \(d(I, \Delta) = R\)
\(\dfrac{|2(2) - 0 + C|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5} \iff \dfrac{|4 + C|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \iff |4 + C| = 5\)
\(\iff 4 + C = 5 \implies C = 1\) ឬ \(4 + C = -5 \implies C = -9\)
ដូចនេះ សមីការបន្ទាត់ប៉ះទាំងពីរគឺ ៖
\(2x - y + 1 = 0\) និង \(2x - y - 9 = 0\)។

បន្ទាត់ប៉ះនឹង \(x^2 + y^2 = 9\) កែងនឹង \((d): 3x - 4y + 2 = 0\) ៖
\((d)\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(m_d = \dfrac{3}{4}\) នាំឱ្យបន្ទាត់កែងមាន \(m = -\dfrac{4}{3}\)។
\(R = 3\) ៖
\(y = -\dfrac{4}{3}x \pm 3\sqrt{1 + \left(-\dfrac{4}{3}\right)^2} = -\dfrac{4}{3}x \pm 3\left(\dfrac{5}{3}\right) = -\dfrac{4}{3}x \pm 5\)
\(\iff 4x + 3y \pm 15 = 0\)
ដូចនេះ បន្ទាត់ប៉ះទាំងពីរគឺ \(4x + 3y + 15 = 0\) និង \(4x + 3y - 15 = 0\)។

គណនាប្រវែងអង្កត់ប៉ះពី \(P(5, 7)\) ទៅ \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) ៖
រូបមន្តស្វ័យគុណនៃចំណុចធៀបនឹងរង្វង់ ៖
\(L^2 = x_P^2 + y_P^2 - 4x_P - 6y_P + 9\)
\(= 5^2 + 7^2 - 4(5) - 6(7) + 9 = 25 + 49 - 20 - 42 + 9 = 21\)
ដូចនេះ ប្រវែងអង្កត់ប៉ះគឺ \(L = \sqrt{21}\) ឯកតាប្រវែង។

ទីតាំងធៀបរវាង \((C_1): x^2 + y^2 = 16\) និង \((C_2): (x-6)^2 + y^2 = 4\) ៖
\((C_1)\) មានផ្ចិត \(I_1(0, 0), R_1 = 4\)។
\((C_2)\) មានផ្ចិត \(I_2(6, 0), R_2 = 2\)។
ចម្ងាយរវាងផ្ចិតទាំងពីរ ៖ \(d = I_1 I_2 = \sqrt{(6 - 0)^2 + 0^2} = 6\)
ផលបូកកាំ ៖ \(R_1 + R_2 = 4 + 2 = 6\)
ដោយ \(d = R_1 + R_2 = 6\) នោះរង្វង់ទាំងពីរ ប៉ះគ្នាក្រៅ (ត្រង់ចំណុច \((4, 0)\))។

ទីតាំងធៀបរវាង \((C_1): x^2 + y^2 - 2x = 0\) និង \((C_2): x^2 + y^2 - 8x - 8y + 28 = 0\) ៖
- \((C_1): (x - 1)^2 + y^2 = 1 \implies I_1(1, 0), R_1 = 1\)
- \((C_2): (x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 16 + 16 - 28 = 4 \implies I_2(4, 4), R_2 = 2\)
ចម្ងាយរវាងផ្ចិត ៖ \(d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)
ផលបូកកាំ ៖ \(R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3\)
ដោយ \(d = 5 > 3 = R_1 + R_2\) នោះរង្វង់ទាំងពីរ នៅក្រៅគ្នា (គ្មានចំណុចរួម)។

សមីការខ្សែធ្នូរួមនៃ \(x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0\) និង \(x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0\) ៖
ដកសមីការរង្វង់ទាំងពីរអង្គនិងអង្គ ៖
\((x^2 + y^2 - 4x - 2y) - (x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6) = 0\)
\(\iff -2x + 4y - 6 = 0 \iff x - 2y + 3 = 0\)
ដូចនេះ សមីការខ្សែធ្នូរួមគឺ \(x - 2y + 3 = 0\)។

បង្ហាញថា \((C_1)\) និង \((C_2)\) កាត់គ្នាកែង (Orthogonal Circles) ៖
\((C_1): x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0 \iff (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 \implies I_1(2, -1), R_1^2 = 9\)
\((C_2): x^2 + y^2 + 2x - 6y - 6 = 0 \iff (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 16 \implies I_2(-1, 3), R_2^2 = 16\)
គណនាការ៉េនៃចម្ងាយរវាងផ្ចិតទាំងពីរ ៖
\(I_1 I_2^2 = (-1 - 2)^2 + (3 - (-1))^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
ផលបូកការ៉េនៃកាំ ៖
\(R_1^2 + R_2^2 = 9 + 16 = 25\)
ដោយសារ \(I_1 I_2^2 = R_1^2 + R_2^2 = 25\) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាករ កាំនៃរង្វង់ទាំងពីរកែងគ្នាត្រង់ចំណុចប្រសព្វ នាំឱ្យរង្វង់ទាំងពីរ កាត់គ្នាកែង។

រកសមីការអ័ក្សរ៉ាឌីកាល់នៃរង្វង់ទាំងពីរ ៖
ដកសមីការ \((C_1)\) និង \((C_2)\) ៖
\((x^2 + y^2 + 3x - 2y - 4) - (x^2 + y^2 - 2x - 6y + 1) = 0\)
\(\iff 5x + 4y - 5 = 0\)។
ដូចនេះ សមីការអ័ក្សរ៉ាឌីកាល់គឺ \(5x + 4y - 5 = 0\)។

រង្វង់កាត់តាម \(A(1, 0), B(0, 2)\) មានផ្ចិតលើ \(x - y + 1 = 0\) ៖
- មេដ្យាទ័រនៃ \(AB\) ៖
ចំណុចកណ្តាល \(M\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\), មេគុណប្រាប់ទិស \(m_{AB} = \dfrac{2 - 0}{0 - 1} = -2 \implies m_{\perp} = \dfrac{1}{2}\)
សមីការ ៖ \(y - 1 = \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{2}\right) \iff 2x - 4y + 3 = 0\)
- ផ្ចិត \(I\) ជាប្រសព្វរវាងមេដ្យាទ័រ និងបន្ទាត់ \(y = x + 1\) ៖
\(2x - 4(x + 1) + 3 = 0 \iff -2x - 1 = 0 \iff x = -\dfrac{1}{2}\)
\(y = -\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} \implies I\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)
- កាំ \(R^2 = IA^2 = \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}\)
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\(\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{5}{2}\) (ឬ \(x^2 + y^2 + x - y - 2 = 0\))។

រង្វង់មានផ្ចិតលើ \(y = 2x\) កាត់តាម \(A(4, 2)\) និង \(B(2, 6)\) ៖
- មេដ្យាទ័រនៃ \(AB\) ៖
ចំណុចកណ្តាល \(M(3, 4)\), \(m_{AB} = \dfrac{6 - 2}{2 - 4} = -2 \implies m_{\perp} = \dfrac{1}{2}\)
សមីការ ៖ \(y - 4 = \dfrac{1}{2}(x - 3) \iff y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}\)
- ផ្ចិត \(I\) ជាប្រសព្វជាមួយ \(y = 2x\) ៖
\(2x = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2} \iff \dfrac{3}{2}x = \dfrac{5}{2} \iff x = \dfrac{5}{3}\)
\(y = 2\left(\dfrac{5}{3}\right) = \dfrac{10}{3} \implies I\left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{10}{3}\right)\)
- កាំ \(R^2 = IA^2 = \left(4 - \dfrac{5}{3}\right)^2 + \left(2 - \dfrac{10}{3}\right)^2 = \left(\dfrac{7}{3}\right)^2 + \left(-\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{65}{9}\)
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\(\left(x - \dfrac{5}{3}\right)^2 + \left(y - \dfrac{10}{3}\right)^2 = \dfrac{65}{9}\)។

រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះរួមក្រៅនៃ \((C_1): x^2 + y^2 = 4\) និង \((C_2): (x-6)^2 + y^2 = 16\) ៖
ផ្ចិត \(I_1(0, 0), R_1 = 2\) និង \(I_2(6, 0), R_2 = 4\)។
ផ្ចិតចាំងក្រៅ \(S\) ចែក \(I_1 I_2\) ខាងក្រៅតាមផលធៀប \(R_1 : R_2 = 1 : 2\) ៖
\(x_S = \dfrac{4(0) - 2(6)}{4 - 2} = -6, \quad{} y_S = 0 \implies S(-6, 0)\)
បន្ទាត់កាត់តាម \(S(-6, 0)\) ៖ \(mx - y + 6m = 0\)
លក្ខខណ្ឌប៉ះនឹង \((C_1)\) ៖
\(d(O, \Delta) = \dfrac{|6m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2 \iff 36m^2 = 4(m^2 + 1)\)
\(\iff 32m^2 = 4 \iff m^2 = \dfrac{1}{8} \implies m = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{4}\)
សមីការបន្ទាត់ប៉ះរួមក្រៅទាំងពីរគឺ ៖
\(\sqrt{2}x - 4y + 6\sqrt{2} = 0\) និង \(\sqrt{2}x + 4y + 6\sqrt{2} = 0\)។

តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃចម្ងាយពី \(P(7, 5)\) ទៅ \((C): x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0\) ៖
ទម្រង់ស្តង់ដា ៖ \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 4 \implies I(3, 2), R = 2\)
ចម្ងាយពី \(P\) ទៅផ្ចិត \(I\) ៖
\(IP = \sqrt{(7 - 3)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)
- ចម្ងាយតូចបំផុត ៖ \(d_{\min} = IP - R = 5 - 2 = 3\)
- ចម្ងាយធំបំផុត ៖ \(d_{\max} = IP + R = 5 + 2 = 7\)។

រង្វង់ផ្ចិត \(I(1, 2)\) កាត់រង្វង់ \(x^2 + y^2 = 9\) កែងគ្នា ៖
រង្វង់ទីពីរមានផ្ចិត \(O(0, 0)\) និងកាំ \(R_2 = 3\)។
លក្ខខណ្ឌកាត់កែង ៖ \(R_1^2 = R_2^2 + OI^2\) (ឬកាត់តាមអង្កត់ផ្ចិត) ៖
\(OI^2 = 1^2 + 2^2 = 5\)
\(R_1^2 = 9 + 5 = 14\)
សមីការរង្វង់គឺ ៖
\((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 14\)។

សំណុំចំណុច \(M(x, y)\) ដែល \(MA^2 + MB^2 + MC^2 = k\) ៖
តាមរូបមន្តឡែបនីស (Leibniz) ចំពោះត្រីកោណសម័ង្ស \(ABC\) ដែលមានទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\) ៖
\(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 = k\)
\(\iff MG^2 = \dfrac{k - (GA^2 + GB^2 + GC^2)}{3}\)
បើ \(k > GA^2 + GB^2 + GC^2\) នោះសំណុំចំណុច \(M\) គឺជា រង្វង់ដែលមានផ្ចិតរួមត្រង់ទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\) នៃត្រីកោណ \(ABC\)។

លំហាត់ PISA - តំបន់គ្របដណ្តប់នៃរ៉ោតទ័រ Wi-Fi ៖
រ៉ោតទ័រនៅ \(R_0(3, 4)\) មានកាំគ្របដណ្តប់ \(R = 6\text{ m}\) ៖
ក.  សមីការព្រំប្រទល់តំបន់សញ្ញា Wi-Fi ៖
\((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 36\)
ខ.  ពិនិត្យទីតាំងតុធ្វើការ ៖

• តុ \(A(1, 2)\) ៖ \((1 - 3)^2 + (2 - 4)^2 = 4 + 4 = 8 \le 36 \implies\) ចាប់សញ្ញាបានល្អ

• តុ \(B(8, 8)\) ៖ \((8 - 3)^2 + (8 - 4)^2 = 25 + 16 = 41 > 36 \implies\) នៅក្រៅដែនសញ្ញា។

លំហាត់ PISA - រលកចំណុចកណ្តាលរញ្ជួយដី (Epicenter) ៖
ចំណុចកណ្តាលរញ្ជួយដី \(E(20, -15)\text{ km}\), ល្បឿន \(v = 6\text{ km/s}\) ៖
ក.  សមីការរណសិរ្សរលកក្រោយ \(t = 10\text{ s}\) ៖
កាំ \(R = v \cdot t = 6 \times 10 = 60\text{ km}\)
សមីការរង្វង់ ៖ \((x - 20)^2 + (y + 15)^2 = 3600\)
ខ.  ពេលវេលារលកទៅដល់ទីក្រុង \(C(50, 25)\) ៖
ចម្ងាយ \(EC = \sqrt{(50 - 20)^2 + (25 - (-15))^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\text{ km}\)
រយៈពេល ៖ \(t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{50}{6} = \dfrac{25}{3} \approx 8.33\) វិនាទី។

លំហាត់ PISA - ប្រព័ន្ធស្រោចស្រពកសិកម្មរង្វង់មូល (Center-Pivot) ៖
ស្នូលកណ្តាល \(C(50, 50)\text{ m}\), ដៃបាញ់ទឹក \(R = 40\text{ m}\) ៖
ក.  សមីការព្រំប្រទល់ផ្ទៃដីស្រោចស្រព ៖
\((x - 50)^2 + (y - 50)^2 = 1600\)
ខ.  ផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃដីស្រោចស្រព ៖
\(S = \pi R^2 \approx 3.14 \times 40^2 = 3.14 \times 1600 = 5024\text{ m}^2\)។

លំហាត់ PISA - ភ្លើងហ្វារសមុទ្រ និងដែនសុវត្ថិភាពនាវា ៖
ភ្លើងហ្វារ \(L(0, 0)\), កាំ \(R = 15\) ម៉ាយល៍។ ផ្លូវកប៉ាល់ ៖ \(x + y - 20 = 0\) ៖
ក.  ចម្ងាយជិតបំផុតពីកប៉ាល់ទៅភ្លើងហ្វារ (ចម្ងាយកាត់កែង) ៖
\(d = \dfrac{|0 + 0 - 20|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14.14\) ម៉ាយល៍
ខ.  ដោយ \(d = 10\sqrt{2} \approx 14.14 < 15 = R\) នាំឱ្យកប៉ាល់ ពិតជាឆ្លងកាត់ចូលក្នុងតំបន់ពន្លឺសុវត្ថិភាព នៃភ្លើងហ្វារ។

លំហាត់ PISA - រ៉ាដាត្រួតពិនិត្យដែនអាកាសអាកាសយានដ្ឋាន ៖
រ៉ាដា \(A(0, 0), R = 50\text{ km}\)។ គន្លងហោះហើរ ៖ \((d): 3x - 4y + 120 = 0\) ៖
ក.  ចម្ងាយជិតបំផុតពីយន្តហោះមករ៉ាដា ៖
\(d = \dfrac{|3(0) - 4(0) + 120|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{120}{5} = 24\text{ km}\)
ខ.  ប្រវែងគន្លងហោះហើរក្នុងដែនរ៉ាដា (ប្រវែងខ្សែធ្នូ) ៖
\(L = 2\sqrt{R^2 - d^2} = 2\sqrt{50^2 - 24^2} = 2\sqrt{2500 - 576}\)
\(= 2\sqrt{1924} = 4\sqrt{481} \approx 87.73\text{ km}\)។